Institut für Mathematik Dr. A. Linke 1

Freie Universität Berlin
Wintersemester 11/12
Fachbereich Mathematik und Informatik – Institut für Mathematik
Dr. A. Linke
1. Übungsblatt zur Vorlesung “Mathematik für Physiker I”
Mengen und Abbildungen
Aufgabe 1.1 (4 Punkte (2+2))
a) Man zeige, dass für beliebige Mengen M1 und M2 die Gleichheit
(M1 \M2 ) ∪ M2 = M1
genau dann gilt, wenn M2 ⊂ M1 .
Tipp: Zerlegen Sie den Beweis in zwei kleine Teilbeweise, d.h. zeigen Sie zunächst
M2 ⊂ M1 ⇒ (M1 \M2 ) ∪ M2 = M1 und danach M2 6⊂ M1 ⇒ (M1 \M2 ) ∪ M2 6= M1 .
b) Man zeige für beliebige Mengen M1 , M2 und M3 die Richtigkeit folgender Distributivgesetze:
M1 \(M2 ∪ M3 ) = (M1 \M2 ) ∩ (M1 \M3 ),
M1 \(M2 ∩ M3 ) = (M1 \M2 ) ∪ (M1 \M3 ).
Tipp: Wie im Tipp zu Teilaufgabe a) besteht die größte Hürde darin, den Beweis
in mehrere kleine Teilbeweise zu zerlegen.
Aufgabe 1.2 (2 Punkte) Zwei endliche, nichtleere Mengen M1 und M2 werden gleichmächtig
genannt, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben.
a) Zeigen Sie, dass zwei endliche und nichtleere Mengen M1 und M2 genau dann
gleichmächtig sind, wenn mindestens eine bijektive Abbildung f : M1 → M2 existiert, die M1 auf M2 abbildet.
Aufgabe 1.3 (2 Punkte (1+1)) Wir verallgemeinern nun den Begriff der Gleichmächtigkeit von Mengen auf Mengen mit beliebig vielen Elementen. Zwei nichtleere Mengen M1
und M2 werden gleichmächtig genannt, wenn es eine bijektive Abbildung f : M1 → M2
gibt, die M1 auf M2 abbildet.
a) Seien nun M1 = N die Menge der natürlichen Zahlen, d.h. M1 = {0, 1, 2, 3, . . .}, und
M2 die Menge der geraden natürlichen Zahlen, d.h. M2 = {0, 2, 4, 6, . . .}. Zeigen
Sie, dass M1 und M2 gleichmächtig sind.
b) Sind die Menge der natürlichen Zahlen N und die Menge der ganzen Zahlen Z =
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ebenfalls gleichmächtig? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Weitere Informationen:
• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, den 27.10., um 12.00 Uhr.
• Die Übungsaufgaben sind abzugeben im Gebäude Arnimalle 3, erster Stock in den
Fächern der Tutoren Konstantin Bubolz (Fach 5D), Mario Koddenbrock (Fach 6C)
und Paul von Burghoff (Fach 10F).
• Die Übungsaufgaben müssen im Fach desjenigen Tutors abgegeben werden, bei
dem man in der Übungsgruppe ist (für die Verteilung der Übungsgruppen auf die
Tutoren siehe unten). Bitte heften Sie Ihre Aufgaben mit Büroklammer
oder Tacker zuammen und geben Sie keine losen Blattsammlungen ab.
• Die Übungsaufgaben sind zu zweit zu bearbeiten. Auf den abgegebenen
Lösungen muss gut sichtbar auf dem Deckblatt rechts oben vermerkt sein, wer die
Aufgaben bearbeitet hat (wohlgemerkt: zwei Personen zusammen!). Beide Bearbeiter eines Übungsblattes müssen in der gleichen Übungsgruppe angemeldet sein.
• Die Anmeldung für die Übungsgruppen ist jetzt im Internet möglich unter:
https://www.mi.fu-berlin.de/kvv/registration.htm?cid=10243
Bitte tragen Sie sich so schnell wie möglich ein!
• Als Übungsgruppen sind wählbar:
a) Montag 12–14 Uhr, Arnimallee 6, SR 031, Paul von Burghoff
b) Montag 14–16 Uhr, Arnimallee 14, SR E3 (1.4.31), Paul von Burghoff
c) Dienstag 10–12 Uhr,Takustr. 9, SR 049, Mario Koddenbrock
d) Mittwoch 12–14 Uhr, Takustr. 9, SR 046, Konstantin Bubolz
e) Mittwoch 14–16 Uhr, Arnimallee 14, SR E3 (1.4.31), Konstantin Bubolz
f) Donnerstag 10–12 Uhr, Takustr. 9, SR 049, Mario Koddenbrock
g) Donnerstag 14–16 Uhr, Arnimallee 14, SR T1 (1.3.21), Konstantin Bubolz
Vorsicht! im Vorlesungsverzeichnis des Fachbereichs Physik sind teilweise falsche
Zeiten und Orte für die Übungen zur Mathematik für Physiker I angegeben.
• Zur Klausurzulassung müssen folgende Leistungen erbracht werden:
1) Mindestens einmal während des Semesters muss eine Übungsaufgabe im Tutorium an der Tafel vorgerechnet werden.
2) Physiker benötigen mindestens 60% der Punkte aus allen Übungsaufgaben,
Meteorologen und Geophysiker 50%.