Stochastik SD/RE Master Weitere spezielle stetige

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Sommersemester 2011
Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Stochastik SD/RE Master
Weitere spezielle stetige Zufallsgrößen
1. Erlangverteilung
Modell:
Verteilung der Summe von Exponentialverteilungen
Es seien X1 , X2 , ..., Xn unabhängige exponentialverteilte Zufallsgrößen mit Parameter λ.
Dann heißt die Summe X = X1 + X2 + ... + Xn erlangverteilt der Ordnung n mit Parameter λ.
Dichte fX (x):
fX (x) = λ ·
Verteilungsfunktion FX (x):
Erwartungswert:
Varianz:
EX = nλ
Var(X) =
(λx)n−1
(n−1)!
· e−λx für x ≥ 0
FX (x) = 1 − e−λx
n
P
i=1
(λx)i−1
(i−1)!
für x ≥ 0
n
λ2
Anwendung: Besteht ein System aus n Komponenten mit exponentialverteilter Lebensdauer mit Parameter λ, von denen zu Beginn nur eine Komponente arbeitet, die zweite
zu arbeiten beginnt, wenn die erste ausgefallen ist, usw., und fällt das System erst dann
aus, wenn die letzte der n Komponenten defekt ist, dann ist die Lebensdauer des Systems
erlangverteilt der Ordnung n mit Parameter λ.
2. Weibullverteilung
Modell:
Lebensdauerverteilung mit Alterungseigenschaft, d.h. zeitabhängige Ausfallrate
Beschreibung von Materialermüdungserscheinungen; Ausfälle von Elektronenröhren, Kugellagern
Ein Zufallsgröße X heißt weibullverteilt mit den Parametern α, β > 0, wenn αX β
exponentialverteilt ist mit Parameter λ = 1.
Dichte fX (x):
fX (x) = αβxβ−1 e−αx
β
für x > 0
β
FX (x) = 1 − e−αx für x > 0
1
− β1
Erwartungswert: EX = α Γ
+1
β
(Dabei bezeichnet Γ die Gamma-Funktion, siehe unten.)
Verteilungsfunktion FX (x):
3. χ2 - Verteilung
Modell:
Es seien X1 , ..., Xn unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsgrößen. Dann ist die Zufallsgröße χ2n = X12 + ... + Xn2 χ2 -verteilt mit n Freiheitsgraden.
1
Dichte fχ2n (x):
fχ2n (x) =
x
n
1
x 2 −1 e− 2
n
2 Γ( 2 )
n
2
für x > 0
(Dabei bezeichnet Γ die Gamma-Funktion, siehe unten.)
Für große n läßt sich die Verteilungsfunktion Fχ2n (x) durch die Verteilungsfunktion der
Normalverteilung N (n, 2n) approximieren.
Wichtige Quantile liegen tabelliert vor für verschiedene Freiheitsgrade.
Erwartungswert:
Varianz:
EX = n
Var(X) = 2n
4. t - Verteilung
Modell:
Es seien X0 , X1 , ..., Xn unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsgrößen. Dann ist die
X0
t - verteilt mit n Freiheitsgraden.
Zufallsgröße Z = r
n
P
1
Xi2
·
n
i=1
√
X −µ
n· √
S2
2
t - verteilt ist mit n − 1 Freiheitsgraden. Dabei sind X und S die Punktschätzer für µ
und σ 2 der unabhängigen N (µ, σ 2 )-verteilten Zufallsgrößen X1 , ..., Xn .
− n+1
2
Γ( n+1
)
x2
2
Dichte fZ (x):
fZ (x) = n √
1+
n
Γ( 2 ) πn
Die t - Verteilung spielt in der Statistik eine besondere Rolle, weil die Größe
(Dabei bezeichnet Γ die Gamma-Funktion, siehe unten.)
Für große n nähert sich die Verteilungsfunktion einer t - Verteilung mit n Freiheitsgraden
der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an.
Wichtige Quantile liegen tabelliert vor für verschiedene Freiheitsgrade.
Erwartungswert:
Varianz:
EX = 0 für n ≥ 2
n
Var(X) = n−2
für n ≥ 3
Die Gamma-Funktion:
Die Gamma-Funktion Γ(x) ist für reelle Zahlen x > 0 wie folgt definiert:
Γ(x) =
Z∞
e−t · tx−1 dt .
0
Eigenschaften der Gamma-Funktion:
√
Γ(1) = 1 und Γ( 21 ) = π,
Γ(x + 1) = x · Γ(x),
Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ N, n 6= 0.
2