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Prof. Dr. Holger Weigand
Prof. Dr. Heiko Knospe
15.3.2012
Modulprüfung Mathematik 1
Aufgabe 1
(a) Die Teilmengen A = [0, 2[ , B = {0, 1, 2, 3} und C = {0, 1, 35 } von R
seien gegeben.
Wieviele Elemente besitzt die Menge (A ∩ B) × (A ∩ C) ?
Elemente.
(b) cos x − π2 = ? (Eine Antwort ankreuzen)
− sin(x)
cos(x)
− cos(x)
1 − sin(x)
sin(x)
x
.
1−x
Bestimmen Sie die Grenzwerte: (Jeweils eine Antwort ankreuzen)
(c) Gegeben sei die folgende Funktionsgleichung: f (x) =
• lim f (x) =
x→∞
−∞
∞
−2
−1
0
unbestimmt divergent
1
−∞
∞
−2
−1
0
unbestimmt divergent
1
• lim f (x) =
x→1
−∞
∞
−2
−1
0
unbestimmt divergent
1
• lim f (x) =
x→0
−∞
∞
−2
−1
0
unbestimmt divergent
1
• lim f (x) =
x→−∞
(d) Die Ebenen E1 : 2x − y + z = 1 und E2 : −2x + y − z = 0 im
R3 seien gegeben. Die Schnittmenge von E1 und E2 ist: (Eine Antwort
ankreuzen)
leer
ein Punkt
zwei Punkte
eine Gerade
eine Ebene
1
Aufgabe 2 Gegeben sei eine Funktion f von R nach R mit der Funktionsgleichung
2
f (x) = e−x sin(x)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Ableitung von f .
Aufgabe 3 Gegeben sei eine Funktion f von
R nach R mit Gleichung und Graph:
f (x) = x3 − 3x
(a) Berechnen Sie die beiden lokalen Extrema der Funktion. Es wird der
gesamte Rechenweg mit den zugehörigen Zwischenschritten verlangt.
Für jeden der beiden Punkte sind x- und y-Koordinate zu berechnen.
Hinweis: Das eingezeichnete Gitter berührt den Graphen genau an den
Stellen der halben Gitterweite.
(b) Bestimmen Sie die Tangente im Punkt (0, 0) durch Berechnung der
Tangentengleichung.
(c) Durch Betrachtung des Graphen der Funktion sieht man, dass keine
globale Umkehrfunktion f –1 existieren kann. Geben Sie ein Intervall
I = [a, b] an, mit a < b, sodass die Einschränkung von f auf I eine
Umkehrfunktion besitzt. Das muss nicht ein maximal mögliches Intervall sein. Mit Hilfe Ihres Ergebnisses vom Teil (a) und dem Graphen
können Sie geeignete Zahlen a und b direkt angeben.
 
 
1
3
Aufgabe 4 Seien u = −2 und v = 0 Vektoren im R3 .
1
1
Bestimmen Sie zwei verschiedene zu u und v orthogonale Vektoren w1 , w2
(ungleich dem Nullvektor).
Aufgabe 5 Bestimmen Sie die
systems A · x = b über R mit

−2 −2 1
4
2
1
A=
8
6 −1
0
0
0
Lösungsmenge des linearen Gleichungs
0
−1

−1
0
 
0
10

b=
10
0
Verwenden Sie ein systematisches Lösungsverfahren und dokumentieren Sie
die Rechenschritte.
2