9. ¨Ubung Mathematik 1 für BI

9. Übung Mathematik 1 für BI
56. Berechnen Sie die Konvergenzradien, und untersuchen Sie das Verhalten am Rand des Konvergenzintervalls:
X xn2
2n
57. Gegeben ist die Potenzreihe
X xn2
,
2n2
∞
X
.
xn!
n=1
Überlegen Sie sich,
(a) wie die Koeffizientenfolge (an ) der Standardpotenzreihendarstellung
P∞
n
n=1 an x
aussieht,
(b) dass das Wurzelkriterium zur Bestimmung des Konvergenzradius aus dem Skript nicht angewendet
werden kann (Warum?),
(c) dass das Quotientenkriterium zur Bestimmung des Konvergenzradius aus dem Skript nicht angewendet
werden kann (Warum?),
(d) dass es eine Teilfolge von (an ) gibt, sodass die n–ten Wurzeln der Teilfolgenglieder stets 1 sind – diese
Teilfolge würde auf Konvergenzradius 1 hinweisen (Warum?)
(e) dass es eine Teilfolge von (an ) gibt, sodass die n–ten Wurzeln der Teilfolgenglieder stets 0 sind – diese
Teilfolge würde auf Konvergenzradius ∞ hinweisen (Warum?).
Bemerkung: Aus (d) und (e) folgt, dass der Konvergenzradius 1 sein muss.
P
n!
Überlegen Sie sich weiters auf elementarem Weg, warum die Reihe ∞
n=1 x
(a) für |x| < 1 konvergiert, indem Sie eine geeignete konvergente Majorante finden und
(b) für |x| ≥ 1 nicht konvergieren kann.
P∞ n
1
F* Für |x|
<
1
gilt
bekanntlich
n=0 x = 1−x , mit anderen Worten: die Funktion
P∞ n
reihe n=0 x dargestellt.
Berechnen Sie die Potenzreihendarstellung der Funktion
f (x) =
1
1−x
wird durch die Potenz-
1
,
1 − x − x2
P
n
d.h. berechnen Sie bn so, dass f (x) = ∞
n=0 bn x , indem Sie die Partialbruchzerlegung von f (x) berechnen
1
und die Summanden der Partialbruchzerlegung so umformen, dass Sie die Potenzreihendarstellung von 1−x
anwenden können. Gliedweises Summieren liefert schließlich die gesuchten Koeffizienten bn . Bestätigen Sie,
dass der Konvergenzradius der Potenzreihe, die f (x) darstellt, g1 ist, wobei g der goldene Schnitt ist.
Bemerkung: Es gilt bn = Fn , wobei Fn die n–te Fibonacci-Zahl ist. Die Fibonacci Zahlen Fn erfüllen die
Rekursion Fn+2 = Fn+1 + Fn , F0 = 1, F1 = 1.
P
58. Berechnen Sie die folgenden Limiten, indem Sie die Potenzreihendarstellung
an xn der auftretenden Funktionen heranziehen:
ex − 1 − x
,
x→0
x2
lim
ln(1 + x)
,
x→0
x
lim
sin x
,
x→0 x
lim
1 − cos x
.
x→0
x2
lim
59. (a) Zeigen Sie unter Verwendung der Potenzreihendarstellung der vorkommenden Funktionen die Formel
von Euler
eiφ = cos(φ) + i sin(φ).
(b) Benutzen Sie die Formel von Euler, um die Additionstheoreme
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
und
sin(x + y) = cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y)
zu beweisen.
Anleitung: Wenden Sie auf der rechten und der linken Seite der bekannten Gleichung ei(x+y) = eix eiy
(Beweis dieser Identität über Potenzreihen siehe Skript) die Formel von Euler an und vergleichen Sie
in der sich so ergebenden Gleichung von sin und cos Termen Real– und Imaginärteile.
60. (a) Was besagt der Satz von Rolle? Erklären Sie ihn anschaulich.
(b) Sei f (x) eine auf [0, 1] stetige Funktion, welche auf (0, 1) differenzierbar ist und welche f (0) = f (1) = 0
erfüllt. Sei weiters α eine beliebige reelle Zahl. Weisen Sie nach, dass es ein z in (0, 1) gibt, sodass
αf (z) + f 0 (z) = 0.
Anleitung: Überzeugen Sie sich, dass die Funktion g(x) = eαx f (x) auf [0, 1] alle Voraussetzungen des
Satz von Rolle erfüllt und wenden Sie den Satz von Rolle auf g(x) an.
61. (a) Was besagt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Erklären Sie ihn anschaulich.
(b) Berechnen Sie limn→∞ n(1 − cos( n1 )) mit Hilfe des Mittelwertsatzes.
Anleitung: Wenden Sie den Mittelwertsatz an für f (x) = cos(x), a = 0 und bn =
Wie kann man dann auf den gesuchten Grenzwert schließen?
1
n
(ist dies zulässig?).