2 Gleichwertige Terme – Umformen mit Rechengesetzen

2 Gleichwertige Terme – Umformen mit Rechengesetzen
Maike, Tom, Dieter, Regina und Lisa
sollen zur Berechnung der Inhalte der Flächenstücke einen Term aufstellen.
Maike: 2·b + 2·b + 2·b, Tom: (3·2)·b,
Dieter: (3·b)·2, Regina: (2·b)·4 – 2·b
und Lisa: 6·b.
Was gehört zusammen? Begründe.
Ergänze die fehlenden Skizzen!
Vergleiche auch Erkundung 3 auf Seite 106.
Was haben sich Nora
und Carsten beim
Aufstellen ihrer Terme
gedacht?
äquus (lat.):
gleich
valens (lat.):
wertig
2·e + e = e + e + e = 3·e
Vergleiche auch Erkundung 1 auf Seite 104.
commutare (lat.):
vertauschen
associare (lat.):
vereinigen
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Sachverhalte können durch verschiedene Terme beschrieben werden. Trotz der äußeren
Verschiedenheit liefern diese Terme bei jeder Einsetzung jeweils denselben Wert.
Beispielsweise haben Nora und Carsten aus
Würfeln diese Mauern gebaut. Nun überlegen sie, wie viele Würfel sie benötigen,
1 Element
2 Elemente
3 Elemente
wenn sie 50 Elemente lang ist.
Beide beschreiben die Anzahl der Würfel
mit einem Term und veranschaulichen ihre
Lösung mit einer Skizze.
Nora nach Skizze 1:
3·e + 1
Carsten nach Skizze 2: 2·e + (1 + e)
e beschreibt hier die Anzahl der Elemente.
Nun berechnen sie die Anzahl der Würfel
für 50 Elemente: Nora erhält 3·50 + 1 = 151
und Carsten 2·50 + (1 + 50) = 151 Würfel.
Beide erhalten also dasselbe Ergebnis.
Nun kann man sich fragen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl an
Würfeln liefern. Zur Beantwortung müsste man alle möglichen Zahlen (also unendlich viele)
einsetzen, was unmöglich ist. Man kann die Gleichwertigkeit – man sagt auch Äquivalenz –
beider Terme durch Umformungen zeigen. Da für die Variablen Zahlen eingesetzt werden
können, kann man die Terme nach den Rechenregeln für rationale Zahlen umformen:
2·e + (1 + e) = 2·e + (e + 1) = (2·e + e) + 1 = 3·e + 1, also kurz 2·e + (1 + e) = 3·e + 1.
Hierbei wurde im ersten Schritt die Gleichheit 1 + e = e + 1 ausgenutzt (Kommutativgesetz). Im zweiten Schritt wurde in der Additionskette die Additionsreihenfolge vertauscht (Assoziativgesetz), was durch das Umsetzen der Klammern gezeigt wird.
Wenn ein Term mithilfe der gültigen Rechenregeln umgeformt wird, erhält man einen
äquivalenten Term. Möglich sind Umformungen nach dem
– Kommutativgesetz 2 + 3 = 3 + 2
bzw. a + b = b + a
2·3 = 3·2
bzw. a·b = b·a
– Assoziativgesetz
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 bzw. a + (b + c) = (a + b) + c
2·(3·4) = (2·3)·4
bzw. a·(b·c) = (a·b)·c
IV Terme und Gleichungen
Will man zeigen, dass zwei Terme nicht äquivalent sind, genügt es eine Zahl zu finden, für
welche die Terme unterschiedliche Werte haben. So ist der Wert der Terme 2·x ² – 6 und
4·x für x = 3 und x = – 1 zwar gleich, aber für x = 2 ungleich.
Umgekehrt kann man die Äquivalenz von Termen durch Einsetzen von Zahlen prüfen. Um
auszuschließen, dass die Einsetzproben nur zufällig richtig waren, muss man zum Nachweis der Äquivalenz die Terme mithilfe gültiger Rechengesetze ineinander überführen.
Beispiel 1 Vereinfachen
Vereinfache den Term a + a + a·2·3 + 6 + a + 3·4.
Mögliche Lösung:
1. Erstes Vereinfachen:
a + a + a·2·3 + 6 + a + 3·4 = a + a + 6 a + 6 + a + 12
2. Ordnen (Kommutativgesetz anwenden):
= a + a + 6 a + a + 6 + 12
3. Zusammenfassen:
= 9 a + 18
Beispiel 2 Aufstellen eines Terms und
Vereinfachen
Der Hobbybarkeeper Jan möchte für einen
Früchtecocktail vier Sorten Fruchtsäfte
zu gleichen Anteilen mischen (Apfel-, Orangen-, Ananas- und Birnensaft).
a) Wie viel muss Jan inklusive Pfand bezahlen, wenn er pro Sorte beliebig viele Liter
kaufen will und zehn 1-Liter-Flaschen Leergut zurückgibt?
b) Wie viel muss Jan für 1,5; 2 bzw. 2,5 Liter pro Sorte inklusive Pfand insgesamt zahlen?
Mögliche Lösung:
a) 1. Variable einführen: Für die beliebige Liter-Anzahl kann man die Variable x verwenden.
2. Aufstellen des Terms: 1,25·x + 1,4·x + 1,55·x + 1,7·x – 10·0,15 + 4·x·0,15
3. Erstes Vereinfachen: = 1,25 x + 1,4 x + 1,55 x + 1,7 x – 10·0,15 + 4·0,15·x
4. Ordnen:
= 1,25 x + 1,4 x + 1,55 x + 1,7 x + 0,6 x – 1,5
5. Zusammenfassen:
= 6,5 x – 1,5
b) Berechnung des Wertes für x = 1,5
Preis: 6,5·1,5 – 1,5 = 8,25
x=2
Preis: 6,5·2 – 1,5 = 11,50
x = 2,5
Preis: 6,5·2,5 – 1,5 = 14,75
Wenn Jan pro Sorte 1,5; 2 bzw. 2,5 Liter kauft, muss er 8,25; 11,50 bzw. 14,75 Euro zahlen.
Info
Rechnen mit negativen Zahlen
Da man für die Variablen auch negative Zahlen einsetzen kann, sind hier an Beispielaufgaben zur Erinnerung nochmals die wichtigsten Regeln zusammengefasst.
Addieren einer
negativen Zahl:
11 + (– 17)
= 11 – 17
= –6
Subtrahieren einer
negativen Zahl:
11 – (– 17)
= 11 + 17
= 28
Plusklammerregel
23 + (13 – 7) = 23 + 13 – 7 = 29
Multiplizieren
3·4 = 12
– 3·(– 4) = 12
3·(– 4) = – 12
– 3·4 = – 12
Dividieren
12 : 4 = 3
– 12 : (– 4) = 3
12 : (– 4) = – 3
– 12 : 4 = – 3
Minusklammerregel
23 – (13 – 7) = 23 – 13 + 7 = 17
Zur Erinnerung:
x ² = x·x
Übliche Abkürzungen
bei Termen:
statt 1·x schreibe x
statt (– 1)·x schreibe – x
statt 4·x schreibe 4 x
Genauso wie
2 e + 3 e = 5 e gilt auch
1,25 x + 1,4 x = 2,65 x.
Zum Merken:
+·+ = +
–·– = +
+·– = –
–·+ = –
+:+ = +
–:– = +
+:– = –
–:+ = –
Bei einem Minus
vor einer Klammer
drehen sich die
Vorzeichen in der
Klammer um.
IV Terme und Gleichungen
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