Blatt 1 - ICMM-CSIC

WS 2007/08
Blatt 1
Übungen zum „Vorkurs Mathematik für Physiker und Materialwissenschaftler“
Ein kleiner Test
a) Diskutieren Sie die Funktionen
(1) f (x) = x 2 − x 4 ,
(2) f (x) = sin(x) und f (x) = sin(x/π),
(3) f (x) = ex ,
(4) f (x) = ln(1 + x).
Skizzieren Sie die Funktionen, berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung, bestimmen Sie Minima, Maxima und ggfs. Wendepunkte.
b) Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktionen
(1) f (x) = x 7 ,
p
(2) f (x) = x/3,
(3) f (x) = − cos(3x),
(4) f (x) = x exp(x 2 ),
(5) f (x) = (3 + 2x)−1 .
c) Berechnen Sie die bestimmten Integrale
2
Z
0
3
x dx,
π
Z
0
cos(2x)dx,
π
Z
0
x sin(x)dx.
d) Berechnen Sie den Betrag der Vektoren
µ ¶
µ ¶
1
2
~
~
a=
, b=
5
3
sowie das Skalarprodukt ~
a ·~
b.
e) Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahlen z 1 = 1 + 2i, z 2 = 5 + i sowie deren Produkt
z 1 z 2 . Hier ist i die imaginäre Einheit mit i2 = −1. Bestimmen Sie 1/z 1 und 1/z 2 .
f) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die (normierten) Eigenvektoren der Matrix
A=
µ
¶
2 5
.
0 7
Aufgabe 1: Betrag
Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als
|x| :=
½
x
−x
falls x ≥ 0
falls x < 0
Zeigen Sie
a) |x| ≥ 0
b) |x| = 0 ⇔ x = 0
c) |x y| = |x| |y|
d) |x + y| ≤ |x| + |y|
¯
¯
¯
¯
e) |x + y| ≥ ¯|x| − |y|¯
Aufgabe 2: Irrationale Zahlen, Widerspruchsbeweis
Zeigen Sie, dass
p
2 irrational ist, das heißt, es gibt keine natürlichen Zahlen m und n mit
p
m
2= .
n
Führen Sie einen sogenannten Widerspruchsbeweis, d.h. zeigen Sie, dass die Annnahme, es
gäbe m, n mit der gewünschten Eigenschaft, zu einem Widerspruch führt. Zeigen Sie zunächst folgende Aussagen:
a) Es genügt, teilerfremde natürliche Zahlen m, n zu betrachten.
b) Das Quadrat einer geraden Zahl ist ein Vielfaches von 4.
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Blatt 2
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Aufgabe 3: Komplexe Zahlen
Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag der komplexen Zahlen
z1 =
1
,
1+i
z2 =
i
,
1−i
z3 =
(1 + 2i)2
2 + 3i
und stellen Sie z 1 und z 2 in der Gaußschen Ebene dar.
Aufgabe 4: Komplexes Gleichungssystem
Lösen Sie das Gleichungssystem ix + 3y = 1, 2x + iy = 2i nach x, y ∈ C.
Aufgabe 5: Komplex Konjugiertes
Zeigen Sie für beliebige z 1 , z 2 ∈ C, dass
a) (z 1 + z 2 )∗ = z 1∗ + z 2∗
b) (z 1 z 2 )∗ = z 1∗ z 2∗
c) (z ∗ )∗ = z
µ ¶∗
z∗
z1
= 1∗ , wobei z 2 6= 0
d)
z2
z2
e) z ∈ R ⇔ z ∗ = z
Aufgabe 6: Summenformeln
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N0 gilt:
a)
n
X
1
k = n(n + 1),
2
k=0
b)
n
X
1
k 2 = n(n + 1)(2n + 1).
6
k=0
Aufgabe 7: Binomische Formel
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle x, y ∈ R und n ∈ N0 die binomische Formel
n µ ¶
X
n m n−m
n
x y
.
(x + y) =
m=0 m
Der Binomialkoeffizient ist definiert als
µ ¶
n!
n
=
, wobei 0! = 1 und n! = n(n − 1)!
m
m!(n − m)!
Hinweis: Vollständige Induktion
Ein Beweis durch vollständige Induktion besteht aus zwei Teilen:
(1) dem Beweis der Behauptung für das erste n (Induktionsanfang),
(2) dem Beweis der Behauptung für den Fall n + 1 unter der Voraussetzung, dass sie für n
bereits bewiesen ist (Induktionsschluss oder Vererbung).
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Blatt 3
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Aufgabe 8: Stetige Funktionen
Gegeben sind die Funktionen
¯h
¯
1i
¯
¯
f (x) = ¯ x +
− x ¯,
2
g (x) =
x4
.
(x 2 − 1)|x|
Geben Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich an, entscheiden Sie wo die Funktionen stetig sind und skizzieren Sie die Funktionen. Dabei bezeichnet die sogenannte GaußKlammer [x] die größte ganze Zahl ≤ x, also z.B. [2.2762987] = 2 = [2].
Aufgabe 9: Hyperbolische Funktionen
Bestimmen Sie den Funktionswert für einige Argumente x und skizzieren Sie den Graphen
für die folgenden, sogenannten hyperbolischen Funktionen:
a) sinh(x) =
ex − e−x
2
(sinus hyperbolicus)
b) cosh(x) =
ex + e−x
2
(cosinus hyperbolicus)
c) tanh(x) =
sinh(x)
cosh(x)
(tangens hyperbolicus)
d) coth(x) =
cosh(x)
sinh(x)
(cotangens hyperbolicus)
Aufgabe 10: Hyperbolische Funktionen: Additionstheoreme
Beweisen Sie unter Verwendung von ex+y = ex e y folgende Additionstheoreme:
a) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)
b) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)
c) cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
d) 2 cosh2 (x) = cosh(2x) + 1
Aufgabe 11: Basiswechsel
a) Schreiben Sie a x als Potenz von b.
b) Schreiben Sie loga (x) mit Hilfe von logb .
Aufgabe 12: Logarithmen
a) Berechnen Sie log2 8, log3 81 und log5 5n .
2
b) Lösen Sie die Gleichung 3x · 9(x ) = 27 nach x auf.
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Blatt 4
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Aufgabe 13: Rationale Funktionen
Bestimmen Sie die Pole und Nullstellen sowie das Verhalten für x → 0, ±∞ der rationalen
Funktionen
x2 + x − 2
x3 − 1
,
g (x) =
.
f (x) = 2
x −1
x2 + 1
Führen Sie mit f und g eine Polynomdivision durch.
Aufgabe 14: Quotientenregel
Leiten Sie die Quotientenregel mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel her.
Aufgabe 15: Ableitungen
Leiten Sie folgende Funktionen nach x ab:
a) b x , x α , logb x, mit b ∈ R+ , α ∈ R
b) ln | f (x)| mit einer beliebigen, differenzierbaren Funktion f (x). Unterscheiden Sie die Fälle
f (x) > 0 und f (x) < 0.
c) x x , f (x)g (x)
d) exp(1/x), x exp(x), exp(−x 2 )
e)
1+x
1−x
Aufgabe 16: Regel von l’Hospital
Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von l’Hospital die Grenzwerte
ex − 1 − x
,
x→0
x2
lim
lim
x→0
1 − cosh x
,
x
lim p(x)e−αx ,
x→∞
wobei α > 0 und p(x) Polynom in x vom Grad n
Aufgabe 17: Grenzwerte
Zeigen Sie, dass für alle α > 0 gilt:
ln x
= 0,
x→∞ x α
lim
xα
= 0.
x→∞ ex
lim
Das heißt, die Exponentialfunktion steigt stärker als jede Potenz und jede Potenz steigt stärker als der Logarithmus.
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Blatt 5
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Aufgabe 18: Ableitung der trigonometrischen Umkehrfunktionen
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen sin x, cos x, tan x und cot x. Zeigen Sie jeweils
durch Ableiten der Umkehrfunktion, dass gilt:
a)
1
d
arcsin x = p
dx
1 − x2
b)
d
1
arccos x = − p
dx
1 − x2
c)
d
1
arctan x =
dx
1 + x2
d)
d
1
arccot x = −
dx
1 + x2
Aufgabe 19: Taylor-Entwicklung
Zeigen Sie folgende Taylor-Entwicklungen:
a)
p
1
1 2
1·3 3
1·3·5 4
1+x = 1+ x −
x +
x −
x ±...
2
2·4
2·4·6
2·4·6·8
b) ln(1 + x) = x −
∞ (−x)k
X
x2 x3 x4
+
−
±... = −
2
3
4
k
k=1
Aufgabe 20: Lineare Näherung
Bestimmen Sie die lineare Näherung der folgenden Funktionen in der Nähe von x = 0:
a) sinh(x)
b) tan(x)
c)
ex
x
−1
Aufgabe 21: Komplexe Zahlen II
a) Berechnen Sie ei3π/2 .
b) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z n − 1 = 0,
n ∈ N , z ∈ C.
Schreiben Sie die Nullstellen in der Form r eiφ . Skizzieren Sie die Lösungen für n = 3, 4 in
der Gaußschen Ebene.
c) Zeigen Sie, dass (cos z + i sin z)n = cos(nz) + i sin(nz) für alle z = a + ib ∈ C.
d) Beweisen Sie das Additionstheorem sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x).
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Blatt 6
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Aufgabe 22: Stammfunktionen
Bestimmen Sie folgende unbestimmte Integrale:
Z
Z
Z
a)
dx ln x,
dx x ln x,
dx (ln x)2
b)
Z
dx tan(x),
c)
Z
p
dx 1 − x 2 ,
d)
Z
dx
1
,
1 − x2
Z
dx cos(x) sin(x),
Z
Z
dx
dx
Z
dx
sin(x) cos(x)
1 + cos2 (x)
p
1 + x2
x4
1 + x2
Aufgabe 23: Rekursionsformel für Integrale
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
Z ∞
Γn =
dx x n−1 e−x = (n − 1)!
0
Hinweis: Leiten Sie zunächst durch partielle Integration eine Rekursionsformel für Γn her.
Aufgabe 24: Integralrestglied
Zeigen Sie durch vollständige Induktion die Beziehung
f (x) =
wobei a k = f (k) (0).
Z
n a
X
1 x
k k
dt (x − t )n f (n+1) (t ),
x +
k!
n!
0
k=0
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Blatt 7
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Aufgabe 25: Vektorprodukt
Für die Vektoren ~
a ,~
b ∈ R3 ist das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) durch den Ausdruck
   

b1
a2 b3 − a3 b2
a1
~
a ×~
b =  a 2  × b 2  =  a 3 b 1 − a 1 b 3 
b3
a1 b2 − a2 b1
a3

definiert. Zeigen Sie die Beziehungen
a) ~
a ×~
b = −~
b ×~
a
b) ~
a · (~
b ×~
c) =~
b · (~
c ×~
a) = ~
c · (~
a ×~
b)
c) ~
a × (~
b ×~
c) =~
b(~
a ·~
c ) −~
c (~
a ·~
b)
d) ~
a × (~
b ×~
c ) +~
c × (~
a ×~
b) + ~
b × (~
c ×~
a ) =~0
Aufgabe 26: Matrixmultiplikation
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
n 
1 n
1 1 0
0 1 1  = 0 1
0 0 1
0 0

1
2 n(n − 1)

n
1
.
Aufgabe 27: Eigenwerte und Eigenvektoren
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen
µ
¶
2 1
,
1 1
¶
µ
1 1
,
1 0

1 1 1
1 1 1  .
1 1 1

Aufgabe 28: Vektorgeometrie
Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung:
a) Die Diagonalen einer Raute sind orthogonal.
b) Für jedes beliebige Dreieck gilt der Sinussatz
~
a
a)
~
b
◦
90 ?
sin α sin β
sin γ
=
=
.
|~
a|
|~
b|
|~
a −~
b|
~
b
~
a
~
a
b)
β
γ
~
b
α
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Blatt 8
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Aufgabe 29: Lineare Gleichungen
a) Lösen Sie die linearen Gleichungen

 
2 2 −2 −4
−2
0 4



4
3

 14 
x =  .

~
0 2
 10 
2
3
3 −1 −9 −2
−5

 
1 2 3
4
 2 3 1 ~

x = 4 ,
−3 1 2
4


b) Berechnen Sie das Inverse der Matrix

1 2 3
A = 2 1 0  .
1 0 2

Aufgabe 30: Gradient und Laplace-Operator
Gegeben sei das skalare Feld φ(~
x ) = |~
x| =
q
x 12 + x 22 + x 32 .
a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen
∂2
φ(~
x ).
∂x i ∂x j
∂
φ(~
x ),
∂x i
Unterscheiden Sie die Fälle i = j und i 6= j .
b) Wie lauten somit grad φ(~
x ) und ∆φ(~
x ) = div grad φ(~
x )?
Aufgabe 31: Divergenz und Rotation
Gegeben sei das Vektorfeld

y2
~
a (~
x) =  x  .
xyz

Berechnen Sie das skalare Feld div~
a (~
x ) und das Vektorfeld rot~
a (~
x ).
Aufgabe 32: Kreuzprodukt und Drehungen
a) Begründen Sie, warum die Matrix


cos α − sin α 0
U (α) =  sin α cos α 0
0
1
eine Drehung um die z-Achse beschreibt und nähern Sie U (α) für kleine Winkel α ¿ 1.
b) Betrachten Sie das Kreuzprodukt ~
y =~
e z ×~
x . Stellen Sie die Operation ~
e z × als Matrix dar,
d.h. finden Sie eine Matrix A, so dass für einen beliebigen Vektor ~
x gilt: ~
e z ×~
x = A~
x.
c) Drücken Sie die Drehmatrix U (α) für α ¿ 1 durch das Kreuzprodukt aus. Wie sieht U für
eine Drehung um einen kleinen Winkel für eine beliebige Drehachse ~
n mit |~
n | = 1 aus?
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Blatt 9
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Aufgabe 33: Bewegungsgleichungen
Unter dem Einfluss einer orts- und geschwindigkeitsabhängigen Kraft F (x, v) bewegt sich ein
Teilchen mit Masse m gemäß der Newtonschen Bewegungsgleichung
m ẍ(t ) = m v̇(t ) = F (x, v),
wobei x(t ) den Ort zur Zeit t und v(t ) = ẋ(t ) die Geschwindigkeit bezeichnen. Bestimmen Sie
die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für folgende Kräfte:
a) Rückstellkraft einer Feder, F (x) = −kx,
b) Reibungskraft F (v) = −γmv = −γm ẋ.
Aufgabe 34: Dämpfung
Eine physikalische Größe X klinge nach der Gleichung
d
X = −αX 3
dt
ab, wobei α eine Konstante ist. Bestimmen Sie X (t ) für die Anfangsbedingung X (0) = X 0 .
Aufgabe 35: Fehlerrechnung
An einer Feder mit der unbekannten Federkonstanten k hängt eine Masse m. Um die Federkonstante zu bestimmen, lassen Sie die Masse schwingen und stoppen für n = 100 Schwingungen die Zeit p
250 s. Für die Frequenz der Schwingung haben Sie bereits in Aufgabe 33 das
Ergebnis f = 2π k/m erhalten.
Nehmen Sie an, dass Sie sich bei der Anzahl n der Schwingungen höchstens um 2 verzählt
und die Zeit auf 1 s genau gestoppt haben. Die Waage, mit der Sie die Masse m = 100 g bestimmen, besitzt eine Genauigkeit von 1%.
Welche Genauigkeit hat Ihr Ergebnis für die Federkonstante?