Trigonometrie

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ÜB Trigonometrie
September 2012
Trigonometrie
Teil 1:
Dreiecke und Vermessungsaufgaben
101
Berechnen Sie alle fehlenden Bestimmungsstücke eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Werten:
c = 10 cm,  = 35° 18’.
5,78 8,16
54,7°
102
. Wie groß ist die Seite c eines allgemeinen Dreiecks, wenn b = 8 cm, a = 10 cm und  = 57°18’30“ ist?
8,81 cm
103
In einem allgemeinen Dreieck kennt man die Winkel α = 48° 45’ und γ = 102° 36’ und die Seite a = 8 cm.
Berechnen Sie den fehlenden Winkel und die restlichen Seiten.
(  = 28,65 °, c = 10,38 cm b = 5,10 cm)
104
Eine 3,5 m lange Leiter wird an eine Mauer gelehnt und reicht dort bis 2,8 m hoch. Wie groß ist der
Neigungswinkel, den die Leiter mit der waagrechten Bodenfläche bildet? 53°
105
Vom Beobachtungspunkt B (in einer Höhe a = 1,80 m
über dem Boden) wird ein Gebäude mit einem
Höhenwinkel von φ = 15° anvisiert. Das Gebäude ist d =
320 m entfernt. Berechnen Sie die Höhe des Gebäudes. (
87,54 m)
106
Die direkt nicht erreichbare Strecke AB soll vermessen
werden. Dazu misst man:
Winkel α = 22° 48’ 55“
Strecke SB = 850 m
Strecke SA = 730 m
Wie lang ist AB? (334 m)
107
Ein Segelflugzeug geht aus 340 m Höhe in Gleitflug unter einem Winkel von 5° 24’ nieder. Welche Strecke legt
das Flugzeug im Gleitflug zurück? Berechnen Sie die zurückgelegte Strecke über Grund. Berechnen Sie, um
welchen Prozentsatz die tatsächliche Strecke höher als die Strecke über Grund ist.
3 613 m 3 484 m um 3,7 %
108
Eine Seilbahn überwindet mit einem 1.350 m langen Seil eine Höhe von 735 m. Wie groß ist der
Neigungswinkel des Seils zur Horizontalen? (Der Durchhang des Seils bleibt unberücksichtigt.)
33°
© Mag. Wolfgang Streit
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109
a237
Eine Straße hat auf einer 4 km langen Strecke gegen die Horizontale einen Neigungswinkel von  = 3°47’53“.
Um wieviel Meter liegt der Endpunkt der Straße höher als der Ausgangspunkt? 265 m
110
Ein Flugzeug erscheint von zwei 2 800 m
voneinander entfernten Beobachtungsplätzen (auf der
gleichen Seite) unter den Winkeln 32° und 36°. Wie
hoch ist das Flugzeug? 12.503 m
111
Ein Kirchturmkreuz erscheint einem Beobachter, der in
einer horizontalen Entfernung von d = 350 m steht, unter
einem Sehwinkel von  = 24’. Wie hoch ist das Kreuz,
wenn der Kirchturm h = 20 m hoch ist?
(2,45 m)
112
Ein Baum wird von zwei auf
gegenüberliegenden Seiten unter den Winkeln
δ = 35° und ε = 28° gesehen. Die beiden
Beobachtungspunkte sind d = 58 m
voneinander entfernt. Wie hoch ist der Baum
und wie weit sind die Beobachtungspunkte
vom Fußpunkt des Baumes entfernt?
(17,53 m
25,03 m und 32,97 m)
© Mag. Wolfgang Streit
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Teil 2:
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Periodische Vorgänge
201
Der Zu-bzw. Abfluss Z(t) in ein Becken verläuft sinusförmig mit einer Periode von 40 h und einem Maximum
von 10 l/h bei t=4 und einem Minimum von –8 l/h (Abfluss).
a)
b)
Berechnen Sie die Gleichung der Zuflussfunktion!
Die Zuflussfunktion für diesen Punkt sei Z(t)=1+10sin(0,2t+1):
Berechnen Sie die Periode und die Amplitude dieser Schwingung.
1 + 9 sinError! 31,4 h
10 l/h
202
Geben Sie die Funktionsgleichung für folgende Angaben an:
Sinusförmige Schwankung zwischen 300° C und 40o C,
das Maximum tritt bei x=7 und das Minimum bei x=23 auf.
170 + 130 sin(0,196t + 0,196)
203
Ermitteln Sie die Gleichung einer Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften:
Schwankung zwischen 240 und –40, Maximum bei x=35, nächstes Minimum bei x=61
100 + 140 sinError!
204
Der Zufluss in ein Becken schwankt sinusförmig mit Z(t) = 40 + 20 sinError!.
Skizzieren Sie die Funktion. Ermitteln Sie den Zeitpunkt des ersten positiven Minimums und des ersten
Maximums. Wie hoch sind Minimum und Maximum?
(2 / 20) und (12 / 60)
205
Ermitteln Sie die Gleichung einer Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften:
Schwankung zwischen 260 und –20, Maximum bei x = 15, nächstes Minimum bei x = 41
120 + 140 sinError!
206
Der Zufluss in ein Becken schwankt sinusförmig mit
Z(t) = 30 + 15 sinError!Skizzieren Sie die Funktion.
207
Der Zufluss Z(t) in ein Staubecken verläuft sinusförmig mit einer
Periode von 24 h zwischen 0 und 50 hl/min! t in h. , Z(t) in hl/min. Das
erste Maximum tritt bei t = 4 h auf!
Berechnen Sie die Gleichung von Z(t)!
25 + 25 sinError!
208
Die Synthese eines Produktes verläuft sinusförmig mit der Periode 24 h zwischen den Extremwerten 50 l/h und
300 l/h, wobei zum Zeitpunkt 0 das Minimum vorliegt! Geben Sie die Funktionsgleichung für P(t) an!
175 + 125 sinError!
Teil 3:
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Angewandte Beispiele
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301
l2 – r2 + r2cos2 (t)
Eine geradlinig ansteigende Trasse einer
Bergbahn hat eine Streckenlänge von
L = 6 km. Sie startet in der Talstation
(a = 570 m über dem Meeresspiegel) und
erreicht die Bergstation, die sich
c = 104 m unter der Bergspitze befindet.
Die Spitze liegt b = 1.792 m über dem
Meeresspiegel (Skizze).
Erstellen Sie eine allgemeine Formel mit
L, a, b und c, mit deren Hilfe man die
Steigung der Bahntrasse berechnen kann.
1.000 m über dem Meeresspiegel soll eine
Mittelstation errichtet werden. Berechnen
Sie die Länge der Strecke vom Start bis zur Mittelstation.
Die Bahn fährt mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von v = 5 m/s. Berechnen Sie, wie weit sich die
Bahn von der Talstation nach sechs Minuten entfernt hat , und geben Sie das Ergebnis in Kilometern an.
Error! = k
303
2.307,7 m
1,8 km.
––
Im Normalabstand von zwei Metern (s = BC; ) von der Mitte
der rechten Fahrspur entfernt steht an der Stelle B ein Gerät zur
optischen Geschwindigkeitsmessung von herankommenden
Fahrzeugen. Es registriert Fahrzeuge, wenn sie die Positionen
––
A und D passieren. Die Sichtlinie BA;
schließt mit der
––
Fahrbahnsenkrechten den Winkel α = 82° ein, die Linie BD;
den Winkel  = 8° (vgl. Skizze).
Leiten Sie aus der vorliegenden Skizze eine allgemeine Formel
––
her, wie sich die Länge der Strecke AD; aus den in der
Angabe gegebenen Größen s, α und β berechnen lassen.
Erklären Sie, was durch den Term a = Error! berechnet
werden kann.
––
Ein Auto durchfährt die Messstrecke AD;
in 0,7 Sekunden.
Berechnen Sie, um wie viele Kilometer pro Stunde (km/h) das
Auto die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h
überschritten hat. Geben Sie diese Überschreitung auch in Prozent an.
s (tan α – tan β) = AD;
304
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In der Technik stellt sich sehr oft das Problem, geradlinige Bewegung und Kreisbewegungen ineinander
umzuwandeln. Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Bewegung des Kolbens auf.
x(t) = r cos(t) +
302
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––
71,7 km/h
43 %
Die Karte zeigt ein Dreieck, in dem drei
Landeshauptstädte von Österreich liegen,
Wien, Eisenstadt und St. Pölten. Die
Entfernungen sind in Kilometer angegeben.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses
Gebiets.
1.874,4 km2
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305
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In einem Zimmer wird ein Parkettboden schwimmend verlegt. Dabei wird (entgegen der
Verlegeanleitung)der Boden ohne Dehnfugen exakt zwischen den Mauern (Abstand 4 m) eingepasst.
Infolge eines Wetterumschwungs erhöht sich die Luftfeuchtigkeit im Raum und zum Leidwesen des
Hausbesitzers wölbt sich der Boden in der Mitte des Raumes um 5 cm.
Ermitteln Sie die Ausdehnung desParkettbodens.
r = 4.002,5 cm also um 17 mm
306
Eines der augenfälligsten Wahrzeichen von
Sydney ist die 1929 bis 1932 errichtete
Harbour Bridge. Der Hauptbogen hat eine
Spannweite von 503 Metern. Von der untersten
Fahrbahndecke bis zum höchsten Punkt der
Brücke sind es 75 Meter.
Sie nähern sich auf einem Boot der Brücke und
sehen die Unterkannte unter α = 40 und die
höchste Erhebung unter β = 90 .
Berechnen Sie wie hoch Schiffe bzw
Segelmasten sein dürfen, um die Brücke noch
passieren zu können. Erstellen Sie dafür eine
Skizze.
Beschreiben Sie, welchen Einfluss ein höherer
Wasserstand auf die angegebenen Größen hat.
Markieren Sie in der gegebenen Abbildung, welche Größe zusätzlich gegeben sein muss, um die
Tangensfunktion anwenden zu können und begründen Sie Ihre Entscheidung.
x = 847,86 und y =
59,29 m.
307
Die Schlossalmbahn in Bad Hofgastein ist eine Standseilbahn. Die Höhe der Talstation beträgt843 Meter
(m) über dem Meeresspiegel (ü. d. M.), die Höhe der Bergstation beträgt 1 302 mü. d. M., die
direkteVerbindungsstrecke zwischen Talstation und Bergstation hat eine Längevon 1251 m.
a)
b)
c)
Übertragen Sie den Text in eine passende Skizze, die mit den gegebenen Größen vollständig zu
beschriften ist. Berechnen Sie den Steigungswinkel der direkten Verbindungsstrecke zwischen
Talstation und Bergstation.
Bei einer Neuplanung der Bahn überlegt man, den Steigungswinkel der Standseilbahn zu
verkleinern, wobei der zu überwindende Höhenunterschied unverändert bleibt. Erklären Sie, wie
man die Steigung der direkten Verbindungsstrecke zwischen Talstationund Bergstation in Prozent
(%) ermitteln kann. Erklären Sie anhand einer passenden Formel, wie sich dieVerringerung der
Steigungauf die Streckenlänge auswirkt.
Die Schlossalmbahn besitzt 2 Wägen, wobei sich jeweils ein Wagen bei der Bergstation befindet,
wenn der andere bei der Talstation steht. In einem Wagen der Schlossalmbahn werden maximal
100 Personen befördert. Die Fahrzeit von der Talstation zur Bergstation beträgt 3,51 Minuten
(min). Berechnen Sie, wie viele Personen maximal pro Stunde von der Tal- zur Bergstation
befördert werden können, wenn pro Fahrt zum Ein- und Aussteigen zusammen durchschnittlich
3,72 Minuten gebraucht werden.
sin  = Error! = arcsin Error! = 21,5°
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s = Error! =
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Error!
maximal 800 Personen
308
Eine der europaweit steilsten Downhillstrecken fur Mountainbiker/innen findet man in der Nordkette bei
Innsbruck. Sie führt von der Seegrube (1 905 Meter über dem Meeresspiegel) zur Hungerburg (875 Meter über
dem Meeresspiegel).
a)
Die Seilbahn, die die Biker/innen nach oben befordert, hat – bei angenommener geradliniger Verbindung
zwischen der Seegrube und der Hungerburg – eine Lange von ungefahr2 885 Metern (m). Bestimmen Sie
auf Grad gerundet den Steigungswinkel der Bahnlinie zwischen der Hungerburg und der Seegrube.
(20,9°)
b)
Die Downhillstrecke für die Mountainbiker/innen ist 4.200 m
lang. Im Jahr 2011 lag die Rekordzeit für die Bewältigung der
Rennstrecke bei 9 Minuten und 27 Sekunden. Berechnen Sie für
diesen Fall die durchschnittliche Geschwindigkeit des Bikers in
Kilometern pro Stunde (km/h). (27 km/h)
c)
Die Rennstrecke von der Seegrube zur Hungerburg ist sehr steil
und hat Felssprünge und Stufen. Es gibt daher dort kurze
Streckenabschnitte mit einem Gefalle von 100 % und mehr.
Erklären Sie anhand einer Skizze, was man unter einem Gefälle
von 100 % versteht, und geben Sie die Größe des zugehörigen
Winkels an. Schatzen Sie ab, auf wie viel Prozent Gefälle der eingezeichnete Winkel im Bild ungefähr
schließen lässt. (–45°
ca. 58 %)
309
Mithilfe der Section Control
können
Geschwindigkeitsbeschränkunge
n wirksam kontrolliert werden.
Interpretieren Sie, ob der
Autofahrer die vorgeschriebene
Geschwindigkeit von 80
Kilometern pro Stunde (km/h)
eingehalten hat.
Entnehmen Sie die notwendigen
Informationen der Grafik.
Die Polizei führt eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Auf einer Messstrecke von 200 m werden die
Durchfahrtszeiten t in s gemessen. Es gilt v(t) = Error!, v … Geschwindigkeit in m/s, t … Durchfahrtszeit in s
Erstellen Sie ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für Durchfahrtszeiten von 0 s bis 40 s. Entnehmen Sie dem
Graphen, welche Durchfahrtszeit eine Autofahrerin bei einer Geschwindigkeit von 25 m/s benötigt, und welche
Geschwindigkeit man fährt, wenn für die Messstrecke 20 s gemessen werden.
Bei der Geschwindigkeitsmessung mit einer Laserpistole wird aufgrund des Standorts der Pistole ein Winkel α
zwischen der Mess- und der Fahrtrichtung des Autos auftreten. Dieser Winkel bewirkt, dass die gemessene
Geschwindigkeit nicht exakt der tatsächlichen Fahrtgeschwindigkeit entspricht. Es gilt v g = vt cos α ,
vg … gemessene Geschwindigkeit in km/h
vt … tatsächliche Geschwindigkeit in km/h
 … Winkel zwischen Fahrt- und Messrichtung
Berechnen Sie den Messfehler in km/h für eine tatsächliche Geschwindigkeit von 90 km/h bei einem Winkel von
1° und bei einem Winkel von 15°. Argumentieren Sie, wie sich die Größe des Winkels auf das Messergebnis und
auf die Größe des Messfehlers auswirkt.
(120 km/h nicht eingehalten, 8 s, 10 m/s, 0,01 km/h
3,07 km/h)
310
© Mag. Wolfgang Streit
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a)
Interpretieren Sie die Grafik und finden Sie einen passenden Angabetext, aus dem diese Skizze entwickelt
werden kann.
b)
Berechnen Sie die Flughöhe x des Ballons in Metern (m). (600 m)
c)
Der Balkon steigt vom Startplatz aus mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 2,3 Metern pro
Sekunde (m/s) senkrecht nach oben. Stellen Sie die Funktion, die die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit
beschreibt, grafisch dar. Lesen Sie die Höhe ab, die der Balkon nach einer halben Stunde erreicht.
(s(t) = 2,3t )
© Mag. Wolfgang Streit
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