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Aufgaben- und Formelsammlung zur Lehrveranstaltung ELEKTROMAGNETISCHES FELD Eine Einführung Technischen Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Der echte Schüler lernt aus dem Bekannten das Unbekannte zu entwickeln und nähert sich dem Meister. Johann Wolfgang von Goethe c W.G. Büntig, Version 29. März 2016 Copyright E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 3 E LEKTROSTATIK 1 Mathematische Grundlagen/Elektrostatik 1.1 Aufgabe – Wiederholung. math. Grundlagen der Vektoranalysis Wiederholung und Zusammenfassung der für die Feldtheorie notwendigen mathematischen Grundlagen. Erläutern Sie dabei speziell folgende Begriffe: • Koordinatensysteme (kartesische Koordinaten, Zylinderkooerdinaten, Kugelkoordinaten), metrische Kooeffizienten, Transformation der Koordinaten und Tangenten-Einheitsvektoren, graphische Darstellung von Skalar- und Vektorfeldern • Ortsvektor, Linienelement, Flächenelement, Volumenelement 1.2 Aufgabe – Mathematische Grundlagen Bestimmen Sie die Divergenz und Rotation des Vektorfeldes ~v = r~r in kartesischen und sphärischen Koordinaten, wenn mit ~r der Ortsvektor bezeichnet wird! Resultat: rot ~v = ~0 div ~v = 4 r 1.3 Aufgabe – Mathematische Grundlagen Ermitteln Sie für kartesische Koordinaten die speziellen Zusammenhänge: rot grad ϕ( x, y, z); Resultat: rot grad ϕ ≡ ~0; div grad ϕ( x, y, z); div grad ϕ = ∆ ϕ; div rot ~v( x, y, z); div rot ~v ≡ 0; rot rot ~v( x, y, z) rot rot ~v = grad div ~v − ∆ ~v 1.4 Aufgabe – Math. Grundlagen/Elektrostatik, Gaußscher Satz, Divergenz, Rotation Eine dielektrische Kugel mit dem Radius R befindet sich in Luft und habe in ihrem Inneren eine konstante Raumladung $. (a) Berechnen Sie das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb der Kugel mit dem Gaußschen Satz der Elektrostatik! (b) Ermitteln Sie die Quellen und Wirbel des Feldes! 3 ~Ei = $r~er ~Ea = $R ~er div ~Ei = $ div ~Ea = 0 rot ~Ei = rot ~Ea = ~0 Resultat: 3ε ε 3ε 0 r2 1.5 Aufgabe – Mathematische Grundlagen/Divergenz, Rotation Ein langer Leiter mit kreiszylindrischem Querschnitt und einem Radius r0 wird vom Gleichstrom I durchflossen. Infolge des Stromes bildet sich innerhalb und außerhalb des Leiters ein magnetisches Feld aus. ~i = H I r ~eα 2πr02 r ≤ r0 ; ~a = H I ~eα 2πr r ≥ r0 Ermitteln Sie die Quellen und Wirbel der magnetischen Feldstärke innerhalb und außerhalb des Leiters. Resultat: ~ i = div H ~a = 0 div H ~ a = ~0 rot H ~ i = Jz ~ez rot H 1.6 Aufgabe – Gaußscher Satz Ein koaxiales Hochspannungskabel (Radius Innenleiter a, Radius Außenleiter b) besitzt nur eine radiale Komponente der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstante ε. Der Außenleiter sei geerdet und zwischen den Leitern liege die Spannung U an. (a) Berechnen Sie die Feldstärke im Dielektrikum. Wo hat die Feldstärke ein Maximum? (b) Berechnen und skizzieren Sie den Potentialverlauf im Dielektrikum. ~r U U b ~E = Resultat: ϕ ( r ) = ln ln(b/a) r2 ln(b/a) r Version 29. März 2016 D R . W.G. B ÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET 4 E LEKTROSTATIK E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 1.7 Aufgabe – Gaußscher Satz Ein langer, dielektrischer Zylinder mit dem Radius R und der Dielektrizitätskonstanten ε i habe in seinem Inneren eine konstante Raumladung $. Das Material der Umgebung des Zylinders ist Luft. Berechnen Sie die Feldstärkeverteilung innerhalb und außerhalb des Zylinders und stellen Sie diese graphisch dar. $r $R2 Resultat: Ei = Ea = 2ε i 2ε 0 r 1.8 Aufgabe – Superposition In einem Dielektrikum ε befinden sich in den Punkten P1 und P2 zwei Punktladungen mit den Vorgaben Q1 = − Q in P1 (− a, 0, 0) und Q2 = + Q in P2 ( a, 0, 0). Die Angaben gelten unter Voraussetzung eines kartesischen Koordinatensystems. (a) Wie groß ist das Potential in einem beliebigen Punkt P( x, y, 0)? (b) Wie groß sind die Komponenten des Vektors der elektrischen Feldstärke in dem selben Punkt? (c) Berechnen Sie die Kraft, die auf eine Probeladung Q3 = + Q wirkt, die sich im Punkt P3 (0, b, 0) befindet. Diskutieren Sie wie eine Polaritätsänderung von Q3 (= | Q|) bzw. Q1 (= | Q|) die Kraftwirkung auf Q3 ändert. Q 1 − Q Q3 a 1 ~F = p ~ex Resultat: ϕ= −p 2 2 2 2 4πε 2πε [( x + a)2 + y2 ]3/2 ( x − a) + y ( x + a) + y 1.9 Aufgabe – Superposition Eine positive Ladung Q ist gleichmäßig auf einem sehr dünnen, ringförmigen Draht mit dem Radius R verteilt. z R y x Q (a) Bestimmen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke in einem Punkt auf der z-Achse (Symmetrieachse der Anordnung)! (b) Stellen Sie die Abhängigkeit ϕ(z) und der zKomponente Ez (z) der elektrischen Feldstärke graphisch dar! Resultat: ϕ= Q √ 4πε z2 + R2 Ez = Qz 4πε z2 + R2 3/2 1.10 Aufgabe – Superposition Ein dünner Streifenleiter ist mit einer näherungsweise gleichförmig über die Leiteroberfläche verteilten Ladung Q geladen. Die Dicke (Stärke) des Streifens δ ist sehr viel kleiner als seine Breite 2 a, so dass ersatzweise mit einer infinitesimal dünnen Schicht der Länge l und der Breite 2 a gerechnet werden kann, welche die Flächenladungsdichte σ = Q/(2a l ) trägt. x Der Streifenleiter kann näherungsweise als unendlich (sehr lang) angenommen werden. Der Schnitt in der nebenstehenden Skizze soll nur die Anordnung und Lage des Koordinatensystems verdeutlichen. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke über der Mitte des Leiters, also entlang der x-Achse der Skizze. ~E = σ arctan a ~ex Resultat: πε x P(x,0,0) a a δ y 1.11 Aufgabe – Direkte Integration Lösen Sie die Aufgabe 1.6 mittels direkter Integration der Laplace-Gleichung in einem dafür geeigneten Koordinatensystem. U b Resultat: ϕ (r ) = ln ln(b/a) r TU Ilmenau, EI/TET D R . W.G. B ÜNTIG Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 5 E LEKTROSTATIK 1.12 Aufgabe – Direkte Integration Lösen Sie die Aufgabe 1.7 mittels direkter Integration der Feldgleichung in einem dafür geeigneten Koordinatensystem. Resultat: siehe zuvor 1.13 Aufgabe – Direkte Integration Direkt vor einer unendlich ausgedehten Metallebene befindet sich isoliert eine rotationssysmmetrische Spitzenelektrode (Nadel) mit der normierten Spannung U = 1. z Berechnen Sie durch Integration der LaplaceGleichung die Potential- und Feldstärkeverteilung ϑ ϕ= U in der Umgebung der Elektrode! P(r,ϑ) ϑ0 ϑ Resultat: ϕ(ϑ ) = C1 ln tan + C2 r 2 ϕ= 0 111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 ~E = Eϑ ~eϑ = − C1 ~e r sin ϑ ϑ 1.14 Aufgabe – Gaußscher Satz/direkte Integration Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrisch angeordneten, metallischen Kugeln zwischen denen sich ein homogenes, ladungsfreies Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten ε befindet. Die äußere Kugel mit dem Radius r a ist geerdet; die innere Kugel mit dem Radius ri habe das Potential ϕ = U. Berechnen Sie Potential und Feldstärke im Dielektrikum durch (a) direkte Integration der Differentialgleichung, (b) Anwendung des Gaußschen Satzes. Skizzieren Sie den Verlauf des Potential und der Feldstärke in Abhängigkeit vom Radius im Intervall 0 ≤ r ≤ r a in einem Diagramm. Uri r ra ra ϕ (r ) = Resultat: E (r ) = U 2 i −1 r a − ri r r (r a − ri ) 1.15 Aufgabe – Direkte Integration In einem idealen Plattenkondensator (keine Randverzerrungen) sei das Dielektrikum, wie im Bild dargestellt geschichtet. (a) Berechnen Sie den Potentialverlauf durch direkte Integration der Laplaceschen Differentialgleichung! (b) Berechnen Sie die Feldstärke in den beiden Dielektrika ! U (c) Skizzieren Sie den Verlauf von Potential und Feldstärke ε2 ε1 im Kondensator für ε 1 = 2 ε 2 ! d1 d2 Resultat: für ε 1 : ; ϕ1 ( x ) = A1 x + B1 ~E1 = − A1 ~ex für ε 2 : ; ϕ2 ( x ) = A2 x + B2 ~E2 = − A2 ~ex d x 1.16 Aufgabe – Ladungsspiegelung Eine Punktladung Q befindet sich in einem Dielektrikum mit der Permitivität ε in einer Entfernung d vor einer unendlich ausgedehnten leitenden Oberfläche. 0 1 000000 111111 1 Q 0 0 1 0 1 0 1 0 1 d 101010 0 1 ε 0 1 0 1 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 0 1 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 ϕ = 0 Resultat: (a) Berechnen Sie mit der Methode der Spiegelung Potential und Feldstärke in einem beliebigen Punkt oberhalb der Fläche! (b) Wie groß ist die Ladungsdichte auf der Ebene? (c) Wie groß ist die gesamte Influenzladung auf der Ebene? Q 1 1 p ϕ= −p 2 2 2 2 2 4πε x + y + (z − d) x + y + ( z + d )2 Version 29. März 2016 D R . W.G. B ÜNTIG z≥0 TU Ilmenau, EI/TET 6 E LEKTROSTATIK E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 1.17 Aufgabe – Ladungsspiegelung Bestimmen Sie die Ersatzanordnungen zur Berechnung von Potential und Feldstärke im gesamten Raum! Geben Sie die Größe und Lage der Hilfsladungen an! Skizzieren Sie die bei der Berechnung erwarteten Feldbilder! 11 00 00 11 00 11 a 00 11 Q 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 b 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 ϕ 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 =0 (a) 111111111111111111111111 000000000000000000000000 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 α 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 α/2 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 Q 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 000 111 00 Q a 11 000 111 00 11 a 000 111 00 11 000 111 00 11 000 111 ϕ=0 00 11 000 111 00 11 000 111 00 11 a 000 111 00 11 000 111 00 11 000000000000000 111111111111111 000 111 00 00000000000000011 111111111111111 000 111 00 00000000000000011 111111111111111 (b) ϕ=0 11111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111 ϕ=0 00000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111 1010 1010 10 1010 10 Q 110010 1111 0000 10 00 11 00 1010 11 10 a 1010 1100 1010 a/2 1010 1010 1010 1010 1010 00000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000 ϕ = 0 11111111111111111111111111111111111111111 (c) (d) 1.18 Aufgabe – Ladungsspiegelung Ein sehr langer, dünner Draht ist mit der Linienladung τ aufgeladen und befindet sich vor einer geerdeten, metallischen Ecke. (a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke in einem beliebigen Punkt Metall in der Umgebung des Drahtes. (b) Berechnen Sie Betrag und Richtung der elektrostatischen Kraft, die auf den Draht wirkt. b τ ~ey τ 2 ~ex a2 b2 0 ~ Resultat: F = 1− 2 + 1− 2 a 4πε a b a + b2 a + b2 1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 1.19 Aufgabe – Ladungsspiegelung Ein langer Draht mit kreiszylindrischem Querschnitt befindet sich in einem Dielektrikum mit der Permittivität ε über einer ausgedehnten metallischen, geerdeten Platte. Zwischen der geerdeten Metallplatte und dem Draht liegt die Spannung U an. Er verläuft im Abstand h parallel zur Platte. Der Drahtradius rd sei sehr viel kleiner als der Abstand h. y (a) Berechnen Sie den Vektor der elektrische Feldstärke für einen beliebigen Punkt auf der y-Achse. (b) Skizzieren Sie die Feld- und Äquipotentiallinien der Anordnung, rd h 1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 Metall TU Ilmenau, EI/TET x Resultat: ~E = U y−h y+h ~ey − ln(2h/rd ) (y − h)2 (y + h)2 D R . W.G. B ÜNTIG Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD E LEKTRISCHES S TRÖMUNGSFELD 7 2 Elektrisches Strömungsfeld 2.1 Aufgabe – 1. Kirchoffscher Satz, Isolationsprobleme Ein Hochspannungs-Koaxialkabel ist hinsichtlich der Isolationsverluste zu untersuchen. Für das Kabel gelten die technischen Daten: Radius des Innenleiters ri = 10mm, Radius des Aussenleiters r a = 40mm, Kabellänge l = 1km, Spannung zwischen den Leitern U = 5kV und spezifische Leitfähigkeit des verlustbehafteten Dielektrikums κ = 5 · 10−9 Sm−1 . Berechnen Sie (a) den Isolationswiderstand, (b) die durch den Leckstrom verursachte Verlustleistung, (c) den Radius, der den Isolationswiderstand in zwei gleiche Teile teilt. √ ln(r a /ri ) Resultat: R= = 44, 2kΩ ; Pv = 567W ; r = r a ri = 20mm 2π κ l 2.2 Aufgabe – 1. Kirchoffscher Satz Berechnen Sie den Verlustwiderstand zwischen den Elektroden eines Kugelkondensators dessen verlustbehaftetes Dielektrikum eine spezifische Leitfähigkeit κ hat. Der Radius der inneren Kugel sei ri , der der äußeren r a . Der Einfluss der Zuleitung soll vernachlässigt werden. 1 r a − ri Resultat: R= 4π κ ri r a 2.3 Aufgabe – Punkteinströmung Eine punktförmige Einströmung im Raum mit dem Material κ speist einen Gleichstrom I ein. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke und das Potential in einem beliebigen Punkt und den Übergangswiderstand zum unendlich entfernten Punkt. Resultat: ϕ= I 4πκr ~E = I ~r 4 π κ r3 Rü = 1 4 π κ r0 2.4 Aufgabe – Punkteinströmung,Spiegelung Eine Punkteinströmung befindet sich in einem unendlich ausgedehnten Halbraum mit der spezifischen elektrischen Leitfähigkeit κ im Abstand a vor (a) einer unendlich leitfähigen (sehr gut leitenden) Grenzschicht, (b) einem Isolator. Bestimmen Sie die Ersatzanordnung und berechnen Sie die elektrische Feldstärke an der Grenzschicht (Grenzschicht in der yz - Ebene). Diskutieren Sie das Ergebnis. a y ~Ea = I ~Eb = I p p ~ex ~ey Resultat: 2 π κ ( y2 + a2 )3 2 π κ ( y2 + a2 )3 2.5 Aufgabe – Punkteinströmung In einer elektrolytischen Lösung mit der spezifischen Leitfähigkeit κ befindet sich eine kugelförmige Metallelektrode mit dem Radius r0 im Abstand a vor einer näherungsweise unendlich ausgedehnten metallischen Plattenelektrode. Der Abstand a sei sehr groß im Vergleich zum Radius r0 der Kugel. Die spezifische Leitfähigkeit der Metallelektroden ist sehr viel größer als die des Elektrolyten, so dass die spezifische Leitfähigkeit der Metallelektroden näherungsweise als unendlich angenommen werden kann. Berechnen Sie den ohmschen Widerstand zwischen den Elektroden. a − r0 Resultat: R= 2π κ r0 (2a − r0 ) 2.6 Aufgabe – Punkteinströmung Ein Wasserleitungsrohr mit d = 5cm Durchmesser und l = 100m Länge ist in h = 2m Tiefe horizontal als Erder eingegraben. Die spezifische Leitfähigkeit sei κ = 10−2 Sm−1 . Im Störungsfall wird über den Erder ein Strom von 700A in die Erde eingespeist. Berechnen Sie die Schrittspannung Us (Schrittlänge 80cm) an der Erdoberfläche und stellen Sie die Schrittspannung in Abhängigkeit vom Ort graphisch dar. I ( x + s )2 + h2 Resultat: Us = ln 2π κ l x 2 + h2 Version 29. März 2016 D R . W.G. B ÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET 8 S TATIONÄRES M AGNETFELD E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 3 Stationäres Magnetfeld 3.1 Aufgabe – Durchflutungsgesetz Berechnen Sie die magnetische Feldstärke innerhalb und außerhalb eines stromdurchflossenen Leiters mit kreiszylindrischem Querschnitt (Radius rd ). Die Stromdichte ist in gesamten Leiter konstant. Stellen Sie die magnetische Feldstärke in Abhängigkeit vom Radius graphisch dar. ~ a = I e~α ~ i = I r e~α ; H Resultat: H 2πr 2πrd 2 3.2 Aufgabe – Vektorpotential Die Skizze zeigt zwei parallele Leiterabschnitte, die in gleicher Richtung von gleich großen Strömen I durchflossen werden. Die übrigen Bestandteile der Stromkreise sind nicht dargestellt. z Berechnen Sie das von den Leitungsstücken hervorgerufene Vektory ~ p entlang der z−Achse der Skizze. potential A I I a a L x L Resultat: p ( a2 + L2 + z2 ] ~ p = µ0 I ln [ L + √ ~ey A 2π [− L + a2 + L2 + z2 ] 3.3 Aufgabe – Vektorpotential Die Skizze zeigt eine vom Gleichstrom I durchflossene Leiterschleife. Sie besteht aus zwei unendlich langen, parallelen Leitern mit dem Abstand 2 a zueinander und einem Verbindungsstück. y I P(x,0) Berechnen Sie das von der Leiterschleife hervorgerufene Vektorpotential in einem beliebigen Punkt entlang der positiven x −Achse. a a x Resultat: √ 2 2 ~ p = µ I ln a + √x + a ~ey A 4π − a + x 2 + a2 3.4 Aufgabe – Vektorpotential, Biot/Savart Ein gerader Leiter mit der Länge L und dem kreiszylindrischem Querschnitt A wird vom Strom I durchflossen. Der Punkt P befindet sich ausserhalb des Leiters genau über der Leitermitte im Abstand r$ von der Leiterachse. Berechnen Sie im Punkt P (a) das Vektorpotential, (b) aus dem Vektorpotential die magnetische Feldstärke und (c) mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart die magnetische Feldstärke. q " # ( l/2 ) + r$2 + (l/2)2 µ I 0 ~p = ~ = I q (l/2) ~ez ; ~eα Resultat: A ln H 2π r$ 2πr$ r2 + (l/2)2 $ 3.5 Aufgabe – Biot/Savart Eine quadratische und eine kreisförmige Drahtschleife werden in der dargestellten Weise jeweils vom Strom I durchflossen. z Berechnen Sie mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart den beiden 2a Anordnungen die magnetische Feldstärke für einen beliebigen 2a Punkt auf der z-Achse! I y 2 a2 ~ = I p ~ez Resultat: H 2 π ( a2 + z ) 2 a2 + z2o x 0 z R 2 ~ = I q R ~ez H 2 ( R2 + z2 )3 y 0 I x TU Ilmenau, EI/TET D R . W.G. B ÜNTIG Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD S TATIONÄRES M AGNETFELD 9 3.6 Aufgabe – Berechnung des Magnetflusses Eine Drahtschleife befindet sich symmetrisch in der Höhe h über einer unendlich langen ParallelDrahtleitung, die vom Gleichstrom I durchflossen wird. Die rechteckförmige Drahtschleife habe die Abmessungen a, b und der Abstand zwischen den Leitern sei 2d, wie in der Skizze dargestellt. Skizzieren Sie das Feldbild in der xy-Ebene und y berechnen Sie den von der Leiterschleife a, b umfassten Fluss. b " # 2 + ( d + a )2 I I h µbI 2 a Resultat: Φ= ln 2 2π h + (d − 2a )2 h r r d d d d x 3.7 Aufgabe – äußere Induktivität Berechnen Sie die äußere Induktivität pro Längeneinheit eines Koaxialkabels mit dem inneren Radius ri und dem äußeren Radius r a . Aus welchen Anteilen setzt sich die Gesamtinduktivität zusammen? µ0 ra Resultat: L0 = ln 2π ri 3.8 Aufgabe – äußere Induktivität Berechnen Sie die äußere Induktivität pro Längeneinheit einer sehr langen geraden ParalleldrahtLeitung. Die relative Permeabilität des Isolationsmaterials ist y µr = 1. Der Radius des Drahtes sei rd und der Abstand der Leiter voneiander a, wie in nebenstehender Skizze L1 L2 dargestellt. rd rd a − rd µ0 0 ln Resultat: L = π rd x a/2 a/2 3.9 Aufgabe – äußer Induktivität, Spiegelung Vor einer hochpermeablen Wand befindet sich in Luft eine sehr lange Doppelleitung, die einen geschlossenen Stromkreis bildet. rd rd d Berechnen Sie die äußere Induktivität der Doppelleitung pro Längeneinheit. µ0 d − rd 2a + d − rd 2( a + d ) − r d Resultat: L0 = 2 ln + ln − ln 2π rd 2a + rd 2a + d + rd 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 a 3.10 Aufgabe – innere Induktivität Berechnen Sie die innere Induktivität einer Doppelleitung aus zwei Drähten mit kreiszylindrischem Querschnitt, der Länge l und dem Radius rd . µ0 l Resultat: Li = 4π Version 29. März 2016 D R . W.G. B ÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET 10 S TATIONÄRES M AGNETFELD E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 3.11 Aufgabe – Kraftberechnung Ein vom Gleichstrom I3 durchflossener Leiter L3 verläuft parallel zu einer Zweidrahtleitung in deren Hin- und Rückleiter der Gleistrom I1 = I bzw. I2 = − I fließt. Der Abstand der Leiter der Zweidrahtleitung beträgt 2d, der Leiter L3 befindet sich an der Stelle x = a, y = b wie in der Skizze dargestellt. y a L3 Die Leiter sind im Vergleich zu den Abständen sehr lang. Die Richtungen der Ströme sind der Skizze zu entnehmen. Berechnen Sie b L1 L2 d Resultat: x d ~f = µ I I3 2π (a) die von der Zweidrahtleitung erzeugte magnetische Flussdichte am Ort des Leiters L3 und (b) die Komponenten der auf den Leiter L3 wirkenden Kraft pro Länge. a+d b b a−d − e~x + − e~y ( a − d )2 + b2 ( a + d )2 + b2 ( a − d )2 + b2 ( a + d )2 + b2 3.12 Aufgabe – Kraftberechnung Ein Erder ist kurz vor dem Eintritt in das Erdreich abgewinkelt, wie in der Skizze dargestellt. Zur Vereinfachung kann der Erder als dünner Leiter betrachtet werden. Einflüsse von der Stromzuführung zum Punkt A und der Ströme in der Erde dürfen vernachlässigt werden. Berechnen Sie den Vektor der Kraft auf ein Leiterelement dy um den beliebigen Punkt P auf y dem senkrechten Leiterstück der Länge a. a x A b P I 1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 Problem: Gültigkeit der Feldberechnung im Bereich der 90◦ Biegung des Leiters! Resultat: d~F = µ I 2 b dy p ~ex 4 π y y2 + b2 3.13 Aufgabe – magnetisierbare Materie im Magnetfeld Ein zylindrischer Dauermagnet sei in axialer Richtung homogen magnetisiert. Der Polarisationsvektor ~J p sei über den Zylinder konstant (siehe Skrizze). Es gelte: h = 20 mm R = 10 mm J p = 1, 1 Vs/m2 (a) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke entlang der Achse z des Magneten (a1 ) mit der Mengentheorie und (a2 ) mit der Elementarstromtheorie. (b) Wie groß muß die Flächenstromdichte einer einlagigen ZylinR y derspule mit den gleichen Abmessungen sein, damit dasselbe Jp äußere Feld erzeugt wird? (c) Wie groß müßte im Fall (b) die Stromdichte sein, wenn die Spuh x le aus Draht mit einem Durchmesser von 0, 75 mm angefertigt werden soll? Resultat: ~ = H TU Ilmenau, EI/TET Jp z0 + h/2 z0 − h/2 p p ~ez − 2 µ0 R2 + (z0 + h/2)2 R2 + (z0 − h/2)2 D R . W.G. B ÜNTIG Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 11 Q UASISTATIONÄRES F ELD 4 Quasistationäres Feld 4.1 Aufgabe – Poyntingvektor Für ein Koaxialkabel mit dem Innenradius r1 , dem Außenradius r2 und der Länge l soll unter der Annahme idealer Leitermaterialien mit Hilfe des Poyntingschen-Vektors der Nachweis geführt werden, daß (a) die transportierte Leistung in einem verlustlosen Kabel Pü = Uq I ist und (b) bei Berücksichtigung der Verluste die Verlustleistung des Innenleiters gleich der Joulschen Wärme Pv = Rv I 2 ist. Die z−Achse des Koordinatensystems befindet sich in der Mittelachse des Leiters! ( a) ~Sm Resultat: − = Emr Hmα ~ez I I ~er 2 2 π r1 κ π r1 = Uq Uq 1 1 ~ez r ln(r2 /r1 ) R L 2 π r (b) ~Si (r = r1 ) = 4.2 Aufgabe – Diffusionsprobleme z In einem unendlich ausgedehnten, metallischen Halbraum fließt pro µ = µ0 Längeneinheit x ein sinusförmiger Strom Ie f f in z−Richtung. Berechx ae = 0 nen Sie den Strom i (t) in Abhängigkeit von y. 111111111111Hinweis: Lösen Sie die Diffusionsgleichung für die Stromdichte unter Beach000000000000 ae = 0 µ J, I tung der Randbedingungen und leiten Sie daraus einen Ausdruck für den Strom pro Längeneinheit in x −Richtung ab. y Jmax i0∠ (t) = √ δ e− j π/4 e j ω t 2 Resultat: 4.3 Aufgabe – Diffusionsprobleme Mit Hilfe der für die Stromdichte ermittelten Beziehung in einem unendlichen, leitenden Halbraum (Aufgabe 4.2) bestimme man den Poyntingschen Vektor an der Leiteroberfläche. Hinweis: Berechnen Sie aus der Stromdichte über die Maxwellschen Gleichungen zuerst die elektrische und die magnetische Feldstärke! J2 δ Index 0 = ˆ y = 0 für die Leiteroberfläche Resultat: S0 = max 4κ 4.4 Aufgabe – Diffusionsprobleme Berechnen Sie den Verlauf der Induktion ~B und der Stromdichte ~J in einem zweiseitig begrenzten, sonst aber sehr weit ausgedehnten, gut leitenden Medium, wenn ~B parallel zu den Grenzflächen verläuft und der Betrag ein sinusförmiges Zeitverhalten aufweist. Außerhalb des Bleches existiert ein in z−Richtung orientiertes, homogenes Magnetfeld ~ 0 . Die parallelen Grenzflächen haben den Abstand d. y H B z J x d Resultat: Bz∠ cosh (1 + j) x/δ ; = µ0 H0 cosh (1 + j) (d/2)/δ Version 29. März 2016 Jy∠ 1 sinh (1 + j) x/δ = − H0 (1 + j) δ cosh (1 + j) (d/2)/δ D R . W.G. B ÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET 12 W ELLENAUSBREITUNG AUF L EITUNGEN E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 5 Wellen auf Leitungen 5.1 Aufgabe – besondere Betriebszustände der Leitung Berechnen Sie Spannungs- und Stromverläufe u( x ? , t) und i ( x ? , t) einer kurzgeschlossenen verlustlosen Leitung in Abhängigkeit vom Abstand x ? zur Kurzschlussstelle (−l ≤ x ? ≤ 0). Stellen Sie u( x ? ), i ( x ? ) für ωt = 0, π/6, π/3, π/2 graphisch dar! Û Resultat: u( x ? , t) = 2 Û sin( βx ? ) cos(ωt − π/2) ; i( x? , t) = 2 cos( βx ? ) sin(ωt) Zc 5.2 Aufgabe – Anpassungsprobleme Zwei nahezu verlustfreie Leitungen mit den charakteristischen Impedanzen Zc1 = 240 Ω und Zc2 = 60 Ω sind reflexionsfrei miteinander zu verbinden. Die Leitungen werden zur Übertragung von Signalen mit der Frequenz f = 300 MHz benutzt; die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle im Kabel ist v = 2, 2 · 108 ms−1 . Berechnen Sie die charakteristische Impedanz und die Länge eines Leitungsstückes zur Anpassung. Resultat: ZC∠ = 120 Ω ; l = 18, 3 cm 5.3 Aufgabe – Reflexionsfaktor, Eingangsimpedanz Ein näherungsweise verlustloses Kabel von 2 m Länge und einer charakteristischen Impedanz von 50 Ω ist mit einer Lastimpedanz ZL∠ = (70 − j 60) Ω abgeschlossen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit entlang des Kabels beträgt v = 2, 2 · 108 ms−1 bei einer Signalfrequenz f = 100 MHz. Berechnen Sie Betrag und Phase des Reflexionsfaktors und die Eingangsimpedanz der Leitung. Resultat: r∠ = 0, 47 e− j 0,786 ; Ze∠ = (114, 71 + j 48, 65) Ω 5.4 Aufgabe – Lastimpedanz Eine verlustlose Leitung mit der charakteristischen Impedanz ZC = 50 Ω und der Länge l = 2 m ist mit einer unbekannten Last abgeschlossen. Am Eingang der Leitung wird die Impedanz Ze∠ = (115 + j 50) Ω gemessen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit entlang der Leitung beträgt v ph = 2, 2 108 m/s bei der Signalfrequenz von f = 100 MHz. Berechnen Sie aus diesen Angaben die Lastimpedanz ZL∠ ! Resultat: ZL∠ = (70 − j 60, 8) Ω 5.5 Aufgabe – Anpassung An eine verlustlose Leitung mit der charakteristischen Impedanz ZC ist eine ohmsche Last R L angeschlossen. Die Leitung wird von einem Generator mit der Impedanz ZS gleich der Impedanz der Leitung gespeist. Wie muss die elektrische Länge β l der Leitung gewählt werden, damit der ohmsche Anteil der Eingangsimpedanz der Leitung gleich der Impedanz der Quelle ist? Wie könnte damit eine reflexionsfreie Anpassung der Leitung an den Generator erreicht werden? s Resultat: β l = arctan TU Ilmenau, EI/TET ZS RL D R . W.G. B ÜNTIG Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 13 W ELLENAUSBREITUNG IM R AUM 6 Wellen im Raum 6.1 Aufgabe – ebene Wellen, Reflexion an leitenden Ebenen Eine stufenförmige, homogene, ebene Welle wird dadurch erzeugt, daß man plötzlich zur Zeit t = 0 an der Stelle z = 0 ein konstantes elektrisches Feld wirksam werden läßt und es danach aufrecht erhält. Normal zur z−Richtung wird bei z = 600 m eine vollkommen leitende Ebene angebracht. Man zeichne die Gesamtwerte von Ex und ZF Hy über z bei t = 1 µs und t = 3 µs. Resultat: 6.2 Aufgabe – Reflexionsfaktor, Leitungsanalogie Eine TEM-Welle trifft aus der Luft kommend senkrecht auf ein homogenes, verlustfreies Dielektrikum mit unbekannter Material-Impedanz. Messungen ergeben, daß 10 % der einfallenden Leistung reflektiert werden. Wie groß ist die Impedanz des Dielektrikums? Resultat: Z = 196 Ω 6.3 Aufgabe – charakteristische Impedanz, Feldwellen - Impedanz Ein Koaxialkabel mit folgenden Daten: • Radius des inneren Leiters ri = 0, 5 mm • Innenradius des äußeren Leiters r a = 2 mm • rel. Dielektrizitätskonstante der Isolation ε r = 2, 76 kann näherungsweise als verlustlose Leitung angenommen werden. Berechnen Sie (a) die charakteristische Impedanz des Kabels und (b) den Feldwellen - Impedanz einer sich im Kabel ausbreitenden TEM-Welle. Resultat: Zc = 50 Ω ; Z f = 226, 6 Ω 6.4 Aufgabe – Reflexionen, Anwendung Leitungsanalogie (a) Berechnen Sie den Reflexionsfaktor und den prozentualen Anteil der einfallenden Energie, der wieder reflektiert wird, wenn eine homogene ebene Welle senkrecht auf eine dielektrische Antennenverkleidung der Dicke 1 cm und der Dielektrizitätskonstante ε r = 2, 8 fällt. Auf beiden Seiten des Dielektrikums sei freier Raum. Die Wellenlänge der homogenen Welle im freien Raum betrage λ = 20 cm. (b) Wiederholen Sie die Berechnung für λ = 10 cm und λ = 3 cm. (c) Bei welcher Wellenlänge treten keine Reflexionen an der Antennenverkleidung auf ? (d) Diskutieren Sie außerdem die Spezialfälle der Lösung (dielektrische λ/2 - Schicht, elektrische dünne Schicht bzw. λ/4 - Schicht) und praktische Anwendungen! Resultat: (a) Version 29. März 2016 r∠ = −0, 14 − j 0, 22 W % = 6, 77 % D R . W.G. B ÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET 14 TU Ilmenau, EI/TET W ELLENAUSBREITUNG IM R AUM D R . W.G. B ÜNTIG E LEKTROMAGNETISCHES F ELD Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 15 F ORMELSAMMLUNG Beziehungen im Elektromagnetischen Feld Punktladung unendlich lange Linienladung Q(~r 0 ) ϕ(~r ) = 4πε|~r −~r 0 | ϕ (r ) = − 0 0 ~E(~r ) = Q(~r ) (~r −~r ) 4πε|~r −~r 0 |3 τ ln r + C 2πε Er (r ) = τ 2πεr Kraftdichte an einer dielektrischen Grenzschicht ~f A = 1 Dn 2 1 − 1 − Et 2 ε 2 − ε 1 ~n 2 ε2 ε1 ε Analogiebeziehung zwischen elektrostatischem RC = und elektrischen Strömungsfeld κ Z ~ 0 allgemeine Lösung für das magnetische Vektorµ J (~r ) ~ Ap = dV potential 4π V |~r −~r 0 | I ~ dl × (~r −~r 0 ) µI ~B = Gesetz von Biot-Savart für linienhafte Leiter 4π L |~r −~r 0 |3 q Leitungen: Fortpflanzungskonstante γ∠ = ( R 0 + jωL 0 )( G 0 + jωC 0 ) s R 0 + jωL 0 Leitungen: Charakteristische Impedanz Zc ∠ = G 0 + jωC 0 ∠ ∠ U ∠ ( x ) = U1 ∠ (e−γ x + r∠ eγ x ) ∠ U1 ∠ −γ∠ x I ∠ (x) = (e − r∠ eγ x ) ∠ Zc Leitungsgleichungen Eingangsimpedanz der verlustlosen Leitung Ze ∠ = Zc Za ∠ + jZc tan( βl ) Zc + jZa ∠ tan( βl ) Feld des Hertzschen Dipols Er ∠ = Eϑ ∠ = I ∠ L − jkr Z0 1 e ( 2 + ) cos ϑ 2π r jωεr3 I ∠ L − jkr jωµ Z0 1 e ( + 2 + ) sin ϑ 4π r r jωεr3 I ∠ L − jkr jk 1 e ( + 2 ) sin ϑ 4π r r = Hr ∠ = Hϑ ∠ = 0 Hα ∠ = Eα ∠ Häufig benötigte Integrale zu den Aufgaben Z Z Z Z dx dx 1 x4 1 3 = ln( x ) ; =− ; x dx = ; e a x dx = e a x 2 x x 4 a x Z Z dx 1 x x dx 1 = arctan ; = ln( a2 + x2 ) 2 2 2 2 a a 2 (a + x ) (a + x ) Z Z p dx dx x √ √ = ln x + a2 + x2 ; = √ a2 + x 2 ( a2 + x 2 )3 a2 a2 + x 2 Z x dx 1 √ =−√ Ohne zusätzliche Integrationskonstanten! 2 2 3 2 ( a +x ) a + x2 Version 29. März 2016 D R . W.G. B ÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET 16 F ORMELSAMMLUNG E LEKTROMAGNETISCHES F ELD Tabelle 1: Differentialoperatoren in den gebräuchlichsten orthogonalen Koordinatensystemen kartesisch zylindrisch Gradient = + + ∂ϕ ~ex ∂x ∂ϕ ~ey ∂y ∂ϕ ~ez ∂z = + + sphärisch grad ϕ = ∇ ϕ ∂ϕ ~er ∂r 1∂ϕ ~eα r ∂α ∂ϕ ~ez ∂z Divergenz = + + ∂ νx ∂x ∂ νy ∂y ∂ νz ∂z = + + + + ∂νy ∂νz ~ex − ∂y ∂z ∂νz ∂νx ~ey − ∂z ∂x ∂νy ∂νx ~ez − ∂x ∂y + + 1 ∂ (r · νr ) r ∂r 1 ∂να r ∂α ∂ νz ∂z = + + ∂2 ϕ ∂ z2 TU Ilmenau, EI/TET + + + + = + + 1 ∂ (r2 · νr ) ∂r r2 1 ∂(sin ϑ νϑ ) r sin ϑ ∂ϑ 1 ∂ να r sin ϑ ∂ α (siehe auch Tabelle 2) 1 ∂νz ∂να ~er − r ∂α ∂z ∂νr ∂νz ~eα − ∂z ∂r 1 ∂(rνα ) ∂νr ~ez − r ∂r ∂α Laplaceoperator ∂2 ϕ ∂ x2 ∂2 ϕ ∂ y2 = = ∂ϕ ~er ∂r 1∂ϕ ~e r ∂ϑ ϑ 1 ∂ϕ ~eα r sin ϑ ∂ α div ~ν = ∇ · ~ν ×~ ~ν rot ~ν = ∇ × Rotation = = 1 ∂(να sin ϑ ) ∂νϑ ~er − r sin ϑ ∂ϑ ∂α 1 ∂(r να ) 1 ∂νr ~eϑ − r sin ϑ ∂α ∂r 1 ∂(r νϑ ) ∂νr ~eα − r ∂r ∂ϑ = + + ∆ϕ = ∇2 ϕ 1 ∂ ∂ϕ r r ∂r ∂r 1 ∂2 ϕ r 2 ∂ α2 ∂2 ϕ ∂ z2 D R . W.G. B ÜNTIG = + + 1 ∂ 2 ∂ϕ r ∂r r2 ∂r 1 ∂ ∂ϕ sin ϑ ∂ϑ r2 sin ϑ ∂ϑ 1 ∂2 ϕ r2 sin2 ϑ ∂ α2 Version 29. März 2016 E LEKTROMAGNETISCHES F ELD 17 F ORMELSAMMLUNG Tabelle 2: Die Rotation in Determinantenform in verschiedenen Koordinatensystemen Rotation in kartesischen Koordinaten ~ex ~ey ~ez ∂ ∂ ∂ rot ~ν = ∇ × ~ν = ∂ x ∂ y ∂ z νx νy νz Rotation in Zylinder - Koordinaten ~er r ~eα ~ez 1 ∂ ∂ ∂ rot ~ν = ∇ ×~ν = r ∂r ∂α ∂z ν rν ν r z α Rotation in Kugel - Koordinaten ~er r ~eϑ r sin ϑ ~eα 1 ∂ ∂ ∂ rot ~ν = ∇ ×~ν = 2 r sinϑ ∂ r ∂ ϑ ∂α ν r ν r sin ϑ ν r α ϑ Tabelle 3: Rechenregeln der Vektoranalysis und Integralsätze Rechenregeln Integralsätze grad( ϕ + ψ) = grad( ϕ · ψ) = ~ + ~B) div( A ~ × ~B) div( A ~) div( ϕ · A gradϕ + gradψ ϕ gradψ + ψ gradϕ ~ + div~B = div A ~ rot~B + ~B rot A ~ = −A = ~ +A ~ · gradϕ ϕ div A Satz von Gauß: Z I ~ ~ ~B · d A div B d V = V ~ + ~B) rot( A ~) rot( ϕ · A ~ rot rot A div gradϕ A ~ + rot~B = rot A ~ + gradϕ × A ~ = ϕ rot A = ~ − ∆A ~ grad div A = ∇2 ϕ = ∆ϕ Satz von Stokes: Z I ~ = ~B · d~l rot ~B · d A A L rot grad ϕ ≡ ~0 ~ div rot A = 0 Physikalische Naturkonstanten Version 29. März 2016 µ0 = 4 π · 10−7 Vs/Am D R . W.G. B ÜNTIG ε 0 = 8, 86 · 10−12 As/Vm TU Ilmenau, EI/TET
