5. Trigonometrie

5. Trigonometrie
Heutzutage kann man die Werte der Sinusfunktion mit jedem Taschenrechner bestimmen. Davor hat man Tabellen benutzt, in denen diese Werte tabelliert waren.
Solche Tabellen mussten berechnet werden, und dahinter steckte eine ganze Menge
Arbeit, insbesondere vor der Erfindung von Rechenmaschinen und Computern.
Die älteste “Sinustabelle” stammt von Hipparch1 ; dieser führte die babylonische Unterteilung des Vollkreises in 360◦ in die griechische Astronomie und Mathematik ein; entsprechend sind 1 Grad 60 Bogenminuten (1◦ = 600 ) und eine Bogenminute 60 Bogensekunden (10 = 6000 ). Hipparch benutzte dabei nicht die moderne
Sinusfunktion, sondern “Sehnen”, aber seine Werte lassen sich leicht umrechnen.
Die Tafeln von Hipparch sind nicht erhalten (Ptolemäus hat später genauere Tabellen angefertigt, und auch hier war das Bessere der Feind des Guten), aber aus
noch überlieferten Kommentaren glauben wir zu wissen, dass er die Sehnen von
Winkeln tabellierte, die Vielfache von 7,5◦ waren.
Hipparch betrachtete die zu einem Winkel α gehörige Sehne sn(α), und die
zum Komplementärwinkel α = 180◦ − α gehörige “Cosehne” csn(α). Die beiden
Skizzen zeigen, dass
α
α
sn(α) = 2 sin
und csn(α) = 2 cos
(5.1)
2
2
ist.
csn2 (α) + sn2 (α) = d2
1
cos2 (α) + sin2 (α) = 1
Hipparch von Nicäa (heute Iznik in der Türkei), etwa 190 – 125 v.Chr.
5.1 Satz des Ptolemäus
85
Aus dem Satz des Thales (sh. unten) und Pythagoras erhält man die fundamentale Beziehung
sn2 (α) + csn2 (α) = d2 ,
(5.2)
wo d der Durchmesser des betrachteten Kreises ist.
Aufgabe 5.1. Zeige sn(180◦ ) = d, sn(90◦ ) =
√1
2
· d, und sn(60◦ ) = d2 .
Um zu erklären, wie Hipparch seine Tafeln berechnen konnte, brauchen wir
etwas Geometrie, insbesondere den Satz des Ptolemäus.
Die ersten wirklichen Sinustabellen (im Gegensatz zu den “Sehnentabellen”
von Hipparch und Ptolemäus) wurden vom indischen Mathematiker Aryabhata
(5. Jhdt.) erstellt, der Vielfache von 3◦ 450 betrachtete, also die Schritte bei Hipparch noch einmal halbierte. Arabische Mathematiker studierten später sowohl die
griechischen, als auch die indischen Tabellen, und entschieden sich für den sinus
anstatt der Sehnen; von da aus gelangten sie schließlich nach Europa. Die ersten
eigenständig berechneten Sinustafeln gehen auf Regiomontanus2 zurück.
5.1 Satz des Ptolemäus
Die “Addition der Sehnen” bewerkstelligten die alten Griechen mit einer Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras, dem
Satz 5.1 (Satz des Ptolemäus). In einem Kreisviereck ABCD gilt
AC · BD = AB · CD + BC · AD.
2
Johannes Müller (1436–1476) wurde in Königsberg geboren und gab sich den latinisierten Namen Regiomontanus = Königsberger (später wurde es schick, sich seinen Namen
ins Griechische zu übersetzen; aus Holzmann wurde so Xylander, aus Neumann ein
Neander – man wird zugeben müssen, dass Neandertal auch etwas besser klingt als
Neumannstal). Er studierte schon als 12-Jähriger in Leipzig, danach in Wien, reiste
nach Italien, wo er in Venedig seine Sinustafeln veröffentlichte. Danach wurde er als
königlicher Bibliothekar nach Ungarn berufen, ging später nach Nürnberg, und wurde
schließlich von Papst Sixtus IV nach Rom berufen, wo er bei der Revision des julianischen Kalenders (der noch auf Julius Caesar zurückging) helfen sollte. Dort starb er
innerhalb eines Jahres, Gerüchten zufolge wurde er vergiftet.
86
5. Trigonometrie
Sind AC und BD Durchmesser des Kreises, so sind erstens die beiden Diagonalen AC = BD gleich lang, und zweitens die Winkel ^BAD = ^BCD rechte
Winkel nach dem Satz des Thales. Der Satz des Ptolemäus3 (oder, etwas griechischer transkribiert, Ptolemaios) besagt dann
2
2
2
AC = AB + BC ,
also gerade den Satz des Pythagoras.
Aufgabe 5.2. Was wird aus dem Satz des Ptolemäus, wenn A und D zusammenfallen?
Wir bemerken nebenbei, dass man im Ulmer Münster eine Skulptur von Ptolemäus aus dem 15. Jhdt. bewundern kann (sh. Fig. 5.1).
Der Beweis des Satzes des Ptolemäus, den wir geben wollen (sh. [13, S. 155]),
ist, wie man zugeben muss, recht kunstvoll: man hat keine Idee, wie man anfangen
soll, aber wenn man die richtige Hilfslinie einzeichnet, wird alles ganz einfach.
Sei E der Punkt auf AC, für welchen ^ADE = ^EDC ist. Wegen des Satzes
von Umfangs- und Zentrumswinkel sind ^DAB = ^DBC(= 21 ^DM C), und das
bedeutet, dass die beiden Dreiecke ADE und BCD in zwei Winkeln übereinstimmen, nach dem Satz der Winkelsumme im Dreieck also in allen dreien. Also sind
sie ähnlich, und wir können den Strahlensatz anwenden:
AB : BD = AE : CD,
also AB · CD = BD · AE.
(5.3)
Auch die Dreiecke EBC und ABD sind ähnlich, und wir erhalten wie eben
BC : BD = EC : AD,
also BC · AD = EC · BD.
Addieren wir die Gleichungen (5.3) und (5.4), erhalten wir
AB · CD + BC · AD = BD · (AE + EC) = BD · AC
3
Claudius Ptolemäus, 90–160 n.Chr., war Astronom und Mathematiker.
(5.4)
5.1 Satz des Ptolemäus
87
Fig. 5.1. Ptolemäus im Ulmer Münster. Foto von Thomas Mirtsch, Sept. 2009
wie behauptet.
Zurück zu Hipparch: wendet man den Satz des Ptolemäus auf das Sehnenviereck im nebenstehenden Diagramm an, so erhält man
d · sn(α + β) = sn(α)csn(β) + sn(β)csn(α).
(5.5)
Dies ist das Additionsthereom für Sehnen. Im Spezialfall α = β ergibt sich
d · sn(2α) = 2sn(α)csn(α).
Im Falle des Einheitskreises ist also
sn(2α) = sn(α)csn(α).
Quadriert man diese Gleichung und benutzt (5.2), erhält man
sn2 (2α) = sn2 (α)(4 − sn2 (α) = 4sn2 (α) − sn4 (α),
also
4 − sn2 (2α) = sn4 (α) − 4sn2 (α) + 4
= (sn2 (α) − 2)2
88
5. Trigonometrie
und damit
sn(α) = 2 ±
p
4 − sn2 (2α).
Durch das Quadrieren und anschließende Wurzelziehen ist eine zusätzliche Lösung
entstanden. Wegen sn(α) < 2 muss aber das negative Vorzeichen gelten, und wir
erhalten endlich die Halbierungsformel
p
sn(α) = 2 − 4 − sn2 (2α).
Wegen sn(180◦ ) = d = 2 folgt daraus nun nacheinander
α
180◦
90◦
45◦
sn(α)
√2
p 2√
− 2
q 2p
√
2− 2+ 2
22,5◦
Um auf sn(7,5◦ ) zu kommen, muss man mit α = 60◦ beginnen. Offenbar ist
sn(60◦ ) = 1 (gleichseitiges Dreieck!), und nun findet man
α
60◦
30◦
15◦
7,5◦
sn(α)
p 1 √
− 3
q 2p
√
− 2+ 3
r 2q
p
√
2− 2+ 2+ 3
Eine numerische Berechnung ergibt
sn(7,5◦ ) ≈ 0.130806.
Jetzt kann man mit der Additionsformel die Werte von sn(α) für alle Winkel α
berechnen, welche Vielfache von 7,5◦ sind.
Aufgabe 5.3. Verifiziere die Einträge für α = 37,5◦ und α = 52,5◦ in der folgenden Tabelle von Werten der Sehnenfunktion im Einheitskreis:
α
0
◦
7,5◦
15◦
22,5◦
30◦
37,5◦
sn(α)
α
0
r
◦
q
p
√
2− 2+ 2+ 3
q
p
√
2− 2+ 3
q
p
√
2− 2+ 2
p
√
2− 3
r
q
p
√
2− 2+ 2− 3
45
52,5◦
60◦
67,5◦
75◦
82,5◦
sn(α)
p
√
2− 2
r
q
p
√
2− 2− 2− 3
1
q
p
√
2− 2− 2
q
p
√
2− 2− 3
r
q
p
√
2− 2− 2+ 3
5.2 Trigonometrie
89
Diese Ausdrücke sollten nicht zu der Annahme verleiten, dass man alle Werte
der Sehnenfunktion durch derartige Wurzelausdrücke angeben kann. Tatsächlich
geht das, wie Gauß erstmals gesehen hat, nur für solche Winkel, die man mit Zirkel
und Lineal konstruieren kann. Insbesondere werden wir später in der Lage sein, aus
der Untersuchung des regelmäßigen Fünfecks die Werte von sn(72◦ ) (und mittels
der Halbierungsformel dann entsprechend für Winkel wie 36◦ , 18◦ und 9◦ ) in einer
solchen Weise anzugeben.
5.2 Trigonometrie
Trigonometrie bedeutet wörtlich4 “Dreiecksmessung”. Heutzutage verbinden wir
damit vor allem den Zusammenhang zwischen Winkeln und den Verhältnissen von
Seiten im rechtwinkligen Dreieck, auf denen die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen basieren.
Grundlegende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
In der Schule werden die trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
eingeführt: in diesen hängt das Verhältnis cb nur vom Winkel ab, aber nicht von
der Größe des Dreiecks: alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel α
sind ähnlich, und nach dem Strahlensatz sind somit die Verhältnisse cb in allen
rechtwinkligen Dreiecken mit dem Winkel α gleich. Also setzen wir
Gegenkathete
b
= ,
Hypotenuse
c
b
Gegenkathete
= ,
tan α =
Ankathete
a
sin α =
Ankathete
a
= ,
Hypotenuse
c
Ankathete
a
cot α =
= ,
Gegenkathete
b
cos α =
und entsprechend für β.
Direkt aus der Definition folgt
sin α =
b
= cos β,
c
was wegen β = 90◦ − α bedeutet, dass
sin α = cos(90◦ − α)
ist. Ebenso leicht folgt aus der Definition, dass
4
Natürlich kommt “tri” vom griechischen Wort für 3, das “metrie” von Messen, während
das “gon” für “Eck” steht und in der indogermanischen Sprachfamilie etwas gebogenes
bezeichnet. Das deutsche Wort Knie hat denselben Ursprung (man erklärt sich das
dadurch, dass in früheren Zeiten das Gebären oft in Kniestellung erfolgte), ebenso wie
das lateinische “genus” (Geschlecht; bei den alten Römern hat ein Vater ein Kind als
seinen Sohn anerkannt, wenn er ihn auf seine Knie setzte). Auch die Wörter Kind und
König haben denselben Stamm.
90
5. Trigonometrie
sin α
=
cos α
b
c
a
c
=
b c
b
· = = tan α
c a
a
gilt, und entsprechend ist natürlich
cot α =
cos α
1
=
.
tan α
sin α
Da in einem rechtwinkligen Dreieck immer 0 < α, β < 90◦ ist, sind die trigonometrischen Funktionen durch die obigen Gleichungen auch nur für Winkel
zwischen 0◦ und 90◦ definiert.
Der Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2 liefert nach Division durch c2 die fundamentale Beziehung
sin2 α + cos2 α =
a 2
c
+
b 2
c
= 1,
wobei sin2 α eine geläufige Abkürzung für (sin α)2 ist.
Die Definition am Einheitskreis
Euler hat die trigonometrischen Funktionen erstmals am Einheitskreis definiert
und diese Funktionen damit “zu Funktionen gemacht”; davor war sin α in erster
Linie ein Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck.
5.2 Trigonometrie
91
Die Koordinaten eines Punktes P auf dem Einheitskreis, für den OP mit der
x-Achse einen Winkel α bildet, sind gegeben durch (cos α, sin α). Der Tangens ist
die Länge der Strecke von (1|0) bis zum Schnittpunkt der Geraden OP und der
Tangente in (1|0) an den Kreis.
An diesen Skizzen kann man sofort ablesen, dass für Winkel zwischen 0◦ und
◦
90 alle drei Funktionen sin α, cos α und tan α positiv sind. Für Winkel zwischen
90◦ und 180◦ ist sin α weiterhin positiv, aber cos α und tan α werden beide negativ.
Aufgabe 5.4. Zeige am Einheitskreis, dass
sin x = √
für Werte 0 ≤ x <
π
2
tan x
1 + tan2 x
ist.
Mit Hilfe von (5.1) erhält man aus (5.5) übrigens sofort
2d sin
α+β
α
β
β
α
= 2 sin · 2 cos + 2 sin · 2 cos ,
2
2
2
2
2
also, wenn man α durch 2α und β durch 2β ersetzt, sowie den Einheitskreis (mit
d = 2) zugrunde legt,
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α.
Der Satz des Ptolemäus liefert also direkt das Additionstheorem der Sinusfunktion. Spezialisiert man zu β = α, erhält man daraus die Verdoppelungsformel
sin(2α) = 2 sin α cos α.
Der Sinussatz
Die trigonometrischen Funktionen sin α, cos α und tan α werden ursprünglich am
rechtwinkligen Dreieck definiert. Natürlich kann man diese Funktionen auf beliebige Dreiecke loslassen, wenn man eine Höhe einzeichnet. Dabei ergeben sich
zwei einfache Sätze, die bei der Berechnung beliebiger Dreiecke hilfreich sind: der
Sinussatz und der Cosinussatz.
Betrachten wir das nebenstehende Dreieck.
Sein Flächeninhalt ist A = 12 c · hc . Für die
Höhe hc gilt sin α = hc /b, also hc = b sin α,
und entsprechend hc = a sin β. Also ist
A=
1
1
bc sin α = ac sin β.
2
2
Division durch abc und Multiplikation mit 2
ergeben den
Der Sinussatz in seiner jetzigen Form wurde erstmals von dem arabischen Mathematiker Abu Nasr um 1000 n.Chr. bewiesen, der Cosinussatz (sh. unten) vom
persischen Astronomen Al Biruni.
92
5. Trigonometrie
Satz 5.2 (Sinussatz). In einem Dreieck ABC gilt
sin α
sin β
sin γ
=
=
.
a
b
c
(5.6)
Die letzte Gleichung in (5.6) haben wir zwar nicht direkt bewiesen, sie gilt aber
schon deswegen, weil sich am Beweis nichts ändert, wenn man a mit b, b mit c und
c mit a vertauscht.
Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Sinussatz wegen sin 90◦ = 1 nichts
anderes als die Definition des Sinus: sina α = 1c bedeutet ja gerade sin α = ac .
Natürlich kann man (5.6) auch in der Form
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
(5.7)
schreiben. Diese Formulierung ist etwas gefälliger, weil Ausdrücke wie sina a “Längen”
sind. In der Tat kann man sich fragen, welche “Länge” die drei Ausdrücke in (5.7)
denn repräsentieren. Natürliche Längen, die man einem Dreieck zuordnen kann
(und die nicht von der Wahl der Seiten abhängen), sind z.B. der Umfang, sowie
der Um- und der Inkreisradius.
Beim Herumspielen mit dem Umkreis wird man dann auch fündig: ist R der
Umkreisradius (dessen Mittelpunkt bekanntlich der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist), dann kann man an der Skizze folgendes ablesen:
In der Tat ist der Umfangswinkel
^ACB gleich dem halben Zentrumswinkel ^AM B; da das Dreieck AMB
gleichschenklig ist (denn AM = M B =
R ist der Umkreisradius), müssen die
Basiswinkel ^AM S = ^SM B gleich
sein, und wir finden γ = ^SM B. Da
das Dreieck SMB rechtwinklig ist, gilt
sin γ =
woraus
sin γ
c
R
SB
2R
=
=
,
c/2
c
MB
= 2R folgt.
Damit haben wir den Sinussatz verschärft:
Satz 5.3. In einem Dreieck mit Seitenlängen a, b, c, Winkeln α, β, γ, und Umkreisradius R gilt
a
b
c
=
=
= 2R.
(5.8)
sin α
sin β
sin γ
5.2 Trigonometrie
93
Die Verdoppelungsformel
Für sin α und cos α gibt es Formeln, die sin 2α bzw. cos 2α in Abhängigkeit von
sin α und cos α ausdrücken.
Um diese Beziehung herzuleiten, berechnen wir den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit b = c = 1 und a auf zwei Arten. Die beiden Basiswinkel
bezeichnen wir mit β, den Winkel an der Spitze mit 2α.
Einerseits ist A = 12 · 2ah, wobei h = cos α
ist wegen c = 1, und a = sin α. Also ist
A = sin α cos α.
Andererseits ist A = 12 chc = 21 hc (wieder
wegen c = 1), sowie hc = sin 2α. Vergleicht
man beide Formeln, erhält man
sin(2α) = 2 cos(α) · sin(α).
Satz 5.4. Für den Sinus gilt die Verdoppelungsformel
sin(2α) = 2 cos(α) · sin(α).
(5.9)
Daraus erhält man durch Ableiten (dazu muss man α im Bogenmaß messen)
das Pendant
cos(2α) = cos2 α − sin2 α,
(5.10)
eine Gleichung, die man auch algebraisch aus der ersten herleiten kann. Quadriert
man nämlich (5.9), folgt
1 − cos2 2α = sin2 2α = 4 cos2 α(1 − cos2 α),
also
cos2 2α = (1 − 2 cos2 α)2 .
2
◦
Wurzelziehen ergibt cos
√ 2α = ±(1 − 2 cos α). Für 0 ≤ α ≤ 45 ist die linke Seite
1
positiv und cos α ≤ 2 2, also muss
cos 2α = 2 cos2 α − 1 = cos2 α − sin2 α
gelten, und diese Gleichung gilt auch für Winkel größer als 45◦ .
Löst man cos 2α = 2 cos2 α − 1 nach cos α auf, erhält man die Halbierungsformel für den Cosinus:
r
1 + cos 2α
.
(5.11)
cos α =
2
94
5. Trigonometrie
Aufgabe 5.5. Leite durch Quadrieren von (5.9) und Benutzung von Pythagoras
die Halbierungsformel
r
1 − cos α
sin α =
2
für den Sinus her.
Aufgabe 5.6. Benutze die folgende Skizze
und den Satz von Umfangs- und Mittelpunktswinkel, um die Gleichung
tan
α
2
=
sin α
1 + cos α
zu beweisen.
Aufgabe 5.7. Leite ganz entsprechend die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen her.
Aufgabe 5.8. Benutze die Gleichung (5.11), um aus cos π2 = 0 die Werte
q
√
π
1√
π
1
cos =
2, cos =
2+ 2
4
2
8
2
zu berechnen. Wie geht es weiter?
Aufgabe 5.9. Berechne die Werte der trigonometrischen Funktionen, die in folgender Tabelle angegeben sind, durch wiederholte Anwendung der Halbierungsformel etc.:
α
sin α
cos α
tan α
0◦
15
◦
30
◦
0
1
2
90◦
1
3
1
2
1
2
p
2+
1
√
p
2+
√
1
2 3
√
1
2 2
1
2
√
1
2 2
√
1
2 3
◦
75◦
2−
√
1
2
45◦
60
p
3
1
2
p
2−
0
√
√
3
3
0
√
2− 3
√
1
3 3
1
√
3
√
2+ 3
∞
Der Cosinussatz
Der Cosinus-Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras mit eingebauter Umkehrung. Rechnerisch ist der Cosinussatz leicht zu beweisen. Dazu
betrachten wir das Dreieck, das wir schon zum Beweis des Sinussatzes benutzt
haben. Dort ist (bei β < 90◦ )
5.2 Trigonometrie
95
b2 = p2 + h2c = p2 + a2 − q 2 .
Mit p = c − q wird daraus
b2 = (c − q)2 + a2 − qr = a2 + c2 − 2cq.
Wegen cos β =
q
a
ist q = a cos β, also
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β.
Vertauscht man die Buchstaben zyklisch (a → b, b → c, c → a und damit β → γ),
erhält man den
Satz 5.5 (Cosinus-Satz). In einem Dreieck mit den Seiten a = BC, b = AC und
c = AB gilt
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ,
wo γ = ^ACB.
Ist γ = 90◦ , so ist cos γ = 0, und wir erhalten den Satz des Pythagoras zurück.
Im Spezialfall β = 0 wird aus dem Cosinussatz übrigens eine binomische Formel –
welche?
Der Ausdruck 2ab cos γ repräsentiert eine Fläche; der obige rechnerische Beweis
sagt uns allerdings nicht, um welche Fläche es sich handelt. Der nächste Beweis,
der dem Euklidischen Beweis des Satzes von Pythagoras nachgebaut ist, erklärt in
dieser Hinsicht mehr.
Wie bei Euklids Beweis zeigt man (im
Falle γ < 90◦ ), dass die Rechtecke
ADEF und AHIJ, sowie die Rechtecke
EFBG und BKLM denselben Flächeninhalt besitzen (die drei Linien im Dreieck sind die Höhen, die sich bekanntlich in einem Punkt schneiden). Damit ist bereits klar, dass in diesem Fall
a2 + b2 > c2 sein muss.
Die Differenz beider Seiten ist die Summe der Flächen von CC’IJ und BCC”K,
die, wie Euklids Beweis zeigt, beide
gleich groß sind. Wegen cos γ = AM /a
ist AM = a cos γ, also der Flächeninhalt von BCC”K gleich ab cos γ.
So wie wir im Falle des Sinussatzes den Ausdruck sina α als Länge interpretiert
haben (im Zusammenhang mit dem Umkreis des Dreiecks), ist der Term 2ab cos γ
eine Fläche. Bei unserem zweiten Beweis haben wir diesen Term tatsächlich als
Fläche interpretiert; in dieser Hinsicht ist also der zweite Beweis befriedigender als
der einfachere erste Beweis.
96
5. Trigonometrie
Aufgabe 5.10. Beweise den Cosinus-Satz für stumpfwinklige Dreiecke.
Betrachten wir ein beliebiges Dreieck ABC mit a > b. Wir verlängern AC auf
der einen Seite um a, auf der andern um a−b. Wegen CE = CB = CD liegt B auf
dem Halbkreis über DE mit Mittelpunkt C; insbesondere ist der Winkel ^EBD =
90◦ . Nach dem Satz von Umfangs- und Mittelpunktswinkel ist ^CDB = 21 γ, und
da G der Lotfußpunkt von A auf BE ist, sind die Dreiecke EAG und EDB ähnlich,
somit ist auch ^EAG = 12 γ.
Jetzt gilt
AF = (a + b) sin
γ
2
γ
und AG = BF = (a − b) cos .
2
Der Satz des Pythagoras ergibt
γ
γ
2
2
2
c2 = AB = AF + AG = (a + b)2 sin2 + (a − b)2 cos2
2
2
γ
γ
2 γ
2 γ
2 γ
2 γ
2
2
+ cos
− 2ab cos
− sin
+ b sin2 + cos2
= a sin
2
2
2
2
2
2
= a2 + b2 − 2ab cos γ
wegen
sin2
γ
γ
+ cos2 = 1
2
2
und
cos2
γ
γ
− sin2 = cos γ.
2
2
Damit haben wir den Cosinussatz5 erneut bewiesen.
5
Dieser Beweis stammt von K. Schuler aus Rottweil [30]. Die Zeitschrift “Archimedes” scheint heute niemand mehr zu kennen; auch das ostdeutsche Pendant alpha
ist nach der Wende eingegangen. Die verbliebenen Schülerzeitschriften Monoid und
Wurzel können diese Lücken nicht füllen. Mathematikzeitschriften für Schüler auf einem Niveau, wie man es in den USA (Pi in the sky), Frankreich (Ouvert), Holland
(Pythagoras) oder Indien (At right angles) findet, gibt es hierzulande nicht mehr.
5.2 Trigonometrie
97
Cosinussatz III
Der folgende Beweis des Cosinussatzes ist vielleicht etwas komplizierter als manche
andere Beweise, liegt aber auf unserer Linie.
Man überzeuge sich davon, dass beide Diagramme Zerlegungen ein und desselben Siebenecks sind. Die Fläche der linken Zerlegung ist a2 + b2 + 3A, wo A
die Fläche des Dreiecks bezeichnet. Die Fläche der rechten Zerlegung dagegen ist
c2 + 3A + 2B, wo B der Flächeninhalt der beiden auftretenden Parallelogramme
bezeichnet. Dieser ist, wie man leicht einsieht, gleich ab cos γ. Also folgt
a2 + b2 = c2 + 2ab cos γ,
und das ist der Cosinussatz für Winkel γ < 90◦ .
Aufgabe 5.11. Beweise den Cosinussatz durch Zerlegung für Winkel γ > 90◦ .
Die Heronsche Formel
Bereits Heron besaß eine Formel6 für den Flächeninhalt eines Dreicks:
6
Heron hatte nicht wirklich eine Formel, sondern musste diesen Sachverhalt in Worten
ausdrücken. Die algebraische Formelsprache wurde erst viel später, vor allem durch
Vieta, eingeführt.
Bei Heron liest sich die Aussage so:
Seien die Seiten eines Dreiecks 7, 8 und 9. Addiere 7, 8, 9, das Ergebnis ist
24. Halbiere das Ergebnis, das gibt 12. Subtrahiere davon 7, der Rest ist 5;
subtrahiere 8, der Rest ist 4; subtrahiere 9, der Rest ist 3. Multipliziere 12 mit 5;
98
5. Trigonometrie
Satz 5.6 (Heronsche Formel). Sei ABC ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b
und c. Dann gilt für seinen Flächeninhalt die Formel
p
F = s(s − a)(s − b)(s − c),
wo s =
a+b+c
2
der halbe Umfang des Dreiecks ist.
Aufgabe 5.12. Liefert die Heronsche Formel die richtige Einheit? Stimmt die
Formel im “degenerierten Fall”, also wenn a, b oder c gleich 0 ist? Stimmt die
Formel im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks?
Zum Beweis gehen wir wieder von der Formel
F =
1
ab sin γ
2
aus. Quadrieren (das Endergebnis für F soll eine Wurzel enthalten; es ist daher
anzunehmen, dass die Formel für F 2 leichter herzuleiten ist als direkt für F ) und
die Benutzung von sin2 γ = 1 − cos2 γ liefert
F2 =
1
1 2 2 2
a b sin γ = a2 b2 (1 − cos2 γ).
4
4
Ersetzt man cos γ mittels des Cosinussatzes durch cos γ =
F2 =
a2 +b2 −c2
,
2ab
so folgt
1 2 2h
(a2 + b2 − c2 )2 i 1 2 2
a b 1−
= [4a b − (a2 + b2 − c2 )2 ].
4
4a2 b2
4
Differenzen von zwei Quadraten kann man mit der binomischen Formel zerlegen:
16F 2 = [2ab + (a2 + b2 − c2 )][2ab − (a2 + b2 − c2 )]
= [a2 + 2ab + b2 − c2 ][c2 − a2 + 2ab − b2 ]
= [(a + b)2 − c2 ][c2 − (a − b)2 ]
= [a + b + c][a + b − c][c + a − b][c − a + b],
wobei wir einmal mehr die dritte binomische Formel verwendet haben. Also ist
F2 =
a+b+c a+b−c c+a−b c−a+b
·
·
·
= s(s − c)(s − b)(s − a),
2
2
2
2
und das beweist die Heronsche Formel.
das Ergebnis ist 60. Multipliziere dies mit 4; das Ergebnis ist 240; multipliziere
dies mit 3; das Ergebnis ist 720. Die Quadratwurzel von 720 ist die Fläche des
Dreiecks.
Im Anschluss daran erklärt Heron, wie man die Quadratwurzel aus 720 näherungsweise
bestimmt.
5.2 Trigonometrie
99
Aufgabe 5.13. Sei ABC ein Dreieck, M der Mittelpunkt und r der Radius des
Inkreises. Zerlege das Dreieck durch von M ausgehende Lote in rechtwinklige Teildreiecke und beweise die Flächenformel
F = rs.
(Hinweis: vgl. (1.8))
Zeige am selben Dreieck die Beziehungen
tan
α
r
=
,
2
s−a
tan
β
r
=
,
2
s−b
tan
γ
r
=
.
2
s−c
Der Tangenssatz
Der Tangenssatz geht auf Vieta zurück.
Satz 5.7 (Tangenssatz). Sei ABC ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α,
β, γ. Dann gilt
tan α−β
a−b
2
=
a+b
tan α+β
2
Aus dem Sinussatz erhält man die Gleichungen
a
sin α
=
c
sin γ
und
b
sin β
=
.
c
sin γ
bzw.
a−b
sin α − sin β
=
.
c
sin γ
Addition bzw. Subtraktion ergibt
sin α + sin β
a+b
=
c
sin γ
Division dieser beiden Gleichungen und Kürzen ergibt dann
a−b
sin α − sin β
=
.
a+b
sin α + sin β
Die Additionsformel für den Sinus zeigt
α−β
tan α−β
2 cos α+β
a−b
2 sin 2
2
=
,
=
α−β
α+β
a+b
cos
2 sin α+β
tan
2
2
2
also den Tangenssatz.
Aufgabe 5.14. Beweise die Mollweideschen Formeln7
cos α−β
a+b
2
=
,
c
cos α+β
2
sin α−β
a−b
2
=
,
c
sin α+β
2
und leite daraus den Tangenssatz her.
a
b
Hinweis: Benutze a+b
c = c + c , setze zweimal den Sinussatz ein, und benutze
die Additionsformeln.
7
Benannt nach Karl Brandan Mollweide (1774 – 1825); die Formeln stehen im wesentlichen bereits bei Antonio Cagnoli (1743 – 1816) und waren anscheinend schon Newton
bekannt.
100
5. Trigonometrie
Ein weiterer Beweis für die Mollweideschen Formeln hat de Kleine [12] gegeben:
Konstruiere die Winkelhalbierende w in C und das Lot ` zu w durch A. Die
Lotgerade ` schneidet BC in E. Konstruiere D so, dass das Dreieck BDE gleichschenklig wird. Damit ist ^AEC = 90◦ − 12 γ = α+β
2 . Da BDE gleichschenklig ist,
α+β
muss auch δ = ^BDE = 2 sein.
Aufgabe 5.15. Zeige, dass ^DAB =
her.
α−β
2
ist, und leite die Mollweidesche Formel
Aufgabe 5.16. Cagnoli gibt die Mollweideschen Formeln in der symmetrischen
Gestalt
a+b
sin α + sin β
a−b
sin α − sin β
=
,
=
c
sin γ
c
sin γ
an. Zeige, dass die beiden Formulierungen äquivalent sind.
Bhaskaras Formel
Im Buch Mahabhaskariya von Bhaskara I (ca. 600 n.Chr.) findet sich (wie immer
nicht als Formel, sondern in Prosa) folgende Näherung für die Sinusfunktion (sh.
R.C. Gupta [10]):
4a(180 − a)
sin a ≈
,
40500 − a(180 − a)
wo a in Grad angegeben ist. Eine Herleitung (auch anderer Resultate) findet man
in indischen Büchern nicht; im Prinzip kann man die Formel mit “brute force”
(also roher Gewalt) herleiten, indem man den Ansatz
sin α ≈ s(α)
mit s(α) =
a + bα + cα2
d + eα + f α2
macht und die sechs Unbekannte durch Einsetzen geeignet gewählter Punkte bestimmt. Zum einen dürfen wir, nach Kürzen mit d, einfach d = 1 annehmen;
zweitens wollen wir Achsensymmetrie haben, also, wenn wir abe jetzt den Winkel
in Bogenmaß messen und ihn mit x statt α bezeichnen, s(α) = s(π − α); man kann
zeigen (Aufg. 5.18), dass das für Quotienten von quadratischen Polynomen dann
5.2 Trigonometrie
101
und nur dann der Fall ist, wenn sowohl Zähler wie Nenner diese Symmetrie haben;
damit folgen die Gleichungen
a + bx + cx2 = a + b(π − x) + c(π − x)2 ,
d + ex + f x2 = d + e(π − x) + f (π − x)2 ,
also
a + bx + cx2 = a + bπ + cπ 2 − (b + 2πc)x + cx2 ,
d + ex + f x2 = d + eπ + f π 2 − (e + 2πf )x + f x2 ,
und damit durch Koeffizientenvergleich
0 = b + πc und
0 = e + πf.
Einsetzen des Punktes (0|0) ergibt a = 0, was zusammen mit d = 1 auf die
Funktion
cx(x − π)
s(x) =
1 − πf x + f x2
führt. Die restlichen beiden Unbekannten erhalten wir durch Einsetzen der Punkte
π 1
π ,
,1 .
und
6 2
2
Dies liefert nacheinander die Gleichungen
π
· c( π − π)
1
= 6 π2 6 π2 =
2
1 − 6 f + 36 f
−c
36
5π 2 − f
und
1=
π
2
· c( π2 − π)
1−
π2
2 f
und c = f −
4
,
π2
+
π2
4 f
=
−c
.
−f
4
π2
Wegschaffen der Nenner ergibt
2c = f −
36
5π 2
was nach Elimination von f auf
c=−
16
5π 2
und damit
f=
4
5π 2
führt. Damit erhalten wir
s(x) =
16x(π − x)
− 4πx + 5π 2
4x2
Diese Näherung ist so gut, dass man zeichnerisch im Intervall [0; π] keinen Unterschied sehen kann!
102
5. Trigonometrie
Die Funktionen sin(x) und s(x)
Lediglich die dickeren Linien am linken und rechten Rand deuten darauf hin, dass
die Funktionen dort auseinanderzulaufen beginnen. Natürlich kann s(x) “global”,
also für alle x, keine gute Näherung der Sinusfunktion sein, weil s(x) genau zwei
Nullstellen (die Sinusfunktion unendlich viele) und eine waagrechte Asymptote
(nämlich y = −4) besitzt.
Die Differenz von Sinusfunktion und Näherung hat, wie die nächste Skizze zeigt,
Funktionswerte unterhalb von 0,002, d.h. der Fehler ist kleiner als 2 Promille:
Die Differenz sin(x) − s(x)
Die folgende Tabelle enthält die Funktionswerte der beiden Funktionen, jeweils
nach der vierten Dezimalstelle abgeschnitten:
α
0
15
30
45
60
75
90
f (α)
0
0.2603
0.5000
0.7058
0.8648
0.9655
1.0000
sin α
0
0.2588
0.5000
0.7071
0.8660
0.9659
1.0000
Ein Teil der rechnerischen Schwierigkeiten bei der Herleitung der Formel rührt
von der etwas “verschobenen” Symmetrieachse x = 12 π her. Die Herleitung wird
also etwas einfacher werden, wenn wir statt sin x die Funktion cos x approximieren.
Aufgabe 5.17. Zeige wie oben, dass die Cosinus-Funktion sich durch
5.3 Eine kleine trigonometrische Formelsammlung
c(α) =
103
4(8100 − α2 )
32400 + α2
approximieren lässt, wo a Winkel zwischen −90◦ und +90◦ bezeichnet. Leite daraus
die Näherungsformel für die Sinus-Funktion her.
Aufgabe 5.18. Zeige, dass für s(x) = p(x)
q(x) mit quadratischen Polynomen p und q
genau dann s(x) = s(a−x) für alle x gilt, wenn p(x) = p(a−x) und q(x) = q(a−x)
gilt.
5.3 Eine kleine trigonometrische Formelsammlung
Die meisten der folgenden Identitäten haben wir bewiesen; der Rest sei als Übungsaufgabe empfohlen.
tan x =
sin x
cos x
sin2 x + cos2 x = 1
π
− x = cos(x)
sin
2
cos x
sin x
1
2
1 + tan x =
cos2 x
π
cos
− x = sin(x)
2
cot x =
1
1 + cot2 x =
2
π
sin x
tan
− x = cot(x)
2
Additionsformeln
sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y
cos(x + y) = cos x · cos y − sin x · sin y
tan x + tan y
tan(x + y) =
1 − tan x · tan y
x+y
x−y
sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x+y
x−y
cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
sin(x + y)
tan x + tan y =
cos x cos y
Verdoppelungs- und Halbierungsformeln
sin(2x) = 2 sin x cos x
x r 1 − cos x
sin
=
2
2
cos(2x) = 2 cos2 x − 1
x r 1 + cos x
cos
=
2
2
2 tan x
1 − tan2 x
x
sin x
tan
=
2
1 + cos x
tan(2x) =