Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras
Schon im alten Ägypten hatten die Leute das verlangen möglichst
schöne und gleichmäßige Gebäude und Tempel zu bauen. Doch wie
sollte man allein schon eine regelmäßig quadratische Bodenfläche
zustande bringen?
Antwort:
Ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3/4/5 schließt einen Rechten
Winkel ein!
Der Trick:
Ein Seil das mit 13 Knoten in 12 gleich lange Strecken unterteilt wurde,
wird wie oben gespannt und ergibt damit ein rechtwinkliges Dreieck!
Mathematischer Hintergrund: Der Satz des Pythagoras
Für die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten
a und b und der Hypotenuse c gilt:
a2+b2=c2
Pythagoras:
570 – 510 v. Chr.
Gründung der Schule der Pythagoräer
Einführung der Mathematik in die Wissenschaften
Näheres, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
Geometrischer Beweis:
Geometrisch gesehen stehen a2, b2 und c2 für die Flächen eines
Quadrates mit der Seitenlänge a, b oder c.
Zeichne zwei Quadrate der Seitenlänge a+b, die logischerweise
dieselbe Fläche umschließen und zeichne weiter vier Dreiecke
mit den Seitenlängen a,b und c folgendermaßen ein:
So entsteht im ersten Quadrat noch ein Quadrat mit der Seitenlänge c und im anderen zwei
Quadrate mit den Seitenlängen a und b.
Um zu beweisen, dass die rote Fläche wirklich ein Quadrat ist, müssen wir zeigen, dass alle ihre
Winkel 90° betragen:
Innenwinkelsumme eines Dreiecks:
α+β+γ=180°
γ=90°
d.h.: α+β=90°
Daraus folgt:
ε= 180 – α – β = 180 – 90 = 90
Graphik:
α+β+ε= 180
Da die kleinen Dreiecke a,b,c in in beiden Quadraten gleich viel Platz verbrauchen, müssen die
verbleibenden Flächen in beiden Quadraten ebenfalls dieselben sein, d.h.:
a2+b2=c2
Beweis durch Umklappen (Ausstellungsstück):
Auch durch geschicktes Unterteilen eines Quadrates der Seitenlänge c (und somit der Fläche c2) und
Umklappen der einzelnen Teilflächen kann auf die
Fläche a2 + b2 geschlossen werden:
Konstruktion:
1)Zeichne das Dreieck mit den Längen a,b,c
3) Verlängere die Seite b nach unten und zeichne
eine dazu rechtwinklige Linie durch den
rechten Eckpunkt.
2)Ergänze es zum Quadrat der Seitenlänge c
4) Zeichne im Abstand b vom markiertem Punkt
eine weitere zu b Rechtwinklige Linie
Die so erhaltenen Teilflächen des Quadrats mit der Seitenlange c kannst du nun durch Umklappen
in zwei Quadrate der Seitenlangen a und b umbauen:
Beweis durch ähnliche Dreiecke:
Man geht von einem rechtwinkeligem Dreieck der Seitenlängen a,b,c aus und unterteilt die durch
eine Gerade senkrecht zu c und durch den Punkt C:
Betrachte nun die Winkel:
Die rot markierten Winkel sind laut Vorgabe rechte Winkel, haben also 90°. Wir wissen, dass die
Innenwinkelsumme von Dreiecken immer 180° betragen muss.
Ursprüngliches Dreieck:
α+β+90=180
bzw.:
α = 180 - 90 – β = 90 - β
und
β = 180 - 90 – α = 90 - α
Linkes Dreieck:
α'+β+90=180
bzw.:
α' = 180 - 90 – β = 90 - β
Rechtes Dreieck:
α+β'+90=180
bzw.:
β' = 180 - 90 – α = 90 - α
Wir sehen also:
α' = α und β' = β
Alle drei Dreiecke haben also dieselben Winkel und sind deshalb ähnlich. Daraus folgt, dass ihre
Seitenverhältnisse gleich sein müssen:
a/p = c/a <=> a2 = cp
b/q = c/b <=> b2 = cq
a2 + b2 = cp + cq = c (p + q) = c2
(da c = p + q)
Beweis aus der linearen Algebra:
Seien a und b sind zwei Vektoren in R2, die orthogonal (rechtwinklig) aufeinander stehen ,
c = b – a.
||c|| sei die euklidische Norm von c,
d.h. die Länge von c und damit ||c||2
die Fläche des Quadrats, mit der
Seitenlänge ||c||.
Dann gilt:
<a,b> = 0 = <b,a>
||c||2 = ||a – b||2 = <a – b, a – b> =
<a , a> + <a , -b> + <-b , a> + <-b , -b> =
<a , a> - <a , b> - <b , a> + <b , b> =
<a , a> - 0 – 0 + <b , b> =
||a||2 + ||b||2 ,
also die Fläche, die von 2 Quadraten der Seitenlänge a und b aufgespannt wird.