Wie fühlt sich ein Sprung aus der Stratosphäre an?

Wie fühlt sich ein Sprung aus der Stratosphäre an?
Stefan Takacs
Linz, 10. April 2015
Der freie Fall
Kräftegleichgewicht
Kräftegleichgewicht
Gravitation:
FG = m g
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
Gravitation:
ͨͩ
ͽ
FG = m g
Isaac Newton (1642 1727 in England)
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
FG
mg
=
= g = 9, 81
m
m
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
FG
mg
=
= g = 9, 81
m
m
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:
v (t )
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
FG
mg
=
= g = 9, 81
m
m
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:
v (t ) = a t
v (t )
=gt
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
FG
mg
=
= g = 9, 81
m
m
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:
v (t )
v (t ) = a t + C = g t + C
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
FG
mg
=
= g = 9, 81
m
m
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:
v (t )
v (t ) = a t + C = g t + C
Anfangsbedingung:
v (0) = 0
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
FG
mg
=
= g = 9, 81
m
m
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:
v (t ) = a t
=gt
Anfangsbedingung:
v (0) = 0
⇒C =0
v (t )
Ergebnis
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
700,0
600,0
500,0
v
400,0
vGEMESSEN
300,0
vFF
200,0
100,0
0,0
0
50
100
t
150
200
Der Fall mit Reibung
Kräftegleichgewicht
Beschleunigung:
a=
Gravitation:
ͨͩ ͽ
FG = m g
Kräftegleichgewicht
Reibung:
FR = k v 2
Beschleunigung:
a=
Gravitation:
FG = m g
Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Anfangsbedingung:
v (0) = 0
Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Anfangsbedingung:
v (0) = 0
Lösungsfunktion:
v (t ) =
r

gm 
1−
k

2
q
1
+e
2
gk t
m

Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Anfangsbedingung:
v (0) = 0
Lösungsfunktion:
v (t ) =
r

gm 
1−
k

2
q
1
+e
2
Überprüfe, dass das wirklich eine Lösung ist!
gk t
m

Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Denition der Ableitung:
lim
τ →0
1
τ
(v (t + τ ) − v (t )) = g −
k 2
v (t )
m
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Denition der Ableitung:
lim
τ →0
1
τ
(v (t + τ ) − v (t )) = g −
k 2
v (t )
m
Dierenzenquotient:
1
τ
für
τ >0
klein.
(v (t + τ ) − v (t )) h g −
k 2
v (t )
m
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Dierentialgleichung:
v̇ (t ) = g −
k 2
v (t )
m
Denition der Ableitung:
lim
τ →0
1
τ
(v (t + τ ) − v (t )) = g −
k 2
v (t )
m
Dierenzenquotient:
1
τ
für
τ >0
(v (t + τ ) − v (t )) h g −
k 2
v (t )
m
klein.
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
v (t + τ ) := v (t ) + τ
k
g − v 2 (t )
m
Leonhard Euler (1707 in Basel 1783 in Sankt Petersburg)
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
B
...
G
H
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
B
v
...
G
H
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
B
v
...
G
τ=
H
0,1
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
B
v
...
G
τ=
k=
H
0,1
0,0001
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
B
v
...
G
τ=
k=
m=
H
0,1
0,0001
100
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
B
v
...
G
τ=
k=
m=
g=
H
0,1
0,0001
100
9,81
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
0
B
v
...
G
τ=
k=
m=
g=
H
0,1
0,0001
100
9,81
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
0
B
v
0
...
G
τ=
k=
m=
g=
H
0,1
0,0001
100
9,81
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
0
=A2+$H$1
B
v
0
...
G
τ=
k=
m=
g=
H
0,1
0,0001
100
9,81
Wie kann ich die Dierentialgleichung lösen, ohne die
Lösungsfunktion zu kennen?
Lösungsverfahren (Euler):
v (0) := 0
k 2
v (t + τ ) := v (t ) + τ g − v (t )
m
Tabellenkalkulation:
1
2
3
4
A
t
0
=A2+$H$1
B
v
0
=B2+$H$1*($H$4-$H$2/$H$3*B2ˆ2)
...
G
τ=
k=
m=
g=
H
0,1
0,0001
100
9,81
Ergebnis
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
700,0
600,0
500,0
v
400,0
vGEMESSEN
300,0
vFF
vR
200,0
100,0
0,0
0
50
100
t
150
200
Wie müssen wir k wählen?
Verschiedene Werte von
k
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
700,0
600,0
500,0
400,0
v
vGEMESSEN
0,02
300,0
0,01
0,005
0,0025
200,0
100,0
0,0
0
50
100
t
150
200
Wie müssen wir k wählen?
Nicht konstant?
Fläche
A
k = A ∗ (...)
Dichte ρ
k = ρ ∗ (.......)
Dichte ρ
k = ρ ∗ A ∗ (...)
Aerodynamische Konstante
cW
k = ρ ∗ A ∗ cW
2
Reibungskoezient
k
k =ρ∗A∗
cW
2
Reibungskoezient k (t )
k (t ) = ρ(t ) ∗ A ∗
k
cW
2
ist höhenabhängig, bzw. zeitabhängig
Die Dichte der Luft
Die Dichte der Luft
20
Die Dichte der Luft
20
20
Die Dichte der Luft
20
20
40
Die Dichte der Luft
20
20
40
80
Die Dichte der Luft
20
20
40
80
160
Die Dichte der Luft
20
20
40
80
160
320
Die Dichte der Luft
20
20
40
80
160
320
640
Die Dichte der Luft
20
20
40
80
160
320
640
1280
Die Dichte der Luft
Exponentielles Wachstum
(barometrische Höhenformel):
20
20
40
80
160
320
640
1280
ρ(h) = ρ0 e−h/h0
Die Dichte der Luft
Exponentielles Wachstum
(barometrische Höhenformel):
20
20
ρ(h) = ρ0 e−h/h0
40
Experimentelle Werte:
80
ρ0 = 1, 2;
160
320
640
1280
h0 = 8400
Die Dichte der Luft
Exponentielles Wachstum
(barometrische Höhenformel):
20
20
ρ(h) = ρ0 e−h/h0
40
Experimentelle Werte:
80
h0 = 8400
ρ0 = 1, 2;
160
320
640
1280
Gleichbedeutend:
ρ(h) = ρ0 2−h/hD
mit:
ρ0 = 1, 2; hD = h0 ln
2
= 5822, 44
Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
k 2
v (t )
m
AcW
=g−
ρ(h(t ))v 2 (t )
2m
AcW
ρ0 e−h(t )/h0 v 2 (t )
=g−
2m
v̇ (t ) = g −
Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
k 2
v (t )
m
AcW
=g−
ρ(h(t ))v 2 (t )
2m
AcW
ρ0 e−h(t )/h0 v 2 (t )
=g−
2m
v̇ (t ) = g −
Dierentialgleichung 2. Ordnung:
ḧ(t ) = g −
AcW
ρ0
2m
−h(t )/h0
e
[ḣ(t )]2
Dierentialgleichung
Dierentialgleichung:
k 2
v (t )
m
AcW
=g−
ρ(h(t ))v 2 (t )
2m
AcW
ρ0 e−h(t )/h0 v 2 (t )
=g−
2m
v̇ (t ) = g −
Dierentialgleichung 2. Ordnung:
ḧ(t ) = g −
AcW
ρ0
2m
−h(t )/h0
e
[ḣ(t )]2
System von Dierentialgleichungen:
ḣ(t ) = v (t )
v̇ (t ) = g −
AcW
ρ0
2m
−h(t )/h0 2
e
v (t )
Lösung der Dierentialgleichung
System von Dierentialgleichungen:
ḣ(t ) = −v (t )
AcW
v̇ (t ) = g −
ρ0
2m
−h(t )/h0 2
e
v (t )
Lösung der Dierentialgleichung
System von Dierentialgleichungen:
ḣ(t ) = −v (t )
AcW
v̇ (t ) = g −
ρ0
2m
−h(t )/h0 2
v (t )
e
Dierenzenquotient:
1
τ
1
τ
(h(t + τ ) − h(t )) h −v (t )
(v (t + τ ) − v (t )) h
AcW
ρ0
2m
−h(t )/h0 2
e
v (t )
Lösung der Dierentialgleichung
System von Dierentialgleichungen:
ḣ(t ) = −v (t )
AcW
v̇ (t ) = g −
ρ0
2m
−h(t )/h0 2
v (t )
e
Dierenzenquotient:
1
τ
1
τ
(h(t + τ ) − h(t )) h −v (t )
(v (t + τ ) − v (t )) h
AcW
ρ0
2m
−h(t )/h0 2
v (t )
e
Lösungsverfahren (Euler):
h(0) := 38 969
v (0) := 0
h(t + τ ) := h(t ) − τ v (t )
AcW
ρ0
v (t + τ ) := v (t ) + τ g −
2m
−h(t )/h0 2
e
v (t )
Ergebnis
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
700,0
600,0
500,0
v
400,0
vGEMESSEN
300,0
vFF
vRB
200,0
100,0
0,0
0
50
100
t
150
200
Temperaturunterschiede
Temperaturunterschiede
Dichtetabelle
h
ρ(h)
h
ρ(h)
h
ρ(h)
0
1,22500
16000
0,166470
32000
0,0135550
1000
1,11170
17000
0,142300
33000
0,0115730
2000
1,00660
18000
0,121650
34000
0,0098847
3000
0,90925
19000
0,104000
35000
0,0084634
4000
0,81935
20000
0,088910
36000
0,0072579
5000
0,73643
21000
0,075715
37000
0,0062355
6000
0,66011
22000
0,064510
38000
0,0053666
7000
0,59002
23000
0,055006
39000
0,0046268
8000
0,52579
24000
0,049380
40000
0,0039957
9000
0,46709
25000
0,040084
10000
0,41351
26000
0,034257
11000
0,36480
27000
0,029298
12000
0,31194
28000
0,025076
13000
0,26660
29000
0,021478
14000
0,22786
30000
0,018410
15000
0,19476
31000
0,015792
Dichte lineare Interpolation
ρ(h) = ρ
h
∗
1000
h h − 1000 1000
h
h
∗ ρ 1000 ∗
− ρ 1000 ∗
+
1000
1000
b·c
. . . abrunden auf ganze Zahl
d·e
. . . aufrunden auf ganze Zahl
1000
1000
Dichte lineare Interpolation
ρ(h) = ρ
h
∗
1000
h h − 1000 1000
h
h
∗ ρ 1000 ∗
− ρ 1000 ∗
+
1000
1000
b·c
. . . abrunden auf ganze Zahl
d·e
. . . aufrunden auf ganze Zahl
1000
Wichtige Befehle:
I AUFRUNDEN
I ABRUNDEN
I BEREICH.VERSCHIEBEN (in Excel)
bzw. VERSCHIEBUNG (in OO Calc)
1000
Ergebnis
Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
700,0
600,0
500,0
400,0
v
vGEMESSEN
vFF
300,0
vRB
vRBDT
200,0
100,0
0,0
0
50
100
t
150
200
Wie fühlt man sich?
I Hohe Geschwindigkeit
Wie fühlt man sich?
I Hohe Geschwindigkeit
I Keine hohen Beschleunigungen (g-Kräfte)
Wie fühlt man sich?
I Hohe Geschwindigkeit
I Keine hohen Beschleunigungen (g-Kräfte)
I Wenig Luft
Wie fühlt man sich?
I Hohe Geschwindigkeit
I Keine hohen Beschleunigungen (g-Kräfte)
I Wenig Luft
I Kalt
Wie fühlt man sich?
I Hohe Geschwindigkeit
I Keine hohen Beschleunigungen (g-Kräfte)
I Wenig Luft
I Kalt
I Gute Aussicht
Kanonenantrieb
Kanonenantrieb
Kräfte
Gravitation:
I
FG = GmM
r2
I Gravitationskonstante
I Masse der Erde
G = 6, 675 ∗ 10−11 kgms −2
M = 5, 98 ∗ 1024 kg
I Masse der Rakete
m
I Abstand zum Erdmittelpunkt
I Erdradius r0
I Höhe
h
3
= 6378000m
r = h + r0
Kräfte
Gravitation:
I
FG = GmM
r2
I Gravitationskonstante
I Masse der Erde
G = 6, 675 ∗ 10−11 kgms −2
M = 5, 98 ∗ 1024 kg
I Masse der Rakete
m
I Abstand zum Erdmittelpunkt
I Erdradius r0
I Höhe
= 6378000m
h
Kräftegleichgewicht:
I
a ∗ m = −Fg
3
r = h + r0
Kräfte
Gravitation:
I
FG = GmM
r2
I Gravitationskonstante
I Masse der Erde
G = 6, 675 ∗ 10−11 kgms −2
M = 5, 98 ∗ 1024 kg
I Masse der Rakete
m
I Abstand zum Erdmittelpunkt
I Erdradius r0
I Höhe
= 6378000m
h
Kräftegleichgewicht:
I
I
a ∗ m = −Fg
∗M
a(t ) = (h(Gt )+
r0 )2
3
r = h + r0
Lösung der Dierentialgleichung (Euler)
I
v (0) =?
Lösung der Dierentialgleichung (Euler)
I
v (0) =?
I
h(0) = 0
Lösung der Dierentialgleichung (Euler)
I
v (0) =?
I
h(0) = 0
I
h(t + τ ) = h(t ) + τ v (t )
Lösung der Dierentialgleichung (Euler)
I
v (0) =?
I
h(0) = 0
I
h(t + τ ) = h(t ) + τ v (t )
I
∗M
v (t + τ ) = v (t ) − τ (h(Gt )+
r0 )2
Lösung der Dierentialgleichung (Euler)
I
v (0) =?
I
h(0) = 0
I
h(t + τ ) = h(t ) + τ v (t )
I
∗M
v (t + τ ) = v (t ) − τ (h(Gt )+
r0 )2
Bestimme für verschiedene Startgeschwindigkeiten
v (0)
den
Zeitpunkt, an dem die Kanonenkugel wieder am Boden auftrit.
Lösung der Dierentialgleichung (Euler)
I
v (0) =?
I
h(0) = 0
I
h(t + τ ) = h(t ) + τ v (t )
I
∗M
v (t + τ ) = v (t ) − τ (h(Gt )+
r0 )2
Bestimme für verschiedene Startgeschwindigkeiten
v (0)
den
Zeitpunkt, an dem die Kanonenkugel wieder am Boden auftrit.
Gibt es eine Geschwindigkeit, sodass die Kanonenkugel nicht mehr
zurückkehrt?
Fluchtgeschwindigkeit
I
Ekin = Egrav
Fluchtgeschwindigkeit
I
I
Ekin = Egrav
2
Ekin = mv2
Fluchtgeschwindigkeit
I
I
I
Ekin = Egrav
2
Ekin = mv2
R∞
GmM
Egrav = r0 GmM
r 2 dr = − r
Fluchtgeschwindigkeit
I
I
I
I
Ekin = Egrav
2
Ekin = mv2
R∞
GmM
Egrav = r0 GmM
2 dr = − r
r
q
v = 2GM
r = 11174, 4 m/s
Startgeschwindigkeit für 40 km Höhe
Berechnet mit konstanter Gravitation:
I Anfangsbedingung:
v (0) = v0 , h(0) = 0
Startgeschwindigkeit für 40 km Höhe
Berechnet mit konstanter Gravitation:
I Anfangsbedingung:
I Endbedingung
v (0) = v0 , h(0) = 0
v (T ) = 0, h(T ) = 40000
Startgeschwindigkeit für 40 km Höhe
Berechnet mit konstanter Gravitation:
I Anfangsbedingung:
I Endbedingung
I
I
v (0) = v0 , h(0) = 0
v (T ) = 0, h(T ) = 40000
v (t ) = v0 − g t
mit
2
h(t ) = v0 t − g 2t
g = 9, 81
Startgeschwindigkeit für 40 km Höhe
Berechnet mit konstanter Gravitation:
I Anfangsbedingung:
I Endbedingung
I
I
v (0) = v0 , h(0) = 0
v (T ) = 0, h(T ) = 40000
v (t ) = v0 − g t
mit
2
h(t ) = v0 t − g 2t
g = 9, 81
I Berechne aus Endbedingung für
v : T = v0 /g
Startgeschwindigkeit für 40 km Höhe
Berechnet mit konstanter Gravitation:
I Anfangsbedingung:
I Endbedingung
I
I
v (0) = v0 , h(0) = 0
v (T ) = 0, h(T ) = 40000
v (t ) = v0 − g t
mit
2
h(t ) = v0 t − g 2t
g = 9, 81
I Berechne aus Endbedingung für
I Berechne aus Endbedingung für
m/s
v : T = v0 /g
√
h: v0 = 80000g h 885, 89
Startgeschwindigkeit für 40 km Höhe
Berechnet mit konstanter Gravitation:
I Anfangsbedingung:
I Endbedingung
I
I
v (0) = v0 , h(0) = 0
v (T ) = 0, h(T ) = 40000
v (t ) = v0 − g t
mit
2
h(t ) = v0 t − g 2t
g = 9, 81
I Berechne aus Endbedingung für
I Berechne aus Endbedingung für
v : T = v0 /g
√
h: v0 = 80000g h 885, 89
m/s
→ Siehe auch zweite xls-Datei (aufgrund von Approximationsfehlern
ist dort eine geringere Geschwindigkeit ausreichend)
Literatur
I Spreitzer/Süss-Stepancik:
bis zum Kuipergürtel.
Der freie Fall von der Stratosphäre
In: Neue Materialien für einen
realitätsbezogenen Mathematikunterricht 2, Springer
Fachmedien Wiesbaden. 2014.
I Red Bull Stratos Summary Report. Findings of the Red Bull
Stratos Scientic Summit, California Science Center, Los
Angeles. 2013.