Kapitel 4 Lukasiewicz Fuzzy

Kapitel 4
Lukasiewicz Fuzzy-Logik
18. Mai 2005
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Rückblick
I
Tarskis Deduktionsbegriff,
I
Verbandstheoretische Grundlagen,
I
Verband der [0,1]-wertigen Fuzzy-Mengen.
Beweissystem für FLn
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Überblick
I
Hilbert-Beweissysteme
I
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
I
Beweissystem für FLn
I
Abstrakte Fuzzy-Logik
Beweissystem für FLn
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Was ist Logik ?
I
primärer Zweck: objektive Gesetze des menschlichen Denkens
zu untersuchen,
I
Objektivität: Argumente müssen kommunizierbar und
verifizierbar für andere Menschen sein,
I
Zentraler Begriff: Korrektheit eines Schlusses,
I
Objektivität des Denkens und Striktheit des Folgerns und
Argumentierens ist verbunden mit Formalisierbarkeit.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Anwendung
I
Strikte Trennung von pragmatischen, syntaktischen und
semantischen Aspekten,
I
Aussagen bzw. Wissen wird in eine formale Sprache überführt,
I
Semantik ist das Bindeglied zwischen der Welt der
mathematischen bzw. realen Objekte und der Welt der
syntaktischen Darstellung,
I
Semantik befaßt sich mit der Bedeutung (oder dem Inhalt, der
Wahrheit oder Gültigkeit)
I
Syntax befaßt sich mit der formalen Darstellung.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Logische Kalküle
I
Bereitstellung von beschreibendem Wissen in einer formalen
Sprache führt nicht nur zu weniger Mißvertsändnissen,
I
sondern Mechanisierung von menschlichen Schlußweisen wird
dadurch möglich(Leibnitz ars magna“).
”
Zweck logischer Kalküle: Ableitung( Deduktion, Beweis) von
Wissen auf rein syntaktischer Ebene,
I
I
logische Kalküle sind eng mit einer Semantik verbunden:
Korrektheit: alles, was beweisbar ist, ist wahr,
Vollständigkeit: alles, was wahr ist, ist ableitbar.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Kalküle für klassische Logik
I
formale Sprache: Menge von Formeln über einem abzählbaren
Alphabet, einer Menge von Junktoren, Konstanten und evtl.
Quantoren und Prädikatensymbolen,
I
Kalküle des natürlichen Schließens,
I
Sequenzen-Kalküle im Gentzen-Stil,
I
Beweissysteme im Hilbert-Stil
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissysteme im Hilbert-Stil
I
FL -Menge von Formeln,
I
Ableitungsregeln,
I
logische Axiome.
Beweissystem für FLn
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Ableitungsregeln und Axiome
Definition
Eine k-stellige Ableitungsregel ist eine partielle Abbildung
r : FLk → FL .
dom(r ) –Definitionsbereich von r .
Definition
Ein Hilbert-Beweissystem ist ein Paar S = (AX , R), mit AX ⊆ FL
= Menge der logischen Axiome, und R eine Menge von
Ableitungsregeln.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beweisbegriff
Definition
Ein Beweis π einer Formel ψ aus einer Menge X ⊆ FL von
Formeln- den echten Axiomen oder Hypothesen- ist eine endliche
Folge von Formeln ϕ1 , . . . ϕn mit ϕn = ψ, so daß für alle ϕi mit
i ∈ {1, . . . n} gilt:
(i) ϕi ist ein logisches Axiom, d.h. ϕi ∈ AX , oder
(ii) ϕi ist ein echtes Axiom, d.h. ϕi ∈ X , oder
(iii) ϕi ist entstanden durch Anwendung einer Ableitungsregel,
d.h. ϕi = r (ϕi1 , . . . ϕik ), wobei ij ∈ {1, . . . n − 1}.
Für eine gegebene Menge von Formeln X schreiben wir X ` ψ,
falls ein Beweis für ψ aus X existiert.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Deduktionsoperator
Definition
Sei S = (AX , R) ein Hilbert-Beweissystem. Der zu S gehörende
Deduktionsoperator DS : P(FL ) → P(FL ) ist definiert durch:
DS (X ) = {ψ ∈ FL : X ` ψ}.
Satz
Sei DS : P(FL ) → P(FL ) ein zu einem Hilbertsystem gehörender
Deduktionsoperator. Dann ist DS ein kompakter Abschlußoperator.
Umgekehrt gilt: sei D : P(FL ) → P(FL ) ein kompakter
Abschlußoperator. Dann existiert ein Hilbert-Beweissystem S, sd.
D = DS .
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Theorien
Definition
Sei D : P(FL ) → P(FL ) ein Abschlußoperator. Ein T ⊆ F L heißt
D-Theorie , falls T ein Fixpunkt von D ist, d.h. T = D(T ).
Definition
T ⊆ FL heißt abgeschlossen unter einer k-stelligen Ableitungsregel
r , wenn für jedes k-Tupel (ϕ1 , . . . , ϕk ) ∈ dom(r ) gilt:
aus ϕ1 , . . . , ϕk ∈ T folgt r (ϕ1 , . . . , ϕk ) ∈ T .
Satz
T ⊆ FL ist eine DS -Theorie für ein Hilbert-Beweissystem S, wenn:
1. T enthält die Menge AX der logischen Axiome,
2. T ist abgeschlossen unter allen Ableitungsregeln aus R.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Hilbert-Kalkül für klassische Logik–Axiome
1. ϕ ⇒ (ϕ ∧ ϕ)
2. (ψ ∧ ϕ)(ϕ ∧ ψ)
3. (ϕ ⇒ ψ) ⇒ ((ϕ ∧ χ) ⇒ (ψ ∧ ϕ))
4. ((ϕ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ χ)) ⇒ (ϕ ⇒ χ)
5. ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)
6. (ϕ ∧ (ϕ ⇒ ψ) ⇒ ψ)
7. ϕ ⇒ (ϕ ∨ ψ)
8. (ϕ ∨ ψ) ⇒ (ϕ ∨ ψ)
9. ((ϕ ⇒ ψ) ∧ (χ ⇒ ψ)) ⇒ ((ϕ ∨ χ) ⇒ ψ)
10. ¬ϕ ⇒ (ϕ ⇒ ψ)
11. ((ϕ ⇒ ψ) ∧ (ϕ ⇒ ¬ψ)) ⇒ ¬ϕ
12. ¬ϕ ∨ ϕ
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Hilbert-Kalkül für klassische Logik
I
Axiome sind anwendbar auf alle Formeln, die Instanzen der
Axiome sind,
I
einzige Ableitungsregel ist die Abtrennungsregel:
ϕ, ϕ ⇒ ψ
ψ
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Kurzer Hilbert-Kalkül für klassische Logik
Alphabet enthält nur die Junktoren ⇒ und ¬
A1 ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)
A2 (ϕ ⇒ (ψ ⇒ χ)) ⇒ ((ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ϕ ⇒ χ))
A3 (¬ϕ ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)
rMP (ϕ, ϕ ⇒ ψ) 7→ ψ
zusätzliche Junktoren werden als
eingeführt:
ϕ∧ψ ≡
ϕ∨ψ ≡
⊥ ≡
verkürzte Schreibweisen
¬(ϕ ⇒ ¬ψ)
¬ϕ ⇒ ψ
¬(ϕ ⇒ ϕ)
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beispiel
Beweisziel: ∅ ` ¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)
1. ¬ψ ⇒ (¬ϕ ⇒ ¬ψ)
2. (¬ϕ ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)
3. ((¬ϕ ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)) ⇒
(¬ψ ⇒ ((¬ϕ ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)))
4. ¬ψ ⇒ ((¬ϕ ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ))
5. (¬ψ ⇒ ((¬ϕ ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ))) ⇒
((¬ψ ⇒ (¬ϕ ⇒ ¬ψ)) ⇒ (¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)))
6. (¬ψ ⇒ (¬ϕ ⇒ ¬ψ)) ⇒ (¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ))
7. ¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)
A1
A3
A1
rMP , 2., 3.
A2
rMP , 4., 5.
rMP , 1., 6.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Fuzzy-Ableitungsregeln
Ziel:
formales System, mit Hilfe dessen aus einer FuzzyMenge von Prämissen eine Fuzzy-Menge von Konklusionen abgeleitet werden kann.
Definition
Eine Fuzzy-Ableitungsregel r = (r 0 , r 00 ) ist ein Paar von k-stelligen
Operationen mit:
r 0 : D → FL wobei D ⊆ FLk und
r 00 : [0, 1]k → [0, 1] so, daß
r 00 (a1 , . . . , aj = sup bi , . . . , ak ) = sup r 00 (a1 , . . . , bi , . . . , ak )
i∈I
für jeden Index 1 ≤ j ≤ k.
i∈I
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Fuzzy-Ableitungsregeln II
I
die Bedingung sichert die Stetigkeit,
I
Darstellung von Fuzzy-Ableitungsregeln:
ϕ1 , . . . , ϕ k
0
r (ϕ1 , . . . , ϕk )
I
a1 , . . . , ak
00
r (a1 , . . . , ak )
Wenn die Formeln ϕ1 , . . . , ϕk zum Grad a1 , . . . , ak gegeben
sind,
dann können wir folgern, daß die Formel r 0 (ϕ1 , . . . , ϕk )
mindestens zum Grad r 00 (a1 , . . . , ak ) gelten muß.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil
LAX ∈ F(FL ) –Fuzzy-Menge der logischen Axiome
Definition
Ein Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil ist ein Paar S = (LAX , R),
bestehend aus LAX ⊆ FL einer Fuzzy-Menge von logischen Axiomen
und einer Menge R von Fuzzy-Inferenzregeln.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beweise
Definition
Sei S = (LAX , R) ein Fuzzy-Hilbert-Beweissystem.
Sei u ∈ F(FL ) eine Fuzzy-Menge (von Hypothesen).
Ein Beweis π für einer Formel ψ aus u ist eine endliche Folge von
Formeln ϕ1 , . . . ϕn mit ϕn = ψ, zusammen mit einer Menge von
Rechtfertigungen“. Das bedeutet für eine gegebene Formel ϕi wird
”
gekennzeichnet, ob:
(i) ϕi als logisches Axiom,
(ii) ϕi wird als echtes Axiom, oder
(iii) ϕi als Ergebnis der Anwendung einer Fuzzy-Ableitungsregel,
d.h. ϕi = r 0 (ϕi1 , . . . ϕik ), wobei ij ∈ {1, . . . n − 1}, betrachtet
wird.
Es existieren immer genau zwei Beweise der Länge 1.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Bewertung der Beweise
u ∈ F(FL ), die Bewertung val(π, u) von π in bezug auf u
induktiv über die Länge m von π definiert:
- Falls m = 1, dann ist
(
LAX (ϕ1 )
val(π, u) =
u(ϕ1 )
betrachte ϕ1 als log. Axiom,
betrachte ϕ1 als echtes Axiom.
- Andernfalls ist


LAX (ϕm ) betrachte ϕm als log. Axiom,
val(π, u) = u(ϕm ) betrachte ϕm als echtes Axiom,

 00
r (val(πi1 , u), . . . val(πik , u))
falls B
B: ϕm = r 0 (ϕi1 , . . . , ϕik ), wobei ij ∈ {1, . . . n − 1}.
ist
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Bewertung der Beweise
I
I
I
Interpretation: Bei gegebener Information u, sichert der Beweis
π, daß die Formel ψ mindestens zum Grad val(π, u)gilt.
für eine Formel ψ kann ein zweiter Beweis π 0 existieren, mit
val(π 0 , u) ≥ val(π, u),
um den Grad der Gültigkeit einer Formel ψ bei gegebener
Anfangsbelegung u zu berechnen,müssen alle Beweise für ψ
berücksichtigt werden.
Definition
S = (LAX , R)–Fuzzy-H-System, u ∈ F(FL ), ψ ∈ FL .
DS (u)(ψ) = sup{val(π, u) | π ist ein Beweis für ψ}
DS (u)(ψ) ist die bestmögliche Bewertung für ψ, die wir aus der
Anfangsbelegung u ableiten können.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Lukasiewicz-Fuzzy-Logik FLn
I
benannt nach dem polnischen Mathematiker Jan Lukasiewicz,
der 1915 dreiwertigen Logikkalkül entwarf
I
Sei L ein Alphabet, das eine abzählbare Menge VAR von
Variablen, eine Menge von Symbolen {¬, →, ∧, ∨, &} für die
Junktoren, sowie für jede rationale Zahl q ∈ (Q ∩ [0, 1]) eine
logische Konstante q enthält.
I
Formelmenge FL über L ist dann wie gewöhnlich induktiv
definiert.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Axiomatisierung von FLn
Bezeichnungen:
λ1 (ϕ, χ, ψ)
λ2 (ϕ, χ, ψ)
λ3 (ϕ, χ, ψ)
λ4 (ϕ, χ, ψ)
=
=
=
=


a



1 − a
LAX (φ) =

1



0
0
00
rMP = (rMP
, rMP
):
ϕ → (φ → ϕ)
(ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))
(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)
((ϕ → ψ) → ψ) → ((ψ → ϕ) → ϕ)
falls φ = a,
falls φ = ¬a,
falls φ = λi (ϕ, χ, ψ), i ∈ {1, ..4}, ϕ, χ, ψ ∈ FL ,
sonst.
ϕ, ϕ → ψ
,
ψ
a, b
max{0, a + b − 1}
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Heap-Paradoxon
I
100000 Sandkörnchen bildet einen Haufen,
I
Wenn ich von einem Haufen ein Sandkörnchen wegnehme,
habe ich immer noch einen Sandhaufen übrig.
I
Ergebnis nach Iteration dieses Schlusses: Eine Menge von 0
Sandkörnchen ist ein Sandhaufen.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Heap-Paradoxon
für jedes n, 0 ≤ n ≤ 100.000}
{H(n)}:
n Sandkörnchen sind Haufen.
{H(n) → H(n − 1)}: Wenn n Sandkörnchen einen Haufen
bilden, dann bilden n − 1 Sandkörnchen
ebenfalls einen Haufen.
Anfangsbelegung u:


1
u(ϕ) = 0.99999


0
falls ϕ = H(100000),
falls ϕ = H(n) → H(n − 1), n ∈ {1, . . . , 100.000}
sonst.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beweise der Länge 1
π 1 = H(99999)(Logisches Axiom).
π 2 = H(99999)(Echtes Axiom).
Bewertungen der Beweise:
Val(π 1 , u) =LAX (H(99999)) = u(H(99999)) = Val(π 2 , u) = 0.
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beweise der Länge 3
π 3 = H(100000)
(Echtes Axiom),
H(100000) → H(99999)
(Echtes Axiom),
0 (H(100000), H(99999)) (Modus Ponens).
H(99999) = rMP
00 (val(π 3 ), val(π 3 ))
val(π 3 ) = rMP
1
2
00 (u(H(100000)), u(H(100000) → H(99999)))
= rMP
= max{0, 1 + 0.99999 − 1}= 0.99999
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beweise der Länge 3 fortgesetzt
π 4 = H(100000)
(Logisches Axiom),
H(100000) → H(99999)
(Echtes Axiom),
0 (H(100000), H(99999)) (Modus Ponens).
H(99999) = rMP
00 (val(π 4 ), val(π 4 ))
val(π 4 ) = rMP
1
2
00 (LAX (H(100000)), u(H(100000) → H(99999)))
= rMP
= max{0, 0 + 0.99999 − 1}= 0
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Beweise der Länge 3 fortgesetzt
π 5 = H(100000)
(Echtes Axiom),
H(100000) → H(99999)
(Logisches Axiom),
0 (H(100000), H(99999)) (Modus Ponens).
H(99999) = rMP
00 (val(π 5 ), val(π 5 ))
val(π 5 ) = rMP
1
2
00 (u(H(100000)), LAX (H(100000) → H(99999)))
= rMP
= max{0, 1 + 0 − 1}= 0
Rückblick und Überblick
Hilbert-Beweissysteme
Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme
Beweissystem für FLn
Auswertung Heap-Paradoxon
I
größte untere Schranke für den Wert der Beweise für
H(99999) ist hier 0.99999, d.h.
Dluk (u)(H(99999)) = 0.99999.
I
es existiert ein k ∈ N, so daß Dluk (H(k)) = 0. Für unsere
Anfangsbelegung u ist k = 1; ein einzelnes Sandkorn ist
Sandhaufen zum Grad 0,
I
Fuzzy-Logik ist geeignet, klassische Paradoxien aufzulösen.