Präsenzübung 12 inoffizielles Aufgabenblatt

Inozielle Aufgaben zur Präsenzübung 12 der Anwendungen der
Mathematik am 08.07.2016 und 10.02.2016
Tutor: Mirko Getzin
1. Aufgabe: Eigenschaften von Erwartungswerten
Es sei
(Ω, A , P)
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
X:Ω→R
eine Zufallsvariable.
V(X) = 0 und E(X) = 3. Welche Realisierungen x von X
Verteilung von X , das heiÿt P(X = x) für alle existierenden x.
(a) Es gelte
(b) Es gelte V(X)
Z = X 2.
=0
und
E(X) = 5.
gibt es? Bestimme die
Bestimme den Erwartungswert von der Zufallsvariable
(c) Zeige:
V(X) = E(X 2 ) ⇒ E(X) = 0.
(d) Zeige:
E(X 2 ) ≥ E(X)2
für jede Zufallsvariable
X.
(e) Beziehe Stellung zur folgenden Aussage: Die Varianz von einer Zufallsvariablen X ist die
erwartete quadratische Abweichung der Realisierungen x zum Erwartungswert von X . Nutze
bei deinen Erklärungen die Denition der Varianz und des Erwartungswertes, indem du die
Varianz als einen Erwartungswert einer transformierten Zufallsvariable darstellst.
(f ) Gebe ein Beispiel für...
•
eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert 0 wenn 1 (oder 2 oder 3) Realisierungen x
von X existieren.
•
•
eine Zufallsvariable mit Varianz 0.
eine Zufallsvariable mit einer Gleichverteilung (Laplace-Wahrscheinlichkeiten). Wie viele eintretenden Realisierungen kann eine Zufallsvariable X haben, welche der Verteilung
P(X = x) = 51 für alle x ∈ X(Ω) genügt?
2. Aufgabe: Transformierte Zufallsvariablen
Es seien
X, Y
zwei stochastisch unabhängig Zufallsvariablen.
(a) Gebe eine Formel an, welche die Berechnung des Erwartungswerts von
Z = XY
erleichtert.
Warum ist diese Formel verwendbar?
(b) Es gelte nun
E(X) = E(Y ) = c. Berechne den Erwartungswert von Z := 2XY + 3X + Y + 2
c.
in Abhängigkeit von
(c) Wie groÿ muss
c
sein, damit
E(Z) = 0
gilt?
X, Y zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit V(X) = V(Y ) = 2. BeV(X + Y ). Wie sieht die Varianz aus, falls X und Y nicht stochastisch unabhängig
(d) Es seien
stimme
sind? Welche zusätzlichen Informationen wären nötig, um die Varianz dann berechnen zu
können?
3. Aufgabe: Zufallsexperimente modellieren I
(a) Wir werfen in einem Zufallsexperiment ein Tetraeder (4 Flächen) und ein Oktaeder (8
Flächen) mit den Augenzahlen von 1 bis 4 bzw. 1 bis 8.
•
Gebe ein geeignetes Zufallsexperiment
raum
•
(Ω, A , P)
(Ω, p) und einen geeigneten Wahrscheinlichkeits-
an.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der Augenzahlen 3 ist. Formuliere hierzu zunächst ein geeignetes Ereignis
A ⊂ Ω.
•
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Wurf des Tetraeders die Augenzahl 2 erschienen,
wenn wir bereits wissen, dass die Augensumme beider Würfe 3 ist? Formuliere hierzu
ein weiteres geeignetes Ereignis und nutze die bedingte Wahrscheinlichkeit.
(b) Gebe ein Zufallsexperiment und einen Wahrscheinlichkeitsraum für das Lotto-Problem 6
aus 49 an. Diskutiere insbesondere die einzelnen Gröÿen in der auftretenden hypergeometrischen Verteilung.
(c) Wir werfen eine faire Münze so oft, bis sie das erste mal Kopf zeigt. Gebe ein geeignetes
Zufallsexperiment sowie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das erste Mal Kopf im 3. Zug auftritt. Führe hierzu eine geometrisch verteilte Zufallsvariable
T
ein.
4. Aufgabe: Zufallsexperimente modellieren II
Wir betrachten den neunfachen Münzwurf mit einer zunächst unfairen Münze (im letzten Aufgabenteil: fair!).
(a) Gebe ein geeignetes Zufallsexperiment für das neunfache Werfen einer unfairen Münze
(Wahrscheinlichkeit Kopf: p, Wahrscheinlichkeit Zahl: 1-p) an.
(b) Es sei
X
die Zufallsvariable, welche die Anzahl der Kopf-Ergebnisse nach 9 Münzwürfen
beschreibt. Gebe eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung
P(X = x)
von
X
an und
begründe deine Wahl.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nach 9 Münzwürfen mindestens 2 mal Kopf geworfen?
(d) Bestimme den Erwartungswert und die Varianz von
X
in Abhängigkeit von
p.
(e) Ein kluger Mathematiker hat sich folgendes Spiel überlegt: Wir werfen nun eine faire Münze
weiterhin 9 mal. Nach den Würfen zählen wir die Anzahl an Kopf-Würfen und die Anzahl
an Zahl-Würfen. Für jedes mal Zahl muss ein Spieler dem Mathematiker 1 Euro Zahlen, für
jedes mal Kopf muss der Mathematiker dem Spieler 2 Euro Zahlen. Um das Spiel spielen
zu dürfen, muss der Spieler zunächst einen Geldbetrag an den Mathematiker zahlen. Wie
hoch muss der Geldbetrag mindestens sein, damit der Mathematiker im Durchschnitt bei
dem Glücksspiel einen Gewinn erzielt?
5. Aufgabe: Kombinatorische Probleme
(a) Wiederhole die Kombinatorik-Tabelle.
(b) Im Basketballspiel unterscheidet man zwischen 5 verschiedenen Arten von Feldspielern. Eine
Basketballmannschaft umfasst 12 Personen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es,
die Positionen im Feld zu besetzen? Erkläre mittels Urnenmodell, wie die Feldpositionen
besetzt werden.
(c) Auch im Basketball: Angenommen jeder Spieler ist gleich gut auf jeder Feldposition. Dann
müssten wir nicht mehr zwischen den Arten von Feldspielern unterscheiden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es dann, ein fünfköpges Team auszuwählen. Erkläre mittels
Urnenmodell, wie die Feldpositionen nun besetzt werden.
(d) Aus einer Urne mit 10 verschiedenfarbigen Kugeln werden nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, fünf Kugeln zu ziehen? Was
ist n, was ist k? Gebe an, was bei Vertauschung von n und k für ein Kombinatorikproblem
entsteht.
(e) Überlegt euch zum übrigen kombinatorischen Fall (aus der Tabelle) eine Aufgabenstellung
und löst sie.
(f ) Überlegt euch ein kombiniertes (mehrstuges) Problem, welches sich über das allgemeine
Zählprinzip lösen lässt.