Konzept für die Übungen

Übungen zur Vorlesung Nuklearmedizin
Klaus-Hendrik Wolf
31. Oktober 2000
Motivation der Übungen: Die Übungen zur Vorlesung werden in Form
einer Vortragsübung gehalten. In den Übungen sollen die Grundlagen gelegt
werden, um die in den Vorlesungen vorgestellten Verfahren besser verstehen
zu können.
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Atom- und kernphysikalische Grundlagen
1.1
Atommodelle
Materie besteht aus Molekülen, die ihrerseits aus Atomen zusammengesetzt sind. Atome
können aufgrund ihrer chemischen Eigenschaften in verschiedene Elemente klassifiziert
werden. Die Vorstellung von Atomen als kleinste Bestandteile der Materie, die als solche
unteilbar sind, geht auf die griechische Philosophie (Demokrit, Aristoteles) zurück.
In der Chemie wurde erkannt, dass viele Elemente ein ähnliches chemisches Verhalten
aufweisen. Im Jahr 1869 entwickelten Dimitrij Mendelejew und Julius Meyer mit
diesem Wissen unabhängig voneinander das so genannte Periodensystem der Elemente.
Bei der Konzeption waren viele Stellen dieses Modells noch unbesetzt, die durch spätere
Entdeckung jedoch gefüllt wurden. Inzwischen ist es möglich das Periodensystem auch
mit dem Aufbau der Atome und der Quantenphysik zu erklären.
Während der Jahrhundertwende vom 19. zum 20. Jahrhundert machten einige Wissenschaftler Entdeckungen, die das klassische Atommodell ins Wanken brachten, da
dieses insbesondere die elektrischen Eigenschaften von Atomen nicht erklären konnte.
Deshalb interpretierte Joseph Thomson 1903 das Atom als eine positive geladene
Kugel, in die einzelne negative punktförmige Ladungen (Elektronen) eingebettet sind.
Mit Hilfe dieses Modells ließ sich der Durchmesser eines Atoms bestimmen (d = 10−10 m).
1.1.1
Die Elektronenhülle
Schon acht Jahre später fand Ernest Rutherford einen Widerspruch zu diesem Atommodell. Er stellte fest, dass es einen Atomkern gibt, der einen Durchmesser von 10−15 m
hat. Er stellte sich das Atom als einen positiv geladenen Kern vor, der von negativen
Ladungen umkreist wird. Leider bildet ein Atom nach diesem Modell einen Dipol, der
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beständig elektromagnetische Wellen aussenden müsste. In der Realität ist dies jedoch
nicht der Fall. Damit beinhaltet auch dieses Atommodell einen Widerspruch.
Niels Bohr verbesserte im Jahr 1913 dieses Atommodell, um das Absorptionsspektrum des Wasserstoffs zu erklären. Er stellte drei Postulate auf, um die Lücken des
Atommodells von Rutherford zu schließen.
1. Quantenpostulat: Es gibt stationäre Bahnen, auf denen die Elektronen laufen. Bei
der Bewegung auf diesen Bahnen senden sie keine Strahlung aus.
2. Übergangspostulat: Elektromagnetische Strahlung wird immer dann ausgesandt,
wenn ein Elektron von einer Bahn m auf eine Bahn n springt. Die Frequenz
dieser Strahlung lässt sich mit folgender Formel berechnen:
Wn − Wm = hfnm
(1)
Dabei ist h = 6, 626 · 10−34 J·s das so genannte Plancksche Wirkungsquantum.
3. Korrespondenz-Prinzip: Für große Quantenzahlen n → ∞ geht die Quantenmechanik in die klassische Mechanik über.
Mit diesen Postulaten wendete Bohr als erster die Quantenmechanik auf das Atom an.
Ein Elektron kann Energie nur in definierten Quanten abgeben und somit nicht ständig
Energie aussenden. Da nur mit dieser Erweiterung das Atommodell von Rutherford
widerspruchsfrei ist, spricht man auch vom Rutherford-Bohrschen Atommodell.
Die Vorstellung, negativer Ladungen, die einen positiv geladenen Kern umkreisen,
hat sich bis heute bestätigt. Allerdings geht man nicht mehr davon aus, dass sich die
Elektronen auf Bahnen bewegen, sondern dass es einen Bereich gibt, in dem sich ein
Elektron mit hoher Wahrscheinlichkeit aufhält.
Die Bahnen entsprechen unterschiedlichen diskreten Energieniveaus. Die Elektronen
können zwischen den verschiedenen Energieniveaus wechseln, wenn sie Energie erhalten
oder abgeben. Da es sich um diskrete Niveaus handelt, kann ein Atom nur bestimmte,
charakteristische Energiequanten aussenden.
Der Zustand der Elektronen im Atom wird eindeutig durch vier Quantenzahlen bestimmt: die Hauptquantenzahl n, die Bahndrehimpulsquantenzahl l, die magnetische
Quantenzahl m und die Spinquantenzahl s. Diese Zahlen stehen in folgendem Zusammenhang: Zu einer Hauptquantenzahl n gehören die Drehimpulsquantenzahlen l =
0, 1, 2, . . . , (n − 1) und magnetische Quantenzahlen m zwischen −l und l. Die Spinquantenzahl besitzt den Wert 21 .
Innerhalb eines Atoms müssen sich die Elektronen mindestens hinsichtlich
einer ihrer vier Quantenzahlen unterscheiden.
(Pauli-Prinzip)
Alle Elektronen mit einer Hauptquantenzahl n bilden eine Elektronenschale. Elektronen mit gleicher Hauptquantenzahl n aber unterschiedlicher Bahnimpulsquantenzahl l
bilden Unterschalen. In einer Schale n existieren höchstens 2n2 Elektronenzustände.
Somit kann die Schale n maximal 2n2 Elektronen beinhalten. Die zu n = 1, 2, 3, 4, . . .
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gehörenden Schalen werden der Reihe nach als K-, L-, M -, N -· · ·Schale bezeichnet,
deren Unterschalen l = 0, 1, 2, 3, . . . mit s, p, d, f, . . ..
Die Elektronen der äußersten Schale bestimmen die chemischen Eigenschaften der
Atome. Übergänge der äußeren Elektronen sind mit Emission oder Absorption von
Strahlung im ultravioletten, sichtbaren und infraroten Spektrum verbunden.
Wird ein Elektron aus einer inneren Schale abgetrennt, so springt ein Elekron aus
einer höheren Schale an dessen Stelle. Bei diesem Vorgang wird charakteristische Röntgenstrahlung mit Linienstruktur ausgesandt.
Die Linien bilden Serien, die durch die Schale des abgetrennten Elektrons charakterisiert werden. Entsprechend der Schale spricht man von K-, L-, M -, N -· · ·Serie des
charakteristischen Spektrums.
1.1.2
Der Atomkern
Der Aufbau des Atomkerns war lange Zeit unbekannt. Rutherford war der Ansicht,
dass der Atomkern aus Protonen besteht. Protonen sind positiv geladene Elementarteilchen, besitzen die Masse 1,007 u und eine positive Ladung entsprechend einer Elementarladung e0 . Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton. Die Atomkerne der
anderen Elemente bestehen neben Protonen auch aus Neutronen. Neutronen sind nicht
elektrisch geladen, ihre Masse beträgt 1,008 u. Die Bausteine eines Atomkerns werden
als Nukleonen bezeichnet, der Atomkern selbst heißt Nukleus. Die Art eines Atomkerns
wird durch die folgenden Größen bestimmt:
• Anzahl der Protonen = Ordungszahl Z
• Anzahl der Neutronen (N )
• Massenzahl A = N + Z
• Kernmasse mk
• Bindungsenergie EB
• Kernradius rK
• Kernspin I
• magnetisches Kernmoment µ
Eine durch Protonen- und Massenzahl gekennzeichnete Atomart heißt Nuklid. Zur Kennzeichnung eines Nuklids wird vor das Symbol des chemischen Elements als oberer Index
die Massenzahl und als unterer Index die Ordungszahl geschrieben. 27
13 Al ist ein Nuklid
des Aluminiums mit der Masssenzahl 27 und der Kernladungs- oder Ordnungszahl 13.
Nuklide mit gleicher Ordnungszahl, die sich in der Masse, also der Anzahl der Neutronen,
unterscheiden werden als Isotope bezeichnet. Für den Zusammenhalt der Nukleonen sind
die sogenannten Kernkräfte verantwortlich. Sie übertreffen die elektrostatischen Abstoßungskräfte zwischen den Protonen um den Faktor 135 und die Gravitationskräfte um
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das 10−38 fache. Die Wirkung der Kernkräfte ist abstandsabhängig. Bei Abständen unter 0, 7 · 10−15 m wirken sie abstoßend, bei größeren Abständen anziehend. Schon Ab
2 · 10−14 m verlieren sie ihre Wirkung.
Bei der Verbindung von Nukleonen zu Atomkernen wird die so genannte Bindungsenergie frei, die dem zur Überwindung der Kernkräfte notwendigen Arbeitsaufwand entspricht. Diese Bindungsenergie entspricht dem Massendefekt. Die Summe der Massen
der Nukleonen ist kleiner als die Masse des Atomkerns.
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