Handout Uebung 10

Übung zu Mikro III (SS 04)
Tri Vi Dang
Handout zu Übung 10
Vorbemerkung:
Hinweise auf Fehler sind willkommen.
Keine Gewähr für die vollständige Richtigkeit der Ausführungen.
Thema: Märkte bei unvollkommener Information (Versicherungsmarkt)
Aufgabe 3.5 (Signaling auf Versicherungsmarkt)
H=2 Spieler
Spieler N (Versicherungsnehmer)
Spieler F (Versicherungsfirma)
Nutzenfunktionen
Spieler F ist risikoneutral
Spieler N hat Nutzenfunktion mit folgender Eigenschaft
U(0)=0
U(1000)=50
U(3000)=85 U(4000)=95
U(2000)=70
U(5000)=100
N hat Anfangsvermögen von 5000.
Spielstruktur
Sei T die Punktzahl beim Fahrtest.
Stufe 1 : F bietet ZWEI Verträge an.
Vertrag VT: Falls T ≥ T*, dann Vollversicherung zum Preis (Prämie) von 1000.
Vertrag VO: Falls T < T*, dann Vollversicherung zum Preis von 3000.
1
Stufe 2 : N hat zwei Entscheidungen zu treffen
(1)
Wahl von T∈R+ UND
(2)
Versicherungsentscheidung : KV, VO, VT.
KV
VO
VT
: Keine Versicherung
: Versicherung ohne Test (P=3000)
: Versicherung mit Test (P=1000)
Informationen
Spieler N hat private Informationen
N hat 2 Typen : {guter Fahrer, schlechter Fahrer}={G,S}
Typen UNTERSCHEIDEN sich in zwei Eigenschaften.
Æ
Unfallwahrscheinlichkeit UND Kosten beim Fahrtest.
Typ G
Vermögen
Keine Versicherung
S1 (Unfall)
pG1=0.2
0
Zustand
S2 (Kein Unfall)
pG2=0.8
5000
S1 (Unfall)
pS1=0.6
0
Zustand
S2 (Kein Unfall)
pS2=0.4
5000
Kosten des Fahrtests : y=0.2T
Typ S
Vermögen
Keine Versicherung
Kosten beim Fahrtest: x=0.5T
Bemerkung
Aus Sicht der Versicherungsfirma ist der gute Fahrer der “gute“ Typ.
Ziel : Bestimmung EINES Trenn-Gleichgewichts.
2
Frage 1
Wie viele Alternativen (Strategien) hat Spieler N?
Antwort 1
Strategien
1
2
3
4
.....
Punktzahl T
0
0
1
2
Versicherung
Ja
Nein
Ja
Nein
Frage 2
Was muss man berücksichtigen, bei der Konstruktion eines Trenn-GG, in dem nur gute Fahrer
am Test teilnehmen UND alle Individuen eine Versicherung abschließen?
3
Antwort 2
(1)
Partizipationsbedingungen (Individuelle Rationalität) für Typ G UND S, d.h.
EU(Vertrag) ≥ EU(Kein Vertrag)=Outside Option
(1a)
IRG : EUG(T*,VT) ≥ EUG(0, KV)
(1b)
IRS : EUS(0,VO) ≥ EUS(0, KV)
(2)
Anreizkompatibilitätsbedingung (Incentive compatibility) für Typ G UND S, d.h. Typ
S soll sich nicht als Typ G ausgeben (vice versa).
(2a)
ICG : EUG(T*,VT) ≥ EUG(0, VO)
(2b)
ICS :
EUS(0,VO) ≥ EUS(0, KV)
Frage 3
Wann macht G-Typ Fahrtest und wählt Versicherung?
Antwort 3
Schritt 1
4
Schritt 2
Typ G wählt (T*,VT), wenn
EU(T*,VT) ≥ max {EU(0,KV), EU(0,VO)}
95−0.2T*≥80
T*≤75.
Frage 4
Wann macht S-Typ kein Fahrtest und wählt Versicherung?
Antwort 4
Schritt 1
EU(0,KV)
=0.6U(0)+0.4U(5000)=40
EU(0,VO)
=U(2000)=70
EU(T*,VM) =U(4000)−0.5T*=95−0.5T*
Schritt 2
Typ G wählt (0,VO), wenn
EU(0,VO) ≥ max {EU(0,KV), EU(T*,VT)}
70≥95−0.5T*
T*≥50.
5
Frage 5
Wann existiert ein Trenn-GG und wie seiht es aus?
Antwort 5
Spieler F bietet folgende Verträge an.
Vertrag VT: Falls T ≥ T*, dann Vollversicherung zum Preis (Prämie) von 1000.
Vertrag VO: Falls T < T*, dann Vollversicherung zum Preis von 3000.
G-Typ von Spieler N wählt T=T* und VT
S-Typ von Spieler N wählt T=0 und VO.
Bemerkung
Auch hier gilt: Der guter Typ leidet darunter, dass es schlechte Typen gibt.
Bei symmetrischer Informationen
Æ
G-Typ zahlt P=1000 OHNE Testkosten.
Aufgabe 3.6 (Moral Hazard auf Versicherungsmarkt)
H=2 Spieler
Spieler O (Versicherungsnehmer)
Spieler F (Versicherungsfirma)
Nutzenfunktionen
Spieler F ist risikoneutral
Spieler O hat Nutzenfunktion mit folgender Eigenschaft
U(0)=0
U(25)=30
U(75)=95
U(100)=100
U(50)=80
N hat Anfangsvermögen von 100.
6
Handlungsalternativen von O
Vorsichtig fahren (S)
Unvorsichtig fahren (R)
Æ
F∈{S, R}
F: Fahrstil
Auszahlung der Alternativen
S
S1 (Unfall)
p1=0.5
0
Zustand
S2 (Kein Unfall)
p2=0.5
100
S1 (Unfall)
p1=0.75
Zustand
S2 (Kein Unfall)
p2=0.25
R
0+ε
100+ε
Beachte: ε in NUTZENEINHEITEN.
Aufgabe 3.6 a
Frage 6
Welche Alternative wählt Spieler O?
Antwort 6
EU(R) =0.75U(0)+0.25U(100)+ ε=25+ε=35.
Æ
Spieler O wählt Alternative S.
Aufgabe 3.6 b
Versicherung kann Fahrstil BEOBACHTEN und bietet zwei Verträge an.
Vertrag S (VS)
: Vollversicherung für P=50, falls Spieler O vorsichtig fährt.
Vertrag R (VR)
: Vollversicherung für P=75, falls Spieler O unvorsichtig fährt.
7
Frage 7
Welche Alternative wählt Spieler O?
Antwort 7
Schritt 1
EU(KV, S) =0.5U(0)+0.5U(100)=50
EU(VS, S) =U(50)=80
EU(KV, R)=0.75U(0)+0.25U(100)+ε=25+ε=35.
EU(VR, R)=U(25)+ε=30+ε=40.
Schritt 2
Spieler O wählt, (VS, S).
Æ
Versicherung für vorsichtig Fahren für P=50 UND Vorsichtig fahren.
8
Aufgabe 3.6 c
Die Versicherungsfirma F kann NICHT beobachten, wie Spieler O fährt, d.h. es gibt keine
Verträge konditioniert auf den Fahrstil.
Frage 8
Angenommen, Spieler O hat die Versicherung abgeschlossen. Wie fährt Spieler O?
Antwort 8
Schritt 1
EU(V, S) =U(100−P)
EU(V, R)=U(100−P)+ε
Aufgabe 3.6 d
Frage 9
Wie hoch muss P sein, damit F einen Gewinn von Null macht?
Antwort 9
Gewinn
(V, R)
S2 (Kein Unfall)
p2=0.25
P
S1 (Unfall)
p1=0.75
P−100
Nullgewinn: P=75.
9
Aufgabe 3.6 e
Frage 10
Spieler F antizipiert das Moral Hazard Problem und verlangt P=75. Was macht Spieler O?
Antwort 10
Schritt 1
EU(K, S) =0.5U(0)+0.5U(100)=50
EU(V, S) =U(25)=30
EU(K, R)=0.75U(0)+0.25U(100)+ε=25+ε=35
EU(K, R)=U(25)+ε=30+ε.=40
Æ
Spieler O wählt (S, K).
Bemerkung:
Es gibt KEIN GG mit vollem Versicherungsschutz.
F muss mindestens P=75 verlangen.
Bei P=75 kauft O keine Versicherung.
10
Aufgabe 3.6 f
Versicherungsfirma CO bietet zum Preis von 25 eine Teilversicherung an, die für 50% des
Schadens aufkommt.
Frage 11
Angenommen, Spieler O hat diese Versicherung gekauft. Wie fährt Spieler O?
Antwort 11
EU(V, R)=0.75U(25)+0.25U(75)+ε=22.5+23.75+10=56.25
Æ
Spieler O fährt sicher bzw. vorsichtig.
Aufgabe 3.6 g
Frage 12
Sollte Spieler O, diese Versicherung kaufen, wenn es die einzig erhältliche ist?
Antwort 12
EU(KV, S)=50
EU(KV, R)=0.75U(0)+0.25U(100)+ε=25+ε=35
EU(V, S)=62.5
EU(V, R)=56.25
11
Aufgabe 3.6 h
Frage 13
Wie hoch ist der erwartete Gewinn von Spieler CO, wenn P=25?
Antwort 13
Gewinn
(V, S)
S1 (Unfall)
p1=0.5
P−50
S2 (Kein Unfall)
p2=0.5
P
Aufgabe 3.6 i
Frage 14
Angenommen Spieler O akzeptiert diesen Versicherungsvertrag (Teilversicherung), ist dies
Pareto-optimal?
Antwort 14
Bemerkung
Der Vergleich der Versicherung aus (b) und (f) ist problematisch, da die Police in (b) nur bei
VOLLKOMMENER Information möglich ist.
Teilversicherung berücksichtigt, explizit das Moral Hazard Problem.
Æ
“constraint“ efficiency
Æ
Vertrag mit höchstmöglicher Teilschadensdeckung maximiert EU unter allen
Teilschadensversicherungen
12
Aufgabe 3.6 j
Frage 15
Angenommen eine Versicherung deckt p% des Schadens und macht Nullgewinn. Welche
Bedingung muss allgemein erfüllt sein, damit es trotz asymmetrischer Information zu einem
Versicherungsabschluss kommt, d.h. wie hoch darf p sein?
Antwort 15
Firmen haben RATIONALE ERWARTUNGEN.
(1)
Falls die prozentuale Schadensdeckung zu hoch ist
Æ
Moral Hazard (riskant fahren)
Æ
F antizipiert das und erhöht Prämie
Ein GG von Typ (1) ist
Spieler O kauft Versicherung mit riskant fahren angepasster Prämie
Spieler O fährt riskant
Spieler F macht Nullgewinn
(2)
Prozentuale Schadensdeckung nicht zu hoch
Æ Kein Moral Hazard (vorsichtig fahren)
Ein GG von Typ (2) ist
Spieler O kauft Versicherung mit Prämie für vorsichtiges fahren
Spieler O fährt vorsichtig
Spieler F macht Nullgewinn
Behauptung 1
Es gibt kein GG vom Typ (1)
Beweis 1
Bemerkung: Aufgabe (e) hat gezeigt, dass es für p=100% kein GG gibt.
Schritt 1
Annahme: Spieler O kaufe Versicherung und fahre riskant.
13
Schritt 2 (EU von Spieler O mit Versicherung basierend auf riskantes Fahren)
EU(V, R)=0.75U(100−100+100p−75p)+0.25U(100−75p)+10
Æ
EU(V,R)=0.75U(25p)+0.25U(100−75p)+10
Schritt 3 (EU von Spieler O ohneVersicherung und vorsichtig fahren)
EU(S, K) =0.5U(0)+0.5U(100)=50
(siehe Antwort 6)
Schritt 4
Für alle p∈[0,1], gilt
EU(V,R)=0.75U(25p)+0.25U(100−75p)+10<50.
Æ
Es existiert kein GG vom Typ (1).
Behauptung 2
Es existiert ein GG vom Typ (2).
Beweis 2
Antwort 12 und 13 haben (bereits) zeigen, dass für p=50% ein solches GG existiert.
Allgemeiner
Schritt 1
Annahme: Spieler O kaufe Versicherung und fahre vorsichtig.
14
Damit ein solches GG existiert, muss gelten
EU(V, S)>max {EU(V, R), EU(KV, S), EU(KV, R)}
EU(KV, S)=50
EU(KV, R)=35
EU(V, S) =0.5U(100p−50p)+0.5U(100−50p)=0.5U(50p)+0.5U(100−50p)
EU(V, R)=0.75U(100p−50p)+0.25U(100−50p)+10=0.75U(50p)+0.25U(100−50p)+10
Schritt 2
Definiere p’, so dass für p=p’ gilt EU(V, S) = EU(V, R).
Für alle p<p’ folgt EU(V, S)>max {EU(V, R), EU(KV, S), EU(KV, R)}.
15