Mathe+
Werbung
Mathematik Vertiefungskurs „Ich habe eben die Ergebnisse in Mathe bekommen, gerade mit 3,3 geschafft. Was mich aber aus der Fassung gebracht hat, ist die Tatsache, dass 3/4 des Gesamtjahrgangs (Maschinenbau) durchgefallen ist. Jetzt weiß ich, warum alle vor Mathe Schiss haben. Das muss man sich echt auf der Zunge zergehen lassen: 3/4 von 500 Studenten müssen die Klausur noch mal schreiben, wenn die nicht bestanden wird, dann sieht es echt düster mit dem Studium aus“. F1 Erster vorläufiger Bildungsplan Jahrgangsstufe 11 : Verbindlicher Teil (1) Einführung in die Aussagenlogik (2) Einführung in Beweisverfahren (3) Gleichungen und Ungleichungen lösen (4) Folgen, Reihen, Konvergenz (5) Mengen, Relationen, Graphen l (21 Wochen) (4 Wochen) (3Wochen) (5Wochen) (6 Wochen) (3 Wochen) Jahrgangsstufe 12 : Verbindlicher Teil (1) Mengen, Relationen, Graphen ll (2) Parameterdarstellung und Polardarstellung (3) Komplexe Zahlen (11 Wochen) (3 Wochen) (4 Wochen) (4 Wochen) Jahrgangstufe 11 und 12: Beispiele für Wahlmodule (1) Integrationstechniken (2) Zahlentheorie und Kryptographie (3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen F2 Vorschlag RPF Pflichtmodule 1. Komplexe Zahlen • Gauß’sche Zahlenebene, • Rechnen mit komplexen Zahlen, • Lösen von Gleichungen 2. Weiterführung der Funktionsuntersuchungen • Gleichungslehre • Rationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen • Umkehrfunktionen • Differentiations- und Integrationstechniken 3. Vertiefte Untersuchungen von Folgen und Reihen • Konvergenz • vollständige Induktion • rekursive Folgen • arithmetische und geometrische Folgen und Reihen. F3 Vorschlag RPF Wahlmodule 1. Zahlentheorie und Kryptographie • Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung • Rechnen mit Restklassen • Verschlüsselungsverfahren 2. Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen • Potenzreihen, Konvergenzradius • Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen 3. Weiterführung der Stochastik • bedingte Wahrscheinlichkeit. • Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Markoff-Ketten 4. Elemente der linearen Algebra • Matrizenrechnung • Abbildungen F4 Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung (Empfehlung der Regierungspräsidien) Leitgedanken • Einführung in besondere Denk- und Arbeitsweisen mit Schwerpunkt auf begrifflichen Strukturen und hierarchischen Verknüpfungen • Vertieftes Kennenlernen und aktives Anwenden von ausgewählten inhaltlichen und fachmethodischen Grundlagen • Ausbau der Rechenfertigkeiten • Kennenlernen grundlegender Beweisverfahren • Treffen begründeter Studienentscheidungen • Geschichtliches F5 Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler können • grundlegende mathematische Begriffe, Notationen und Konzepte verstehen und anwenden, • komplexe symbolische Rechnungen ohne Hilfsmittel ausführen, • Beweise nachvollziehen und Beweisverfahren in einfachen Fällen auf neue Sachverhalte übertragen. F6 Pflichtmodule (1) Aussagenlogik und Beweistechniken Aussage, Existenz- und Allquantor, Verknüpfung von Aussagen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz), Beweise mit Wahrheitstabelle, aussagenlogische Gesetze; Voraussetzung, Behauptung, Satz, Umkehrsatz, Kontraposition, notwendige und hinreichende Bedingung, direkter und indirekter Beweis, vollständige Induktion (2) Vertiefung der Gleichungslehre Definitionsmenge, Lösungsmenge, Äquivalenzumformungen, Bruchgleichungen , Wurzelgleichungen, Polynomdivision, Betragsgleichungen, Ungleichungen F7 Pflichtmodule (3) Folgen und Reihen Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz, Konvergenzsätze (4) Komplexe Zahlen Gauß‘sche Zahlenebene, Rechnen mit komplexen Zahlen, auch Polardarstellung, Lösen von Gleichungen F8 Wahlmodule (1) Weiterführung der Funktionsuntersuchungen Rationale, trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktionen, Differentiations- und Integrationstechniken (2) Zahlentheorie und Kryptographie Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung, Rechnen mit Restklassen, Verschlüsselungsverfahren (3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen Konvergenzradius, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen (4) Weiterführung der Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Markoffketten (5) Elemente der Linearen Algebra Matrizenrechnung, Abbildungen F9 Kontakt ILIAS Die ILIAS-Plattform der Universität Stuttgart (Integriertes Lern-,Informations- und ArbeitskooperationsSystem) http://www.mathematik.unistuttgart.de/studium/schuelerzirkel/matheplus.html Anmeldung: (1) Name auf die Liste oder Nachweis der Schule (2) e-mail an [email protected] F 10 Zertifikat Freiwillige zentrale Zertifikatsklausur am Freitag, den 27.9. an den Universitäten Konstanz, Freiburg, Tübingen, Ulm, Karlsruhe, Stuttgart, Heidelberg Ausstellung eines Zertifikats F 11 Beispiel für Klausuraufgaben Aussagenlogik und Beweisverfahren (ohne Hilfsmittel) Vollständige Induktion: 1 n für n lN k 1 k(k 1) n 1 n (1) n(n 1) k k 1 2 n (2) 3 (leicht) 2 für n lN (mittelschwer) 2 k(k 1) (k 1) (k 4k 4) 3 2 (k 1) 4 2 Lösung: …. F 12 Beispiel zu Klausuraufgaben Konvergenz n2 , n lN (1) Gegeben ist die Folge an 2 2n 5 a) Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge. an an. b) Geben Sie die Definition der Konvergenz a lim n c) Beweisen Sie für die oben angegebene Folge an und den von Ihnen gefundenen Grenzwert a, dass die Definition an erfüllt ist. der Konvergenz a lim (mittel) n (2) Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert durch Anwendung der Sätze über konvergente Folgen 2n 3n an n n , n lN (schwer) 2 3 F 13 Zertifikatsklausur Die Probeklausur….. F 14 Unterrichtsumsetzung 1. 2. 3. 4. Komplexe Zahlen Folgen Vollständige Induktion Funktionen: Reelle Funktionen, ganzrationale Funktionen, Polynome, Nullstellen (auch doppelte, dreifache,…), Linearfaktorzerlegung, Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen, Umkehrfunktionen 5. Integrationsmethoden Partielle Integration, Integration durch Substitution F 15 Andere Unterrichtsgänge (1) (1) Folgen Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische Folgen, Fibonacci-Folge, Heron- und Newtonverfahren (2) Vollständige Induktion Summenformeln, Teilbarkeit, n-te Ableitung (3) Eigenschaften von Folgen Konvergenz, Monotonie, Beschränktheit (4) Reihen arithmetische und geometrische Reihe, einfache Konvergenzbetrachtungen bei der harmonischen Reihe, Paradoxon von Zenon (5) Integrationsmethoden Substitution, partielle Integration, Kombination der Verfahren (Kreis) Taylorreihe F 16 Andere Unterrichtsgänge (2) (1) Ableitung: Beweis der Potenzregel für ganze Zahlen (2) Zahlbereichserweiterung lR C (z = a + ib) Addition, Subtraktion, Multiplikation (3) Nullstellen von Polynomen; Linearfaktorzerlegung Polynomdivision; Exkurs in die gebrochenrationalen Funktionen (Asymptoten - Anwendung der Polynomdivision) Lösungen in C (4) Division komplexer Zahlen; konjugiert komplexe Zahl (5) Darstellung komplexer Zahlen in der Gauß‘schen Zahlenebene (6) Polarkoordinaten einer komplexen Zahl; Euler-Formel (7) Mandelbrotmenge und Julia-Menge (8) Taylor-Polynom des Sinus und Cosinus (9) Begründung der Euler-Formel mit (8) (10) Approximation der Zahl e (11) Ableitung der Umkehrfunktion (12) Beweis der Euler-Formel ohne Taylorreihen; dazu braucht man die vollständige Induktion F 17 Andere Unterrichtsgänge (3) Komplexe Zahlen _________________________________________________________ Funktionen und Gleichungen 1. Algebraische Gleichungen - ganzrationale Funktionen Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung, Beweise mit dem Fundamentalsatz, transzendente und algebraische Zahlen (auch deren Anzahl – Cantor), abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich, gleichmächtige Mengen, Bijektion, Newton-Verfahren, Horner-Schema 2. Gebrochenrationale Funktionen Definition und Asymptoten, Quotientenregel, Integration durch Partialbruchzerlegung 3. Exponentialfunktionen – Hyperbelfunktionen Umkehrfunktion, injektiv, Ableitung der Umkehrfunktion, Produktintegration, Integration durch Substitution, hyperbolische Funktionen, Bogenlänge F 18 Komplexe Zahlen Der Einstieg….. F 19 Komplexe Zahlen Zahlbereichserweiterungen: lN Z Q lR Ein paar Rechenaufgaben zum Warmwerden Satz 1: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt mindestens eine weitere rationale Zahl. (erster Beweis) Die rationalen Zahlen liegen dicht. Hilfssatz: Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden ganzen Zahl ist ungerade. (erster eigenständiger Beweis) Satz 2: 2 ist keine rationale Zahl (indirekter Beweis) F 20 Vorgehensweise Hilfssatz: Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden ganzen Zahl ist ungerade. Tipp: Jede gerade ganze Zahl lässt sich in der Form g 2 k mit k Z , jede ungerade ganze Zahl lässt sich in der Form u 2 k 1mit k Z darstellen. Beweis des Hilfssatzes: g2 (2k)2 2 (2k)2 u2 (2k 1)2 4k 2 4k 1 2 (2k 2 2) 1 F 21 Komplexe Zahlen 2. Komplexe Zahlen z = a + ib Definition von i Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Einschub: binomische Formeln, Wdh DG, Rechnen mit Wurzeln (teilweise Radizieren, Nenner rational machen – auch mit 3. binomischer Formel) 3. Konjugiert komplexe Zahlen Definition und Lage im Koordinatensystem Die Rollen von i und –i Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division F 22 Komplexe Zahlen 4. Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene Darstellung der Zahl z als Punkt oder Ortsvektor, Polarkoordinaten Betrag einer komplexen Zahl, insbesondere Lösungen von zn = a Trigonometrische Form einer komplexen Zahl z r (cos() isin()) 5. Einschub: Beweis der Additionstheoreme zur Vorbereitung der Multiplikation F 23 Komplexe Zahlen 5. Multiplikation und Division in Polarkoordinatendarstellung Geometrische Deutung als Drehung bzw. Drehstreckung 6. Einschub: Folgen und Vollständige Induktion Die Türme von Hanoi (explizite und rekursive Darstellung) Gauss Summe, Summe aller geraden Zahlen (ungeraden Zahlen, Quadratzahlen) Summenzeichen 7. Potenzen komplexer Zahlen Potenzen einer Zahl z auf dem Einheitskreis Formel von Moivre mit vollständiger Induktion bewiesen geometrische Lage von Potenzen z,z2,z3,…,zn (Kreis, Spirale) F 24 Komplexe Zahlen 8. Wurzeln n-te Einheitswurzeln und Kreisteilungsgleichung zn = 1 n-te Wurzeln als Eckpunkte eines regulären n-Ecks 9. Funktionen in C Lineare Funktionen: Translation f(z) = z + b Drehstreckung f(z) = a z Allgemein: f(z) = a z b Komplexwertige Folgen: (Mandelbrotmenge, Fraktale) Physikalische Anwendung: Beschreibung von Kreisbewegungen, Wechselstrom 10. Lösungen algebraischer Gleichungen (Geschichtliches) F 25 2000 v. Chr. Babylonier 300 v. Chr. Euklid 16.Jahrhundert 1540 - 1603 F. Vieta 1500 -1557 N. Tartaglia 1501 - 1576 G. Cardano „Klaut“ diese Formeln Cardanosche Formeln 1522 – 1565 L. Ferrari 1802 -1829 N.H. Abel 1811 - 1832 E. Galois 1777 - 1855 C.F. Gauß Formulierte Bedingungen, mit denen sich für jede gegebene Gleichung beliebigen Grades entscheiden lässt, ob sie auflösbar ist. Verknüpfte die Theorie der Gleichungen mit dem Gruppenbegriff Galoistheorie Letzte Zusammenfassung in der Nacht vor seinem tödlichen Duell. Komplexe Zahlen 11. Der Fundamentalsatz der Algebra (Fassung von C.F. Gauß) Jede Gleichung der Form f(z) zn an1 zn1 an2 zn2 ... a1 z a0 0 mit n 1 und ai C hat in C mindestens eine Lösung. Es gibt viele Beweise für diesen Satz. F 33 Der Fundamentalsatz der Algebra Von einem der Beweise wird mithilfe von Geogebra eine Grundidee vermittelt, und zwar am Beispiel eines Polynoms vom Grad 3: f(z) z3 (2 i) z 2 i z (4 3i) g( z ) h( z ) 1. Betrachtet werden zunächst die Funktionen g und h mit g(z) z und h(z) i z (4 3 i) . 3 F 34 Der Fundamentalsatz der Algebra Ein Kreis Kz um den Ursprung in der z-Ebene wird durch g mit w = g(z) in einen Kreis Kw um den Ursprung in der w-Ebene abgebildet. Wird Kz einmal durchlaufen, wird der Bildkreis K dreimal durchlaufen. F 35 Der Fundamentalsatz der Algebra Kreis Kz um den Ursprung der z-Ebene mit dem Radius r wird durch h mit w = h(z) = iz + (4 + 3i) in einen Kreis in der w-Ebene abgebildet, der den Mittelpunkt w 4 3i und den Radius rw i r r hat. 0 F 36 Der Fundamentalsatz der Algebra 2. Die weitere Idee ist nun, dass sich die Funktion f mit f(z) z (2 i) z i z (4 3i) wie im Reellen 3 g( z ) 2 h( z ) für große lzl = r annähernd wie g und für sehr kleine lzl = r näherungsweise wie h verhält. Verkleinert man den Radius r des Kreises Kz stetig, geht die Bildfigur 1 stetig in die Bildfigur 2 über. F 37 Der Fundamentalsatz der Algebra F 38 Der Fundamentalsatz der Algebra Großer Radius r1: Das Bild von Kz bei f ist noch eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene dreimal durchläuft. F 39 Der Fundamentalsatz der Algebra Kleiner Radius r2: Das Bild von Kz bei f ist eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene nicht mehr durchläuft. F 40 Der Fundamentalsatz der Algebra Verkleinert man den Radius stetig von r1 nach r2, so wird die Bildfigur aus Abb. 3 stetig in die Bildfigur aus Abb. 4 deformiert. Dann muss es mindestens einen Radius geben, bei dem die Bildkurve den Ursprung der w-Ebene trifft, d.h. aus dem zugehörigen Kreis Kz gibt es eine Zahl zo mit f(zo)=0 F 41 Folgen – ein „Proseminar“ (1) Definition von Folgen explizite und rekursive Folgen; arithmetische und geometrische Folgen (2) Nullfolgen (3) Eigenschaften von Folgen - Monotonie und Beschränktheit bei expliziten und rekursiven Folgen (vollständige Induktion) (4) Der Grenzwert einer Folge (5) Grenzwertsätze (Beweise) (6) Der Grenzwert von monotonen und beschränkten Folgen (Satz und Umkehrsatz) (7) Die Vollständigkeit der reellen Zahlen; Intervallschachtelung (8) Geometrische Reihe (9) Eulersche Zahl F 42 Partielle Integration und Integration durch Substitution e 4 (1) (2) 2 x cos(x) dx sin(x) dx 2 0 1. Versuch: sin(x) dx [ sin(x) cos(x)] sin(x) dx 2 0 0 2 0 also 0 = 0 ????? x ln(x 9) dx 4 5 2 1. Versuch: x ln(x 9) dx u 4 v' 5 (3) 2 Wie erhält man v????? F 43 Notenfindung • • • • • • Zertifikatsklausur (nicht !!) Klausur Klausur mit Skript Referate (Beweise, schwierige Aufgaben,…) Seminararbeit Planarbeit F 44 Probleme 1. Notenabgrenzung gegenüber den anderen Wahlfächern (Psychologie,…) 2. Nachmittagsunterricht / Hausaufgaben 3. Vor allem im 2. Halbjahr längere Unterbrechungen (Unterrichtsausfall durch Studienfahrt, Konferenz, Feiertag,…) 4. Problem der Nachhaltigkeit 5. Unklarheit über Inhalte (Probierphase) 6. Einige Schüler machen nicht weiter in 12 (Abitur schon im März, bereits genügend Kurse…) F 45 Ausblick aufs nächste Schuljahr (1) Integration durch Partialbruchzerlegung (2) Gebrochenrationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen (1) (2) (3) (4) und eines der Wahlmodule Zahlentheorie und Kryptographie Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen Weiterführung der Stochastik Elemente der linearen Algebra F 46 Rückmeldung • Warum hast Du den Kurs gewählt? • Waren die Inhalte verständlich? • Rückwirkungen auf den normalen Matheunterricht (1) Themen noch besser verstanden (2) Wiederholung der Grundkenntnisse (3) Andere Problemlösestrategien kennengelernt (4) Anwendung einzelner Inhalte (z.B. Satz von Vieta) F 47 Rückmeldung Was hat Dir an diesem Kurs gefallen/nicht gefallen (1) Gute Atmosphäre (2) sich intensiv mit mathematischen Inhalten vertieft zu beschäftigen (mehr als Standard) (3) Kein Druck, dass man gleich alles verstehen muss (4) Das „Proseminar“ - die Vorträge gingen zu schnell (5) Unterricht am Nachmittag F 48 Fazit Das „Proseminar“ effektiver gestalten oder ganz weglassen Aufgaben aus anderen Ländern in anderen Sprachen Warum wirst Du den Kurs nicht weiter belegen? Zu viele Aktivitäten außerhalb der Schule und frühzeitiges Abitur Werbung für neue Kurse??? F 49
