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§21 Das Produkt von Matrizen
(21.1) Definition: Für eine (m,n)-Matrix A und eine (n,s)-Matrix B
ist das (Matrizen-) Produkt AB definiert als

( AB)
:
 
A B

 n
 
 A B .
 1
Die Matrix C = AB ist also die (m,s)-Matrix mit den Koeffizienten



C  A B .
Beachte: Die Spaltenanzahl (hier n )von A muss mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmen, damit das Produkt überhaupt gebildet
werden kann.
(21.2) Regeln: Die folgenden Regeln ergeben sich unmittelbar durch
Einsetzen:
Folie 1
Kapitel IV, §21
1o t(AB) = (tA)B = A(tB)
2o A(B + C) = AB + AC
3o (A + B)C = AC + BC
4o A(BC) = (AB)C
5o (AB)T = BTAT
Beachte: Im Allgemeinen gilt nicht AB = BA . Zum Beispiel:
A :  0 1 , B :  0 0 
0 0
 1 0
AB   1 0  , BA   0 0 
0 0
 0 1
A : (1,1) , B : 1 . AB  (2) , BA  1 1
1
1 1
(21.3) Lineare Abbildungen als Matrizenprodukt: Aus dem
vorletzten Paragrafen ist bekannt, dass sich jede lineare Abbildung
Oder:
Folie 2
Kapitel IV, §21
f :K K
bezüglich der Standardbasen durch die Matrix A mit

 
X  X e ist f ( X)  A X e  .
eindeutig darstellen lässt.
Für den Vektor X  X e als Spaltenvektor
 X1 
 2
nx1
X  X   X  K
 n 
X 

 
ist daher Y = f(X) als Spaltenvektor in Kmx1 – wegen Y  A X -von der Form Y = AX als Matrizenprodukt AX der (m,n)-Matrix A mit
der (n,1)-Matrix X .
14.01.02 
n
m
(21.4) Komposition und Matrizenprodukt: Bezüglich der Standardeinheitsbasen in Kn = Knx1, Km = Kmx1 und Ks = Ksx1 liefert
Folie 3
Kapitel IV, §21
eine (m,n)-Matrix A die lineare Abbildung f = f(A) von Kn nach Km und
eine (n,s)-Matrix B die lineare Abbildung g = f(B) von Ks nach Kn .
s
m
Die Komposition f  g : K  K ist wieder linear und wird gegeben
durch das Produkt AB der Matrizen:
( f  g)Z  ( AB)Z für Z  K
s
und damit
 09.01.02
f ( AB)  f ( A )  f (B) und A( f )A(g)  A( f  g) .
Facit: Matrizen beschreiben die linearen Abbildungen (§19), ihre
Wirkung wird durch das Produkt AX gegeben (21.3) und die
Komposition durch AB (21.4).
Das Produkt definiert auf Knxn (m = n !) die Struktur einer K-Algebra:
(21.5) Definition: Eine K-Algebra ist ein K-Vektorraum R
zusammen mit einer Multiplikation
H  H  H , (h,k )  hk ,
mit:
1o t(hk) = (th)k = h(tk)
2o h(k + l) = hk + hl , (h + k)l = hl + kl
Folie 4
Kapitel IV, §21
für alle t aus K und alle h,k,l aus H .
Die Algebra heißt assoziativ, wenn stets
3o (hk)l = h(kl) .
Die Algebra heißt kommutativ, wenn stets
4o hk = kh .
Knxn mit dem Matrizenprodukt ist eine assoziative K-Algebra; ebenso
Hom(V,V) für einen K-Vektorraume V .
Sei H eine K-Algebra. Ein Element e aus H heißt Eins (-element),
wenn stets
5o he = eh = h .
In einer K-Algebra H mit Eins e heißt k eine Inverse zu h aus H ,
wenn
6o hk = kh = e .
Ein Element h einer K-Algebra H mit Eins heißt invertierbar, falls eine
Inverse zu h gibt.
Folie 5
Kapitel IV, §21
Bemerkung: .
1o Eine Eins ist im Falle der Existenz eindeutig bestimmt und
wird auch mit 1 bezeichnet (nicht verwechseln mit 1 in K !).
2o Im Falle der Existenz ist die Inverse zu h eindeutig
bestimmt und wird auch mit h-1 bezeichnet.
In dem für uns wichtigen Falle der Algebra Knxn der (n,n)-Matrizen ist
die Einheitsmatrix E (= E(n) ) mit E :  .
Die invertierbaren Matrizen in Knxn sind die Matrizen, die einen
Isomorphismus definieren, und das sind die Matrizen mit Rang n.
(21.6) Beispiele:
1o C(I), der R-Vektorraum der stetigen Funktionen auf einem
Intervall I mit Werten in R mit der üblichen Multiplikation (punktweise)
ist eine assoziative und kommutative R-Algebra mit Eins: 1(x) = 1.
Die invertierbaren Elemente sind genau die Funktionen f ohne
Nullstelle und die Inverse ist dann 1
1
(x) :
für x  I .
f
f(x)
Folie 6
Kapitel IV, §21
2o Analog liefern die stetigen C-wertigen Funktionen C(I,C)
auf I eine assoziative und kommutative C-Algebra.
3o Der K-Vektorraum K[T] der Polynome wird mit der
Multiplikation



(  a T )( b  T ) :  (  a b  )T

   
zu einer kommutativen und assoziativen K-Algebra mit Eins.
Die Eins ist das konstante Polynom P = a0 mit a0 = 1 .
Die invertierbaren Elemente sind die konstanten Polynome P = a0 ,
wobei a0 von 0 verschieden ist
4o R3 mit dem Vektorprodukt
3
3
3
R  R  R , ( X, Y )  XY : X  Y ,
ist eine R-Algebra.
 

( X  Y ) : X Y ε e .


ε ist der aus der P1  Vorlesung bekannte Ausdruck ε  ε .
Diese Algebra hat keine Eins, denn XY steht immer senkrecht auf Y.
Folie 7
Kapitel IV, §21
Die Algebra ist nicht assoziativ, man teste mit e1 + e2, e1, e2 .
Die Algebra ist nicht kommutativ, es gilt aber stets XY + YX = 0 .
Die Algebra erfüllt stets ((XY)Z) + ((YZ)X) + (ZX)Y) = 0 . Das ist die
Jacobi-Identität, die für Lie-Algebren eine wichtige Rolle spielt.
5o Die Quaternionenalgebra: H := R4 mit der üblichen
Vektorraumstruktur und der folgenden Multiplikation:
e1e  e e1  e1 , für   1,2,3,4 .

e  e : ε  e    e1, für ,  2,3,4 .




XY : X Y e  e für X  X e  , Y  Y e .
H ist eine assoziative R-Algebra mit 1 (= e1), H ist nicht kommutativ.
Jedes von Null verschiedene Element in H ist invertierbar.
Verbreitete Notation: 1 = e1, i = e2, j = e3, k = e4 . Dann:
i2 = j2 = k2 = -1 , 12 = 1 , ij = k = -ji , jk = i = - kj , ki = j = - ik
und
1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k = k1 = k .
XY durch bilineare Fortsetzung.
Folie 8