¨Ubungen zur Theoretischen Physik II (Elektrodynamik)

Übungen zur Theoretischen Physik II
(Elektrodynamik)
SoSe 2008
Prof. Dr. A.-S. Marculescu, A. Pritzel, S. Schmidt
Blatt 9
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Ausgabe: 30.05.2008
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Abgabe: 06.06.2008
Aufgabe 30: Induktion bei einem rotierenden Ring
Betrachten Sie einen Kreisring mit Radius R, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω um seinen Mittelpunkt rotiert. Der Ring befindet sich in einem homogenen Magnetfeld B, dass orthogonal zur Rotationsachse ist (siehe Bild).
a) Berechnen Sie den zeitabhängigen magnetischen
Fluss durch den rotierenden Ring. Setzen Sie den
Zeitnullpunkt auf den Moment, bei dem das Magnetfeld senkrecht durch den Ring gerichtet ist (wie im
Bild).
ω
B
b) Berechnen Sie die induzierte Spannung (elektromotorische Kraft) E (t) als Funktion der Zeit.
c) Der Ring besteht aus einem Metall mit (konstanter) Leitfähigkeit κ, was zu J(t) = κ E(t) führt.
Berechnen Sie den Strom I(t), der durch den Ring
fließt. Nehmen Sie dabei an, dass die Stromdichte J(t)
gleichmäßig über die Querschnittsfläche des Drahtes
verteilt ist, aus dem der Ring besteht.
Aufgabe 31: Unendlich langer stromdurchflossener Draht
Betrachten Sie einen homogenen, unendlich langen Draht mit Radius R und konstanter
Leitfähigkeit κ. Das Ohmsche Gesetz besagt, dass die Stromdichte durch J = κ E gegeben ist. Im Draht befindet sich ein konstantes, zeitunabhängiges elektrisches Feld E
parallel zur Richtung des Drahtes.
Berechnen Sie den Poynting-Vektor S für dieses System. Überlegen Sie sich seine Richtung aus Symmetriegründen und verwenden Sie den Erhaltungssatz:
a) in differentieller (lokaler) Form
∂w
+ ∇ · S = − J · E,
∂t
b) und in integraler Form für ein Stück der Länge l des Drahtes (Volumen B mit
Oberfläche S)
I
Z
dW
+
da · S = −
d3 x J · E
dt
S
B
Was passiert mit der Feldenergie ?
Aufgabe 32: Rotierende geladene Kugel
Eine homogen geladene Kugel mit Radius R und Gesamtladung Q rotiert mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse durch ihren Mittelpunkt.
a) Berechnen Sie die Stromdichte J(x).
b) Berechnen Sie das Vektorpotential A(x) innerhalb und außerhalb der Kugel. Es ist
nützlich, die folgende Formel zu benutzen, die in Aufgabe 25 b) hergeleitet wurde:
ℓ
X
m=−ℓ
Yℓm (θ, ϕ)
Z
′
∗
dΩ′ Yℓm
(θ′ , ϕ′ ) sin θ′ eϕ = δℓ1 sin θ eϕ .
c) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke H(x) innerhalb und außerhalb der Kugel.
Zur Berechnung der Rotation ist folgende Beziehung hilfreich:
sin θ eϕ =
1
(−y ex + x ey )
r
d) Bestimmen Sie das elektrische Feld E(x) innerhalb und außerhalb der Kugel. Hier
bietet es sich an, Symmetrieargumente und den Gaußschen Satz zu nutzen.
e) Berechnen Sie den Drehimpuls der rotierenden Kugel, der durch
Z
1
d3 x x × (E × H)
LFeld = 2
c
definiert ist, wobei das Integral über den ganzen Raum läuft. Dafür ist die folgende
Formel nützlich:
Z
Z
dΩ sin θ eθ = −ez
dΩ sin2 θ .