Seminarvortrag zur Quantenmechanik 2 Quantenteleportation

Seminarvortrag zur Quantenmechanik 2
Quantenteleportation
H. Prüser
13. Dezember 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Problemstellung
2
3 Das Konzept der Quantenteleportation
3.1 2-Zustandssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 N-Zustandssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
6
4 Das No-Cloning-Theorem
7
5 Experimentelle Realisierungen
8
6 Anwendungsmöglichkeiten
9
1
1 Einleitung
Die Quantenteleportation ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe man quantenmechanische
Zustände von einem Teilchen auf ein anderes, möglicherweise weit entferntes, übertragen kann. Da der Transport hierbei nicht im klassischen Sinne durch das Bewegen
von Materie von einem Ort zum anderen erfolgt, sondern mit Hilfe von Quantenmechanischen Grundlagen, wurde in Anlehnung an die kuriosen Transportmethoden im
Science-Fiction-Genres der Name Teleportation gewählt. Tatsächlich hat man es bei der
Quantenteleportation nicht mit dem Transport massiver Materie zu tun, sondern lediglich mit dem Transport von quantenmechanischen Zuständen.
Ein Objekt wird vollständig durch seine Eigenschaften charakterisiert, die in der klassischen Physik durch Messungen erhalten werden. Um eine Kopie in einiger Entfernung
im klassischen Sinne zu machen, benötigt man nicht das Objekt selbst, sondern nur seine Messergebnisse. Diese reichen aus, um eine Kopie im klassischen Sinne anzufertigen.
Doch was ist, wenn die Objekte mikroskopischer Natur sind (z.B. Elektronen, Photonen,
Atome oder Moleküle)? Ihre quantenmechanischen Eigenschaften gehorchen der Heisenberg’schen Unschärferelation, die besagt, dass nicht alle Eigenschaften mit beliebiger Genauigkeit gleichzeitig messbar sind. Charles Bennett und seine Forschungsgruppe haben
1993 jedoch einen Weg gefunden, wie man von einem Objekt den Quantenzustand auf
ein anderes übertragen kann. Hierbei wird von der quantenmechanischen Verschränkung
zweier Objekte Gebrauch gemacht.
Die Möglichkeit der Quantenteleportation bildet heute einen Eckpfeiler für die Gebiete
der Quantenkommunikation und des Quantencomputers.
2 Problemstellung
Um das Problem der Quantenteleportation von Zuständen zu verdeutlichen, nehmen wir
an, dass Alice ein Quantenobjekt im Zustand |φi besitzt. Nun möchte sie, dass Bob, der
sich an einem entfernten Ort befindet, ein Teilchen in demselben Zustand erhält. Die
naheliegenste Möglichkeit wäre einfach, Alices Teilchen zu Bob zu transportieren. Das
birgt jedoch einige Schwierigkeiten in sich. Wechselwirkungen mit der Umgebung müssen
beim Transport vermieden werden, da sich sonst der Quantenzustand ändert.
Wie bereits erwähnt, kann Alice keine Messung machen, mit der Bob in der Lage
wäre, den Zustand zu rekonstruieren. Dies hängt damit zusammen, dass eine Messung im
Allgemeinen den Zustand zerstört, in dem das Teilchen vorher war (Reduktionspostulat).
Als Beispiel soll hier die Polarisationsrichtung eines Photons entlang einer beliebigen
Achse dienen. Das Photon befindet sich im Allgemeinen in einem Zustand |φi, der eine
Superposition aus den beiden Zuständen |↔i (horizontal polarisiert) und |li (vertikal
polarisiert) ist. Formal lässt sich |φi schreiben als
|φi = α|↔i + β|li
(1)
mit α, β ∈ C und der Bedingung |α|2+|β|2 = 1. Im folgenden soll für ein 2-Zustandssystem
die übliche Notation verwendet werden, in der man die zwei Zustande einfach mit |0i(z.B.
2
horizontal polarisiert) und |1i(z.B. vertikal polarisiert) bezeichnet. Ein System |ψi, das
sich allgemein in der Form
|φi = α|0i + β|1i
darstellen lässt, wird ein Qubit genannt.
Bei einem System, welches sich in einem Zustand befindet, der durch Gleichung 1
beschrieben wird, hat eine Messung der Polarisationsrichtung folgende Wahrscheinlichkeiten:
W (↔) = |α|2
bzw.
W (l) = |β|2
Nach der Messung befindet sich das Teilchen in einem der beiden Basiszustände |↔i oder
|li. Die Gesetze der Quantenmechanik, insbesondere das Reduktionspostulat, machen
es scheinbar unmöglich mit der Hilfe einer Messung einen Zustand zu rekonstruieren.
3 Das Konzept der Quantenteleportation
Obwohl das Reduktionspostulat der Absicht von Alice, dass Bob ein Teilchen im Zustand
|φi erhält, scheinbar im Wege steht, haben Bennett und Co. (siehe [1]) gezeigt, dass
gerade dieses Postulat der Quantenmechanik die Teleportation von |φi ermöglicht.
Eine Schlüsselrolle bei diesem Konzept spielt die Verschränkung von Teilchen, die sich
Alice und Bob teilen. Hier soll als erstes ein 2-Zustandssystem behandelt werden, um
den Formalismus der Quantenteleportation zu verdeutlichen. Später wird die Theorie
auf N-Zustandssysteme erweitert.
Angenommen Alice besitzt ein Teilchen (Teilchen 1) im Zustand |φi = α|0i + β|1i,
das zu Bob teleportiert werden soll. Teilchen 2, 3 sind verschränkt und befinden sich im
Zustand:
¢
1 ¡
|Ψ− i23 = √ |0i2 |1i3 − |1i2 |0i3
2
(2)
Dieser Zustand gibt keine Informationen über die individuellen Teilchen, er besagt nur,
dass sich die Teilchen in orthogonalen Zuständen befinden. Führt man eine Messung an
Teilchen 2 durch, so weiß man danach auch den Zustand von Teilchen 3. Die Messung
eines Teilchens bei einem verschränkten Zustand hat also Auswirkungen auf das andere
Teilchen, dabei kann sich das andere Teilchen weit entfernt befinden. (Experimentell
wurden Verschränkungen bis zu einer Reichweite von 10km nachgewiesen.)
Das Teleportationskonzept sieht wie folgt aus: Alice besitzt Teilchen 1 im unbekannten
Zustand |φi, der teleportiert werden soll. Außerdem besitzt Sie noch Teilchen 2 das
mit Teilchen 3 (Teilchen 3 ist bei Bob) verschränkt ist. Der Trick ist jetzt, dass Alice
eine gemeinsame Messung an 1 und 2 durchführt. Angenommen die Messung hat das
Ergebnis:
1
|Ψ− i12 = √ (|0i1 |1i2 − |1i1 |0i2 )
2
3
(3)
Abbildung 1: Teleportationskonzept
Dieses Messergebnis ist nur eines von vier möglichen Ergebnissen (komplette Diskussion
siehe nächster Abschnitt). Die Projektion eines beliebigen Zustandes von zwei Teilchen
auf die Basis mit vier Elementen (Bellsche Basis) wird Bellsche-Zustandsmessung genannt. Die gemeinsame Messung hat zur Folge, dass Teilchen 1 und 2 nun verschränkt
sind. Somit verliert Teilchen 1 seine Identität. Gleichung 3 besagt, dass sich Teilchen
1 und 2 in orthogonalen Zuständen befinden. Da Teilchen 2 jedoch immer noch mit
Teilchen 3 verschränkt ist (Gleichung 2), liegt jetzt folgender Fall vor: Teilchen 1 ist
orthognal zu Teilchen 2, das wiederum orthogonal zu Teilchen 3 ist. Somit muss sich
Teilchen 3 im selben Zustand befinden wie 1: |Ψi3 = −|φi. (Der Phasenfaktor wird im
nächsten Abschnitt erklärt.)
Wie bereits erwähnt, wird bei der gemeinsamen Messung von 1 und 2 der Zustand
von beiden verschränkt. Bemerkungswert ist auch, dass bei dem ganzen Vorgang der
Teleportation weder Alice noch Bob Informationen über die einzelnen Teichen 1, 2 oder
3 erhalten, dies gilt insbesondere auch für den Zustand |φi der teleportiert wird. Diese
Eigenschaften des Vorgangs sorgen dafür, dass überhaupt eine Teleportation stattfinden
kann. Da der Zustand von dem zu teleportierenden Teilchen 1 bei der Messung vernichtet
wird, verstößt die Quantenteleportation nicht gegen das No-Cloning-Theorem. Teilchen
3 ist ein teleportierter Zustand und kein Klon. Der Fall, dass bei der gemeinsamen Messung an Teilchen 1 und 2 der Zustand erhalten wird, der durch Gleichung 3 beschrieben
wird, tritt nur in 1/4 der Fällen auf. Im Allgemeinen muss Alice ihr Messergebnis Bob
mitteilen, damit er den Zustand |φi in jedem Fall rekonstruieren kann. Dies geschieht
über einen klassischen Informationsweg, wie z.B. Telefon. Mit den Informationen über
Alices Messergebnis kann Bob mit Hilfe einer geeigneten unitären Transformation |φi
rekonstruieren. Da ein klassischer Informationskanal benötigt wird, um den Teleportationsvorgang zu komplettieren, kann dieser nur mit maximal Lichtgeschwindigkeit stattfinden. Man kann sich fragen, ob eine totale Verschränkung von Teilchen 2 und 3 für
4
den Teleportationsvorgang unbedingt erforderlich ist, oder ob Teleportation auch mit
einem einfachen Produktzustand funktioniert. (Daher |Ψi23 ∈ H2 ⊗ H3 separierbar). Die
Antwort auf diese Frage ist nein! Es kann kein separierbarer Zustand |Ψi23 angenommen
werden, da sonst eine gemeinsame Messung an 1 und 2 keine Auswirkungen auf das
dritte Teilchen hat.
3.1 2-Zustandssystem
In diesem Abschnitt soll noch einmal das Beispiel aus dem vorigen Paragraphen aufgegriffen, und etwas formaler besprochen werden. Es wird also ein Qubit betrachtet, der
von Alice zu Bob teleportiert werden soll. Als ein Beispiel für ein solches System kann
man sich, wie bereits erwähnt, die Polarisationsrichtung von Photonen vorstellen. Der
Teleportationsvorgang läuft über zwei Informationskanäle: Zum Einen der klassische
Informationskanal, und zum Anderen über einen quantenmechanischen Kanal (EPRKanal). Der ,,nicht klassische Teil” wird als erstes übertragen. Dies geschieht mit Hilfe
einer EPR-Quelle: Mit ihr wird ein Teilchenpaar erzeugt, das sich im verschränkten
Zustand
1
|Ψ− i23 = √ (|0i2 |1i3 − |1i2 |0i3 )
2
(4)
befindet. Wie gehabt erhalten jetzt Alice und Bob jeweils ein Teilchen. Der verschränkte
Zustand dieser Teilchen bildet den nicht klassischen Informationskanal. Der unbekannte
Zustand (Teilchen 1), den Alice teleportieren möchte, sei wieder mit |φi bezeichnet. Zu
Beginn gibt es keine Verschränkung zwischen den Teilchen 1 und dem EPR-Paar. Das
Gesamtsystem |Ψi123 befindet sich im direkten Produktzustand:
|Ψi123 = |φi1 ⊗ |Ψi23 = |φi1 |Ψi23
(5)
Um nun eine Korrelation zwischen Teilchen 1 und dem EPR-Paar zu erzeugen, führt
Alice eine gemeinsame Messung an Teilchen 1 und 2 durch. Diese Messung wird in der
Bellschen Basis durchgeführt, und lässt sich beschreiben als
1
|Ψ± i12 = √ (|0i1 |1i2 ± |1i1 |0i2 )
2
1
und |Φ± i12 = √ (|0i1 |0i2 ± |1i1 |1i2 )
2
(6)
Diese vier Zustände bilden eine vollständige orthonormierte Basis in dem Produktraum
H1 ⊗ H2 . Setzt man für |φi1 den allgemeinen Zustand
|φi1 = α|0i + β|1i
(7)
in Gleichung 5 ein, so kann man den Zustand des Gesamtsystems vor Alice Messung
schreiben als
α
β
|Ψi123 = √ (|0i1 |0i2 |1i3 − |0i1 |1i2 |0i3 ) + √ (|1i1 |0i2 |1i3 − |1i1 |1i2 |0i3 )
2
2
5
(8)
Drückt man jetzt jedes direkte Produkt |i1 |i2 mit Hilfe der Bellschen Basis (Gleichung
6) aus, so folgt für die Zustandsgleichung des Gesamtsystems:
1h
|Ψi123 = |Ψ− i12 (−α|0i3 − β|1i3 ) + |Ψ+ i12 (−α|0i3 + β|1i3 )
2
i
+ |Φ− i12 (α|1i3 + β|0i3 ) + |Φ+ i12 (α|1i3 − β|0i3 )
(9)
Wie man leicht erkennt, haben die vier Messergebnisse von Alice alle dieselbe Wahrscheinlichkeit 1/4. Desweiteren erkennt man, dass sich nach Alices Messung Bobs Teilchen 3 in einem reinen Zustand befindet, der von dem Messergebnis abhängt. Um den
Zustand |φi zu rekonstruieren, muss Bob nun eine von dem Messergebnis abhängige,
unitäre Transformation durchführen.
µ
¶
µ
¶
µ
¶
−1 0
0 1
0 −1
|φi = −|Ψi3 ,
|Ψi3 ,
|Ψi3 ,
|Ψi3
(10)
0 1
1 0
1 0
Jeder der möglichen Messwerte führt auf einfache Art und Weise zu dem zu konstruierenden |φi. Im ersten Fall erhält Bob direkt den Zustand |φi, mit einem unwichtigen
Phasenfaktor. In den drei anderen Fällen muss er noch eine unitäre Transformation (siehe Operatoren Gleichung 9) durchführen. Die Operatoren stellen 180◦ Drehungen um
die x, y bzw. z-Achse dar. Im Falle von polarisierten Licht können diese Drehoperatoren mittels sogenannter halbwellen Platten realisiert werden. Damit eine Teleportation
immer funktioniert, benötigt Bob das Messergebnis von Alice, das über den klassische
Informationskanal übertragen wird. Über den Zustand von Teilchen 1 kann man nach
der Messung keine Aussage treffen. Teilchen 1 und 2 befinden sich in einem der Zustände
|Ψ± i12 oder |Φ± i12 , die allesamt verschränkte Zustände in dem Produktraum H1 ⊗ H2
sind.
Da die Teleportation ein linearer Vorgang ist, funktioniert sie nicht nur mit reinen
Zuständen, sondern auch mit verschränkten. Man stelle sich zum Beispiel vor, Teilchen
1 ist mit einem Teilchen 0, das sich irgendwo befindet, verschränkt. Teleportiert man nun
Teilchen 1 zu Bob, so ist dessen Teilchen 3 danach mit Teilchen 0 verschränkt, obwohl
Teilchen 0 und 3 vorher zu unterschiedlichen EPR-Paaren gehört haben.
3.2 N-Zustandssystem
Alles was im letzten Abschnitt für ein 2-Zustandssystem erarbeitet worden ist, kann
problemlos auf N-Zustände übertragen werden. Für den Teleportationsvorgang benötigt
man wieder ein komplett verschränktes Teilchenpaar, das sich im folgenden Zustand
befindet:
N −1
1 X
√
|ki ⊗ |ki
N k=0
(11)
Die N orthogonalen Elemente der Basis werden hier 0, 1 . . . N − 1 genannt. Wie zuvor
muss Alice jetzt eine gemeinsame Messung an Teilchen 1 und 2 durchführen. Eine Messung die den gewünschten Effekt hat, lässt sich durch folgende Eigenzustände |Ψinm
6
beschreiben:
N −1
1 X 2πikn/N
e
|ki ⊗ |(k + m) mod N i
|Ψinm = √
N k=0
(12)
Wenn Bob nun das Ergebnis von Alice Messung nm erfährt, führt er eine unitäre Transformation durch. Diese Transformation Û lässt sich schreiben als:
Ûnm =
N
−1
X
e2πikn/N |ki h(k + m) mod N |
(13)
k=0
Diese Transformation überführt Teilchen 3 in den Zustand |φi, und damit ist der Teleportationsvorgang abgeschlossen.
4 Das No-Cloning-Theorem
Das No-Cloning-Theorem verbietet die Existenz eines sogenannten Quantenkopierers.
Das heißt, dass es unmöglich ist einen unbekannten Zustand von Teilchen 1 zu einem
gleichen Teilchen 2 zu kopieren, ohne den Zustand von Teilchen 1 dabei zu verändern.
Im Folgenden soll das No-Cloning-Theorem an einem Beispiel von einem Qubit-System
bewiesen werden.
Annahme: Es gibt einen Quantenkopierer, der durch einen linearen, unitären Operator Û dargestellt wird, mit folgender Eigenschaft:
Û
|Ψi1 |φi2 |Qi −→ |Ψi1 |Ψi2 |Q0 i
Dabei ist Ψ der Zustand, der auf φ kopiert werden soll. Der Zustand des Kopierers Q
kann sich beim Kopieren verändern. Im speziellen Fall eines Qubits setzt man |Ψi1 =
α|0i + β|1i. Damit erhält man:
Û (α|0i + β|1i) |φi2 |Qi = (α|0i + β|1i) (α|0i + β|1i) |Q0 i
= α2 |0i|0i|Q0 i + 2αβ|0i|1i|Q0 i + β 2 |1i|1i|Q0 i
Gleichzeitig folgt aber aus der Linearität von Û:
Û (α|0i + β|1i) |φi2 |Qi = Û (α|0i|φi2 |Qi + β|1i|φi2 |Qi)
= α|0i|0i|Q01 i + β|1i|1i|Q02 i
Da die beiden Rechnungen sich gegenseitig ausschließen, muss die Annahme falsch sein.
Also kann es keinen Quantenkopierer geben, der sich durch einen linearen Operator Û
darstellen lässt. Der Grund für das No-Cloning-Theorem ist die Linearität der Quantenmechanik.
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5 Experimentelle Realisierungen
Für den Teleportationsvorgang benötigt man sowohl die Produktion von verschränkten
Zuständen, als auch die Messung dieser. Diese beiden Punkte stellen die Schwierigkeiten
bei der experimentellen Realisierung dar. Es existieren nur wenige Möglichkeiten um
Teilchen in einem verschränkten Zustand zu präparieren. Dennoch konnten bis heute
zahlreiche Experimente durchgeführt werden, die die Teleportationstheorie bestätigen.
Im Folgenden sind einige wichtige Experimente der letzten Jahre kurz beschrieben:
1997 gelang der Forschungsgruppe um A. Zeilinger die erste experimentelle Realisierung der Quantenteleportation (siehe [2]) mit polarisierten Photonen. Der verschränkte
Abbildung 2: Versuchaufbau zur Teleportation von polarisierten Photonen, A. Zeillinger
1997
Zustand wird über die Methode der ,,parametric downconversion” erzeugt. Dabei wird
ein einzelnes Photon bestimmter Frequenz in einen nichtlinearen doppelbrechenden optischen Kristall (Barium-Borat) eingestrahlt und dabei in zwei Photonen mit geicher
Frequenz konvertiert.
Die Photonen werden nun in einen, der Ortsunschärfe unterliegendem, Raumbereich
geführt. Physikalisch sind sie nun ununterscheidbar geworden, d.h. sie haben jegliche Individualität verloren: Bei einer Messung eines der Photonen, kann keine Aussage darüber
getroffen werden, um welches der Photonen es sich handelt. Nachdem die Teilchen sich
getrennt haben, sind sie solange maximal verschränkt, bis Wechselwirkungen mit anderen
Teilchen auftreten. Die unitären Transformationen von Bob werden über sogenannte λhalbe Platten durchgeführt. Dabei wird ausgenutzt, dass Licht in bestimmten Kristallen
seine Polarisationsrichtung ändert. Beim ersten Experiment von Zeillinger war es noch
nicht möglich alle vier Bell Zustände zu messen, daher war die Teleportation nur für bestimmte Ausgangszustände erfolgreich. Neuere Versuche haben jedoch in diesem Punkt
Fortschritte ergeben. Im Rahmen der Experimente zum NMR Quantencomputer ist es
der Forschungsgruppe um M. Riebe ([3]) gelungen, in einem Molekül, also fester Mate-
8
rie, Zustände zu teleportieren. Sie benutzten ,,liquid state nuclear magnetic resonance”
(NMR) um im Trichlorethylen (C2 HCl3 ) den Zustand des C1 -Atoms auf das H-Atom
zu übertragen. Bei diesem Versuch wird der Zustand nur über ein Paar Ångström tele-
Abbildung 3: Trichlorethylen, der Zustand des C1 Atoms wird auf das H-Atom übertragen
portiert. Der verschränkte Zustand der beiden C-Atome wird mittels ,,gradient pulse
technique” und ,,phase cycling” erzeugt. Die Bell Messung wird über NMR realisiert.
Im Jahr 2004 wurde die Teleportation von Ionen experimentell realisiert. Zwei Forschungsgruppen in Innsbruck und Boulder haben unabhängig voneinander dieses Experiment erfolgreich durchgeführt. In den Experimenten wurde eine durchschnittliche
Distanz von 10 bzw. einigen 100 µm überbrückt. Allerdings ist die Distanz ein technisches und kein prinzipielles Problem. Diese Art von Übertragung von Qubits wird
wahrscheinlich eine wichtige Rolle in Zukunft, z.B. bei Quantencomputern, spielen.
6 Anwendungsmöglichkeiten
Die Anwendungsmöglichkeiten der Quantenteleportation sind vielfältig; hauptsächlich
wird jedoch eine Anwendung in den Gebieten der Quantenkryptographie, sowie der
Quanteninformationstheorie stattfinden. In der Quantenkryptographie können mit Hilfe
der Teleportation abhörsichere Leitungen realisiert werden. Dies funktioniert grob durch
folgendes Schema: Alice sendet Bob mittels Teleportation Daten zu. Hört Eve Informationen ab, so stört sie den Teleportationsvorgang und die Fehlerrate steigt bei Bob.
Arbeitsgruppen der Swiss Telekom, sowie der Uni Genf beschäftigen sich z.Zt mit der
technischen Umsetzung dieser Idee. In der Quanteninformationstheorie kann die Teleportation zur Übertragung von Qubits genutzt werden. Die Ionenteleportation könnte
eine zentrale Rolle bei der Konstruktion eines Quantencomputers spielen.
Eine Weiterentwicklung der Teleportation ist das sogenannte ,,Entanglement Swapping”. Hierbei wird nicht ein individueller, quantenmechanischer Zustand übertragen,
sondern die Eigenschaft der Verschränkung zweier Teilchen.
Literatur
[1] Bennett, C.H. et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classic and
Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett. 70, 1895-1899(1993)
9
[2] Bouwmeester, D. et al. Experimental quantum teleportation. Nature 390, 575579(1997)
[3] Nielsen, M. A. et al. Complete quantum teleportation using nuclear magnetic resonance. Nature 396 52-55(1998)
[4] Laloë, F. Do we really understand quantum mechanics? Strange correlations, paradoxes, and theorems. Am. J. Phys. Vol. 69, No. 6 655-701 (2001)
[5] Riebe, M. et al. Teleportation with atoms. Nature Vol. 429 (2004)
[6] www.wikipedia.org
10