Formelsammlung zur Vorlesung Physik für Chemiker, Biochemiker

Formelsammlung zur Vorlesung
Physik für Chemiker, Biochemiker, Geowissenschaftler
für Verwendung bei der Klausur zugelassen, Prof. Hägele, Bochum
Mechanik, Strömungslehre, Wärmelehre, Elektrizitätslehre, Optik
Version 1.1 (12. Juli 2010, Fehler und Ergänzungswünsche bitte an Jörg Rudolph)
Erdbeschleunigung
MECHANIK
g = 9.81
beschleunigte Bewegung
konstante Beschleunigung ~a0
1
~s(t) = ~s0 + ~v0 t + ~a0 t2
2
Spezialfall eindimensional, ~v0 = 0 und ~s0 = 0
r
1 2
2s
s(t) = at ; t =
2
a
m
s2
(13)
Erddrehung
(1)
(2)
ω = 7.29 × 10−5
rad
s
Dynamisches Kräftegleichgewicht
X
F~j − m~a = 0
(14)
(15)
j
Wurfparabel
y(x) = x tan(α) − x2
1
g
2 v02 (cos(α))2
(3)
Drehbewegung
Winkelgeschwindigkeit
ω = ϕ̇
Impuls:
p~ = m~v
(4)
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0
ϕ(t) = ω0 t + ϕ0
2. Newton’sches Axiom:
F~ = m~a
= p~˙
(5)
i
F = −Ds
(8)
Hangabtriebskraft
F = mg sin(α)
(9)
Elastizitätsmodul E
l 1
AE
(10)
Gravitationsgesetz
m1 m2
F = γ
r2
m3
kg s2
(19)
Massenträgheitsmoment J (oftmals auch Θ)
X
Jz =
mj (rx2 + ry2 )
(20)
(21)
j
Massenträgheitsmoment Vollzylinder: J = 12 M R2 ,
dünnwandiger Hohlzylinder: J = M R2 ; Vollkugel: J =
2
2
5MR
Drehmoment
(11)
~ = ~r × F~
M
= |~r||F~ | sin(α)
(12)
Ohne äußeres Drehmoment folgt Drehimpulserhaltung
X
~ gesamt =
L
~rj × p~j = konst.
(24)
Gravitationskonstante γ
γ = 6.674 × 10−11
(18)
Drehimpuls:
~ = ~r × p~
L
Federkraft (rücktreibende Kraft)
∆l = F
mv 2
r
= mω 2 r
F =
(7)
(17)
Zentrifugalkraft
(6)
Ohne äußere Kräfte folgt Impulserhaltung
X
pgesamt =
mi~vi = konst.
(16)
j
(22)
(23)
2
Rotation um Hauptträgheitsachse z
STRÖMUNGSLEHRE
Lz = Jz ωz
(25)
Jz = M (x2 + y 2 ) + JSchwerpunkt,z
(26)
Steiner’scher Satz
Arbeit und Leistung
∆W = F~ ∆~s = |F~ ||∆~s| cos(α)
(27)
Bernoulli-Gleichung
1
pstatisch + ρv 2 + ρgh = konst.
2
Auftrieb
F = V ρverdraengteFluessigkeit gErdbeschleunigung
Kinetische Energie
Wkin =
1
m~v 2
2
(28)
Potentielle Lageenergie
Wpot = mgh
(29)
Federenergie
(42)
(43)
Oberflächenspannung
σ=
Kraft
Kantenlaenge
(44)
Spezifische Oberflächenenergie
WFeder
1
= Ds2
2
(30)
1 2
Jω
2
(31)
ε=
Rotationsenergie
WRot =
∆W
∆A
Es gilt σ = ε. Überdruck in Seifenblase
Leistung
∆p =
P = Ẇ
Leistung bei Kraft
Geschwindigkeit ~v
F~
auf
(32)
Massenpunkt
P = F~ ~v
Schwingungen: Federpendel
r
ω0 =
D
m
mit
(33)
(34)
ω
2π
(35)
Periodendauer
r
ω0 =
Fadenpendel
ω0 =
(36)
lmg
J
r
(46)
Spezifische Oberflächenenergie von Wasser
ε = 7.3 × 10−2
J
m2
(47)
WÄRMELEHRE
T = (θC /◦ C + 273.15) K
(48)
Zustandsgleichung ideales Gas
1
T =
f
Physikalisches Pendel:
4ε
r
Absolute Temperaturskala
Frequenz
f=
(45)
g
l
(37)
(38)
AS = q
2
(ω02 − ω 2 ) + 4γ 2 ω 2
Elastischer zentraler Stoß:
m1 − m2
2m2
v10 =
v1 +
v2
m1 + m2
m1 + m2
m2 − m1
2m1
v20 =
v2 +
v1
m1 + m2
m1 + m2
(50)
Avogadrokonstante
1
mol
(51)
J
K
(52)
J
mol K
(53)
NA = 6.022 × 1023
(39)
Boltzmannkonstante
kB = 1.381 × 10−23
(40)
(41)
(49)
Zusammenhang von p und V bei adiabatischer Zustandsänderung
pV κ = konst.
Resonanzamplitude einer getriebenen Schwingung
FE /m
pV = νRT = νNA kB T = N kB T
molare Gaskonstante
R = NA kB = 8.314
3
Maxwell-Verteilung des Betrags der Geschwindigkeit in
idealem Gas
µ
¶3/2
2
4
m
− mv
f (v) dv = √
v 2 e 2kB T dv
(54)
π 2kB T
Maximum der Maxwell-Verteilung
r
2kB T
vmax =
m
(55)
Zusammenhang von mittlerer Geschwindigkeit und Maximum der Maxwell-Verteilung
r
2 2 1/2
vmax =
h~v i
(56)
3
Mittlere kinetische Energie eines Teilchens im idealen
Gas
¿
À
3
1
2
mv
= kB T
(57)
2
2
spezifische Wärmekapazität c
∆Q = cM ∆T
(58)
cWasser = 4.19 × 103
J
kg
(59)
Schmelzwärme Wasser
λS = 3.34 × 105
J
kg
(60)
thermische Längenausdehnung Festkörper
∆l = αl∆T
(61)
∆T
∆x
(62)
Wärmeleitung
I = λA
Wärmeleitfähigkeit λ von Eis bei −20 ◦ C
λ = 2.33
Stefan-Boltzmann Gesetz
Planck’schen Strahlers)
Pe = σAT 4 ,
W
mK
(63)
(Strahlungsleistung
σ = 5.6703 × 10−8
W
m2 K 4
eines
(64)
Wien’sches Verschiebungsgesetz
λmax =
2850 µm K
T
Isotherme Entropieänderung im idealen Gas
µ ¶
Z VB
dQrev
VB
∆S =
= νR ln
T
V
A
VA
(65)
(66)
Isochore Entropieänderung
µ ¶
TB
∆S = cV ln
;
TA
cV =
f
Rν
2
(67)
Im idealen Gas gilt für die Wärmekapazität cp bei konstantem Druck
cp = cV + νR
(68)
4
Energiesatz im konstanten elektrischen Feld
ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Ekin + qΦ(~r) = konst.
Coulomb-Gesetz
Kraft auf Ladung 2 von Ladung 1
1 Q1 Q2
F~2 =
~er ;
4πε0 r2
Kapazität
r = |~r2 − ~r1 |;
ε0 = 8.85 × 10−12
~r2 − ~r1
~er =
|~r2 − ~r1 |
(69)
C2
Nm2
(70)
(71)
(84)
C=
(72)
Aε0
d
E = U/d
p~ = q~r
(73)
Cges = C1 + C2 + C3 + ...
(74)
Z Z
~ dA
~= Q
E
ε0
(75)
−1
= C1−1 + C2−1 + C3−1 + ...
Cges
Q
Aε0
(76)
(77)
Dielektrikum
CD (mit Dielektrikum)
U0
=
bei Ladung Q konst.
C0 (ohne Dielektrikum)
UD
(89)
Strom
I=
dQ
(transportierte Ladung pro Zeit)
dt
(78)
Berechnung des elektrischen Potentials aus einem rotationsfreien elekrischen Feld
Z ~r0
~ r0 ) d~r0
Φ(~r) =
E(~
(79)
~j = I ~eDrift = nq~vDrift
A
(91)
~
~j = σ E
(92)
Leitfähigkeit σ
Spezifischer Widerstand
~
r
Potential einer Punktladung am Punkt ~r1
Q
1
Φ(~r) =
4πε0 |~r − ~r1 |
(90)
Stromdichte
elektrisches Potential
eindimensional:
F (z) = qE(z) = −qΦ0 (z)
(88)
εr =
Elektrische Feldstärke im Plattenkondensator
E=
(87)
Kapazität einer Serienschaltung von Kondensatoren
Potentielle Energie eines Dipols im elektrischen Feld
~
Wpot = −~
pE
(86)
Kapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren
Drehmoment auf Dipol im elektrischen Feld
~ = p~ × E
~
M
(85)
Spannung und Feld im Plattenkondensator
Elektrischer Dipol
Satz von Gauß
1 Q2
1
= CU 2
2 C
2
Kapazität des Plattenkondensators
Feld einer Punktladung im Koordinatenursprung
Q 1
~er
4πε0 r2
(83)
Energie im Kondensator
Ladung des Elektrons
qe = −e = −1.6 × 10−19 C
Q
U
C=
W =
~ r) =
E(~
(82)
ρ=
1
σ
(93)
R=
U
I
(94)
G=
1
R
(95)
Ohm’sches Gesetz
(80)
Zusammenhang elektrisches Feld und Potential
~ = −gradΦ(x, y, z) = −((∂/∂x)Φ, (∂/∂y)Φy , (∂/∂z)Φ)T
E
(81)
Leitwert
5
Gesamtwiderstand Serienschaltung
Im Fall von N Windungen gilt
Rges = R1 + R2 + R3 + ...
(96)
Uind = −N Φ̇m
(97)
Φm ist der magnetische Fluss durch die Fläche A, die
von einer geschlossenen Leiterschleife umgrenzt ist.
Induktionsspannung bei Stromänderung
Gesamtwiderstand Parallelschaltung
−1
Rges
= R1−1 + R2−1 + R3−1 + ...
Kirchhoff’sche Regeln
Am Knoten
Uind = −LI˙
X
Ij = 0
(98)
j
(111)
Energie im Magnetfeld einer Spule
W =
1 2
LI
2
(112)
Energiedichte eines statischen Magnetfeldes
Für Widerstand gilt Uj = −IR. Für Batterie in
Maschenrichtung (von + über Masche nach −) gilt Uj =
UQ > 0.
Elektrische Momentanleistung
P (t) = U (t)I(t)
U2
P = UI = I R =
R
2
(101)
Magnetfeld im Zentrum einer stromdurchflossenen Leiterschleife
B=
µ0 I
2πr
(102)
Feld einer Leiterschleife mit Radius r auf der Symmetrieachse z.
µ0 I
r2
Bz =
√
3
2
r2 + z 2
(103)
µ0 = 4π10−7
Energiedichte im elektrischen Feld
w=
1
ε0 E 2
2
(114)
Wechselstromkreise
Periode und Kreisfrequenz im LC- Schwingkreis
√
T = 2π LC;
ω0 = √
1
LC
Gedämpfter LC Schwingkreis (LCR)
q
R
ω 0 = ω02 − δ 2 ; δ =
2L
(115)
(116)
Änderung der Ladung auf Kondensator C
Q(t) = Q0 e−δt cos(ω 0 t + ϕ).
N
A2
(104)
Magnetfeld einer langen Spule
(117)
(105)
~
F~ = q~v × B
(106)
Lorentzkraft
Faraday’sches Induktionsgesetz
µZ
¶
d
~ dA
~
Uind = −
B
dt
i
ωC
= iωL
ZC = −
(118)
ZL
(119)
ZR = R
N
I
l
= −Φ̇m
(113)
Komplexe Widerstände (Ansatz mit U (t) = U0 eiωt , d.h.
positiver Frequenz ω. Anderenfalls i durch −i ersetzen.)
Gesetz von Biot und Savart
B = µ0
1 B2
2 µ0
w=
(100)
Leistung eines Widerstandes
µ0 d~l × ~er
I
4π
|~r|2
µ0 N 2 A
l
L=
Vorzeichen von Ij ist positiv, falls Strom zum Knoten
fließt.
Maschenregel
X
Uj = 0
(99)
(110)
Induktivität einer langen Spule
j
~ =
dB
(109)
Getriebener RLC-Kreis.
Spannung
(108)
Amplitude von Strom und
U
I=q
R2
(107)
(120)
+ (ωL −
1 2
ωC )
(121)
Phasendifferenz
tan ψ =
ωL −
R
1
ωC
(122)
6
OPTIK
KONSTANTEN UND EINHEITEN
Brechungsindex
Elektrische Feldkonstante
n=
c0
√
= µr εr
cm
(123)
Snellius’sches Brechungsgesetz
n1 sin(Θ1 ) = n2 sin(Θ2 )
ε0 = 8.8542 × 10−12
(124)
µ0 = 4π × 10−7
z.B. Glas
n2
=
n1
z.B. Luft
R
2
(133)
Elementarladung
|e| = 1.6022 × 10−19 As
(134)
Ampere:
C
s
(135)
J
Nm
=
C
As
(136)
[I] = A =
(127)
Volt:
1 1
1
+ =
g
b
f
(128)
Gegenstandsweite g, Bildweite b, Brennweite f .
Kombination von zwei dünnen Linsen im Abstand d.
fges
m
s
c = 2.9979 × 108
(126)
Abbildungsgleichung
1
(132)
Lichtgeschwindigkeit
Brennweite f eines sphärischen Spiegels (Kugelradius R)
f=
Vs
Am
(125)
Winkel ϕ ist zwischen Schingungsachse und Beobachter.
Brewsterwinkel
tan(αB ) =
(131)
Magnetische Feldkonstante
Relative Strahlungsintensitätsdichte eines oszillierenden
Dipols
I ∝ (sin(ϕ))2
As
Vm
=
1
1
d
+
−
f1
f2
f1 f2
(129)
Brechkraft
[U ] = V =
Tesla:
[B] = T =
Nm
s
Vs
= c2
2
m
m
~
(F = q~v × B)
(137)
˙
(U = −LI)
(138)
Henry:
D=
1
f
Einheit [D] = Dioptrie = dpt = 1 m−1 .
(130)
[L] = H =
Vs
A