Serie 2 - Hirnablage

Experimentalphysik-Übung Nr. 2
Christoph Mahnke, Matthias Lütgens
17. November 2004
Aufgabe 2.
Die Wasserstoinie Hγ der Wellenlänge λ=434nm von einem fernen Spiralnebel wird auf der Erde aufgrund der (relativistischen) Dopplerverschiebung
bei λ0 =656.2nm beobachtet.
a) Bewegt sich der Nebel von der Erde weg oder auf sie zu ?
Da die Wellenlänge der Wasserstoinie gröÿer wird, kann man davon ausgehen, dass sich der Nebel von der Erde entfernt (Rotverschiebung).
b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Nebel relativ zur Erde?
Für die Frequenzen von Lichtquellen, die sich vonqder Erde wegbewegen, gilt
. Mit λ = νc ergibt sich
(die Erde sei das ungestrichene System) : ν 0 = ν c−u
c+u
:
ν0
ν
=
u=c·
λ
λ0
=
q
c−u
c+u
434nm 2
1−( 656,2nm
)
434nm
1+( 656,2nm
)
⇒ ( λλ0 )2 =
c−u
c+u
⇒ ( λλ0 )2 (c + u) = c − u ⇒ u = c ·
1−( λλ0 )2
1+( λλ0 )2
.
= 0, 391c (Relativgeschwindigkeit des Nebels zur Erde)
c) Welche Wellenlänge misst ein Beobachter in diesem Nebel für Strahlung
aus der Hγ -Linie, die von unserer Galaxis kommt?
Das System der ruhenden Erde (mit bewegten Nebel) ist gleichwertig zu
dem System des ruhenden Nebels ⇒also ist die Betrachtung umkehrbar.
Ein Beobachter im Nebel würde die gleiche Rotverschiebung feststellen.
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Aufgabe 3.
Ein Positron e+ wird auf die Gesamtenergie E1 = 10GeV beschleunigt, trit
auf ein ruhendes Elektron e− (beide haben die Ruhemasse me = 511keV c−2 )
und zerstrahlt in zwei Photonen (Ruhemasse 0). Die Photonen werden so
emittiert, das sie die gleichen Energien E2 haben.
a) und b) Welche Energien haben Elektron und Positron im gemeinsamen
Schwerpunktsystem (d.i. das System, in dem die Summe ihrer beiden Impulsvektoren 0 ist)? Wie groÿ ist die invariante Masse des Zweiteilchensystems?
Es gilt
E 2 = m2 c4 + (~pc)2
Für ein Zweiteilchensystem läÿt sich verallgemeinern :
(E1 + E2 )2 = M 2 c4 + |p~1 + p2~|2 c2
gegeben :
E1 = 10GeV
me = 511 keV
c2
die invariante Masse ergibt sich mit
M 2 c4 = (E1 + E2 )2 − |p~1 + p~2 |2 c2
wobei p~2 = 0.
⇒ M 2 c4 = (E1 + E2 )2 − p~1 2 c2
mit : E1 Energie des Positrons, E2 Energie des Elektrons, p~1 Impuls des
Positrons
Man erhält :
M 2 c4 = E12 + 2E1 E2 + E22 − p~1 2 c2
mit E12 = p~1 2 c2 = m2e c4 und E2 = me c2 ⇒ M 2 c4 = 2m2e c4 + 2E1 me c2
damit : M c2 = 2 · (511 · 103 eV )2 + 2 · 10 · 109 eV · 511 · 103 eV
q
M = 101, 1MeVc−2
im Schwerpunktsystem gilt :
P
i
p~i = 0
das bedeutet : (E10 + E20 ) = M 2 c4 + |p~1 + p~2 | = M 2 c4
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Da die Ruhemassen von Elektron und Positron sowie der Betrag ihrer Impulse gleich sind, folgt, dass auch ihre Energien im Schwerpunktsystem gleich
sein müssen.
E10 = E20
(2E1 )2 = M 2 c4 = 2m2e c4 + 2E1 me c2
⇒ E10 =
1
2
q
2m2e c4 + 2E1 me c2 = 50, 55MeV
c) Welche Richtung relativ zum einlaufenden Elektron haben die Photonen
im Schwerpunktsystem, wenn ihren Energien im Labor gleich sind?
Die Photonen bewegen sich senkrecht Einfallrichtung des Elektrons, wobei
sie natürlich entgegengesetzte Bewegungsrichtungen haben.
d) Wie groÿ ist die Energie E eines Photons?
Benutze jetzt: E1 Energie des 1. Photons, E2 Energie des 2. Photons
Die invariante Masse bleibt erhalten, d.h.
M 2 c4 = (E1 +E2 )2 −|p~1 +p~2 |·c2 gilt. Der Gesamtimpuls muÿ 0 sein, weswegen
die Einzelimpulse vom Betrag her gleich aber ihr Richtung entgegengesetzt
ist.
E1 = E2 = E = 21 M c2 = 50, 55MeV
Fragen.
a) Warum kann ein Teilchen mit der Ruhemasse 0 nur mit Lichtgeschwindigkeit iegen.
Es gilt :
E 2 = m2 c4 + (~pc)2
falls die Masse m = 0 ist, gilt :
E = pc ⇒ β =
pc
v
=1= ⇒v=c
E
c
Ein Teilchen ohne Ruhemasse, egal welcher Energie, kann nur mit Lichtgeschwindigkeit iegen.
b) Warum kann man ein massives Objekt nicht auf Lichtgeschwindigkeit
oder darüber beschleunigen?
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Für die Gesamtenergie gilt :
1
E = γmc2 = q
1−
v2
c2
mc2
wird v → c, so folgt daraus, dass γ → ∞. Damit müsste ein unendlich groÿer
Energiebetrag aufgebracht werden, um ein Teilchen mit einer endlichen Ruhemasse auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, sogar noch mehr, um es
darüber zu beschleunigen. Das geht natürlich nicht (uns steht nur endlich
viel Energie zur Verfügung).
c) In welchem Wertebereich liegt die invariante Masse eines Tachyons (vTach >
c)?
Es gilt :
β=
pc
E
E 2 − (~pc)2 = m2 c4
⇒E=
m2 c4 =
p2 c2
β2
pc
β
− p2 c2 = p2 c2 ( β12 − 1) = p2 c2 ( 1−β
)
β2
2
falls v > c , so folgt : β > 1
2
p
) < 0, falls kgms
damit ist 1 − β 2 < 0 ⇒ p2 c2 ( 1−β
−1 ∈ <.
β2
Die Folgerung daraus wäre, dass die Masse des Tachyons im imaginären
Bereich liegt.
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