Blatt 3, Aufgabe 1: Die Erde als Inertialsystem

Aufgabe 1
Blatt 3, Aufgabe 1: Die Erde als Inertialsystem
t Licht , Bahn = 8.3 min
a)
TBahn = 1a
rBahn = c ⋅ t Licht , Bahn = 3 ×108
ω Bahn =
rErde = 6400km
TErde = 1d
2π
2π
=
= 2 × 10 −7 s −1
TBahn 1 ⋅ 365.25 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s
2
a Bahn = rBahnω Bahn
= 6 × 10 −3
b)
ω Erde =
m
⋅ 8.3 ⋅ 60 s = 1.5 × 1011 m
s
m
≈ 0.06% ⋅ g
2
s
2π
2π
=
= 7.3 × 10 −5 s −1
TErde 1 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s
2
a Erde = rErdeω Erde
= 3.4 × 10 − 2
c)
vBahn = rBahnω Bahn = 3 × 10 4
γ Bahn =
1
1−
v
2
Bahn
2
c
=
m
≈ 0.34% ⋅ g
2
s
m
s
1
1 − 10
−8
= 1.000000005
Aufgabe 2
Blatt 3, Aufgabe 2: Zeitdehnung
Δt
Δt ' = 1h
v
Zeitdilatation: Während im Raumschiff die Zeit
vergeht, vergeht auf der Erde die Zeit
Δt '= 1h
Δt = γ ⋅ Δ t '
Δs
In dieser Zeit hat sich das Raumschiff von der Erde um
Δs = v ⋅ Δt entfernt. Das Licht benötigt nun, um wieder
zur Erde zurückzukommen, die Zeit
Δ t + Δt L
Δt L =
Δs
c
=
v ⋅Δ t
c
= β ⋅ Δt = βγ ⋅ Δt '
v
Bis der Beobachter auf der Erde die Uhr im Raumschiff
auf 1h stehen sieht, vergeht bei ihm also die Zeit
1+ β
Δt B = Δt + Δt L = (1 + β )γ ⋅ Δt ' =
⋅ Δt '
1− β
c+v
=
⋅1h
c−v
Aufgabe 3 a
Blatt 3, Aufgabe 3: Das Myon
τ μ = 2,2 ⋅10 s
−6
Lorentz-Faktor:
h = 10km
vμ = 0,9995 ⋅ c
•
γ=
1
1− (
)
v 2
c
=
1
1 − 0,9995
2
≈ 31,63
ruhender Beobachter
Zeitdilatation: Für den auf der Erde ruhenden
Beobachter scheint das Myon länger zu existieren:
t Erde = γ t μ ≈ 31,63 ⋅ 2,2 ⋅10 −6 s = 6,95 ⋅10 −5 s
Es legt in dieser Zeit die Strecke
s = vμ t Erde = 20,8km
zurück und erreicht also die Erde.
Aufgabe 3 b
Blatt 3, Aufgabe 3: Das Myon
τ μ = 2,2 ⋅10 s
−6
Lorentz-Faktor:
h = 10km
vμ = 0,9995 ⋅ c
b)
γ=
1
1− (
)
v 2
c
=
1
1 − 0,9995
2
≈ 31,63
bewegter Beobachter
Längenkontraktion: Für den mitfliegenden Beobachter
scheint die zurückgelegte Strecke bis zum Erdboden
kürzer:
km
sμ = γh ≈ 10
31, 63 = 316m
Diese Strecke legt es mit
t=
s
vμ
=
316 m
0 , 9995⋅3⋅108 ms
vμ = 0,9995 ⋅ c in der Zeit
= 1,05 ⋅10 −6 s
zurück, also innerhalb seiner Lebenszeit. Somit erreicht
es die Erde.
Beide Betrachtungsweisen sind äquivalent!
Aufgabe 4
Blatt 3, Aufgabe 4: Geschwindigkeitsaddition
y’
u'x = 0
u' y = c
K’
u
y
x’
K
dx = γ (dx'+vdt ' )
dy = dy '
x
a)
dt = γ (dt '+vdx' / c 2 )
b)
v
dx
γ (dx'+ vdt ' )
=
(erweitern mit 1/dt’)
2
dt γ (dt '+ vdx' / c )
dx'
+v
u'x +v
=
=v
= dt '
v dx' 1 + vu ' x / c 2
1+ 2
c dt '
u' y
u' y c
dy
dy '
=
=
=
=
uy =
2
2
γ
dt γ (dt '+ vdx' / c ) γ (1 + vu ' x / c ) γ
ux =
⎛ v2 ⎞
u = u + u = v + c / γ = v + c ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = c
⎝ c ⎠
2
x
2
y
2
2
2
2
2
Aufgabe 5 ab
Blatt 3, Aufgabe 5: Elektronen und Photonen
Elektron
E ges = m(v)c 2 = γ m0 c 2 = γ E0 =
{
v = 0,9 ⋅ c
E0 = 511keV
γ=
1
1−
v2
a) Relativistische Gesamtenergie:
= 2,29
c2
e = 1,602 ⋅10 −19 C
1
1− 0 , 9 2
⋅ 511keV ≈ 1172keV
E0
b) Relativistische Masse
Nach Einstein ist Masse äquivalent zu Energie, d.h. man
kann beide gleichermaßen verwenden und über c2 ineinander
umrechnen. Die Ruhemasse eines Elektrons beträgt dann:
m0 =
E0
c
2
=
511keV
(3⋅10 )
8m
s
2
=
5,11⋅105 ⋅1, 602⋅10 −19 C ⋅V
(3⋅10 )
8m
s
2
≈ 9,1 ⋅10 −31
J
( ms )2
kg
Die relativistische Masse ist die Ruhemasse mit γ multipliziert.
m(v) = γ ⋅ m0 ≈ 2,29 ⋅ 9,11 ⋅10 −31 kg = 2,09 ⋅10 −30 kg
Die relativistische Masse ist also um den Faktor γ=2,29
größer als die Ruhemasse des Elektrons.
Aufgabe 5 cd
Blatt 3, Aufgabe 5: Elektronen und Photonen
Photon
c) Ruhemasse des Photons
Die Ruhemasse eines Photons beträgt
m 0Photon = 0
d) Charakteristische Eigenschaft
Die Formel für die Gesamtenergie lautet:
E 2 = p 2 c 2 + m02 c 4
Beim masselosen Photon wird daraus:
E = pc
Das Photon hat also, obwohl es keine Masse besitzt, einen
Impuls. Dieser ist direkt proportional zur Energie. Der Impuls
kann auch übertragen werden (Bsp: Lichtmühle).
Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit, was nur
für masselose Teilchen möglich ist.
Aufgabe 5d
Blatt 3, Aufgabe 5: Elektronen und Photonen
Photon
d) Charakteristische Eigenschaft
Alternative Argumentation:
Photonen sind „Lichtteilchen“ und
bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit :
(vPh = c)
Wenn das Photon eine Ruhemasse m0>0 hätte,
dann wäre die relativistische Masse unendlich, d.h.
m(vPh ) = γ ⋅ m0 → ∞
und deswegen die Energie unendlich:
E ges = m(v)c 2 → ∞
Dieses unphysikalische Verhalten impliziert, dass
Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen,
eine Ruhemasse m0=0 habem müssen.