Mechanik - Heinrich-Emanuel-Merck
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Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Formelsammlung Physik Mechanik Heinrich-Emanuel-Merck-Schule Darmstadt Stand: 28.10.08 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Größen und Einheiten der Mechanik Größe Formel zeichen Arbeit, Energie W, E Beschleunigung a Bogenmaß Dichte Druck ) arcα, α ρ p Name der Einheit Einheiten zeichen Joule J Meter durch Quadratsekunde m s2 Radiant rad Beziehung zwischen den Einheiten kg ⋅ m 2 1J = 1Nm = 1 = 1Ws s2 1 rad =ˆ 1 Kilogramm durch Kubikmeter kg m3 Pascal Bar Pa bar 360 ° ≈ 57,3° 2π kg g = 0,001 3 3 m cm g kg kg = 1 3 = 1000 3 3 cm dm m N kg 1Pa = 1 2 = 1 m m ⋅ s2 1 1bar=105Pa Drehzahl n durch Sekunde 1s 1 1 = 60 ⋅ s min Drehmoment M Newtonmeter N ⋅m 1Nm = 1 Federkonstante D Newton durch Meter N m 1 Fläche A Frequenz f Hertz Geschwindigkeit v Meter durch Sekunde Impuls p Kraft F Newton N Länge l Meter m Leistung P Watt W Masse Schwingungsdauer m T kg s Trägheitsmoment J Volumen V Wellenlänge λ Kilogramm Sekunde Kilogramm mal Quadratmeter Kubikmeter, Liter Meter Winkelbeschleunigung α Radiant durch Quadratsekunde rad s 2 Winkelgeschwindigkeit ω Radiant durch Sekunde rad s t Sekunde Minute Stunde Tag Jahr s min h d a Zeit kg ⋅ m 2 s2 N kg =1 2 m s m2 1s 1Hz = 1 s m km km 1 m = 3,6 1 = s h h 3,6 s kg ⋅ m 1 = 1N ⋅ s s kg ⋅ m 1N = 1 2 s 1 kg ⋅ m s 1W = 1 J N ⋅m kg ⋅ m 2 =1 =1 s s s3 kg m2 m3 L m 1m3=1000L 1L=1000cm3 1 rad oder 2 2 s s 1 rad oder s s 1min=60s 1h=60min=3600s 1d=24h=1440min=86400s 1a=365,242d=31556926s Seite 2 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Kinematik (Lehre von der Beschreibung der Bewegungen) Gesetze der Bewegung auf einer geraden Bahn (Translation) ∆s ∆t a=0 Sonderfall 1: Gleichförmige geradlinige Bewegung (v = konstant) v= Sonderfall 2: Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung (a = konstant) a= ∆v ∆t a = konst. a) Beschleunigung aus der Bewegung, d.h. mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 > 0. Mit s0 > 0 gilt dann: s = v0 ⋅ t + 1 ⋅ a ⋅ t 2 + s0 2 b) Beschleunigung aus dem Stillstand – dann ist v0 = 0 und mit s0 = 0 gilt : s: v: t: s0: a: v0: s = v ⋅ t + s0 v = konst. Weg in m Geschwindigkeit m/s Zeit in s Anfangsweg bei t0 = 0 Beschleunigung m/s2 Anfangsgeschwindigkeit bei t0 = 0 v = v0 + a ⋅ t s= 1 2 ⋅ a ⋅ t2 v = a ⋅t c) Freier Fall (mit a = g) s= 1 2 g: Fallbeschleunigung ⋅ g ⋅ t2 g = 9,81 m/s2 v = g ⋅t (auf dem 50. Breitengrad) Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (v0 = 0 , d.h. Beschleunigung aus dem Stillstand) Zunahme der Geschwindigkeit v mit Anfangsgeschwindigkeit (v0 > 0) Fall 1: Beschleunigung (a > 0) v Zunahme der Geschwindigkeit v ∆v v0 v ∆v v0 t0 ∆t t t0 t ∆t Fall 2: Verzögerung (a < 0) Abnahme der Geschwindigkeit v v0 ∆v v t0 ∆t t Seite 3 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Bewegungsgesetze der Kreisbewegung (Rotation) Größen Gleichförmige Kreisbewegung Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Drehwinkel ϕ ϕ = ωt + ϕ 0 Winkelgeschwindigkeit ω ω = konst. ∆ϕ 2π ω= = = 2π ⋅ n ∆t T α =0 α 2 t + ω0 ⋅ t + ϕ 0 2 Wenn ω 0 = 0 und ϕ 0 = 0 : α ϕ = ⋅t2 2 ω = α ⋅ t + ω0 Winkelbeschleunigung α Gleichförmige Kreisbewegung Bahngeschwindigkeit 2π ⋅ r v= T Radialbeschleunigung v2 Zentripetalbeschleunigung aZ = r Massenträgheitsmoment ϕ= ω= v r ω0 = 0 : ω = α ⋅t Wenn α= α = konst. r T n v = ω ⋅r aZ = ω 2 ⋅ r J = ∫ r 2 ⋅ dm ∆ω ∆t ω : : : : Kreisradius Umlaufzeit Drehzahl Winkelgeschwindigkeit J r m : Massenträgheitsmoment : Radius : Masse Wurfbewegungen Senkrechter Wurf Wurfrichtung nach oben Ort-Zeit-Gesetz y = v0 ⋅ t − Geschwindigkeits-ZeitGesetz Steighöhe Steigzeit Waagrechter Wurf Ort-Zeit-Gesetz g 2 t 2 y = −v0 ⋅ t − v = v0 − gt g 2 t 2 v = −v0 − gt v02 2g v th = 0 g sh = Horizontal: gleichförmige Bewegung: sx = v 0 ⋅ t =− Geschwindigkeits-ZeitGesetz v = v02 + g 2 ⋅ t 2 Wurfparabel sy = − g 2 ⋅ sx 2v 02 s w = v0 ⋅ Weg-Diagramm mit Wurfkurve: 0 Vertikal: gleichmäßig beschleunigte Bewegung: s y Wurfweite Wurfrichtung nach unten 0 g 2 t 2 vx = v0 vy sx v sy 2h g Seite 4 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Weg-Diagramm mit Wurfkurve: Schiefer Wurf Ort-Zeit-Gesetz g s x = v 0 ⋅ t ⋅ cos α s y = v0 ⋅ t ⋅ sin α − t 2 2 sy Wurfparabel Geschwindigkeits-ZeitGesetz Wurfweite v = v02 + g 2 ⋅ t 2 − 2v0 ⋅ g ⋅ t ⋅ sin α sh (Wurfhöhe) vo v02 ⋅ sin 2α sw = g Wurfhöhe sh = v ⋅ sin α 2g Steigzeit th = v0 ⋅ sin α g Wurfparabel y = x ⋅ tan α − 2 0 0 α sx 0 sw (Wurfweite) 2 g ⋅ x2 2 ⋅ v02 ⋅ cos 2 α Kräfte in der Mechanik Kraft, allgemein → → Beschleunigende Kraft F = m⋅a Gewichtskraft FG = m ⋅ g Reibungskraft FR Gleitreibungskraft FGR FGR = µGR ⋅ FN Haftreibungskraft FHR Rollreibungskraft FRR FHR = µ HR ⋅ FN F FRR = µ RR ⋅ N r Masse Fallbeschleunigung Normalkraft r: Radius des rollenden Körpers µ GR = Gleitreibungszahl µ HR = Haftreibungszahl µ RR = Rollreibungszahl FS = D ⋅ s Federspannkraft FS (Hookesches Gesetz) Auftriebskraft m: g: FN : FA FA = ρ ⋅ V ⋅ g Kräfte an der schiefen Ebene ( sin α = h / s ) Hangabtriebskraft FH Normalkraft FN FH FH = FG ⋅ sin α s FN = FG ⋅ cos α α α FN h b FG Erstes Newtonsches Axiom: ohne äußere Beeinflussung (Kräfte) gilt (Trägheitsgesetz): Zweites Newtonsches Axiom: (dynamisches Grundgesetz) Drittes Newtonsches Axiom : (actio = reactio) r v = konst. r r F = m⋅a r r F = −F Seite 5 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung als Vektoren r r Zusammensetzung, Zerlegen von zwei Kräften F1 und F2 (Für das Zusammensetzen, Zerlegen von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen gelten die gleichen Formeln.) r r F1 und F2 sind r r F1 und F2 sind r r F1 und F2 stehen r r F1 und F2 bilden gleich gerichtet entgegengesetzt gerichtet senkrecht aufeinander einen beliebigen Winkel α r F2 r F1 r FR FR = F1 + F2 r F1 r FR r F2 r F2 r F2 r FR r F1 FR = F1 − F2 r FR α r F1 FR = F12 + F22 + 2F1 F2 ⋅ cosα FR = F12 + F22 Wenn F1 = F2 dann vereinfacht sich die Formel zu: FR :Betrag der resultierenden Kraft FR = 2 F1 cos α 2 Beträge der Kraftkomponenten in x bzw. y Richtung: Fx = F ⋅ cos α F = F +F Fy = F ⋅ sin α Fy α = arctan Fx 2 x r Fy 2 y r FR α r Fx n FRx = ∑ Fkx = F1x + F2 x = F1 cos α 1 + F2 cos α 2 k =1 n FRy = ∑ Fky = F1 y + F2 y = F1 sin α 1 + F2 sin α 2 k =1 Eine andere Möglichkeit Kräfte zu addieren / subtrahieren bietet die Betrachtung der Kräfte im Polarkoordinatensystem: Rechtwinklige Koordinaten Polarkoordinaten r , ϕ x = r ⋅ cos ϕ r = x2 + y 2 x,y y = r ⋅ sin ϕ ϕ = arctan r ϕ y x y Taschenrechnerfunktionen : P→R R→P x In dieser Darstellung werden Kräfte addiert / subtrahiert, indem man ihre rechtwinkligen Komponenten berechnet und dann linear addiert / subtrahiert. Seite 6 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Arbeit, Energie, Leistung Mechanische Arbeit W W = F ⋅ s ⋅ cos α Hubarbeit WHub WHub = FG ⋅ s WHub = m ⋅ g ⋅ h Reibungsarbeit WR WR = FR ⋅ s WGR = µ GR ⋅ FN ⋅ s Beschleunigungsarbeit WB WB = FB ⋅ s WB = m ⋅ a ⋅ s Federspannarbeit WF WF = WB = F: s: FG: m: g: h: FR: FN: µGR: D: 1 m ⋅ v2 2 Kraft Weg Gewichtskraft Masse Fallbeschleunigung Höhe Reibkraft Normalkraft Gleitreibungszahl Federkonstante 1 D ⋅ s2 2 Bedingung: Es gilt das Hookesche Gesetz. Mechanische Energie E (W) Kinetische Energie E kin Potenzielle Energie E pot Im erdnahen Gravitationsfeld E pot = FG ⋅ h E pot = m ⋅ g ⋅ h Einer gespannten Feder E pot = Translation 1 D ⋅ s2 2 E kin = Rotation 1 m ⋅ v2 2 E kin = 1 J ⋅ω 2 2 Gesetz von der Erhaltung der mechanischen Energie: In einem abgeschlossenen reibungsfreien mechanischen System gilt: E pot ,a; E kin,a Zustand am Anfang, E ges = E pot + E kin = konst. E pot ,e; E kin ,e Zustand am Ende einer Energieumwandlung E pot ,a + E kin ,a = E pot ,e + E kin ,e Mechanische Leistung, Wirkungsgrad Leistung, P bei linearer Bewegung W t F ⋅s P= = F ⋅v t P= W t F s v : verrichtete Arbeit : Zeit : Kraft: : Weg : Geschwindigkeit (v und F konst) Bei Drehbewegung Wirkungsgrad η r r P = M ⋅ω η= E ab W P ; η = ab ; η = ab E zu W zu Pzu E ab , Wab , Pab Beträge der abgegebenen E zu ,W zu , Pzu Beträge der, zugeführten (aufgewandten) Energie, Arbeit, Leistung Seite 7 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Impuls, Drehimpuls r Impuls p r v m p : Impuls m : Masse v : Geschwindigkeit r v1 Impulserhaltung m1 m1 v0 = 0 r F2→1 r r p = mv Kraftstoß Drehimpuls Bemerkung: r r Wenn p =const. => L =const. dh. Es wirken keine Kräfte auf m Drehmoment Vorher =Nachher r r r r m1v 0 + m 2 v 0 = m1v1 + m2 v2 r r 0 = m1v1 + m2 v2 r r p1 + p2 = konst. F1 ⋅ ∆t = − F2 ⋅ ∆t r r ∆L M= ∆t r r r r r L = r × p = m (r × v ) r r L = m ⋅ r ⋅ v ⋅ sin ( Sr , v ) r r r M = r ×F m2 m2 r v2 r F2→1 p m v : Impuls : Masse : Geschwindigkeit p m v F t a : : : : : : Impuls Masse Geschwindigkeit Kraft Zeit Beschleunigung L J ω r p v m : : : : : : : Drehimpuls Massenträgheitsmoment Winkelgeschwindigkeit Radius Impuls Geschwindigkeit Masse L M t : Drehimpuls : Drehmoment : Zeit Seite 8 von 9 Formelsammlung Mechanik Berufliches Gymnasium – Fachoberschule Auswahl physikalischer Konstanten und Werte Zeichen Wert Name Einheit Fallbeschleunigung g 9,81 m s-2 Gravitationskonstante f 6,670*10-11 m3* kg-l*s-2 Mittlerer Erdradius rE 6,371*106 m Erdmasse mE Mittlerer Mondradius rM Mondmasse mM Sonnenmasse ms Umdrehungszeit Erde TE Umlaufzeit Erde TE 5,977*10 24 kg 1,738*10 6 m 7,352*10 22 kg 1,984*10 30 kg 8,6164*10 4 s 3,1558*10 7 s 6 s Umlaufzeit Mond TM 2,3606*10 Entfernung Erde-Mond rE-M 3,844*108 m 11 Entfernung Erde-Sonne rE-S 1,496*10 Absoluter Nullpunkt T0 -273,15°C = 0K Gaskonstante R 8,314 J*K-1*mol-1 Avogadro Zahl NA 6,0225*1023 mo1-1 Molares Volumen VM,n 22,41*10-3 m3 mol-1 Ruhemasse Elektron me 9,109*10-31 kg Mp -27 kg -27 kg Ruhemasse Proton Ruhemasse Neutron 1,673*10 mn Lichtgeschwindigkeit im Vakuum m 1,675*10 c 2,9929*10 8 m*s-1 Reibungs- und Fahrwiderstandszahlen (Auswahl) Haftreibungszahl µH Gleitreibungszahl µG trocken nass trocken Stahl auf Stahl 0,15 0,1 0,1 0,05 Holz auf Holz 0,5-0,65 0,2 0,15 0,05 Leder auf Metall 0,5-0,6 0,2 0,25 0,1 Gummi auf Asphalt <0,9 <0,5 0,5 Fahrzeug mit nass Fahrzeug mit Stahlreifen auf Erdweg 0,1 Stahlreifen auf Asphalt 0,02 Stahlreifen auf Straße 0,04 Gummireifen auf Asphalt 0,03 Stahlreifen auf Pflaster 0,3 Stahlräder auf Schienen 0,005 Quellen: Das große Tafelwerk interaktiv, Cornelsen Verlag Formelsammlung zur Physik, A.Gudrian Seite 9 von 9
