1. Übungsblatt zu Physik II - Delta

1. Übungsblatt zu Physik II
SS 2015
Prof. Dr. Thomas Weis / Prof. Dr. Heinrich Päs
Abgabe im Physik Foyer
Abgabe bis Fr, 17.04.15, 10 Uhr
Ausgabe: Fr, 10.04.15
Aufgabe 1: Gauÿ'scher Integralsatz
5 Punkte
Der Integralsatz von Gauß beschreibt die Identität des Flusses des Vektorfeldes durch die Randfläche ∂V
mit einem Integral über die Divergenz des Feldes im Inneren des umschlossenen Volumens V:
Z
Z
~
f · d~
A = div ~
f dV .
(1)
∂V
V

xy
Gegeben sei ein Vektorfeld ~
f =  −x  .
z2
Zeigen Sie, dass der Integralsatz von Gauß von diesem Beispiel erfüllt wird, indem Sie beide Integrale für den Quader,
der von den Vektoren 2~
e x , 3~
e y und 4~
e z aufgespannt wird, jeweils einzeln berechnen.
Hinweis: Normalenvektoren zeigen immer nach außen!

a)
b)
Gegeben sei nun eine Punktladung q, welche sich auf der
Ecke eines Würfels der Kantenlänge a befindet (siehe Abbildung). Berechnen Sie den elektrischen Fluss Ψ durch den
Würfel. Hinweis: Die Verwendung von Symmetrieargumenten kann die Rechnung vereinfachen!
Aufgabe 2: Integralsatz von Stokes
6 Punkte

2bx y
~ (~
Gegeben sei das elektrische Feld E
r ) = c ·  x 2 + a y 2  mit a, b, c = const.
0

a)
b)
Diskutieren Sie die Dimension der Konstanten a, b und c.
Zeigen Sie für den geschlossenen Weg (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (0, 0, 0), dass der Integralsatz von
Stokes,
I
Z
~
~ · d~
E · d~
r = rot E
A,
(2)
∂A
A
gültig ist. Berechnen Sie beide Seiten explizit.
c)
Bestimmen Sie die Konstanten a und b so, dass das Feld wirbel- und quellenfrei wird. Bestimmen Sie
für diesen Fall dann das Potential Φ(x, y) im Bezug auf den Ursprung.
Aufgabe 3: Multipolentwicklung
4 Punkte
Bestimmen Sie in einer linearen Anordnung von 4 Punktladungen q 1 und q 2 so, dass das Potential in alle
Richtungen für r À a schneller abfällt als r12 .
Aufgabe 4: Wasserstoatom
5 Punkte
Betrachtet man ein Wasserstoffatom im Grundzustand, so lässt sich näherungsweise feststellen, dass die
Kernladung punktförmig im Ursprung zentriert ist und die mittlere Elektronenladungsdichte gegeben ist
durch:
µ
¶
e
2r
ρ e (~
r ) = − 3 exp −
,
(3)
πa
a
wobei a der Bohr’sche Radius ist.
a)
b)
c)
~.
Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E
Berechnen Sie das Potential φ.
Diskutieren Sie die Grenzfälle r À a und r ¿ a.