4.5 Integralsatz von Stokes

4.5
Integralsatz von Stokes
Voraussetzungen:
Wir betrachten ein Gebiet G in der Parameterebene (u, v), das von einer stückweise glatten geschlossenen Jordan-Kurve γ = ∂G begrenzt wird (G hat also keine Löcher). Sei
ϕ(τ ) = (u(τ ), v(τ )), 0 ≤ τ ≤ |γ|
eine Parametrisierung von γ mit der Bogenlänge, welche eine positive Orientierung von γ erzeugt.
Auf einer offenen Umgebung U des Abschlusses Ḡ sei φ = (φx , φy , φz ) : U → R3 eine stetige
Abbildung derart, dass φ(U ) eine offene Fläche in R3 ist.
Wir betrachten die abgeschlossene Fläche Γ := φ(Ḡ). Der Rand ∂Γ ist dann eine geschlossene,
stückweise glatte Jordan-Kurve C = ∂Γ mit der Parametrisierung x = ψ(τ ) := φ(ϕ(τ )), 0 ≤ τ ≤ |γ|.
Satz 4.33 (Stokes’scher Integralsatz) Für eine abgeschlossene Fläche Γ ⊂ R3 mit zweimal stetig
differenzierbarer Parametrisierung φ : Ḡ → R3 sollen die obigen Voraussetzungen gelten. Für ein auf
einer offenen Umgebung V von Γ stetig differenzierbares Vektorfeld f : V → R3 gilt dann
Z
Z
f (x(s))ds
(∇ × f (x(s))) · n(x(s))ds =
∂Γ
Γ
bzw.
Z
Z
(∇ × f )(φ(u, v))(∂u φ × ∂v φ)(u, v)d(u, v) =
G
|γ|
f (ψ(τ ))ψ 0 (τ )dτ.
0
Beispiel (Anwendung):
Auf einem Gebiet G ⊂ R3 sei ein Vektorfeld v : G → R3 gegeben (zum Beispiel ein Magnetfeld). Die
Größe
Z
v(x) · n(x)ds
Fv (Γ) :=
Γ
bezeichnet man als den Fluss des Feldes
R durch die Fläche und das Wegintegral entlang der geschlossenen Jordan-Kurve γ ⊂ G, Zv (γ) := γ v(x(s)) · ds, als Zirkulation des Feldes längs der Kurve.
Der Intergralsatz von Stokes besagt dann: Die Zirkulation des Feldes v entlang einer geschlossenen
Kurve ist gleich dem Fluss durch die in der Kurve eingespannte Fläche.
• Sei v ein Kraftfeld. Die Zirkulation bedeutet eine Arbeit angewendet bei der Verschiebung eines
Massenpunktes entlang der Kurve. Ist das Feld rotationsfrei (konservativ), so ist diese Arbeit
Null.
• Beispiel aus der Elektrodynamik: Sei E = E(x, t) die Stärke eines elektrischen Felds, H =
H(x, t) die magnetische Feldstärke. Dann gilt:
Z
µd
E(x, t)dτ = −
c dt
γ
Z
H(x, t) · n(x)ds
(Induktionsgleichung).
Γ
Mit dem Stokes-Integralsatz folgt hieraus
Z
Z
µd
(∇ × E(x, t)) · n(x)ds = −
H(x, t) · n(x)ds.
c dt Γ
Γ
Da diese Gleichung für jede reguläre Fläche Γ ⊂ G gelten soll, folgt die punktweise Beziehung
mit der Rotation des Feldes
µ dH
(x, t) x ∈ G, t ≥ 0.
c dt
Dies wird manchmal als 2. Hauptgleichung der Elektrodynamik bezeichnet. Es ist µ die magnetische Permeabilität und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
∇ × E(x, t) = −
1