Inhalt

v
Inhalt
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
§ 0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Die Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Die reellen Zahlen als vollständig geordneter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Das Induktionsprinzip. Induktive Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 R als metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 2 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Konvergente Folgen. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Das Rechnen mit konvergenten Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 p-adische Brüche. Überabzählbarkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6 Umordnen und Multiplikation von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§ 3 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1 Reell- bzw. komplexwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Sätze über stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5 Logarithmus und allgemeine Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7 Unstetigkeitsstellen. Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.8 Uneigentliche Grenzwerte und Grenzwerte im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . 123
3.9 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
vi
§ 4 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Relative Extrema. Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Höhere Ableitungen. Taylor-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4 Konvexe und konkave Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5 Grenzwertbestimmung mittels Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
§ 5 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1 Ober- und Unter-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
5.2 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3 Integration und Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.5 Rationale Funktionen von trigonometrischen Grundfunktionen und
Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.7 Wallissches Produkt und Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.8 Das Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
§ 6 Folgen und Reihen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.2 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.3 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.4 Gleichmäßige Konvergenz und Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
6.5 Gleichmäßige Konvergenz und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.6 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.7 Die Division von Potenzreihen. Bernoulli-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§ 7 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.1 Topologie metrischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2 Stetige und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
7.3 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.4 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
7.5 Gradient, Divergenz und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.6 Mittelwertsatz und Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.7 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
vii
7.8 Implizite Funktionen. Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
7.9 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
§ 8 Einführung in die Theorie Gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 271
8.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.2 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . 274
§ 9 Integralrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.2 Riemann- und Darboux-Integrale über kompakte Intervalle im Rp . . . . . . . 283
9.3 Integration über Jordan-messbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.4 Die Bedeutung Jordanscher Nullmengen in der Integrationstheorie . . . . . . . 298
9.5 Inhalte von Ordinatenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.6 Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
§ 10 Kurven- und Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.1 Rektifizierbare Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.3 Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.4 Flächen- und Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333
10.5 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.6 Der Gaußsche Integralsatz im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.7 Der Stokessche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
§ 11 Lebesgue-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
11.2 Elemente der Maßtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.3 Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378
11.4 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
11.5 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
11.6 Integrationsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
§ 12 Grundbegriffe der Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
12.1 Reelle und komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
12.2 Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
12.3 Der Cauchysche Integralsatz für konvexe Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
viii
12.4 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.5 Cauchysche Ungleichungen und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.6 Der Identitätssatz und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
12.7 Reell-analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
§ 13 Der allgemeine Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
13.1 Umlaufzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
13.2 Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . 456
13.3 Die Umkehrung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
§ 14 Isolierte Singularitäten und Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
14.1 Klassifikation von Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
14.2 Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurent-Reihen . . . . . . . . . . . . . 472
14.3 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
14.4 Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 481
§ 15 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen bei Gewöhnlichen Differentialgleichungen . 491
15.1 Der Satz von Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
15.2 Der Satz von Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
15.3 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
15.4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
15.5 Differentialgleichungen vom speziellen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.6 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
Personenverzeichnis (teilweise mit Bildern und Kurzbiographien) . . . . . . . . . . . . . 541
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543