Mathematik - Educanet.ch

Mathematik
Matura
ISME
2015
2 2
1. Gegeben ist die Funktionsschar fa (x) = ax · e−a x , wobei x ∈ R und a > 0 ist.
12 Punkte
Vorerst sei a = 2.
(a) Berechnen Sie
die Nullstelle
die Gleichung der Asymptote für |x| → ∞
die Extrema
die Wendepunkte
und zeichnen Sie den Graphen in einem Koordinatensystem (10 Häuschen für 1
Einheit).
su
ng
en
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Lösung
i. Nullstelle:
2
soll
2x · e−4x = 0
|{z}
1 Punkt
x1 = 0
⇒
>0
ii. Asymptotengleichung:



lim  2x ·
x→±∞  |{z}




2
 = 0
e−4x
|{z} 
⇒
1 Punkt
yasy = 0
→±∞ (linear) →0 (exponentiell)
iii. Extrema:
soll
2
2
f20 (x) = 2 · e−4x − 16x2 · e−4x = 2 · e−4x 1 − 8x2 = 0
√ , √
!
1
2
2 −1
⇒ x2,3 = ± √
⇒ E2,3 ±
±
·e 2
4
2
2 2
1 Punkt
2
(±0.354/ ± 0.429)
iv. Wendepunkte:
2
2
2
Lö
f200 (x) = −16x · e−4x 1 − 8x2 − 16x · 2 · e−4x = −16x · e−4x 1 − 8x2 + 2
soll
2
= −16x · e−4x 3 − 8x2 = 0
⇒
x4 = 0
x5,6
⇒ W4 (0/0)
√
√
3
6
=±√ =±
⇒
4
8
W5,6
√ , √
!
6
6 −3
±
±
·e 2
4
2
(±0.612/ ± 0.273)
v. Graph:
2 Punkte
y
E2
0.5
W5
0.25
x
W4
-2
-1
-0.25
1
2
W6
E3 -0.5
Matura_2015
1 Punkt
©
G. Schöb - 1. Juli 2015
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2015
. (b) Die Tangente t im Punkt P 12 f 12 schliesst mit der y-Achse einen Winkel ein. Berechnen Sie diesen Winkel.
Lösung
Es gilt: Steigung mt = tan(Steigungswinkel ϕ0 )
1
2
2
= 2 · e−1 (1 − 2) = −
e
|{z}
⇒
3 Punkte
(−0.634 rad = −36.34°)
su
ng
en
mt = f20
2
ϕ0 = arctan −
e
−0.736
⇒
ϕ=
π
+ ϕ0 = 0.936 rad
2
(= 53.66°)
Ab hier ist mit allgemeinem a > 0 zu rechnen.
(c) Berechnen Sie die Wendepunkte von fa (x).
Lösung
fa (x) = ax · e−a
2 Punkte
2 2
x
2 2
2 2
2 2
fa0 (x) = a · e−a x − 2a3 x2 · e−a x = a · e−a x 1 − 2a2 x2
2 2
2 2
2 2
fa00 (x) = −2a3 x · e−a x 1 − 2a2 x2 − 4a3 x · e−a x = −2a3 x · e−a x 3 − 2a2 x2
soll
fa00 (x) = 0
⇒
x1 = 0
⇒
x2,3 = ± 2a6
⇒
W1 (0/0)
√
⇒
√ √
3
W2,3 ± 2a6 ± 26 · e− 2
Lö
(d) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Kurve, auf der alle Wendepunkte liegen.
Lösung
Da die y-Koordinate der Wendepunkte nur vom Vorzeichen abhängt, befinden sie sich
auf Halbgeraden (W1 liegt nicht auf einer der beiden Halbgeraden, sondern im Ursprung):
W2 :
(x > 0)
y = +0.273
W3 :
(x < 0)
y = −0.273


 
 −2 
 1 


 
2. Gegeben sind die Ebene : x − 2y − 2z + 23 = 0, die Gerade g : ~r =  20  + t ·  1  und
 


19
0
die Gerade h durch die beiden Punkte P(−10/12/19) und Q(−5/17/19).
(a) Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden g und h.
Lösung
Sind g und h parallel?


 
5 
 1 
−−→ 

 
PQ =  5  = 5 ·  1 


 
0
0
⇒
12 Punkte
1 Punkt
parallel
Schneiden sich g und h? (Dann wären g und h identisch, d.h. man kann einfach überprüfen, ob z.B. P ∈ g ist.)
Matura_2015
1 Punkt
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G. Schöb - 1. Juli 2015
1 Punkt
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
 



 −10  soll  −2 
 1 
 12 


 

 =  20  + t ·  1 




 
19
19
0
⇒
t = −8
⇒
2015
identisch
su
ng
en
(b) Berechnen Sie den spitzen Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Ebene .
Lösung
 


 1 
 1 
 


Winkel α0 zwischen ~
v g =  1  und ~n =  −2 :
 


−2
0
α0 = arccos
~
v g · ~n
v g n
!
!
−1
= arccos √ √ = 1.809 rad
2 9
(= 103.63°)
Winkel α aus α0 :
α = α0 −
π
2
= 0.238 rad
g und schneiden (g in einsetzen):
1 Punkt
2 Punkte
s=6
⇒
Z berechnen:
Lö
Punkt
(−5 + s) − 2(17 − 2s) − 2(19 − 2s) + 23 = 0
−54 + 9s = 0




 −5 
 1 
~rZ =  17  + 6 ·  −2 




−2
19
⇒
1 Punkt
Z(1/5/7)
(d) Bestimmen Sie die Gleichung der kleinstmöglichen Kugel K mit dem Mittelpunkt im
Ursprung, die die Gerade g berührt.
Lösung
Nur der Radius R der Kugel K fehlt noch:
1 Punkt
K : x2 + y2 + z2 = R2
R ist der Abstand von g zum Ursprung (Berechnung z.B. via Parallelogrammfläche):
AParallelogramm = Grundlinie v g · Höhe R
AParallelogramm = Betrag des Vektorproduktes der Seitenvektoren
⇒ v g · R = ~
v g × ~rP 

 0 − 19  √
√
√


2 · R =  19 − 0  = 192 + 192 + 222 = 1206


−2 − 20 √
⇒ R = 603
Matura_2015
1/2
(= 13.63°)
(c) Berechnen Sie den Punkt Z in der Ebene , der am nächsten beim Punkt Q liegt.
Lösung
Gerade n durch Q senkrecht zu :




 −5 
 1 




g : ~r =  17  + s ·  −2 




19
−2
g∩:
11/2 Punkte
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G. Schöb - 1. Juli 2015
21/2 Punkte
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2015
Daraus folgt die Gleichung für K:
1/2
Punkt
K : x2 + y2 + z2 = 603
3. Wahrscheinlichkeiten:
12 Punkte
su
ng
en
(a) In einem Gefäss U1 sind zwei blaue Kugeln. In einem weiteren Gefäss U2 sind acht
rote Kugeln. Lena darf mit verbundenen Augen eines der beiden Gefässe wählen und
daraus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel rot, dann gewinnt Lena einen Preis.
i. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lena einen Preis gewinnt?
ii. Lena hat 50 weitere rote Kugeln zur Verfügung und darf nun bestimmen wie viele
zusätzliche rote Kugeln in U1 gelegt werden. Allerdings werden dann genauso
viele blaue Kugeln in U2 gelegt. Lena wählt fünf zusätzliche rote Kugeln. Wie
gross ist nun ihre Gewinnwahrscheinlichkeit?
Lösung
i. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lena eine rote Kugel zieht?
1
2
U1
2
2
b
P(Lena gewinnt) = P(U2 r) =
2
1
U2
8
8
1
2
r
ii. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lena eine rote Kugel zieht?
2
7
1
U1
Lö
2
P(Lena gewinnt) = P(U1 r) + P(U2 r)
r
5
13
1
U2
4 Punkte
b
5
7
2
2 Punkte
=
5
14
+
8
26
= 0.665
b
=
121
182
8
13
r
(b) In einem Gefäss U1 sind zwei blaue Kugeln. In einem weiteren Gefäss U2 sind acht
rote Kugeln. Barbara leert die Kugeln der beiden Gefässe in einen Sack und zieht dann
aus dem Sack eine Kugel. Sie notiert die Farbe der Kugel und legt die Kugel wieder
zurück.
i. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Barbara nach 10 Ziehungen genau 8 Mal
eine rote Kugel notiert hat?
ii. Wie oft muss Barbara mindestens ziehen, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 99 % mindestens einmal eine blaue Kugel gezogen hat?
Lösung
P(r) = 0.2
!
10
P(von 10 Mal genau 8 rote) =
· 0.88 · 0.22 = 0.302
8
i. Bernoulli-Experiment:
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P(r) = 0.8
⇒
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3 Punkte
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ii. Via Gegenereignis:
P(b) = 0.2
(1 − 0.2)n ≤ 1 − 0.99
ln(0.01)
n≥
= 20.64
ln(0.8)
2015
⇒
P(b) = 0.8
⇒
Barbara muss mindestens 21 mal ziehen.
3 Punkte
su
ng
en
4. Gegeben ist die Funktion f (x) = 14 x4 − x2 .
12 Punkte
(a) Berechnen Sie die Extrema.
Lösung
soll
f 0 (x) = 0:
4 Punkte
f 0 (x) = x3 − 2x = x x2 − 2 = 0
⇒
x1 = 0
√
x2,3 = ± 2
⇒
H1 (0/0)
√ .
T2,3 ± 2 − 1
(b) A1 sei die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse, und A2 die Fläche zwischen der
Kurve und der Tangente durch die beiden Tiefpunkte. Berechnen Sie ohne Taschenrechner das Verhältnis von A1 und A2 .
Lösung
Nullstellen (Integrationsgrenzen):
2
2 1 2
1 4
y
4x − x = x
4x − 1 = 0
x4,5
x7
1A
2 1
x4,5 = 0
x6,7 = ±2
und
T1
Lö
T2
⇒
x
x6
1A
2 1
A2
Fläche A1 :
1 Punkt
Z2
1 4
4x
Z2
"
− x dx = 2
2
−2
1 4
4x
x5 x3
− x dx = 2 ·
−
20
3
#2
=2·
2
0
0
32
20
−
8
3
32
= − 15
Fläche A2 :
11/2 Punkte
√
√
Z2
Z2
1 4
4x
− x − (−1) dx = 2
2
√
− 2
# √2
x5 x3
− x + 1 dx = 2 ·
−
+x
20
3
0
"
1 4
4x
0
=2·
√
2
5
−
2
√
2 2
3
+
√ 2 =
2
15
√
√
√ · 3 2 − 10 2 + 15 2 =
√
16
15
2
Flächenverhältnis:
⁄ Punkt
12
A1
=
A2
Matura_2015
1 Punkt
32
15
16
15
√
2
√ = √ = 2
2
2
©
G. Schöb - 1. Juli 2015
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2015
(c) Die Verbindungsstrecke der Tiefpunkte schneidet die y-Achse in S. Ein zur y-Achse
symmetrisches Dreieck PQS hat seine Spitze in S und die Punkte P und Q befinden sich
auf dem Graphen von f zwischen den beiden Tiefpunkten. Berechnen Sie die Punkte
P, Q und S so, dass die Fläche des Dreiecks maximal wird.
Lösung
Hauptfunktion: A = 12 gh
1/2
Punkt
su
ng
en
y
Q
x
P
A
T2
T1
S
Nebenbedingungen: (mit S(0/ − 1), P(x/ f (x)) und Q(−x/ f (−x)))
1 Punkt
g = xP − xQ = 2x
h = yP − yS = f (x) − (−1) = 41 x4 − x2 + 1
Zielfunktion:
A(x) =
1 Punkt
1
· 2x · 41 x4 − x2 + 1 = 41 x5 − x3 + x
2
Fläche maximieren:
1 Punkt
soll
A0 (x) = 45 x4 − 3x2 + 1 = 0
±0.632
⇒
Resultat:
x8,9
√
=± 2
und
x10,11
z }| {
√
= ± 51 10
−0.36
⇒
y10,11
z}|{
9
= − 25
∆PQS mit P(0.632/ − 0.36), Q(−0.632/ − 0.36) und S(0/ − 1)
Lö
5. Drei von einander unabhängige Aufgaben:
1/2
Punkt
12 Punkte
(a) Gegeben ist der Kreis k : x2 + y2 − 14x − 6y − 111 = 0 und der Punkt T(12/15) auf der
Kreislinie.
i. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises k.
ii. Die Tangente t an den Kreis k im Punkt T schliesst zusammen mit den Koordinatenachsen eine Fläche A ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
Lösung
i. Kreismittelpunkt und -radius durch quadratisches Ergänzen:
2 Punkte
x2 + y2 − 14x − 6y − 111 = 0
x2 − 14x + 72 + y2 − 6y + 32 = 111 + 72 + 32
(x − 7)2 + (y − 3)2 = 169 = 132
⇒
−−→
ii. t ist senkrecht zu TM (⇒
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M(7/3)
r = 13
−−→
TM = ~nt ):
1 Punkt
©
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−−→
TM =
−5
−12
2015
!
T∈t
⇒
t : −5x − 12y + c = 0
⇔
−5 · 12 − 12 · 15 + c = 0
⇒
t : −5x − 12y + 240 = 0
⇒
c = 240
Spurpunkte von t (Schnittstellen mit Koordinatenachsen):
1 Punkt
−5x − 12 · 0 + 240 = 0
⇒
x = 48
⇒
Sx (48/0)
Sy :
−5 · 0 − 12y + 240 = 0
⇒
y = 20
⇒
S y (0/20)
su
ng
en
Sx :
Dreiecksfläche:
A∆ =
1
2
1 Punkt
· 48 · 20 = 480
(b) In einem Gefäss U1 sind zwei blaue Kugeln. In einem weiteren Gefäss U2 sind acht
rote Kugeln. Luca darf mit verbundenen Augen eines der beiden Gefässe wählen und
daraus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel rot, dann legt Luca die Kugel zurück und
zusätzlich in beide Gefässe je eine rote Kugel. Ist die Kugel blau, dann legt er die blaue
Kugel zurück und zusätzlich in beide Gefässe je zwei blaue Kugeln hinzu. Wie gross
ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luca in der zweiten Ziehung eine rote Kugel zieht?
Lösung
Vierstufiges Zufallsexperiment:
i. Gefäss wählen
ii. Kugel ziehen (U2 → r oder U1 → b) beeinflusst die Kugelzusammensetzung für
die zweite Ziehung
iii. Gefäss wählen
iv. Kugel ziehen
Lö
2
1
1
2
U2
1
2
U1
8
8
2
2
r
b
U1
2
1
2
U2
1
2
2
1
U1
U2
1 Punkt
b
3
1
3
r
9
9
r
4
4
b
2
10
b
8
10
r
Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit für rot in der zweiten Ziehung:
8
8
P(r) = 21 · 88 · 21 · 13 + 21 · 88 · 12 · 99 + 12 · 22 · 21 · 10
= 15
= 0.53
−16 + ax4
so, dass der Punkt P(−2/0) auf
bx3
dem Graphen von f liegt und die Steigung dort 2 beträgt.
(c) Berechnen Sie a und b der Funktion f (x) =
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2 Punkte
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Lösung
Es muss gelten:
1 Punkt
i. f (−2) = 0
ii. f 0 (−2) = 2
Einsetzen und ausrechnen:
su
ng
en
−16 + 16a 2 − 2a soll
=
= 0 ⇒
−8b
b
4ax3 · bx3 − −16 + ax4 · 3bx2
3 Punkte
f (−2) =
f 0 (x) =
=
4ax4 − 3 ax4 − 16
b2 x6
a
+ 3 −1 + 3 2 soll
16a
+
48
=
=
=
= 2
f 0 (−2) =
16b
b
b
b
bx4
⇒
=
ax4 + 48
bx4
b=1
Lö
⇒
a=1
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