Formelsammlung pdf - Landfunker-Freunde-BW

Kleine Formelsammlung zu Elektronik und
Schaltungstechnik
Florian Franzmann
21. September 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Stromrichtung
2 Kondensator
2.1 Plattenkondensator
2.2 Ladung . . . . . .
2.3 Energieinhalt . . .
2.4 Aufladevorgang . .
2.5 Entladevorgang . .
4
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4
4
4
4
4
4
3 Induktion
3.1 Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aufladungsvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Entladevorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
5
5
4 Induktivität
4.1 Einschaltvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5 Wärmeleitung
5.1 Wärmewiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Dimensionierung eines Kühlkörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
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Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
6 Spannung
6.1 Ohmscher Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
6
7 Leistung
7.1 Mittlere Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
7
8 Grundschaltungen
8.1 Widerstände in Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Spannungsteilerformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Stromteilerformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7
9 Widerstand
9.1 Kapazitiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Induktiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Spezifischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
8
10 Superposition
8
11 Diode
11.1 Diodenstrom . . . . . .
11.2 Vereinfachtes Modell . .
11.3 Arbeitspunkt . . . . . .
11.4 Diode als Pegelschieber
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8
9
9
9
12 Transistor
12.1 Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Emitterschaltung . . . . . . . . . .
12.1.2 Kollektorschaltung (Emitterfolger)
12.1.3 Basisschaltung . . . . . . . . . . .
12.1.4 Sourceschaltung . . . . . . . . . .
12.1.5 Drainschaltung . . . . . . . . . . .
12.2 Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . .
12.2.1 Emitterschaltung . . . . . . . . . .
12.2.2 Sourceschaltung . . . . . . . . . .
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9
9
9
10
15
15
17
18
18
21
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2
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Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
13 Operationsverstärker
22
14 Analog-Digital-Umsetzung
14.1 Quantisierungsrauschen . . . . .
14.2 Zahl der Quantisierungsintervalle
14.3 Zahl der Bits . . . . . . . . . . .
14.4 Minimale Abtastrate . . . . . . .
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22
22
23
23
23
15 Bodediagramm
15.1 Logarithmisches Verhältnismaß . . . . . . . . . .
15.1.1 Leistungsverhältnis . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Spannungsverhältnis . . . . . . . . . . . .
15.2 Amplitudengang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Phasengang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Verhältnis zwischen Frequenz und Kreisfrequenz
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23
23
23
24
24
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16 CMOS
24
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Aufladevorgänge Energiespeicher . . . . . . .
Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . .
Diodenschaltungen . . . . . . . . . . . . . . .
Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . .
NMOS-Transistoren . . . . . . . . . . . . . .
PMOS-Transistoren . . . . . . . . . . . . . .
Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . .
Kollektorschaltung . . . . . . . . . . . . . . .
Basisschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drainschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . . . .
Transistor: Eingangsseitiges Ersatzschaltbild .
Grundschaltungen des Operationsverstärkers
Schaltsymbole der CMOS-Technik . . . . . .
Inverter in CMOS-Technik . . . . . . . . . . .
3
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5
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
20
22
24
25
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
1 Stromrichtung
Technische Stromrichtung: Vom +“- zum −“-Pol → positiv.
”
”
2 Kondensator
2.1 Plattenkondensator
C=
r 0 A
d
2.2 Ladung
C=
Q
⇒ Q = CU
U
2.3 Energieinhalt
W =
1
1
1 Q2
= QU = CU 2
2 C
2
2
2.4 Aufladevorgang
US − t
e RC
R
duC
i(t) = C ·
dt
I=
t
UC = US (1 − e− RC )
2.5 Entladevorgang
t
I = I0 · e− RC
t
UC = U0 · e− RC
I0 =
U0
R
3 Induktion
ui =
dφ
d(B · A)
·n = n·
dt
dt
4
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
(a)
Schaltung
Aufladevorgang
Kondensator
(b) Schaltung
Aufladevorgang
Induktivität
Abbildung 1: Aufladevorgänge Energiespeicher
3.1 Leiterschleife
ui = −nBlv
3.2 Aufladungsvorgang
t
u = U0 · (1 − e− RC )
−t
U0
· e RC
R
Wirkungsgrad des Ladevorgangs: 50%.
i=
3.3 Entladevorgang
−t
u = U0 · e RC
i=
−t
U0
· e RC
R
4 Induktivität
4.1 Einschaltvorgang
i(t) =
t−t0
U0
· (1 − e− T )
R
u(t) = U0 · e
t−t0
T
5
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
T =
L
R
5 Wärmeleitung
5.1 Wärmewiderstand
Rth =
T
P
5.2 Dimensionierung eines Kühlkörpers
TJ − TA = (Rth, JC + Rth, CH + Rth, HA ) · PV
TJ Temperatur Transistor
TA Umgebungstemperatur
6 Spannung
6.1 Ohmscher Widerstand
u(t) = R · i(t),
R · Iˆ · est ,
Û = R · Iˆ
6.2 Induktivität
di(t)
,
dt
u(t) = L ·
ˆ st ,
u(t) = sLIe
Û = sLIˆ
6.3 Kapazität
1
·
u(t) =
C
Z
t
i(τ )dτ,
0
u(t) =
1 ˆ st
Ie ,
sC
Û =
1 ˆ
I
sC
7 Leistung
7.1 Mittlere Leistung
Pm =
1
T
Z
T
0
i(t) · u(t)dt mit T ist Dauer einer Periode im Bogenmaß.
6
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
(a) Spannungsteiler
(b) Stromteiler
Abbildung 2: Grundschaltungen
7.2 Gleichstrom
P = U · I = I2 · R =
U2
R
7.3 Wechselstrom
P =
U2
1 2
· Im · R = 0 · (1 − cos(2ωt))
2
2·R
8 Grundschaltungen
8.1 Widerstände in Parallelschaltung
R1 ||R2 =
R1 R2
R1 + R 2
8.2 Spannungsteilerformel
U R1 = U 0 ·
R1
R1 + R 2
8.3 Stromteilerformel
I R1 = I 0 ·
R2
R1 + R 2
7
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
9 Widerstand
9.1 Kapazitiver Widerstand
Z=
1
jωC
9.2 Induktiver Widerstand
Z = jωL
9.3 Spezifischer Widerstand
R=ρ·
l
A
10 Superposition
Alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse ersetzen, alle Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzen.
11 Diode
11.1 Diodenstrom
UD
ID = IS · e n·UT − 1
Wobei gilt:
• n Emissionskoeffizient
• UT =
kT
q
Temperaturspannung
• k = 1, 38 · 10−23 V As/K Bolzmannkonstante
• q = 1, 602 · 10−19 As Elementarladung
• T Temperatur in K
8
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
R1
ID = I 0
UD
UV
u1 (t)
UD
UA
R2
(b) Diode als Pegelschieber
(a) Einfache Diodenschaltung
Abbildung 3: Diodenschaltungen
11.2 Vereinfachtes Modell
ID = I 0 =
UV − U D
R
⇔
R=
UV − U D
I0
⇔
UD = UV − R · I 0
UD wird willkürlich festgelegt und in die Formel eingesetzt. Anschließend wird der Wert
anhand der Kennlinie überprüft.
11.3 Arbeitspunkt
Paar aus ID und UD .
11.4 Diode als Pegelschieber
ID =
UR2 + u1 (t) − UD
R2
UA = UR2 − UD
12 Transistor
12.1 Grundschaltungen
12.1.1 Emitterschaltung
(Skript S. 4-14)
9
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
C
C
B
B
E
E
(a)
npnTransistor
(b)
pnpTransistor
Abbildung 4: Bipolartransistoren
Charakter: Näherungsweise ideale Stromquelle. Grenzfrequenz f β =
Verstärkung
• Spannung:
Vu =
uCE
= −S · RA
uBE
• Strom:
Vi =
iC
=β
iB
• Leistung:
uCE · iC = |Vu · Vi | = S · RA · β
VP = uBE · iB 12.1.2 Kollektorschaltung (Emitterfolger)
(Skript S. 4-15)
Dient als Impedanzwandler.
Verstärkung
10
1
β
· fT .
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
ID
ID
D
B
G
UT
S
UGS
UDS
(a) n-Kanal-Transistor, selbstsperrend
ID
ID
D
B
G
S
UT
UGS
(b) n-Kanal-Transistor, selbstleitend
Abbildung 5: NMOS-Transistoren
11
UDS
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
ID
ID
UT
UGS
UDS
D
B
G
S
(a) p-Kanal-Transistor, selbstsperrend
ID
UT
ID
UGS
D
B
G
S
(b) p-Kanal-Transistor, selbstleitend
Abbildung 6: PMOS-Transistoren
12
UDS
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
uE
uA
(a) Schaltbild
ib
uBE = uE
ic
SuBE
rBE
rCE
(b) Ersatz-Schaltbild
Abbildung 7: Emitterschaltung
13
uCE
RA
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
uE
uA
(a) Schaltbild
B
E
ib
ie
rBE
uBC
rCE
uEC
SuBE
C
(b) Ersatz-Schaltbild
Abbildung 8: Kollektorschaltung
14
RE
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
ie
ic
uA = uCB
uE = uEB
(a) Schaltbild
Abbildung 9: Basisschaltung
• Spannung:
VU =
• Strom:
Vi =
S · RE
uEC
=
≈1
uBC
1 + SRE
ie
≈ −β
ib
12.1.3 Basisschaltung
(Skript S. 4-19)
Verstärkung
• Spannung:
Vu =
• Strom:
Vi =
uCB
= S · RA
uEB
ic
=α
ie
12.1.4 Sourceschaltung
Sie hat starke Ähnlichkeit mit der Emitterschaltung des Bipolartransistors. Die Einstellung des Arbeitspunktes erfolgt ähnlich.
15
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
G
D
uE
uA
S
(a) Schaltung
Ri
uS
iS
R1
iD
R2 uGS
S · uGS
(b) Ersatzschaltbild
Abbildung 10: Sourceschaltung
16
rDS
uDS
RD
uA
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
G
S
uE
uA
D
(a) Schaltung
Ri
uS
iS
R1
R2 uGD
S · uGS
(b) Ersatzschaltbild
Abbildung 11: Drainschaltung
Verstärkung
• Spannung:
Vu =
uDS
≈ −S · RD
uGS
12.1.5 Drainschaltung
Sie entspricht der Kollektorschaltung des Bipolartransistors.
Verstärkung
• Spannung:
Vu =
S · RS
uA
=
uE
1 + S · RS
17
rDS
RD
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
12.2 Arbeitspunkteinstellung
Grundschaltungen siehe Skript Seite 4-13ff.
12.2.1 Emitterschaltung
Ausgang
geg.:
UV , AP
(UCE = UA , IC = ICA )
ges.:
RA
RA =
UV − U A
IC
Eingang
UV
R1
R2
= R1 I1 + UBE
UV − UBE
=
I1
UBE
UBE
=
=
I2
I1 − I B
Leerlauf
UL =
R2
· UV = UH
R1 + R 2
Kurzschluß
IK =
UH
UV
=
R1
Re
18
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
U
IC = RV
A
UV /R1
IC,A
IB,A
IB
UBE,A
UCE,A
UV
(a) Eingangskennlinienfeld
UV
(b) Ausgangskennlinienfeld
RC
R1
I2
I1
Ia
IC
IB
UV
UCE
UBE
U2
R2
URE
RE
(c) Schaltung
Ri
uE
R1
R2
uBE
S · uBE
rBE
rCE
RA
(d) Kleinsignalersatzschaltbild
Abbildung 12: Arbeitspunkteinstellung
19
uA
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
Re
IK
⇒
U2
IK
U2
Abbildung 13: Transistor: Eingangsseitiges Ersatzschaltbild
Arbeitsgerade
UH
UV
UBE = UH − Re · IB
UH − UBE
IB =
Re
IB = 0 ⇒ UBE = UH
UH − UBE
IB = IBAP ⇒ UBE =
Re
Re
=
R1 ·
Kleinsignalparameter
δIC β =
δIB UCE =···
∆UCE
rCE =
∆IC
IC A
S ≈
UT
β
rBE ≈
S
20
Kleine Formelsammlung zu Elektronik und Schaltungstechnik
Kleinsignalverstärkung
RBE
UBE
RCE
ua
R1 R2 rBE
rBE (R1 + R2 ) + R1 R2
RBE
=
· ue
Ri + RBE
rCE RA
= rCE ||RA =
rCE + RA
= −SuBE RCE
ua
⇒
ue
=
12.2.2 Sourceschaltung
UA = −RA ID
UA
RA = −
ID
Ausgang
−RA ID = UV + UDS
UD S
UV
−
ID = −
RA
RA
ID = 0 ⇒ UDS = −UV
UV
UDS = 0 ⇒ ID = −
RA
UA
=
R1
|UGS |
=
R2
UV − |UGS |
Kleinsignalbetrachtung
ua = −Sugs (rDS ||RA )
R1 ||R2
ugs =
· ue
Ri + R1 ||R2
rDS ||RA ≈ RA unter der Annahme, daß rDS RA
ID A
UT
UT wird an der Eingangskennlinie abgelesen (siehe Abbildung 5 und 6).
S=
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RF
I1
R1
−
UE
+
UA
(a) Invertierend gegengekoppelt
+
UE
−
R2
UA
R1
(b) Nichtinvertierend gegengekoppelt (Elektrometerverstärker)
Abbildung 14: Grundschaltungen des Operationsverstärkers
13 Operationsverstärker
14 Analog-Digital-Umsetzung
14.1 Quantisierungsrauschen
P̄ =
q2
mit q ist Breite des Quantisierungsintervalls in V .
12
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14.2 Zahl der Quantisierungsintervalle
Qmin >
∆U
qmax
mit ∆U ist Breite des verfügbaren Spannungsbereichs.
14.3 Zahl der Bits
|log2 (Qmin )|
14.4 Minimale Abtastrate
Theorie: fA ≥ 2 · fg
Praxis fA ≥ 2, 5 · fg
15 Bodediagramm
Das Bodediagramm des Kehrwerts einer Funktion ist das der Funktion mit invertierten
Vorzeichen bei Amplituden- und Phasengang.
15.1 Logarithmisches Verhältnismaß
15.1.1 Leistungsverhältnis
PS
LdB = 10 · log
PN
15.1.2 Spannungsverhältnis
U1
LdB = 20 · log
U2
15.2 Amplitudengang
a = −20 · log |H|
1. a = 0 berechnen.
2. a beim Zehnfachen (-20 dB) und 100-Fachen (-40 dB) dieser Frequenz berechnen.
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(a) n-Kanal-Transistor
(b) p-Kanal-Transistor
Abbildung 15: Schaltsymbole der CMOS-Technik
15.3 Phasengang
b = − arg |H| = − arctan
− arctan ∞ = 90◦
=(z)
<(z)
15.4 Verhältnis zwischen Frequenz und Kreisfrequenz
f=
ω
2·π
16 CMOS
CL wird mit iC = −IDX = C · dudtC entladen (iC ist konstant! ⇒ gerade Flanke). Dies
gilt jedoch nur, wenn UE abrupt geschaltet wird. In der Praxis hat U E schräge Flanken
⇒ Abrundungen am Ausgang wegen Querstrom.
CMOS hat pro Takt CL · UV2 Verlust ⇒ P = f · CL · UV2
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UV
UGS2
D
D
UE
UGS1
UDS2
T2
T1
UA
CL
UDS1
(a) Schaltung
UE
CMOS-Inverter
UA
(b) Vereinfachte Darstellung
Abbildung 16: Inverter in CMOS-Technik
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CL