Potentialgleichung des elektrischen Feldes In einem elektrischen

Potentialgleichung des elektrischen Feldes
In einem elektrischen Feld besteht zwischen dem elektrostatischen Potential U
~ die Beziehung
und der elektrischen Feldstärke E
~ = −grad U .
E
Das Feld wird dabei von einer Raumladung mit der (im allgemeinen orts~ und Ladungsabhängigen) Ladungsdichte %el = %el (x, y, z) erzeugt. Feldstärke E
dichte %el sind dabei durch die fundamentale Maxwellsche Gleichung
~ = %el
div E
ε0
miteinander verknüpft (ε0 : elektrische Feldkonstante).
Daraus folgt nun:
~ = div (−grad U ) = −div (grad U ) = −∆U = %el ,
div E
ε0
d.h. das Potential U genügt einer Poisson-Gleichung.
Im Fall eines ladungsfreien Feldes geht diese Gleichung in die
Laplace-Gleichung: ∆U = 0 über.
(Quellenangabe: L. Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 3, S. 92)
Mathematik 4 - Folie 22
Saitenschwingungsgleichung und Wellengleichung
• Saitenschwingungsgleichung (ohne äußere Kräfte):
2
∂ 2u
2∂ u
−a
=0
∂t2
∂x2
(u: Funktion der Zeit t und des Ortes x, a: konstant)
Physikalische Bedeutung:
Querschwingungen einer eingespannten,
biegsamen Saite
u(t, x): Auslenkung eines beliebigen Punktes x
der Saite zur Zeit t
• Saitenschwingungsgleichung (bei Einwirkung einer äußeren Kraft f (t, x)):
2
∂ 2u
2∂ u
−a
=f
∂t2
∂x2
• Wellengleichung (zwei- oder dreidimens.; bei Einwirkg. einer äusseren Kraft)
∂ 2u
2
∆u = f
−
a
∂t2
Physikalische Bedeutung:
Schwingungen von räumlichen oder flächenhaften Körpern (Membranen)
bzw. Ausbreitung von Wellen in flüssigen oder gasförmigen Medien
Mathematik 4 - Folie 23
Systeme partieller Differentialgleichungen: Anwendungsbeispiele
1) ”Leitungsgleichungen” (oder ”Telegrafengleichungen”):
∂i
∂u
+ LL + RL i = 0
∂x
∂t
∂i
∂u
+ CL
+ GL u = 0
∂x
∂t
Gesucht sind die Spannung u = u(t, x) sowie die Stromstärke i = i(t, x).
Gegeben sind die (konstanten) Koeffizienten der Differentialgleichungen:
CL - Leitungskapazität, GL - Ohmsche Ableitung,
LL - Leitungsinduktivität, RL - Ohmscher Widerstand der Leitung.
2) Modell einer chemischen Reaktion in einem Röhrenreaktor:
∂ 2u
∂u
2
− D1
−
u
v + (b + 1)u − a
∂t
∂x2
= 0
∂v
∂ 2v
− D2 2 + u2 v
− bu
= 0
∂t
∂x
Gesucht sind die Konzentrationen u = u(t, x) und v = v(t, x) der Stoffe
U und V , die im Reaktor diffundieren.
Gegeben sind die Diffusionskoeffizienten D1 und D2 sowie
die (näherungsweise konstanten) Konzentrationen von Ausgangsstoffen
A und B.
(Quellenangabe: W. Preuss, H. Kirchner. Partielle Differentialgleichungen, Mathematik
in Beispielen, Bd. 8, S. 52-53)
Mathematik 4 - Folie 24
Beispiele für Randwertaufgaben
Gesucht ist eine Funktion u = u(x, y, z), die für (x, y, z) ∈ B
(d.h. im Gebiet B) die Differentialgleichung
−∆u = f
mit einer vorgegebenen Funktion f = f (x, y, z) sowie die Randbedingung
oder
oder
u|∂B = ϕ
∂u
∂u ∂u
∂u n1 +
n2 +
n3 = ϕ
=
∂B
∂n ∂B
∂x
∂y
∂z
∂u
+ αu = ϕ
∂B
∂n
(Randbedingung 1. Art)
(Randbedingung 2. Art)
(Randbedingung 3. Art)
erfüllt. Dabei sind ϕ = ϕ(x, y, z) und α = α(x, y, z) gegebene Funktionen,
n = (n1 , n2 , n3 )T ist der äußere Normaleneinheitsvektor an B
∂u
und ∂n
die Normalenableitung.
Physikalische Interpretation: (stationäres Wärmeleitproblem)
Die Funktion f bezeichnet die (gegebene) Intensität der Wärmequelle,
u die (gesuchte) Temperatur im Inneren eines Körpers.
Randbedingung 1. Art
entspricht einer vorgegebenen Temperatur am Rand
Randbedingung 2. Art
vorgegebener Wärmefluss am Rand
Randbedingung 3. Art
freier Wärmeaustausch mit der Umgebung
Mathematik 4 - Folie 25
Beispiele für Anfangs-Randwertaufgaben (ARWA)
und Anfangswertaufgaben (AWA)
Gesucht ist eine Funktion u = u(t, x), die für x ∈ B := (0, l) und t > 0
die Differentialgleichung
2
∂u
2∂ u
=a
+ f (t, x)
∂t
∂x2
mit einer vorgegebenen Funktion f = f (t, x) und einer Konstanten a > 0 erfüllt.
Bei der ARWA sollen außerdem folgende Bedingungen erfüllt sein (mit gegebenen
Funktionen ψ(x), ϕ1 (t) und ϕ2 (t)):
Anfangsbedingung:
u(0, x) = ψ(x) für 0 ≤ x ≤ l
Randbedingung 1. Art:
u(t, 0) = ϕ1 (t) und u(t, l) = ϕ2 (t) für t > 0
Physikalische Interpretation:
Differentialgleichung:
Anfangsbedingung:
Randbedingung 1. Art:
beschreibt instationäre Wärmeleitung in einem Stab
der Länge l
Anfangstemperatur des Stabes zur Zeit t = 0
ist festgelegt
Temperaturverlauf an den Enden des Stabes
(x = 0 und x = l) wird vorgegeben
Bei der AWA: ”unendlich langer” Stab, nur Anfangsbedingung: u(0, x) = ψ(x)
für alle x ∈ R, d.h. Anfangstemperatur des Stabes zur Zeit t = 0 ist festgelegt.
Mathematik 4 - Folie 26
Lösung homogener linearer Diff.-gleichungen 2. Ordnung (Wiederholung)
Gegeben sei die homogene lineare Gleichung:
y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
(a1 , a0 ∈ R)
1. Schritt: Aufstellen der charakteristischen Gleichung
λ2 + a1 λ + a0 = 0
und lösen dieser Gleichung ⇒ λ1 , λ2
2. Schritt: Aufstellen der linear unabhängigen Lösungen y1 (x), y2 (x)
der Differentialgleichung
1. Fall: λ1 , λ2 ∈ R, λ1 6= λ2 :
y1 (x) = eλ1 x , y2 (x) = eλ2 x
2. Fall: λ1 = a + jb, λ2 = a − jb, b 6= 0
y1 (x) = eax cos(bx), y2 (x) = eax sin(bx)
3. Fall: λ1 = λ2 ∈ R (Resonanzfall)
y1 (x) = eλ1 x , y2 (x) = xeλ1 x
3. Schritt: Allgemeine Lösung:
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x),
c1 , c2 ∈ R
Mathematik 4 - Folie 27
Zusammenfassung: Lösungen der Saitenschwingungsgleichung
Die Saitenschwingungsgleichung (eindimensionale Schwingungsgleichung)
2
∂ 2u
2∂ u
=a
∂t2
∂x2
mit u = u(t, x), a = konst., a > 0
hat die folgenden Lösungen (Fallunterscheidung nach dem Separationsparameter β):
√
a
βt
√ −a
βt
√
√ βx
− βx
K1 e
+ K2 e
β>0:
u(t, x) = C1 e
β<0:
p
i
p
u(t, x) = C1 cos a |β| t + C2 sin a |β| t
p
i
h
p
|β| x + K2 sin
|β| x
∗ K1 cos
β=0:
u(t, x) = (C1 t + C2 )(K1 x + K2 )
+ C2 e
h
Dabei sind C1,2 und K1,2 reelle Konstante.
Mathematik 4 - Folie 28