Folien 28 - Fakultät Informatik/Mathematik

Die Potentialgleichung des elektrischen Feldes
In einem elektrischen Feld besteht zwischen dem elektrostatischen Potential U
~ die Beziehung
und der elektrischen Feldstärke E
~ = −grad U .
E
Das Feld wird dabei von einer Raumladung mit der (im allgemeinen orts~ und Ladungsabhängigen) Ladungsdichte %el = %el (x, y, z) erzeugt. Feldstärke E
dichte %el sind dabei durch die fundamentale Maxwellsche Gleichung
~ = %el
div E
ε0
miteinander verknüpft (ε0 : elektrische Feldkonstante).
Daraus folgt nun:
~ = div (−grad U ) = −div (grad U ) = −∆U = %el ,
div E
ε0
d.h. das Potential U genügt einer Poisson-Gleichung.
Im Fall eines ladungsfreien Feldes geht diese Gleichung in die
Laplace-Gleichung: ∆U = 0 über.
(Quellenangabe: L. Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 3, S. 92)
Mathematik III - Folie 28
Systeme partieller Differentialgleichungen: Anwendungsbeispiele
1) ”Leitungsgleichungen” (oder ”Telegrafengleichungen”):
∂i
∂u
+ LL + RL i = 0
∂x
∂t
∂i
∂u
+ CL
+ GL u = 0
∂x
∂t
Gesucht sind die Spannung u = u(t, x) sowie die Stromstärke i = i(t, x).
Gegeben sind die (konstanten) Koeffizienten der Differentialgleichungen:
CL - Leitungskapazität, GL - Ohmsche Ableitung,
LL - Leitungsinduktivität, RL - Ohmscher Widerstand der Leitung.
2) Modell einer chemischen Reaktion in einem Röhrenreaktor:
∂u
∂ 2u
− D1
− u2 v + (b + 1)u − a
2
∂t
∂x
= 0
∂v
∂ 2v
− bu
= 0
− D2 2 + u2 v
∂t
∂x
Gesucht sind die Konzentrationen u = u(t, x) und v = v(t, x) der Stoffe
U und V , die im Reaktor diffundieren.
Gegeben sind die Diffusionskoeffizienten D1 und D2 sowie
die (näherungsweise konstanten) Konzentrationen von Ausgangsstoffen
A und B.
(Quellenangabe: W. Preuss, H. Kirchner. Partielle Differentialgleichungen, Mathematik
in Beispielen, Bd. 8, S. 52-53)
Mathematik III - Folie 29
Beispiele für Randwertaufgaben
Gesucht ist eine Funktion u = u(x, y, z), die für (x, y, z) ∈ B
(d.h. im Gebiet B) die Differentialgleichung
∆u = −f
mit einer vorgegebenen Funktion f = f (x, y, z) sowie die Randbedingung
oder
oder
u|∂B = ϕ
∂u
∂u ∂u
∂u n1 +
n2 +
n3 = ϕ
=
∂B
∂n ∂B
∂x
∂y
∂z
∂u
+ αu = ϕ
∂B
∂n
(Randbedingung 1. Art)
(Randbedingung 2. Art)
(Randbedingung 3. Art)
erfüllt. Dabei sind ϕ = ϕ(x, y, z) und α = α(x, y, z) gegebene Funktionen,
∂u
n = (n1 , n2 , n3 )T ist der äußere Normaleneinheitsvektor an B und ∂n
die
Normalenableitung.
Physikalische Interpretation: (stationäres Wärmeleitproblem)
Die Funktion f bezeichnet die (gegebene) Intensität der Wärmequelle,
u die (gesuchte) Temperatur im Inneren eines Körpers.
Randbedingung 1. Art
entspricht einer vorgegebenen Temperatur am Rand
Randbedingung 2. Art
vorgegebener Wärmefluss am Rand
Randbedingung 3. Art
freier Wärmeaustausch mit der Umgebung
Mathematik III - Folie 30
Beispiele für Anfangs-Randwertaufgaben (ARWA)
und Anfangswertaufgaben (AWA)
Gesucht ist eine Funktion u = u(t, x), die für x ∈ B := (0, l) und t > 0
die Differentialgleichung
2
∂u
2∂ u
=a
+ f (t, x)
∂t
∂x2
mit einer vorgegebenen Funktion f = f (t, x) und einer Konstanten a > 0 erfüllt.
Bei der ARWA sollen außerdem folgende Bedingungen erfüllt sein (mit gegebenen
Funktionen ψ(x), ϕ1 (t) und ϕ2 (t)):
Anfangsbedingung:
u(0, x) = ψ(x) für 0 ≤ x ≤ l
Randbedingung 1. Art:
u(t, 0) = ϕ1 (t) und u(t, l) = ϕ2 (t) für t > 0
Physikalische Interpretation:
Differentialgleichung:
Anfangsbedingung:
Randbedingung 1. Art:
beschreibt instationäre Wärmeleitung in einem Stab
der Länge l
Anfangstemperatur des Stabes zur Zeit t = 0
ist festgelegt
Temperaturverlauf an den Enden des Stabes
(x = 0 und x = l) wird vorgegeben
Bei der AWA: ”unendlich langer” Stab, nur Anfangsbedingung: u(0, x) = ψ(x)
für alle x ∈ R, d.h. Anfangstemperatur des Stabes zur Zeit t = 0 ist festgelegt.
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