Theoretische Physik II (Lehramt) Blatt 7

UNIVERSITÄT DUISBURG-ESSEN
Fachbereich Physik
Campus Essen
WS 2005/2006
Dozent: Dr. habil. Axel Pelster
Tutor: Matthias Timmer
Theoretische Physik II (Lehramt)
Blatt 7
Aufgabe 16:
(12 Punkte)
In einem Hohlleiter mit ideal leitenden Wänden und rechteckigem Querschnitt
breiten sich in Längsrichtung unter bestimmten Bedingungen elektromagnetische Wellen aus.
a) Begründen Sie die Randbedingungen an den Hohlwänden n × E = 0 und
n · B = 0 für die elektrische und magnetische Feldstärken E und B.
b) Zeigen Sie, daß der Ansatz E(r, t) = rot [Φ(r) ez ] e−iωt mit den Randbedingungen an den Hohlwänden verträglich ist. Geben Sie die Differentialgleichung
und die Randbedingung für Φ(r) an.
c) Zeigen Sie, daß der Ansatz E(r, t) = rot [Φ(r) ez ] e−iωt mit den Randbedingungen an den Hohlwänden verträglich
ist. Geben Sie die Differentialgleichung und die Randbedingung für Φ(r) an.
d) Lösen Sie die Differentialgleichung für Φ(r) mit der zugehörigen Randbedingung durch einen Produktansatz in
kartesischen Koordinaten. Welche Dispersionsrelation ωkz ergibt sich?
e) Berechnen Sie E(r, t) und B(r, t). Skizzieren Sie die Feldverteilung für die “Grundmode”.
Aufgabe 17:
(10 Punkte)
Beachten Sie ein unendlich ausgedehntes, homogenes, elektrisch neutrales Medium, das durch die Dielektrizitätskonstante ²r , die Permeabilitätskonstante µr und die Leitfähigkeit σ charakterisiert ist. Das elektromagnetische Feld wird
dann durch die Maxwell-Gleichungen in Materie
(M1)
(M3)
div D(r, t) = 0 ,
∂B(r, t)
,
rot E(r, t) = −
∂t
(M2)
div B(r, t) = 0
(M4)
rot H(r, t) = j(r, t) +
∂D(r, t)
∂t
und durch die Materialgleichungen D = ²0 ²r E, B = µ0 µr H, j = σ E bestimmt.
a) Zeigen Sie, daß sowohl E als auch H der Telegraphengleichung genügen:
∆E = α
∂
∂2
E+β
E,
2
∂t
∂t
∆H = γ
∂2
∂
H+δ
H
2
∂t
∂t
(1)
und geben Sie die Konstanten α, β, γ, δ in Abhängigkeit der Materialparameter ²r , µr , σ an.
b) Setzen Sie die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke H als ebene Wellen an: E(r, t) = E0 ei(k · r−ωt)
und H(r, t) = H0 ei(k · r−ωt) . Zeigen Sie, daß die elektromagnetischen Wellen im leitenden Medium transversal sind,
d.h. die Amplituden E0 und H0 stehen senkrecht auf dem Wellenvektor k. Welchen Winkel nehmen E0 und H0 ein?
Berechnen Sie das Verhältnis der Beträge von elektrischer und magnetischer Feldstärke. Leiten Sie die Dispersionsrelation k2 = ω 2 N 2 /c2 ab und bestimmen Sie das Quadrat des komplexen Brechungsindex N .
c) Zerlegen Sie den komplexen Brechungsindex N = n + iκ und bestimmen Sie dessen Realteil, den Brechnungsindex
n und dessen Imaginärteil, den Absorptionskoeffizienten κ.
d) Betrachten Sie eine sich in x-Richung bewegende ebene Welle. Zeigen Sie, daß die Welle für σ > 0 exponentiell
abklingt. Bestimmen Sie die Eindringtiefe d = d(ω) in das Medium, d.h. diejenige Strecke, nach der die Welle auf das
1/e-fache ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist. Was ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle?