P21 Statistische Physik WS 15/16 Prof. Jan Plefka ¨Ubungsblatt 2

P21 Statistische Physik
WS 15/16
Prof. Jan Plefka
Übungsblatt 2
Abgabe Donnerstag 29.10 vor der Vorlesung – Besprechung am 30.10 bzw. 2.11
H2 - Klassischer Harmonischer Oszillator
Gegeben sei ein 1-dim. klassischer harmonischer Oszillator H =
1 2
p
2m
+
mω 2
2
q2
a) Berechnen Sie das Phasenraumvolumen für H ≤ E und E ≤ H ≤ E + ∆
b) Bestimmen Sie die mikrokanonische Verteilungsfunktion ρ.
c) Berechnen Sie damit den Mittelwert der kinetischen Energie hT i und den Mittelwert der
potentiellen Energie hU i und zeigen Sie
hT i = hU i =
E ∆
+ .
2
4
H3 - Gauß- und Poisson-Verteilung
Ein Gefäß mit Volumen V enthalte N nichtwechselwirkende ununterscheidbare Gasmoleküle. Die
Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Teilchen in einem Teilvolumen v gefunden zu werden sei Vv .
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (n) genau n Teilchen im Teilvolumen v zu finden.
Berechnen Sie die mittlere Teilchenzahl hni und die
P Schwankung ∆n. Hiebei mag es hilfreich
sein zunächst das erzeugende Funktional F (x) = n P (n)xn zu bestimmen.
b) Zeigen Sie, dass P (n) für große N und n die Form einer Gauß-Funktion annimmt, d.h.
2 /2∆2
P (n) ∼ e−(nmax −n)
mit ∆2 =? und nmax =?. Nähern Sie dazu mit “Stirling“ die Funktion ln P (n) und entwickeln
Sie diese um ihren Maximalwert nmax bis zur ersten nichtverschwindenden Ordnung.
c) Zeigen Sie, dass P (n) für kleine
v
V
und große N (mit N Vv = const) in die Poisson-Verteilung
P (n) =
hnin −hni
e
n!
P
n
übergeht. Bringen Sie dazu das erzeugende Funktional F (x) = ∞
n=0 P (n) x auf die Form
ef (v/V,x) und entwickeln Sie die Funktion f in linearer Ordnung in v/V .
H4 - Ising-Spinkette
Das Ising-Modell ist ein Modellsystem für Spinsysteme deren Konstituenden nur zwei Freiheitsgrade annehmen können. Die Ising-Spins nehmen die Werte Si = ±1 an und können als zKomponente des Spins eines auf einem Gitter lokalisierten Teilchens (i = 1, . . . , N ) interpretiert
werden. Ein Mikrozustand des Ising-Systems ist durch die Angabe der Werte Si = ±1 für i ∈ [1,N ]
gekennzeichnet. Wir nehmen der Einfachheit halber im Folgenden an, dass N gerade ist.
1
a) Bestimmen Sie die Gesamtzahl der Mikrozustände
sei durch die Gesamtheit aller Mikrozustände zu gegeb) Der uns interessierende Makrozustand
P
benen Gesamtspin M = i Si definiert. Bestimmen Sie die Zahl W (M ) von Mikrozuständen
zu M . Überprüfen Sie, dass die Gesamtzahl von Mikrozuständen der in a) bestimmten entspricht.
Einschub: Zeigen
Sie, dass
die Binomi2n
alkoeffizienten
für n 1 ein
c)
n+m
ausgeprägtes Maximum bei m = 0 besitzen.
Out[53]=
N=.5 ,

N=.20 ,
N=.10 ,
N=.30 
D.h. unter Ausnutzung der Stirling-Formel, leiten Sie
m2
1
1
2n
w2n (m) := 2n
e− n
≈√
n+m
2
πn
her.
d) Finden Sie W (M ) im Grenzfall N 1 und |M |/N 1.
P −1
e) Nun sei der Makrozustand durch die Gesamtenergie E = −0 N
i=1 Si Si+1 definiert. Welche Gesamtenergien sind möglich? Bestimmen Sie die Zahl W (E) von Mikrozuständen zu
gegebenem E (keine
P Grenzfallanalyse hier). Überprüfen Sie erneut, dass die Gesamtzahl von
Mikrozuständen E W (E) der in a) ermittelten entspricht!
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