18. 6. 2012 Be

Theoretische Physik 6
Höhere Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik
H. Spiesberger
10. Übungsblatt
Ausgabe: 18. 6. 2012
Besprechung: 3. - 4. 7. 2012
Abgabe: Mittwoch, 27. 6. 2012, 10:00 Uhr (Fach 37)
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Aufgabe 27: (4)
Der Wechselwirkungsbeitrag zum Hamilton-Operator für ein System von N Elektronen in
einem Atom lautet unter Berücksichtigung des Pauli-Terms
HW W =
N n
X
e
~ x (i) , t) + A(~
~ x (i) , t) · p~ (i) )
(~p (i) · A(~
2m
i=1
e2 ~ 2 (i)
e (i) ~ (i) ~ (i)
+
A (~x , t) +
~σ · (∇ × A(~x , t)) .
2m
2m
(80)
Betrachten Sie den Übergang eines Atoms im angeregten Zustand |A0 i mit der Energie E 0
in den Grundzustand |Ai mit Energie E unter Emission eines Photons:
|A0 i → |A, γ(~k, λ)i
Die Energie und die Polarisation des emittierten Photons betragen dann ω = |~k| = E 0 − E
und λ.
Zeigen Sie, dass die Übrgangsamplitude in erster Ordnung Störungstheorie folgende Form
besitzt:
M
M
M
(I)
(II)
M
M
(I)
=
+ (II)
= C (I) hA| ~ (~k, λ) · p~(i) |A0 i
= C (II) hA| ~ (~k, λ) · (~k × σ (i) ) |A0 i
(81)
(82)
Berechnen Sie auch die Koeffizienten C (I) und C (II) .
Aufgabe 28: (4)
Z
2
1 t 0 iωt0 Zeigen Sie, dass für g(ω) := dt e die Gleichung g(ω) = 2π δ(ω) gilt.
t 0
Hinweise: Berechnen Sie das Betragsquadrat zuerst explizit unter der Annahme ω 6= 0.
Untersuchen Sie dann Integrale mit geeigneten Testfunktionen f (ω) und zeigen Sie, dass
Z ∞
I=
dω f (ω)g(ω)
(83)
−∞
in der Form
Z
∞
f (ω)
dω
I = lim
→0 −∞
ω − i
1 − eiωt 1 − e−iωt
+
ωt
ωt
(84)
geschrieben werden kann. Schließen Sie den Integrationsweg durch Halbkreise in der oberen
bzw. unteren Halbebene und wenden Sie den Residuensatz an.
Aufgabe 29: (2)
Zeigen Sie, dass das Ergebnis der Vorlesung für die Thomson-Streuung
ω0
dσ
= r02
dΩ
ω
2
~
0
0 ~
~
(
k,
λ)
·
~
(
k
,
λ
)
(85)
(mit r0 = e2 /(4πm) und den Energien des ein- bzw. auslaufenden Photons ω bzw. ω 0 ) mit
dem klassischen Ausdruck übereinstimmt, wenn über die Polarisation im Anfangszustand
gemittelt und über die Polarisation im Endzustand summiert wird.
Aufgabe 30: Drehgruppe (4)
Betrachten Sie Drehungen von 3-dimensionalen Koordinatenvektoren ~x → ~x0 = R ~x.
(a) Geben Sie die explizite Form der Drehmatrizen R für Drehungen um die Koordinatenachsen mit den Winkeln α1 , α2 , α3 an.
(b) Geben Sie die explizite Darstellung der Erzeugenden Jk = i
3 × 3-Matrizen an.
∂R(~
α)
, k = 1, 2, 3, als
∂αk
(c) Leiten Sie die Vertauschungsrelationen [Jk , Jl ] = iklm Jm her.
Aufgabe 31: (3)
Beweisen Sie, dass aus U (R) = exp{i~
α · ~σ } die Gleichheit
U (R) = 12×2 cos(|~
α|) +
folgt.
i
α
~ · ~σ sin(|~
α|)
|~
α|
(86)