UNIVERSITÄT KONSTANZ Allgemeine Relativitätstheorie

UNIVERSITÄT KONSTANZ
Fachbereich Physik
Prof. Dr. R. Haussmann
Allgemeine Relativitätstheorie
WS 2016/17
Übungen, Blatt 14
Abgabe: Di 14. 02. 2017
Besprechung: Fr 17. 02. 2017
Aufgabe 30: Gravitationswellen eines Doppelsternsystems [schriftlich, 7 Punkte]
Betrachtet wird ein System von zwei Sternen mit Massen M1 und M2 , die sich über die Gravitation gegenseitig anziehen und in Folge dessen um einander kreisen. Die Bewegung der zwei
Sterne wird im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie beschrieben durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mit der Hamilton-Funktion
H=
p2
GM1 M2
p21
+ 2 −
.
2M1 2M2 |r1 − r2 |
(1)
Hierbei ist G = 6.674 × 10−11 m3 /kg s2 die Newtonsche Gravitationskonstante. Es wird angenommen, dass sich die Sterne auf Kreisbahnen bewegen, wobei der Schwerpunkt des Systems
im Ursprung des Koordinatensystems ruht.
(a) Leiten Sie aus der Hamilton-Funktion (1) die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen her
und lösen Sie diese mit dem Ansatz für Kreisbahnen
r1 (t) = +r1 [cos(ωt) ex + sin(ωt) ey ] ,
r2 (t) = −r2 [cos(ωt) ex + sin(ωt) ey ] .
(2)
Nehmen Sie an, der Abstand der zwei Sterne ∆r und die zwei Massen M1 und M2 seien
gegeben. Berechnen Sie damit explizit die Radien der Kreisbahnen r1 , r2 , die Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/T und die Umlaufzeit T der zwei Sterne. (1 Punkt)
(b) Berechnen Sie den Schwerpunkt des Systems R(t) = (M1 r1 (t) + M2 r2 (t))/(M1 + M2 ).
Prüfen Sie nach, dass sich dieser im Koordinatenursprung befindet und ruht. (0,5 Punkte)
(c) Bestimmen Sie die gesamte Energie des Systems E, indem Sie die Lösungen für die Bahnen
in die Hamilton-Funktion (1) einsetzen. Schreiben Sie die Energie E in einer Form, so dass
sie nur von den zwei Massen M1 , M2 und dem Abstand der Sterne ∆r abhängt. (1 Punkt)
(d) Berechnen Sie den Quadrupolmoment-Tensor des Systems Qij (t) mit der Formel
X
Qij (t) =
Mn (3 rn,i rn,j − δij r2n ) .
(3)
n
Berechnen Sie weiterhin seine dritte zeitliche Ableitung ∂t3 Qij (t). (1 Punkt)
(e) Berechnen Sie mit der Quadrupolformel
P =
G X 3
(∂ Qij )2
45 c5 ij t
(4)
die durch Gravitationswellen abgestrahlte Energie pro Zeiteinheit P . Schreiben Sie diese
in einer Form, so dass sie nur von den zwei Massen M1 , M2 und dem Abstand der Sterne
∆r abhängt. (1 Punkt)
(f) Betrachten Sie die Gleichung für die Energieerhaltung
dE
= −P .
dt
(5)
Leiten Sie daraus eine Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung des Abstandes
der Sterne ∆r(t) her. Lösen Sie diese Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung
∆r(t0 ) = ∆r0 und bestimmen Sie ∆r(t) explizit als Funktion der Zeit t. Berechnen Sie
die Zeitdauer ∆t, nach der die Sterne ineinander stürzen, so dass ∆r(t0 + ∆t) = 0.
(1 Punkt)
(g) Ersetzen Sie in den Ergebnissen von (f) die zwei Massen M1 und M2 durch die entsprechenden Schwarzschildradien rS,1 = 2GM1 /c2 und rS,2 = 2GM2 /c2 . Erklären Sie damit,
warum für die Planeten im Sonnensystem die Effekte der Gravitationswellen so winzig
klein sind und warum die Zeitdauer ∆t für den Sturz eines Planeten in die Sonne so
extrem lange ist. (1 Punkt)
(h) Verwenden Sie rS,1 = 2.954 km für die Sonne und rS,2 = 8.870 mm für die Erde. Der
Abstand zwischen Erde und Sonne zum heutigen Zeitpunkt ist ∆r0 = 149.6 × 106 km,
und die Lichtgeschwindigkeit ist c = 2.9979 × 105 km/s. Berechnen Sie die Zeitdauer
∆t, die vergeht, bis die Erde aufgrund der Ausstrahlung von Gravitationswellen in die
Sonne hinein stürzt. Vergleichen Sie diese Zeit mit dem Weltalter tWelt = 13.8 × 109 Jahre.
(0,5 Punkte)
Aufgabe 31: Gravitationswellen des Pulsars PSR 1913+16 [mündlich]
Der Hulse-Taylor-Pulsar PSR 1913+16 ist ein System von zwei Neutronensternen mit Massen
M1 = 1.442 M und M2 = 1.386 M . Der Erste ist ein sichtbarer Pulsar, der Zweite ein
unsichtbarer Begleiter. Die Umlaufzeit ist zum heutigen Zeitpunkt T = 7.75 h. Nehmen Sie
an, die zwei Neutronensterne bewegen sich umeinander auf Kreisbahnen, und verwenden Sie
die Ergebnisse von Aufgabe 30. Hierbei ist M = 1.9891 × 1030 kg die Masse der Sonne, und
G = 6.674 × 10−11 m3 /kg s2 ist die Newtonsche Gravitationskonstante.
(a) Berechnen Sie aus der Umlaufzeit T die Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/T und den Abstand der Neutronensterne ∆r.
(b) Berechnen Sie aus den Ergebnissen von Aufgabe 30(f) die zeitlichen Änderung von Abstand d(∆r)/dt, Winkelgeschwindigkeit dω/dt und Umlaufzeit dT /dt. Vergleichen Sie die
Ergebnisse mit dem experimentellen Wert
dT
= −(2.4184 ± 0.0009) × 10−12 .
(6)
dt exp
(c) Berechnen Sie weiterhin mit den Ergebnissen von Aufgabe 30(f) die Zeitdauer ∆t, nach der
die zwei Neutronensterne aufgrund der Ausstrahlung von Gravitationswellen ineinander
stürzen. Vergleichen Sie diese Zeit mit dem Weltalter tWelt = 13.8 × 109 Jahre.