Physik 4. - 6. Klasse 2016

Physik 4. - 6. Klasse 2016
C. Ferndriger
28. November 2016
Inhaltsverzeichnis
1
Kinematik
1.1 Die gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die gleichmässig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Die gleichmässig gebremste Bewegung . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Der freie Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
Dynamik
2.1 Die drei Newtonschen Gesetze (Axiome) . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
3
Vektoren in der Physik
3.1 Die Kraft als Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
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4
Fall- und Wurfbewegungen
4.1 Horizontaler Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Schiefer Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
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5
Gleichförmige Kreisbewegung
11
6
Erhaltungssätze
6.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Energie und Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
Impuls und Impulserhaltung
7.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Zentrale Stösse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Der Impulssatz im nicht abgeschlossenen System . . . . . . . . .
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1
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3
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4
8
Gravitation
8.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Die potenzielle Energie des Gravitationsfeldes . . . . . . . . . . .
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Mechanik des starren Körpers
9.1 Statik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Die Herleitung der Gleichgewichtsbedingung . . . . . . .
9.1.2 Das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Der Massenmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4 Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.5 Die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung
9.1.6 Die Bewegungsgleichung für die Translationsbewegung .
9.1.7 Der starre Körper im statischen Gleichgewicht . . . . . .
9.1.8 Die kinetische Energie rotierender Körper . . . . . . . . .
9.1.9 Trägheitsmomente starrer Körper und Satz von Steiner . .
9.1.10 Die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung . . .
9.2 Der Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Der Drehimpuls eines Massenpunktes . . . . . . . . . . .
9.2.2 Der Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System . .
9.2.3 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen System . . . . .
9.2.4 Drehimpuls eines starren Körpers . . . . . . . . . . . . .
9.2.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Hydrostatik
10.1 Ideale Flüssigkeit und ideales Gas . . . . . . . . . .
10.2 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Der Druck in schwerelosen Flüssigkeiten und Gasen
10.4 Das Gesetz von Boyle-Mariotte . . . . . . . . . . . .
10.5 Der Druck in schweren Flüssigkeiten und Gasen . . .
10.6 Der hydrostatische Auftrieb . . . . . . . . . . . . . .
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11 Hydrodynamik
11.1 Ideale Fluide . . . . . . . . . .
11.2 Die Kontinuitätsgleichung . . .
11.3 Die Bernoulli-Gleichung . . . .
11.4 Beweis der Bernoulli-Gleichung
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12 Thermodynamik
12.1 Der Temperaturbegriff
12.2 Temperaturmessung . .
12.3 Längenausdehnung . .
12.4 Volumenausdehnung .
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13 Gasgesetze
13.1 Gesetz von Boyle-Mariotte .
13.2 Das Gesetz von Amontons .
13.3 Das Gesetz von Gay-Lussac
13.4 Die allgemeine Gasgleichung
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14 Wärme
14.1 Die spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 Aggregatszustandsänderungen
15.1 Der Übergang fest-flüssig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Der Übergang flüssig-gasförmig . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16 Hauptsätze
16.1 Nullter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . .
16.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . .
16.3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . .
16.4 Eine ausführlichere Betrachtung zum 1. Hauptsatz .
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17 Elemente der kinetischen Gastheorie
17.1 Der Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Innere Energie eines idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18 Berechnungen mit dem ersten Hauptsatz
18.1 Wärmekapazität für Gase und die Gleichverteilung der Energie . .
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19 Wärmetransport: Wärmeleitung, Konvektion, Wärmestrahlung
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20 Wärmekraftmaschinen
20.1 Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen und der zweite Hauptsatz
20.2 Reversible und irreversible Prozesse; der Carnot-Prozess . . . . .
20.3 Die Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 Carnot’scher Wirkungsgrad und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Der Gleichraumprozess (Ottomotoren) . . . . . . . . . . . . . . .
20.6 Kältemaschinen, Klimaanlagen und Wärmepumpen . . . . . . . .
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21 Ein kleine Einführung in die Astronomie
21.1 Eigenschaften der Sterne . . . . . . . . . . .
21.2 Wie messen wir die Leuchtkraft von Sternen?
21.3 Entfernungsmessung anhand der Parallaxe . .
21.4 Die Leuchtkraft der Sterne . . . . . . . . . .
21.5 Wie messen wir die Temperatur von Sternen?
21.6 Wie messen wir die Masse von Sternen? . . .
21.7 Massenbestimmung bei Doppelsternsystemen
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21.8 Systematik von Sternen . . . . . . . . . .
21.9 Welche Bedeutung hat die Hauptreihe? . .
21.10Riesen, Überriesen und weisse Zwerge . .
21.11Pulsationsveränderliche . . . . . . . . . .
21.12Sternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . .
21.13Wie misst man das Alter von Sternhaufen?
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22 Entropie
22.1 Reversible und irreversible Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Entropie und Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Eigenschaften der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23 Elektrizitätslehre
23.1 Der Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Die elektrische Stromstärke . . . . . . . . . . . .
23.3 Leiter und Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . .
23.4 Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . .
23.5 Der elektrische Stromkreis . . . . . . . . . . . .
23.6 Die Geschwindigkeit der Elektronen im Draht . .
23.7 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
23.8 Zusammengesetzte Stromkreise . . . . . . . . .
23.9 Anwendung: Spezifischer Widerstand . . . . . .
23.10Elektrische Arbeit und Leistung bei Gleichstrom
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24 Elektrostatik
24.1 Ladungen und elektrische Felder: ein paar Grundtatsachen
24.2 Das Coulomb’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3 Die elektrische Feldstärke E . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4 Die elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.5 Der Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.6 Die Energie des geladenen Kondensators . . . . . . . . . .
24.7 Isolatoren im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . .
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25 Magnetismus
25.1 Einige Grundtatsachen, Ferromagnetismus
25.2 Erzeugung magnetischer Felder . . . . .
25.3 Ströme im Magnetfeld . . . . . . . . . .
25.4 Die magnetische Feldstärke . . . . . . . .
25.5 Das Magnetfeld einer Spule . . . . . . . .
25.6 Die Lorenzkraft . . . . . . . . . . . . . .
25.7 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.8 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . .
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26 Schwingungen
26.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.3 Die Energie des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . .
26.4 Harmonische Schwingung und die gleichförmige Kreisbewegung .
26.5 Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.6 Gedämpfte harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . .
26.7 Erzwungene Schwingung und Resonanz . . . . . . . . . . . . . .
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27 Wellen I
27.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Die Wellenlänge und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
27.3 Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . .
27.4 Die Geschwindigkeit einer fortlaufenden Welle . . . . .
27.5 Die Wellengeschwindigkeit für ein gespanntes Seil . . .
27.6 Die Energietransportrate . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.7 Das Superpositionsprinzip für Wellen . . . . . . . . . .
27.8 Die Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
27.9 Darstellung einer Welle durch einen Vektor . . . . . . .
27.10Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.11Stehende Wellen und Resonanz . . . . . . . . . . . . . .
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28 RC-Kreise
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28.1 Laden eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
28.2 Entladen eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
29 Elektromagnetische Schwingkreise
29.1 Der LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.2 Kreisfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.3 Schwingung der elektrischen und magnetischen Energie
29.4 Gedämpfte Schwingung in einem RLC-Schwingkreis . .
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30 Wechselstrom
30.1 Der ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis
30.2 Die Spule im Wechselstromkreis . . . . . . . .
30.3 Der Kondensator im Wechselstrom . . . . . . .
30.4 Die Leistung des Wechselstromes . . . . . . .
30.5 Der in Reihe geschaltete RLC-Kreis . . . . . .
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31 Interferenz
31.1 Elektromagnetische Wellen . . . . .
31.2 Licht als Welle . . . . . . . . . . .
31.3 Wellenlänge und Brechungsindex .
31.4 Der Doppelspaltversuch von Young
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31.8
Lokalisierung der Interferenzstreifen . . . . . .
Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensitäten bei der Interferenz am Doppelspalt
Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . .
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32 Beugung
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32.1 Beugung an einem Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
32.2 Lokalisierung der Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
33 Der photoelektrische Effekt
149
34 Compton-Effekt
152
35 Licht als Wahrscheinlichkeitswelle
154
36 Elektronen und Materiewellen
155
A
156
A.1 Berechnung der Differenzialgleichung zur gedämpften Schwingung
(mit Trick zur Vermeidung komplexer Zahlen) . . . . . . . . . . . 156
6
Kapitel 1
Kinematik
1.1
Die gleichförmige Bewegung
Wir betrachten als Beispiel ein Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit v fährt.
Dabei wird in einem Zeitintervall ∆t = t2 − t1 der Weg ∆s = s2 − s1 zurückgelegt.
Dies führt direkt zur Definition der (mittleren) Geschwindigkeit
v=
∆s
∆t
(1.1)
Die Einheit der Geschwindigkeit ist m/s.
1.2
Die gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit
Analog zur Definition der Geschwindigkeit kann man auch die Änderung der Geschwindigkeit in einem Zeitintervall betrachten. Dies führt zur Definition der (mittleren) Beschleunigung
∆v
a=
(1.2)
∆t
Die Einheit der Beschleunigung ist m/s2 . Wenn z.B. ein Auto mit einer Beschleunigung von 2 m/s2 anfährt, so nimmt seine Geschwindigkeit jede Sekunde um 2
m/s zu. Die Gleichung für die Geschwindigkeit lautet also
v = at
(1.3)
Um den Weg s einer beschleunigten Bewegung zu berechnen, benützt man die
Tatsache, dass die Geschwindigkeit linear anwächst. Damit kann man den Weg
bestimmen, indem man eine mittlere Geschwindigkeit v̄ definiert.
v̄ = a ·
7
t
2
Für den Weg gilt also:
t
s = v̄ · t = a · · t
2
Somit ist die Formel für die Berechnung des Weges bei einer beschleunigten Bewegung gegeben durch:
1
s = at 2
(1.4)
2
Dabei ist immer vorausgesetzt, dass die Beschleunigung a konstant ist.
1.3
Die gleichmässig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Um zu den Formeln für diese Bewegung zu gelangen ist es nützlich, sich die Bewegung zusammengesetzt vorzustellen. Wenn man ohne zu beschleunigen einfach
mit der Anfangsgeschwindigkeit weitergefahren wäre, so hätte man einerseits für
die Geschwindigkeit v
v = v0
und andererseits für den Weg s
s = v0t.
Da nun aber zusätzlich beschleunigt wird, kommen noch die jeweiligen Terme der
beschleunigten Bewegung dazu. Man hat also insgesamt:
v = v0 + at
(1.5)
und
1
s = v0t + at 2
(1.6)
2
Dies sind die gesuchten Formeln für den Weg und die Geschwindigkeit bei einer
beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Wie vorher geht man auch
hier von einer konstanten Beschleunigung a aus.
1.4
Die gleichmässig gebremste Bewegung
Im Unterschied zum letzten Paragraphen ist bei einer gebremsten Bewegung die
Beschleunigung a negativ. Man spricht deshalb auch von einer negativen Beschleunigung. Dies ist der einzige Unterschied zu vorher. Es gilt also wieder
v = v0 + at
und
(1.7)
1
s = v0t + at 2
(1.8)
2
wobei diesmal a < 0 angenommen ist. Auch hier gilt, dass a = konstant ist.
8
1.5
Der freie Fall
Galileo Galilei: Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich.
Dabei ist dies eine beschleunigte Bewegung mit der sogenannten Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 . Diese in der Nähe der Erdoberfläche konstante Beschleunigung
kann mit den bereits bekannten Gesetzen verknüpft werden, und man bekommt
dann für den freien Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit
v = gt
(1.9)
und
1
s = gt 2
2
beziehungsweise für den freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit
und
(1.10)
v = v0 + gt
(1.11)
1
s = v0t + gt 2
2
(1.12)
9
Kapitel 2
Dynamik
2.1
Die drei Newtonschen Gesetze (Axiome)
Das 1. Newtonsches Gesetz (auch Trägheitssatz genannt) lautet:
Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, verharrt im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen Bewegung auf geradliniger Bahn.
Das 2. Newtonsche Gesetz (auch Bewegungsgleichung) beschreibt was passiert,
wenn eine resultierende Kraft auf eine Masse einwirkt: die Masse wird beschleunigt. In Formeln:
F = ma
(2.1)
Dabei ist F die Kraft in N (Newton), m die Masse in Kilogramm und a die Beschleunigung. Diese Gleichung wird oft auch als die Grundgleichung der Mechanik bezeichnet, denn ihre Anwendungsmöglichkeit ist riesig.
Das 3. Newtonsche Gesetz (auch bekannt als actio=reactio) lautet:
Kräfte treten immer paarweise auf. Sie sind gleich gross, aber entgegengesetzt gerichtet. Im Allgemeinen greifen sie an verschiedenen Körpern an
2.2
Kräfte
Um Anwendungen der Bewegungsgleichung machen zu können, führen wir einige
mechanische Kräfte ein:
• Die Gewichtskraft FG bewirkt den freien Fall mit der Beschleunigung a =
g = 9,81 m/s2 . (Fallbeschleunigung oder Erdbeschleunigung). Wir schreiben
FG = mg
10
(2.2)
• Eine Feder hat die Eigenschaft, dass sie für nicht zu grosse Auslenkungen
eine lineare Rückstellkraft liefert. D.h. die Federkraft wird durch das sogenannte Hooke’sche Gesetz beschrieben:
F = D·y
(2.3)
Dabei ist y die Auslenkung aus der Ruhelage in m und D die Federkonstante,
eine Materialkonstante. Die Einheit von D ergibt sich zu N/m.
• Die Reibungskraft ist eine weitere mechanische Kraft, die man definieren
kann. Allerdings ist diese nicht so einfach zu verstehen, da durch Reibung
auch Wärme, also ungeordnete Energie entsteht. Man unterscheidet zwischen Gleitreibung und Haftreibung. Die Haftreibung ist im allgemeinen
etwas grösser als die Gleitreibung. In Formeln:
FR = µG FN
(2.4)
mit µG : Gleitreibungskoeffizient und FN der Normalkraft und
FR = µH FN
(2.5)
mit µH dem Haftreibungskoeffizienten und µH > µG . Die Normalkraft ist
definitionsgemäss die Kraft, die die Unterlage (der Boden) auf den Körper
ausübt. Das heisst es gilt in der Ebene, dass FN = mg. Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α gilt hingegen (s. Unterkapitel Schiefe Ebene
weiter unten) für die Normalkraft:
FN = mg cos α
11
(2.6)
Kapitel 3
Vektoren in der Physik
3.1
Die Kraft als Vektor
Eine Kraft F ist bestimmt durch Richtung und Stärke (Betrag). Das heisst, eine
Kraft ist ein Vektor. Sie wird dargestellt durch einen Pfeil: Die Richtung des Pfeils
ist die Richtung der Kraft und die Länge des Pfeils entspricht der Stärke der Kraft.
Wenn auf einen Körper mehrere Kräfte wirken, so findet man die resultierende
Kraft mithilfe der Vektoraddition, d.h. mithilfe der Parallelogrammregel! Ein
Abbildung 3.1: Addition von Kräftevektoren
Körper der Masse m( erfährt die Beschleunigung a = F/m in Richtung der resultierenden Kraft F. Er bleibt genau dann in Ruhe (oder bewegt sich gleichförmig
weiter), wenn die resultierende Kraft (Vektorsumme) Null ist.
3.2
Die schiefe Ebene
Eine schiefe Ebene sei mit einem Winkel α geneigt. Die Kräfte, die auf eine (punktförmige) Masse m wirken, sind die Hangabtriebskraft FH und die Normalkraft FN .
Die Berechnung erfolgt mittels sin und cos am rechtwinkligen Dreieck. Dabei ist
die Gewichtskraft FG = mg in die beiden Richtiungen, senkrecht und parallel zur
12
schiefen Ebene aufzuteilen (s. Abb. 3.2). Es folgt für die Normalkraft
FN = mg cos α
(3.1)
FH = mg sin α.
(3.2)
und für die Hangabtriebskraft
Abbildung 3.2: Die schiefe Ebene mit der Aufteilung der Gewichtskraft
13
Kapitel 4
Fall- und Wurfbewegungen
4.1
Horizontaler Wurf
Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit v0 in horizontale Richtung abgeschossen. Wie wird er sich nun bewegen, wenn wir vom Luftwiderstand einmal absehen?
Die genaue Untersuchung der Flugnahn führt uns zum sogenannten
Unabhängigkeitsprinzip:
Beim horizontzalen Wurf überlagern sich eine gleichförmige Bewegung in horizontaler Richtung und ein freier Fall in vertikaler Richtung ohne sich zu beeinflussen.
Koordinaten x und y der Bahnkurve zur Zeit t:
1
y = − gt 2
(4.1)
2
Die Geschwindigkeit zur Zeit t ist ein Vektor mit den beiden Komponenten:
x = v0 t
vx = v0 = konstant
Gleichung der Wurfparabel:
y=−
4.2
vy = gt
g
· x2
2v20
(4.2)
(4.3)
Schiefer Wurf
Für die Kräfte und die Beschleunigungen gilt
Fx = 0 ⇒ ax = 0
(4.4)
Fy = −FG ⇒ ay = −g
(4.5)
und weiter
Dabei ist die Geschwindigkeit
→ konstant
vx = v0 cos α0
14
(4.6)
und
vy = v0 sin α0 − gt
→ abhängig von der Zeit
(4.7)
Für den Ort finden wir
I : x = vxt = v0 cos α0 · t
→ gleichförmige Bewegung
(4.8)
und
1
1
II : y = y0 + vyt − gt 2 = y0 + v0 sin α0 · t − gt 2 → senkrechterWurf
2
2
Für welches α0 ist die Wurfweite am grössten? (Annahme: y0 = 0)
I nach t auflösen
x
t=
v0 cos α0
in II einsetzen
2
x
1
x
y = v0 · sin α0
− g
v0 cos α0 2
v0 cos α0
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Daraus folgt die allgemeine Wurfparabelgleichung:
y = tan α0 · x −
g
· x2
2v20 cos2 α0
(4.12)
Um die Wurfweite zu berechnen, setzt man y = 0:
0 = tan α0 · x −
g
2v20 cos2 α0
· x2
sin α0
g
·x
− 2 2
cos α0 2v0 cos α0
g
·x
0 = sin α0 − 2
2v0 cos α0
g
sin α0 = 2
·x
2v0 cos α0
0=
x=
xw =
v20
sin 2α0
g
sin α0 · 2v20 cos α0
g
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
da sin 2α0 = 2 sin α0 cos α0
(4.18)
da dann sin 2α0 = 1
(4.19)
Für die maximale Weite gilt daher
xw =
v20
,
g
Dies gilt für α0 = 45◦ .
15
Kapitel 5
Gleichförmige Kreisbewegung
Ein Körper mit der Masse m bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf
einer Kreisbahn mit Radius r. Wir definieren einige Grössen:
Frequenz:
f=
Anzahl Umdrehungen
Zeit
Umlaufszeit:
[ f ] = Hz (Hertz)
1
f
T=
(5.1)
(5.2)
Bahngeschwindigkeit:
2πr
= 2πr · f
(5.3)
T
Die gleichförmige Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung, weil sich die
Richtung der Geschwindigkeit ~v dauernd ändert. Die Zentripetalbeschleunigung ~az
ist immer senkrecht zu ~v und es gilt
v=
v2
.
r
(5.4)
~F = m ·~a
(5.5)
az =
Wegen der Grundgleichung der Mechanik
folgt: Damit der Körper der Masse m bei der Geschwindigkeit v auf einen Kreis
mit Radius r gezwungen wird, muss am Körper die zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft angreifen.
Fz =
mv2
,
r
mit ~Fz ⊥ ~v
(5.6)
(Bem. In einem auf einer Kreisbahn mitrotierendem Bezugssystem verspürt man
die vom Mittelpunkt weg gerichtete Zentrifugalkraft oder Fliehkraft. Diese Kraft
wird wie die verwandte Corioliskraft als Scheinkraft bezeichnet. Sie ist eben nur
im mitrotierenden Bezugssystem vorhanden.)
16
Kapitel 6
Erhaltungssätze
6.1
Arbeit
Definition: Arbeit = Kraft mal Weg
W = Fs · s = F · s cos α = ~F ·~s
(6.1)
W steht für ”work”. Einheit [W]= Nm = Ws = J (Joule)
Beispiele:
1. Eine Last in gleicher Höhe halten: s = 0 → W = 0
2. Hubarbeit
F = FG = mg
(6.2)
W = mgh
(6.3)
F = FR
(6.4)
W = FR · s
(6.5)
3. Reibungsarbeit
4. Beschleunigungsarbeit
F = ma
mit a =
v2
2s
W = Fs · s = m · a · s = m ·
also
1
W = mv2
2
17
v2
·s
2s
(6.6)
(6.7)
(6.8)
5. Spannungsarbeit Die Arbeit einer gespannten Feder kann mit der mittleren
Kraft der Feder berechnet werden, da die Kraft linear mit der Auslenkung
zunimmt. Also gilt
s
s2
W = F̄ · s = D · · s = D ·
2
2
(6.9)
1
W = Ds2
2
(6.10)
somit
6.2
Leistung
Der Begriff der Arbeit W = Fs · s berücksichtigt nur Kraft und Weg. Die für die
Arbeit benötigte Zeit t wird einbezogen in der Definition der Leistung P (P steht
für ”power”).
verrichtete Arbeit
(6.11)
LeistungP =
verstrichene Zeit
oder formal
WAB ∆E
mittlere Leistung
P̄ =
=
(6.12)
∆t
∆t
Einheit: [P] = Js−1 = W (Watt)
6.3
Energie und Energieerhaltung
”Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten”.
Arbeit ist Energieänderung:
W = ∆E
(6.13)
Mechanische Energieformen:
• Kinetische Energie
1
Ek = mv2
2
(6.14)
• Potenzielle Energie im Schwerefeld
E p = mgh
(6.15)
1
EF = Dy2
2
(6.16)
• Spannungsenergie einer Feder
18
Der Energieerhaltungssatz kann nun folgendermassen formuliert werden:Im abgeschlossenen1 System bleibt die Energie erhalten. Die verschiedenen Energieformen
können ineinander umgewandelt werden. In Formeln:
Etot = ∑ Ei = const.
(6.17)
∆Etot = ∑ ∆Ei = 0
(6.18)
i
oder
i
1 keine
äusseren Kräfte
19
Kapitel 7
Impuls und Impulserhaltung
7.1
Definitionen
In der Physik definiert man den Impuls eines Teilchens als
p = mv.
(7.1)
Für ein abgeschlossenes System mit n Teilchen verschiedener Masse und Geschwindigkeiten, definiert man den Impuls P des gesamten Systems als
P = m1 v1 + m2 v2 + ... + mn vn .
(7.2)
Für diesen Gesamtimpuls gilt: In einem abgschlossenen System ist der Gesamtimpuls P erhalten.
Bemerkung: Man beachte, dass dies eine Vektorsumme ist, im Gegensatz zur Energieerhaltung, bei der man Skalare addiert.
7.2
Zentrale Stösse
Wir betrachten im Folgenden vollkommen elastische (innere Energie ändert nicht)
und unelastische Stösse (innere Energie wird verändert). Als Beispiel betrachten
wir eine Kugel m1 , welche mit der Geschwindigkeit v1 zentral auf eine zweite
Kugel m2 auftrifft. Der Stoss soll vollkommen elastisch sein. Zur Berechnung benützen wir sowohl den Energiesatz
0
0
1
1
1
m1 v21 + 0 +U = m1 v12 + m2 v22 +U
2
2
2
als auch den Impulserhaltungssatz
0
0
m1 v1 + 0 = m1 v1 + m2 v2 .
Da sich die innere Energie U nicht ändert, kann man sie mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen. Man sieht nun, dass sie sich wegkürzt. Nach etwas Kürzen
verbleiben
0
0
m1 v12 + m2 v22 = m1 v21
20
und
0
0
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1
Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Diese lassen sich mit der sogenannten Substitutionsmethode auflösen und man erhält dann
0
v1 =
und
0
v2 =
m1 − m2
v1
m1 + m2
(7.3)
2m1
v1
m1 + m2
(7.4)
Dies sind die Formeln für den Spezialfall, dass die eine Masse zu Beginn ruht. Die
Formeln für den allgemeinen Fall lassen sich auf ähnliche Weise herleiten. Man
findet sie im Formelbuch. Sie lauten für den vollkommen elastischen Stoss:
v01 =
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
m1 + m2
(7.5)
v02 =
(m2 − m1 )v2 + 2m1 v1
m1 + m2
(7.6)
und
Dabei gilt, dass Edef = 0 ist, die Deformationsenergie also verschwindet. Anders
gesagt, bleibt bei diesen Stössen die kinetische Energie erhalten.
Betrachten wir nun noch den unelastischen Stoss. Eine Kugel der Masse m1
stösst zentral mit der Geschwindigkeit v1 auf eine ruhende Kugel mit Masse m2 .
Nach dem Stoss sollen die beiden Kugeln zusammenkleben und gemeinsam weiterfliegen. Wieder stellen wir die Gleichungen für die Energie- und die Impulserhaltung auf:
1
1
m1 v21 +U = (m1 + m2 )v02 +U 0
(7.7)
2
2
und
m1 v1 + 0 = (m1 + m2 ) v0
(7.8)
Daraus lässt sich v0 nach dem Stoss berechnen:
v0 =
m1
v1
m1 + m2
(7.9)
Für die Änderung der inneren Energie (= Deformationsenergie, Wärme) ergibt sich
dann durch Einsetzen:
U 0 −U = ∆U =
1 m1 m2 2
v >0
2 m1 + m2 1
(7.10)
Man erkennt, dass die innere Energie dabei zugenommen hat. Ein Teil der kinetischen Energie ist in Wärmeenergie umgewandelt worden. Die Formeln für den
21
allgemeineren Fall, dass sich ursprünglich beide Körper bewegen, findet man in
der Formelsammlung. Sie lauten:
v01 = v02 = v0
wobei
v0 =
m1 v1 + m2 v2
m1 + m2
(7.11)
(7.12)
Die Deformationsenergie Edef ist dabei
Edef =
m1 m2 (v1 − v2 )2
2(m1 + m2 )
(7.13)
wobei gilt, dass
0
Edef = Ekin − Ekin
7.3
(7.14)
Der Impulssatz im nicht abgeschlossenen System
In einem nichtabgeschlossenen System (äussere Kräfte) wird der Gesamtimpuls
natürlich nicht konstant bleiben. Wir untersuchen nun an einem Beispiel, wovon
die Impulsänderung abhängt. Dazu betrachten wir einen fallenden Körper auf der
Erde. Die Erde nehmen wir nicht zum System dazu. Das System ist somit nicht abgeschlossen, da ja von aussen eine Kraft wirkt und die Masse zunehmend schneller
fällt. Es gilt
∆P = P − 0 = P = mv = m(gt) = mgt
(7.15)
Der Impuls wächst proportional zur Zeit t. Der Proportionalitätsfaktor ist gerade
die Gewichtskraft. Somit gilt
P = F·t
oder
∆P = F · ∆t
(7.16)
Das Produkt F · ∆t wird als Kraftstoss bezeichnet. Zusammengefasst gilt also: In
einem nichtabgeschlossenen System ist die sekundliche Impulsänderung gleich der
gesamten, von aussen angreifenden Kraft. Oder: Die Impulsänderung ist gleich
dem Kraftstoss.
22
Kapitel 8
Gravitation
8.1
Historische Entwicklung
• Ptolemäus (ca. 90 −160 n. Chr) erschuf ein Weltbild bei dem die Erde den
Mittelpunkt der Welt darstellte und sich das Himmelsgewölbe um die Erde drehte. Die Probleme der z.T. komplizierten Umlaufbahnen der Planeten
wurden mithilfe von Epizyklen bewältigt. Allerdings wurden diese Berechnungen immer komplizierter und waren wenig anschaulich. Dieses Weltbild
wird auch als geozentrisches oder Ptolemäisches Weltbild bezeichnet.
• Niklaus Kopernmikus (1473−1543) vertrat die Auffassung, dass die Sonne im Mittelpunkt der Welt ist und dass sich die Planeten in Kreisbahnen
um die Sonne bewegen. Dies wird das heliozentrische oder Kopernikanische
Weltbild genannt.
• Johannes Kepler (1571 - 1630) fand drei nach ihm benannte Gesetze.
1. Keplersches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren
Brennpunkt die Sonne steht (s. Abb. 8.1).
Abbildung 8.1: Elliptische Umlaufbahnen
23
2. Keplersches Gesetz: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Lichtstrahl überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen (s. Abb. 8.2).
Abbildung 8.2: Illustration des Flächensatzes
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten
verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (s. Abb. 8.3).
Abbildung 8.3: Illustration des 3. Keplerschen Gesetzes
d.h.
8.2
T12 : T22 = a31 : a32
(8.1)
a3
= konstant
T2
(8.2)
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Wir leiten nun das Gravitationsgesetz von Newton aus den Keplergesetzen und der
Zentripetalkraft her. Als Vereinfachung nehmen wir an, die Umlaufbahnen seien
Kreisbahnen.
Wir betrachten zwei Planeten mit m1 und m2 sowie den Radien r1 und r2 .
Zentripetalkräfte
m2 v22
m1 v21
F1 =
und
F2 =
(8.3)
r1
r2
24
Bahngeschwindigkeiten
2πr1
T1
und
v2 =
4π 2 r1
T12
und
F2 = m2
v1 =
2πr2
T2
(8.4)
Dies ergibt
4π 2 r2
T22
(8.5)
F2 m2 r2 T12 m2 r2 r13 m2 r12 m2 /r22
=
=
=
=
F1 m1 r1 T22 m1 r1 r23 m1 r22 m1 /r12
(8.6)
F1 = m1
Daraus folgt
Oder unter Verwendung eines Proportionalitätsfaktors C,
F1 = C ·
m1
r12
und
F2 = C ·
m2
.
r22
(8.7)
Die Anziehungskraft der Sonne, die am Planeten angreift, ist also proportional
zur Planetenmasse und nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab. Wir setzen
C = G · M, wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante bezeichnet und M die
Masse der Sonne.
Wir können nun das Gravitationsgesetz von Newton formulieren: Zwei materielle Punkte mit den Massen m1 und m2 und dem Abstand r ziehen einander mit
einer Kraft an, die Gravitationskraft heisst.
FG = G
m1 m2
r2
(8.8)
dabei ist die Gravitationskonstante G = 6, 67 · 10−11 Nm2 kg−2 .
8.3
Die potenzielle Energie des Gravitationsfeldes
Wir berechnen die Arbeit, die die Gravitationskraft an einem fallenden Körper verrichtet (s. Abb. 8.4).
W = ~F · ∆~s
(8.9)
Der Körper falle von A nach B. Wir teilen AB in viele kleine Intervalle auf. Für
diese berechnen wir die Arbeit. Die gesamte Arbeit bekommt man dann durch
Aufsummierung.
∆W1 = F1 · ∆s = G
Mm
Mm
Mm
· ∆r1 = G 2 · |r1 − rA | = G 2 (rA − r1 )
r2
r
r
(8.10)
Der Nenner verändert sich natürlich dauernd und nimmt alle Werte zwischen rA2
√
und r12 an. Wir nehmen darum den geometrischen Mittelwert rA · r1 . (Begründung durch Integralrechnung!) Somit
rA − r1
1
1
∆W1 = GMm
= GMm
−
(8.11)
rA r1
r1 rA
25
Abbildung 8.4: Berechnung der Arbeit an einem frei fallenden Körper
Entsprechend
1
1
−
∆W1 = GMm
r1 rA
1
1
∆W1 == GMm
−
r2 r1
1
1
∆W1 == GMm
−
r3 r2
(8.12)
(8.13)
(8.14)
usw.
1
1
⇒ W = GMm
−
rB rA
(Alle anderen Terme kürzen sich weg)
(8.15)
Wir haben bis jetzt nur den Spezialfall des lotrechten Falles abgeschaut. Was passiert bei einem realen Fall wie in Abb. 8.5? Die Lösung besteht darin, dass man
den nicht lotrechten Weg unterteilt in konzentrische Kreisbögen und radiale Wegstücke. Der Trick dabei ist, dass entlang der konzentrischen Wegstücken gilt W = 0.
D.h. nur die radialen Wegstücke liefern einen Beitrag zur Gesamtarbeit. Wir können also folgern, dass die Arbeit, welche die Gravitationskraft eines kugelförmigen
Körpers der Masse M an einem materiellen Körper der Masse m verrichtet, gegeben ist durch
1
1
−
(8.16)
W = GMm
rB rA
Die Arbeit hängt also nur vom Anfangspunkt A und vom Endpunkt B, nicht aber
von der Gestalt der Bahnkurve ab.
26
Abbildung 8.5: Berechnung der Arbeit an einem frei fallenden Körper bei einem nichtlotrechten Fall
Mit dieser berechneten Arbeit lässt sich der Energiesatz aufstellen.
1 2 1 2
1
1
mv − mv = W = GMm
−
2 B 2 A
rB rA
oder
1 2
Mm 1 2
Mm
mv − G
= mvA − G
2 B
rB
2
rA
(8.17)
(8.18)
Man definiert nun die potenzielle Energie der Gravitation als
E p = −G
Mm
r
(8.19)
Bemerke: die potenzielle Gravitationsenergie ist gerade so definiert, dass E p = 0
für r → ∞
Wir besprechen nun zwei Anwendungsbeispiele. Ein materieller Punkt der
Masse m wird auf der Höhe H losgelassen. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt
er auf dem Boden auf?
Energie auf der Höhe H:
Mm
E = 0−G
(8.20)
R+H
Energie auf der Höhe 0:
1
Mm
E = mv2 − G
(8.21)
2
R
27
Die Energieerhaltung besagt, dass
oder
1 2
Mm
Mm
mv − G
= −G
2
R
R+H
(8.22)
1
1
1 2
mv = GMm
−
2
R R+H
(8.23)
Die letzte Formel gilt für jede beliebige Höhe H. Ist H jedoch sehr klein (im Vergleich zu R), gilt
1 2
GMm
mv =
H = mgH
(8.24)
2
R (R + H)
Unser Energieausdruck führt also tatsächlich zum alten Resultat
p
v = 2gH
(8.25)
Als nächstes berechnen wir die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit oder 2. Kosmische Geschwindigkeit. Ein Körper der Masse m wird von der Oberfläche der Erde abgeschossen. Welche Geschwindigkeit muss man ihm mindestens geben, wenn
er den Gravitationsbereich der Erde verlassen soll?
Die Energie auf der Erdoberfläche ist
1
Mm
E = mv2 − G
2
R
(8.26)
Die Energie im Unendlichen beträgt
E = 0−0
(8.27)
In diesem Fall verschwindet die Geschwindigkeit des Körpers im Unendlichen.
Die Energieerhaltung besagt dann, dass
1
Mm
E = mv2 − G
=0
2
R
(8.28)
oder
v=
p
2GM/R
(8.29)
Beachte, dass der Betrag Fluchtgeschwindigkeit weder von der Masse noch von
der Abschussrichtung des abgeschossenen Körpers abhängt. Die Fluchtgeschwindigkeit auf der Oberfläche der Erde beträgt
r
r
M
6 · 1024
v = 2G = 2 · 6, 67 · 10−11
= 11, 2km/s
(8.30)
R
6370 · 103
28
Kapitel 9
Mechanik des starren Körpers
Unter einem starren Körper versteht man eine Massenverteilung, die sich unter dem
Einfluss von Kräften nicht verformt.
9.1
Statik des starren Körpers
Das Wesen der Statik: Wenn ein Körper in Ruhe (bzw. unbeschleunigt ist), dann
sagt man die an ihm angreifenden Kräfte seien ”im Gleichgewicht”.
9.1.1
Die Herleitung der Gleichgewichtsbedingung
Betrachte einen Hebel mit OA doppelt so gross wie OB (Gewicht des Hebels sei
vernachlässigbar). Drückt man mit FA nach unten, so verschiebt sich B mit der
Abbildung 9.1: Der Hebel als Krafttransformator
Kraft FB nach oben. Da der Weg von B nur halb so gross ist, muss gemäss der
Energieerhaltung gelten, dass FB doppelt so gross ist wie FA . Bezeichne mit W1 die
Arbeit an der ”Eingangsseite” und mit W2 jene der ”Ausgangsseite”, dann gilt
W1 = W2
29
(9.1)
oder
(Fs · s)1 = (Fs · s)2
(9.2)
Daraus lässt sich die sogenannte ”goldene Regel der Mechanik” ableiten:
Was an Kraft gewonnen wird, geht an Weg verloren. Dies entspricht dem Energieerhaltungssatz.
Beispiel: Das Gleichgewicht am Wellrad
Welche Kraft F muss am grossen Rad längs des Umfanges angreifen, um das Wellrad im Gleichgewicht zu halten? Wir drehen das Wellrad in Gedanken einmal ganz
Abbildung 9.2: Wellrad
herum. Die Arbeit, die wir am Wellrad verrichten, ist dann
W
1
= (Fs · s)1 = F · 2πR
21
(9.3)
diese muss gleich sein der Arbeit, die das Wellrad an der Last verrichtet:
W2 = (Fs · s)2 = G · 2πr
(9.4)
F ·R = G·r
(9.5)
oder
Diese letzte Gleichung wird häufig als ”Hebelgesetz” bezeichnet.
Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm
9.1.2
Das Drehmoment
Die Gleichung des ”Hebelgesetzes” bringt zum Ausdruck, dass die Drehwirkung
der nach links drehenden Kraft gleich gross ist wie diejenige der nach rechts drehenden. Man bezeichnet das Produkt ”Kraft mal Kraftarm” als Drehmoment bezüglich der Drehachse. Man definiert folgendes: Das Drehmoment M einer Kraft
30
ist ein Vektor. Die Richtung des Drehmomentes wird mit der Korkenzieherregel
festgelegt. Der Betrag des Drehmomentes ist gegeben durch Kraft mal Kraftarm.
(Die Kraft muss senkrecht zur Drehachse wirken). Mit der Vektorrechnung lässt
sich diese Definition in eine einfache Form bringen:
Das Drehmoment ist das vektorielle Produkt aus Ortsvektor mal Kraftvektor, d.h.
M = r×F
(9.6)
Die Reihenfolge ist wichtig, da durch sie die räumliche Orientierung des Drehmomentvektors festgelegt wird. Damit lässt sich die Gleichgewichtsbedingung neu
schreiben:
Ein Körper, der sich unter der Einwirkung äusserer Kräfte um eine feste Achse
drehen kann, ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Drehmomente
verschwindet. Dann ist die Summe der linksdrehenden Drehmomente gleich gross
wie die Summe der rechtsdrehenden Drehmomente.
9.1.3
Der Massenmittelpunkt
Die Mathematik zeigt, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert. Man
halbiert die Seiten und verbindet die Halbierungspunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten. Man erhält so drei ”Schwerlinien”, die sich in einem einzigen
Punkt, im ”Schwerpunkt” (=Massenmittelpunkt) schneiden. Das Dreieck balanciert, wenn man es im Schwerpunkt unterstützt. Wir berechnen nun für einen allgemeinen, räumlichen Körper den Schwerpunkt. Dazu sezten wir ihn in ein Koordinatensystem und unterstützen ihn mit einer Schneide, die parallel zur y-Achse
liegt, derart, dass der Körper balanciert. Die linksdrehenden Drehmomente der
Schwerkraft werden jetzt durch die rechtsdrehenden Drehmomente aufgehoben.
Wir betrachten nun einen materiellen Punkt m1 . Wir erhalten:
M1 = m1 g(xs − x1 )
(9.7)
Nun betrachten wir einen Punkt m2 auf der rechten Seite.
M2 = m2 g(x2 − x
1
)
2s
(9.8)
Wären nur diese beiden materiellen Punkte vorhanden, so müsste gelten:
m1 g(xs − x1 ) = m2 g(x2 − x
oder
1
)
2s
(9.9)
1
)=0
(9.10)
22
Berücksichtigt man nun die Drehmomente der anderen materiellen Punkte, ergibt
sich
1
1
m1 g(xs − x1 ) + m2 g(xs − x ) + m3 g(xs − x ) + ... = 0
(9.11)
22
23
m1 g(xs − x1 ) + m2 g(xs − x
31
Für die Schwerpunktskoordinate ergibt sich also
xs =
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ...
m1 + m2 + m3 + ...
(9.12)
Analoge Überlegungen gelten auch für die y und z Koordinaten. In Vektorschreibweise ergibt sich also
rs =
m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 + ...
m1 + m2 + m3 + ...
(9.13)
wobei m1 , m2 , ... die Massen und r1 , r2 ,... die Ortsvektoren der materiellen Punkte
sind, die den Körper aufbauen.
Abbildung 9.3: Zur Berechnung des Massenmittelpunktes
9.1.4
Translation und Rotation
Eine Translation liegt vor, wenn der starre Körper bei der Bewegung seine räumliche Orientierung relativ zu einem Inertialsystem beibehält.
Eine Rotation liegt vor, wenn sich der starre Körper um einen festen Punkt relativ
zu einem Inertialsystem dreht.
9.1.5
Die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung
Die Winkelgeschwindigkeit für eine gleichmässige Kreisbewegung ist definiert als
ω=
∆φ
∆t
(9.14)
wobei ∆φ im Bogenmass zu nehmen ist. Die Einheit ist rad/s wobei ”rad” keine
richtige Einheit ist. Das Bogenmass hat keine Einheit. Bei einer beschleunigten
Kreisbewegung muss hingegen der Grenzwert
∆φ
∆t→0 ∆t
ω = lim
32
Abbildung 9.4: Darstellung der Bahn- und der Winkelgeschwindigkeit.
betrachtet werden. Die Winkelgeschwindigkeit kann als sogenannter axialer Vektor
definiert werden. Die Richtung ist dann durch die Korkenzieherregel festgelegt. Für
die Bahngeschwindigkeit gilt dann
v = ω ×r
(9.15)
oder als Betrag (beachte, dass v immer senkrecht steht auf r und ω)
v = ω ·r
(9.16)
Die Winkelbeschleunigung ist definiert als
α=
∆ω
∆t
(9.17)
Die Einheit ist rad/s2 .
Merke: Für die Rotationsbewegung gelten die gleichen Zusammenhänge wie für
die eindimensionale Kinematik. Für die gleichförmige Rotationsbewegung um eine
Achse gilt:
α =0
ω = ω0
φ = ω ·t
Analog zu
a=0
v = v0
s = v·t
Für die konstant beschleunigte Rotationsbewegung um eine feste Achse gilt:
α = α0
ω = α ·t
φ=
1
· α · t2
2
Analog zur eindimensionalen konstant beschleunigten Bewegung:
a = a0
9.1.6
v = a·t
s=
1
· a · t2
2
Die Bewegungsgleichung für die Translationsbewegung
Um die Bewegungsgleichung für die Translation eines starren Körpers zu bekommen, ist es zweckmässig, eine Unterscheidung von äusseren und inneren Kräften
33
zu machen. Die inneren Kräfte (z.B. Molekularkräfte zwischen den Konstituenten
des starren Körpers) können nämlich nach dem 3. Newtonschen Gesetzt (actio = reactio) weggelassen werden, denn da sie ja zwischen den Teilchen immer paarweise
auftreten, kompensieren sie sich zu Null. Die äusseren Kräfte hingegen bleiben bestehen. Wenn wir die Bewegungsgleichung für alle Massenpunkte aufstellen, bleibt
also folgendes bestehen:
m1 a1 + m2 a2 + ... = Fres
wobei
Fres = F1 + F2 + ...
bedeutet. Die linke Seite der Gleichung lässt sich umschreiben zu
(m1 + m2 + ...)
m1 a1 + m2 a2 + ...
m1 + m2 + ...
Wenn man nun m = m1 +m2 +... als Gesamtmasse definiert, so kann man schreiben
m · as = Fres
(9.18)
was soviel bedeutet wie:
Der Massenmittelpunkt eines Systems materieller Punkte bewegt sich stets so, als
wäre in ihm die gesamte Masse vereinigt und als würde in ihm die Resultierende
aller Kräfte angreifen
9.1.7
Der starre Körper im statischen Gleichgewicht
Zusammenfassend lässt sich sagen: Ein Körper ist im statischen Gleichgewicht,
wenn er sich unter dem Einfluss der angreifenden Kräfte nicht in Bewegung setzt.
Damit er translatorisch nicht beschleunigt wird, muss Fres = 0 sein, und da er nicht
in Drehung versetzt wird, muss Mres = 0 sein.
Fres = ∑ Fi = 0
und
i
9.1.8
Mres = ∑ Mi = 0
i
Die kinetische Energie rotierender Körper
Um die Energie eines rotierenden starren Körpers zu bestimmen, betrachtet man
die Arbeit, die von einer antreibenden Kraft geleistet wird. Wir betrachten dazu ein
Rad, welches von einer in der Radebene liegenden Kraft angetrieben wird und sich
um eine feste Achse dreht. Die Arbeit ist dann
1
W = F · s = F · rφ = F · r · · α · t 2 .
2
Diese Arbeit wird schlussendlich in kinetische Energie der Massenpunkte umgewandelt, d.h.
1
1
1
1
1
W = m1 v21 + m2 v22 +... = m1 r12 ω 2 + m2 r2 ω 2 +... = (m1 r12 +m2 r22 +...)α 2t 2
2
2
2
2
2
34
(dabei wurde v = ωr und ω = α · t verwendet)
Also gilt
1
1
(m1 r12 + m2 r22 + ...)α 2t 2 = F · r · αt 2
2
2
bzw.
(m1 r12 + m2 r22 + ...)α = r · F
(9.19)
Dies ist die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung. Der auf der linken
Seite aufgetretene Term wird Trägheitsmoment genannt und mit I oder J bezeichnet:
J = m1 r12 + m2 r22 + ...
(9.20)
Dabei sind r1 , r2 , ... die Achsenabstände der materiellen Punkte. Ausserdem lässt
sich damit eine Formel für die Rotationsenergie, d.h. die kinetische Energie der
Rotationsbewegung ableiten:
1
(9.21)
Erot = Jω 2
2
9.1.9
Trägheitsmomente starrer Körper und Satz von Steiner
Die Berechnung der Trägheitsmomente ist im Allgemeinen eine Anwendung der
Integralrechnung und kann hier nicht weiter erörtert werden. (Für den Moment beschränken wir uns deshalb auf das Nachschlagen im Formelbuch. In der 6. Klasse
wird es dann möglich sein, einfache Beispiele selbst zu berechnen.) Für einfache
Massenverteilungen mit einzelnen Massen mi und den zugehörigen Abständen zur
Drehachse kann man die Summe oben ausführen. Als zusätzliche Anwendung sei
hier noch der Satz von Steiner erwähnt:
Wenn man das Trägheitsmoment JSP eines Körpers der Masse m bezüglich einer
durch den Schwerpunkt verlaufenden Drehachse kennt, kann man es bezüglich einer zu dieser Drehachse parallelen Drechachse mit Abstand d gemäss
Jd = JSP + md 2
berechnen (s. Abbildung 9.5).
Abbildung 9.5: Darstellung zum Satz von Steiner: Jd = JSP + m · d 2 .
35
(9.22)
9.1.10
Die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung
Mit dem Begriff des Trägheitsmomentes lässt sich die Bewegungsgleichung für die
Rotationsbewegung in folgende Gestalt bringen:
M = J ·α
(9.23)
Das heisst, die Summe aller Drehmomente M ist gleich dem Trägheitsmoment des
Körpers mal der Winkelbeschleunigung. Bei der Berechnung müssen dabei alle
wirkenden Drehmomente unter Beachtung des Drehsinnes berücksichtigt werden.
Bemerke dabei die Analogie zur Newtonschen Bewegungsgleichung F = m · a. Die
Rolle der Kräfte übernehmen die Drehmomente und die Masse wird in Form des
Trägheitsmomentes einbezogen.
9.2
9.2.1
Der Drehimpulssatz
Der Drehimpuls eines Massenpunktes
Wir haben gesehen, dass in der Rotationsbewegung nicht die Kraft F die entscheidende Bedeutung hat, sondern das Drehmoment M = r × F. Entsprechend wird
auch dem linearen Impuls p = m · v eine neue Grösse zugeordnet. Der Drehimpuls
eines Massenpunktes m bezüglich eines Punktes 0 ist definiert als das Vektorprodukt des Vektors r (von 0 aus gemessen) und dem Impuls p = m · v
L = r × p.
(9.24)
Bemerke: Der Drehimpuls hängt vom gewählten Bezugspunkt ab!
9.2.2
Der Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System
In einem nichtabgeschlossenen System lässt sich der so genannte ”Drallsatz” beweisen. Ein von aussen angreifendes Drehmoment M führt zu einer Änderung des
Drehimpulses L. In Formeln
∆L
=M
(9.25)
∆t
9.2.3
Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen System
Falls kein äusseres Drehmoment angreift, bleibt der Drehimpuls L erhalten.
L = konstant
36
(9.26)
9.2.4
Drehimpuls eines starren Körpers
Für einen starren Körper, der um eine feste Achse rotiert, lässt sich der Drehimpuls
L auch mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken.
L = J·ω
(9.27)
Die Auswirkungen der Veränderung des Trägheitsmomentes oder der Richtungsänderung des Drehimpulses kann man sehr gut beobachten am Beispiel des Drehschemels (→ Demonstrationsexperimente).
9.2.5
Einige Beispiele
Abbildung 9.6: Zieht der Junge auf dem rotierenden Drehschemel die Arme an, so verkleinert sich das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit nimmt zu. Der Drehimpuls
bleibt jedoch konstant.
Abbildung 9.7: Beim Anziehen der Arme steigert der Junge mit den Kraftkomponeneten
F// die Bahngeschwindigkeit der Hanteln. Die Winkelgeschwindigkeit des Mannes erhöht
sich daher stark.
37
Abbildung 9.8: Setzt der Junge auf dem ruhenden Drehschemel das Rad in Rotation, so
beginnt er in entgegengesetzter Richtung zu rotieren. Der Gesamtdrehimpuls bleibt Null.
Abbildung 9.9: Setzt der Junge auf dem ruhenden Drehschemel das Rad in Rotation, so
beginnt er in entgegengesetzter Richtung zu rotieren. Der Gesamtdrehimpuls bleibt Null.
Abbildung 9.10: Die Abbildung zeigt die Funktionsweise des Kreiselkompasses. Ein Kreisel dreht sich in einem Gehäuse um die Achse AB. Das Gehäuse ist im Punkt P leicht
drehbar aufgehängt. Die Kreiselachse w
38
Kapitel 10
Hydrostatik
10.1
Ideale Flüssigkeit und ideales Gas
Bisher haben wir uns mit der Mechanik materieller Punkte befasst. Diese Mechanik
kann man auch auf Flüssigkeiten und Gase anwenden. In einfachen Spezialfällen
zeigen wir dies. Zu diesem Zweck führen wir für die Flüssigkeiten und Gase Idealisierungen ein. Im sogenannten Modell einer idealen Flüssigkeit sind die Molekularkräfte genügend gross, um die Teichen (Moleküle) aneinander zu binden. Die
Moleküle sind eng beieinander und lassen sich doch leicht gegeneinander verschieben. Eine Flüssigkeit ist inkompressibel (d.h. füllt immer das selbe Volumen aus),
passt sich aber jeder Gefässform an.
Unter dem Modell eines idealen Gases versteht man ein Medium, welches
leicht zusammenpressbar ist, dessen Teilchen (Moleküle) im Vergleich zum mittleren Abstand eine verschwindend kleine Ausdehnung haben und nur durch vollständig elastische Stösse miteinander wechselwirken.
10.2
Druck
Eine Flüssigkeit übt auf die Wände eines Behälters Kräfte aus, ebenso ein eingesperrtes Gas, da ja Moleküle ständig gegen die Wand prallen. Diese Kräfte sind
stets senkrecht zur Wand gerichtet. Der Betrag dieser Kraft pro Flächeneinheit wird
Druck genannt und mit p abgekürzt (p für ”pressure”).
Definition:
Kraft
Druck =
Fläche
Oder in Formeln
F
p=
(10.1)
A
Dabei gelten folgende Einheiten
[p] =
[F]
N
= 2 = Pa
[A] m
39
(Pascal)
(10.2)
Beachte: Der Druck ist eine skalare Grösse (eine Zahlengrösse), keine Vektorgrösse. Der Druck hat also keine Richtung.
10.3
Der Druck in schwerelosen Flüssigkeiten und Gasen
Falls der Druck, unter dem eine Flüssigkeit z.B. durch einen Kolbendruck steht,
viel grösser ist als der Schwererdruck, der durch das Gewicht der Flüssigkeit entsteht, kann dieser vernachlässigt werden. Man spricht dann von ”schwerelosen
Flüssigkeiten”. Stellen wir uns eine ideale Flüssigkeit in einem beliebige geformten Gefäss eingeschlossen vor (s. Abb. 10.1). Dabei sind K1 und K2 verschiebbare
Abbildung 10.1: Berechnung des Druckes in einer schwerelosen Flüssigkeit
Kolben. Mit dem Energiesatz folgt
W1 = W2
(10.3)
F1 · s1 = F2 · s2
(10.4)
Da die Flüssigkeit als inkompressibel angenommen ist, gilt weiter
A1 · s1 = A2 · s2
(10.5)
Dividieren wir die vorherige Gleichung durch diese letzte, so folgt
F2
F1
=
A2 A1
(10.6)
p2 = p1
(10.7)
d.h. es gilt
Damit wurde gezeigt, dass in ruhenden, idealen Flüssigkeiten, die der Schwerkraft
nicht unterworfen sind, überall der selbe Druck herrscht. Dies wurde zuerst von
40
Blaise Pascal (1623 - 1662) gefunden. Eine nützliche Anwendung davon ist die
hydraulische Presse, die als Kraftwandler gebraucht wird. Da
und somit
p1 = p2
(10.8)
F2
F1
=
A2 A1
(10.9)
gilt auch
F2 = F1 ·
A2
A1
(10.10)
Man kann also mit einer vergleichsweise kleinen Kraft auf den kleinen Kolben eine
grosse Kraft auf den grossen Kolben ausüben.
10.4
Das Gesetz von Boyle-Mariotte
Wenn man bei einem zylindrischen Gefäss einen Kolben hineinpresst und dabei
den Luftdruck im Innern bestimmt mit einem Manometer, so bekommt man bei
nicht zu hohen Drücken das Boyle-Mariottsche Gasgesetz. Bei konstanter Temperatur ist das Produkt aus Druck und Volumen konstant
pV = konstant
(10.11)
Bei sehr hohen Drücken gilt das Gesetz nicht mehr, da die Gasteilchen dann so
nahe aneinander kommen wie bei einer Flüssigkeit.
10.5
Der Druck in schweren Flüssigkeiten und Gasen
Um den Druck in einer bestimmten Wassertiefe zu berechnen, stellen wir uns eine
waagrechte Ebene mit dem Flächeninhalt A vor, auf welcher das Gewicht der darüberliegenden Flüssigkeitssäule Ah lastet. Die konstante Dichte der Flüssigkeit sei
ρ. Dann gilt
F = mg = V gρ = Ahρg
(10.12)
Und somit für den Schweredruck in der Tiefe h
p=
F
= ρgh
A
(10.13)
Dies ist also der Druck, der von der Gewichtskraft der Flüssigkeit herrührt. Er
wird hydrostatischer Schweredruck genannt. Um den Gesamtdruck in einer Tiefe
h in einer Flüssigkeit zu berechnen, muss noch der äussere Luftdruck p0 (oder
Kolbendruck) dazu addiert werden.
p = p0 + ρgh
41
(10.14)
Daraus folgt auch das sogennante ”Hydrostatische Paradoxon”: Der Gewichtsdruck, den eine ruhende Flüssigkeit am Boden eines Gefässes besitzt, hängt von
der örtlichen Fallbeschleunigung, von der Dichte und von der Höhe der Wassersäule, nicht aber von der Form des Gefässes ab.
Bei der Berechnung des Luftdruckes z.B. in der Erdatmosphäre stellt sich heraus, dass die Sache einiges komplizierter ist als bei Flüssigkeiten. Da die Luft
komprimierbar ist, ist sie nahe der Erdoberfläche viel dichter als weiter oben. Die
Abnahme der Dichte ist aber nicht linear, sonder nimmt ungefähr exponentiell ab.
Der Grund für die Schwierigkeiten liegt auch an der täglichen Sonneneinstrahlung,
welche in der Lufthülle eine komplizierte Temperaturverteilung hervorruft.
Wir können aber eine näherungsweise Berechnung machen, indem wir annehmen, die Dichte sei in gewissen Schichten jeweils (mehr oder weniger) konstant.
Die Schichtdicke sei a = 1 m. Wir bezeichnen den Druck am Boden mit p0 und die
Dichte mit ρ0 . Der Druck an der Grenze von der ersten zur zweiten Schicht wird
dann
0
p = p0 − ρ0 ga = p0 (1 − ρ : 0ga/p0 )
(10.15)
Mithilfe des Boyle-Mariottschen Gesetzes in der Form1
p/ρ = konst.
(10.16)
können wir die Änderung der Dichte von einer Schicht zur nächsten berechnen.
00
0
0
0
0
0
p = p − ρ ga = p − p ρ0 ga/p0 = p (1 − ρ0 ga/p0 )
d.h.
00
p = p0 (1 − ρ0 ga/p0 )2
(10.17)
(10.18)
Analog verfährt man bei weiteren Schichten. Es folgt dann, dass
p = p0 (1 − ρ0 gh/ (np0 ))n
(10.19)
Bilden wir den lim für n → ∞, so haben wir die bekannte Barometrische Höhenformel abgeleitet:
p = p0 exp−ρ0 gh/p0
(10.20)
wobei h = n · a. Bemerke dass die barometrische Höhenformel nur für eine Atmosphäre konstanter Temperatur gültig ist. D.h. die Sonneneinstrahlung wird nicht
berücksichtigt.
10.6
Der hydrostatische Auftrieb
Ein ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit getauchter Körper erfährt eine Auftriebskraft FA , kurz Auftrieb genannt. Sie täuscht einen Gewichtsverlust vor. Berechnet wird der Auftrieb nach dem Archimedischen Prinzip: Der Auftrieb ist
gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
FA = ρFüssigkeitV g
1 dabei
wurde verwendet, dass m = ρV ist.
42
(10.21)
Der Auftrieb ist eine Folge des Schweredruckes. Betrachte dazu einen vollständig
und senkrecht untergetauchten Zylinder mit Deckel- und Bodenfläche A. Da der
Schwerdedruck mit der Tiefe h zunimmt, erfährt der Zylinder eine grössere Kraft
F2 auf den Boden als auf den Deckel (F1 ). Die Differenz dieser Kräfte entspricht
genau der Auftriebskraft.
F2 − F1 = p2 A − p1 A = A (p2 − p1 )
= A (p0 + ρgh2 − p0 − ρgh1 )
= Aρg (h2 − h1 ) = A∆hρg
= ρgV = FA
(10.22)
Bemerke: Ein schwimmeder Körper taucht genau so tief ein, dass das Gewicht der
verdrängten Flüssigkeit gleich dem Körpergewicht ist.
43
Kapitel 11
Hydrodynamik
11.1
Ideale Fluide
Wir machen einige Idealisierungen, da man nur so zu einigermassen verlässlichen
mathematischen Theorien kommt.
• Laminare Strömung: bei der gleichmässigen oder laminaren Strömung verändert sich die Geschwindigkeit des Fluids in einem Punkt nicht, weder Betrag noch Richtung.
• Inkompressible Strömung: das Fluid sei inkompressibel, das heisst nicht
zusammenpressbar.
• Wirbelfreie Strömung: die Strömung sei rotations- respektive wirbelfrei.
Mit Hilfe von sogenannten Tracern (z.B. Farbstoff in einer Flà 14 ssigkeit oder Rauch
bei Gasen) kann man Stromlinien sichtbar machen. Teilchen des Fluids würden diesen Linien folgen und ihre Geschwindigkeit ist jeweils tangential an die Linien.
11.2
Die Kontinuitätsgleichung
Wir leiten nun eine Beziehung her zwischen der Geschwindigkeit eines Fluids und
der Querschnittsfläche beim Durchfliessen durch ein Röhrensystem, welches unterschiedliche Durchmesser besitzt. Angenommen das Fluid fliesse vom dickeren
Rohr mit Querschnittsfläche A1 zum dünneren Rohr mit A2 , wobei die jeweiligen
Geschwindigkeiten v1 und v2 betragen sollen. Nehmen wir an, A1 > A2 und damit
v2 > v1 wie wir gleich sehen werden. Da das Fluid als inkompressibel angenommen wird, muss das selbe Volumen ∆V welches z.B. von links einfliesst, rechts
auch wieder abfliessen. Es gilt also
A1 v1 ∆t = A2 v2 ∆t
44
(11.1)
für ein kleines Zeitintervall ∆t. Da ∆t auf beiden Seiten vorkommt, kann es gekürzt
werden und es folgt die sogenannte Kontinuitätsgleichung:
A1 v1 = A2 v2
(11.2)
Diese Gleichung besagt also, dass die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids zunimmt, wenn die Querschnittsfläche der Strömung kleiner wird. Diese Beziehung
gilt auch für ”gedachte” Röhren, d.h. es muss nicht immer eine materielle Röhre
vorhanden sein.
Man kann die Kontinuitätsgleichung auch in einer anderen Form schreiben, als
Kontinuitätsgleichung für die Volumenflussrate RV :
RV = Av = konstant
(11.3)
Oder falls man noch mit der Dichte des Fluids multipliziert:
RM = ρRV = ρAv = konstant
(11.4)
Die SI-Einheit für diese Massenflussrate ist das Kilogramm pro Sekunde (kg/s).
11.3
Die Bernoulli-Gleichung
Um 1700 herum entwickelte der Schweizer Gelehrte Daniel Bernoulli die nach ihm
benannte Gleichung zur Strömungslehre:
1
1
p1 + ρv21 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy2
2
2
(11.5)
oder in der Form:
1
p + ρv2 + ρgy = konstant
(11.6)
2
Dabei sind die Werte jeweils an zwei verschiedenen Stellen in einem Rohr einzusetzen. Z.B. gilt für ein ruhendes Fluid v1 = v2 = 0. Daraus folgt
p2 = p1 + ρg(y1 − y2 )
was genau der Form des Schweredruckes in der Hydrostatik entspricht.
Ein wichtiger Spezielafall ergibt sich für den Fall, dass die Strömung auf gleicher
Höhe erfolgt (z.B. y = 0). Da gilt
1
1
p1 + ρv21 = p2 + ρv22
2
2
(11.7)
Dies bedeutet:
Wenn die Geschwindigkeit eines einer horizontalen Stromlinie folgenden Fluidelementes zunimmt, muss der Druck des Fluids abnehmen (und umgekehrt).
Die Bernoulli-Gleichung gilt strenggenommen nur für ideale Fluide. Sind Reibungskräfte vorhanden, spielt auch die thermische Energie eine Rolle.
45
11.4
Beweis der Bernoulli-Gleichung
Wir betrachten dazu die Abbildung 11.1 und wenden den Energieerhaltungssatz an
und zwar in der Form: W = ∆E. Das heisst, die Änderung der kinetischen Energie
entspricht der Arbeit (vgl. Kap.7 im Halliday). Für die Änderung der kinetischen
Energie betrachten wir nur den Anfangs- und den Endbereich im Rohr, da zwischen
den vertikalen gestrichelten Linien alles gleich bleibt. Die Änderung beträgt:
Abbildung 11.1: Ein Fluid strömt mit gleichbleibender Rate durch einen Rohrabschnitt von
links nach rechts.
oder
1
1
∆Ekin = ∆mv22 − ∆mv21
2
2
(11.8)
1
ρ∆V (v22 − v21 )
2
(11.9)
46
Es wird auf zwei Arten Arbeit verrichtet. Enerseits verrichtet die Gravitationskraft
(negative) Hubarbeit:
Wg = −∆mg(y2 − y1 ) = −ρg∆V (y2 − y1 )
(11.10)
Andererseits wird am Anfang des Rohres positive Arbeit am System verrichtet und
am Ende negative Arbeit vom System geleistet. D.h. es gilt:
F∆x = (pA)(∆x) = p(A∆x) = p∆V
(11.11)
Die am System geleistete Arbeit ist also p1 ∆V und die vom System geleistete Arbeit −p2 ∆V . Insgesamt gilt also
Wp = −p2 ∆V + p1 ∆V = −(p2 − p1 )∆V
(11.12)
Die Energieerhaltung lautet nun
W = Wg +Wp = ∆Ekin
(11.13)
und somit
1
−ρg∆V (y2 − y1 ) − ∆V (p2 − p1 ) = ρ∆V (v22 − v21 )
2
Dies entspricht der Bernoulli-Gleichung.
47
(11.14)
Kapitel 12
Thermodynamik
12.1
Der Temperaturbegriff
Mit dem Begriff Temperatur beschreibt man einen bestimmten thermischen Zustand eines Körpers. Die Atome und Moleküle aller Stoffe weisen eine ständige,
ungeordnete thermische Bewegung auf: die thermische Molekularbewegung. Die
Temperatur eines Körpers ist ein Mass dafür, wie stark die thermische Bewegung
seiner Atome und Moleküle ist. Bei festen Körpern sind die Teilchen fest im Gitter eingebaut. Sie vollführen eine Zitterbewegung um die Gleichgewichtslage. Bei
Flüssigkeiten sind die Teilchen dicht nebeneinander und sind leicht gegeneinander
verschiebbar. Bei Gasen ist der Teilchenabstand gross. Es gibt eine ständige, unregelmässige Bewegung (Zusammenstösse).
Es gibt physikalische Vorgänge, die temperaturabhängig sind. Solche Vorgänge
können zur Messung der Temperatur herangezogen werden.
Beispiele solcher Vorgänge sind:
• Leitfähigkeit
• Farbe
• Dichte/ Ausdehnung
• Aggregatszustandsänderungen
Eine weitere Frage ist: wie wird Wärme übertragen, bzw. wie kann ein Körper
erwärmt werden? Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten:
• direkter Kontakt zweier Körper unterschiedlicher Temperatur
• Reibung
• Wärmestrahlung
• Wärmekonvektion
48
12.2
Temperaturmessung
Die Stärke der Molekularbewegung ist das grundlegende Mass der Temperatur.
Im Alltag geht man zur Festlegung der Temperaturskala jedoch zweckmässig von
einer leichter messbaren Grösse aus. Fast alle Körper dehnen sich nämlich beim
Erwärmen aus, da der Raumbedarf der Moleküle mit zunehmender thermischer
Bewegung wächst. Dies kann zur Konstruktion von Thermometern dienen.
Eine bei uns hauptsächlich gebrauchte Energieskala ist diejenige des schwedischen
Astronomen Anders Celsius (1701-1744) und sie wird mit Celsius-Skala bezeichnet. Die Festlegung geschieht folgendermassen:
Eine Mischung von Eis und Wasser bestimmt die 0◦ C Marke. Kochendem Wasser
wird der zweite Fixpunkt der Temperaturskala zugeordnet mit 100◦ C. Der Abstand
dieser beiden Fixpunkte wird dann in 100 gleiche Stücke eingeteilt. Die Celsius
Temperatur wird oft mit θ bezeichnet.
12.3
Längenausdehnung
Bei zunehmender Temperatur dehnen sich Stoffe aus. Die Temperaturausdehnung
eines Stoffes ist umso grösser, je stärker die thermische Bewegung der Moleküle
ist.
Die Längenänderung ∆L eines Körpers der Länge L beträgt bei der Temperaturänderung ∆T :
∆L = α · L0 · ∆T
(12.1)
wobei ∆L = L − L0
L0 =Länge bei der Temperatur T1
L =Länge bei der Temperatur T2
α = ∆T∆L·L0 : Längenausdehnungskoeffizient (Materialkonstante)
[α] = K−1
Die Gesamtlänge folgt aus L = L0 + α · L0 · ∆T = L0 · (1 + α · ∆T ) somit
L = L0 (1 + α · ∆T )
12.4
Volumenausdehnung
Ursprüngliches Volumen: V0 = a0 · b0 · c0
Volumen nach der Erwärmung: V = a · b · c
Aus der Längenausdehnung folgt
a = a0 (1 + α · ∆T )
b = b0 (1 + α · ∆T )
c = c0 (1 + α · ∆T )
V = a · b · c = a0 (1 + α · ∆T ) · b0 (1 + α · ∆T ) · c0 (1 + α · ∆T ) =
49
(12.2)
a0 · b0 · c0 · (1 + α · ∆T )3 = V0 · (1 + α · ∆T )3
Ausmultipliziert
(1 + α · T )3 = 1 + 3 · α · ∆T + 3 · α 2 · ∆T 2 + α 3 · ∆T 3
In erster Näherung ergibt dies
(1 + α · ∆T )3 ' 1 + 3 · α · ∆T
somit
3 · α ≡ γ Volumenausdehnungskoeffizient
Das heisst
V = V0 (1 + γ · ∆T )
wobei: [γ] =
oder direkt
(12.3)
(12.4)
1
K
∆V = V0 · γ · ∆T
50
(12.5)
Kapitel 13
Gasgesetze
13.1
Gesetz von Boyle-Mariotte
Aus dem Experiment folgt, dass gilt
p ·V = konst.
(13.1)
wobei angenommen wird, dass T = konst. ist.
13.2
Das Gesetz von Amontons
Experiment: Während man Gas in einem geschlossenen Behälter erwärmt, liest
man die Temperatur ab. Es zeigt sich, dass die Messpunkte auf einer Geraden liegen. Verlängert man die Gerade zu negativen Temperaturen hin, so ergibt sich für
den Druck p = 0 die Temperatur −273, 15◦ C. Bei dieser Temperatur hört die termische Bewegung auf (v = 0 ⇒ p = 0). Dies ist die tiefstmögliche Temperatur.
Man bezeichnet sie als ”absoluten Nullpunkt”.
Damit man nun eine Proportionalität hat zwischen p und T , führt man eine Temperaturskala ein, bei der die Zählung gerade beim absoluten Nullpunkt beginnt. Es
gibt dann nur noch positive Temperaturen.
Die absolute Temperatur kann man wie folgt ausrechnen
T = θ + 273, 15
θ : Celsius Temperaturwert. T wird in Kelvin [K] angegeben.
Mit der neuen Temperaturskala kann man nun die Abhängigkeit zwischen p und T
bei konstant gehaltenem Volumen formulieren:
p
= konst.
T
51
(13.2)
13.3
Das Gesetz von Gay-Lussac
Ergebnis des Experimentes: bei konstantem Druck ist das Volumen eines Gases
proportional zur absoluten Temperatur.
V
= konst.
T
13.4
(13.3)
Die allgemeine Gasgleichung
Verbindet man die drei obigen Gesetze, so erhält man (N = konstant = Anzahl
Moleküle)
p∼T
(V = konst.)
V ∼T
(p = konst.)
V ∼ 1p ⇒ V · p = konst.
(T = konst.)
⇒V ·p∼T
p ·V = konst. · T
p ·V = N · k · T
(13.4)
oder
p ·V = n · R · T
wobei
k = 1, 38 · 10−23 J/K
Boltzmannkonstante
R = 8, 31441 J/(mol K)
Universelle Gaskonstante
n =Anzahl Mol
52
(13.5)
Kapitel 14
Wärme
14.1
Die spezifische Wärmekapazität
Wie hängt die Temperatur eines Körpers von der Energie ab, die sich darin befindet?
Die Energieänderung ∆Q eines Systems ist proportional zur Temperaturänderung
∆T und zur Masse m des Stoffes.
In Formeln:
∆Q ∝ m · ∆T
oder
∆Q = c · m · ∆T
(14.1)
wobei c eine Konstante ist.
∆Q ist die zugeführte, beziehungsweise abgegebene Wärmemenge (Energie), m ist
die Masse des Stoffes und ∆T die Temperaturänderung.
c=
∆Q
m·∆T =
spezifische Wärmekapazität
Einheit: [c] =
J
kgK
Die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes gibt an, welche Energie notwendig
ist um ein Kilogramm eines Stoffes um ein Kelvin zu erwärmen. Umgekehrt gibt
sie auch an, wie viel Wärmeenergie von einem Kilo eines Stoffes abgegeben wird,
wenn die Temperatur um ein Kelvin sinkt.
53
Kapitel 15
Aggregatszustandsänderungen
15.1
Der Übergang fest-flüssig
Um einen Stoff zu schmelzen ist Energie erforderlich. Man nennt diese Energie
Ablösearbeit, da sich die Moleküle aus dem starren Metallgitter lösen. Die Temperatur steigt beim Schmelzen solange nicht, bis sich alle Moleküle aus dem Gitter
gelöst haben. Diese Temperatur heisst Schmelztemperatur bzw. Schmelzpunkt oder
Erstarrungspunkt.
Die für die Umwandlung fest-flüssig benötigte Energie heisst Schmelzwärme
Qschmelzen (= Erstarrungswärme). Die Energie, die nötig ist, um 1 kg eines Stoffes
ohne Temperaturänderung zu schmelzen, heisst spezifische Schmelz- bzw. Erstarrungswärme:
Qschmelzen
Lf =
(15.1)
m
[L f ] = Jkg−1
15.2
Der Übergang flüssig-gasförmig
Verdunsten: In einem Stoff bewegen sich nicht alle Teilchen gleich schnell. Die
mittlere Geschwindigkeit der Teilchen bestimmt die Temperatur. Die schnellsten
Moleküle einer Flüssigkeit können bei jeder Temperatur die Bindungskräfte der
sie umgebenden Moleküle überwinden und bilden an der Oberfläche ein Gas (bei
Wasser: Wasserdampf). Die kinetische Energie des Teilchens fehlt der Flüssigkeit.
Dies bedeutet eine Abkühlung der restlichen Flüssigkeit.
Verdampfen: In einer Flüssigkeit wirken zwischen den Molekülen Kohäsionskräfte.
Bei Energiezufuhr wird die Bewegung der Moleküle heftiger, bis schliesslich die
Kohäsionskraft überwunden wird. Für die Umwandlung flüssig-gasförmig ist eine
gewisse Umwandlungswärme Qverdamp f en nötig. Man nennt diese Verdampfungswärme = Kondensationswärme. Die Verdampfungswärme, die nötig ist, um eine
54
bestimmte Masse m ohne Temperaturänderung zu verdampfen, heisst spezifische
Verdampfungswärme Lv :
Qverdamp f en
Lv =
(15.2)
m
[Lv ] = Jkg−1
Die spezifische Verdampfungswärme von Wasser beträgt Lv = 2, 256 · 106 J/kg
Dampfdruck: Über jeder Flüssigkeit entsteht durch Verdunstung Dampf, dessen
Druck bis zu einem bestimmten temperaturabhängigen Höchstwert wächst, dem
Sättigungsdampfdruck. Wird dieser erreicht, so steht er mit dem Druck in der Flüssigkeit im Gleichgewicht, es entkommen pro Zeiteinheit gleichviele Teilchen der
Flüssigkeit wie in sie zurückkehren. Dies wird als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet.
55
Kapitel 16
Hauptsätze
16.1
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Wenn sich zwei Körper A und B jeweils im thermodynamischen Gleichgewicht
mit einem dritten Körper C befinden, dann befinden sie sich auch untereinander im
thermischen Gleichgewicht.
16.2
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
• Die innere Energie U eines Körpers ist die Summe aller Teilchenenergien
(Rotations-, Translations- und Vibrationsenergie). Wird einem Körper Energie in Form mechanischer Arbeit (z.B. Kompression, Reibung) zu- oder abgeführt, dann ist die Zu- oder Abnahme der inneren Energie gleich der verrichteten mechanischen Arbeit.
• Die Wärme Q ist die Energieform, die durch Leitung (kalter Körper kommt
in Berührung mit warmem Körper) oder durch Strahlung (Wärmestrahlung)
übertragen wird.
• Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre
In Worten: Die innere Energie eines Körpers kann man durch zu- bzw. abführen von Arbeit oder Wärme ändern.
dU = ∆Q + ∆W
(16.1)
Die Gesamtenergie bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten. Dabei
ist die Wärme eine Form der Energie.
Gesamtenergie:
E = Ekin + E pot +U
(16.2)
oder
∆E = 0
56
(16.3)
16.3
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik macht eine Aussage über die Richtung
des Wärmeüberganges. Ausserdem sagt der Satz aus, dass es kein Perpetuum mobile zweiter Art geben kann.
Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre
Die Wärmeübertragung erfolgt von sich aus nur vom wärmeren zum kälteren Körper.
Oder:
Ohne Zufuhr von Energie (Arbeit) ist der Übergang von Wärmeenergie vom kalten
zum wärmeren Körper nicht möglich. (vgl. Wärmekraftmaschine)
16.4
Eine ausführlichere Betrachtung zum 1. Hauptsatz
Im Folgenden wollen wir etwas genauer betrachten, wie Wärmeenergie und Arbeit zwischen einem System und seiner Umgebung übertragen werden können.
Betrachte dazu die Abbildung 16.1. Das Volumen des Zylinders sei über einen
beweglichen Kolben veränderbar. Die nach oben gerichtete Kraft auf den Kolben
durch den Druck des eingeschlossenen Gases wird durch das Gewicht der Bleikugeln oben auf den Kolben ausgeglichen. Die Zylinderwände bestehen aus einem
isolierenden, wärmeundurchlässigen Material. Der Zylinderboden befinde sich auf
einem Wärmereservoir (beispielsweise eine heisse Herdplatte).
Das System (Gas) befinde sich zuerst in einem Anfangszustand i (Initialzustand, Druck pi , Volumen Vi und Temperatur Ti ). Nun soll dieses System in einen
zweiten Zustand (den finalen Zustand) f gebracht werden (p f ,V f , T f ). Einen solchen Vorgang, bei welchem ein System von einem Anfangs- in einen Endzustand
überführt wird, bezeichnet man als thermodynamischen Prozess. Im Verlauf eines
solchen Prozesses kann dem System von einem Wärmereservoir Energie zugeführt
werden (positive Wärme) oder es kann auch Energie an das Wärmereservoir abgegeben werden (negative Wärme). Ausserdem kann das System Arbeit verrichten,
indem es den mit Gewichten beladenen Kolben anhebt (negative Arbeit) oder ihn
herabsinken lässt (positive Arbeit). Wir nehmen dabei an, dass alle diese Vorgänge
sehr langsam ablaufen so dass sich das System jederzeit (annähernd) im thermischen Gleichgewicht befindet.
Angenommen, man entfernt nun einige Bleikugeln von dem Kolben. Das Gas
drückt dann mit der Kraft ~F um die differenzielle Verschiebung d~s nach oben. Da
diese Verschiebung sehr klein ist, kann man die Kraft während des Vorgangs als
konstant ansehen. In diesem Fall ist der Betrag pA, wobei p der Gasdruck in dem
Behälter und A die Fläche des Kolbens sind. Die vom Gas verrichtete Arbeit ist
dann
−dW = ~F · d~s = (pA)(ds) = p(Ads)
(16.4)
57
d.h.
dW = −pdV
(16.5)
Werden nacheinander genügend Bleikugeln entfernt, sodass sich das Gas von Vi
auf V f ausdehnt, so ist die gesamte vom Gas geleistete Arbeit
Z Vf
Z
W=
dW =
dW
(16.6)
W = ∑ ∆W = ∑ ∆W
(16.7)
Vi
oder für die Mittelschule:
Vf
Vi
Tatsächlich gibt es viele Möglichkeiten, das Gas vom Zustand i in den Zustand f zu
überführen. Im Folgenden sollen einige spezielle Zustandsänderungen besprochen
werden:
Abbildung 16.1: Ein Zylinder mit einem beweglichen Kolben sei mit einem Gas gefüllt.
Durch die Regelung der Temperatur T an einem Wärmereservoir kann dem Gas Wärme ∆Q
zugeführt oder entzogen werden. Das Gas kann Arbeit ∆W leisten, indem es den Kolben
anhebt oder absinken lässt.
Isotherme Zustansänderungen (∆T = 0)
Zunächst beginnen wir mit einem idealisierten Prozess bei konstanter Temperatur.
Ein solcher Prozess heisst isotherm (aus dem Griechischen: ”gleiche Temperatur”). Das System sei ein ideales Gas, dann gilt wegen pV = nRT und T = konst.,
dass pV = konst. für eine bestimmte Gasmenge. Der Prozess folgt somit einem
58
Abbildung 16.2: pV Diagramm, das einen isothermen Prozess bei zwei verschiedenen
Temperaturen durchläuft
Verlauf wie AB in dem pV Diagramm der Abbildung 16.2. Jeder Punkt auf der
Kurve steht für einen Systemzustand zu einem gegebenen Zeitpunkt. (Das Produkt
pV ist kleiner wenn T kleiner ist, da pV = nRT ). Die dargestellten Kurven heissen
Isotherme.
Befindet sich das Gas ursprünglich im Zustand A und wird die Wärmemenge
∆Q zugeführt, so bewegt sich das System zum Zustand B. Wenn die Temperatur
konstant bleiben soll, muss das Gas expandieren und die Arbeit ∆W an der Umgebung leisten (es übt eine Kraft auf den Kolben aus und bewegt ihn über eine
gewisse Distanz). Da bei einem idealen Gas gilt, dass U nur abhängig ist von der
Temperatur T (ohne Beweis), so folgt hier: dU = ∆W + ∆Q = 0 ⇒ −∆W = ∆Q.
Adiabatische Zustandsänderung (∆Q = 0)
Bei einer adiabatischen Zustandsänderung darf keine Wärme in das System hineinoder aus dem System herausströmen. Z.B. ist das System sehr gut isoliert oder die
Zustandsänderung läuft so schnell ab, dass Wärme (die langsam fliesst) keine Zeit
hat hinein- oder hinauszufliessen. Die schnelle Ausdehnung von Gasen in Verdichtungsmotoren ist ein Beispiel für einen Prozess, der beinahe adiabatisch abläuft.
Eine langsame adiabatische Expansion hat einen Verlauf wie AC in der Abbildung 16.3. Da ∆Q = 0 folgt, dass dU = ∆W . Das bedeutet, dass die innere Energie
abnimmt, wenn das Gas expandiert. Also fällt auch die Temperatur (U ist nur abhängig von T beim idealen Gas). Eine adiabatische pV - Kurve ist i. a. steiler als
eine Isotherme.
In einer adiabatischen Kompression wird Arbeit am Gas verrichtet, somit nehmen die innere Energie und die Temperatur zu. In einem Dieselmotor beispielsweise vermindert die rasche adiabatische Kompression das Volumen um einen Faktor
15 oder mehr. Der dadurch hervorgerufene Temperaturanstieg ist so gross, dass
sich das Luft-Kraftstoff-Gemisch unmittelbar selbst entzündet.
Isobare und Isochore Zustandsänderungen
59
Abbildung 16.3: pV Diagramm für eine adiabatische (AC) und eine isotherme (AB) Zustandsänderung eines idealen Gases.
Isobare und isochore Zustandsänderungen sind zwei weitere, einfache thermodynamische Prozesse. Sie sind in der Abbildung 16.4 dargestellt. Ein isobarer Prozess
Abbildung 16.4: (a) Isobare (”derselbe Druck”) Zustandsänderung; (b) isochore (”dasselbe
Volumen”) Zustandsänderung.
ist ein solcher, bei dem der Druck konstant bleibt. Dieser Prozess wird durch eine
horizontale Gerade im pV - Diagramm dargestellt. Ein isochorer Prozess oder isovolumetrischer Prozess ist einer, in dem sich das Volumen nicht ändert. In diesen
wie in allen anderen Prozessen gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik.
60
Kapitel 17
Elemente der kinetischen
Gastheorie
17.1
Der Gasdruck
Ziel: Makroskopische Eigenschaften von Gasen (p, T,V, ...) auf die Bewegung der
Teilchen zurückzuführen.
Die Ursache für den Gasdruck in einem Behälter sind die Stösse der Gasteilchen
auf die Gefässwände (vgl. Abbildung 17.1). Je N/6 Teilchen bewegen sich auf eine
Abbildung 17.1: (a) Gasmoleküle bewegen sich in einem würfelförmigen Behälter (b) Pfeile zeigen den Impuls eines Moleküls an, wenn es von der Wand zurückprallt.
Wand zu. Beim Stoss eines Teilchens auf die Wand (vollkommen elastischer Stoss)
61
erfolgt die Impulsänderung
∆~p = ~pnach −~pvor = −m~v − m~v = −2m~v
(17.1)
∆p = 2mv
(17.2)
Also
Wie viele Moleküle prallen pro Sekunde auf eine Wand? Offensichtlich all jene,
welche sich nicht weiter als v∆t von der Wand entfernt befinden. Befinden sich N
Moleküle im Behälter mit Volumen V so ist die Telchendichte N/V . Im Quader mit
der Grundfläche A befinden sich daher (N/V )Av∆t Moleküle. Von diesen laufen
aber nur 1/6 auf die Wand zu. Die gesamte Impulsänderung ist also
N
1
1 N
∆P = ·
Av∆t 2mv = · mv2 A∆t
(17.3)
6 V
3 V
Die Kraft, d.h. die Impulsänderung pro Sekunde, hat somit den Betrag
∆P 1 N 2
F=
= · mv A
∆t
3 V
und für den Druck gibt dies schliesslich
(17.4)
F
1 N
2 N mv2
= · mv2 = · ·
(17.5)
A 3 V
3 V 2
In der letzten Gleichung erscheint die kinetische Energie eines Moleküls. Natürlich
haben nicht alle Moleküle die selbe Geschwindigkeit, deshalb muss man darunter
die mittlere kinetische Energie eines Moleküls verstehen. Der Druck eines ideladen
Gases beträgt also
2 N
p = · · Ēkin
(17.6)
3 V
Vergleicht man diese Gleichung mit dem idealen Gasgesetz pV = NkT , so sieht
man, dass die beiden übereinstimmen, wenn
2 1 2
mv̄ = kT
(17.7)
3 2
p=
oder
1
3
Ekin = mv̄2 = kT
(17.8)
2
2
Diese Gleichung sagt uns, dass
die durchschnittliche kinetische Energie der Moleküle eines idealen Gases direkt
proportional zur absoluten Temperatur ist.
Je höher die Temperatur, desto schneller bewegen sich gemäss der kinetischen Gastheorie die Moleküle im Durchschnitt. Diese Beziehung ist eine der grossen Leistungen der kinetischen Gastheorie.
Bemerke: Weil die Temperatur ein Mass für die thermische Bewegung der Moleküle ist, bleibt bei konstanter Temperatur die kinetische Energie der Molekularbewegung konstant. Daraus folgt dann
p ·V = konst.
welches wir als das Gesetz von Boyle-Mariotte schon kennengelernt haben.
62
(17.9)
17.2
Innere Energie eines idealen Gases
Die innere Energie U ist die Summe der kinetischen Energie sämtlicher Atome.
(Wir betrachten hier nur einatomige Moleküle. Bei mehratomigen müsste man
noch Rotations- und Schwingungsenergien der Moleküle berücksichtigen.) Wir
können also mit N Molekülen schreiben:
1 2
U =N
mv̄
2
Oder mit Verwendung von Ēkin = 12 mv̄2 = 32 kT
3
U = NkT
2
oder
3
U = nRT
2
63
(17.10)
Kapitel 18
Berechnungen mit dem ersten
Hauptsatz
Die folgenden Formeln für die Arbeit werden hier ohne Beweis geliefert, da dazu
die Integralrechnung erforderlich wäre (wird in der 6. Klasse nachgeholt). Sie alle
folgen aus der Berechnung von
Z
W=
dW = −
Z
pdV .
Wir werden sie bei der Berechnung von Kreisprozessen benötigen.
• Isothermer Prozess, ideales Gas: Die vom Gas verrichtete Arbeit vom Zustand A zum Zustand B (vgl. Abbildung 16.2) beträgt:
W = −nRT ln
VB
VA
(18.1)
• Isobarer Prozess, ideales Gas
W = −pB (VB −VA ) = −p∆V
(18.2)
oder mithilfe des idealen Gasgesetzes:
VA
W = −nRTB 1 −
VB
(18.3)
• Adiabatische Expansion oder Kontraktion, ideales Gas
pV κ = konstant
wobei κ = Cp /CV ist.
64
(18.4)
18.1
Wärmekapazität für Gase und die Gleichverteilung
der Energie
Molare Wärmekapazität für Gase
Im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten, unterscheiden sich bei Gasen die
spezifischen Wärmekapazitäten stark, je nachdem ob sie bei konstantem Volumen
cV oder bei konstantem Druck c p gemessen werden. Häufig benützt man die molaren Kapazitäten
Q = nCV ∆T
(konstantes Volumen)
und
Q = nCp ∆T
(konstanter Druck)
wobei n die Anzahl Mol bedeutet. Der Unterschied zwischen Cp und CV lässt sich
mithilfe des 1. Hauptsatzes verstehen. Wir betrachten zwei Zustandsänderungen
eines Systems wobei bei beiden ∆T um denselben Betrag ansteigen soll. Im Fall
der isochoren Zustandsänderung kann keine Arbeit verrichtet werden, da ∆V = 0
ist. Gemäss dem 1. Hauptsatz gilt folglich
QV = ∆U
Beim isobaren Prozess hingegen wird Arbeit vom System verrichtet, d.h. es gilt
W = −p∆V
also gilt insgesamt mit dem 1. Hauptsatz
Q p = ∆U + p∆V
Aus den beiden Gleichungen für Q folgt dann
Q p − QV = p∆V
Und mit dem idealen Gasgesetz ∆V = nR∆T /p gilt
nR∆T
nCp ∆T − nCV ∆T = p
p
oder gekürzt
Cp −CV = R
(18.5)
Mithilfe der kinetischen Gastheorie kann man CV berechnen. Da bei konstant gehaltenem Volumen keine Arbeit verrichtet wird, gilt
∆U = Q
Für ein einatomiges ideales Gas gilt
1 2
3
U =N
mv̄ = nRT
2
2
65
Daraus folgt nun
3
nR∆T = nCV ∆T
2
oder
3
CV = R
(18.6)
2
Da R = 8, 314J/ (mol · K) ist, sagt die kinetische Gastheorie einen Wert von CV =
12, 47J/ (mol · K) voraus. Dies ist nahe an den experimentell bestimmten Werten
für einatomige Moleküle wie Helium und Neon (vgl. Tabellen). Ebenso stimmt der
berechnete Wert für Cp gut mit dem Experiment überein.
Gleichverteilungssatz der Energie
Die gemessenen molaren Wärmekapazitäten für Gase nehmen zu für mehratomige Gase. Der Grund liegt in der Möglichkeit der Moleküle sich zu drehen und bei
hohen Temperaturen auch um ihre Gleichgewichtslagen zu schwingen. Ein zweiatomiges Molekül beispielsweise kann sich neben der reinen Translation auch noch
um zwei verschiedene Achsen drehen (vgl. Abbildung 18.1). Die Achse durch
die Verbindung der beiden Atome kann weggelassen werden, da das zugehörige
Trägheitsmoment im Vergleich sehr klein ist. Allgemein kann man nach dem so-
Abbildung 18.1: Ein zweiatomiges Molekül kann um zwei verschiedene Achsen rotieren.
genannten Gleichverteilungssatz jedem Freiheitsgrad die Energie 12 kT zuordnen.
Die durchschnittliche Energie eines einatomigen Gases wäre also 32 kT und dieje5
nige eines zweiatomigen
2 kT . Somit wäre die innere Energie eines zweiatomigen
5
5
Gases N 2 kT = 2 nRT.
Die Wahrheit ist ein bisschen komplizierter, da z.B. die Rotationsenergien und die
Schwingungsenergien erst bei höheren Temperaturen eine Rolle spielen. Bei tiefen
Temperaturen sind diese Bewegungen mehr oder weniger eingefroren. Auch bei
Festkörpern kann man mit der Argumentation der Freiheitsgrade auf die Wärmekapazitäten schliessen. Z.B. ist nach Dulong-Petit der Wert der Wärmekapazität
von Festkörpern bei hohen Temperaturen nahe bei 3R (vgl. Abbildung 18.2). Offenbar kann man sagen, dass die Atome in einem Festkörper bei hohen Temperaturen 6 Freiheitsgrade haben (vgl. Abbildung 18.3). Weshalb genau bei niedrigen Temperaturen einige Freiheitsgrade ”eingefroren” sind, erklärte eine Arbeit
von Einstein zur frühen Quantenmechanik. Gemäss Quantenmechanik gibt es keine kontinuierlichen Werte für die Energie der verschiedenen Freiheitsgrade. Bei
66
Abbildung 18.2: Molekulare Wärmekapazitäten von Festkörpern als Funktion der Temperatur.
Abbildung 18.3: Die Atome in einem kristallinen Festkörper können um ihre Gleichgewichtslagen schwingen, als wären sie mit Federn verbunden. In Wirklichkeit sind es natürlich elektrische Kräfte.
67
tiefen Temperaturen reichen die Energien offenbar nicht aus, gewisse Freiheitsgrade anzuregen. Wenn diese quantenmechanische Beschreibung des Gleichverteilungssatzes benützt wird, so stimmen die Experimente hervorragen mit der Theorie
überrein.
68
Kapitel 19
Wärmetransport: Wärmeleitung,
Konvektion, Wärmestrahlung
Man unterscheidet drei Arten von Wärmeübertragung: Wärmeleitung, Konvektion
und Wärmestrahlung. In den meisten Fällen sind aber alle drei Arten gleichzeitig
wirksam. Wir besprechen nun kurz die drei verschiedenen Wärmetransporte.
Wärmeleitung
Von Wärmeleitung spricht man, wenn in einem Material durch ein Temperaturgefälle ein Wärmefluss stattfindet. Man kann sich dabei vorstellen, dass molekulare
Zusammenstösse dafür verantwortlich sind. Am heisseren Ende bewegen sich die
Moleküle schneller und stossen so an die benachbarten Gitteratome, welche sich
zuerst langsamer bewegen. Dadurch werden diese angeregt und schwingen schlussendlich auch schneller. Bei Metallen sind es die Leitungselektronen, welche sich
mehr oder weniger frei zwischen den festen Gitteratomen bewegen, die diese Funktion übernehmen.
Experimentell findet man, dass der Wärmestrom durch einen Stoff proportional zur
Temperaturdifferenz an seinen Enden ist. Er hängt zudem von der Form und Grösse
des Körpers ab. Aus Experimenten findet man
∆Q
T1 − T2
= λA
(19.1)
∆t
l
wobei A die Querschnittsfläche des Objekts und l die Distanz zwischen seinen
beiden Enden ist, die die Temperatur T1 und T2 haben. λ ist eine Konstante, die
sogenannte Wärmeleitfähigkeit. Sie ist eine Materialkonstante und hängt von der
Temperatur ab (s. Abbildung 19.1). Sie ist in Tabellen angegeben. Materialien mit
grossem λ sind gute Wärmeleiter, sie leiten die Wärme schnell. Die meisten Metalle gehören dazu. Merkregel: Gute elektrische Leiter sind im allgemeinen auch
gute Wärmeleiter. Materialien mit kleinem λ sind gute Isolatoren. Beispiele dafür
sind Fiberglas und Daunen. Die Luft ist auch ein ausgezeichneter Isolator. Nur liegt
das Problem darin, dass sie an einer Oberfläche in Ruhe sein sollte. Gibt es z.B.
69
Abbildung 19.1: Wärmeleitung zwischen zwei Flächen der Temperatur T1 und T2 .
durch Wind einen Austausch der Luft mit neuer, kalter Luft, so stellt sich keine
isolierende Wirkung ein. Die Kleidung beispielsweise wärmt hauptsächlich wegen
des Umstandes, dass sie Luft einschliesst, welche dann als Isolator die Körperwärme bewahrt.
Für Baumaterialien wird der sogenannte Wärmeübertragungswiderstand R angegeben, welcher definiert ist durch
R=
l
λ
(19.2)
wobei l die Dicke und λ die Wärmeleitfähigkeit bedeutet.
Konvektion
Von Konvektion spricht man, wenn ein Wärmeaustausch stattfindet in Form von
Austausch von Gasteilchen oder Flüssigkeitsteilchen zum Teil auch über grosse
Entfernungen. Z.B. steigt warme Luft über einer Wiese auf und kalte Luft fliesst
an einem Abhang morgens hinunter. Das ganze meteorologische Wettergeschehen
fusst auf Konvektionsströmungen, d.h. Luftströmungen. Auch erwärmtes Wasser
steigt auf und kann somit bei Heizungssystemen eingesetzt werden, indem die Wärme von Heizkörpern im ganzen Haus abgegeben wird.
Wärmestrahlung
Im Gegensatz zu den vorherigen Wärmeübertragungen, welche immer mit Materie geschehen, wird bei der Übertragung von Energie mittels Wärmestrahlung
keine Materie benötigt. Es sind sogenannte elektromagnetische Wellen (Magnetfelder und elektrische Felder welche oszillieren), welche die Energie transportieren. Z.B. erreicht uns die Energie der Sonne alleine durch die Strahlung und zwar
geht dies ja sogar durch den leeren Raum. Die elektromagnetischen Wellen brauchen offensichtlich kein Medium. Experimentell hat man herausgefunden, dass die
Strahlungsleistung eines Körpers proportional zur vierten Potenz der (absoluten)
Temperatur T ist. Die Strahlungsleistung ist ausserdem proportional zur Fläche A
des emittierenden Objekts. Es gilt das sogenannte Stefan-Boltzmann-Gesetz
∆Q
= eσ AT 4
∆t
70
(19.3)
wobei σ die universelle Stefan-Boltzmann-Konstante ist, mit dem Wert
σ = 5, 67 · 10−8 W/m2 · K4 .
Der Faktor e ist der Emissionsgrad, eine materialspezifische Zahl zwischen 0 und
1. Sogenannte schwarze Körper, wie etwa ein Stück Holzkohle oder ein inwendig
schwarz bemalter Hohlraum, haben einen Emissionsgrad nahe 1. Dagegen haben
hell glänzende oder verspiegelte Oberflächen einen Emissionsgrad von nahezu 0.
Jeder Körper emittiert nicht nur Strahlung, sondern absorbiert sie auch. Dabei gilt:
”Je besser ein Körper absorbiert, desto besser strahlt er auch ab.”
Hat ein Körper eine Umgebung mit hohem Emissionsgrad (nahe 1) und mit der
Temperatur T2 , so gilt für die Nettoleistung des Körpers
∆Q
= eσ A(T14 − T24 )
∆t
(19.4)
Somit gibt es bei unterschiedlichen Körpern ein Nettoenergiestrom vom einen zum
anderen, ausser sie haben dieselbe Temperatur. Dann befinden sie sich im thermischen Gleichgewicht.
Will man z.B. die Energieflussdichte der Sonne berechnen auf einen Körper auf
der Erde, so benützt man die Tatsache, dass etwa 1350 W/m2 als Leistung pro m2
auftrifft. Die Atmosphäre absorbiert je nach Witterung bis zu etwa 70 Prozent. Bei
einem schönen, klaren Tag erreicht etwa 1000 W/m2 den Erdboden. Ein Körper
mit Emissionsgrad e und Fläche A absorbiert etwa
∆Q
= (1000W/m2 )eAcosθ
∆t
(19.5)
wobei der Winkel θ zwischen der Flächennormalen und den eintreffenden Sonnestrahlen ist.
71
Kapitel 20
Wärmekraftmaschinen
Aus mechanischer Arbeit kann man leicht Wärme erzeugen und zwar passiert dies
meistens in Form von Reibung. Umgekehrt ist es zwar möglich, aus Wärmeenergie mechanische Arbeit zu gewinnen, allerdings geht dabei immer auch ein Teil als
”Abwärme”verloren und es ist einiges komplizierter. Trotzdem ist es den Technikern im 17. Jahrhundert gelungen, die ersten brauchbaren Wärmekraftmaschinen
zu konstruieren (Dampfmaschinen). Wir wollen das allgemeine physikalische Prinzip nun etwas genauer betrachten.
Grundsätzlich geht es bei allen Wärmekraftmaschinen darum, aus dem natürlich
stattfindenden Wärmefluss etwas mechanische Energie abzuzweigen. Dieser Prozess wird häufig in schematischen Darstellungen widergegeben wie in Abbildung
20.1. Die Wärmemengen und die Arbeit werden mit Beträgen geschrieben, da wir
Abbildung 20.1: Schematische Darstellung der Energieübertragung bei einer Wärmekraftmaschine.
uns nur noch für die Absolutwerte interessieren. Die Pfeile kennzeichnen die Energieübertragung. Die Temperaturen TH und TL werden die Arbeitstemperaturen der
72
Wärmekraftmaschine genannt (L steht dabei für ”low”). Laut Energiesatz gilt
|QH | = |W | + |QL |
(20.1)
Wir sind im Folgenden nur an zyklisch arbeitenden Maschinen interessiert, d.h. an
solchen, die immer wieder in die Ausgangslage zurückkehren.
20.1
Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen und der
zweite Hauptsatz
Der Wirkungsgrad η wird definiert als
η=
|W |
|QH |
(20.2)
das heisst, es ist das Verhältnis zwischen Arbeitsleistung der Maschine und der
zugeführten Wärmemenge bei der hohen Temperatur. Mit der Energieerhaltung
gilt
|W | = |QH | − |QL |.
(20.3)
Damit kann man nun schreiben
η=
|W |
|QH | − |QL |
|QL |
=
= 1−
|QH |
|QH |
|QH |
(20.4)
Aus dieser Gleichung wird klar, dass der Wirkungsgrad einer Maschine umso besser ist, je kleiner |QL | gemacht werden kann. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass es
unmöglich ist eine zyklische Wärmekraftmaschine zu konstruieren, bei der |QL |
wirklich Null ist (vgl. auch nächstes Kapitel). Vielmehr gibt dies Anlass zu einer
anderen Formulierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (KelvinVersion):
Es gibt keine Wärmekraftmaschine, deren einzige Wirkung darin besteht, eine gegebene Wärmemenge vollständig in Arbeit umzuwandeln.
20.2
Reversible und irreversible Prozesse; der Carnot-Prozess
Sadi Carnot (1796-1832), ein französischer Wissenschaftler, erarbeitete als erster die physikalischen Grundlagen der Wärmekraftmaschinen. Er wollte den Wirkungsgrad von Maschinen verbessern. Dabei entwickelte er die Idee einer idealen
Maschine, welche heute als Carnot-Maschine bekannt ist. Bevor wir seine Arbeit
anschauen, müssen noch zwei Begriffe geklärt werden:
Reversible Prozesse
Ein revesibler Prozess läuft idealerweise unendlich langsam ab (quasistatisch),
so dass er eigentlich als Abfolge von Gleichgewichtszuständen betrachtet werden
73
kann. Der Prozess könnte somit auch rückwärts ablaufen ohne dass sich etwas dabei ändert.
Irreversible Prozesse
Dies sind demzufolge Prozesse, welche nicht umkehrbar sind. Häufig treten Reibung oder bei einem Gas Turbulenzen auf (Geordnete mechanische Energie geht
über in ungeordnete Wärmeenergie), die es unmöglich machen, dass der Vorgang
umkehrbar ist.
Man kann folglich nur reversible Prozesse in einem p −V -Diagramm darstellen, da
es sich nur dabei um jeweilige Gleichgewichtszustände handelt. Doch obwohl die
meisten in der Realität vorkommenden thermodynamischen Prozesse irreversibel
sind, spielen die reversiblen eine wichtige Rolle bei der theoretischen Betrachtung.
Ein irreversibler Prozess kann sich natürlich auch an einen reversiblen annähern,
wenigstens als Grenzfall.
20.3
Die Carnot-Maschine
Die Carnot-Maschine durchläuft einen reversiblen Kreisprozess. Das heisst, der
ganze Prozess ist als Abfolge von vielen Gleichgewichtszuständen zu verstehen,
welche wieder zum Ausgangsort zurückführen. Der Prozess ist in der Abbildung
20.2 dargestellt. Der Prozess beginnt bei a, wobei das Arbeitsmittel ein ideales Gas
Abbildung 20.2: Der Carnot’sche Kreisprozess
74
sein soll. Zuerst wird also das Gas isotherm und reversibel expandiert, dabei wird
von einem geeigneten Reservoir |QH | zur Verfügung gestellt. Darauf folgt eine reversible adiabatische Expansion bis c. Dadurch fällt die Temperatur auf TL . Der
dritte Schritt ist eine reversible isotherem Kompression. Dabei gibt die Arbeitssubstanz (ideales Gas) die Wärmemenge |QL | an die Umgebung ab. Zum Schluss
wird das Gas nochmals reversibel adiabatisch Komprimiert und erreicht wieder den
Anfangszustand. Man kann zeigen, dass die Arbeit, welche eine Carnot-Maschine
(oder auch eine beliebig andere Maschine mit reversiblem Zyklus) pro Zyklus verrichtet, gleich der eingeschlossenen Fläche ist.
20.4
Carnot’scher Wirkungsgrad und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
Der Wirkungsgrad ist gegeben durch
η = 1−
|QL |
|QH |
Wir berechnen ihn nun für die ideale Carnot-Maschine:
Der erste Abschnitt ist isotherm, also folgt gemäss Gleichung 18.2 für die von Gas
verrichtete Arbeit
Vb
Wab = nRTH ln
Va
Dabei ist n die Anzahl Mol des Arbeitsgases. Da sich bei einem idealen Gas die
innere Energie nicht ändert, wenn die Temperatur konstant bleibt, gilt nach dem
ersten Hauptsatz
Vb
|QH | = nRTH ln
Va
Analog gilt für die im dritten Abschnitt abgegebene Wärme
|QL | = nRTL ln
Vc
.
Vd
Für die adiabatischen Abschnitte gilt
pbVbκ = pcVcκ
und
pd Vdκ = paVaκ
Aus dem idealen Gasgesetz folgt zudem (n ist konstant)
pbVb
pcVc
=
TH
TL
und
pd Vd
paVa
=
TL
TH
Wenn man nun die beiden letzten Zeilen Term für Term durcheinander dividiert, so
erhält man
TH Vbκ−1 = TLVcκ−1
und
TLVdκ∗1 = TH Vaκ−1
(20.5)
75
Als nächstes dividieren wir die linken Gleichungen durch die rechten
Vb
Va
κ−1
=
Vc
Vd
κ−1
Also gilt
Vb Vc
=
Va Vd
oder
ln
Vc
Vb
= ln
Va
Vd
Nun setzen wir diese Ergebnis in die Gleichungen für |QL | und |QH | ein und erhalten
TL
|QL |
=
Carnot0 scher Kreisprozess
(20.6)
|QH | TH
Der Wirkungsgrad einer reversiblen Carnot’schen Wärmekraftmaschine ist somit
ηideal = 1 −
TL
|QL |
= 1−
|QH |
TH
Carnot0 scher Wirkungsgrad
(20.7)
Der Wirkungsgrad einer Carnot’schen Wärmekraftmaschine hängt also nur von
den Temperaturen TL und TH ab.
Es sind weitere reversible Kreisprozesse möglich, die man für eine Wärmekraftmaschine nutzen könnte. Der Satz von Carnot besagt jedoch folgendes:
Alle reversiblen Wärmekraftmaschinen, die zwischen den gleichen konstanten Temperaturen TH und TL arbeiten, haben den gleichen Wirkungsgrad. Eine beliebige
irreversible Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei gleichen festen Temperaturen
arbeitet. hat einen Wirkungsgrad, der kleiner ist als dieser.
Eine gut konstruierte Wärmekraftmaschine erziehlt in der Praxis vielleicht 60 bis
80 Prozent des Carnotschen Wirkungsgrades. Es folgt aber aus Gleichung 20.7
auch, dass eine Maschine mit 100 prozentigem Wirkungsgrad nicht möglich ist.
Nur wenn die Abgastemperatur TL abolut null wäre, wäre ein Wirkungsgrad von
100 Prozent realisierbar. Doch das Erreichen dieser Temperatur des absolten Nullpunktes ist praktisch (wie auch theoretisch) unmöglich.
20.5
Der Gleichraumprozess (Ottomotoren)
Die Arbeitsweise eines Verbrennungsmotores kann (idealisiert) als ein reversibler
Zyklus der Art wie in Abbildung 20.3 dargestellt werden. Dabei wird bei a zuerst
das Arbeitsgas (Benzin-Luft-Gemisch adiabatisch komprimiert bis b (Kompressionshub), daraufhin wird das Gemisch entzündet durch einen Zündfunken. Dann
wird bei konstantem Volumen (isochor) sowohl die Temperatur als auch der Druck
76
erhöht bis c. Im Arbeitshub (oder Arbeitstakt) expandiert das Gas bis d adiabatisch.
Zum Schluss wird im Auslasshub die Wärme QL abgeführt. (In realen Motoren
verlässt das verbrannte Gemisch den Motor und wird durch ein frisches BenzinLuft-Gemisch ersetzt.)
Abbildung 20.3: Der Gleichraumprozess (Ottomotor)
20.6
Kältemaschinen, Klimaanlagen und Wärmepumpen
Kältemaschinen (Kühlschränke, Kühltruhen), Klimaanlagen und Wärmepumpen
haben alle das gleiche Funktionsprinzip: sie transportieren Wärme vom kälteren
Reservoir zum wärmeren Reservoir. Dabei ist eine Arbeitsleistung einer Pumpe
nötig, denn Wärme würde ja gemäss dem 2. Hauptsatz nur von alleine in die umgekehrte Richtung fliessen. Da eine Kältemaschine oder eine Wärmepumpe eigentlich eine Umkehrung einer Wärmekraftmaschine ist, kann der Wirkungsgrad natürlich nicht 100 Prozent betragen (Carnot). Somit definiert man bei Kältemaschinen
die sogenannte Leistungszahl LZ durch
LZ =
|QL |
|W |
Kältemaschine und Klimaanlage
(20.8)
Diese Definition ist sinnvoll, denn je mehr Wärme aus dem Innern eines Kühlsystems für einen gegebenen Arbeitsbetrag abgeführt werden kann, desto besser (effizienter) ist es. Mithilfe des 1. Hauptsatzes können wir folgern, dass gilt
|QL | + |W | = |QH | oder |W | = |QH | − |QL | und somit
LZ =
|QL |
|QL |
=
|W |
|QH | − |QL |
(20.9)
Für eine ideale Kältemaschine (eine perfekte kann es nicht geben) wäre die beste
mögliche Leistungszahl
TL
LZideal =
(20.10)
TH − TL
77
Eine Wärmepumpe ist eigentlich physikalisch dasselbe wie eine Kältemaschine oder eine Klimaanlage, nur interessiert man sich für das Heizen. Der Ausdruck
Wärmepumpe soll auch diesem Umstand gerecht werden (vgl. Abbildung 20.4).
Die Leistungszahl einer Wärmepumpe ist sinnvollerweise anders definiert als die-
Abbildung 20.4: Eine Wärmepumpe ”pumpt” Wärme von draussen (niedrige Temperatur)
ins warme Innere eines Hauses (höhere Temperatur)
jenige von Kältemaschinen, da ja hier |QH | die wichtige Grösse ist, da sie ins
Hausinnere geleitet wird. Somit gilt
LZ =
|QH |
|W |
(20.11)
und somit für die Leistungszahl einer Wärmepumpe
LZ =
TH
TH − TL
78
(20.12)
Kapitel 21
Ein kleine Einführung in die
Astronomie
21.1
Eigenschaften der Sterne
Ein Blick auf den Sternenhimmel offenbart uns nur einen ganz winzigen, zeitlichen
Auschnitt aus dem Leben der Sterne, die Lebensspannen haben von einigen Millionen Jahren. Trotzdem können wir heute, dank der Arbeit vieler Forscherinnen und
Forscher, einiges über die Sterne sagen. Z.B. wissen wir, dass die meisten Sterne etwa zu 3/4 aus Wasserstoff und zu 1/4 aus Helium bestehen, wie unsere Sonne. Nur
gerade etwa 2 Prozent schwerere Elemente als Helium sind in Sternen enthalten.
Im Folgenden geht es darum zu beschreiben, wie man in der Astronomie Kenntnisse über die Sterne und Sternansammlungen gewinnt. Als Haupteigenschaften der
Sterne ergeben sich: Leuchtkraft, Oberflächentemperatur und Masse.
21.2
Wie messen wir die Leuchtkraft von Sternen?
Die Leuchtkraft eines Sterns ist die von ihm gesamthaft abgegebene Leistung in
Watt. Wenn wir einen Stern beobachten, so messen wir die scheinbare Helligkeit,
welche definiert ist durch
scheinbare Helligkeit =
Leuchtkraft
4π · R2
(21.1)
wobei R der Radius der gedachten Kugel ist, die bis zur Erde reicht. Dies bedeutet,
dass die scheinbare Helligkeit mit dem Abstand im Quadrat abnimmt. Was ja auch
zu erwarten ist, wenn man sich vostellt, dass die gesamte vom Stern abgegebene
Leistung auf die Kugeloberfläche zu verteilen ist.
Wenn man nun mit einem Detektor (z.B. ein CCD ”charge coupled device”) die
scheinbare Helligkeit genau misst, so kann man bei bekanntem Abstand die Leuchtkraft berechnen. Weiss man von irgendwoher die Leuchtkraft, so kann man umgekehrt auch die Entfernung messen. Ein Problem stellt sich noch wegen allfälligem
79
interstellarem Staub, der die scheinbare Helligkeit heruntersetzen kann, da ein Teil
der Strahlung abgelenkt oder absorbiert wird. Auch ist die Kalibrierung nicht einfach, vor allem muss jeweils bei Teleskopen auf der Erde noch die absorbierende
Lufthülle einbezogen werden. Ausserdem ist kein Detektor im Stande, sämtliche
Wellenlängen aufzuzeichnen. Unser Auge z.B. ist nur im optischen Bereich empfindlich, kann somit weder Infrarot noch ultraviolette Photonen registrieren.
21.3
Entfernungsmessung anhand der Parallaxe
Wenn sich die Erde einmal pro Jahr um die Sonne dreht, so verschieben sich die
Sterne scheinbar in ihrer Position. Dieses Phänomen nennt man Parallaxe. Von
blossem Auge ist dies kaum zu erkennen, aber mit modernen Teleskopen können
so nähergelegene Sterne vermessen werden. Die Abweichungen sind allerdings im
Bereich von Bogensekunden. Anhand trigonometrischer Überlegungen, und dem
Umstand, dass für kleine Winkel sinα ' α gilt, folgt für die Entfernung eines
Sternes
1
d(inParsec) =
(21.2)
p(inBogensekunden)
Dabei ist die Einheit Parsec zusammengesetzt aus Parallaxe und sec für Sekunde.
Diese in der Astronomie viel gebrauchte Einheit kann in Lichtjahre (=Distanz, die
das Licht in einem Jahr zurücklegt) umgerechnet werden:
1pc = 3, 26LJ
21.4
Die Leuchtkraft der Sterne
Mithilfe der Parallaxe und der scheinbaren Helligkeitsmessung kann man nun Erkenntnisse über die Leuchtkraft von Sternen gewinnen. Dabei werden sie in Vielfachen der Sonnenleuchtkraft L angegeben. Aus den Resultate solcher Berechnungen erkennt man:
• Die Leuchtkraft der Sterne überdeckt einen weiten Bereich. Die schwächsten
Sterne haben eine Leuchtkraft von etwa 10−4 L , die hellsten etwa 106 L .
• Leuchtschwache Sterne kommen viel häufiger vor als helle Sterne.
21.5
Wie messen wir die Temperatur von Sternen?
Man kann die Oberflächentemperatur der Sterne entweder über die Farbe oder über
das Spektrum bestimmen. (Die Kerntemperatur ist nur über die Theorie zugänglich). Dabei hängt die Farbe nicht von der Entfernung ab.
80
Farbe und Temperatur
Die Farbe eines Sternes kann ganz direkt als Indikator für die Oberflächentemperatur genutzt werden. Z.B. ist ein roter Stern kühler als ein gelber Stern, der
wiederum ist kühler als ein blauer Stern. Wie man aus der Thermodynamik weiss,
ist die Wärmestrahlung nur von der Oberflächentemperatur abhängig, welche die
Strahlung abgibt. Anhand der Kurven des Planck’schen Strahlungsgesetzes kann
man mit der Messung von zwei oder drei ”Frequenzfenstern” die genaue Kurvenform bestimmen und damit auch eine Aussage über die hauptsächlich abgestrahlte
Wellenlängen machen. Dies wiederum ermöglicht eine genaue Bestimmung der
Oberflächentemperatur des Körpers.
Spektraltypen und Temperatur
Die Bestimmung der Farben der Sterne wird oft etwas verfälscht durch interstellaren Nebel, der z.B. ein Teil des Spektrums absorbiert, deswegen ist eine andere
Methode der Temperaturbestimmung oft viel besser. Wenn man das Spektrum eines Sternes aufnimmt, so sieht man charakteristische Spektrallinien. Bei Sternen
mit hochionisierten Elementen sieht man dies an den entsprechenden Spektrallinien. Wenn man hingegen Spektrallinien von Molekülen erkennen kann, so muss
der Stern eine tiefere Temperatur haben. Die Sterne werden anhand von Spektren
in Spektraltypen eingeteilt, gemäss dem Schema OBAFGKM, wobei O heissen
Sternen mit der blauesten Farbe zugeordnet wird. Die Klassen werden noch in Unterklassen unterteilt, z.B. B3. Wobei die Ziffern grösser werden mit abnehmender
Temperatur. Die Spannweite von Temperaturen ist nicht so gross wie die Spannweite bei den Leuchtstärken. Die Temperaturen reichen etwa von 3000 K (Spektraltyp M) bis zu 40000K (Typ O). Es gibt viel mehr kühle rote Sterne als heisse
blaue.
21.6
Wie messen wir die Masse von Sternen?
Mit dem 3. Keplerschen Gesetz kann man bei Doppelsternsystemen, bei bekannten
mittleren Radien der Umlaufbahnen und den Perioden, die Massen bestimmen.
Rund die Hälfte aller sichtbaren Sterne sind Mitglied eines Doppelsternsystems,
wobei auch Mehrfachsysteme als solche bezeichnet werden. Zuerst aber eine kleine
Übersicht über verschiedene Doppelsternsysteme:
• Ein Visuelles Doppelsternsystem ist ein Sternenpaar, welches man mit einem Teleskop auflösen kann, d.h. es ist möglich, die Sterne während ihres
Umlaufs zu beobachten. Manchmal ist ein Partner zu lichtschwach um ihn
zu sehen, trotzdem kann man anhand der Bewegung des anderen, sichtbaren
Partners, die gemeinsame Bewegung herausfinden.
• Bedeckungsveränderliche sind Sternenpaare, die ihre Bahnebene parallel zur
81
Sichtlinie haben. Auch wenn die einzelnen Sterne nicht einzeln auflösbar
sind, kann doch eine periodische Veränderung der scheinbaren Helligkeit
festgestellt werde. Diese stellt sich immer dann ein, wenn der eine Stern den
anderen beim Umlaufen überdeckt.
• Spektroskopische Doppelsterne sind Sternsysteme welche durch den optischen Dopplereffekt (Verschiebung der Spektrallinien) erfasst werden. Wenn
ein Stern einen anderen umkreist, so wird er sich immer periodisch einmal
auf uns zu und einmal von uns weg bewegen. Manchmal kann man auch zwei
sich verschiebende Spektren feststellen, d.h. man misst die Blau- respektive
Rotverschiebung beider Partner. Man spricht dann von einem spektroskopischen Doppelstern mit doppelten Linien.
21.7
Massenbestimmung bei Doppelsternsystemen
Um effektiv die Massen bei einem Doppelsternsystem zu bestimmen, braucht man
sowohl die Umlaufsperiode als auch den Abstand der Sterne. Nur in seltenen Fällen ist dieser Abstand direkt messbar. Die Perioden hingegen sind sehr gut messbar. Z.B. ist bei Bedeckungsveränderlichen einfach die Zeit zwischen zwei solchen
Intervallen zu messen. Für die Bestimmung des Abstandes lässt sich die Spektralverschiebung benützen mit denen man die Geschwindigkeiten ableiten kann.
Allerdings sind die Bahnen meistens nicht genau parallel zur Ebene der Sichtrichtung und man misst somit nicht die wirkliche Geschwindigkeit. Deshalb sind
Bedeckungsveränderliche äusserst hilfreich bei der Bestimmung der Massen der
Sterne, da sich ja ihre Bahnen parallel zur Ebene der Sichtrichtung befinden. Für
die Berechnung benötigt man das 3. Keplersche Gesetz in der Newtonschen Fassung:
4π 2
p2 =
· a3
(21.3)
G(M1 + M2 )
3
m
Wobei p die Periode, a der (mittlere) Radius der Umlaufsbahn, G = 6, 67·10−11 kgs
2
die Gravitationskonstante und M1 und M2 die Massen der beiden Sterne bedeutet.
Oft kennt man die relative Bahngeschwindigkeit des einen Sterns bezüglich des anderen durch Messung der Doppler-Verschiebungen. Wenn man noch als Näherung
Kreisbahnen annehmen kann, so kann man aus der bekannten Geschwindigkeit v
die grosse Halbachse (Radius der Kreisbahn) a bestimmen mit
v=
2πa
p
also
(21.4)
pv
2π
Mit 21.3 lässt sich nur die Summe (M1 + M2 ) der Massen bestimmen. Allerdings
kann man oft anhand der Dopplerverschiebungen indirekt die Massenverhältnisse
a=
82
(z.B 2:1) ablesen. Die Spannweiten von so gefundenen Sternenmassen belaufen
sich vom 0,08-Fachen der Sonnenmasse bis zu 150 MSonne .
21.8
Systematik von Sternen
Zwischen Oberflächentemperatur und Leuchtkraft besteht ein enger Zusammenhang, der durch die Arbeiten von Hertzsprung und Russell zu Beginn des 20.
Jahrhunderts herausgearbeitet wurde. Sie trugen in einem Diagramm auf der einen
Achse die Leuchtkraft der Sterne und auf der anderen Achse ihren Spektraltypen
auf. Die durch diese Darstellung entstandenen Muster trugen wesentlich zum Vertändnis der stellaren Lebenszyklen bei.
Das Hertzsprung- Russell-Diagramm, kurz HR-Diagramm
Im H-R-Diagramm nimmt auf der horizontzalen Achse von links nach rechts die
Oberflächentemperatur ab, nach der Spektralsequenz OBAFGKM. Auf der senk-
Abbildung 21.1: Ein H-R-Diagramm
83
rechten Achse nimmt nach oben die Leuchtkraft zu (angegeben in Vielfachen der
Sonnenleuchtkraft L ). Die Skala ist logarithmisch gewählt, da sie einen weiten
Bereich überspannt. Man kann damit sagen, dass z.B. die Sterne links oben ”heiss”
und ”sehr hell” sind, während die Sterne rechts unten ”nicht so heiss” und ”nicht
so hell” sind.
Das Diagramm liefert direkte Hinweise über die Sternradien, da die Leuchtkraft
eines Sterns sowohl von seiner Oberflächentemperatur als auch von der Grösse
seiner Oberfläche abhängt. Nach dem Gesetz von Stefan Boltzmann für die Wärmestrahlung (schwarzer Körper, d.h. e = 1 ) gilt
L = 4πr2 · σ T 4
(21.5)
Daraus lässt sich r berechnen zu
r
L
4πσ T 4
Haben zwei Sterne die gleiche Oberflächentemperatur, so kann der eine nur dann
leuchtkräftiger sein als der andere, wenn er einen grösseren Radius besitzt. Wenn
wir im H-R-Diagramm von links unten nach rechts oben gehen, müssen die Radien
somit anwachsen.
r=
Systematik im HR-Diagramm
• Die meisten Sterne befinden sich auf der Hauptreihe. Auch unsere Sonne ist
auf diesem diagonalen Band.
• Die Sterne oben rechts werden als Überriesen bezeichnet. Sie sind sehr hell
und auch sehr gross.
• Unterhalb der Überriesen befinden sich die Riesensterne. Sie sind etwas weniger leuchtstark und weniger gross, aber immer noch viel grösser als die
Sterne der Hauptreihe.
• Die Sterne unten links werden Weisse Zwerge genannt. Sie sind sehr klein
(etwa von der Gösse der Erde) aber aufgrund ihrer hohen Temperatur erscheinen sie weiss.
Leuchtklassen
Neben den 4 genannten Typen gibt es noch weitere ”Zwischenkategorien”. Deswegen hat man noch ein verfeinertes System der Leuchtklassen eingeführt.
Tabelle 1
I
II
III
IV
V
Leuchtklassen der Sterne
Überriesen
Helle Riesen
Riesen
Unterriesen
Hauptreihensterne
84
Dabei fallen die weissen Zwerge aus dieser Kategorie heraus. Sie werden stattdessen mit ”wd” für ”white dwarf” abgekürzt. Damit hat man nun eine vollständige
Sternklassifikation gefunden. Kennt man den Spektraltyp und die Leuchtklasse eines Sterns, so kann man ihn eindeutig klassifizieren. Beispielsweise lautet die vollständige Klassifizierung unserer Sonne G2V. Der Spektraltyp G2 besagt, dass ihre
Farbe gelbweiss ist und V bedeutet, dass sie ein Hauptreihenstern ist, der Wasserstoff verbrennt.
21.9
Welche Bedeutung hat die Hauptreihe?
Die meisten Sterne befinden sich auf der Hauptreihe. Sterne mit hoher Leuchtkraft haben auch eine hohe Oberflächentemperatur und befinden sich links oben.
Hauptreihensterne mit geringer Leuchtkraft sind ganz kühl. Dank der Bestimmung
der Massen von Doppelsternen waren die Astronomen in der Lage, einen Zusammenhang zwischen Masse und Position auf der Hauptreihe zu finden.
Massen der Hauptreihensterne
Die Sterne auf der Hauptreihe fusionieren alle Wasserstoff zu Helium. Die massereichen Sterne haben allerdings eine viel grössere Rate mit der sie fusionieren.
Offenbar hängt die Fusionsrate ganz entscheidend von der Masse ab. Wenn man die
Abbildung 21.1 anschaut, so sieht man, dass die Massen von links oben nach rechts
unten abnehmen. Ausserdem gibt es viel mehr Sterne am rechten unteren Teil der
Hauptreihe. Der Grund liegt darin, dass die massereichsten Sterne eine viel kürzere
Lebensdauer haben als solche mit wenig Masse. Dies scheint auf den ersten Blick
paradox zu sein. Doch wenn man beachtet, dass ein massereicher Stern eine viel
grössere ”Gegenkraft” zur Gravitationskraft über die Wärmebewegung im Kern,
d.h. über die Kernfusionsrate, aufbringen muss, wird schnell klar, dass der vermeintliche Vorteil des riesigen ”Brennstoffvorrates” an Wasserstoff letztlich dazu
führt, dass die Masse schneller verbraucht wird. Die erhöhte Kernfusionsrate führt
natürlich auch zu einer erhöhten Leuchtkraft, so dass z.B. ein Stern mit 10M etwa
10’000-mal leuchtkräftiger ist als die Sonne.
Der Zusammenhang zwischen der Oberflächentemperatur und der Masse ist
etwas schwieriger zu finden, denn ein leuchtstarker Stern kann entweder eine sehr
hohe Oberflächentemperatur aufweisen oder einfach sehr gross sein. Oder er kann
natürlich eine gewisse Kombination von beiden haben. Da man herausgefunden
hat, dass die massereichsten Sterne der Hauptreihe nur etwa den 10-fachen Sonnenradius haben, aber dabei etwa 10’000 mal leuchtkräftiger sind, kann man schliessen, dass Sterne der Hauptreihe, die massereicher sind als die Sonne, auch eine höhere Oberflächentemperatur haben und vice versa. Deswegen verläuft die Hauptreihe auch diagonal von links oben nach rechts unten. Kennt man von einem Stern der
Hauptreihe also z.B. seinen Spektraltyp, so kennt man auch etwa seine Masse und
seine Leuchtkraft.
85
Lebensdauern der Hauptreihensterne
Jeder Stern hat eine begrenzte Menge an Wasserstoff zur Verfügung, den er zu Helium fusionieren kann. Er kann daher nur eine begrenzte Zeit auf der Hauptreihe
verweilen. Da die meisten Sterne aber den grössten Teil ihres Lebens auf derselben
verbringen, nennt man diese Verweildauer auf der Hauptreihe auch ganz einfach
”Lebenszeit”.
Nochmals zur Erinnerung: ein Stern, der eine 10-fache Sonnenmasse aufweist,
1
gleichzeitig aber eine 10’000-fache Leuchtkraft hat, hat nur etwa 1000
der Lebensdauer der Sonne. Da unsere Sonne etwa 10 Milliarden Jahre Lebensdauer hat,
entspräche dies nur gerade 10 Millionen Jahre. Umgekehrt hat ein Stern mit 0,3
Sonnenmassen und 0,01-facher Leuchtkraft eine etwa 30 mal längere Lebensdauer, also ca. 300 Milliarden Jahre.
Abschliessend lässt sich sagen, dass man die Masse der Sterne die grundlegendste
Eigenschaft der Sterne nennen kann, da sie die Verweildauer auf der Hauptreihe
bestimmt.
21.10
Riesen, Überriesen und weisse Zwerge
Sterne, die ihren Brennstoff weitgehend aufgebraucht haben, werden zu roten Riesen oder Überriesen. Diese Sterne haben gewissermassen eine ”Energiekrise” und
sie verbrennen mit unglaublicher Intensität ihren letzten Brennstoff um dem drohenden Gravitationskollaps zu entgehen. Dies erklärt ihre enorme Leuchtkraft. Andererseits sind sie nicht sehr heiss, was bedeutet, dass sie eine riesige Oberfläche
haben. Sie blähen sich auf. Beteigeuze, ein Überrise, hat z.B. etwa den 500-fachen
Sonnenradius! Viele der hellsten Sterne am Himmel sind Überriesen, die oft an
ihrer rötlichen Farbe zu erkennen sind.
Weisse Zwerge sind die nächste Station für alternde Sterne. Sie haben allen
Kernbrennstoff aufgebraucht, die Fusion ist vollständig erloschen. Die äussere Hülle des Sterns wird abgeworfen und zurück bleibt nur noch ein sehr dichter und
heisser freiliegender Kern, welcher aber nur noch seine Restwärme abstrahlt. Typischerweise sind weisse Zwerge kaum grösser als die Erde, haben aber durchaus
soviel Masse wie die Sonne.
21.11
Pulsationsveränderliche
Einige Sterne haben ein Problem mit der Abstrahlung ihrer Energie. Zum Beispiel
kann die Oberfläche zuwenig durchlässig bzw. undurchsichtig sein (opak) für die
Strahlung. Daher blähen sich diese Sterne auf, bis die Oberfläche genug durchlässig wird, worauf dann der innere ”Überdruck” wieder zurückgebildet werden
kann. Dies führt zu einer periodischen Schwankung der Leuchtkraft, wobei diese
86
Perioden variieren im Bereich von Stunden bis hin zu Jahren. Die meisten dieser Veränderlichen befinden sich im HR-Diagramm in einem Gebiet zwischen der
Hauptreihe und den roten Riesen. Eine speziell leuchtkräftige Variante dieser Veränderlichen, die Cepheiden, beinden sich im oberen Teil dieses Gebiets. Die Cepheiden sind wichtig geworden bei der Entfernungsmessungen von Galaxien, da
sie einerseits sehr hell sind und andererseits ihre Pulsationsfrequenz sehr eng mit
der Leuchtkraft verknüpft ist. Sie ermöglichten massgeblich die Grösse unseres
Kosmos zu enthüllen!
21.12
Sternhaufen
Sterne entstehen in riesigen Gaswolken. Da es jeweils genügend Materie hat, entstehen viele Sterne in Gruppen oder sogenannten Sternhaufen. Diese eignen sich
deshalb gut für Untersuchungen an Sternen.
• Alle Sterne in einem Sternhaufen haben praktisch die gleiche Entfernung zur
Erde
• Alle Sterne eines Sternhaufens sind praktisch gleichzeitig entstanden (innerhalb weniger Millionen Jahre)
Es gibt zwei grundlegende Arten von Sternhaufen: mittelgrosse offene Sternhaufen
und dicht gepackte Kugelsternhaufen. Diese zwei Arten unterscheiden sich hauptsächlich durch ihr Alter und ihren Aufenthaltsort. Die offenen Sternhaufen sind
überwiegend jung und befinden sich meist im Innern einer galaktischen Scheibe
wie z.B. unserer Milchstrasse. Die bekanntesten Sternhaufen sind die Plejaden,
eine auffällige Gruppe von Sternen im Sternbild Stier (vgl. Abbildung 21.2). Die
Abbildung 21.2: Die Plejaden, ein junger (ca. 100 Mio. Jahre alt), nahegelegener offener
Sternhaufen im Sternbild Stier.
Kugelsternhaufen andererseits sind meist im Halo, d.h. unterhalb oder oberhalb
87
der galaktischen Scheibe zu finden. Diese Kugelsternhaufen gehören interessanterweise zu den ältesten Sternen des ganzen Universums. Ein Kugelsternhaufen kann
über eine Million Sterne enthalten in der Form einer Kugel von ca. 60 bis 150
Lichtjahren Durchmesser. Die Sterne in einem solchen Kugelsternhaufen vollführen einen z.T. recht komplizierten Tanz ums gravitative Zentrum, der zeitweise zu
einer Schwingung vom Rand bis zum Zentrum des Haufen führt. Einigen Sternen
gelingt es auch, mit der Zeit aus dem Kugelhaufen zu entkommen. So verlieren
diese Gebilde allmählich auch ihre Sterne.
21.13
Wie misst man das Alter von Sternhaufen?
Wenn man die Sterne eines Sternhaufens in ein HR-Diagramm überträgt, fällt
auf, dass sich jeweils ein sogenannter Abknickpunkt bestimmen lässt (s. Abbildung 21.3). Das heisst, die meisten Sterne befinden sich auf der Hauptreihe, da sie
Abbildung 21.3: Das HR-Diagramm für die Sterne des Kugelsternhaufens M4.
Wasserstoff fusionieren. Ab einer gewissen Stelle aber gibt es einen Knick, d.h.
ab da sind die Sterne dann oberhalb der Hauptreihe. Die Verweildauer der letzten Sterne der Hauptreihe vor dem Knick entspricht also gerade etwa dem Alter
des Sternhaufens, sind doch alle, die eine kürzere Lebensdauer haben, bereits nicht
mehr auf der Hauptreihe. In vielen Millionen Jahren wird die Anzahl der Sterne
auf der Hauptreihe also immer kleiner. Die Bestimmung des Abknickpunktes ist
also die wichtigste Methode, um das Alter von Sternhaufen zu bestimmen.
Auf diese Weise (und mit theoretischen Betrachtungen) wurde festgestellt, dass
Kugelsternhaufen älter als 13 Milliarden Jahre alt sind und somit zu den ältesten
88
Objekten des Universums zählen, während offene Sternhaufen relativ jung sind,
d.h. nur wenige von ihnen älter als 5 Milliarden Jahre sind.
89
Kapitel 22
Entropie
22.1
Reversible und irreversible Vorgänge
Im Gegensatz zur Mechanik können thermische Vorgänge nur in eine Richtung ablaufen. Ein auf dem Boden zersprungenes Glas wurde nie dabei beobachtet, dass
es sich selbst wieder zusammensetzt, auf den Tisch springt und dabei die Umgebung abkühlt. Der zweite Hauptsatz regelt diesen Befund. In der Mechanik treten
nur reversible Prozesse auf, in der Wärmelehre hingegen gibt es auch irreversible. Zur mathematischen Beschreibung irreversibler Vorgänge hat Rudolf Clausius
1865 eine neue physikalische Grösse eingeführt; die Entropie (in Anlehnung an
das griechische Wort für Veränderung). Betrachten wir ein einfaches Beispiel: Ein
ideales Gas befindet sich in der linken Hälfte eines durch eine Wand geteilten Behälters. Entfernt man die Wand, so verteilt sich das Gas gleichmässig (Expansion
ins Vakuum). Obwohl das Gas hierbei keine Arbeit verrichtet und sich somit auch
die Temperatur nicht ändert, handelt es sich um einen irreversiblen Vorgang, denn
es ist sehr unwahrscheinlich, dass sich irgendwann wieder alle Gasteilchen auf der
linken Seite befinden. Dies kann man nach Ludwig Boltzmann folgendermassen
veranschaulichen: Nehmen wir an, wir schauen jede Sekunde nach, wo sich die
Teilchen befinden. Zuerst haben wir nur ein einzelnes. Da ist die Wahrscheinlichkeit es nach einer Sekunde links anzutreffen 50%. Bei zwei Teilchen halbiert sich
der Wert, d.h. wir müssen im Schnitt 22 Sekunden warten, bis wir wieder beide
in der linken Hälfte haben. Bei N Teilchen beträgt diese Zeit also 2N Sekunden.
Nehmen wir an, wir hätten ein Mol Teilchen. Dann wäre also im Mittel 26,023 · 1023
Sekunden zu warten. Diese Zahl ist so unvorstellbar gross (man benötigte einen
Papierstreifen der rund um unsere Galaxie reichen würde um sie aufzuschreiben),
dass wir sagen können, die Umkehr irreversibler Vorgänge ist nicht möglich, da extrem unwahrscheinlich. Man kann allerdings ein Gas auch reversibel auf das doppelte Volumen bringen, indem man die Zustansänderung sehr langsam ausführt.
90
22.2
Entropie und Information
In der Thermodynamik hat man es immer mit sehr vielen Teilchen zu tun, z.B. mit
6, 023 · 1023 . Da hat man keine Chance, die Positionen und die Geschwindigkeiten
sämtlicher Gasteilchen zu kennen. Was wir aber z.B. beim obigen Beispiel wissen,
ist die Anfangssituation: alle Gasteilchen befinden sich in der linken Hälfte. Nach
dem Öffnen geht diese Information verloren.
Man bedient sich nun bei einem Konzept aus der Informatik. Man sagt, für
jedes Teilchen gilt entweder, es befindet sich links, oder es befindet sich rechts.
Man nennt eine solche Information ein bit. Wenn nun die Schleuse geöffnet wird,
gehen bei N Teilchen N bit an Information verloren. Wir können nun die Entropie
folgendermassen definieren: Die Entropie S eines thermischen Systems ist gegeben
durch S = 0, 7 · k · (fehlende Information über das System, gemessen in bit). Dabei
ist k die Boltzmannkonstante. Der Faktor 0, 7 wird weiter unten erklärt.
22.3
Eigenschaften der Entropie
Bei irreversiblen Vorgängen steigt also die Entropie an wegen des Informationsverlusts. Beispielsweise ist bei unserem Gas die Zunahme ∆S = 0, 7kN. Da die
Information nicht von selbst zunimmt, kann die Entropie eines abgeschlossenen
Systems niemals kleiner werden. Bei reversiblen Vorgängen ändert sich daher die
Entropie in einem abgeschlossen System nicht.
Betrachten wir nun den reversiblen Vorgang der isothermen Expansion eines
Gases zum doppelten Volumen. Da sich das Volumen auch hier verdoppelt, muss
die Entropie auch um 0, 7kN zunehmen. Dieses System steht aber im Kontakt zu
einem Wärmereservoir, welches während der Expansion Wärme ans Gas abgab.
Da die Entropie im abgeschlossenen System konstant bleiben muss, hat dabei wohl
die Entropie des Wärmereservoirs abgenommen. Daher kann man den folgenden
Sachverhalt vermuten:
∆Q
∆S =
(22.1)
T
Dass dies äquivalent zur obigen Definition ist, soll nun gezeigt werden.
Bei der reversiblen isothermen Expansion des Gases im Wärmebad gilt ∆Q =
∆W . Dabei lässt sich die Arbeit aus dem pV - Diagramm berechnen.
∆W = −
Z
(22.2)
pdV
Mit pV = nRT folgt
∆W = −
Z V0 /2
nRT
V0
V
dV = −nRT
Z V0 /2
1
V0
V
dV = −nRT ln
Also folgt
∆W = −nRT ln
1
= nRT ln (2)
2
91
V0 /2
V0
Dabei ist ln (2) ≈ 0, 7. Somit haben wir also gezeigt, dass
∆Q = ∆W = 0, 7kNT
(22.3)
Wenn man nun 0, 7kN als S schreibt, folgt schlussendlich
∆Q = S · T
(22.4)
Also
∆Q
(22.5)
T
Durch Wärmezufuhr erfolgt also gleichzeitig eine Entropiezunahme. Dies liegt eigentlich auf der Hand, bedeutet doch eine Wärmezufuhr auch eine Erhöhung der
thermischen Bewegung.
Die Zunahme der Entropie beschreibt den unwiderruflichen Ablauf des Geschehens der Welt.
S=
92
Kapitel 23
Elektrizitätslehre
23.1
Der Gleichstrom
Was ist elektrischer Strom?
Strom = bewegt Ladung (Elektronen, Ionen)
Einheit der Elektrizitätsmenge (Ladung) Q: 1C (Coulomb)
Elementarladung: e = 1, 602 · 10−19 C
Q = n · e wobei n ∈ Ž
Bsp. Metalle: Die äusseren Elektronen sind (fast) frei beweglich (Leitungselektronen) und stossen bei ihrer Bewegung durch den Draht mit den Atomrümpfen und
den anderen Elektronen zusammen. Man nennt dieses (klassische) Modell auch
”Modell des freien Elektronengases”.
Abbildung 23.1: Bewegung der Elektronen (kleine Punkte) durch einen Draht
23.2
Die elektrische Stromstärke
Definition: mittlere elektrische Stromstärke
∆Q
I=
∆t
93
(23.1)
Die Stromstärke ist also definiert durch die Ladung ∆Q welche in einem Zeitintervall ∆t durch einen gedachten Leiterquerschnitt fliesst. Schaut man das Ganze
infinitesimal an, so ergibt sich die momentane Stromstärke
dQ
I=
= Q̇
(23.2)
dt
Einheit: [I] =
[Q]
[t]
= C/s = 1 A (Ampère)
Def.: technische Stromrichtung: + → −
Bei Metallen gilt: Die Elektronen fliessen in die dem technischen Strom entgegengesetzte Richtung. Man wusste damals als man dies definierte noch nicht, dass sich
negativ geladene Elektronen bewegen im Draht.
Messung der elektrischen Stromstärke
Um die Stromstärke zu messen, muss das Messgerät innerhalb des elektrischen
Stromkreises angebracht werden. Um den Stromfluss nicht zu verändern, muss das
Strommessgerät (Ampèremeter) einen möglichst geringen Widerstand haben.
23.3
Leiter und Isolatoren
Nicht alle Stoffe leiten den Strom gleich gut.
Leiter: Metalle, Kohle, Säure, Basen
Nichtleiter (Isolatoren): Gummi, Plastik, Luft,Öl, Glas
23.4
Die elektrische Spannung
Stromquelle ”treibt”Ladung Q durch den Stromkreis: Elektrische Spannung U
Starker Antrieb (Ugross): Ladung Q verrichtet viel Arbeit
Schwacher Antrieb (U klein): Ladung Q verrichtet wenig Arbeit
Definition:
verrichteteArbeit
verschobeneLadung
W
U=
Q
elektrischeSpannung =
Einheit:
[U] =
(23.3)
[W ]
J
= = 1V(Volt)
[Q]
C
Messung der Spannung:
Um die elektrische Spannung U zu messen, muss das Spannungsmessgerät (Voltmeter) zwischen zwei Punkten über dem interessierenden Bereich angehängt werden. Dadurch misst es dann den Spannungsabfall über dem zu prüfenden Bereich
94
(z.B. über einer Glühlampe). Damit der Stromfluss durch die Messung möglichst
wenig beeinflusst wird, muss das Spannungsmessgerät einen möglichst grossen
Widerstand besitzen.
23.5
Der elektrische Stromkreis
Ein einfacher Stromkreis besteht aus folgenden Elementen: Spannungsquelle (Batterie, Steckdose), Leiter, Verbraucher (Lampe, PC, Staubsauger...)
Abbildung 23.2: Einfacher Stromkreis mit Schalter und Verbraucher
Abbildung 23.3: Eine Reihe von weiteren gebräuchlichen Symbolen für elektronische Teile
23.6
Die Geschwindigkeit der Elektronen im Draht
Wir schätzen ab: mittlere Geschwindigkeit v̄ der Elektronen. Durch den Leitungsquerschnitt mit der Fläche A werden pro Zeit ∆t all diejenigen e− hindurchtreten,
95
die nicht weiter als v̄ · ∆t vom betrachteten Querschnitt entfernt sind.
→ Zylinder mit Volumen V = A · v̄ · ∆t
⇒ Insgesamt sind darin n · A · v̄ · ∆t Elektronen enthalten
(n = ] frei beweglicher Elektronen pro m3 )
∆Q = e · n · A · v̄ · ∆t = I · ∆t
d.h.
I = e · n · A · v̄
Bsp. : Aluminiumdraht mit Querschnitt A = 1mm2 , I = 1 A
⇒Jedes Alu-Atom gibt ein frei bewegliches Elektron an das Elektronengas ab. Daher ist n auch gleich der Anzahl Atome pro m−3 . → n = 6 · 1028 m3 (Abschätzung)
I = (1, 6 · 10−19 C)(6 · 1028 m−3 )(10−6 m2 )v̄ = 1A = 1C/s
⇒ v̄ ≈ 10−4 m/s ≈ 36cm/h
Wobei ρAlu = 2, 7 · 103 kg/m3 ; Al26,9 (units); 1 mol = 6, 002 · 1023 Teilchen
23.7
Das Ohmsche Gesetz
In einem metallischen Leiter ist bei konstanter Temperatur die Stromstärke I proportional zur angelegten Spannung U.
I ∝U →
U
= konstant
I
Also
U = R·I
Definition:
R=
U
I
[R] =
elektrischerWiderstand
[U]
= V/A = Ω(Ohm)
[I]
Bemerkung: R ist abhängig vom Leiter (Geometrie, Material, Temperatur)
Vgl. Labor: Glühlampe vs. Ohmscher Leiter (Chrom-Nickel Drahtwendel)
96
(23.4)
Abbildung 23.4: Eine Anzahl zufliessender und abfliessender Ströme an einem Knotenpunkt.
23.8
Zusammengesetzte Stromkreise
Das 1. Kirchhoffsche Gesetz (Knotenregel)
Die Gesamtstromstärke ist bei einer Verzweigung gleich der Summe der Einzelstromstärken.
P: Stromverzweigung (Knotenpunkt)
n
∑ Ik = 0
k=1
Zufliessende Ströme > 0
Wegfliessende Ströme < 0
→In jeder Stromverzweigung ist die Summe aller Ströme, gerechnet mit obigen
Vorzeichen, gleich Null.
Das 2. Kirchhoffsche Gesetz
Zwischen zwei Verzweigungspunkten liegt an allen Widerständen die gleiche Spannung.
Regeln für Parallel- und Serieschaltung
Bei der Serieschaltung werden die einzelnen Widerstände zum Gesamtwiderstand
Rges addiert:
Rges = R1 + R2
(23.5)
Bei mehreren Widerständen wird sinngemäss addiert. Dies folgt aus dem beiden
Kirhoffschen Sätzen und dem Ohmschen Gesetz. Die Gesamtspannung U, die an
den Widerständen liegt, setzt sich additiv aus den zwei Teilspannungen U1 und U2
zusammen. Daher gilt:
U = U1 +U2
und
I = I1 = I2
97
Da für jeden Widerstand das Ohmsche Gesetz gilt:
U1 = R1 I
U2 = R2 I
folgt insgesamt
U = U1 +U2 = I(R1 + R2 ) = IRges
Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand gegeben durch:
1
1
1
=
+
Rges R1 R2
(23.6)
Bei weiteren parallelen Widerständen wird sinngemäss addiert. Auch dies folgt aus
den Kirchhoffschen Sätzen. Da die Spannungen über den einzelnen Zweigen gleich
sind, gilt
U
U
I2 =
I1 =
R1
R2
und folglich für den Gesamtstrom:
I = I1 + I2 = U(
23.9
1
1
1
+ )=U
R1 R2
Rges
Anwendung: Spezifischer Widerstand
Die Rechenregeln für die Serie- sowie die Parallelschaltung von Widerständen
führt direkt zu einer heuristischen Herleitung des spezifischen Widerstandes ρ.
Nehmen wir einen Draht der Länge l und Querschnittsfläche A. Wenn wir uns den
Draht in einzelne Stücke gleicher Länge zerteilt denken, so ist das äquivalent zu
einer Serieanordnung von einzelnen Widerständen Ri . Somit muss der Gesamtwiderstand R proportional zu l sein. Wenn wir uns weiter die Querschnittsfläche in
einzelne dünnere Drähte aufgeteilt denken, so muss R proportional zu A sein, da
die Widerstände in diesem Fall parallel angeordnet wären. Zusammengesetz folgt,
dass R proportional zu l/A sein muss. In Formeln:
R=ρ
l
A
(23.7)
Wobei die Proportionalitätskonstante ρ spezifischer Widerstand genannt wird. (ρ
ist eine Materialkonstante, die Temperaturabhängig ist)
Die Einheit von ρ: [ρ] = Ω · m
2
2
In Tabellen findet man oft als Einheit 1Ω mm
m falls A in mm angegeben ist.
23.10
Elektrische Arbeit und Leistung bei Gleichstrom
Zur Erinnerung die Spannungsdefinition:
U=
W
Q
98
Daraus folgt:
W = Q ·U = U · I · t
(23.8)
(bei konstantem Gleichstrom)
Diese elektrische Arbeit bzw. Energie wird oft ”Joule’sche Wärme” genannt. Es ist
die elektrische Energie, die in einem elektrischen Bauteil in Wärme umgewandelt
wird. [W ] = J = VC = VAs
W
P=
=U ·I
(23.9)
t
[P] = J/s = W = VA
U2
P = U · I = I2 · R =
(23.10)
R
99
Kapitel 24
Elektrostatik
24.1
Ladungen und elektrische Felder: ein paar Grundtatsachen
Die elektrische Ladung ist eine wesentliche Eigenschaft der Materie. Die Ladung
Q wird in der Einheit Coulomb gemessen: [Q] = 1C. Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806), ein Ingenieuroffizier, war bis zum Alter von 40 Jahren verantwortlich für die Überwachung französischer Befestigungsanlagen. Dann wurde er
Forscher auf verschiedenen Gebieten.
Es folgt nun eine Auflistung einiger Grundtatsachen:
• Es gibt zwei Ladungsarten: + und −
Elementarladung: ±1, 602 · 10−19 C
(für Elektron: −1, 602 · 10−19 C; für Proton: +1, 602 · 10−19 C)
• Die elektrische Ladung ist eine Erhaltungsgrösse. Ladungen können nur getrennt werden. Sie können weder erzeugt noch vernichtet werden.
• In Nichtleitern (Isolatoren) gibt es keine beweglichen Ladungsträger.
• In Leitern sind die Ladungsträger frei beweglich (Leitungselektronen).
• In elektrisch neutralen Körpern sind gleich viele Protonen wie Elektronen
vorhanden.
• Negative geladene Körper haben einen Elektronenüberschuss, positiv geladene Körper einen Elektronenmangel.
• Gleichnamig Ladungen stossen einander ab, ungleichnamige ziehen sich an.
Der Wirkungsbereich eines geladenen K2orpers ist sein elektrisches Feld.
• Influenz = Änderung der Ladungsverteilung auf einem Körper durch Annäherung eines geladenen Körpers.
Nähert z.B. einen positiv geladenen Stab einer Metallkugel, so werden sich
100
die Elektronen auf die Seite der Kugel verschieben, von welcher man sich
nähert. Bei einem Isolator können sich zwar keine Ladungen verschieben,
allerdings können sich eventuell Moleküle drehen bzw. sich dehnen, was zu
einer gewissen elektrischen Polarisierung des Isolators führen kann.
24.2
Das Coulomb’sche Gesetz
Coulomb hat im 18. Jahrhundert die Kraft zwischen zwei geladenen Körpern untersucht. Er tat dies mit einer sogenannten Drehwaage (s. Abbildung 24.2). Mit
dieser Apparatur kann man die Kräfte, die zwischen zwei geladenen Kugeln wirken messen. Dies geschieht über die Ablenkung eines Lichtstrahls, der auf einen
fixierten Spiegel des Torsionsfadens gerichtet ist. Die Ablenkung des Lichtstrahls
wird als direkt proportional zur Kraft angenommen. Coulomb fand, dass zwei La-
Abbildung 24.1: Experimentieraufbau: Drehwaage nach Coulomb
dungen eine Kraft aufeinander ausüben, welche einerseits von den Beträgen der
einzelnen Ladungen Q1 und Q2 abhängt und andererseits von deren Abstand r. Sie
ist nämlich proportional zu den Ladungen und umgekehrt proportional zu deren
Abstand. Mathematisch ausgedrückt lautet das Coulomb’sche Gesetz:
F=
1 |Q1 · Q2 |
4πε0
r2
Coulombkraft
(24.1)
wobei
C2
Elektrische Feldkonstante
N·m
Bemerkung: Elektrische Kräfte beeinflussen sich gegenseitig nicht.
ε0 = 8, 85 · 10−12
24.3
Die elektrische Feldstärke E
Die Idee des elektrischen Feldes geht auf Michael Faraday (1791-1867) zurück
. Eine Ladung verändert den sie umgebenden Raum. Jede elektrische Ladung ist
101
von einem elektrischen Feld umgeben (elektrostatisches Feld). Um die Stärke des
elektrischen Feldes zu messen, muss eine (winzige!) Testladung q ins Feld der zu
untersuchenden Ladung gebracht werden. Die Kraft, welche zwischen der Ladung
Q und der Testladung q wirkt, kann gemessen werden:
F=
1 |Q · q|
4πε0 r2
Aus der gemessenen Coulombkraft F soll eine Grösse gewonnen werden, die nicht
abhängt von der Testladung q. Dies erreicht man, indem man die Coulombkraft
durch q dividiert. Da die Kraft eine Richtung besitzt, besitzt auch das Feld E eine
Richtung.
Definition:
F
E=
Elektrische Feldstärke
(24.2)
q
[E] =
[F]
N
=1
[q]
C
Die Kraft auf eine beliebige Ladung q im elektrischen Feld beträgt somit
F = q·E
(24.3)
Die elektrische Kraft wirkt auf alle Ladungen. Jedem Punkt des Raumes wird eindeutig ein Vektor zugeordet. Dies ist die Definition eines sogenanntes Vektorfeldes.
Das Vektorfeld kann durch elektrische Feldlinien dargestellt werden. Ein elektri-
Abbildung 24.2: Elektrische Feldlinien. Die Tangentenrichtung ist gleich der Richtung von
E, die Dichte der Feldlinien entspricht der Stärke des Feldes.
sches Feld besitzt die folgenden Eigenschaften:
• Die elektrischen Feldlinien zeigen die Richtung des lektrischen Feldes an,
welche auf eine positive Ladung wirkt.
• Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf geladenen Leiteroberflächen.
102
• Die elektrischen Feldlinien entspringen definitionsgemäss den positiven Ladungen und enden in negativen Ladungen. Sie sind dabei radial von positiven
Ladungen weg gerichtet und radial zu negativen Ladungen hin gerichtet.
• Die Anzahl der aus einer positiven Ladung entspringenden, bzw. der in einer
negativen Ladung endenden Feldlinien ist der jeweiligen Ladung proportional.
• Die Flächendichte der elektrischen Feldlinien ist ein Mass für die Stärke des
elektrischen Feldes E bzw. der elektrischen Kraft F.
• Elektrische Feldlinien kreuzen sich nie.
• Im Innern eines Leiters ist die elektrische Feldstärke Null. D.h. im Innern
gibt es keine Feldlinien. Daraus folgt, dass sich alle Überschüssigen Ladungen auf der Oberfläche befinden müssen. (vgl. Faraday’scher Käfig)
• Elektrische Feldlinien sind nur Hilfsmittel um ein elektrisches Feld darzustellen und sind nicht wirklich ”vorhanden”. Allerdings sind die Felder ”an
sich” existent.
Beispiele:
• Radiales Feld
Als radiales Feld bezeichnet man das Feld einer Punktladung (s. Abb. 24.3).
Abbildung 24.3: Radiales Feld von Punktladungen. Die elektrischen Feldlinien zeigen in
die Richtung, in die eine positive Probeladung sich beschleunigen w¨urde.
• Feld einer geladenen Platte
Wie gross ist die Feldst¨arke an der Plattenoberfl¨ache? Die Feldliniendichte ist jedenfalls proportional zu E.
AnzahlFeldlinien
= k·E
Fläche
Anzahl Feldlinien (total):
k · E · 2A
A : Plattenfläche
103
Abbildung 24.4: Das Feld einer geladenen Platte. Von weitem sieht es aus wie das Feld
einer Kugelladung. .
Von sehr weit weg sieht das Feld der Platte dem einer Punktladung ähnlich
(s. Abb. 24.4). Die Kugeloberfläche beträgt
4πr2 .
Die Feldstärke E beträgt
E=
1 Q
4πε0 r2
Die Anzahl Feldlinien betr¨agt demnach
AnzahlFeldlinien = k ·
1 Q
· 4πr2
4πε0 r2
Damit bekommt man für die Feldstärke einer Platte mit der Ladung Q und
der Fläche A
Q
E=
(24.4)
2ε0 A
24.4
Die elektrische Energie
Bei der Verschiebung einer elektrischen Ladung in Richtung oder entgegen der
Richtung eines elektrischen Feldes wird Arbeit verrichtet. Wie in der Mechanik
wird die Arbeit definiert als W = F · d (Arbeit ist gleich Kraft mal Weg). Mit F =
q · E erhalten wir
W = qE · d
(24.5)
Allgemein gilt W = q ·U. Für die Spannung gilt dann
U=
W
= E ·d
q
104
(24.6)
Da nur Potenzialdifferenzen messbar sind, ordnet man dem Erdboden das Potenzial
Null zu. Bemerkungen:
• Nur bei Verschiebungen entlang der Feldlinien wird Arbeit verrichtet. Die
potenzielle Energie ändert sich dann.
• Flächen gleicher potenzieller Energie heissen Aquipotenzialflächen. Bei einer Verschiebung entlang einer Äquipotenzialfläche wird keine Arbeit verrichtet. Die Aquipotenzialflächen stehen senkrecht auf den Feldlinien.
• Der Unterschied zwischen zwei Aquipotenzialfl¨achen wird als Potenzialdifferenz durch die Spannung angegeben.
• Die Einheit der elektrischen Ladung 1 C (Coulomb) ist jene Ladung, die
beim Fliessen über die Spannung 1 V (Druckdifferenz) die Energie 1 J (Joule)
freisetzt.
• Wegen E = U/d ist die Einheit für die Feldstärke V/m.
24.5
Der Plattenkondensator
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen Platten, die
sich gegenüberstehen. Eine externe Spannungsquelle (z.B. eine Batterie) bewirkt
die entgegengesetzte Aufladung der Platten: eine Platte wird mit der Ladung +Q
geladen, die andere mit der Ladung ,−Q. Die Gesamtladung des Kondensators ist
gleich Null, er ist insgesamt elektrisch neutral. Kondensatoren sind wichtige Bauelemente in Elektrogeräten. Sie dienen zur Ladungsspeicherung. Jede der beiden
Platten besitzt (s. oben) in der Nähe das Feld
E=
Q
2ε0 A
Die Felder der beiden Paltten überlagern sich. Im Aussenraum des Kondensators
sind die Felder einander entgegengesetzt gerichtet und heben sich auf. Im Innenraum sind die Felder gleichgerichtet und addieren sich (s. Abb. 24.5). Die Feldstärke im Innern beträgt daher
E=
Q
Q
Q
+
=
2ε0 A 2ε0 A ε0 A
Das Feld im Innern des Kondensators ist homogen. Tragen die Platten mit Fläche A eines Kondensators die Ladungen +Q und −Q, so herrscht im Innern die
elektrische Feldstärke
Q
E=
,
(24.7)
ε0 A
105
Abbildung 24.5: Plattenkondensator. Im Innern herrscht ein homogenes Feld.
wobeiε0 = 8, 85 · 10−12 C2 /Nm2 . Der Aussenraum ist Feldfrei. (Von Randeffekten
sehen wir ab.) Die Feldstärke hängt also nicht vom Plattenabstand ab! Zwischen
den Kondensatorplatten (getrennte Ladungen!) herrscht die Spannung
U = E ·d =
Q
·d
ε0 A
(24.8)
d : Abstand der Kondensatorplatten. Für die in einem Kondensator gespeicherte
Ladung Q gilt also:
A
Q = ε0 · ·U.
(24.9)
d
Da die im Kondensator gespeicherte Ladung Q der Spannung U zwischen den Platten proportional ist, definiert man die Kapazität als Fähigkeit eines Kondensators,
elektrische Ladung Q zu speichern. Die Kapazität C eines Kondensators sagt aus,
wie viel Ladung pro angelegte Spannung U im Kondensator gespeichert werden
kann
Q ε0 A
C= =
(24.10)
U
d
Die Einheit der Kapazität heisst Farad: [C]=1F =1 C/V. Die Kapazität ist proportional zur Plattenfläche A und umgekehrt proportional zum Plattenabstand d. Um
bei einer vorgegebenen Spannung U in einem Kondensator möglichst viel Ladung
zu speichern, muss seine elektrische Kapazität entsprechend gross sein. Dies lässt
sich durch grosse Plattenflächen und/oder einen kleinen Plattenabstand erreichen.
24.6
Die Energie des geladenen Kondensators
Welche Arbeit wird verrichtet beim Laden eines Kondensators? Wir stellen uns
vor, der Kondensator sei am Anfang ungeladen und er werde mit einer Portion ∆Q
aufgeladen. WegenU = W /∆Q gilt W = ∆QU. Aber wegen Q = C ·U ist die Spannung proportional zur Ladung Q. Das heisst, die Spannung steigt mit steigender
106
Ladung. Annäherungsweise gilt für die Arbeit beim Laden:
W0 = 0,
W1 = ∆Q ·U1 ,
W2 = ∆Q ·U2 ,
...
also
W = W1 +W2 +W3 + ...
Der genau Wert der Arbeit ist gegeben durch die Fläche unter der Kurve, d.h. durch
ein Integral.
1
1
W = QU = CU 2
(24.11)
2
2
Diese Energie steckt im elektrischen Feld. Sie wird in sehr kurzer Zeit frei beim
Entladen des Kondensators. → grosse Leistung! Anwendung: Blitzlicht
24.7
Isolatoren im elektrischen Feld
Wie kann die Kapazität eines Kondensators vergrössert werden? Im Isolator sind
keine frei verschiebbaren Ladungen vorhanden. Dennoch haben auch Isolatoren
Einfluss auf elektrostatische Felder. Bei manchen Stoffen, wie z.B. Wasser, weisen
die Moleküle ein positives und ein negatives Ende auf. Diese Dipole sind üblicherweise regellos orientiert. Bringt man den Isolator jedoch in ein elektrostatisches
Feld, so richten sich die Moleküle längs der Feldlinien aus. Bei Molekülen, welche ohne äusseres elektrisches Feld keine Dipole sind, verschieben sich positive
und negative Ladungen in einem äusseren Feld in entgegengesetzte Richtungen.
Auch hier entstehen Dipole. Diese Dipole erzeugen selbst ein elektrisches Feld,
welches dem äusseren Feld entgegengesetzt ist. Es schwächt das äussere elektrische Feld. Ist ein solcher Isolator zwischen den Kondensatorplatten, so sinkt die
Feldstärke und somit die Spannung zwischen den Platten. Die Abschw¨achung
des urspr¨unglich vorhandenen Feldes beschreibt man durch die relative Dielektrizitätskonstante des Isolators. Bringt man einen Isolator in ein elektrisches Feld,
so verringert sich die Feldstärke vom ursprünglich vorhandenen Wert Eauf
0
E =
E
εr
Die Materialkonstante εr heisst relative Dielektrizitätskonstante. Infolge eines Dielektrikums sinkt bei gleicher Ladung die Spannung am Kondensator auf den Wert
0
U = E ·d =
Ed
Q
=
.
εr
εr ε0 A
Dadurch steigt die Kapazität des Kondensators auf das εr -fache:
C=
Q
A
= εr ε0 .
U
d
107
(24.12)
Kapitel 25
Magnetismus
25.1
Einige Grundtatsachen, Ferromagnetismus
Ein Magnet wirkt nur auf Fe, Ni, Co und deren Legierungen, auf so genannte magnetisierbare oder ferromagnetische Stoffe. Es gibt zwei Polarten, Nordpol und
Südpol, und es gilt das magnetische Grundgesetz, dass sich gleichnahmige Pole
abstossen und sich ungleichnahmige Pole anziehen. Eine weitere Tatsache ist, dass
keine getrennten Nord-und Südpole existieren. So genannte magnetische Monopole wurden noch nie empirisch festgestellt. Dies kann man modellmässig verstehen wenn man sich Permanentmagnete aus so genannten Elementarmagneten
aufgebaut vorstellt. In einem unmagnetischen Eisentstück sind die Elementarmagnete ungeordnet, in einem magnetischen hingegen sind sie geordnet (s. Abbildung 25.1). Magentisieren bedeutet ordnen der Elemtarmagnete. Der Wirkungsbe-
Abbildung 25.1: Geordnete und ungeordnete Elementarmagnete in einem Eisenstück.
reich eines Magneten wird durch sein Magnetfeld beschrieben. Magnetische Felder
werden mithilfe von Feldlinien beschrieben. Die Richtung der Magnetischen Feldlinien gibt die Richtung der Kraft auf den Nordpol des Magneten an. Die Richtung
der Feldlinien geht immer vom Nordpol zum Südpol. Mit kleinen Magnetnadeln
kann man die Richtung der Kraft aufzeigen. Der Nordpol der Probenadel zeigt in
Feldrichtung. Je dichter die Feldlinien sind, desto stärker ist das Feld.
Feldlinien knnnen durch Eisenfeilsp¨ane sichtbar gemacht werden. Der Magnetismus eines Körpers l¨asst sich durch mechanische Schockeinwirkung oder
erwärmen über eine bestimmte Grenztemperatur hinaus zerst¨oren. Einige Tiere
108
verwenden das Erdmagnetfeld als Orientierungshilfe. Man hat bei einigen Bakterien, Vögeln und beim Pazifikdelphin Empfänger für magnetische Reize entdeckt.
Beim Delphin lassen sich im Gehirn kleine, eisenhaltige und magnetische Kristalle nachweisen. Bei Richtungsänderung im Erdmagnetfeld drücken die Kristalle
auf Nerven. Dies ermöglicht den Delphinen sich zu orientieren. Das Erdmagnetfeld ändert sich. In den letzten 3,6 Millionen Jahren gab es neun Umpolungen. Dies
lässt sich aus Lavaablagerungen erkennen.
25.2
Erzeugung magnetischer Felder
Im 19. Jahrhundert suchte der d¨anische Physiker Christian Oerstedt nach einem Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus. 1820 entdeckte er
zufällig während einer Vorlesung den gesuchten Effekt: Eine Magnetnadel, die
neben einem stromdurchflossenen Draht stand, wurde abgelenkt. Oerstedts Experiment erregte in Europa ungeheures Aufsehen und wurde in vielen Abwandlungen wieder- holt. Der elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umgeben.
Regel: Zeigt der Daumen der linken Hand in Bewegungsrichtung der Elektronen,
so zeigen die Finger in Richtung der magnetischen Feldstärke. Die magnetischen
Feldlinien des Stroms eines geraden Leiters sind konzentrische Kreise in Ebenen
senkrecht zum Draht (s. Abbildung 25.2). Das Magnetfeld einer Drahtschleife ent-
Abbildung 25.2: Die magnetischen Feldlinien eines Stroms durch einen Draht. Rechts die
sogenannte linke Ein-Handregel (1-H-R).
spricht dem Magnetfeld einer kleinen Magnetnadel. Die moderne Quantenphysik
hat gezeigt, dass die Elementarmagnete (in Eisen usw.) atomare Kreisströme sind.
Magnetfelder sind also stets auf Kreisströme zurückzuführen.
Eine stromdurchflossene Spule verhält sich wie ein Stabmagnet. Im Innern entsteht ein starkes homogenes Magnetfeld. Dieses kann durch einen Eisenkern noch
verstärkt werden. Ein Elektromagnet besteht aus einer Spule mit vielen Wicklungen und meist einem Eisenkern. Im Gegensatz zum Permanentmagneten, lässt sich
ein Elektromagnet ein- und ausschalten. Man kann magnetische Kräfte entstehen
und verschwinden lassen. Auf vielen Schrottplätzen werden Hubmagnete einge-
109
setzt.
25.3
Ströme im Magnetfeld
Ein Strom erfährt im fremden Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zu den Feldlinien und senkrecht zum Strom steht. Die Kraft ist proportional zur Stromstärke.
Ausnahme: Ein Magnetfeld übt keine Kraft auf einen Strom aus, der parallel zu
den magnetischen Feldlinien fliesst. Richtung: Dreifingerregel Zeigt der Daumen
der linken Hand in Bewegungsrichtung der Elektronen (von - nach + ) und der
Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, so gibt der Mittelfinger die Richtung
der wirkenden Kraft an (s. Abbildung 25.3) Merke: Elektrische Felder wirken auf
Ladungen, Magnetfelder wirken auf Ströme.
Abbildung 25.3: Dreifingerregel der linken Hand um die Richtung der Kraft auf die Ladungsträger zu bestimmen.
25.4
Die magnetische Feldstärke
Die Kraft F, die ein Strom durch einen geraden Leiter der Länge s in einem fremden Magnetfeld erfährt, ist proportional zur Stromstärke I. Also ist
F
s·I
in einem bestimmten Magnetfeld konstant. Darum definiert man den Betrag der
magnetischen Feldstärke (Flussdichte) B als
B=
F
s·I
110
Die Richtung von B ist die Richtung der magnetischen Feldlinien (von N nach S).
Die Einheit vonB ist Tesla T: 1T = 1 N/(A· m). Benannt nach Nicola Tesla (1856
- 1943), einem kroatisch-amerikanischer Physiker. Hier sind einige Beispiele für
die Stärke von Magnetfeldern:
Magnetfeld
in der Milchstrasse
der Erde (aussen)
der Sonne
der Erde (innen)
von Sternen
von Permanentmagneten
von Elektromagneten
Elektromagnet (für 10−4 s
von Neutronensternen
in Tesla
10−10
2 · 10−5
10−4
10−2
bis zu 1
bis zu 1,4
bis zu 20
500
108
Ein vom Strom I durchflossener gerader Leiter der Länge s, der senkrecht zu den
Feldlinien eines MagnetfeldesB steht, erfährt die Kraft
F = I ·s·B
(25.1)
Die Richtung von F ist durch die Dreifingerregel gegeben. Falls der Strom nicht
senkrecht zum Magnetfeld fliesst, wird die Kraft durch das Vektorprodukt ausgedrückt.
F = I ·s×B
(25.2)
Dabei ists ein Vektor in Stromrichtung.
25.5
Das Magnetfeld einer Spule
Für das Magnetfeld im Innern einer mit Strom I durchflossenen Spule mit N Windungen und der Längel gilt
N
B∝I·
l
falls l << d (d: Durchmesser der Spule). Somit gilt
B = µ0 I
N
l
(25.3)
wobei µ0 = 4 · 10−7 Tm/A (Magnetische Feldkonstante). Für eine Spule mit Kern
gilt
N
B = µr µ0 I
(25.4)
l
wobei µr = relative Permeabilität. Luft hat µr = 1.
111
25.6
Die Lorenzkraft
Die Lorentzkraft ist benannt nach Hendrik Antoon Lorentz, holländischer Physiker
(1835 - 1928). Auf einen stromführenden Draht in einem Magnetfeld wirkt eine
Kraft. Nun ist aber Strom nichts weiter als bewegte Ladung. Daraus folgt, dass auf
bewegte Ladungsträger eine Kraft wirken muss im Magnetfeld. Es gilt: Bewegt
sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v senkrecht zum Magnetfeld B, so
wirkt auf sie die Lorentzkraft
F = qvB
(25.5)
Die Richtung der Kraft ist durch die Dreifingerregel bestimmt. Bei beliebiger Richtung gilt
F = qv × B
(25.6)
oder für den Betrag
F = qvBsinφ
(25.7)
wobei φ der Winkel zwischen v undB bedeutet.
25.7
Induktion
Nachdem Oerstedt mit Strömen Magnetfelder erzeugen konnte, schaffte es Faraday
mit Hilfe veränderlicher Magnetfelder Strom zu erzeugen. Dabei fand er das nach
ihm benannte Induktionsgesetz. Betrachten wir eine Leiterschleife mit der Fläche
A in einem homogenen Magnetfeld B. Dann definiert man den magnetischen Fluss
als
Φ = BAs
(25.8)
As ist dabei die Fläche senkrecht zum Magnetfeld, also
As = Acosα
wobei α der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene A und dem Vektor
B ist. Anschaulich bedeutet Φ die Anzahl Feldlinien, die durch die Leiterschleife durchgehen. Das Induktionsgesetz von Faraday lautet nun: Ändert sich der
magnetische Fluss in einer Leiterschleife, so wird Spannung induziert. In Formeln
Uind = −
dΦ
dt
(25.9)
dΦ
dt
(25.10)
und für eine Spule mit n Windungen gilt
Uind = −n
Der magnetische Fluss ist eine von der Zeit abhängige GrösseΦ(t). Die momentane Änderung des magnetischen Flusses ist durch die Ableitung der Funktion Φ(t)
nacht gegeben. Das Minuszeichen wird durch die Lenzsche Regel (Heinrich Lenz)
112
begründet: Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der Ursache entgegenwirkt. Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz berücksichtigt diese Regel.
Die Induktionsspannung kann grundsätzlich zwei Gründe haben:
1. Die Fläche As der Leiterschleife im Magnetfeld ändert sich. (Bewegung des
Leiters oder Bewegung des Magnetfeldes.)
2. Die Magnetfeldstärke B ändert sich. (Veränderung der Stromstärke eines
Elektromagneten.)
25.8
Selbstinduktion
Fliesst der Strom I durch eine lange Spule (N Windungen, Eisenkern), so tritt in
ihrem Innern ein homogenes MagnetfeldB auf. Diesem Magnetfeld entspricht ein
magnetischer Fluss Φ. Das Magnetfeld
B = µ µ0
NI
l
führt zum magnetischen Fluss
Φ = BA = µ µ0
NI
A
l
(25.11)
dabei sind wie oben (l=Spulenlänge, A = Spulenquerschnitt, µ = Permeabilität des
Eisens). Verändert man den Spulenstrom, so ändert sich der magnetische Fluss
in der Spule und eine induzierte Spannung tritt auf. Diese können wir mit dem
Induktionsgesetz berechnen.
dΦ
Uind = −N
dt
Nun setzen wir für Φ den obigen Wert ein:
d
NI
N 2 A dI
dI
Uind = −N
µ µ0 A = −µ µ0
·
= −L
dt
l
l
dt
dt
Die Induktivitt L der Spule haben wir dabei definiert durch
L = µ µ0
N 2A
l
(25.12)
Bei jeder Veränderung des Stromes durch eine Spule tritt eine induzierte Spannung
Uind auf. Die Lenzsche Regel besagt, dass diese Spannung der Änderung des Stromes entgegenwirkt. Die Einheit der Induktivität ist 1 Vs/A und wird als Henry (H)
bezeichnet. (Joseph Henry, amerikanischer Physiker, 1797 bis 1878) Eine Spule
hat also eine InduktivitätL= 1H, wenn eine gleichmässige Änderung des Stromes
um 1 Ampère pro Sekunde eine Induktionsspannung von 1 Volt an ihren Enden
113
hervorruft. Schalten wir eine Spule in den Stromkreis einer Batterie, so ist die in
der Spule induzierte Spannung Uind der Batteriespannung entgegengerichtet
U = −Uind = L
dI
dt
(25.13)
Dadurch beginnt der Strom in der Spule nur allmählich zu fliessen. Er erreicht
schliesslich einen Höchstwert, der durch den Ohmschen Widerstand der Spule begrenzt wird. Besonders hohe Selbstinduktionsspannungen treten beim plötzlichen
Ausschalten eines Stromes auf, da die Stromänderung hierbei grosse Werte erreicht. Dieser Effekt führt zum Auftreten von Funkenbildung bei der Trennung von
Stromkreisen, die grosse Induktivitäten enthalten. In der Zündanlage eines Autos
z.B. wird dieser Ausschalteffekt bentzt um einen Funken zu erzeugen, der dann das
Benzin-Luft Gemisch entzündet.
114
Kapitel 26
Schwingungen
26.1
Einführung
Mechanische Schwingungen treten an vielen Orten auf: Federschwingungen, Pendelschwingungen oder auch z.B. die Schwingung einer Blattfeder. Die mathematische Beschreibung von sogenannten harmonischen Oszillatoren ist aber auch in
ganz anderen Bereichen der Physik wichtig. In der Quantenmechanik z.B. wird
eine Analogie des harmonischen Oszillators verwendet für die Berechnung der
Energiezustände des Wasserstoffatoms. Deshalb ist das Studium dieser speziellen
Bewegung sehr wichtig in der Physik.
26.2
Der harmonische Oszillator
Eine Masse an einer Feder vollführt eine Bewegung, die mit einer Sinus- oder
Cosinusfunktion beschrieben werden kann (Demonstrationen). Wir setzen deshalb
x(t) = xm cos(ωt + φ )
(26.1)
Dabei bedeutet xm die Amplitude, d.h. die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage, ω ist die sogenannte Kreisfrequenz und φ ist die Phasenkonstante.
Für die Kreisfrequenz gilt:
2π
ω=
= 2π f
(26.2)
T
Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Teilchens welches eine harmonische Schwingung ausführt, bekommt man mittels Ableitung. D.h. es gilt
v(t) = −ωxm sin(ωt + φ )
(26.3)
a(t) = −ω 2 xm cos(ωt + φ )
(26.4)
und
Aus den beiden Gleichungen (26.1) und (26.4) sehen wir, dass gilt
a(t) = −ω 2 x(t)
115
(26.5)
Benützt man nun das Newtonsche Kraftgesetz, so ergibt sich
F = ma = −(mω 2 )x
Das heisst, dass die Kraft proportional ist zur Auslenkung x. Man schreibt
F = −kx
(26.6)
wobei die Federkonstante definiert wurde als
k = mω 2
Damit lässt sich eine Definition der harmonischen Schwingung aufschreiben:
Ein Teilchen der Masse m führt genau dann eine harmonische Schwingung aus,
wenn das Kraftgesetz (26.6) gilt. D. h. die Kraft ist proportional zur Auslenkung
und sie ist entgegengesetzt gerichtet (Minuszeichen).
Mit (26.2) und k = mω 2 folgt für die Periode einer harmonsichen Schwingung
r
m
T = 2π
(26.7)
k
26.3
Die Energie des harmonischen Oszillators
Die potentielle Energie der Feder ist zu jedem Zeitpunkt t
1
U(t) = kx(t)2
2
Wenn man nun den allgemeinen Ansatz für x(t) einsetzt, folgt
1 2
U(t) = kxm
cos2 (ωt + φ )
2
Ebenso gilt für die kinetische Energie zu einem Zeitpunkt t
1
2
K(t) = mω 2 xm
sin2 (ωt + φ )
2
Wenn man noch ω 2 = k/m einsetzt, ergibt sich
1 2 2
K(t) = kxm
sin (ωt + φ )
2
Nun gilt für den (idealen) harmonischen Oszillator, dass die Gesamtenergie konstant bleibt und sich zusammensetzt aus der potenziellen Energie der Feder und der
kinetischen Energie der schwingenden Masse. D.h. es gilt
1 2
E = K +U = kxm
2
Es wurde verwendet, dass cos2 α + sin2 α = 1 ist für beliebige Winkel α.
116
(26.8)
26.4
Harmonische Schwingung und die gleichförmige Kreisbewegung
Erstaunlicherweise lässt sich die harmonische Schwingung als Projektion einer
Kreisbewegung gewinnen. D.h. die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine Leinwand führt zur absolut gleichen Bewegung, die ein geeignet
gewähltes Federpendel ausführt. (Demonstration). Deshalb lassen sich die Ausdrücke für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung auch ablesen aus
der einfachen Geometrie der Kreisbewegung.
26.5
Fadenpendel
Das Fadenpendel oder mathematische Pendel ist eine Idealisierung, welche die
Schwierigkeiten, die auftauchen bei Massenverteilungen bezüglich ihrer Trägheit,
umgehen. Es besteht aus einem masselosen Faden an dem eine (punktförmige)
Masse befestigt ist. Aus der Grafik (26.1) liest man die tangenziale Komponente
der Gewichtskraft ab.
Ft = Fg sinθ = mgsinθ
Diese Kraft wirkt als rücktreibende Kraft. Die andere Komponente ist nur für die
Abbildung 26.1: Die Komponenten der Gewichtskraft beim Fadenpendel.
Spannung im Seil zuständig. Mithilfe des horizontalen Abstandes x vom Lot kann
man nun schreiben
x
Ft = mgsinθ = mg ·
L
D.h. mit k = mg/L gilt
Ft = kx
117
Dies erinnert nun an die allgemeine Bedingung für eine harmonische Schwingung.
(Das Minuszeichen muss noch eingeführt werden, da die Kraft ja der Bewegung
entgegengesetzt ist.). Es lässt sich daraus mit der ”Federkonstanten” k die Periode
angeben für ein Fadenpendel:
p
T = 2π l/g
(26.9)
26.6
Gedämpfte harmonische Schwingungen
Jede mechanische Schwingung wird mit der Zeit aufhören, da in der Realität immer
eine Form von Reibung im Spiel ist. Eine solche Schwingung nennt man eine gedämpfte harmonische Schwingung (s. Grafik (26.2)). Möchte man die Schwingung
Abbildung 26.2: Gedämpfte harmonische Schwingung. Die Amplitude fällt exponentiell
ab.
konstant halten, so muss man von aussen Energie zuführen z.B. mit einer Batterie
in einer Uhr oder indem man die Gewichte einer alten Pendeluhr wieder anhebt.
Für die mathematische Beschreibung betrachten wir langsame Bewegungen, bei
denen die Reibungskraft näherungsweise proportional zur Geschwindigkeit ist:
FR = −bv
(26.10)
b ist dabei der Dämpfungskoeffizient. Wir haben dann also folgende Bewegungsgleichung:
ma = −kx − bv
(26.11)
Dies können wir mithilfe der Ableitungen von x(t) auch schreiben als
m
d2x
dx
+ b + kx = 0
2
dt
dt
(26.12)
Dies ist eine sogenannte lineare Differenzialgleichung 2ten Grades und man kann
die Lösung standardmässig bestimmen (PAM). Durch Einsetzen kann man sich
118
überzeugen, dass folgende Lösung die Gleichung erfüllt:
0
x(t) = xm e−bt/2m cos(ω t + φ ),
(26.13)
0
wobei ω die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators ist. Die neue Kreisfrequenz
ist dann gegeben durch
r
0
b2
k
− 2
(26.14)
ω =
m 4m
p
0
Falls b = 0 (keine Dämpfung), so folgt ω = ω = k/m, (Kreisfrequenz des ungedämpften Oszillators).
26.7
Erzwungene Schwingung und Resonanz
Jedes schwingbare System kann von aussen mit einer beliebigen Frequenz angeregt werden und interessanterweise schwingt dann das System auch mit dieser
Anregungsfrequenz. Man nennt diese Schwingung dann eine erzwungene Schwingung. Allerdings ist die Schwingung möglicherweise völlig ”ausser Takt”, d.h. sie
schwingt nicht im Gleichschritt mit der Anregung, sondern z. B. etwas verzögert.
Ausserdem ist die Amplitude in den meisten Fällen eher klein. Wenn aber die An-
Abbildung 26.3: Resonanzkurven mit unterschiedlichen Dämpfungen.
regungsfrequenz in die Nähe der Eigenfrequenz des schwingenden Systems kommt
(die Frequenz, in der es von selbst schwingen würde), so beobachtet man das Phänomen des Aufschaukelns. Diese bestimmte Frequenz wird die Eigenfrequenz oder
die Resonanzfrequenz des Systems genannt und das Aufschaukeln wird gewöhnlich mit dem Begriff der Resonanz bezeichnet. Ein System, welches mit der Resonanzfrequenz angetrieben wird, kann sich also hochschaukeln bis es eventuell
sogar zur sogenannten Resonanzkatastrophe kommt, nämlich der Zerstörung des
Systems (Demonstrationen).
119
Kapitel 27
Wellen I
27.1
Einleitung
An einer waagrechten Stange sind viele gleich lange physikalische Pendel in gleichen Abständen befestigt und durch gleichartige Schraubenfedern miteinander verbunden (vgl. Abbildung 27.1).
Experiment 1: Wir bewegen das Pendel längs der y-Achse ”harmonisch” hin und
her. Wegen der Trägheit tritt jedes Pendel etwas später in Schwingung. Es ensteht
eine Wellenbewegung längs der x-Achse (Fortpflanzungsrichtung der Welle). Da
sich die Pendel quer zur Fortpflanzungsrichtung bewegen, spricht man hier von einer Transversalwelle.
Experiment 2: Das Pendel wird längs der x -Achse ausgelenkt. Es bilden sich ”Verdichtungen” und ”Verdünnungen”aus. Dies nennt man eine Longitudinalwelle.
Macht man von der Transversalwelle eine Momentaufnahme, so liegen die Pendel auf einer sinus- bzw. cosinus-Kurve. Derartige Wellen nennt man harmonische
Wellen.
Man merke sich: Lineare Oszillatoren (harmonische Schwingsysteme), die miteinander gekoppelt sind (z.B. molekulare Käfte im Wasser) führen zu harmonischen
Wellen. Bei einer ”La Ola-Welle” im Fussballstadion ist die Kopplung dagegen
wohl eher die gemeinsame Begeisterung.
27.2
Die Wellenlänge und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
Eigenschaften, die ein einzelner Oszillator nicht hat, sind die Wellenlänge und die
Fortpflanzungsgsgeschwindigkeit. Die Wellenlänge λ ist definiert als der Abstand
zweier benachbarter Wellenberge oder Verdichtungen, oder allgemein der Abstand
zwischen zwei benachbarten Oszillatoren, die sich im gleichen Schwingungszustand befinden (vgl. Abbildung 27.2). Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v ist die
Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenberg oder eine Verdichtung in der Fortpflanzungsrichtung verschiebt.
120
Abbildung 27.1: Bei Transversalwellen liegt die Schwingungsrichtung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Bei Longitudinalwellen liegt die Schwingungsrichtung parallel zur
Fortpflanzungsrichtung.
Folgende Begriffsbildung kann man direkt übernehmen von den Oszillatoren:
Amplitude der Welle ↔ Amplitude der Oszillatoren
Schwingungsdauer der Welle ↔ Schwingungdsdauer der Oszillatoren
Frequenz der Welle ↔ Frequenz der Oszillatoren
Es gilt:
Fortpflanzungsgeschwindigkeit = Wellenlänge/Schwingungsdauer
bzw.
λ
v=
T
Also
λ = v·T
oder
λ=
v
f
(27.1)
(27.2)
(27.3)
Beispiel: Wasserwellen (Energietransport, kein Massetransport!)
Bemerke: es muss klar unterschieden werden zwischen der Geschwindigkeit v ei-
121
Abbildung 27.2: Definition der Wellenlänge und der Amplitude einer ebenen Welle.
ner Welle und der transversalen Geschwindigkeit u eines Seilelementes (s. Abbildung 27.3). Mehr dazu wird weiter unten erläutert.
Abbildung 27.3: Wellenbewegung entlang eines Seils. Die Wellen breiten sich nach rechts
entlang des Seils aus. Die Segmente des Seils schwingen auf der Tischoberfläche hin und
her.
27.3
Mathematische Beschreibung
Wir betrachten nun im folgenden eine Seilwelle. Wir benötigen dazu eine Funktion
y, die von x und t abhängig ist.
Ansatz:
y(x,t) = ym sin(kx − ωt)
(27.4)
ym : Betrag der maximalen Auslenkung aus der Ruhelage (= Amplitude)
(kx − ωt): Phase
k: Wellenzahl [k]: rad/m
Um den Zusammenhang zwischen der Wellenzahl k und der Wellenlänge λ zu
bestimmen, betrachten wir die Sinuswelle bei t = 0 s
y(x, 0) = ym sinkx
122
nach Def. gilt für ein x1 :
ym sinkx1 = ym sink(x1 + λ )
= ym sin(kx1 + kλ )
Da
sin(α + 2π) = sinα
folgt
kλ = 2π
bzw.
k=
2π
λ
(27.5)
Nun können wir auch noch den bekannten Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω und der Schwingungszeit T ableiten. Wir betrachten dazu ein einzelnes
Seilelement bei x = 0
y(0,t) = ym sin(−ωt)
= −ym sinωt
Mit der Peiode T gilt
−ym sinωt1 = −ym sinω(t1 + T )
= −ym sin(ωt1 + ωT )
d.h.
ωT = 2π
bzw.
1
ω
=
T
2π
2π
ω=
T
f=
(27.6)
(27.7)
ω: Kreisfrequenz
27.4
Die Geschwindigkeit einer fortlaufenden Welle
Wir wollen nun noch die Geschwindigkeit v einer Welle aus dem allgemeinen Ansatz ableiten. Dabei benützen wir, dass die Wellenform ”als Ganzes” verschoben
wird (vgl. Abbildung 27.4):
d.h.
(kx − ωt) = konst.
123
Abbildung 27.4: Eine sich ausbreitende Welle. In der Zeit t legt sie die Distanz vt zurück.
ableiten nach t:
k·
dx
−ω = 0
dt
d.h.
v=
mit k =
2π
λ
und ω =
dx ω
=
dt
k
(27.8)
2π
T
λ
ω
= =λf
(27.9)
k
T
Die Gleichung (27.4) beschreibt eine Welle in +x - Richtung. Wenn wir t → −t
ersetzen, ergibt das eine Welle in −x - Richtung.
d.h.
kx + ωt = konst.
v=
bzw.
ω
k
Für eine beliebige (nach links oder rechts) fortschreitende Welle haben wir also
folgenden allgemeinen Ausdruck:
v=−
y(x,t) = h(kx ± ωt)
z.B.
y(x,t) =
(27.10)
√
ax + bt
entspricht einer nach links laufenden (etwas seltsamen) Welle. Hingegen entspricht
y(x,t) = sin(ax2 − bt)
keiner fortlaufenden Welle, da sie nicht die obige allgemeine Form hat.
124
27.5
Die Wellengeschwindigkeit für ein gespanntes Seil
Eigenschaften des Mediums entscheidend.
Charakterisierung: Trägheitseigenschaft, Elastizität
µ: lineare Massendichte
m
µ=
L
m: Gesamtmasse des Seils
L: Länge des Seils
τ: Spannkraft (hängt ab von der Elastizität)
r
τ
v=
µ
(27.11)
(Herleitung S.367)
Bem.: Die Geschw. v einer Seilwelle ist unabh. von der Frequenz f .
27.6
Die Energietransportrate
Bei einer Seilwelle tragen die Seilelemente dm sowohl kinetische als auch potenzielle, elastische Energie. Die Seilelemente werden auf und ab bewegt (kinetische
Energie) und werden gespannt (potenzielle Energie). Dabei ist sowohl die transversale Geschwindigkeit als auch die Spannung (Dehnung) der Seilelemente am
grössten bei y = 0.
Kinetische Energie des Seilelementes mit Masse dm
1
dK = dmu2
2
wobei u = transversale Geschwindigkeit des Seilelementes dm
d.h.
∂y
u=
= −ωym cos(kx − ωt)
∂t
∂ : partielle Ableitung (Ableitung nach einer bestimmeten Variaben)
Bemerke: y(x,t): Funktion von zwei Variablen
Mit dm = µdx
1
dK = (µdx)(−ωym )2 cos2 (kx − ωt)
2
Die Leistung wird dann
dK 1
= µvω 2 y2m cos2 (kx − ωt)
dt
2
wobei v =
dx
dt
verwendet wurde. Für die zeitlich gemittelte Leistung ergibt das
(
dK
1
)gem = µvω 2 y2m [cos2 (kx − ωt)]gem
dt
2
125
Also
dK
1
)gem = µvω 2 y2m
dt
4
D.h. die gemittelte Leistung beider Enrgieformen (kinetische und potenzielle Energie jeweils gleich gross, ohne Beweis) ist
(
Pgem = 2 · (
dK
)gem
dt
also
1
Pgem = µvω 2 y2m
(27.12)
2
Beachte: Die gemittelte Leistung hängt vom Quadrat der Kreisfrequenz ab.
27.7
Das Superpositionsprinzip für Wellen
Zwei Wellen breiten sich entlang desselben Seils aus, dann gilt
y0 (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)
y0 (x,t): resultierende Welle
man nennt dies Superposition oder Überlagerung zweier Wellen.
Es gilt ausserdem: Überlappende Wellen beeinflussen sich bei ihrer Ausbreitung
gegenseitig nicht. Vergleiche dazu auch die Abbildung (27.5).
Abbildung 27.5: Folge von Momentaufnahmen zweier Impulse, die sich überlagern gemäss
dem Superpositionsprinzip
126
27.8
Die Interferenz von Wellen
Sei
y1 (x,t) = ym sin(kx − ωt)
und
y2 (x,t) = ym sin(kx − ωt + φ )
φ : Phasenkonstante (Phasenunterschied)
Nach dem Superpositionsprinzip
y0 (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)
= ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx − ωt + φ )
verwende:
1
1
sinα + sinβ = 2sin (α + β )cos (α − β )
2
2
daraus
1
1
y0 (x,t) = [2ym cos φ ]sin(kx − ωt + φ )
2
2
Dies ist wiederum eine sinusförmige Welle in +x - Richtung.
Spezialfälle:
φ = 0, Wellen in Phase
y0 (x,t) = 2ym sin(kx − ωt)
konstruktive Interferenz
φ = π (rad)
y0 (x,t) = 0
destruktive Interferenz (Auslöschung). Vergleiche dazu Abb. 27.6
Phasenverschiebung um 2π =
ˆ Gangunterschied von λ
Abbildung 27.6: Zwei Wellen interferieren: (a) konstruktiv; (b) destruktiv; (c) teilweise
destruktiv.
127
27.9
Darstellung einer Welle durch einen Vektor
Bild: Vektor rotiert (im Uhrzeigersinn) um Ursprung (vgl. Abb. 27.7)
Länge des Vektors = Amplitude der Welle
Winkelgeschwindigkeit des Vektors = Kreisfrequenz der Welle
Mithilfe dieser Methode ist es möglich, Wellen mit gleichen Wellenlängen und
gleichen Frequenzen, aber mit unterschiedlichen Amplituden zu addieren.
y0 (x,t) = y0m sin(kx − ωt + β )
y0m : Vektoren addieren
β : Winkel zw. y1 und y0 (x,t)
Merke: φ positiv bedeutet ”Vektor geht hinterher”
Abbildung 27.7: (a) Der Vektor vom Betrag ym1 , der mit ω im Uhrzeigersinn rotiert, stellt
eine sinusförmige Welle dar. y1 bedeutet dabei die Auslenkung eines kleinen Abschnittes
der Welle. (b) y2 repräsentiert einen zweiten Wektor (Welle), mit konstanten Phasenfaktor
φ . Er wandert ”hinterher”. (c) Konstruktion der resultierenden Welle (Vektoraddition)
128
27.10
Stehende Wellen
Die Überlagerung zweier entgegengesetzt laufender Sinuswellen (gleiche Amplitude, Wellenlänge) führt zu einer stehenden Welle.
Sei
y1 (x,t) = ym sin(kx − ωt)
und
y2 (x,t) = ym sin(kx + ωt)
Das Superpositionsprinzip besagt dann
y0 (x,t) = ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx + ωt)
also
y0 (x,t) = [2ym sinkx]cosωt
D.h. y0 (x,t) beschreibt keine sich ausbreitende Welle.
Die Amplitude [2ym sinkx] hängt vom Ort ab.
Für kx = 0 bzw. kx = nπ (n = 1, 2, 3, ...) ist sie Null.
Mit k = 2π
λ
λ
x=n
n = 1, 2, 3, ...
2
Dies sind die sogenannten Knotenpunkte. Benachbarte Knoten haben also einen
Abstand von λ2 . Zwischen den Knotenpunkten befinden sich die Schwingungsbäuche.
Eine stehende Welle auf einem Seil kann z.B. entstehen mithilfe einer Reflexion
am Seilend (vgl. Abb. 27.8).
Festes Seilende: Buckel wird als Tal reflektiert
Loses Seilende: Buckel wird als Buckel reflektiert
Aus der Überlagerung folgt eine stehende Welle.
27.11
Stehende Wellen und Resonanz
Beidseitig eingespanntes Seil der Länge L. D.h. an den Enden befinden sich Knotenpunkte. Bei bestimmten Anregungsfrequenzen bilden sich stehende Wellen aus.
Es gilt
2L
λ=
n = 1, 2, 3, ...
n
v
λ=
f
v
v
f = = n·
n = 1, 2, 3, ...
λ
2L
Allgemeine Resonanzfrequenzen sind also Vielfache der niedrigsten Resonanzfrequenz (erste Schwingungsmode):
v
f=
(n = 1)
2L
129
Abbildung 27.8: Reflexion eines Wellenpakets auf einem Seil, wenn das Seilende (a) befestigt und (b) lose ist.
Andere gebräuchliche Namen: (vgl. auch Abb. 27.9 und Abb. 27.10
1. Harmonische ( = Grundschwingung)
2. Harmonische ( = erste Oberschwingung)
usw.
Abbildung 27.9: Stehende Wellen dreier Resonanzfrequenzen.
130
Abbildung 27.10: (a) Eine Saite wird angeschlagen. (b) Nur stehende Wellen, die mit den
Resonanzfrequenzen korrespondieren, schwingen länger.
131
Kapitel 28
RC-Kreise
28.1
Laden eines Kondensators
Abbildung 28.1: Der Kurvenverlauf zeigt den Aufbau von Ladung auf dem Kondensator
beim Laden
Ein RC-Reihenkreis werde durch eine Batterie der Spannung U aufgeladen.
Anwendung der Maschenregel ergibt:
q
U − IR − = 0
(28.1)
C
Verwende, dass gilt
dq
I=
(28.2)
dt
damit
dq q
R + =U
(28.3)
dt C
Diese Differenzialgleichung beschreibt die Zeitabhnngigkeit der Ladung q des Kondensators im Stromkreis (vgl. Abb. 28.1)
Die Funktion
q(t) = CU(1 − e−t/RC )
(28.4)
132
Abbildung 28.2: Man erkennt den zeitlichen Abfall des Ladestroms beim Laden des Kondensators.
löst die DGL mit der Anfangsbedingung q(t) = 0 zum Zeitpunkt t = 0 .
Der Ladestrom I(t) ergibt sich durch Ableitung von q(t) (vergleiche dazu Abb. 28.2).
I=
U
dq
= ( )e−t/RC
dt
R
(28.5)
Man nennt τ = RC die kapazitive Zeitkonstante. Während τ immt die Ladung des
Kondensators von 0 auf 63% des Endwertes zu.
28.2
Entladen eines Kondensators
Beim Entladen hat man im Stromkreis keine Batterie mehr. Somit
dq q
+ =0
dt C
(28.6)
q(t) = q0 e−t/RC
(28.7)
Die Lösung der DGL ist
wo q0 = CU0 die anfängliche Ladung des Kondensators bezeichnet. Leitet man
nach der Zeit ab so erhält man für den Entladestrom
I(t) =
dq
q0
= −( )e−t/RC
dt
RC
(28.8)
Der Entladestrom eines Kondensators nimmt daher ebenfalls exponentiell mit der
Zeit ab.
133
Kapitel 29
Elektromagnetische
Schwingkreise
29.1
Der LC-Schwingkreis
Die Gesamtenergie eines Schwingkreises lässt sich durch
Etot = Em + E p =
Li2 q2
+
2
2C
(29.1)
ausdrücken, wobei Em die Energie des Magnetfeldes in der Spule und E p die Energie des elektrischen Feldes im Kondensator bedeuten. Die Grössen q und i sind
die Momentanwerte von Ladung und Stromstärke. Für einen idealen Schwingkreis
(keine Wärmeproduktion) gilt dann
dEtot
d Li2 q2
di q dq
=
+
= Li +
=0
(29.2)
dt
dt
2
2C
dt C dt
Mit i = dq/dt und di/dt = d 2 q/dt 2 erhalten wir
L
d2q 1
+ q=0
dt 2 C
(29.3)
Diese DGL beschreibt die Schwingung eines LC-Kreises. Sie ist mathematisch
identisch zur DGL des harmonischen Oszillators (Federpendel). Daraus folgt, dass
auch die Lösung analog zur Schwingung eines Federpendels ist.
q(t) = q̂cos (ωt + φ )
(29.4)
wobei q̂ die Amplitude der Ladungsschwingung ist (Scheitelwert) und φ eine Phasenkonstante. Die Ableitung nach der Zeit führt auf die Gleichung für den Strom
i=
dq
= −ω q̂sin (ωt + φ )
dt
134
(29.5)
Der Betrag der Amplitude (Scheitelwert) dieser sinusförmigen Stromschwingung
ist
î = ω q̂
(29.6)
somit kann man schreiben
i (t) = −îsin (ωt + φ )
29.2
(29.7)
Kreisfrequenzen
Da die Gleichung 29.4 tatsächlich eine Lösung der DGL des LC-Schwingreises ist
können wir durch Einsetzen die Bedingung für die Kreisfrequenz bestimmen. Mit
d2q
= −ω 2 q̂cos (ωt + φ )
dt 2
folgt dann durch Einsetzen:
1
−Lω 2 q̂cos (ωt + φ ) + q̂cos (ωt + φ ) = 0
C
woraus folgt, dass die Kreisfrequenz eines Schwingkreises
1
ω= √
(29.8)
LC
sein muss. Beziehungsweise gilt für die Frequenz des ungedämpften Schwingkreises
1
√
f=
(29.9)
2π LC
29.3
Schwingung der elektrischen und magnetischen Energie
Nach den Gleichungen 29.1 und 29.4 folgt für die elektrische Energie in einem LC
Schwingkreis
q̂2
q2
(29.10)
Ep =
=
cos2 (ωt + φ )
2C 2C
Entsprechend für die magnetische Energie
1
1
Em = Li2 = Lω 2 q̂2 sin2 (ωt + φ )
2
2
Mit ω aus 29.8 folgt
q̂2 2
sin (ωt + φ )
(29.11)
2C
Man erkennt, dass die Maximalwerte von Em und E p beide q̂2 /2C sind und dass zu
jedem Zeitpunkt die Summe aus Em und E p konstant q̂2 /2C beträgt. Die Energie
des Magnetfeldes und die des elektrischen Feldes wechseln sich gegenseitig ab,
analog zum Wechsel zwischen potenzieller und kinetischer Energie beim Federpendel (vgl. Abbildung 29.1).
Em =
135
Abbildung 29.1: Die magnetische und die elektrische Energie des Schaltkreises als Funktion der Zeit. Ihre Summe ist konstant. T ist die Periode der Schwingung.
29.4
Gedämpfte Schwingung in einem RLC-Schwingkreis
Bei einem RLC Schwingkreis wird die Energie allmählich im Wirkwiderstand R
in Wärmeenergie umgewandelt und an die Umgebung abgegeben (vgl. Abbildung
29.2). Wir gehen zuerst von der gesamten Energie aus.
Abbildung 29.2: Ein in Reihe geschalteter RLC-Kreis. Die Ladungen strömen durch den
Widerstand hin und her. Dabei wird elektromagnetische Energie in thermische Energie
umgewandelt und die Schwingungsamplituden nehmen ab.
Etot = Em + E p =
Li2 q2
+
2
2C
(29.12)
Wobei klar ist, dass im Wirkwiderstand R keine Energie gespeichert ist. Die elektromagnetische Energie nimmt mit der Zeit ab wobei die Umwandlungsrate durch
die Joule’sche Wärme gegeben ist
dEtot
= −i2 R
dt
136
(29.13)
Das Minuszeichen deutet darauf hin, dass die Energie abnimmt. Wenn man 29.12
nach der Zeit ableitet und dann in 29.13 einsetzt, so erhält man
di q dq
dEtot
= Li +
= −i2 R
dt
dt C dt
Nun ersetzt man wieder i durch dq/dt und di/dt durch d 2 q/dt 2 und erhält
L
d2q
dq 1
+R + q = 0
dt 2
dt C
(RLC − Kreis)
(29.14)
Dies ist die DGL für einen gedämpften RLC -Kreis. Die allgemeine Lösung lautet
wie bei derjenigen eines gedämpften harmonischen Oszillators in der Mechanik
0
q (t) = q̂e−Rt/2L cos ω t + φ
(29.15)
wobei
q
ω = ω 2 − (R/2L)2
0
(29.16)
√
Dabei ist ω = 1/ LC die Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises.
137
Kapitel 30
Wechselstrom
30.1
Der ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis
Die Entstehung einer Wechselspannung kann man sich so vorstellen, dass die Spitze eines ”Zeigers” auf einem Kreis mit dem Radius û gleichmässig mit einer Winkelgeschwindigkeit ω rotiert (vgl. Abbildung 30.1). Für den vom Zeiger in der
Abbildung 30.1: Rotierender Zeiger
Zeit t überstrichenen Winkel φ gilt dann
φ = ωt
und für die Projektion des Zeigers auf eine vertikale Achse gilt
u(t) = ûsin(ωt)
(30.1)
Diese Berechnung geht ganz analog zur Berechnung des harmonischen Oszillators
(Federpendel), die man auch mithilfe der Kreisbewegung berechnen kann.
Wir betrachten nun einen ohmschen Widerstand R in einem Wechselstromkreis
(vgl. Abbildung 30.2). Es fliesst dann der Strom
i(t) =
u(t) û
= sin(ωt) = îsin(ωt)
R
R
138
(30.2)
Abbildung 30.2: Strom und Spannung hängen gemäss ohmschem Gesetz voneinander ab.
Ihre Maxima und Nulldurchgänge erfolgen gleichzeitig. Es gibt also keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
Die im Widerstand in Joule’sche Wärme umgewandelte elektrische Leistung beträgt dabei
û2 2
sin (ωt) = î2 Rsin2 (ωt)
(30.3)
R
Diese Leistung schwankt periodisch (vgl. Abbildung 30.3). Bei praktischen AnP(t) = i(t)u(t) = îûsin2 (ωt) =
Abbildung 30.3: Die Leistung P des Wechselstromes schwankt periodisch. P̄ ist die mittlere Leistung.
wendungen interessiert man sich nur für den zeitlichen Mittelwert der Wärmeproduktion. Es gilt
1
sin2 (ωt) =
2
wobei der Querstrich eine Zeitliche Mittelwertbildung bedeutet. Die mittlere Leistung des Wechselstroms beträgt daher
2
12
1
1
1
√ û
P̄ = î R = √ î R = √ î
(30.4)
2
2
2
2
Diese Leistung entspricht derjenigen eines Gleichstroms, welcher die effektive Stromstärke
1
(30.5)
Ie f f = √ î
2
und die effektive Spannung
1
Ue f f = √ û
(30.6)
2
139
aufweist. Die Angaben von Stromstärke und Spannung bei Wechselstrom beziehen sich stets auf diese Effektivwerte und nicht auf die Scheitelwerte. So verwendet man im Haushalt z.B.√die Spannung Ue f f =230 Volt, wobei in den Leitungen
Scheitelspannungen û = 2Ue f f = 325 Volt auftreten.
Merke:
Unter der effektiven Stromstärke und der effektiven Spannung eines Wechselstromes versteht man diejenige Stromstärke bzw. Spannung, die ein Gleichstrom mit
der selben Leistung aufweist.
30.2
Die Spule im Wechselstromkreis
Für eine Spule gilt
di
dt
Schliessen wir einen Wechselspannungsgenerator mit
uL = −L
(30.7)
u(t) = ûsin(ωt)
an eine Spule, so erhalten wir einen einfachen Stromkreis. Die Maschenregel liefert:
di
u(t) + uL = 0
oder
u(t) − L = 0
(30.8)
dt
Wie man sich durch Einsetzen überzeugen kann, folgt daraus für den Strom
û
π
cos(ωt) = −îcos(ωt) = îsin(ωt − )
(30.9)
ωL
2
Der Strom ist umgekehrt proportional zur Induktivität L der Spule und folgt der
Spannung um eine Viertelperiode nach (vgl. Abbildung 30.4).
i(t) = −
Abbildung 30.4: Der Strom eilt der Spannung nach und erreicht erst später sein Maximum.
Die Stromstärke wird durch den induktiven Widerstand der Spule bestimmt.
Merke:
Schaltet man eine Spule der Induktivität L in einen Wechselstromkreis, so folgt der
Strom der Generatorspannung um eine Viertelperiode nach. Als induktiven Widerstand (Impedanz) der Spule bezeichnet man
ZL =
û Ue f f
=
= ω ·L
Ie f f
î
140
(30.10)
Der induktive Widerstand einer Spule wächst also mit zunehmender Fequenz das
Wechselstromes. Er verschwindet für Gleichstrom.
30.3
Der Kondensator im Wechselstrom
Schalten wir einen Kondensator in einen Gleichstromkreis, so lädt sich der Kondensator auf. Danach fliesst kein Strom mehr.
Schalten wir einen Kondensator hingegen in einen Wechselstromkreis, so wird
er immer wieder aufgeladen, entladen und umgekehrt aufgeladen. Dabei fliesst ein
ständig wechselnder Ladestrom. Um diesen zu berechnen, benützen wir
U=
Q
C
(und vernachlässigen wieder sämtliche ohmschen Widerstände).
Q
= ûsin(ωt)
C
oder
Q = Cûsin(ωt)
Für den Ladestrom folgt daraus
i(t) =
dQ
π
= ωCûcos(ωt) = îcos(ωt) = îsin ωt +
dt
2
Der Strom ist also proportional zur Kapazität und eilt der angelegten Spannung um
eine Viertelperiode voraus (vgl. Abbildung 30.5).
Abbildung 30.5: Der Strom eilt der Spannung voraus und erreicht vor ihr seinen Maximalwert. Die Stromstärke wird durch den kapazitiven Widerstand des Kondensators bestimmt.
Merke:
Schaltet man einen Kondensator der Kapazität C in einen Wechselstromkreis, so
eilt der Strom der Generatorspannung um eine Viertelperiode voraus. Als kapazitiven Widerstand des Kondensators (= Impedanz) bezeichnet man
ZC =
1
û Ue f f
=
=
Ie f f
ωC
î
Zusammengefasst sind die Impedanzen in Abbildung 30.6 dargestellt.
141
(30.11)
Abbildung 30.6: Gleich- und Wechselstromwiderstände (Impedanzen) in Funktion der
Kreisfrequenz.
30.4
Die Leistung des Wechselstromes
In der Praxis stellt sich häufig die Frage, welche Energie in einem elektrischen Bauelement umgesetzt wird. Der Energieumsatz aller Bauelemente eines elektrischen
oder elektronischen Geräts bestimmt dessen Gesamt-Energiekonsum, für Hersteller (und Konsumenten) eine wichtige Kenngrösse.
Für die elektrische Momentanleistung gilt allgemein:
1
P(t) = u(t)i(t) = ûsin(ωt) · îsin(ωt − φ ) = ûî[cosφ − cos(2ωt − φ )]
2
Für das angeschlossene Elektrogerät ist der zeitliche Mittelwert P̄ der Leistung
ausschlaggebend. Weil cos(2ωt − φ ) = 0 ist, beträgt er
P̄ =
ûî
cosφ = Ue f f Ie f f cosφ
2
Man bezeichnet P̄ als Wirkleistung und cosφ als Leistungs- oder Wirkfaktor.
Merke:
Die Wirkleistung des Wechselstroms beträgt
P̄ = Ue f f Ie f f cosφ
(30.12)
wobei cosφ Leistungs- oder Wirkfaktor genannt wird.
In praktischen Anwendungen sollte der Leistungsfaktor nahe bei 1 liegen. Sonst
belasten Blindströme, die keine Leistung übertragen, das Netz übermässig. Bei
Elektromotoren, welche Spulen mit hohen Induktivitäten enthalten, werden Blindströme durch parallel geschaltete Kondensatoren, die eine gegensinnige Phasenverschiebung bewirken, kompensiert.
142
30.5
Der in Reihe geschaltete RLC-Kreis
Wir betrachten nun den Fall, dass die Wechselspannung
u(t) = ûsinωt
an den vollen RLC-Kreis angelegt ist. Es fliesst durch alle Teile der Strom
i(t) = îsin(ωt − φ )
Mithilfe von Zeigerdiagrammen kann man nun die Strromamplitude und die Phasenkonstante bestimmen:
In der Abbildung 30.7 sind die drei Spannungen aufgetragen, wie sie aus den obigen Betrachtungen folgen. ûR z.B. ist in Phase mit dem Strom î und ûL ist um 90◦
Abbildung 30.7: Zeigerdiagramm: Die drei Zeiger entsprechen den Spannungen an der
Spule, dem Wirkwiderstand und dem Kondensator relativ zum Stromzeiger (gleiche Richtung wie ûR ).
dem Strom voraus. Nach der Maschenregel gilt für die angelegte Wechselspannung
û(t)
u(t) = uR + uC + uL
(30.13)
D.h. die angelegte Gesamtspannung muss gleich der Vektorsumme der einzelnen
Spannungen sein. Da die Dreiecke rechtwinklig sind, gilt nach Pythagoras:
û2 = û2R + (ûL − ûC )2
(30.14)
wobei gemäss Abbildung 30.8 aus ûL und ûC bereits die Summe gebildet wurde.
Dies kann man nun mit den Widerständen ausdrücken:
û2 = (îR)2 + (îZL − îZC )2
(30.15)
Damit folgt für die Stromamplitude:
û
î = p
2
R + (ZL − ZC )2
143
(30.16)
Abbildung 30.8: Der Wechselspannungszeiger muss gleich der Vektorsumme der drei
Spannungszeiger sein.
Den Nenner dieser Gleichung bezeichnet man als Impedanz Z (oder auch als
Scheinwiderstand des Stromkreises mit der antreibenden Kreisfrequenz ω.
q
Z = R2 + (ZL − ZC )2
(30.17)
Damit kann man für die Stromamplitude nun auch explizit schreiben:
û
î = p
R2 + (ωL − 1/ωC)2
(30.18)
Der Abbildung 30.8 können wir entnehmen, dass
tanφ =
ûL − ûC
îZL − îZC
=
ûR
îR
(30.19)
bzw.
ZL − ZC
(30.20)
R
Damit haben wir nun auch eine Gleichung für die Phasenkonstante φ in einem
wechselstromgetriebenen und in Reihe geschalteten RLC-Kreis abgeleitet. Besonders interessant ist der Fall, bei dem ZC = ZL ist. Da befindet sich der Schaltkreis
in Resonanz. In diesem Zustand ist die Phasenverschiebung φ = 0 zwischen dem
Strom i(t) und u(t).
Dies ist gleichbedeutend damit, dass
tanφ =
ωL −
1
ωC
ωL =
1
ωC
gleich Null ist. D.h. wenn gilt
oder
1
ω= √
LC
144
(30.21)
Dies ist gleichzeitig die natürliche Kreisfrequenz ω eines RLC-Kreises. î(t) wird
also maximal, wenn die Kreisfrequenz der angelegten Spannung gleich der natürlichen Kreisfrequenz ist-d.h. im Resonanzfall. In der Abbildung 30.9 erkennt man
drei Resonanzkurven für sinusförmig angetriebene Schwingungen von drei in Reihe geschalteten RLC-Kreisen, die sich jeweils nur im Wert von R unterscheiden.
In jeder der Kurven erreicht die Stromamplitude ihr Maximum für das Verhältnis
Abbildung 30.9: Resonanzkurven für den RLC-Kreis mit L = 100µH, C = 100pF und drei
verschiedenen Widerständen.
ωa /ω = 1, 00, (ωa steht für ”Anregunskreisfrequenz”) allerdings nimmt der Maximalwert der Amplitude mit zunehmendem R ab.
145
Kapitel 31
Interferenz
31.1
Elektromagnetische Wellen
Eine elektromagnetische Welle besteht aus oszillierenden elektrischen und magnetischen Feldern. Die verschiedenen möglichen Frequenzen elektromagnetischer
Wellen bilden ein Spektrum, zu dem als kleiner Ausschnitt das sichtbare Licht
zählt. Mathematisch kann man schreiben:
E(x,t) = Em sin(kx − ωt)
(31.1)
B(x,t) = Bm sin(kx − ωt)
(31.2)
bzw.
31.2
Licht als Welle
Schon im Jahre 1678 schlug Christiaan Huygens eine Wellentheorie des Lichts
vor, welche im Stande war, Reflexion und Brechung zu erklären: Jeder Punkt einer
Wellenfront ist Ausgangspunkt sekundärer kugelförmiger Elementarwellen. Der
Ort der Wellenfront zu einer beliebigen Zeit t ist gegeben durch die Tangente an
alle diese sekundären Elementarwellen. Dies wird als Huygenssches Prinzip bezeichnet.
Betrachten wir als Beispiel die Herleitung des Brechungsgesetzes von Snellius. Eine ebene Wellenfront treffe mit θ1 aus der Luft auf eine Glasoberfläche.
Die Geschwindigkeit der Welle in der Luft sei v1 , diejenige im Glas v2 . Wenn die
Welle in das Glas eintritt, breitet sich eine Huygen’sche Elementarwelle aus. Während ein anderer Teil der Wellenfront gerade noch eine Wellenlände λ1 in der Luft
zurücklegt, breitet sich vom ersten Auftreffpunkt der Wellenfront eine elementare
Kugelwelle um λ2 aus. Da die Zeiten gleich sind, gilt daher
λ1 λ2
=
v1
v2
146
(31.3)
Dies gilt deshalb, weil sich die Frequenz der Welle nicht ändert beim Übertreten
in ein anderes Medium. Aus geometrischen Betrachtungen heraus lässt sich dann
ablesen, dass gilt
sinθ1 λ1 v1
=
=
(31.4)
sinθ2 λ2 v2
Wenn man nun noch den Brechungsindex n definiert als Verhältnis zwischen der
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und derjenigen im Medium,
n=
c
v
(31.5)
so folgt
sinθ1 c/n1 n2
=
= .
sinθ2 c/n2 n1
(31.6)
Somit folgt das bekannte Brechungsgesetz nach Snellius:
n1 sinθ1 = n2 sinθ2 .
31.3
(31.7)
Wellenlänge und Brechungsindex
Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, ändert sich sowohl die Geschwindigkeit als auch die Wellenlänge des Lichtes wenn es durch ein Medium tritt. Im
Vakuum gilt
λ
c=
(31.8)
T
und im Medium
λn
(31.9)
v=
T
daraus folgt
v
λn = λ
(31.10)
c
Mithilfe von 31.5 folgt
λ
λn =
(31.11)
n
λn bedeutet dabei die Wellenlänge im Medium mit Brechungsindex n. Somit gilt
auch für die Frequenz im Medium
fn =
v
λn
(31.12)
Nun sehen wir, dass die Frequenz unverändert bleibt beim Eintritt in ein anderes
Medium. Es gilt nämlich
c/n
c
fn =
= =f
λ /n λ
Wenn sich nun zwei Lichtwellen, die anfänglich in Phase sind, durch unterschiedliche Medien bewegen, so kann sich dadurch die Phasendifferenz ändern. Um diese
147
Phasenänderung zu ermitteln, zählt man die Anzahl Wellenlängen ab, die in ein
Medium der Länge L passen. Wir nehmen an, dass der eine Lichtstrahl durch ein
Medium mit Brechungsindex n geht und der andere durch Luft n ≈ 1. Es gilt dann
N1 =
Ln1
L
=
λn1
λ
(31.13)
N2 =
L
Ln2
=
λn2
λ
(31.14)
Analog gilt
und damit
Ln2 Ln1
L
−
= (n2 − n1 )
(31.15)
λ
λ
λ
Dabei spielen Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge keine
Rolle. Z. B. ist eine Phasendifferenz von 45,6 Wellenlängen so zu interpretieren,
dass es um eine effektive Phasendifferenz von 0,6 Wellenlängen geht. Bei 0,5 Wellenlängen hätte man eine vollständige Auslöschung. Somit ist ein Wert von 0,6 also
eher eine Auslöschung als eine konstruktive Interfernez. man kann diese Phasendifferenzen natürlich auch in Grad oder Bogenmass ausdrücken.
N2 − N1 =
31.4
Der Doppelspaltversuch von Young
1801 gelang es Thomas Young mit einem Doppelspaltexperiment zu beweisen,
dass Licht eine Welle ist. Bis zur Arbeit Albert Einsteins zum Photoelektrischen
Effekt um 1905 gab es daher auch kaum noch Zweifel an der Wellennatur des
Lichts. Beim Interferenzversuch ging es darum, dass monochromatisches Licht
zuerst durch einen ersten Spalt hindurchgeht und dabei zu einer Elementarwelle
wird, welche dann bei einem zweiten Schirm mit zwei Spalten wiederum gebeugt
wird. Hinter dem Doppelspalt befindet sich dann ein Schirm, auf welchem Interferenzstreifen zu sehen sind (vgl. Abb. 31.1).
31.5
Lokalisierung der Interferenzstreifen
Um die Position der Interferenzstreifen zu berechnen, muss man einige Näherungen vornehmen. Wir nehmen an, dass der Schirmabstand L viel grösser sei als der
Abstand d der beiden Spalten. Dann kann man sagen, dass die Winkel von S1 und
von S2 aus beide θ sind (vgl. Abb. 31.2). Dies ermöglicht uns den Gangunterschied
∆L zu berechnen mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Abb. 31.2). Es folgt
∆L = dsinθ
(31.16)
Da ∆L bei konstruktiver Interferenz ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge
sein muss, gilt
dsinθ = mλ
mit
m = 0, 1, 2, ...
(31.17)
148
Abbildung 31.1: Interfernezversuch von Young.
für die Interfernzmaxima. Bei den Interferenzminima gilt dann
1
dsinθ = (m + ) · λ
2
mit
m = 0, 1, 2, ...
(31.18)
da der Gangunterschied für destruktive Interferenz ein ungradzahliges Vielfaches
von λ /2 sein soll. Man beachte, dass die Winkel θ sich jeweils auf das Zentrum
eines Interferenzmaximums respektive -minimums beziehen.
31.6
Kohärenz
Unter Kohärenz versteht man das Beibehalten einer festen Phasenbeziehung zweier Wellen. Wenn man eine Lichtquelle wie z.B. eine Glühlampe betrachtet, so sind
die ausgesandten Lichtwellen in keiner festen Phasenbeziehung, sie sind dann inkohärent. Die angeregten Elektronen im Glühdraht emittieren in rein statistischer
Weise ihr Licht. Somit könnte man dieses Licht auch nicht verwenden für den Doppelspaltversuch, da sich kein festes Interferenzgitter einstellen könnte. Stellt man
hingegen einen Einzelspalt vor den Doppelspalt, so stellt dieser eine Lichtquelle
dar, welche nun kohärentes Licht richtung Dopplespalt aussendet.
149
Abbildung 31.2: Berechnung zum Dopplespaltvesuch nach Young.
31.7
Intensitäten bei der Interferenz am Doppelspalt
Wir gehen davon aus, dass die Wellen aus den beiden Spalten an einem Ort auf
dem Schirm mit einer festen, zeitlich unveränderten Phasendifferenz ankommen.
D.h. sie sollen kohärent sein. Ausserdem sind sowohl die Amplituden als auch die
Kreisfrequenz der beiden Wellen identisch. Den zeitlichen Anteil der Wellen kann
man dann folgendermassen schreiben:
E1 = E0 sinωt
(31.19)
E2 = E0 sin (ωt + φ )
(31.20)
Es folgt dann für die Intensität auf dem Schirm
1
I = 4I0 cos2 φ
2
(31.21)
wobei
2πd
sinθ .
(31.22)
λ
Die erste Gleichung wird hergeleitet mithilfe der Methode der Zeigeraddition, wobei der Umstand verwendet wurde, dass bei elektromagnetischen Wellen gilt
φ=
E2
I
= 2
I0 E0
(31.23)
d.h. die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Feldstärke E.
Der Zusammenhand zwischen θ und φ folgt aus dem Vergleich des Gangunter150
schieds mit der Phasenkonstante. Es gilt nämlich
(Phasendifferenz) =
2π
(Weglängenunterschied)
λ
Deshalb gilt mit dem Weglängenunterschied dsinθ
φ=
31.8
2πd
sinθ .
λ
Interferenz an dünnen Schichten
Bei dünnen Schichten können Interferenzen entstehen indem an der Vorder- und
Rückseite der Reflexionen stattfinden und sich die Lichtwellen anschliessend überlagern. Man muss dabei auch berücksichtigen, dass erstens der eine Lichtstrahl
einen weiteren Weg zurücklegt (2L bei einem annähernd senkrechten Einfallen),
zweitens eine andere Geschwindigkeit des Lichtes zu nehmen ist im Medium und
drittens bei der Reflexion von einem optisch dünneren zu einem optisch dichteren
Medium ein Phasensprung von π zu beachten ist. Vom Medium mit grösserem Brechungsindex zum Medium mit niedrigerem Brechungsindex erfolgt hingegen die
Reflexion ohne Phasensprung.
Wenn man diese drei Punkte berücksichtigt, bekommt man für die Bedingung
einer konstruktiven Interferenz
2L =
ungeradeZahl
· Wellenlänge.
2
Dabei muss für die Wellenlänge natürlich diejenige im Medium genommen werden, also
ungeradeZahl
2L =
· λn
2
wobei wir annehmen, dass ausserhalb der dünnen Schicht Luft ist mit n = 1. Wir
schreiben also für konstruktive Interferenz
1 λ
2L = m +
m = 0, 1, 2
(31.24)
2 n
Für die destruktive Interferenz folgt
λ
2L = m .
n
(31.25)
Damit kann man also bei bekannter Schichtdicke feststellen, ob ein Beobachter die
Schicht hell oder dunkel wahrnimmt, in Abhängigkeit der einfallenden Lichtwellenlänge.
151
Kapitel 32
Beugung
32.1
Beugung an einem Einzelspalt
Wenn eine Lichtwelle auf einen Einzelspalt trifft, so entsteht in Abhängigkeit der
Breite des Spaltes, hinter dem Spalt eine sogenannter Beugungseffekt. Das heisst,
ein zentraler Teil der Wellenfront geht geradlinig durch den Spalt, aber an den beiden Rändern entstehen Kugelwellen, welche sich dann in den Schattenbereich des
Spaltes ausbreiten. Dies ist aber nicht alles. Es entstehen neben dem Hauptmaxima
der geradlinig durchgehenden Welle auch Interferenzstreifen an den Rändern (s.
Abb. 32.1). Diese Maxima und Minima wollen wir nun genauer betrachten.
Abbildung 32.1: Beugungsmuster eines Einzelspaltes.
152
32.2
Lokalisierung der Minima
Um das Interferenzmuster am Einzelspalt zu beschreiben, konzentrieren wir uns
auf die Minima. Die Maxima sind dann einfach in der Mitte zweier Minima anzunehmen.
Der mittlere helle Streifen kann erklärt werden durch die Huygensschen Elementarwellen, welche sich im Bereich des Zentrums alle von einer Wellenfront
ausbreiten. Sie sind alle in Phase und haben auch alle ungefähr die gleiche Weglänge bis sie in der Mitte des Musters angekommen sind. Um die Position der
dunklen Streifen zu finden, betrachten wir die Abbildung 32.2.
Abbildung 32.2: Destruktive Interferenz am Punkt P1 .
153
Kapitel 33
Der photoelektrische Effekt
Im Jahre 1900 veröffentlichte Max Planck eine Arbeit zur sogenannten Schwarzkörperstrahlung in der er eine Formel präsentierte, die das Abstrahlungsproblem
löste. Seine Ad-Hoc Hypothese war, dass Strahlung nur in Paketen, sogenannten
Quanten emittiert und absorbiert werden kann. Albert Einstein führte diese Idee im
Jahre 1905 noch weiter indem er vorschlug, dass auch die Strahlung selbst quantisiert war. Später wurde diesem Lichtquantum der Name Photon gegeben. Einstein
konnte mit seiner Hypothese das ungelöste Problem des photoelektrischen Effektes (kurz Photoeffekt) erklären. Nach Einsteins Vorstellung hat das Quantum einer
Lichtquelle der Frequenz f die Energie
E = hf
(33.1)
wobei die plancksche Konstante h den Wert
h = 6, 63 · 10−34 J · s
(33.2)
hat. Da er die Energie des Lichtes als quantisiert annahm, kann eine Lichtwelle als
Energie nur ganzzahlige Vielfache dieser kleinsten Einheit (Quantum) haben.
Beim Photoeffekt wurde zuerst auf rein empirische Art festgestellt, dass eine
gereinigte Metallplatte (z.B. Zink), die mit UV-Licht bestrahlt wird, sich positiv
auflädt und zwar unabhängig von der Intensität des verwendeten Lichtes. Allerdings spielte die Frequenz bzw. die Wellenlänge des verwendeten Lichtes eine entscheidende Rolle. War die Frequenz zu klein, so passierte gar nichts, egal mit wie
viel Intensität die Platte bestrahlt wurde. Dieses Ergebnis war mit der klassischen
Vorstellung von elektromagnetischen Wellen, die die Atome im Metall anregen
und dann dadurch ein Loslösen der Leitungselektronen verursachen, unverträglich.
Einsteins Vorschlag war nun, dass ein einzelnes Photon (Lichtquant) seine ganze
Energie an ein Elektron abgibt und dieses dadurch aus dem Metall geschleudert
wird. Ist die Frequenz f genügend gross, so reicht diese Energie um das Elektron
aus dem Verband herauszulösen und ihm allenfalls noch eine gewisse Geschwindigkeit, also eine kinetische Energie zu verpassen. In einer Gleichung formuliert
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lautet das Gesetz des Photoeffektes nach Einstein also
h f = Ekin max + Φ.
(33.3)
Dabei bedeutet Φ die so genannte Austrittsarbeit, also die Arbeit, die mindestens
benötigt wird, um das Elektron aus dem Atombverband herauszulösen. Ist nun die
Energie h f der auftreffenden Photonen auf Grund ihrer Frequenz grösser als diese
Austrittsarbeit, so bleibt also noch kinetische Energie des Elektrons übrig, nämlich
genau (h f − Φ).
Wenn man nun mit einem geeigneten experimentellen Aufbau eine Gegenspannung zur eigentlichen entstehenden Spannung des photoelektrischen Effektes aufbaut, kann man damit die herausgeschlagenen Elektronen ganz abbremsen. Man
bekommt dann für die kinetische Energie der Elektronen den Wert
Ekin max = eVstop .
(33.4)
Dabei wurde das so genannte Stoppotenzial Vstop definiert. Dieses Stoppotenzial
hängt also nur von der Frequenz des verwendeten Lichtes ab, nicht von der Intensität. Wenn man dieses Vstop gegen die Frequenz der verwendeten Strahlung
aufträgt, bekommt man einen linearen Zusammenhang, der es einem auch erlaubt,
den Wert der planckschen Konstanten aus der Steigung zu ermitteln. Die Rechnung
geht folgendermassen: man setzt das Stoppotenzial in die Einsteinsche Gleichung
für den Photoeffekt ein.
h f = eVstop + Φ
(33.5)
Dann löst man auf nach Vstop und erhält
h
Φ
Vstop =
f− .
e
e
(33.6)
Die Steigung der Geraden im Diagramm entspricht also dem Wert
h
.
e
Als Beispiel sei der Wert für h aus der Messung an einer Natriumprobe von R.A.
Millikan aus dem Jahre 1916 herauszulesen (vgl. Abb. 33.1). Hier gilt ungefähr,
dass
h
2, 35V − 0, 72V
=
= 4, 1 · 10−15 V · s.
e 11, 2 · 1014 − 7, 2 ·14 Hz
Wenn man nun noch mit e multipliziert, bekommt man für h
h = 6, 6 · 10−34 J · s
155
Abbildung 33.1: Das Potenzial Vstop als Funktion der Frequenz f nach einem Versuch mit
einer Natriumprobe aus dem Jahre 1916 von R. A. Milikan.
156
Kapitel 34
Compton-Effekt
Albert Einstein führte 1916 für die Lichtquanten noch einen (linearen) Impuls ein:
p=
h
hf
=
c
λ
(34.1)
Bei der Wechselwirkung von Photonen und Materie sollten nämlich Impuls und
Energie übertragen werden. Im Jahre 1923 führte Arthur Compton Veruche durch,
die diese Hypothese belegten. Er streute Röntgenstrahlen an einem Kohlenstoffpräparat. Da die Photonen eine sehr hohe Energie aufwiesen, konnte er die gestreuten
Elektronen als nahezu frei annehmen. Bei der Streuung der Photonen konnte er
eine Verschiebung der Wellenlänge feststellen in Abhängigkeit des Ablenkungswinkels. Diese Messung überzeugte die Physikergemeinschaft von der Existenz
der ”Lichtteilchen”.
Für eine quantitative Betrachtung benützt man die Impuls- und die Energieerhaltung: Aus der Energieerhaltung folgt, dass
0
hf = hf +K
(34.2)
D.h. das ursprüngliche Photon hat zuerst die Energie h f und nach der Kollision
0
mit einem Elektron h f mit einer kleineren Frequenz. Die abgegebene Energie hat
das zurückgeworfene Elektron als kinetische Energie K erhalten. Das gestreute
Photon bewegt sich dabei nach dem Stoss in die durch den Winkel φ bezeichnete
Richtung (bezüglich der positiven x-Achse). Das Elektron bewegt sich in Richtung
θ . Da das Elektron unter Umständen eine sehr hohe Geschwindigkeit bekommt,
muss man die relativistische Version der kinetischen Energie verwenden (s. Kap.
38 Halliday).
K = mc2 (γ − 1)
(34.3)
Damit bekommt man mit dem Energiesatz
h
h
= 0 + mc(γ − 1)
λ
λ
157
(34.4)
wobei f = c/λ verwendet wurde. Wenn man nun noch den Impulssatz sowohl für
die x- und die y-Komponenten aufschreibt, so bekommt man nach einigen Umfor0
mungen für die Differenz ∆λ = λ − λ folgenden Ausdruck
∆λ =
h
(1 − cosφ )
mc
(34.5)
Dies ist die sogenannte Compton-Verschiebung. Die Grösse h/mc wird als ComptonWellenlänge bezeichnet.
158
Kapitel 35
Licht als
Wahrscheinlichkeitswelle
Wie Photonen einzeln durch einen Doppelspalt hindurchgehen und mit sich selbst
interferieren können, bleibt unverstanden. Tatsache ist, dass es passiert. Einzelne
Photonen gehen irgendwie als Welle durch den Doppelspalt hindurch, interferieren
mit sich selbst und schlagen dann als Photonen wieder auf einen Schirm auf, wo
sie registriert werden. Man kann argumentieren, dass das Photon zuerst emitiert
wird, sich dann als Wahrscheinlichkeitswelle ausbreitet, um sich dann wieder als
Lichtteilchen zu manifestieren. Andere Interpretationen gehen davon aus, dass ein
Photon während der Ausbreitung sich in einer Überlagerung, einer sogenannten
Superposition, befindet, und erst durchs Auftreffen, also durch eine direkte Messung wird dann der eigentliche Zustand entschieden.
Das ganze ist also schwierig zu begreifen. Wir können unsere Vorstellungen
von Teilchen und Wellen einfach nicht mehr gebrauchen im subatomaren Bereich.
Wir müssen (wenigstens vorderhand) aufgeben. Wenigstens ist es allerdings so,
dass dieses seltsame Verhalten nicht nur für Photonen gilt, sondern für alle Quantenobjekte, d.h. es gilt auch für Elektronen, Protonen, Neutronen und sogar für so
grosse Moleküle wie das C60 - Molekül.
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Kapitel 36
Elektronen und Materiewellen
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Anhang A
A.1
Berechnung der Differenzialgleichung zur gedämpften Schwingung (mit Trick zur Vermeidung komplexer Zahlen)
Wir schreiben die DGL als
dx
d2x
+ 2δ + ω 2 x = 0
dt 2
dt
wobei δ = b/2m und ω 2 = k/m
Wir machen den Ansatz1
x = x̃e−δt
damit ist
dx d x̃ −δt
= e − δ x̃e−δt
dt
dt
und
d 2 x d 2 x̃ −δt
d x̃
= 2 e − 2δ e−δt + δ 2 x̃e−δt
2
dt
dt
dt
wobei wir mehrfach die Produktregel der Differenzialrechnung verwendet haben.
Einsetzen in die DGL und kürzen von e−δt ergibt
d 2 x̃
+ ω 2 − δ 2 x̃ = 0
2
dt
Dies ist nun gerade die schon bekannte Gleichung für den ungedämpften harmoni0
schen Oszillator, wobei ω 2 = ω 2 − δ 2 anstelle von ω 2 auftaucht. Demnach ist die
Lösung:
0
x̃(t) = xm cos ω t + φ
woraus wir sofort
0
x(t) = x̃e−δt = xm e−bt/2m cos ω t + φ
erhalten.
1 Es
wird hier nicht der übliche Ansatz für lineare homogene DGL benützt, da man mit diesem
Trick komplexe Zahlen umgehen kann.
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