Energie-, Impuls- und Stofftransport II A

Lösungskatalog zu EIS II A
Technische Universität Berlin
1
Strömungsmechanische Grundlagen
1.1
Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten
1.1.1
Aufgabe Viskosität
1600
1400
1200
Schubspannung [Pa]
Prof. Dr.-Ing. M. Kraume
1000
Xanthan
Drivanil
800
Stärkelösung
600
400
200
Energie-, Impuls- und
Stofftransport II A
0
0
50
100
150
200
250
Scherrate [1/s]
Abbildung 1 – Diagramm Schubspannungen
Æ aus Regression mit Excel: n1 = 0,26 , k1 = 347,91 Pas0,26 , n2 = 1 , k 2 = 5,54 Pas1 , n3 = 2,54 ,
k 3 = 0,0012 Pas 2,54
1.1.2
Aufgabe Scherversuch
a)
w = 0,5
Lösungen zur
Aufgabensammlung
m
s
∆x = 2,5 mm
w
x
0
Abbildung 2 – Geschwindigkeitsprofil Scherversuch
b) τ = η ⋅
dw
∆w
=η
dx
∆x
= 1,002 m Pa s ⋅
Fachgebiet Verfahrenstechnik
Sommersemester 2009
0,5 m
s = 200,4 m Pa
0,0025 m
c) Unterscheidung
I. Fτ,unten = τ ⋅ A unten
= 200,4 m Pa ⋅10 m 2 = 2 N
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2
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SoSe 2009
Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
II. Fτ, oben = τ ⋅ A oben
1.2.2
2
= 200,4 m Pa ⋅10 m = 2 N
1.2
a) Die allgemeine Bilanz lautet:
Bilanzgleichungen
1.2.1
Aufgabe Kontinuierlicher Mischprozess
⎡ Änderung der
⎤ ⎡Summe der
⎤ ⎡Summe der
⎤ ⎡Summe der
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢im System
⎥ + ⎢aus dem System
⎥ − ⎢in das System
⎥ = ⎢im System
⎥
⎢gespeicher ten Mengen ⎥ ⎣⎢austretend en Mengen ⎦⎥ ⎣⎢eintretend en Mengen ⎦⎥ ⎣⎢gewandelte n Mengen ⎦⎥
⎣
⎦
Aufgabe Kontinuitätsgleichung
.
V& 1 + V& 2 = V& A
ρ1H V& 1 + ρ 2H V& 2 = ρ AH V& A = ρ AH V& 1 + V& 2
(
.
m z
Es folgt:
ρ 2H =
.
m x + dx
.
m x
.
m z + dz
z
1.2.3
=
.
W
(
)
)
2
g
l
Aufgabe Beheiztes Rohr
Der Enthalpiestrom ist eine extensive energetische Zustandsgröße der Dimension Leistung. Er ist der Energiestrom, der - gebunden an einen Stoffstrom und abhängig von dessen innerem Zustand - über eine stoffdurchlässige Systemgrenze fließt.
x
.
m y
Stationäre Energiebilanz:
Abbildung 3 – Bilanzraum ortsfestes Volumenelement
(
.
Z
ρ AH V& 1 + V& 2 − ρ1H V& 1
V&
c) Æ ρ 2H = 10,44
y
−
A
b) Bei geschickter Wahl der Bilanzgrenze müssen nur die Ströme 1, 2 und A betrachtet werden. Für
den stationären Fall gilt:
.
m y + dy
.
+
S
Massenbilanz am ortsfesten differentiellen Volumenelement
&
&
&
0=H
ein − Haus + Q zu
& =A
&
H
*
m
*
c
i
quer
i
p * Ti
)
∂m
& x −m
& x + dx )dydz + m
& y −m
& y + dy dxdz + (m
& z −m
& z + dz )dxdy
= (m
∂t
&
&
Q
zu = A Mantel * q zu
Nach Taylorreihenentwicklung
Es ergibt sich:
& * c p * (Tein − Taus ) + A Mantel * q& zu
0 = A quer * m
& y ∂m
& x ∂m
&z
∂ (ρV ) ⎛⎜ ∂m
= ⎜−
−
−
∂t
∂
∂
∂
x
y
z
⎝
⎞
⎟dxdydz ⇒ dxdydz = dV = const
⎟
⎠
Mit der Massenstromdichte m& i = ρ ⋅ w i ergibt sich
Taus = Tein +
A Mantel q&
1
*
*
&
A quer c p m
Wenn man nun die Massestromdichte verdoppelt, wird die Temperaturerhöhung auf die Hälfte reduziert.
⎛ ∂(ρw x ) ∂(ρw y ) ∂(ρw z ) ⎞
r
∂ρ
⎟ = −div(ρ ⋅ w )
= −⎜⎜
+
+
∂t
x
∂y
∂z ⎟⎠
⎝14∂4
444
424
3
r 44444
div ( ρ⋅w )
Für ρ = const d.h. für inkompressible Fluide gilt demnach
r
∂w x ∂w y ∂w z
0 = div( w ) =
+
+
∂x
∂y
∂z
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4
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Lösungskatalog zu EIS II A
.
1.2.4
c A,Pr odukt,Rkt = −
Aufgabe Syntheseprozess (alte Klausuraufgabe)
a) Integrale Bilanz um den gesamten Prozess:
.
.
.
.
V Pr odukt = V1 + V 2 + V Verdünner = (5 + 3 + 8)
.
.
m3
m3
= 16
h
h
c A,Pr odukt,Rkt = −
.
V1 + V 2 + V Rück − V 3 = 0
.
.
.
.
.
.
m3
m3
= 27
h
h
.
.
V Rück = 0
.
.
.
V 1 ⋅ c A,0 + V 2 ⋅ 0 + V V erdünner ⋅ 0 = V Pr odukt ⋅ c A,Pr odukt
.
c A,Pr odukt = c A,0 ⋅
V1
.
= 0,5
V Pr odukt
V2
.
V Pr odukt
.
kmol
kmol 5
⋅ = 0,156
m3
m3 16
kmol
kmol 3
⋅ = 1,88
m3
m3 16
.
.
V1⋅ c A,0 + V Rück ⋅ c A,Pr odukt
=
.
5 ⋅ 0,5 + 27 ⋅ 0,156
kmol
= 0,192
7⋅5
m3
Mit Reaktion:
.
V Rück = 0
.
⎛.
⎞
⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
.
m3
; keine Rückführung
h
.
V1 ⋅ c A,0 − V 3 ⋅ c A − k ⋅ c A ⋅ VR = 0
.
.
.
V1 ⋅ c A,0 − c A ( V 3 + k ⋅ VR ) = 0
V3
.
Einsetzten in (I):
.
V1 ⋅ c A,0 + V Rück ⋅ c A,Pr odukt,Rkt − V 3 ⋅ c A,Pr odukt,Rkt
.
.
= c A,0
V 3 + k ⋅ VR
V1
.
.
= 0,5
V1 + V 2 + k ⋅ VR
kmol
5
kmol
= 0,195
m3 5 + 3 + 0,8 ⋅ 6
m3
.
V3
.
Mit V Rück = 27
.
⎞
⎛.
⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟
⎟
⎜
⎠ ⋅ V =0
⎝
− k ⋅ c A,Pr odukt,Rkt
R
.
V3
.
m3
:
h
.
.
V1 ⋅ c A,0 + V Rück ⋅ c A,Pr odukt,Rkt − V 3 ⋅ c A − k ⋅ c A ⋅ VR = 0
.
.
⎞
⎛.
⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟
⎟
⎜
.
.
.
⎞
⎛.
⎠ ⋅ V ) =0
V 1 ⋅ c A,0 + c A,Pr odukt,Rkt ⋅ ( V Rück − ⎜⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟⎟ − k ⋅ ⎝
R
.
⎠
⎝
V3
5
.
V1
c A = c A,0
⎞
⎛
⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
.
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m3
:
h
.
(I)
V 3 c A − V Rück c A,Pr odukt,Rkt − V Pr odukt ⋅ c A,Pr odukt,Rkt = 0
Fachgebiet Verfahrenstechnik
5
kmol
= 0,313
m3 5 + 3
m3
V3
.
.
m3
kmol
= 0,5
.
.
cA =
.
.
kmol
V1 ⋅ c A,0 + V Rück ⋅ c A,Pr odukt − V 3 ⋅ c A = 0
Integrale Stoffbilanz um den Mischer:
.
.
V1 + V 2
.
.
⇒ c A = c A,Pr odukt,Rkt
.
.
V1
= c A,0
V3
V1 ⋅ c A,0 + V Rück ⋅ c A,Pr odukt,Rkt − V 3 ⋅ c A − k ⋅ c A ⋅ VR = 0
.
V1
c A = c A,0
c) Integrale Stoffbilanz mit Reaktion um den Reaktor_
.
= 0,114
.
.
= 10
m3
m3
keine Rückführung
h
Mit; V Rück = 27
.
kmol
V1 ⋅ c A,0 − V 3 ⋅ c A = 0
analog für c B,Produkt
c B,Pr odukt = c B,0 ⋅
(27 + 16 ) ⋅ 6
27 − (27 + 16 ) − 0,8 ⋅
d) Ohne Reaktion:
b) Integrale Stoffbilanz um den gesamten Prozess:
.
5 ⋅ 0,5
5⋅7
V Rück = − V 1 − V 2 + 7 ⋅ V1 = 6 ⋅ V1 − V 2 = (6 ⋅ 5 − 3)
.
.
⎞
⎛.
⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟
⎟
⎜
.
⎞
⎛.
⎠⋅V
⎝
V Rück − ⎜⎜ V Rück + V Pr odukt ⎟⎟ − k ⋅
R
.
⎠
⎝
V3
.
Integrale Bilanz um den Reaktor oder Rührer:
.
V1⋅ c A,0
cA =
.
V1⋅ c A,0 + V Rück ⋅ c A,Pr odukt,Rkt
.
V 3 + k ⋅ VR
=
5 ⋅ 0,5 + 27 ⋅ 0,114 kmol
kmol
= 0,14
7 ⋅ 5 + 0,8 ⋅ 6
m3
m3
⇒ Die Konzentration im Fall ohne Rückführung mit und ohne Reaktion steigt an! (keine Verdünnung)
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1.2.5
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Bestimmte Integration in den Grenzen c Malz ( t = 0) → 0,4 ⋅ c Malz ( t = 0) ,da das Ende der Gärung erreicht ist,
wen 60% des Malzzuckers umgewandelt sind, ergibt
Aufgabe Massenbilanz
Kontinuitätsgl.: V& i = w i ⋅ A i = const
bei Verzweigungen: ∑ w i,ein ⋅ A i,ein =∑ w j,aus ⋅ A j,aus
mit
& =V
& ⋅ρ
M
Wasser
⎛ 0,4 ⋅ c Malz ( t = 0) ⎞
⎟ = ln(0,4 ) = −k ⋅ t Dauer
ln⎜⎜
⎟
⎝ c Malz ( t = 0) ⎠
ln(0,4 )
t Dauer = −
= 329864,66 s = 91,63 h = 3,82 d
k
folgt:
&
M
A1 ⋅ w 1 + V& 4 = 3 + w 2 ⋅ A 2
ρ
&
M
A1 ⋅ w 1 + V& 4 − 3
ρ
w2 =
A2
Æ w2 = 1
1.2.7
Aufgabe kontinuierlich betriebener Fermenter
Umrechnung in SI-Einheiten: VF = 3 m3 = 3000 l
m
s
a)
0 = V& zu ⋅ c S,zu − V& ab ⋅ c S,ab − VF ⋅ k ⋅ c S
0 = V ⋅ k ⋅ c − V& ⋅ c
I.
II.
(da w 2 auf der rechten Seite (austretender Strom) angesetzt ist und das Ergebnis positiv ist, ist
Strom 2 ein austretender Strom)
4
F
B
V& zu = V& ab
III.
IV.
V.
ab
B,ab
(aus konstantem Füllstand)
c B = c B,ab
c S = c S,ab
3
b)
1
III und V in I:
0 = V& zu ⋅ c S,zu − V& zu ⋅ c S − VF ⋅ k ⋅ c S
V& ⋅ c
g
Æ c S = & zu S,zu = 0,019
l
Vzu + VF ⋅ k
c S , III und IV in II:
V ⋅ k ⋅ c = V& ⋅ c
2
F
Abbildung 4 - Mischer
1.2.6
S
Æ cB =
Aufgabe Brauprozess
1.2.8
Allgemeine Form von Bilanzgleichungen
zu
B
VF ⋅ k ⋅ c S
g
= 0,057
l
V&
zu
Aufgabe Stoffbilanz
a)
&
S& = Z& − A& + W
In einem Batch-Prozess gibt es keine Zu- und Abflüsse. Es findet in dem Behälter eine Wandlung von
Malzzucker in Ethanol statt, die für eine zeitliche Änderung der Malzzuckerkonzentration im Behälter
sorgt.
Eine integrale Stoffbilanz um den Gärbottich liefert demnach folgende Stoffbilanz:
∂NMalz
= −k ⋅ c Malz ( t ) ⋅ VRe aktor
∂t
|⋅
1
VRe aktor
∂c Malz
= −k ⋅ c Malz ( t )
∂t
Lösung dieser Differentialgleichung mit Trennung der Variablen
1
⋅ dc Malz = −kdt
c Malz ( t )
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Lösungskatalog zu EIS II A
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c
⇒ c O2 ,Fl = c O2 ,0,Fl − C1*I ⋅ exp(−k la ⋅ t ) mit AB: c O2 ,Fl (t = 0 ) = c Anf ,O2 ,Fl = 9,1⋅ 10 −5 mol l
⇒ C1*I = c O2 ,0,Fl − c Anf ,O2 ,Fl
Hiermit ergibt sich für die Lösung der Differentialgleichung ohne Mikroorganismen
c O 2 ,G
c O2 ,Fl = c O2 ,0,Fl − (c O2 ,0,Fl − c Anf ,O2 ,Fl ) ⋅ exp( −k la ⋅ t )
II Nach Umordnen der DGL erhalten wir die folgende Form
dc O2
dt
c O 2 ,0,FL
+ (k la + k Mikro ) ⋅ c O2 ,Fl = k la ⋅ c O2 ,0,Fl
Diese Differentialgleichung stellt eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung dar.
Die Lösung dieser DGL ergibt sich aus der Überlagerung der Lösung der homogenen DGL als
auch der partikulären Lösung der DGL. Die Lösung der homogenen DGL ist bereits in Aufgabenteil d) I) beschrieben und lautet:
c O 2 ,FL
0
c O2 ,Fl,hom = C1*II ⋅ exp( −(k la + k Mikro ) ⋅ t )
r
Die partikuläre Lösung erhalten wir mit Hilfe des Typs der rechten Seite. Hierbei wird der Ansatz
der partikulären Lösung in der Art der Inhomogenität gewählt (sofern die Originalfunktion c O2 ,Fl
in der DGL vorkommt).In unserem Falle stellt die Inhomogenität eine Konstante Funktion dar und
die Funktion selbst, d.h. c O2 ,Fl setzen wir die partikuläre Lösung ebenfalls als konstante Funktion
R
an.
c o2 ,Fl,part = C 2
Abbildung 5 - Konzentrationsverlauf an einer Gasblase
b) Für die Stoffbilanz werden zwei Fälle unterschieden
I Ohne Mikroorganismen
II Mit Mikroorganismen
Setzt man diesen Ansatz in die DGL ein erhält man folgenden Ausdruck(
(k la + k Mikro ) ⋅ C2 = k la ⋅ c O ,0,Fl
2
I
II
dNO2
dt
dNO2
dt
(
)
(
)
= β ⋅ A 0,B ⋅ c O2 ,0,Fl − c O2 ,Fl
c O2 ,Fl,ges = c O2 ,Fl,hom + c O2 ,Fl,part = C1*II ⋅ exp(−(k la + k Mikro ) ⋅ t ) +
= β ⋅ A 0,B ⋅ c O2 ,0,Fl − c O2 ,Fl − k Mikro ⋅ c O2 ,Fl ⋅ VFl
I
II
dt
dc O2
dt
=
=
β ⋅ A 0,B
VFl
β ⋅ A 0,B
VFl
(
)
(
)
⋅ c O2 ,0,Fl − c O2 ,Fl
k la
⋅ c O2 ,0,Fl
k la + k Mikro
Damit ergibt sich für die Gesamtlösung folgende Gleichung:
k la
⋅ c O2 ,0,Fl
k la + k Mikro
Mit Hilfe der Anfangsbedingung kann die Konstante bestimmt werden.
C1*II = c Anf ,O2 ,FL −
c) Zeitlicher Konzentrationsverlauf
dc O2
⇒ C2 =
dC 2
= 0 ):
dt
k la
⋅ c O2 ,0,Fl Die Lösung lautet demnach:
k la + k Mikro
⎛
⎞
k la
k la
c O2 ,Fl,ges = ⎜⎜ c Anf ,O2 ,FL −
⋅ c O2 ,0,Fl
⋅ c O2 ,0,Fl ⎟⎟ exp( −(k la + k Mikro ) ⋅ t ) +
k la + k Mikro
k la + k Mikro
⎝
⎠
⋅ c O2 ,0,Fl − c O2 ,Fl − k Mikro ⋅ c O2 ,Fl
d) Lösung der Differentialgleichungen
I Lösung der Homogenen Differentialgleichung mit Trennung der Variablen
β ⋅ A 0,B
1
dc O2 ,Fl =
dt
c O2 ,0,Fl − c O2 ,Fl
VFl
1
42
4
3
k la
− ln(c O 2 ,0,Fl − c O2 ,Fl ) = k la ⋅ t + C1I
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&
V& , ϑein ,H
ein
e) Der zeitliche Verlauf der beiden Graphen ist im folgenden Diagramm zu sehen
Zeitlicher Verlauf der
Sauerstoffkonzentration
P
VB , ϑ( t )
&
Q
0,0003
C_O_2,FL
0,00025
0,0002
Ohne
Mikroorganismen
Mit
Mikroorganismen
0,00015
0,0001
0,00005
&
V& , ϑaus ,H
aus
Abbildung 7 Integrale Energiebilanz
Da lokale Temperaturunterschiede durch das Rührwerk ausgeglichen werden, kann das Bilanzsystem das
Behältervolumen VB gewählt werden. Im weiteren Verlauf der Lösung wird für die Temperatur das Symbol T verwendet.
Energiebilanz :
.
.
.
Hein + P+ Q W − Haus =
0
dU
dt
3. Bilanzgrößen und Differentialgleichungen für den Temperaturverlauf
0
1,
5
3
4,
5
6
7,
5
10 9
,5
12
13
,5
15
.
.
Eintretender Enthalpiestrom: Hein = V⋅ ρ ⋅ c ⋅ Te
.
.
Austretender Enthalpiestrom: Haus = V⋅ ρ ⋅ c ⋅ T
Dabei ist die spezifische Bezugsenthalpie hbez (Tbez ) = 0 gesetzt.
Zeit in s
Abbildung 6 - Zeitlicher Verlauf der Sauerstoffkonzentration
Änderung der inneren Energie:
dU
= VB ⋅ ρ ⋅ c ⋅ T
dt
Damit wird
.
.
V⋅ ρ ⋅ c ⋅ ( Te − T ) + P + Q W = VB ⋅ ρ ⋅ c ⋅
1.2.9
dT
dt
.
Mit
Aufgabe Temperaturausgleichsbehälter
Te = To + Θ emax ⋅ sin ω ⋅ t
1. Problemart
Periodischer Wärmetransport in einem gerührten Flüssigkeitsbehälter.
Lautet dann die Dgl.
.
.
.
dT
V
V
P + QW
+
(T − T0 ) =
Θ emax ⋅ sin ω ⋅ t +
dt VB
VB
ρ ⋅ c ⋅ VB
2. Systembegrenzung und Energiebilanz
Die Einführung einiger Abkürzungen
.
.
τ=
V
VB
κ=
P + QW
ρ ⋅ c ⋅ VB
Θ = T − T0
liefert
Θ emax
dΘ 1
+ ⋅Θ =
⋅ sin ω ⋅ t + κ
dt τ
τ
4. Lösung der Differentialgleichung
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Lösungskatalog zu EIS II A
Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen linearen Dgl. 1. Ordnung setzt sich aus der homogenen und einer partikulären Lösung zusammen.
Θ = Θh + Θ p
Die gesuchten Anpassungskoeffizienten sind damit
.
ϕ = arctgω ⋅
Die homogene Lösung beschreibt den Einschwingvorgang ausgehend von einem bestimmten Anfangszustand → exp( −t τ) . Im hier zu betrachtenden eingeschwungenen Zustand ( t → ∞ ) ist der homogene Lösungsanteil völlig abgeklungen. Der Anfangszustand spielt in diesem Falle keine Rolle und kann auch nicht
mehr identifiziert werden. Das Temperaturverhalten wird dann allein durch die partikuläre Lösung bestimmt.
Ansatz für die partikuläre Lösung in Form des Störgliedes der Differentialgl.
V
VB
k1 = Θ amax =
Θe
Θ emax
=
2
1+ ω ⋅ τ
Θ = k1 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ) + k 2
2
ω2 +
⎛
⎞
⎜ ω ⋅ vB ⎟
1+ ⎜
⎟⎟
.
⎜
⎝ V ⎠
tritt aus dem Behälter dar.
5. Bestimmung des Volumens im Ausgleichsbehälters
Bedingung:
k2
= κ ⇒ k2 = τ ⋅ κ
τ
Θ amax
sin ω ⋅ t -Glieder
:
Θ emax
1
− ω ⋅ k1 ⋅ sin ϕ + ⋅ k1 ⋅ cos ϕ =
τ
τ
= p = 0,001
Temperaturschwankungsamplitude am Austritt
1
⎛
⎜ ωV
1+ ⎜ B
⎜ .
⎝ V
:
− ω ⋅ k1 ⋅ cos ϕ +
1
⋅ k1 ⋅ sin ϕ = 0 ⇒ tgϕ = −ωτ
τ
Θ amax
Die Auflösung der beiden letzten Gleichungen nach sin ϕ und cos ϕ ergibt
cos ϕ =
Θ emax
Θ amax = k1 = Θ emax
cos ω ⋅ t -Glieder
− sin ϕ =
P + QW
= ∆T0
ρ⋅c ⋅ V
∆T0 stellt die Erhöhung des zeitlichen Mittelwertes der Flüssigkeitstemperatur vom Eintritt bis zum Aus-
sin( ω⋅t )⋅cos ϕ
+ cos( ω⋅t )⋅sin ϕ
Der Koeffizientenvergleich liefert
Konstantenglieder :
Θ emax
k1 ⋅ τ
⋅
Θ emax
ω
ω2 +
2
.
→ k2 = κ ⋅ τ =
Θ emax
k
1
ω ⋅ k1 ⋅ cos( ω ⋅ t + ϕ) + ⋅ k1 ⋅ sin( ω ⋅ t + ϕ) + 2 =
⋅ sin ω ⋅ t + κ
14
4244
3 τ
142
4 43
4
τ
τ
cos( ω⋅t )⋅cos ϕ
− sin( ω⋅t )⋅sin ϕ
1
τ2
Θ emax
=
Die Größen k1,k 2 und ϕ müssen nun so bestimmt werden, dass der Ansatz die Dgl. befriedigt. Durch Einsetzen in die Dgl. erhält man
1
⋅
max
τ
=p=
1
2
1
⎛
⎞
⎜ ωV ⎟
1+ ⎜ B ⎟
.
⎜
⎟
⎝ V ⎠
τ2
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
2
Die Auflösung nach VB ergibt mit
Θ emax
1
⋅
k 1 ⋅ τ 2 ω2 + 1
τ2
ω=
2π
ts
.
VB =
Quadrieren der beiden Gleichungen und Addition liefert:
sin2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 =
=
Θ 2e
⎛ ⎛ ω ⎞2 1 ⎞
⎟
⋅ ⎜⎜ ⎟ +
⎜
τ 4 ⎟⎠
⎛
1 ⎞ ⎝⎝ τ ⎠
⎟⎟
k12 ⋅ ⎜⎜ ω2 +
τ2 ⎠
⎝
max
2
1.2.10 Aufgabe Kanalisation
Kontinuitätsgl.: V& i = w i ⋅ A i = const (für konstante Dichte)
bei Verzweigungen: ∑ w i,ein ⋅ A i,ein =∑ w j,aus ⋅ A j,aus
Θ 2e
1
max
⋅
k12 ⋅ τ 2 ω2 + 1
τ2
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V⋅ t s
1
⋅
− 1 = 39,8 m3
2π
p2
A 2 ⋅ w 2 + A 3 ⋅ w 3 + A 4 ⋅ w 4 = A1 ⋅ w 1 + w 5 ⋅ A 5
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w5 =
Lösungskatalog zu EIS II A
A 2 ⋅ w 2 + A 3 ⋅ w 3 + A 4 ⋅ w 4 − A1 ⋅ w 1
A5
geg.:
D1 = 2 m , D 2 = 1m , D3 = 4 m , D 4 = 3 m , D5 = 7 m
m
w 1 = 2,3
s
, w 2 = 0,5
Æ w 5 = 0,95
m
s
, w3 = 3
m
m
, w 4 = 0,8
s
s
Einkommen
m
s
Speicher,
Wandlung:
Zinsen
Miete
Versicherungsgebühren
Sonstiges
(da w 5 auf der rechten Seite (austretender Strom) angesetzt (beliebig gewählt) ist und das Ergebnis positiv
ist, ist Strom 5 ein austretender Strom)
1
b)
2
5
dG
= Einkommen − Miete − Versicherung − Sonstiges
dt
+ Zinsen ( = 0,02 ⋅ Kontostand Anfang des Monats )
c) Achtung: Neuen Geldstrom einführen:
dG
= Einkommen − Miete − Versicherung − Sonstiges + Zinsen - Geld zum Vergnügen
dt
16000 - 15000
€
€
€
€
= 3300
− 800
− 200
− 500
1 Monat
Monat
Monat
Monat
Monat
1
+ 0,02 ⋅
⋅ 15000€ − Geld zum Vergnügen
12 Monate
→ Geld zum Vergnügen = 1000€
3
4
d)
∆G = 3300€
Abbildung 8 - Mischer
1.2.11 Aufgabe Finanzbilanz
a) G = Geld
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1.3
Lösungskatalog zu EIS II A
h2 =
Hydrostatik
1.3.1
Aufgabe U-Rohr
b) Für die gegebenen Werte ist der Körper vollständig eingetaucht Fall I und es ergibt sich eine Eintauchtiefe von h2 = 0,082 m .
plinks = prechts
pb,links + pa,links + p 0 = pa,rechts + p 0
FG,b,links
A Quer
+
FG,a,links
A Quer
=
FG,b,rechts
A Quer
g (ρa h1 + ρb ∆hb ) = g ρa h 2
∆hb =
1.3.4
ρa
(h2 − h1 )
ρb
∆ha = h2 − h1 − ∆hb = (h2 − h1 ) (1 −
ρa
)
ρb
Æ ∆ha = 0,41cm
p = ρ w g(h1 −
z
p 2 = p3 + gh 2ρ 2
p1 = p 2 + gh1ρ1
p im Rohr ergibt sich aus der Wassersäule im linken vertikalen Rohr bis zur Nulllinie, Schenkel
(i)
(ii)
(iii)
Durch umstellen ergibt sich:
Nun muss (i) in (ii) eingesetzt und anschließend (ii) in (iii) eingesetzt werden, daraus folgt:
p1 ≥ p 0 + ∑ ghiρi , als Bedingung für die Strömung des Gases durch die Anlage.
Æ p1 ≥ 1,749 bar
ρHg 1
⎡
∆h ⎤
p − p 0 = ρ w g(h1 + h2 ) ⋅ ⎢1 + (
− )
⎥.
ρ w 2 h1 + h2 ⎦⎥
⎣⎢
b) p − p0 = 0,71bar .
c) ∆h = 0 ⇒ p − p0 = ρ w g(h1 + h2 ). In diesem Fall stellt das Manometer ein gekrümmtes Standrohr dar.
Die Höhe h1 + h2 der Wassersäule in diesem Standrohr entspricht dann genau dem Überdruck in der
Leitung. Das Quecksilber im U-Rohr hat jetzt nur noch die Aufgabe, den Druck von einem Schenkel des Manometers zum anderen zu übertragen.
b) Die Flüssigkeit steigt im Rohr (Höhe h0 + h1 ) auf! Damit keine Flüssigkeit in den waagerechten Zulauf gelangt muss gelten:
p 0 + gρ1(h1 + h0 ) ≥ p0 + g(h1ρ1 + h 2ρ 2 + h3ρ3 ) .
Daraus ergibt sich:
ρ1h1 + ρ1h0 = ρ1h1 + ρ 2h2 + ρ3h3 ⇒ h0 ≥
1.3.5
ρ 2h 2 + ρ 3 h 3
ρ1
Aufgabe U-Rohr Manometer II
Beim Ansatz ist zu beachten, dass nicht nur die Behälter sondern auch die darüber liegenden Rohre mit der
jeweiligen Flüssigkeit (A & B) gefüllt sind.
Æ h0 ≥ 3,65 m
1.3.3
∆h
) + ρQ g∆h + ρ w gh 2 + p0
2
Wasser und Schenkel Quecksilber neutralisieren sich selbst + Säule Quecksilber (Delta h) + Wassersäule im rechten vertikalen Rohr ( h2 ) + dem Umgebungsdruck.
Aufgabe Gaswäsche
a) p3 = p0 + gh3ρ3
Aufgabe U-Rohr Manometer I
a) Die Druckverhältnisse in beiden Schenkeln des Manometers gleichen sich genau aus! (Man beachte
die gedachte Nulllinie in der Abbildung!)
Die Querschnittsfläche des Manometers ist überall gleich groß!
Daraus ergibt sich folgende Kräftebilanz (bereits durch die Querschnittsfläche geteilt):
∆hb = 1,59 cm
1.3.2
ρK ⋅ h0 − ρa ⋅ h1
ρb
∆h ⎞
⎛ ∆h
⎞
⎛
− h1 ⎟ ⋅ A = p 2 ⋅ A − ρb g⎜ h2 +
p1 ⋅ A + ρa g⎜
⎟ ⋅ A + ρc g ⋅ ∆h ⋅ A
2 ⎠
⎝ 2
⎠
⎝
Aufgabe Schwimmender Zylinder
a) Fallunterscheidung
I. h1 + h 2 ≥ h0 , der Körper befindet sich vollständig unterhalb der Flüssigkeitsoberfläche. Es gilt:
⎛
∆h ⎞
⎛
⎛ ∆h
⎞⎞
− h1 ⎟ ⎟⎟ = −234,95 Pa
p1 − p 2 = g⎜⎜ ρc ∆h − ρb ⎜ h2 +
⎟ − ρa ⎜
2 ⎠
⎝
⎝ 2
⎠⎠
⎝
ρK ⋅ g ⋅ h0 = ρa ⋅ g ⋅ (h0 − h2 ) + ρb ⋅ g ⋅ h2
ρ − ρa
h 2 = h0 ⋅ K
ρb − ρ a
1.3.6
Für den komplett eingetauchten Körper ist die Eintauchtiefe unabhängig von der Höhe h1 .
II. h1 + h2 < h0 , der Körper befindet sich nicht vollständig unterhalb der Flüssigkeitsoberfläche.
Es gilt:
ρK ⋅ g ⋅ h0 = ρa ⋅ g ⋅ h1 + ρb ⋅ g ⋅ h2
Aufgabe – Blockierter Abfluss
a) Aus der Addition der Kraft - Vektoren, ergibt sich die resultierende Kraft aus der Summe der Gewichtskraft, der Druckkraft auf die Fläche des Abflusses durch die Wassersäule, sowie der Auftriebskraft: Fres = Fp + FA + Fg (*), mit:
FA = gρFl VRestKugel wobei VRestKugel = VKugel − VKA =
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4
1
πR 3 − πR 3 (1 − cos(α))2 (2 + cos(α)) ,
3
3
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Lösungskatalog zu EIS II A
Fg = mg = VKugelρKugelg und Fp = pA Abfluss = gρFlHA Abfluss = gρFlH(Rsin (α ))2 π ist.
1.3.9
Damit folgt für (*):
Aufstellen der Kräftegleichgewichtsbeziehung ( G entspricht der Gewichtskraft des entspr. Körpers )
(a) 0 = ρ f gVTZ − G1 − ρK gVK
(b) 0 = ρ f g( VTZ + VK ) − G2 − ρK gVK
(c) 0 = ρ f gVTZ − G3
⇒
G3 = ρ f gVTZ
4
1
⎛4
⎞
Fres = πR 3ρK g + (Rsin(α ))2 πgρFlH − gρFl ⎜ πR 3 − πR 3 (1 − cos(α ))2 (2 + cos(α))⎟ .
3
3
⎝3
⎠
Es ergibt sich somit:
⎡4
1
⎛4
⎞⎤
Fres = πR 2 g⎢ RρK + sin2 (α )ρFlH − ρFl ⎜ R − R(1 − cos(α ))2 (2 + cos(α ))⎟⎥
3
⎝3
⎠⎦
⎣3
diese resultierende Kraft ist eine
Lagerkraft.
b) Fres = 6,22 N .
1.3.7
aus (a) und (c)
⇒ VK =
G3 − G1
ρK g
(d)
(d) und (c) eingesetzt in (b)
⇒
0 = G3 +
ρf
(G3 − G1 ) − G2 − G3 + G1
ρK
umgestellt nach ρK
⇒
ρK = ρ f ⋅
G3 − G1
G2 − G1
Aufgabe Dichtemessung bei Flüssigkeiten
Vorraussetzung für die Lösung der Aufgabe ist das Verständnis vom Auftrieb. Durch diesen gilt für
schwimmende Körper:
FG = FA , diese Kräfte setzen sich wie folgt zusammen:
FG,Körper = VKörper ⋅ ρKörper ⋅ g = Veingetauch t ⋅ ρFluid ⋅ g = FA , wobei für Vein. gilt:
Veingetauch t = V + x ⋅ π ⋅ r02 , damit
ergibt sich für h:
⎞
V ⎛ ρ
⎜
h=
− 1⎟⎟
⎜
π ⋅ r02 ⎝ ρ0
⎠
Æ hÖl = 3,73 cm , hEthanol = 10,09 cm
1.3.8
Aufgabe Dichtemessung bei Feststoffen
Aufgabe Tauchglocke
a) Kräftebilanz ergibt:
Außerdem gilt:
p 0 ⋅ V0 = p1 ⋅ V1
p ⋅V
p1 = p 2 = 0 0
V1
Ausdrücke für den Staudruck und durch umstellen ergibt sich:
Analog verfährt man bei der Bestimmung der Geschwindigkeit u 2 : Der Staudruck, der durch das strömende
Fluid erzeugt wird, wird durch den Flüssigkeitsstand des Manometers angezeigt. Es gilt auch hier wie-
V0
h1
=
V1 h1 − ∆h
der: p 2s =
p
∆h
h2 = 0 ⋅
+ ∆h
ρ ⋅ g h1 − ∆h
p S1 =
p 0 ⋅ ∆Vx = p 3 VGlocke − p 2 ⋅ V1
ρ ⋅ g ⋅ h2
ρ ⋅ g ⋅ (h 2 − ∆h)
⋅ π ⋅ r02 ⋅ h1 −
⋅ π ⋅ r02 ⋅ (h1 − ∆h)
p0
p0
⎡
⎛ ρ
u 2 = 2g⎢h1 + ∆h⎜⎜1 − b
⎝ ρa
⎣⎢
⎞⎤
m
⎟⎥ = 3,81
⎟
s
⎠⎦⎥
Hinweis: Der hydrostatische Druck p stat = p 0 + ρa gz i ( zi als Eintauchtiefe des Manometers in die Flüssigkeit a) am Einlass in den Manometer muss nicht berücksichtigt werden, weil dieser keinen Einfluss auf den
erhöhten Flüssigkeitsstand innerhalb des Manometers hat, da dafür lediglich der Staudruck des strömenden
Fluids verantwortlich ist.
Æ Vx = 1,05 m3
19
ρa 2
U1
2
ρa 2
u 2 = g(∆h(ρa − ρb ) + ρah1 ) ⇒
2
wobei p3 = ρ ⋅ g ⋅ h2 +p0 und VGlocke = π ⋅ r02 ⋅ h1
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für die Bestimmung des hydrostatischen Drucks des rechten Teils des Manometerrohres
p 2s = gρa ∆h − g∆hρb + gρah1 = g(∆h(ρa − ρb ) + ρah1 ) .
123
c) Ansatz:
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ρa 2
u 2 und
2
ergibt sich:
b) Æ h 2 = 1,71m
∆Vx =
Das Prinzip der Geschwindigkeitsmessung mit dem abgebildeten Manometer beruht auf zwei Prinzipien.
Zum einen beruht es auf der physikalischen Tatsache, das im Staupunkt die kinetische Energie der Strömung vollständig als Druckkraft auftritt und hier der Staudruck herrscht, wobei an dieser Stelle die Strömungsgeschwindigkeit Null ist. Des Weiteren muss ab dem Staupunkt eine hydrostatische Betrachtung
durchgeführt werden, das heißt, das in den Steigrohren die Strömungsgeschwindigkeit gleich Null ist und
hier lediglich die durch Abbremsung in statischen Druck umgewandelten Staudrücke der jeweiligen Geschwindigkeiten angezeigt werden.
Mit diesen Erkenntnissen betrachten wir nun das Manometer Rohr in zwei unterschiedliche Bereiche, einmal in den linken Teil, in dem wir lediglich den Flüssigkeitsstand der linken Wassersäule der Höhe h1 betrachten und den dazugehörigen Staudruck p1s . Damit ergibt sich aus dem hydrostatischen Gleichgewicht: p1s = ρa g h1 . Wie schon in a) erläutert ist der Staudruck eines Strömenden Fluids auch definiert als:
ρ
p1s = a u12 durch Gleichsetzen der beiden
2
ρ
m
ρa gh1 = a u12 ⇒ u1 = 2gh1 = 3,71 .
2
s
p0 + ρ ⋅ g ⋅ h2 = p2 + ρ ⋅ g ⋅ ∆h
Hieraus folgt mit
1.3.10 Aufgabe Messung von Strömungsgeschwindigkeiten
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So wäre Bsp. der Wasserstand im linken Schenkel des Manometers exakt an der Wasseroberfläche, wenn
das Fluid nicht strömt, sondern in Ruhe wäre.
1.3.12 Aufgabe Luftballon in der Wassersäule
Es gilt:
p ⋅ V = const
Nun wird geprüft, an welcher Stelle x das Volumen gerade mit dem Durchmesser des Rohres
1.3.11 Aufgabe Schichtung der Atmosphäre
Abbildung 9 zeigt ein differentielles Volumenelement in der zu berechnenden polytropen Atmosphäre. Die
Druckkräfte werden durch die unterschiedlichen Drücke entlang von z symbolisiert, FG stellt die Gewichtskraft des Elements dar. Da sich das Element nicht bewegt ist die Summe der drei angreifenden Kräfte gleich Null. Damit lässt sich eine Gleichung für den Druck ableiten.
V(z = x) =
4
π ⋅ r 3 zu berechnen ist. Der Druck lässt sich mit Hilfe des Eulerschen Grundgesetzes darstellen.
3
Ist der Wert der Stelle x positiv, so erreicht der Ballon noch vor der Wasseroberfläche das Volumen und
hat, auch wenn er die Wasseroberfläche erreicht, ab dieser Stelle x und bei geringerer Tauchtiefe als x nicht
mehr die Kugelform.
p(z = H) ⋅ V(z = H) = p(z = x) ⋅ V(z = x)
p(z = H) = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ H
p(z = x) = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ x
V(z = x) =
4
π ⋅ r3
3
V(z = H) = 1,59 ⋅ 10 -3 m3
Nun einsetzen und umformen:
(p0 + ρ ⋅ g ⋅ H) ⋅ 1,59 ⋅ 10 -3 m3
= p0 + ρ ⋅ g ⋅ x
4
π ⋅ r3
3
Abbildung 9 – Differentielles Element in der polytropen Atmosphäre
Für den Druck in einem schweren Gas gilt: p = p0 − ρgz woraus für die Druckänderung mit der Höhe durch
ableiten man folgenden Ausdruck erhält:
dp
= −gρ .
dz
Nach der Polytropen Beziehung gilt: ρ = ρ0
Ausdruck für die Druckänderung mit der Höhe z eingesetzt erhält man:
nen der Variablen auflösen kann nach: −
Nun integriert man unbestimmt: − ∫
1
pn
1
pn
dp = g
dp = ∫ g
ρ0
pn0
ρ0
pn0
pn
in den
pn0
ρ
dp
= −g 0 pn was man durch trendz
pn0
dz
dz wodurch man:
x = 0,764m
ρ
1 1-n
p = g 0 z+C
n −1
pn0
Die Konstante erhält man aus der Bedingung, das an der Stelle z = 0 Umgebungsdruck herrschen soll, also: p = p0 ist. Es ergibt sich: C =
p1-n = (n − 1)g
ρ0
pn0
z + p10−n
⎡
⎣
Für das Druckverhältnis
1
p(z ) = p 0 [(n − 1) + 1]1 − n
ρ
1 1-n
1 1−n
1 1−n
p =g 0 z+
p0
p 0 , somit ist:
n −1
n −1
n −1
pn0
und daraus: p(z ) = p0 ⎢(n − 1)g
p
p0
⎤
ρ0
z + 1⎥
p0
⎦
ρMensch =
(**).
p0
in (**):
ρ0 g
21
M
MMensch
⇒ VMensch = Mensch = 4,98 ⋅ 10 −2 m3
VMensch
ρMensch
V80% = VMensch ⋅ 0,8 = 3,98 ⋅ 10 −2 m3
1
und durch Teilen beider Seiten der Gleichung durch p 0
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Der Ballon schafft es also nicht, die Wasseroberfläche kugelförmig zu erreichen.
1.3.13 Aufgabe Rettungsring
1
1− n
erhält man durch einsetzen von z = H =
Fachgebiet Verfahrenstechnik
1 (p 0 + ρ ⋅ g ⋅ H) ⋅ 1,59 ⋅ 10 -3 m3 p0
⋅
−
4
ρ⋅g
ρ⋅g
π ⋅ r3
3
⎡
⎤
⎢
1
(1,013 ⋅ 10 5 + 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 2) ⋅ 1,59 ⋅ 10 -3 1,013 ⋅ 10 5 ⎥
x=⎢
⋅
−
⎥m
4
1000 ⋅ 9,81 ⎥
⎢ 1000 ⋅ 9,81
π ⋅ 0,075 3
3
⎣⎢
⎦⎥
x=
1
p
= [(n − 1) + 1]1−n = n 1−n
p0
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.
Es muss gelten
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!
FA = FG für ein eingetauchtes Volumen des Kindes von 80% .
1.4
Die Auftriebskraft setzt sich zusammen aus dem verdrängten Wasservolumen des zu 80% eingetauchten
Menschen und dem Volumen des Ringes, der zusätzlichen Auftrieb verursachen soll.
1.4.1
⇒ (ρMeerw − ρMensch ) ⋅ V80% + (ρMeerw − ρRing ) ⋅ VRing = MKind
⇒ VRing =
MKind − (ρMeerw − ρMensch ) ⋅ V80%
= 0,112 m3
(ρMeerw − ρRing )
1.3.14 Aufgabe Schlauer Taucher?
Nein. Da der Höhenunterschied zu der Druckkraft führt, welcher unter dem Felsvorsprung derselbe bleibt,
bleibt der Druck, der auf den Taucher wirkt, derselbe. (Eulersches Grundgesetz führt zu Æ
p(z) = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ z )
Kinematik
Aufgabe Bernoulli Gleichung
Exkurs-Unstetigkeitsstelle:
Unter einer Unstetigkeitsstelle versteht man eine nicht stetige Änderung einer Zustandsgröße, also zwei
verschiedene Grenzwerte bei Annäherung an diese Stellen von links und von rechts, bzw. von oben und
von unten. Hier in unserem Fall, die Geschwindigkeit, welche auch den Druckverlauf beeinflusst. Wir gehen davon aus, dass bei Annäherung von oben an die Stelle B die Geschwindigkeit gleich null ist, wohingegen wir annehmen, das bei Annäherung von unten an den Punkt B die Geschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit U1 ist. Es liegt also einmal der linksseitige Grenzwert der Geschwindigkeit von Null vor und
der rechtsseitige Grenzwert beträgt U1 . Siehe hierzu den folgenden skizzierten Geschwindigkeitsverlauf
über einem Behälter mit Fallrohr (s.Abbildung 10 ):
0
U1
U
z
U( z)
1.3.15 Aufgabe Betz Manometer
Unstetigke itsstelle :
a)
sprunghaft e Änderung
der Geschwindi gkeit
p 2 = p1 − ρ ⋅ g ⋅ ∆h
von 0 auf U1
p x = p 2 − ρ ⋅ g ⋅ ∆h = p1 − 2 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ ∆h
p x = p1 − ρ ⋅ g ⋅ ∆h
b)
→
∆pb.)
∆p a.)
Abbildung 10 - Unstetigkeitsstelle
1
=
2
a) Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden von der Oberfläche bis zum Austritt an der Stelle 2. Ohne Diffusor herrscht an der Stelle 2 Umgebungsdruck. Und die Bernoulli Gleichung resultiert zu:
ρ
p 0 = p 0 + U22 − ρgH
2
⇒
U2 = 2gH
mit der Kontinuitätsgleichung: M& = ρUA = konst . ergibt sich:
U1 = U2 = 2gH mit A 1 = A 2 .
Damit resultiert sich für den Volumenstrom:
π
V& = UA = 2gH d2 .
4
Lösung: U1 = U2 = 13,29
m &
m3
, V = 0,176
s
s
b) In Analogie zu a) die Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden von der Oberfläche bis zum Austritt, der Stelle 3:
ρ
p 0 = p 0 + U32 − ρgH ⇒ U3 = 2gH .
2
Da die Kontinuitätsgleichung gilt:
& = ρUA = konst .
M
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mit:
π
π
A 3 = D 2 und A 4 = d2 ⇒
4
4
womit aus (**) und (*) folgt: p1 − ρgh +
2
A
m
⎛D⎞
U2 = U3 3 = U3 ⎜ ⎟ = 15,41
A2
s
⎝d⎠
U2 A 2 = U3 A 3 ⇒
π
m3
.
und damit ergibt sich für den Volumenstrom V& 1 = V& 2 = V& 3 = D 2 2gH = 0,205
4
s
ergibt sich folgender Zahlenwert:
(
)
2
p − p1 + ρgh
ρ
⇒ε=
ε 2gH = p0 ⇒ ε 2 = 0
2
ρgH
ε = 1,18 : 1
π
π 2
e) Der maximale Volumenstrom ergibt sich: V& max = Dmax
2gH = d2 ε 2gH .
4
c)
es ergibt sich folgender Zahlenwert:
p(z)
ρ
2
p0
ρ
2
1.4.2
u 22
ρgh
2
3
z
Aufgabe Ausflussfunktion I
A 0 >> A1 o. A 2 daher muss für die Geschwindigkeiten gelten:
u0 << u1 o. u2 ⇒ u0 ≈ 0. Quasistationarität:
Abbildung 11 – Druckverlauf über der Höhe
Den Stromfaden für eine Stromlinie 0 → 1 : Unter der Annahme die Flüssigkeit ruht im Punkt 1!
statische Druck:
p0 = p(~
z ) + ρg~
z ⇒ p(~
z ) = p0 − ρg~
z
also liegt hier eine Unstetigkeitsstelle vor!
p(~
z ) = p0 −
∂u0
≈ 0.
∂t
b) Fall 1, senkrechtes Fallrohr: Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden von der Wasseroberfläche
bis zum Punkt, an dem das Wasser austritt.
p0 = p0 +
Den Stromfaden für eine Stromlinie 1 → 2 : Annahme im Punkt 1 ist sofort die Geschwindigkeit U1 ,
ρ
ρ
p1 + U12 − ρgh = p(~
z ) + U22 + ρg~
z ⇒
2
2
mit p1 = p0 + ρgh
4
L
V& = 208 .
s
Man beachte den Nullpunkt und die Richtungsausrichtung von z für den Fall 1 (s.Abbildung 12): Richtung
wie in der Herleitung! Für den Fall 2 wird der Nullpunk um l nach oben verschoben, die Richtung bleibt
gleich!
a) 0 - Indizes für die Oberfläche, 1 - Indizes für den Ausfluss des Behälters links, 2 - Indizes für den
Ausfluss des Behälters rechts.
Nach der Kontinuitätsgleichung für inkompressible Medien gilt: A 0u0 = A1u1 = A 2u 2 , da
u22
1
p0 − p1 + ρgh
es
ρgH
ρ
ρ 2
u1 − ρg(h + l) ⇒ u12 = ρg(h + l) ⇒ u1 = 2g(h + l)
2
2
Fall 2, waagerechter Ausfluss: Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden von der Wasseroberfläρ
2
che, bis zum Austritt des Wassers am Rohrende. p 0 = p 0 + u 22 − ρgh ⇒
ρ 2
U2 − ρg~
z
2
ρ 2
u 2 = ρgh ⇒ u1 = 2gh ,
2
welche auch als Torricelli - Gleichung bekannt ist.
aus dem Vorherigen Teil ( 0 → 1 ) und U1 = 0 am Punkt 1!
Mit Diffusor: Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden von der Oberfläche bis zum Punkt 2:
ρ 2
ρ
U2 − ρgH ⇒ p 2 = p 0 − U22 + ρgH ⇒ mit der Lösung aus Aufgabe b):
2
2
⎛ D4
⎞
⎛ D4
⎞
D2
⎜
+ ρgH = p 0 − ρgH
− 1⎟ und damit gilt: ∆p 23 = ρgH⎜
− 1⎟ .
p 2 = p0 − ρgH
2
4
4
⎜
⎟
⎜
⎟
d
⎝d
⎠
⎝d
⎠
p0 = p2 −
d) Aus c) erkennt man: der niedrigste Druck herrscht im Punkt 1: ⇒ p1 > pSiede muss gelten.
ρ
= p0 (*)
2
Mit der Kontinuitätsgleichung gilt: ρU1A1 = ρU2 A 2 mit ρ = const. , A1 = A 2 ⇒ U1 = U2 (**)
Bernoulli Gleichung für Punkt 0 → 1 : p1 − ρgh + U12
aus der Kontinuitätsgleichung für Punkt 2 → 3 ergibt sich:
A 2U2 = A 3U3 ⇒ U2 =
A3
U3 ⇒ U2 = ε U3 und nach Torricelli folgt: U3 = 2gH
A2
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25
Abbildung 12 – Koordinatensystem Bernoulli
c) Man muss sich zunächst klar machen, dass man für die zwei Teilbereiche (Becken, Rohr) unterschiedliche Betrachtungsweisen annimmt. Wenn man von Beckenseite an den Punkt B herangeht,
ist die Geschwindigkeit in diesem Punkt 0. Wenn man von Rohrseite an den Punkt B herangeht, hat
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Lösungskatalog zu EIS II A
sie einen Wert, der größer 0 ist. Sie hat mit Zuhilfenahme der Kontinuitätsgleichung gerade den
Wert der Ausflussgeschwindigkeit u1 .
Konkret heißt das, dass im Becken an der Oberfläche der Außendruck p0 herrscht. Mit zunehmender Tiefe nimmt die Wassersäule zu und es kommt ein weiterer Druckterm mit ρgz hinzu. Inner-
1
pB2 = p 0 + ρ g h − ρ
2
( 2gh )2 = p0 .
e) Fall 1: Es gilt der Zusammenhang für die Querschnittsflächen: A Düse = m ⋅ A Rohr ⇒ m =
A Düse
.
A Rohr
und mit der Kontinuitätsgleichung: M& = const ⇒ ρuDüse A Düse = ρuRohr A Rohr
halb des Beckens gilt natürlich ebenfalls die Kontinuitätsgleichung, weshalb kein Geschwindigkeitsterm hinzukommt. Man hat folglich mit zunehmender Tiefe einen linearen, von der Tiefe abhängigen Druckanstieg.
Wir wissen weiterhin, dass der Druck am Ende des Rohres gleich dem Außendruck sein muss (nach
Torricelli). Des Weiteren wissen wir durch die Konti-Gleichung, dass die Geschwindigkeit im Rohr
überall konstant ist. Daher ergibt sich mit Bernoulli, dass der Druck am Punkt B pB = p0 − ρgl betra-
ergibt sich:
uRohr
A
= Düse = m ,
uDüse
A Rohr
wobei am unteren Rohrende immer noch u1 = uDüse = 2g(h + l) gilt.
Nun stellt man die Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden vom Punkt B1 bis zum Austritt des
ρ
2
ρ
2
2
Wassers aus dem Rohr auf: pB1 + uB21 − ρgh = p0 + uDüse
− ρg(h + l) und damit ergibt sich:
gen muss. Folglich gibt es auch innerhalb des Rohres einen mit der Höhe linearen Druckanstieg. An
der Stelle B kommt es zu einer plötzlichen Druckabsenkung.
Diese ist in den Druckverläufen als Unstetigkeitsstelle eingezeichnet; in Wirklichkeit ist die Beschleunigungsstrecke stets endlich, so dass man in der Praxis einen Druckverlauf erwarten kann,
wie er in Abbildung 13 punktiert dargestellt ist.
pB1 = p 0 +
UB2
ρ 2
ρ 2
ρ 2
2
(UDüse − UB
) − ρgl ⇒ pB1 = p 0 + UDüse
(1 −
) − ρgl ⇒ pB1 = p 0 + UDüse
(1 − m 2 ) − ρgl
2
2
2
2
UDüse
mit
UDüse = 2g(h + l) ⇒ pB1 = p 0 + ρgh(1 − m 2 ) − ρglm 2
Fall 2: analog wie Fall 1, daher gilt:
U2 = UDüse = 2gh , mit m =
u
A
A Düse
und Rohr = Düse = m
uDüse A Rohr
A Rohr
stellt man wieder eine Bernoulliesche Stromfadengleichung vom Punkt B bis zum Rohraustritt auf:
pB2 +
ρ 2
ρ 2
ρ 2
ρ 2
uB2 = p 0 + uDüse
− uB2 2 ) ⇒ pB2 = p 0 + uDüse
(1 − m 2 )
⇒ pB2 = p 0 + (uDüse
2
2
2
2
und so ergibt sich:
2
pB2 = p 0 + ρgh(1 − m ) .
Vergleich der Geschwindigkeiten unmittelbar am Ende des Rohres:
Da die Austrittsgeschwindigkeiten im Fall mit und ohne Düse gleich groß sind, sind die Geschwindigkeiten am alten Querschnitt (innerhalb des Rohres) mit Düse kleiner aufgrund der Kontinuitätsgleichung. Der Druckverlauf ist in Abbildung 13 dargestellt.
1.4.3
Aufgabe Strömungsmanometer
Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden vom Punkt 1 zu 2:
ρ
ρ
p1 + U12 − ρgh1 = p 2 + U22 − ρgh 2
2
2
Abbildung 13 – Vergleich Druckverlauf
d) Linker Behälter: Für einen Stromfaden von der Wasseroberfläche bis zum Austritt gilt die Bernoulligleichung:
1
p 0 + ρ g (h + l) = pB1 + ρ w B12 + ρ g l .
2
Man kann sich das Koordinatensystem so einzeichnen, das der Höhenunterschied Null wird.
⇒ p1 +
(
ρ 2
ρ
ρ
U1 = p 2 + U22 ⇒ p1 − p 2 = ∆p = u 22 − u12
2
2
2
)
wobei man den Volumenstrom schreiben kann als:
Da das Rohr eine konstante Querschnittsfläche aufweist, gilt nach der Kontinuitätsgleichung für inkompressible Medien: w B1 A = w 1 A ⇒ w B1 = w 1 . Und damit gilt auch:
1
pB1 = p 0 + ρ g h − ρ w 12
2
pB1 = p 0 − ρ g l
,
⇒u=
V&
A
und die Druckdifferenz lässt sich da-
2⎤
⎡
⎛ V& ⎞
ρ ⎛ V& ⎞
mit schreiben als: ∆p = ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ . Da der Volumenstrom konstant ist gilt: V& 1 = V& 2 = V& und die
2 ⎢ A2
A1 ⎥
2
⎣⎝
mit w 1 = 2 g (h + l) gilt:
V& = uA
Gleichung vereinfacht sich zu:
Rechter Behälter: Analoges Vorgehen nach Bernoulli:
⎠
⎝
⎠ ⎦
ρ ⎡⎛ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎤ & 2
⎥V
∆p = ⎢⎜
−
2 ⎢⎜⎝ A 22 ⎟⎠ ⎜⎝ A 12 ⎟⎠⎥
⎣
⎦
.
Nun die beiden Brüche, in denen die Fläche auftaucht gleichnamig machen:
1
pB2 = p 0 + ρ g h − ρ w B 2 2
2
wobei aus der Kontinuitätsgleichung und aus b) w B2 = w 2 = 2gh folgt und damit
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Lösungskatalog zu EIS II A
∆p =
ρ ⎡ A 12 − A 22 ⎤ & 2
⎥V
⎢
2 ⎢⎣ A 12 A 22 ⎥⎦
Lösungskatalog zu EIS II A
2∆p 2 ⎡ A 12 ⎤ & 2
A2 ⎢
⎥=V
2
2
ρ
⎣⎢ A 1 − A 2 ⎦⎥
den Term in der Klammer kann man vereinfachen zu:
⎡
⎢
2
∆p
⎢ 1
2
für unsere Gleichung V& =
A2 ⎢
2
ρ
⎢1 − A 2
⎢
A12
⎣
2
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢
2 ∆p
1
A2 ⎢
⎥,
2
ρ
⎢
A ⎥
⎢ 1 − 22 ⎥
A1 ⎥⎦
⎢⎣
V& =
(p0 − p1 )max = −2ρgh ⇒
diese Formel nach dem Volumenstrom auflösen und A 22 herausziehen:
1
wobei
1−
A 22
A 12
A 12 − A 22
1
=
1−
A 22
mit U = 0 vor dem Schieber ⇒ ∆t min =
Für den Druckverlauf im Schieber gilt (**): p 0 - p1 = -ρ
, womit sich
A 12
des Schließens. ⇒
U 0l
.
gh
U ⎞
U0
ρ ⎛
l + (⎜ U 0 - 0 t ⎟) 2 - ρgh und aus der Lö∆t
2 ⎝
∆t ⎠
ρ 2 ⎛⎜ 2t
t 2 ⎞⎟
U0 ( 1 +
) und mit dem maximalen Druck während
⎜ ∆t (∆t )2 ⎟
2
⎠
⎝
sung der Aufgabe b) ⇒ p1 - p 0 = 2ρ gh -
⎤
⎥
⎥
⎥ ergibt. Nun noch die Wurzel ziehen und es ergibt sich:
⎥
⎥
⎦
= α eine
ρU0l
ρ
= ρgh + U2 und
2
∆t
p1 - p 0
U2 U
gh 2
= 1- 0 + 0 t t
2ρgh
4gh
2l
4l 2
p1 − p0
2ρgh
1
Möglichkeit der Darstellung des Widerstandsbeiwertes ist.
A12
Auf den Widerstandsbeiwert wird im Rahmen der Vorlesung zu einem späteren Zeitpunkt näher eingegangen.
1.4.4
p1,stat. − p0
2ρgh
Aufgabe Stausee I
a) Für den stationären Betrieb stellt man die Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden auf, der an der
Stauseeoberfläche beginnt und beim Schieber endet.
Annahme: Die Geschwindigkeit U1 = U0 , da der Rohrquerschnitt vor dem Schieber gleich dem
∆t min
t0
Abbildung 14 – Druckverlauf im Schieber
Rohrquerschnitt beim Austritt ist (Kontinuitätsgleichung für inkompressible Medien). Der ZKoordinatenursprung wird in die Ausflussebene gelegt und weist nach oben.
Als Zahlenwerte ergeben sich: ∆t min = 7,645s ,
⎛
U2 ⎞
ρ
ρ
p 0 + ρgh = p1,stat. + U02 ⇒ p1,stat. − p 0 = ρgh − U02 = ρgh⎜1 − 0 ⎟.
⎜ 2gh ⎟
2
2
⎝
⎠
p1.stat. − p0 = 1,4 bar.
des Drucks ergibt sich: 11,77 - 4,5(1 -
b) Für den linearen Geschwindigkeitsanstieg mit der Zeit kann man auch schreiben: U(t ) = mt + n .
Wobei zur Zeit t = 0 soll U(t = 0 ) = U0 ⇒ n = U0 und für die Zeit t = t end :
U(t end ) = 0 ⇒ m = −
U
U0
U
dU
=− 0
= − 0 , und damit ergibt sich:
dt
∆t
t end
∆t
1.4.5
(*).
dU
ρ
ds + U2 + p1 = p 0 + ρgh
dt
2
dU ρ 2
l + U − ρgh und mit (*) folgt daraus:
dt
2
U0
ρ 2
p 0 − p1 = −ρ
l + U − ρgh (**) und laut Aufgabenstellung:
∆t
2
Aufgabe Stausee II
2
p1 + ρ ⋅ g ⋅ h1 +
ρ 2
ρ
∂u
⋅ u = p 2 + ρ ⋅ g ⋅ h 2 + ⋅ u 22 + ρ∫ ds
2 1
2
∂t
1
29
D
p0 + ρ ⋅ g ⋅ h2 +
ρ 2
ρ
∂u
⋅ 0 = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ 0 + ⋅ 0 2 + ρ ∫ ds
2
2
∂t
A
Durch Zerlegung des Integrals erhält man:
D
∂u
B
∫ ∂t ds = ∫
⇒ p 0 − p1 = ρ
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t 2
) bar.
∆t
a) Unmittelbar nach dem Öffnen gilt ui = 0
Das Integral wird zerteilt in die Summe der Integrale über s . Das eine Teilintegral geht für s von
( h bis x ) und andere von ( x bis l ). Da sich nach Quasistationarität die Geschwindigkeit nur von x
bis l (also in der Rohrleitung) und nicht im Behälter ändert, ergibt sich dann:
Fachgebiet Verfahrenstechnik
p1 - p 0
t2
t
und für den Verlauf
= 0,6177 + 0,1 - 6,54 * 10 3
s
2ρgh
s2
Die allgemeine instationäre Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden lautet :
Die instationäre Bernoulli Gleichung für einen Stromfaden vom einem Punkt an der Stauseeoberfläche zum Punkt am Ende des Rohres ( s = l; z = 0 ):
ρ∫
t
A
A
C
D
B
C
∂u 0
∂u
∂u
ds + ∫ 1 ds + ∫ 2 ds
∂t
∂t
∂t
Die Beschleunigung im Becken selbst ist zu vernachlässigen
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
∂u0
=0
∂t
⎛
⎞
⎛
A2 ⎞
R wx = −⎜ 0,5 * ρ * w 12 * ⎜1 + 1 ⎟ + (p1 − p 0 )⎟ * A 2 * sin α
2⎟
⎜
⎟
⎜
A2 ⎠
⎝
⎝
⎠
Æ R wx = −30 N
Außerdem gilt
.
V = const = u1 ⋅ A 1 = u 2 ⋅ A 2
(
..
V = const = a1 ⋅ A1 = a 2 ⋅ A 2
A2
d2
⋅ a2 = 2 ⋅ a2
A1
d12
a1 =
R wz = FVz = −ρ * g * V
Æ R wz = −9,81 N
Æ R w = 44 ,95N
Daraus folgt für das Integral
D
)
⎞
⎛
⎛
A2 ⎞
R wy = ρ * w 12 + [p1 − p0 ] * A1 − ⎜ 0,5 * ρ * w 12 * ⎜1 + 1 ⎟ + (p1 − p 0 )⎟ * A 2 * cos α
2⎟
⎟
⎜
⎜
A
2⎠
⎝
⎠
⎝
Æ R wy = −32 N
Demnach muß auch gelten
d22
∂u
∫ ∂t ds = ( d2 l1 + l2 ) ⋅ a02
1
A
1.4.7
Eingesetzt in die Bernouli-Gleichung ergibt sich folgendes
a 02 =
g ⋅ h2
m
= 16,35
L
s2
mit
L=
d2
( 2 l1 + l2 )
d12
= 60 m
Und dementsprechend für
Alternative 2:
Bilanzraum wählen, und es gilt nach Bernoulli:
d2 g ⋅ h 2
m
a 01 = 2
= 0,654
d12 L
s2
p1 +
b) Bestimmung des Überdruckes am Punkt C
Bernoulli für Stromlinie von A nach C
p 0 + ρ ⋅ g ⋅ h1 +
h1 d22 l1
−
) = 523200 Pa
h 2 d12 L
c) Bestimmung der Zeitabhängigkeit der Ausflußgeschwindigkeit
Differentialgleichung aus Bernoulli-Gleichung
du 2 g ⋅ h 2
u 22
)
=
⋅ (1 −
dt
L
2 ⋅ g ⋅ h2
(aus Bernoulli Gleichung für Anfangsbeschleunigung ohne u 2 = 0 )
Etwas umgeformt ergibt sich
d
u2
2gh 2
dt
=
mit ϕ =
dϕ
1 − ϕ2
=
2gh 2
2L
u2
2gh 2
2gh 2
2L
⋅ (1 −
1.4.6
und Trennung der Variablen
i
delt gilt für diese:
F1 = (p0 +
⋅ dt
arctan ϕ =
2gh 2
2L
c) Um den Massenstrom, der benötigt wird um den Ball in der Schwebe zu halten ermitteln zu können,
muss man den Impulssatz in y Richtung aufstellen, woraus sich folgende Gleichung ergibt:
R w = R 2wx + R 2wy + R 2wz
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ρ 2
ρ
u1 + ρgh1)A1; F2 = (p0 + u22 + ρgh 2 )A 2 .
2
2
Da aus Aufgabenteil a bekannt ist, das die Höhen, die Geschwindigkeiten gleich groß ist. Wobei
man natürlich noch davon ausgehen muss, dass die Eintrittsfläche genauso groß ist wie die Austrittsfläche.
Damit folgt: cosα1 = cosα 2 . Damit ergibt sich: α1 = α 2 .
⋅t
Aufgabe Rohrkrümmer
Fachgebiet Verfahrenstechnik
b) Alternative 1:
Hier stellt man den Impulssatz in x Richtung auf und es ergibt sich:
& (u2cosα 2 − u1cosα1 ) = ∑ Fx = 0 und daraus ergibt sich nach Umstellen und mit der Lösung des Aufm
gabenteil a) u1 = u2 : α1 = α 2 .
Alternative 2:
Hierzu stellen wir eine Kräftebilanz in x Richtung auf, es greifen lediglich die Druckkräfte Fx1 und
Fx2 an. Wobei sich die Kräfte errechnen durch: Fxi = Ficosαi und da der Ball sich ja im Gleichgewicht befindet, also keine Verschiebung in x – Richtung auftritt ist die Resultierende Kraft gleich
Null und die beiden Kräfte in x Richtung müssen sich gegeneinander aufheben.
∑ Fxi = 0 = Fx1 - Fx2 = F1cosα1 - F2cosα2 . Da es sich bei den Kräften F1 und F2 um Druckkräfte han-
u 22
)
2 ⋅ g ⋅ h2
Anfangsbedingung ϕ( t = 0) = 0
ρ 2
ρ
u1 + ρgh1 = p 2 + u22 + ρgh2 mit p1 = p 2 = p0 ,
2
2
da wir die Bilanzgrenze am freien Strahlrand gesetzt haben und hier der Umgebungsdruck herrscht.
Weiterhin ist die Höhe h1 = h2 und die Dichte ist ebenfalls gleich. Durch diese Vereinfachungen ergibt sich u1 = u2 .
ρ 2
ρ
⋅ 0 = p1 + ρ ⋅ g ⋅ 0 + ⋅ 0 2 + ρ ⋅ a 01 ⋅ l1
2
2
p1 − p 0 = ρ ⋅ g ⋅ h 2 (
Aufgabe Schwebender Ball
a) Alternative 1:
Durch einfaches Anwenden der Kontinuitätsgleichung: V& = const. = ρAu1 = ρAu2
Da die Dichte ρ und die Flächen A konstant sind ergibt sich: u1 = u2 .
31
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
und aus der Kontinuitätsgleichung m& = const = ρu1A1 = ρu2 A 2 ⇒ u2 = u1
wobei die Geschwindigkeiten geschrieben werden können als: u xi = uisinαi und unter der Annahme
⎞ ρ ⎛ A2
⎞
ρ ⎛ A2
woraus sich für den Druckverlust ∆p = p1 − p 2 = ⎜ u12 12 − u12 ⎟ = u12 ⎜ 12 − 1⎟
das der eintretende Massenstrom genauso groß wie der Austretende Massenstrom ist, ergibt sich:
& (− u2 sinα 2 − u1sinα1 ) = -Fg .
m
Da der Winkel α1 im 1. Quadranten des Einheitskreises liegt ist der Sinus positiv, wohingegen der
Sinus des Winkels α 2 negativ ist, da der Winkel im 2. Quadranten des Einheitskreises liegt. Aus
den Aufgabenteilen a und b geht hervor, das die Geschwindigkeit u1 = u2 ist und die Winkel
& (u1sinα1 + u1(sinα1 )) = Fg
α1 = α 2 sind. Damit ergibt sich bei Division durch -1: m
und nach Umformung erhält man den Massenstrom:
& =
m
1.4.8
A1
A2
dI &
& u y1 = ∑ Fy = -Fg ,
= m u y2 − m
dt
Fg
(2u1sinα1 )
2 ⎜⎝
A2
⎟
⎠
2
⎜A
⎝ 2
⎟
⎠
und damit ergibt sich für die Kräftebilanz und damit für die gesuchte Kraft des Kolbens:
F = A1∆p =
⎞
ρ 2 ⎛⎜ A12
− 1⎟
u1 A1
⎜ A2
⎟
2
⎝ 2
⎠
b) Zur Lösung der Aufgabe stellt man eine Impulsbilanz in x-Richtung auf, wobei die Bilanzgrenze
um das Fluid gezogen wurde (s.):
.
Aufgabe Strömungsrohr
a)
Impulsbilanz:
Abbildung 16 – Bilanzraum Strömungsrohr
∂I
& u1 − m
& u 2 + ∑ Fx
=0=m
∑ Fx = F + FLager
∂t
Mit der Kontinuitätsgleichung m& = const = ρu1A1 = ρu2 A 2 ⇒ u2 = u1
A1
A2
und den Massenstrom
& = ρu1A1 ergibt sich:
m
⎛A
⎞
ρA1u12 ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ = F + FLager (*). Für die Kraft F kann man auch mit der Lösung des Aufgabenteils a)
⎝ A2
⎠
Abbildung 15 – Kolbenkraft Strömungsrohr
Um die Kraft die der Kolben aufbringen muss, um die Strömung des Fluides zu erreichen, zu berechnen stellt man eine Kräftebilanz um den Kolben auf (s.Abbildung 15):
∑ F = 0 = F − Fp
⇒ F = Fp
wobei die Druckkraft auf das Fluid sich durch: Fp = A1∆p ⇒ F = A1∆p ergibt.
Die Druckdifferenz ermittelt man durch die Bernoulli Gleichung von Punkt 1 zu Punkt 2:
p1 +
ρ 2
ρ
u1 + ρgh1 = p 2 + u22 + ρgh2 , wobei die Höhen gleich sind und daher der geodätische Druckan2
2
(
)
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⎛ A2
1
⎜ A2
⎝ 2
⎞
− 1⎟
⎟
⎠
womit sich für unsere Lagerkräfte aus (*) folgende Gleichung ergibt:
⎞
⎛ A2
⎞ ρ
⎞
⎛A
⎛A
FLager = ρA1u12 ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ − F = ρA1u12 ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ − u12 A1⎜ 1 − 1⎟ =
⎟
⎜ A2
⎠ 2
⎠
⎝ A2
⎝ A2
⎠
⎝ 2
⎞
⎛ A
A2
ρ
A 1u12 ⎜ 2 1 − 2 − 1 + 1⎟
2
⎟
⎜ A2
2
A2
⎠
⎝
damit ergeben sich die abzuführenden Lagerkräfte:
teil herausfällt. Es ergibt sich nach Umstellen:
ρ
∆p = p1 − p 2 = u 22 − u12
2
ρ
2
schreiben: F = A1∆p = u12 A1⎜
−FLager = FA + FB = 2FA = 2FB
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
F = ρA 2gh 2g(h + l) = 2gAρ h(h + l) .
2
⎞
⎛ A2
⎞
⎛A
A
ρ
ρ
A1u12 ⎜ 1 − 2 1 + 1⎟ = − A1u12 ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟
⎟
⎜ A2
2
A
2
A
2
⎠
⎝ 2
⎠
⎝ 2
womit sich die Kräfte FA und FB ergeben als:
FLager = −
FA = FB = −
1.4.9
FLager
2
⎞
⎛A
ρ
= A1u12 ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟
4
⎠
⎝ A2
II
& u y2 = F Für den Massenstrom gilt wieder obiger Zusammenhang m
& = ρA 2gh und damit ergibt
m
sich für die Kraft F : F = ρA 2gh 2gl = 2gAρ hl .
2
Aufgabe Parfumflasche
a) Auf Grund der Querschnittsverengung kommt es aus Kontinuitätsgründen zu einer Erhöhung der
Geschwindigkeit des Gasstromes, der vereinfachend als inkompressibel angesehen werden kann.
Diese Geschwindigkeitserhöhung hat eine Druckverminderung zur Folge, welche dafür sorgt, daß
Flüssigkeit aus dem Behälter gefördert werden kann.
Daher ist das unterschlächtige Wasserrad eher für den Fall geeignet, in dem wir eine Geschwindigkeit und
damit Impulsstrom in waagerechter x Richtung haben (Fall II).
Für das oberschlächtige Wasserrad lässt sich die größte mögliche Kraft mit den Fall I erzeugen, bei dem
der Impuls und damit die Kraft in y Richtung maximal ist.
Allgemein lässt sich sagen, das die Kraft im Fall I die durch ein Oberschlächtiges Wasserrad in Energie
umgewandelt wird am Größten ist, daher ist dieser Fall der effizientere.
1
2
.
b) Kontinuitätsgleichung (inkompressible Fluide) V = const = u1 ⋅ A 1 = u2 A 2
ρ
2
ρ
2
Bernoulli-Gleichung p 0 + u12 = p 2 + u22
h
Der entstehende Unterdruck durch Querschnittsverengung ist demnach
2
p0 − p2 =
y
1.4.10 Aufgabe Prinzip der Wasserkraft
u y1 = 0 ist, und die Geschwindigkeit am Austritt des Behälters: u Austritt = 2g(h) ist.
Für den Fall II ergibt sich eine Geschwindigkeit in x-Richtung und eine Geschwindigkeit in y Richtung.
Für die Geschwindigkeit in x Richtung erhält man mit der Bernoulli Gleichung von der Wasseroberfläche
bis zum waagerechten Austritt aus dem Wasserbehälter: u x2 = 2g(h) = u Austritt und die Geschwindigkeit in y
Richtung ergibt sich damit zu u y2 = 2g(l) . Da gilt:
a) Aufstellen der Bernoulli Gleichung vom Behälter zum Kolonneneintritt liefert
ρ 2
ρ 2
uB + ρg(ha + hG ) = pRe k + uRe
k + ρg(hG + hE )
2
2
Vereinfachung: uB = 0 konstanter Flüssigkeitsstand im Behälter
pB +
⇒ pB = pRe k +
pb +
und die gesamt Geschwindigkeit dieselbe sein muss wie die gesamte Geschwindigkeit im Fall I. Die Geschwindigkeiten teilen sich lediglich zu unterschiedlichen Anteilen in die jeweiligen Richtungen auf. Nun
stellen wir für beide Fälle den Impulssatz in y- Richtung auf:
I m& u y1 = F da für den Massenstrom gilt: m& = ρAu Ausstritt = ρA 2gh und damit ergibt sich die Kraft
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1.4.11 Aufgabe Rektifikationsanlage
35
ρ 2
uRe k + ρg(hE − ha )
2
b) Bernoulli Gleichung von der Flüssigkeitsoberfläche bis in die Venturi-Düse (Index VD)
u Waage = u2x + u 2y
Fachgebiet Verfahrenstechnik
l
Abbildung 17 – Kräftebilanz an der Federwaage
ρ 2
ρ
uoberfläche + ρg(h + l) = p 0 + u2waage + ρg(0 ) .
2
2
Da die Geschwindigkeit an der Oberfläche Null ist, lässt sich die Gleichung umformen zu
u x1 = 2g(h + l) = u Waage Wobei die Geschwindigkeit:
F2 y
x
Zu Beginn ermittelt man die Geschwindigkeit der Strahlen:
Im ersten Fall I tritt nur eine Geschwindigkeit in y Richtung auf, die wir über die Bernoulli Gleichung eines
Stromfades von der Wasseroberfläche des Behälters bis zum Teller der Waage ermitteln können:
p0 +
F1 y
l
F2 x
A
A
ρ 2 ⎛ A1 ⎞
⎟⎟ − 1)
u1 (⎜⎜
2
⎝ A2 ⎠
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ρ 2
ρ
ub + ρg(hG + ha ) = p VD + u2VD
2 {
2
p VD soll den Dampfdruck nicht unterschreiten!!!
ub =0
.
Kontinuitätsgleichung V = const = uR ⋅ A R = u VD A VD
Geschwindigkeit in der Düse ist demnach vom Flächenverhältnis Rohr / Düse und der EintrittsgeFachgebiet Verfahrenstechnik
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
schwindigkeit abhängig u VD = uR
p b − pD =
ρ 2 ⎛ AL
uR ⋅ ⎜⎜
2
⎝ A VD
AR
. Für den minimalen Durchmesser d der Düse ergibt sich
A VD
2
⎞
⎟⎟ − ρg(hG + ha ) ⇒ d VD min = dR
4
⎠
2
ρuR
(pb + ρg(ha + hG ) − pD )
Torricelli für Austrittsgeschwindigkeit
u0 = 2 ⋅ g ⋅ h
Bernoulli für Stromfaden
ρ 2
ρ
u0 < p 0 + u( x )2 − ρ ⋅ g ⋅ x
2
2
u( x ) = u02 + 2 ⋅ g ⋅ x
mit Kontinuitätsgleichung
A 0 ⋅ u0 = A( x ) ⋅ u( x )
A( x ) =
u0 ⋅ A 0
u( x )
A( x ) = A 0 ⋅
2gh
2gh + 2gx
= A0 ⋅
h
h+x
=
1
1+
x
h
Verständnisfragen
1
2
1.4.12 Aufgabe Flüssigkeitsstrahl
p0 +
1.5
⋅ A0
1) Was ist ein Fluid?
2) Was ist ein Kontinuum?
Ein Kontinuum ist dadurch gekennzeichnet, dass in einem eben solchen die charakteristischen physikalischen Größen wie z.B. Dichte, Temperatur, Druck usw. als stetige Funktionen betrachtet werden können
3) Was versteht man unter Zähigkeit/Viskosität?Welche physikalischen Ursachen hat die Viskosität?
Die Viskosität, auch als Zähigkeit bezeichnet, kann als innere Reibung in Fluiden betrachtet werden,
die der Bewegung des Fluids entsprechend der Größe der Viskosität einen Widerstand entgegensetzt.
4) Was zeichnet Newtonsche Fluide im Gegensatz zu Bingham Fluiden aus?
5) Wie ändert sich die kinematische Viskosität von Wasser und Luft mit steigender Temperatur? Wie ist
dieses zu erklären?
Mit steigender Temperatur nimmt die Viskosität von Gasen zu, da die Wahrscheinlichkeit von Molekülstößen, die Hauptgrund für die Viskosität in Gasen darstellen mit der Temperatur ebenfalls zunimmt. In
Flüssigkeiten spielen die intermolekularen Wechselwirkungen die entscheidende Rolle für die Viskosität. Diese Wechselwirkungen nehmen mit steigender Temperatur zunehmend ab und aus diesem Grund
auch die Viskosität von Flüssigkeiten mit steigender Temperatur.
6) Wie lautet die barometrische Höhenformel für eine isotherme Atmosphäre ausgehend von der Eulerschen Grundgleichung der Hydrostatik? Aus welchem Grund unterscheidet sich diese von der Druckverteilung einer schweren Flüssigkeit?
Die Eulersche Grundgleichung der Hydrostatik lautet:
dp
= −ρ ⋅ g . Um eine Aussage über die Druckdz
verteilung zu bekommen wird diese Differentialgleichung durch Trennung der Variablen unbestimmt
integriert und man erhält
∫
dp
= ∫ − g ⋅ dz .
ρ
Hierbei ist bei Gasen die Kompressibilität zu berücksichti-
gen, d.h. dass die Dichte sich mit dem Druck verändert. Hierfür wird in die zu integrierende Gleichung
für die Dichte das Gesetz des idealen Gases (prinzipiell sind auch kompliziertere Zustandsgleichungen
möglich) eingesetzt und integriert. Mit der Randbedingung p( z = 0) = p 0 ergibt sich für die Druckvertei~
lung einer isothermen ( T = const ) Atmosphäre: p( z) = p0 ⋅ exp( −
M⋅ g
⋅ z) .
R⋅T
Diese Formel wird auch als ba-
rometrische Höhenformel bezeichnet. Der Unterschied zur Druckverteilung einer schweren Flüssigkeit
besteht in der Inkompressibilität von Flüssigkeiten. Dadurch vereinfacht sich die Druckverteilung in
Flüssigkeiten zu einer linearen Gleichung der Form p( z) = p0 − ρ ⋅ g ⋅ z .
7) Welche Kräfte wirken auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper?
Auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper wirkt zum einen die Gewichtskraft des Körpers und
zum anderen die Auftriebskraft.
8) Welche Kräfte wirken auf ein ruhendes Fluidelement?
Auf eine ruhende Flüssigkeit wirken lediglich Druckkräfte, die an der Oberfläche des Fluids angreifen
und Volumenkräfte, die wie der Name sagt, am gesamten Volumen des betrachteten Elements (z.B.
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Schwerkraft) angreifen.
9) Wie lautet das Archimedische Prinzip und auf welche physikalischen Effekt ist dieses zurückzuführen?
Archimedisches Prinzip:
Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt eine Gewichtsverminderung die der Gewichtskraft
der verdrängten Flüssigkeit entspricht.
Die Auftriebskraft ist auf eine resultierende Druckkraft auf den in die Flüssigkeit eingetauchten Körper
zurückzuführen, die der Schwerkraft entgegengerichtet ist.
10) Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Stromlinie und einer Bahnlinie! Wann sind sie gleich?
11) Wie funktioniert die Geschwindigkeitsmessung mit einem Prandtlrohr?
12) Welche Annahmen hat Torricelli getroffen, um zu seiner Aussage für die Ausflussgeschwindigkeit zu
gelangen?
Torricelli geht bei der Herleitung der gleichnamigen Ausflußformel von einem quasistationären, reibungsfreiem Vorgang aus. Ausgehend von der stationären Bernoulli-Gleichung ( reibungsfreie Betrachtung ) kann man mit Hilfe der Annahme, dass der Austrittsquerschnitt sehr viel kleiner ist als der
Behälterquerschnitt die Geschwindigkeit an der Fluidoberfläche vernachlässigen und man erhält für
die Ausflußgeschwindigkeit nach Torricelli u = 2gh .
13) Wann spricht man von einem newtonschen Fluid? Was bedeutet die Einheit mPa s? Für welche Größe
wird sie in der Fluiddynamik verwendet?
14) Wie wird die hydrostatische Druckverteilung beschrieben? Wie ist das Koordinatensystem orientiert,
das der Gleichung zugrunde liegt?
15) Was sind intensive und was sind extensive Größen?
16) Tragen Sie in 1.3.8 die Systemgrenzen der Tauchglocke ein (ohne Zuleitung oberhalb des Ventils).
Handelt es sich um ein abgeschlossenes, ein geschlossenes oder ein offenes System?
17) Was ist eine Stromröhre? Was ist ein Stromfaden? Wie lautet die Kontinuitätsgleichung dafür?
18) Was ist ein reibungsfreies Fluid? Welche Annahmen werden gemacht? In welchen Bereichen einer realen Strömung gelten diese mit guter Näherung, in welchen eher nicht?
19) Wie lautet die Bernoulli-Gleichung? Wann ist sie anwendbar?
20) Wie unterscheiden sich die Reaktionskraft und die Reaktionswandkraft? Skizieren Sie die Kräfte an einer Rohrwand!
21) Erklären Sie die Unterschiede zwischen Hydrostatik und Kinematik, gehen Sie dabei auch auf die Unterschiede in den beschreibenden Modellen ein.
Die Hydrostatik beschäftigt sich mit dem Kräftegleichgewicht in ruhenden Fluiden, während die Kinematik („kinema“ griech. Bewegung ) sich mit der Bewegung der Teilchen bzw. mit der mathematischen
Beschreibung dieser Bewegung ohne Berücksichtigung der Kräfte beschäftigt.
22) Was besagt der Impulssatz und wann wendet man ihn an?
Eine integrale Impulsbilanz wird als Impulssatz bezeichnet. Man verwendet den Impulssatz z.B. zur Bestimmung von Reaktionswandkräften die hervorgerufen werden durch Impulsänderung eines in einem
Rohr strömenden Fluids, dass z.B. durch einen Krümmer geleitet wird.
23) Wie lässt sich das Eulersche Grundgesetz der Hydrostatik herleiten?
Das Eulersche Grundgesetz der Hydrostatik lässt sich durch eine differentielle Kräftebilanz an einem
ruhenden Fluidelement herleiten, an dem lediglich Druck- und Volumenkräfte angreifen.
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24) Beschreiben Sie die einzelnen Terme in der allgemeinen Bilanzgleichung!
25) Leiten Sie aus den Bilanzen für Masse und Impuls an einem differentiell kleinen Element aus der Kanalströmung die Kontinuitäts- und Bewegungsgleichung für eine reibungsfreie und stationäre Strömung
ab (s. Abbildung 18)!
g
c
z
Abbildung 18 – Kanalströmung
26) Wie lautet die Kontinuitätsgleichung bei einer stationären Strömung mit einem inkompressiblen Fluid?
Die Kontinuitätsgleichung kann aus einer differentiellen Massenbilanz erhalten werden. Die allgemeine Form lautet:
→ →
∂ρ
= ρ ⋅ div( w )+ w⋅ div(ρ) .
∂t
Für ein inkompressibles Fluid ( ρ = const ≠ 0 ) geht diese in die
→
folgende Form über: 0 = div( w ) .
27) Definieren sie die Begriffe abgeschlossenes, geschlossenes und offenes System!
Abgeschlossenes System: die Transportströme sind null.
Geschlossene Systeme: alle Stofftransportströme sind null, Energieströme können auftreten.
Offene Systeme: Stoffströme treten über die Systemgrenzen.
28) Worin unterscheiden sich differentielle und integrale Bilanzen. Gehen Sie dabei auch auf die unterschiedlichen Zielsetzungen und Ergebnisse ein.
Differenzielle Bilanzgleichungen werden erstellt, wenn es gilt, einen Vorgang in einem differenziellen
Volumenelement eines Apparates oder an der Grenzfläche zweier Phasen zu untersuchen. Dazu ist es
notwendig, die entsprechenden Differenzialgleichungen sowie die dazugehörigen Randbedingungen
aufzustellen und diese zu integrieren. Differenzielle Bilanzgleichungen werden unter anderem zur Berechnung der Geschwindigkeits-, Konzentrations- und Temperaturprofile in einem System bzw. an dessen Grenzflächen verwendet.
Integrale Bilanzgleichungen dienen zur Ermittlung der in ein System ein- bzw. austretenden Ströme. Als
System kann ein Apparat, eine Verfahrensstufe oder ein ganzes Verfahren betrachtet werden. Es interessieren in diesem Falle nicht die Vorgänge im Innern eines Apparates, sondern das betreffende System als Ganzes.
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2
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Bewegt man sich mit dem Fluid der Geschwindigkeit w m mit, so kann es als halbunendlicher Körper betrachtet werden: Das Temperaturfeld ϑ( t, y ) ist bestimmbar. Mit Hilfe von x = w m ⋅ t ordnet
man jeder Zeit t1, t 2 einen Ort x1, x 2 zu. Damit wird aus ϑ(t, y ) ⇒ ϑ(x w m , y ) auch der örtliche
Transportvorgänge in einphasigen Strömungen
2.1
Einführung: Längsangeströmte ebene Platte bei reibungsfreier Strömung
2.1.1
Temperaturverlauf bestimmt.
Aufgabe Plattenströmung – Grenzschicht
Voraussetzung für die Beschreibung des stationären Temperaturfeldes im Fluid mit Hilfe der Gleichung für instationäre Wärmeleitung:
- Pfropfenströmung, d.h. w( x ≥ 0, y ) = w m = const (Geschwindigkeitsprofil bleibt stromabwärts
a) Temperatur-Grenzschicht:
Eine ebene Platte wird von einem Fluid mit einer von der Platte unterschiedlichen Temperatur angeströmt. Durch Wärmeleitung findet senkrecht zur Plattenoberfläche (quer zur Strömung) eine Energieänderung der einzelnen Fluidteilchen statt. Ein Beobachter, der sich der Platte senkrecht zur
Oberfläche nähert, stellt also eine stetige Temperaturänderung fest.
Am Plattenanfang "merken" nur die plattennahen Teilchen die Temperaturänderung, aber mit zunehmender Lauflänge wird diese Änderung auch an entferntere Teilchen weitergegeben. Die Dicke
der Grenzschicht wächst also mit dem Abstand von der vorderen Plattenkante.
Konzentrations-Grenzschicht:
Analog, d.h. wenn zwischen Fluid und Platte ein Konzentrationsgradient herrscht, dann erfolgt
durch Diffusion quer zur Strömungsrichtung ein Stofftransport. Der Konzentrationsausgleich reicht
mit zunehmender Lauflänge immer weiter ins Fluid hinein.
-
erhalten)
keine Strömung in y-Richtung (sonst tritt ein Konvektionsanteil auf, dann keine reine Wärmeleitung)
Voraussetzungen für die Anwendung der Errorfunction-Lösung aus Eis I :
- ϑ W an der gesamten Plattenoberfläche gleich und konstant
- keine Wärmeleitung in x-Richtung (tatsächlich herrscht aber an einer Stelle y1 ein Temperaturgradient
∂T
∂T
,
<<
∂x
∂y
Temperatur − und Geschwindi gkeitsprof il für ein
y
ortsfestes Koordinate nsystem
-
x, θ
∂T
∂x
, aber i.a. gilt:
wenn δ T (L ) << L , d.h. kleine Grenzschicht im Vergleich zur Plattenlänge
Anfangsbedingung: ϑ( t = 0) = ϑa ; Randbedingung: ϑ( y = 0) = ϑ W ; ⇒ sprunghafte Änderung
der Temperatur von ϑα auf ϑ W an der "Oberfläche" des Fluids
d) Mitbewegter Beobachter
θα
θα
δ T (x)
I.
⎛ y
ϑ − ϑα
= erfc ⎜⎜
ϑ w − ϑα
⎝ 2 at
⎞
⎟ , Beobachter bewegt
⎟
⎠
sich mit w m =
x
t
Der mitbewegte Beobachter befindet sich jeweils an der Koordinate x = w m ⋅ t , an der ein ruhender
∂θ
∂y y =0,x
∂θ
∂y y =0,x
θW
1
Beobachter also die gleiche Temperatur misst wie der mitbewegte zur Zeit t.
2
II.
θW
⎛
ϑ − ϑα
y
= erfc ⎜
⎜ 2 ax w
ϑ w − ϑα
m
⎝
e) 99% -Dicke:
x=0
wm
x =L
wm
⎞
⎟
⎟
⎠
(1)
⎛
ϑ − ϑα
δT
= 0,01 = erfc ⎜
⎜ 2 ax w
ϑ w − ϑα
m
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
aus Tabelle (2.5) und mittels linearer Interpolation:
δT
= 1,8246 ⇒ δ T = 0,0334 ⋅ m ⋅ x
2 a x wm
wm
(2)
f)
b)
x =L
x=0
hier: Pfropfenströmung (Viskosität = 0 ⇒ keine Wandhaftung)
c) Das örtlich stationäre Temperaturprofil ist nicht über eine einfache Bilanzgleichung bestimmbar, da
das α der Platte örtlich nicht konstant ist.
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δ T (L ) = 0,0334 ⋅ m ⋅ 0,8m ≈ 0,03m
⎛ ∂ϑ ⎞
q& (L ) = −λFluid ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂y ⎠ y =0,x =L
aus (1)
∂ϑ
= −(ϑ w − ϑα ) ⋅ 1
∂y
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πa x w m ⋅ e
42
(
− y 2⋅ a x wm
)2
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⇒ q& (L) = (ϑw − ϑα ) ⋅ λFluid
W
πaL wm = 2,371⋅ 105
m2
⋅
aus q = α(L ) ⋅ (ϑ w − ϑα ) erhält man α (L ) =
2.2
λFluid
W
≈ 5928
πa L w m
m 2K
2.2.1
&
L
& = q& ⋅ dA = α(x ) ⋅ (ϑ − ϑ ) ⋅ b ⋅ dx ⇒ Q = L ⋅ 2 ⋅ α(L ) ⋅ (ϑ − ϑ ) = 3,79 ⋅ 10 5 W
g) Q
∫
∫
w
w
α
α
m
b
0
& = b ⋅ c ⋅ 2 ⋅ α(L )(ϑ − ϑ ) mit: α(L ) =
h) Q
w
α
&
Q
1 = α (c ) =
&
α (b )
Q
2
λ Fluid
πa L w m
Differenzielle Bilanzgleichungen
Aufgabe Spaltströmung
a) Schubspannungsverteilung:
p( x )
x
aus f)
vereinfach t
p( x )
darzustell en als :
b
& = 2 ⋅Q
&
, mit b = 2 ⋅ c ⇒ Q
1
2
c
y
Fg
Die Temperaturgrenzschicht wird mit wachsender überströmter Länge dicker und die Wärmeübertragung damit schlechter.
τ( y + dy )
τ( y )
τ( y )
p( x + dx )
Fg
τ( y + dy )
p( x + dx )
Abbildung 19 –Impulsbilanz Spaltströmung
Kräftebilanz am Volumenelement (s.Abbildung 19) ergibt mit Tayloransatz:
∂p
dx...
∂x
∂τ
dy...
τ( y + dy ) = τ( y ) +
∂y
p( x + dx ) = p( x ) +
ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ T ⋅
∂u
∂p
∂τ
= ρ ⋅ g ⋅ dx ⋅ dy ⋅ T −
dx ⋅ dy ⋅ T +
dx ⋅ dy ⋅ T
∂t
∂x
∂y
Stationäre Strömung
∂u
=0
∂t
Es folgt mit dx ⋅ dy ⋅ T ≠ 0
0 = ρ⋅g−
Da
∂p
= −ρ ⋅ g
∂x
∂p ∂τ
+
∂x ∂y
ist
∂τ
= −2 ⋅ ρ ⋅ g
∂y
Nach Integration ergibt sich:
C1 = 2 ⋅ ρ ⋅ g .
τ( y ) = 2 ⋅ ρ ⋅ g(B − y ) .
τ( y ) = −2 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ y + C1
mit RB: τ( y = B) = 0
Geschwindigkeitsverteilung :
Aus Newton´schen Ansatz bekommt man Zusammenhang zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradienten:
τ( y ) = 2 ⋅ ρ ⋅ g(B − y ) = η
∂u
∂y
∂u
1
= − 2 ⋅ ρ ⋅ g(B − y )
∂y
η
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y
Nach Integration ergibt sich: u( y) = 1 ⋅ y ⋅ (2 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ B − ρ ⋅ g ⋅ y) + C 2 mit RB: u( y = 0) = 0
η
C2 = 0 .
u( y ) =
1
⋅ y ⋅ (2 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ B − ρ ⋅ g ⋅ y ) .
η
b) Bestimmung der Geschwindigkeit des Bandes uB
u( y = B) = u B =
Verlauf ohne
Lagerschaden
1
ρ ⋅ g ⋅ B2
η
u( y )
Abbildung 20 zeigt die Lösung grafisch.
Verlauf mit Lagerschaden
y
Neues Profil für gleichen
Volumenstrom
Abbildung 21 – Geschwindigkeitsprofile mit Lagerschaden
u( y )
Abbildung 20 - Geschwindigkeitsprofil
c) Bestimmung des auf die Tiefe T bezogenen Volumenstrom
.
V = u⋅ A
.
V = ∫ u ⋅ T ⋅ dy
Integration über dem Wandabstand
.
B
V
= u( y )dy
T ∫
0
.
⎤
V
1⎡
y3
= − ⎢ρ ⋅ g ⋅
− B ⋅ ρ ⋅ g ⋅ y2 ⎥
T
3
η ⎢⎣
⎥⎦
B
0
.
V 2 1
= ⋅ ⋅ ρ ⋅ g ⋅ B3
T 3 η
d) Der Druckgradient muss steigen, damit die Flächen unter den u-Kurven wieder gleich sind (s.
Abbildung 21).
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2.2.2
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Randbedingungen:
1. T(x = 0) = TF
Aufgabe Energiebilanz für eine poröse Wand
2.für x = δ gilt q& S = λ
a)
& 0
Q=
∂T
⇒
∂ x
=
x =δ
&
Q
x
da
∂ x
q& S = −q& δ = λ
∂ T
∂ x
q& S
λ
⇒ T(x ) = TF −
&
Q
x + dx
TF = c1 + c 2
⇒
∂ T
& cp ⎛
& cp ⎞
m
m
x⎟
q& S − λ δ ⎜
e
1− e λ ⎟
⎜
& cp
m
⎜
⎟
⎝
⎠
(1)
b)
T(x = δ ) = TF −
&
H
x + dx
&c
m
p
q& S − λ δ
q&
e
+ S
&
& cp
mc p
m
Æ T(x = δ ) = Tmax = 502,12 K
&
H
x
T
y
c)
dx
x
&
H
0
Abbildung 22 – Differentielle Energiebilanz Poröse Wand
Energiebilanz:
∂ U
∂ t
& −Q
&
&
&
=0=Q
x
x + dx + H x − H x + dx
0=−
&
∂ Q
∂ x
0 = λA
0=λ
dx −
∂ 2T
∂ x2
2
∂ T
∂ x2
&
∂ H
∂ x
dx
&c ∂ T
−M
p
∂ x
& cp
−m
∂ T
⇒
∂ x
|
jeweils Taylor einsetzen
|
: dx , Q& = −λA
|
:A
∂ T
∂ x
µ1 =
& cp
m
λ
µ=0
Abbildung 23 – Energiebilanz für x=0
q& ab = −q& = λ
homogene DGL
T( x ) = c1e
& cp
m
x
λ
& cp
m
⎛
µ⎜⎜ µ −
λ
⎝
⇒
q& ab = q& S e
−
& cp
m
λ
δ
x =0
⎞
⎟=0
⎟
⎠
Æ q& ab = 3,5
kW
m2
+ c2
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∂ x
(x − δ )
q&
q& ab = λ S e λ
λ
µ2 = 0
λ
∂ T
& cp
m
⇔
& cp
m
&
Q
ab
, H& = M& c p T
charakteristisches Polynom:
µ2 −
Q&
&
H
0
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& ,T
H
∞ F∞
H& 0
2.3
Einfluss der Reynoldszahl auf die Strömung
2.3.1
&
Q
F∞ = 0
&
Q
F
Umrechnungen in SI-Einheiten:
& Milch = 800 kg = 0,22 kg , m
& Wasser = 630 kg = 0,175 kg ,
m
h
s
h
s
kg
kg
g
g
,
,
ρMilch = 1,032
= 1032
ρ Wasser = 0,998
= 998
m3
m3
cm3
cm3
Abbildung 24 – Energiebilanz Fluid
A1 = 19,6 cm 2 = 1,96 ⋅ 10 −3 m 2 , A 2 = 78,5 cm 2 = 7,85 ⋅ 10 −3 m 2
Energiebilanz:
&
&
&
&
0=H
−∞ − H0 + Q −∞ − Q0
&
&
Q = mAc (T − T )
0
F,∞
p
⇒ TF,∞ = −
|
F
q& x =0
+ TF
& cp
m
a)
&
Q
−∞ = 0
|
w 1 ⋅ d1 w 1 ⋅ d1 ⋅ ρMilch
=
υMilch
ηMilch
&
V& Milch
M
m
Milch
=
= 0,109
w1 =
ρ Wasser ⋅ A1
A1
s
I ReMilch =
:A
(2)
A1 ⋅ 4
= 0,05 m
π
Æ ReMilch = 2435
d1 =
Æ TF,∞ = 252,2 K
d) aus (1) folgt
aus (2) folgt
Aufgabe Bestimmung der kritischen Reynoldszahl
& ↑ ⇒ T( x = δ) ↓
m
& ↑ ⇒ TF,∞ ↑
m
w ⋅d ⋅ρ
w 2 ⋅ d2
= 2 2 Wasser
η Wasser
υ Wasser
&
V& Wasser
M
m
Wasser
=
= 0,02
w2 =
ρ Wasser ⋅ A 2
A2
s
II Re Wasser =
d2 =
A2 ⋅ 4
= 0,1m
π
Æ Re Wasser = 2200
TF
b) Der in der Literatur zu findende Wert der kritischen Reynoldszahl für eine Rohrströmung beträgt
2300.
Æ Die Werte weichen ab!
Mögliche Ursachen:
- Messungenauigkeiten
- Rundungsfehler
& ↑
m
TF∞ 2
& ↑
m
TF∞1
x=0
x=δ
Abbildung 25 – Temperaturverlauf Poröse Wand
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49
c) Im laminaren Fall beschreibt der Farbfaden einen ruhigen stationären Verlauf. Beim Übergang zur
turbulenten Strömung beginnt der Farbfaden abzureißen und unregelmäßige Strukturen auszubilden.
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2.4
Lösungskatalog zu EIS II A
Mit diesen Vereinfachungen erhält man für die NVS-Gl.: η
Vereinfachung der Navier-Stokes Gleichung
2.4.1
2
2
⎛ ∂2w
dw x
∂p
x + ∂ wx + ∂ wx
+ η⎜
=−
2
2
⎜
∂x
dt
∂y
∂z 2
⎝ ∂x
⎞
⎟
⎟
⎠
II y = L ≈> w x =w 0 ≈>C1=
⇒ w x ( y) =
Die Schwerkraft besitzt keine Komponente in Strömungsrichtung. Das Gewicht der Fluidteilchen
beeinflußt das Strömungsfeld nicht (inkompressibles Fluid)!
II NVS − Gl. in z − Richtung :ρ
⎛∂ w
dw z
∂p
z + ∂ wz + ∂ wx
+ η⎜
= −ρg −
⎜ ∂x 2
∂z
dt
∂y 2
∂z 2
⎝
2
2
2
=0 ⇒
∂2w x
∂y 2
=0
(1)
Randbedingungen:
I y = 0 ≈> w x =0≈>C2 =0
hier: der spezifischen Massenkraft k j entspricht das Schwerkraftfeld g j = (0,0,-g)
I NVS − Gl. in x − Richtung :ρ
dy 2
dw x
=C1bzw.w x ( y )=C1y +C 2
dy
b) Integration von (1) liefert:
Aufgabe Navier-Stokessche Gleichung (NVS-Gl.)
d2 w x
w0
L
w0
y
L
y
⎞
⎟
⎟
⎠
W0
L
Die Erdbeschleunigung beeinflußt hier das Geschwindigkeitsfeld.
2.4.2
Aufgabe Couette-Strömung
∂2w j
∂w j ⎤
⎡ ∂w j
∂p
ρ⎢
+ wi
+η
⎥ =ρk j −
∂x i ⎥⎦
∂x j
⎢⎣ ∂t
∂x i2
a) NVS-Gl. allg.:
NVS-Gl. in x-Richtung:
Wx
∂w x
∂w x
∂w x ⎤
∂p ⎡ ∂ 2 w x ∂ 2 w x ∂ 2 w x ⎤
⎡ ∂w
ρ ⎢ x +w x
+w y
=ρk x − +η⎢
+
+
+w z
⎥
∂x
∂y
∂x ⎢⎣ ∂x 2
∂z ⎥⎦
⎣ ∂t
∂y 2
∂z 2 ⎥⎦
Abbildung 26 - Geschwindigkeitsprofil Scherversuch
Vereinfachungen:
2.4.3
∂w x
=0
∂t
-
stationär
-
w y =0⇒ w y
∂w x
=0
∂y
-
w z =0⇒ w z
∂w x
=0
∂z
-
Schwerkraft hat keinen Einfluss auf Strömung in x-Richtung ⇒ ρk x = 0
-
kein aufgeprägter äußerer Druckgradient (Ursache der Strömung ist die Bewegung der Plat-
⇒
Aufgabe Fahrendes Schiff
a) Am Grund des Flusses herrscht Wandhaftung. Die Geschwindigkeit dort ist gleich Null. Da sich die
Luft mit der Strömungsgeschwindigkeit des Wassers bewegt, kommt es an der Oberfläche zu keiner
Verlangsamung oder gar Wandhaftung. Es ergibt sich folgendes Geschwindigkeitsprofil.
y
0,5m
w x (y)
∂p
te) ⇒ =0
∂x
-
Konti-Gl. allg.:
∂ρ ∂(ρw i )
+
=0
∂t
∂x i
wx
Abbildung 27 – Geschwindigkeitsprofil Fluss
∂w x
∂2w x
∂ρ ∂(ρw x )
+
mit w y und w z = 0 :
= 0 , ρ = const ⇒
= 0⇒
=0
∂t
∂x
∂x
∂x 2
-
w x ist nur eine Funktion von y, da unendlich ausgedehnte Platte: ⇒
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∂2w x
∂z 2
=0
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b) Das Geschwindigkeitsprofil der Flussströmung und der Strömung die durch das Schiff hervorgerufen wird, überlagern sich hier. Am Grund des Flusses herrscht Wandhaftung, das heißt das die GeFachgebiet Verfahrenstechnik
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
schwindigkeit dort gleich Null ist w x (y = 0) = 0 und da der Fluss in die x -Richtung fließt, muss die
Geschwindigkeit mit zunehmendem Wandabstand in x -Richtung größer werden. An der Wasseroberfläche bewegt sich aber das Schiff entgegen der Strömungsrichtung des Flusses, also muss die
Geschwindigkeit hier vom Betrag her größer als Null sein und entgegen der Laufrichtung x gerichtet sein. Da der Geschwindigkeitsverlauf eine stetige Funktion ist, muss das Geschwindigkeitsprofil
an einer weiteren Stelle von der Wand entfernt den Wert Null erreichen. Dies geschieht genau dort,
wo der Betrag der Geschwindigkeit im Fluss aufgrund der Strömung gleich groß ist, wie der Betrag
der Geschwindigkeit, die das auf dem Fluss fahrende Schiff hervorruft, aber entgegengesetzt. Es ergibt sich folgendes Geschwindigkeitsprofil.
c) eindimensionale Strömung: w y = 0 und w z = 0
d) ausgebildete Strömung:
∂w x
∂2w x
= 0 und
= 0 (keine Änderung des Strömungsprofil mehr mit
∂x
∂x 2
der Lauflänge x )
e) ebenes Problem, d.h. Änderungen senkrecht zur Schiffsachse werden nicht berücksichtigt:
∂w x
∂2w x
= 0 und
=0
∂z
∂z 2
Es ergibt sich folgende zu lösende Differentialgleichung:
d2 w x
dp
=η
dx
dy 2
y
0,5m
Da nun die Geschwindigkeit nur noch von einer Variablen abhängt und der Druck ebenfalls wird
∂ zu d .
wx (y)
Da sich der Druck linear mit x ändert ist
e) Die zur Lösung benötigten Randbedingungen lauten:
wx
wx (y=0) = 0
dp
= const. .
dx
I. w x (y = 0) = 0 , Wandhaftung am Grund des Flusses
Abbildung 28 Geschwindigkeitsprofil Fahrendes Schiff
c) Aus den unter b) aufgeführten Gründen tritt die zweite Nullstelle im Geschwindigkeitsprofil genau
nun an der Wasseroberfläche auf, da hier das Schiff steht, also der Fluss keine effektive Geschwindigkeit haben kann, da Wandhaftung besteht. Die maximale Geschwindigkeit liegt aufgrund der
Symmetrie in der Mitte des Flusses, bei y = 0,5 H = 0,25 m .
y
0,5m
w x (y)
⎛ dw x
⎝ dy
II. ⎜⎜
⎞
⎟⎟
= 0 , ergibt sich aus den in c) dargestellten Symmetrie Überlegungen
⎠ y= H
2
Alternativ wäre die 2. Wandhaftbedingung am Schiffsboden: w x (y = H) = 0 .
Lösung der DGL:
d2 w x
dp
=η
dx
dy 2
mit der Substitution u =
dw x
dp
du
ergibt:
. Durch Integration dieser Gleichung
=η
dy
dx
dy
nach y (Achtung: p ≠ f(y) ) ergibt:
dp
wx = 0
w x (y)
⎛ dp ⎞
⎜ ⎟ y = ηu + C1 .
⎝ dx ⎠
Abbildung 29 Geschwindigkeitsprofil stehendes Schiff
Nach der Rücksubstitution ergibt sich folgende verbleibende DGL:
d) Die relevante Navier-Stokes-Gleichung lautet:
⎛ ∂w x
∂w x
∂w x
∂w x
ρ⎜⎜
+ wx
+ wy
+ wz
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂t
2
2
⎛ ∂2w
⎞
∂p
x + ∂ wx + ∂ wx
⎟⎟ = −
+ η⎜
2
⎜ ∂x 2
∂x
∂
∂
y
z2
⎠
⎝
⎞
⎟ + ρg
x
⎟
⎠
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dw x
⎛ dp ⎞
+ C1
⎜ ⎟y=η
dy
⎝ dx ⎠
dp H
Aus der 2. Randbedingung ergibt sich ⎛⎜ ⎞⎟ = C1 und damit lautet die DGL:
⎝ dx ⎠ 2
dw x
H⎞
⎛ dp ⎞⎛
.
⎜ ⎟⎜ y − ⎟ = η
2⎠
dy
⎝ dx ⎠⎝
Vereinfachungen:
a) Die Gravitationskraft in x Richtung kann vernachlässigt werden: gx = 0
b) stationäre Strömung:
du
∫ dx dy = ∫ η dy dy
Nun muss man noch die Variablen trennen, d.h. die DGL mit dy multiplizieren. Es folgt:
∂w x
=0
∂t
H⎞
⎛ dp ⎞⎛
⎜ ⎟⎜ y − ⎟ dy = η dw x
2⎠
⎝ dx ⎠⎝
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und diese kann man nun integrieren:
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dp ⎛
H⎞
∫ dx ⎜⎝ y − 2 ⎟⎠ dy = ∫ η dw x
und es ergibt sich:
2.5 Grenzschichtgleichungen
H ⎞
⎛ dp ⎞⎛⎜ y
− y ⎟ = ηw x + C2 und aus der ersten Randbedingung ergibt sich:
⎜ ⎟
⎝ dx ⎠⎜⎝ 2 2 ⎟⎠
2
C2 = 0 .
Demnach lautet die Gleichung für das Geschwindigkeitsprofil:
1 ⎛ dp ⎞⎛ y 2 H ⎞⎟
− y .
w x ( y ) = ⎜ ⎟⎜
η ⎝ dx ⎠⎜⎝ 2 2 ⎟⎠
H
2
f) Die maximale Geschwindigkeit herrscht an der Stelle y = . Es ergibt sich eine Geschwindigkeit
von:
H ⎞ 1 ⎛ dp ⎞⎛ H2 H2 ⎞⎟
⎛
.
−
w x ⎜ y = ⎟ = ⎜ ⎟⎜
2 ⎠ η ⎝ dx ⎠⎜⎝ 8
4 ⎟⎠
⎝
Die maximale Geschwindigkeit beträgt:
Æ w max = 6,25
m
.
s
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2.6 Einfluss der Turbulenz auf Wärme- und Stoffübergang
2.7 Verständnisfragen
1) Zeichnen Sie für ein würfelförmiges Volumenelement an drei Flächen die neun Komponenten des
Spannungstensors ein. Worin besteht der Unterschied zwischen Tangential- und Normalspannung? Wo
stehen die dazugehörigen Elemente im Spannungstensor?
2) Welche dimensionslosen Kennzahlen kennen Sie? Was ist die physikalische Bedeutung dieser Kennzahlen?
3) Was ist eine Grenzschicht? Unter welchen Annahmen werden die Grenzschicht-Gleichungen hergeleitet? In welchem Bereich der Grenzschicht gelten sie?
4) Was ist die physikalische Bedeutung der turbulenten Viskosität, der turbulenten Wärmeleitfähigkeit
und des turbulenten Diffusionskoeffizienten? Worin unterscheiden sich diese Größen von den entsprechenden molekularen Größen?
5) Woraus ergeben sich die Navier-Stokes´schen Gleichungen? Versuchen Sie, die in diesen Gleichungen
auftretenden Terme mit eigenen Worten zu beschreiben.
Die Navier-Stokes´schen Gleichungen ergeben sich aus differentiellen Impulsbilanzen in die jeweiligen
Richtungen des gegebenen Koordinatensystemen.
6) Wodurch unterscheiden sich laminare und turbulente Strömungen?
Bei laminarer Strömung liegen die Stromlinien innerhalb der Strömung alle parallel zueinander. Bei
turbulenter Strömung kommt es zu Quervermischungen.
7) Welche dimensionslose Kennzahl gibt Auskunft über den Zustand einer Strömung? Erläutern Sie mit
eigenen Worten welchen Einfluss auf die Strömung die einzelnen Parameter in dieser Kennzahl haben.
Die Reynolds Zahl gibt Auskunft über den Strömungszustand. Re =
wL
.
ν
Je höher die Geschwindigkeit ist, desto eher ist die Strömung turbulent. Je größer die charakterische
Länge ist (Plattenlänge, Durchmesser usw.), desto eher liegt Turbulenz vor. Je größer die kinematische
Viskosität ist, desto eher ist die Strömung laminar.
8) Geben Sie die Definitionsgleichung der Prandtl- und der Schmidtzahl an? Welche Information kann
man diesen Kenngrößen entnehmen? (Hinweis: Man überlege sich, was die in den Definitionsgleichungen auftretenden Größen für sich genommen für einen Einfluss auf das Verhalten des betrachteten Systems besitzen, um Aussagen über die entsprechende Kennzahl zu erhalten).
Pr =
ν
a
Sc =
ν
Für beide Fälle gilt, dass je höher die kinematische Viskosität ist, desto kleiner
D AB
wird der jeweilige Übergangskoeffizient, da die Geschwindigkeiten abnehmen und somit der konvektive
Transport geringer wird.
9) Worauf ist bei der Aufstellung von differentiellen Bilanzgleichungen in Zylinder- und Kugelkoordinaten im Vergleich zu kartesischen Koordinaten zu achten? (Hinweis: Man stelle sich z.B. eine in radiale
Richtung weisende Wärmestromdichte in einem differentiellen Rohrabschnitt vor und bilanziere die Innere Energie in radialer Richtung.)
Das Problem bei differentiellen Bilanzen in Zylinder- und Kugelkoordinaten ist, dass sich die Flächen,
durch die die Ströme gehen, sich in radialer Richtung ändern.
Bsp. Schubspannung in radialer Richtung:
... + τr + dr * A r + dr − τr * A r + ... = ... + τr + dr * 2π(r + dr ) dx − τr * 2πr dx + ...
10) Von welchen Größen hängt im allgemeinen Fall der Stoff- bzw. Wärmeübergangskoeffizient ab?
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Die Übergangskoeffizienten hängen im Allgemeinen von der Geometrie, dem Strömungszustand und
den jeweiligen Transportgrößen ab.
11) Geben Sie die Definitionsgleichung der Übergangskoeffizienten für den Wärme- bzw. Stofftransport
an. Erläutern Sie Vor- und Nachteile bei der Verwendung dieser Wärme- bzw. Stoffübergangskoeffizienten zur Bestimmung der entsprechenden Transportströme.
λ∂T
α=−
∂y Wand
∆T
,β = −
D AB
∂c A
∂y Wand
∆c A
Der Wärme- und Stoffübergangskoeffizient sind im Gegensatz zu
3 Überströmte Körper
3.1 Die parallel angeströmte ebene Platte
3.1.1 Aufgabe Geschwindigkeitsverteilung
a)
Wärmeleitungs- und Diffusionskoeffizient Systemgrößen. Das bedeutet, dass sie je nach Geometrie und
Strömungszustand variieren.
y
y
0
turbulent
la min ar
w∞
y
y
w
0 x 0
w
0
y
0
w
w
xkrit
la min are Unterschicht
Abbildung 30 Geschwindigkeitsprofil Plattenströmung
laminare Strömung:
Bewegung auf Stromfäden
turbulente Strömung:
Bewegungen auch quer zur Strömungsrichtung
b) Entscheidend für das Strömungsregime ist das Verhältnis aus Trägheits- zu Reibungskräften. Durch
Wandhaftung ergibt sich ein Geschwindigkeitsprofil in der Nähe der Wand und damit ergeben sich
auch entsprechend kleine Geschwindigkeiten in Wandnähe. Dadurch überwiegen die Reibungskräfte und es kommt zur Ausbildung einer laminaren Unterschicht.
c) Als charakteristische Länge wird die Lauflänge verwendet. Wird diese vergrößert, steigt die Reynolds-Zahl. Für den hier betrachteten Grenzfall wird als kritische Länge die Plattenlänge gewählt,
da sich die turbulente Strömung mit steigender Reynolds-Zahl vom Ende der Platte entwickelt. Die
kritische Reynoldszahl bei einer Plattenströmung liegt bei Rekrit =
w krit ⋅ x krit
= 10 5 bis 3 ×10 6 .
ν Wasser
Mit x krit = L = 0,1m ergibt sich für die Geschwindigkeit
w krit =
Rekrit ⋅ ν Wasser
m
.
= 1 bis 30
s
L
d) Aus der Kontinuitätsgleichung und den Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich unter folgenden Bedingungen die Grenzschichtgleichungen ableiten:
Annahmen:
- die Strömung ist stationär
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- die Strömung ist zweidimensional
- die Stoffwerte seien konstant
- die Temperaturerhöhung auf Grund der Dissipation ist vernachlässigbar
- die Massenkräfte seien vernachlässigbar
- chem. Reaktionen kommen nicht vor
Daraus lässt sich das Geschwindigkeitsprofil berechnen.
e) Der Wärme- und Stoffübergangskoeffizient sind im Gegensatz zu Wärmeleitungs- und Diffusionskoeffizient Systemgrößen. Das bedeutet, dass sie je nach Geometrie und Strömungszustand variieren.
λ∂T
α=−
∂y Wand
β=−
∆T
D AB
∂c A
∆c A
3.1.2 Aufgabe Plattenströmung – Strömungswiderstand
a) Laminare Strömung liegt vor für ortsbezogenen Reynolds-Zahlen, die kleiner als der kritische Wert
sind. Das Kriterium lautet:
Re < Rek , dabei gilt:
105 < Re < 3 * 10 6
w∞ x
ν
Æ Fw 2
Zusatz: Abschätzen der Grenzschichtdicke: δ =
⇒ kritische Lauflänge:
Lk =
Rek ν
w∞
δ 2 = 0,25 mm
3.1.3 Aufgabe Wärmeübergang I
Vorgehen zur analytischen Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten:
1) Führen Sie eine differentielle Energiebilanz an einem Volumenelement über der Platte durch, wobei das
Temperaturfeld von der x- und y-Richtung abhängt.
2) Führen Sie die zweidimensionale Differentialgleichung in eine instationäre Differentialgleichung über.
3) Prüfen Sie die Anwendbarkeit der Fehlerintegralmethode!
4) Bestimmen Sie das zeitabhängige Temperaturfeld und überführen Sie dieses wieder in ein zweidimensionales Temperaturfeld.
5) Bestimmen Sie den Örtlichen Gradienten an der Plattenoberfläche und bestimmen Sie den örtlichen
Wärmeübergangskoeffizienten α(x) und daraus den Wärmeübergangskoeffizienten über der gesamten
Plattenlänge.
T∞
b) Gesucht ist ζ1 bis zur Stelle L1 = 1 cm < Lk , die also im laminaren Bereich liegt.
1,328
Re
Re1 = 58824 < Rek
wm
Q& ( y )
Abbildung 31 - Energiebilanz des überströmenden Fluid
a) Es ist Q& = α A(ϑ w − ϑ∞ ) , wobei wir zwei Variabeln nicht kennen, den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten, sowie die Temperatur ϑ w an der Wand.
ρ
2
* w∞
* B * L1
2
Æ Fw1 = 0,031 N
d) Gesucht ist ζ 2 bis zur Stelle L 2 = 0,045m < Lk , die also im laminaren Bereich liegt.
1,328
∂T
∂y
.
x,y =0
Energiebilanz: Q& ( x ) − Q& ( x + dx ) + Q& ( y ) − Q& ( y + dy ) = 0
Æ ζ 2 = 0,0026
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Ziel ist es nun den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten zu berechnen, daher ist das Temperaturprofil nötig, aus dem sich der Gradient an der Wand ermitteln lässt und
mit
dem
wir
dann
den
Wärmeübergangskoeffizienten
ermitteln
können,
da
gilt: Q& übergang = Q& Leitung ⇒ α( x )A (ϑ w − ϑ∞ ) = −λA
(siehe Skript Gl. 3.8)
Re
Re 2 = 264706 < Rek
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Q& ( x + dx)
Tw
x
Fw1 = ζ1 *
ζ2 =
Q& ( y + dy )
Q& (x)
y
Æ ζ1 = 0,0055
c)
Re x
Damit ergibt sich:
Æ δ1 = 0,2 mm
Æ Lk = 1,7 cm < Lk < 51 cm
Die Strömung ist laminar für x < Lk .
ζ1 =
4,19 x
∂y Wand
Die Abhängigkeiten lassen sich als Funktion der Reynolds-Zahl und der Prandtl- (bzw. Schmidt-)
Zahl bestimmen.
Re =
ρ
2
= 0,07N
e) Fw 2 = ζ 2 * * w ∞2 * B * L 2
Wobei in x -Richtung der konvektive Wärmetransport gegenüber dem Wärmetransport durch Leitung überwiegt. Für die y Richtung tritt Wärmetransport lediglich durch Leitung auf, da wir annehmen, dass wir keine Strömung in y Richtung haben.
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Nach Vereinfachung mit Taylor ergibt sich:
&
&
∂Q
∂Q
∂T
∂ 2T
leitung
konvekt
dx +
dy = w x c p ρ
−λ
=0
∂x
∂y
∂x
∂y 2
b) Es ergibt sich ein stationäres, zweidimensionales Temperaturprofil: T( x, y ) , dieses kann man in ein
instationäres Temperaturfeld umwandeln T( w m t, y ) da gilt:
- w m = const. , d.h. Das sich das Geschwindigkeitsfeld über der Platte nicht ändert und wir eine
konstante Pfropfenströmung vorliegen haben
Weiter nehmen wir an, das wir keine Strömung in y Richtung vorliegen haben, sondern nur Wärmeleitung
wm =
dx
∂T
∂ 2T
∂T
∂ 2T
=a
⇒ c pρ
−λ
=0⇒
2
dt
t
∂t
∂
∂y
∂y 2
tion:
T( x, y = δ) − T∞
= erfcξ = 0,01
Tw − T∞
Nun muss man aus Tabellenwerken das ξ finden, für welches die Gleichung erfüllt ist und erhält so einen funktionalen Zusammenhang ξ =
erfcξ = 0,01091
∂T
∂T
<<
∂x
∂y
die Wärmeleitung in x Richtung wird vernachlässigt:
-
Anfangsbedingung: T( t = 0) = T∞ Randbedingung: T( y = 0) = T0 , woraus sich eine sprunghafte
-
Änderung der Oberflächentemperatur des Fluids ergibt.
2. Randbedingung: T( y → ∞) = T∞
x
2 a
w∞
⇒ y = ξ⋅2 a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
a) Um den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bestimmen zu können müssen wir eine empirische
Gleichung für die mittlere Nußeltzahl einer überströmten, ebenen Platte aus den im Skript angebenden Gleichungen 3.16 – 3.19 und 3.31 auswählen, da in dieser der Wärmeübergangskoeffizient αm
Pr =
ν
= 0,71 . Da mit haben wir eine laminare Strömung vorliegen und aufgrund der Prandtl Zahl
a
der Platte: α =
Tw =
λ w∞
1 L
W
α( x )dx = 2
= 197
L ∫0
πaL
m 2K
w∞
der mittlere Wärmeübergangskoeffizient ergibt zu: α m =
woraus sich mit der Gleichung
und damit der Wärmeübergangskoeffizient über
damit ergibt sich eine tatsächliche Temperatur nach:
a) Die Geometrien müssen übereinstimmen. Die Parameter in der Reynolds-Zahl müssen so
angepasst werden, dass diese in beiden Fällen gleich ist, und die es muss eine thermische Ähnlichkeit vorliegen, was bedeutet, dass die Prandtl-Zahlen gleich groß sein müssen.
b) Re =
c) q& B =
w x,∞L
ν
⇒ w x,∞ =
m
Re⋅ ν
= 0,942
s
L
&
Q
W
= 500
lB ⋅ bB
m2
q& M = αM (TW ,M − T∞,M ) = q& B
Tw
q&
⇒ TW ,M = T∞,M + B
αM
α m ist aber erstmal unbekannt und muss berechnet werden. Da NuM = NuB gilt, folgt daraus:
Abbildung 32 Grenzschicht an einer überströmten Platte
63
&
Q
= 34°C
α mL
3.1.5 Aufgabe Plattenströmung Ähnlichkeitstheorie
αM =
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.
Gleichung für die Temperatur an der Oberfläche des Bauteils ergibt: ϑ0 = ϑ∞ +
T∞
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Num λ
W
= 122,496
L
m 2K
b) Der übergehende Wärmestrom ist definiert durch: Q& = αA(ϑ0 − ϑ∞ ) , woraus sich nach umstellen die
&
Q
+ T∞ = 32,5°C
αA
wm
1
1
dT
dy y =0
q& Leitung = q& konvektion ⇒ α =
Tw − T∞
πax
w ∞L
= 6136,47 ;
ν
müssen wir mit Gl. 3.18 die mittlere Nußeltzahl bestimmen: Num = 0,664 Re 2 Pr 3 = 46,4 ; woraus sich
w∞
dT
= −( T0 − T∞ )
dy y =0
πax
für den Gradienten an der Wand : α( x ) = λ
für die Grenzschicht!
aus Baehr, Stefan 2006 S.169
−λ
c) Für den Wärmeübergang gilt:
x
w∞
auftaucht. Hierzu müssen wir zuerst den Gültigkeitsbereich ermitteln: Re =
Dieses Problem wurde bereits in EIS I mit Hilfe der Laplace Transformation gelöst und man erhält
das dimensionslose Temperatur Profil der Errorfunktion Lösung für Erwärmung des Fluids:
⎛
⎜
⎜
⎞
T( x, y ) − T∞
y
⎟⇒
erfc
=
⎜
⎟
Tw − T∞
⎠
⎜2 a x
⎜
w∞
⎝
y
3.1.4 Aufgabe Wärmeübergang II
-
Der Gradient an der Wand ergibt sich zu:
mensionslose Temperatur den Wert 0,01 annimmt. Damit ergibt sich für die Lösung der Errorfunc-
beiξ = 1,8
Dies ist die instationäre Wärmeleitungsgleichung für konstante Stoffwerte.
Damit wir die errorfunction Lösung anwenden können, muss gelten:
- an der Plattenoberfläche soll die konstante Temperatur TW herrschen
⎛ y
T( x, t ) − T∞
T+ =
= erfc ⎜⎜
Tw − T∞
⎝ 2 at
d) An der Grenzschicht gilt, dass die Temperatur T(x,y=δ), bezogen auf die maximale Temperaturdifferenz (Tw - T ∞ ), nur noch ein Prozent Abweichung zur Hauptströmung besitzt. D.h. das die Di-
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NuB ⋅ λ M
W
= 11,81
⇒ TW ,M = 335,35 K
lM
m2 ⋅ K
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3.1.6 Aufgabe Plattenströmung – Wärmeübergang III
a) Laminare Strömung liegt vor für ortsbezogene Reynolds-Zahlen, die kleiner als der kritische Wert
sind. Das Kriterium lautet:
Re < Rek , dabei gilt: 105 < Re < 3 * 10 6
Re =
⇒
w∞ x
ν
kritische Lauflänge: L k =
⇒
L k = 1,7 cm
<
<
Lk
Rek ν
w∞
e) Die Grenzschichtdicke δ beschreibt jenen Wandabstand, bis zu dem die Stromgeschwindigkeit von der
Wandreibung beeinflusst. Definitionsgemäß ist das beim Wert von 99% der Freistromgeschwindigkeit
der Fall.
Für die laminare Grenzschicht an der ebenen Platte gilt:
δ thermisch 0,976
=
1
δ
Pr 3
f)
51 cm
wobei δ =
4,91 ⋅ x
⇒
Re x
δ thermisch = 2,22 ⋅ 10 −4 m
kW
q& = α 2 * ( T∞ − TW ) = 9,223
m2
Die Strömung ist laminar für x < Lk .
b) Gesucht ist α1 an der Stelle L1 = 1 cm < Lk , die also im laminaren Bereich liegt.
Nu =
1
α 1 L1
λ Luft
Nu x = 0,332 * Re 0x,5 Pr 3
c) α1 =
1
L1
⇒
α1 = 194,57
L1
∫ α( x )dx
mit
3.1.7
0,06 < Pr < 10
.
Re = 58824 < Rek
die folgende Beziehung bestimmt werden:
q = α⋅ (ϑ∞ − ϑ0 )
m 2K
_
Nu x =
α( x ) * x
λ
Re =
Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α wird mit Hilfe von Wärmeübergangskorrelationen für die längs
angeströmte ebene Platte ermittelt. Hierzu muss jedoch der Strömungszustand bestimmt werden.
w∞ * x
ν
Re =
1
λ
Nu x
Nu x = 0,332 * Re 0x,5 Pr 3
x
L
0,5
1 ⎤
1 1⎡ λ
⎛w x⎞
⎢ * 0,332 * ⎜ ∞ ⎟ Pr 3 ⎥ dx
α1 =
ν
L1 ∫ ⎢ x
⎥
⎠
⎝
0⎣
⎦
λ ⎛ w∞ ⎞
*⎜
⎟
L1 ⎝ ν ⎠
α1 = 2 * 0,332 *
d) Re =
17 * 10
Pr
L1 0,5
1
3 * f (Pr) * x
λ ⎛ w ∞ * L1 ⎞
*⎜
⎟
ν
L1 ⎝
⎠
100m / s * 0,6 m
−6
0,5
m2
s
∫
0
0,5
= 3,53 * 10 6
Pr
x
dx
⇒
es gilt:
L1 0,5
∫
x
2 * α1 = 2 * 194,57
L 2 = 0,6 m
x
W
2
m K
_
dx = 2 * L1
0,037 Re 0,8 Pr
gültig für
⎞
⎛ 2
1 + 2,443 Re −0,1⎜⎜ Pr 3 − 1⎟⎟
⎠
⎝
Nu 2 λ
W
Nu 2 = 5105,35
α2 =
= 230,6
x
m 2K
Fachgebiet Verfahrenstechnik
Prof.Dr.-Ing. M. Kraume
⇒ laminare Plattenströmung
= 389,13
1
1
α⋅ L
= 0,664 ⋅ Re 2 ⋅ Pr 3 = 182,74
λ
α = 6,651
W
m 2K
Hieraus ergibt sich für die zu übertragende Wärmestromdichte
W
.
2
_
q = α⋅ (ϑ∞ − ϑ0 ) = 1829,03
m K
liegt im turbulenten Bereich
Es muss folglich die Formel für den turbulenten Bereich mit laminarem Anlaufbereich verwendet werden:
Nu 2 =
_
_
Nu =
0
1
3 * f (Pr) =
w∞ ⋅L
= 97276 < 10 5
ν
Zur Lösung des Problems wird folgende Korrelation (Skript Gleichung 3.18) für die laminare Plattenströmung
und folgenden Bereich der Prandtl Zahl 0,06 < Pr < 1 verwendet.
α( x ) =
α1 = 0,332 *
_
.
W
0
Aufgabe Wärmeübergang IV
Die abzuführende Wärmestromdichte q , um die Plattentemperatur konstant auf ϑ0 = 25°C zu halten, kann über
ν
Pr = = 0,709
a
λ
a=
= 2,4 ⋅ 10 −5 m² / s
cP ⋅ ρ
Nu = 71,8
gültig für
3.1.8
a)
W
m2
Aufgabe Plattenströmung – Geschwindigkeitsgrenzschicht
2
u( x, y )
⎛y⎞
⎛y⎞
⎛y⎞
= a o + a1⎜ ⎟ + a 2 ⎜ ⎟ + a 3 ⎜ ⎟
U( x )
⎝δ⎠
⎝δ⎠
⎝δ⎠
mit U( x ) = u∞ = konst.
Randbedingungen:
0,06 < Pr < 2000
y = 0 : u( x, y ) = 0 ⇒ a 0 = 0
y = 0:0 =η
∂ 2u
∂y 2
⇒ 2 ⋅ a2 = 0
y = δ : u( x, y ) = u∞ ⇒ a1 + a 2 + a 3 = 1
65
3
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Prof.Dr.-Ing. M. Kraume
(Haftbedingung)
(Wandbindungsgleichung)
(Grenzschichtrand)
66
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
y = δ:
Lösungskatalog zu EIS II A
∂u
= 0 ⇒ a1 + 3 ⋅ a3 = 0
∂y
Abbildung 33 – Kräftebilanz am Schiff
(glatter Übergang)
∑ Fx = 0 = Fvor − FRe ib − FStau
aus (2) ⇒ a 2 = 0
3 y
1 y
aus (3) + (4) ⇒ a1 = ⎛⎜ ⎞⎟ − ⎛⎜ ⎞⎟
2⎝ δ⎠
3
2⎝δ⎠
FStau = p Stau ⋅ A Front,x mit A Front,x =
b) τ W = ?
1
ρ
B ⋅ H = 20m 2 p Stau = ⋅ w 2 = 1621,8Pa
2
2
FStau = 32436,01 N
⎛ 3 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ y2 ⎞ ⎞
∂u
⎟⎟
= ηu ∞ ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜
⎜ 2 ⎝ δ ⎠ 2 ⎜ δ3 ⎟ ⎟
∂y
⎝
⎠⎠
⎝
3 η
τ W = τ( y = 0) ⇒ τ W ( x ) =
u∞
2 δ( x )
Newton: τ = η
FRe ib = ζ f ⋅
L
_
Fmax = µ ⋅ m ⋅ g = FStrömung = ∫ τ W ( x ) ⋅ Tdx
Re =
0
280
η
13 ρu ∞
x =
4,64
Re
117
280
w ⋅L
= 1,056 ⋅ 10 8
ν
⇒ turbulente
⋅x
_
1
2
mit L = 50m + 2 ⋅ ⋅ H ⋅ tan α = 58,66m
Plattenströmung Widerstandsbeiwert aus Diagramm 3.3 im Skript
ζ f (Re = 1,056 ⋅ 10 8 ) ≈ 8,8 ⋅ 10 −2
L
ηρu3∞
FRe ib = 41860 N
⎡ 117
⎤
⇒ µ ⋅m⋅g = ⎢
ηρu3∞ ⋅ T ⋅ x ⎥
2 x
⎥⎦ 0
⎣⎢ 280
⎛
2 ⎞
2
280 (µmg)
(µmg) ⎟
⎜
3
⇒ u∞ = 3
⎜⎜ = 2.4 ⋅
⎟
117 ηρT 2L
ηρT 2L ⎟
⎝
⎠
τ W ( x) =
1
2
mit A Re ib = L ⋅ H + 2 ⋅ H2 ⋅ tan α = 293,3m 2
Woher den Widerstandsbeiwert ζ f ?
Strömungszustand mit Hilfe der Reynoldszahl der ebenen Platte bestimmen.
c) Haftreibung bis zum Einsetzen der Bewegung:
mit δ(x) =
ρ 2
w ⋅ A Re ib
2
Fvor = FRe ib + FStau = 74296 N
PMotor = Fvor ⋅ w = 133741 W ⇒ 133,741 kW ⇒≈ 182 PS
3.1.10 Aufgabe Plattenströmung – Impulstransport
a)
3.1.9
la min ar
w∞
Aufgabe Fahrendes Schiff
turbulent
Leistung des Schiffs lässt sich bestimmen durch folgende Formel aus der Mechanik
PMotor = Fvor ⋅ w
{
?
Wie groß ist die notwendige Kraft Fvor ?
y
y
Kräftebilanz ( bzw. stationäre integrale Impulsbilanz in Fahrtrichtung des Schiffs) am Schiff
0
y
y
w
0 x 0
w
0
y
0
w
w
xkrit
la min are Unterschicht
Abbildung 34 - Geschwindigkeitsgrenzschicht ebene Platte
w ⋅x
b) Kritische Reynoldszahl bei einer Plattenströmung Rekrit = 3 ⋅ 10 5 = krit krit .
ν Wasser
F vor
FRe ib
FStau
mit x krit = L = 0,1 m ergibt sich für die Geschwindigkeit
w krit =
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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3 ⋅ 105 ⋅ ν Wasser
m
=3
s
L
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68
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
c) Die laminare Grenzschichtdicke berechnet sich nach Gleichung 3.3 des Skriptes zu:
δlam =
4,91 ⋅ x
Re x
= 0,164 mm ,
wobei x =
Re x ⋅ ν
= 3,3 mm
w krit
Gesucht wird eine differentielle Kräftebilanz am infinitesimalen Fluidelement über der Platte. Folgenden Vereinfachung sind berücksichtigt:
- Vernachlässigung des Einflusses der Schwerkraft
-
stationäre Strömung
-
wy = 0.
3.2
Der quer angeströmte Zylinder
3.2.1
a)
Aufgabe Schornstein (alte Klausuraufgabe)
ReKrit,Zylinder =
Æ w krit =
∂
=0
∂t
w∞ d
= 3 ⋅ 10 5
ν
Rekrit ν Rekrit η 3 ⋅ 10 5 ⋅ 0,018 m
m
=
=
= 2,2
ρ d Zyl 1000 ⋅1,225 ⋅ 2 s
d Zyl
s
hkrit
H
=
w krit w oben
Æ hkrit =
τz+ dz
b) Ansatz: ζ =
px
p x + dx
35 m
5m
s
FW
A
ρ
w ∞2
2
FW =
hkrit
∫
⋅ 2,2 m = 15,4 m
s
mit w(h) =
H
ζ1 q dA +
0
dz
FW =
z
∫ ζ 2 q dA
hkrit
2
2
H
ρ⎛w
ρ⎛w
⎞
⎞
ζ1 ⎜ oben h ⎟ dZyl dh + ∫ ζ 2 ⎜ oben h ⎟ dZyl dh
2⎝ H
2⎝ H
⎠
⎠
h
krit
H
⎡ hkrit
⎤
ρ
⎛w
⎞
FW = d Zyl ⎜ oben ⎟ ⎢ζ1 ∫ h 2 dh + ζ 2 ∫ h 2 dh⎥
⎥
2
⎝ H ⎠ ⎢ 0
hkrit
⎣
⎦
2
dy
x
∫
0
τz
y
hkrit
w oben
h
H
dx
2
hkrit
H ⎤
1
ρ
⎛w
⎞ ⎡ 1
⎥
FW = d Zyl ⎜ oben ⎟ ⎢ζ1 h3
+ ζ 2 h3
2
H
3
3
⎝
⎠ ⎣⎢
0
hkrit ⎦⎥
Abbildung 35 - Differentielles Fluid-Volumenelement
Die differentielle Kräftebilanz am Volumenelement ergibt:
dw x 1 ⎛ ∂p ∂τ ⎞
= ⎜−
+
⎟=0
dt
ρ ⎝ ∂x ∂z ⎠
ρ
⎛w
⎞
FW = dZyl ⎜ oben ⎟
6
⎝ H ⎠
2
[ζ h
1 krit
2
3
(
+ ζ 2 H3 − hkrit 3
[
)]
]
ρ
⎛w
⎞
d Zyl ⎜ oben ⎟ hkrit 3 (ζ1 − ζ 2 ) + ζ 2 H3
6
⎝ H ⎠
2
52 m 2
1,225 kg 3
s
m 2m
FW =
15,4 3 m3 (1,2 − 0,4) + 0,4 ⋅ 35 3 m3
6
35 2 m 2
FW =
[
]
Æ FW = 167,27 N
c)
Re =
w ∞ d ρ 2,5 ⋅ 2 ⋅ 1,225 ⋅ 10 3
=
= 3,4 ⋅ 10 5
η
0,018
____
⎛ Pr
Nu = c Rem Pr n ⎜⎜
⎝ Pr0
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ Pr
Nu = 0,023 ⋅ Re 0,8 Pr 0,4 ⎜⎜
⎝ Pr0
(
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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)
⎞
⎟
⎟
⎠
0,25
0,25
0,8
⎛ 0,733 ⎞
0,733 0,4 ⎜
⎟
⎝ 0,733 ⎠
Fachgebiet Verfahrenstechnik
70
Nu = 0,023 ⋅ 3,4 ⋅ 10 5
Prof.Dr.-Ing. M. Kraume
⇒ turbulent
0,25
____
____
> 3 ⋅ 10 5
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
dA außen = 2π(r + dr )dz
____
Æ Nu = 540,7
dA innen = 2πrdz
____
α L
Nu = m
λ
____
Æ αm =
.
Nu λ
=
L
dr
540,7 ⋅ 0,0256 W
2m
(
)
mK
= 6,9
W
m 2K
(
Q = A α m ϑ Wand − ϑFluid) = 2π R ⋅ H ⋅ α m ϑ Wand − ϑFluid)
.
.
)
W
Æ Q& = 2π ⋅ 1m ⋅ 35m ⋅ 6,9 2 (333K − 293K ) = 60,7 kW
qr + dr
qr
dz
m K
z
3.2.2
Aufgabe Schornstein II
ϕ
r
a) Der Temperaturverlauf im Fall ruhender Luft
ϑ
Abbildung 37 - Differentielles Bilanzelement in Zylinderkoordinaten
.
∂U .
= qr ⋅ dA innen − qr + dr ⋅ dA außen
∂t
ϑi = 200°C
.
.
mit Taylor qr + dr = qr +
.
∂ qr
dr
∂r
;
Stationärer Zustand
.
⎡
⎤
.
∂ qr ⎥
⎢.
0 = qr ⋅ 2πrdz − ⎢qr +
dr ⎥ ⋅ 2π(r + dr )dz
∂r
⎢⎣
⎥⎦
ϑ∞ = 20°C
DSchornstein
2
.
⎡
⎤
.
⎢. ∂q
⎥
0 = qr ⋅ r − ⎢qr + r dr ⎥ ⋅ (r + dr )
∂r
⎢⎣
⎥⎦
r
.
.
0 = − qr ⋅ dr −
Abbildung 36 - Temperaturverlauf ruhende Luft
: (2πdz )
ausmultipliziert und zusammengefasst folgt
.
∂ qr
∂q
dr ⋅ r − r dr 2
∂r
∂r
dr 2
Terme zweiter Ordnung gehen sehr viel schneller ge-
gen Null als Terme erster Ordnung ⇒ Vernachlässigung (siehe Taylor-Reihe Abbruch nach zweiten
Glied)
Energiebilanz am differentiellen Volumenelement in Zylinderkoordinaten
.
0=−
0=
.
qr ∂ qr
1∂ .
−
=−
(q ⋅ r )
∂r
r
r ∂r r
λ ∂ ∂T
(
⋅ r)
r ∂r ∂r
.
Fourier qr = −λ
∂ϑ
∂r
mit λ = const
beschreibende Differentialgleichung im Fall ruhender Luft
b) Integrale Energiebilanz ( stationär ) um den Schornstein liefert α
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72
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
.
Haus
3.3
Quer angeströmte Rohrbündel
w∞
.
Qüber
.
Hein
Abbildung 38 - Integrale Energiebilanz
.
.
.
0 = Hein − Haus − Qüber
.
mit Qüber = α ⋅ A ⋅ ∆ϑ
.
0 = M c P ( ϑein − ϑaus ) − α A∆ϑ
Temperaturdifferenz wird logarithmisch gemittelt
∆ϑ = ∆ϑlog =
∆ϑein − ∆ϑaus
∆ϑein
ln
∆ϑaus
mit ∆ϑein = ϑein − ϑ∞ und ∆ϑaus = ϑaus − ϑ∞
.
⇒
α=
McP
W
(ϑein − ϑaus ) = 8,03
A∆ϑlog
m 2K
_
⇒ Nu = 2008,6
Empirische Beziehung nach der Reynoldszahl aufgelöst mit Pr =
ν
= 0,734
a
5
⎞4
⎛ _
⎜ Nu
1 ⎟
Re = ⎜
= 1751848,5 > 10 6 ⇒
⋅
0,4 ⎟
⎜ 0,023 Pr ⎟
⎠
⎝
Re⋅ ν Luft
m
w∞ =
= 4,89
s
D
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73
turbulente Strömung
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
3.4
Lösungskatalog zu EIS II A
3.4.2
Transportvorgänge an festen Kugeln
3.4.1
Aufgabe Strömungszustände an einem bewegten Partikeln
La min are Umströmung
Aufgabe Impulstransport Kugel
a)
z
Staupunkt
FA
Fg
Fw
Re < 20
Abbildung 39 - Kräfte am bewegten kugelförmigen Partikel
Integrale Kräftebilanz führt für den stationären Fall zu
Stationäre la min are Ringwirbel
0 = Fg − FA − Fw
mit Fg = ρP VP g
0=
b) w P =
FA = ρF VP g
und
Fw = ζ ⋅ ρF ⋅
w P2
⋅ A quer
2
πd2
1 3
πdP ⋅ g ⋅ (ρP − ρF ) − ζ P ρF ⋅ w P2
8
6
Ablösering
( ρ − ρF ) 1
4
dP P
g
3
ρF
ζ
c) Die mit Hilfe der Gleichung aus b) bestimmte Geschwindigkeit w P stellt die
Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid dar. Die Relativgeschwindigkeit berechnet sich
aus der Differenz der Absolutgeschwindigkeiten des Fluides und des Partikels
w P = w P,abs − w F,abs
Re < 130
Ein außen stehender Beobachter kann nicht die Relativgeschwindigkeit beobachten sondern er sieht die
absolute Sinkgeschwindigkeit w P,abs des Partikels. Im Falle eines ruhenden Fluids fallen Relativ- und
Instationä re Wirbel
Absolutgeschwindigkeit des Partikels zusammen . Wird jedoch das Partikel von einem ihm entgegenströmenden Fluid angeströmt, so nimmt die Absolutgeschwindigkeit des Partikels ab
( w P bleibt unverändert siehe b))
Ablösering
Re < 450
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
Karmànsche Wirbelstraße
III Karmansche Wirbelstraße
Newton´scher Bereich
in diesem Bereich haben die Trägheitskräfte den entscheidenden Einfluß auf
den Widerstandsbeiwert ⇒ Konstanter Widerstandsbeiwert ζ ( ergibt sich aus der Definitionsgleichung des Widerstandsbeiwertes )
IV Turbulente Grenzschichtströmung
durch turbulente Austauschvorgänge wird der Bereich der „Totzone“ der Strömung hinter der Kugel
stark verkleinert und dies verringert den Einfluss der Trägheitskräfte auf die Widerstandskraft ⇒
Widerstandsbeiwert sinkt
Re < 3 ⋅ 105
3.4.4
Aufgabe Warmes Trinkwasser
Eine integrale Energiebilanz um den kugelförmigen Trinkwasserbehälter liefert folgende Differentialgleichung
in der Zeit.
Turbulente Grenzschichtströmung
MH2O ⋅ c p,Wasser
(
∂T
= αKugel ⋅ A O,Kugel ϑ∞ − ϑKugel ( t )
∂t
)
Das Wasser innerhalb des Trinkbehälters wird durch die Bewegungen des Kamels als ideal durchmischt angenommen und der Wärmetransportwiderstand durch die Behälterwandung kann ebenso vernachlässigt werden.
D.h. der einzige Widerstand gegen den Wärmetransport ist der an der Aussenseite des umströmten kugelförmigen Behälters. Um den Wärmeübergangskoeffizienten αKugel zu erhalten, werden empirische Korrelationen
aus dem EIS II Skript verwendet. Für die Verwendung dieser Gleichungen muss deren Gültigkeitsbereich überprüft werden. Hierfür ist der Strömungszustand von besonderer Bedeutung für den Wärmeübergang. Der
Strömungszustand kann mit Hilfe der Reynoldszahl für die Kugel bestimmt werden.
Re =
Re > 3 ⋅ 105
Mit w ∞ = 20
3.4.3
Widerstandsbeiwert kugelförmige Partikel siehe Abb 3-12 Skript
Der Widerstandsbeiwert ζ setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, die je nach Strömungszustand im entsprechenden Widerstandsgesetz berücksichtigt werden. Dies ist einerseits die Reibungskraft die durch Wandschubspannungen bei der Überströmung hervorgerufen wird und andererseits die Trägheitskraft die durch Druckunterschiede am Partikel hervorgerufen wird.
I Laminare Umströmung
24 ⋅ ν F
24
=
Re w P ⋅ dP
Prof.Dr.-Ing. M. Kraume
77
= 193125
km
m
= 5,56
h
s
und rKugel = 3
3 ⋅ VKugel
4⋅π
= 0,3 m
1
1
Nu = 0,84 ⋅ Re 2 ⋅ Pr 3 = 329 ⇒ α Kugel =
Nu ⋅ λLuft
W
= 14,893
dKugel
m 2K
Die obige Differentialgleichung kann mit Hilfe der Trennung der Variablen gelöst werden.
αKugel ⋅ A O,Kugel
1
dt
dϑ =
MH2O ⋅ c H2O
ϑ∞ − ϑKugel ( t )
Hierbei ist zu erwähnen, dass die Oberflächentemperatur der Kugel ϑO,Kugel auf Grund der Annahmen bezüglich des Wärmetransportwiderstandes der Temperatur des Wassers innerhalb des Behälters entspricht.
Besimmte Integration zwischen ϑ( t = 0) = 15°C → ϑ( t = t end ) = 25°C liefert:
laminarer Bereich ⇒ lediglich Reibungskräfte durch Überströmung
II Ablösung der Strömung
Wirbelbildung im strömungsabgewandten Bereich führt zu
Druckunterschieden vor und hinter der Kugel
Zusätzlich zur Reibung bei der Umströmung ( Stokes ) treten auch
Trägheitsanteile im Widerstandsbeiwert auf
Fachgebiet Verfahrenstechnik
νLuft
Laminare Grenzschichtströmung 1 < Re < 3 ⋅ 10 5
Aufgabe Widerstand an einem bewegten Partikel
Stokes´sches Widerstandsgesetz ζ =
w ∞ ⋅ dKugel
⎛ ϑ − ϑ( t = t end ) ⎞ α Kugel ⋅ A O,Kugel
⎟=
− ln⎜⎜ ∞
⋅ t end ⇒ t end = 14406 s = 4 h
⎟
MH2O ⋅ c H2O
⎝ ϑ∞ − ϑ( t = 0) ⎠
2
Mit A O,Kugel = 4 ⋅ π ⋅ rKugel
= 1,13 m 2
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
3.5
Lösungskatalog zu EIS II A
angeströmten ebenen Platte.
Definitionsgleichung des mittleren Widerstandsbeiwertes bei der Plattenströmung
Verständnisfragen
1) Was ist ein Staupunkt? Wie viele Staupunkte hat eine umströmte Kugel?
Wird ein Körper von einer Strömung umströmt, so werden die Stromlinien durch den Körper abgelenkt,
dabei gibt es einen Punkt, an dem die Stromlinie „theoretisch“ senkrecht auf den Körper trifft, dieser
Punkt wird als Staupunkt bezeichnet. Das Fluid hat hier keine Geschwindigkeit und die gesamte kinetische
Energie ist vollständig in Enthalpie umgewandelt und es herrscht der maximale Druck, der Staudruck
Die Kugel hat nur einen Staupunkt.
2) Für eine Berechnung stehen Ihnen eine empirisch hergeleitete und eine vereinfacht analytisch abgeleitete
Gleichung zur Verfügung. Unter welchen Umständen benutzen Sie welche der Gleichung? Begründen Sie
Ihre Aussage!
3) Leiten Sie aus der Kräftebilanz um eine feste Partikel die stationäre Endgeschwindigkeit der Partikel her!
Wie ist die absolute Geschwindigkeit der Partikelbewegung zu berechnen?
Kräftebilanz am Partikel:
0 = FA − FG − FW
2
π 3
(ρF − ρP ) − ζρF π dP2 w P
0 = g dP
6
4
2
4 ρF − ρP
1
gdP
3
ρF
ζ
wP =
4) Wodurch lässt sich erklären, dass es trotz voll turbulenter Strömung noch eine laminare Unterschicht in
Wandnähe gibt?
Durch Wandhaftung ergibt sich ein Geschwindigkeitsprofil in der Nähe der Wand und damit ergeben sich
auch entsprechend kleine Geschwindigkeiten in Wandnähe. Da die Ausbildung von Turbulenz ab einer bestimmten kritischen Reynolds-Zahl auftritt, muss in Abhängigkeit von der überströmten Länge eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit erreicht werden. Aus dieser Überlegung ergibt sich die Ausbildung einer
laminaren Unterschicht, die mit zunehmender Lauflänge abnimmt.
5) Wie ist der Reibungsbeiwert definiert?
cf =
τ0
ρw
2
2
6) Wie ist der Widerstandsbeiwert definiert?
ζ=
Fw
_
τw
ζ= A =
ρ 2
ρ 2
w∞
w∞
2
2
Zur Bestimmung des mittleren Widerstandsbeiwertes wird demnach die mittlere Wandschubspannung
_
τ w benötigt.
_
Die mittlere Schubspannung wird bestimmt durch folgende Mittelungsgleichung
L
τ w = ∫ τ w ( x )dx
mit dem Newtonschen Schubspannungsansatz τ w ( x ) = η
0
∂w x
∂y
ist die mittlere Wandschuby =0
spannung direkt abhängig vom Geschwindigkeitsgradienten an der Wand, integriert über der Plattenlänge
_
L
τ w = η∫
0
∂w x
∂y
( x )dx
w
Ist das Geschwindigkeitsfeld bekannt kann dieses Integral gelöst werden. Wenn nicht, sind trotzdem qualitative Aussagen über den Verlauf der örtlichen Wandschubspannung möglich.
10) Beschreiben Sie die Veränderungen der Strömung beim Umschlag von der laminaren zur turbulenten Plattenströmung. Was bedeutet dies für die Austauschvorgänge?
Ab Rekrit = 5 ⋅ 10 5 werden Störungen in der Plattenströmung nicht mehr vollständig abgebaut. Es bilden
sich Wirbel die für einen starken Queraustausch innerhalb der Strömung sorgen. Dadurch werden auch in
Wandnähe höhere Geschwindigkeiten erreicht(im Vergleich zum laminaren Fall), was i.a. zur Verbesserung des molekularen Transports an der Wand ( y = 0 )führt, weil nicht nur der Geschwindigkeitsgradient
an der Wand
∂w x
sondern
∂y y =0
auch Konzentrations- und Temperaturgradient infolge Turbulenz vergrößert
wird.
11) Erläutern Sie die Veränderungen der Strömungsverhältnisse bei einem quer angeströmten Zylinder anhand
einer geeigneten Stromlinie um den Zylinder.
Strömungsverhältnisse am umströmten Zylinder.
3
2
4
1
5
∆p
ρw
2
2
7) Wie sollte man im Allgemeinen vorgehen, wenn man mit empirischen Gleichungen arbeitet?
Empirische Gleichungen sind immer für speziellen Geometrien (Platte, Rohr usw.) und haben immer Gültigkeitsbereiche für bestimmte Parameter ( Re, Pr usw.). Wenn diese bekannt sind und eine passende Gleichung gefunden wurde, kann über die entsprechend berechnete dimensionslose Kennzahl ( Sh, Nu usw.) der
gewünschte Wert ( α, β usw.) berechnet werden.
8) Leiten Sie die stationäre Endgeschwindigkeit eines umströmten kugelförmigen Partikels her! Was ist die
Absolutgeschwindigkeit des Partikels und wie setzt sie sich zusammen?
9) Erläutern Sie das Vorgehen zur Bestimmung des mittleren Widerstandsbeiwertes bei der laminar längs
Abbildung 40 – Umströmter Zylinder
1.
2.
3.
4.
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79
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⇒
unbeeinflusste Anströmung
⇒ Strömung wird aus Kontinuitätsgründen am Zylinder vorbeigelenkt
dabei wird die Strömung beschleunigt und der statische Druck nimmt während der Beschleunigung
ab
⇒ Strömung erreicht maximale Geschwindigkeit und niedrigsten
statischen Druck
⇒ Strömung wird verzögert und der statische Druck steigt wiederrum an
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80
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
⇒ Für den reversiblen Fall geht die Strömung wieder in den Ausgangzustand über
5.
Für den irreversiblen Fall wird während der Umströmung kinetische Energie dissipiert und dies führt zum
vorzeitigen Ablösen der Strömung vom Zylinder und zum Entstehen einer Totzone hinter dem Zylinder.
12) Wie ist der unterschiedliche Verlauf des Widerstandsbeiwertes von kugelförmigen Partikeln im Vergleich
zur längs angeströmten Platte zu erklären.
Definitionen der Widerstandsbeiwerte von Platte und Kugel
Fw
ζ= A
wobei bei der Kugel die der Strömung
ρ 2
w∞
2
π
A = dp2 und nicht die Oberfläche einzusetzen ist
4
entgegengesetzte Querschnittsfläche des Partikels also
Der entscheidende Unterschied zwischen Kugel und Platte liegt darin dass bei der Platte die Reibungskräfte eine übergeordnete Rolle spielen, wobei bei der Kugel nach dem Ablösen der Strömung die Trägheitskräfte entscheidend für die Widerstandskraft sind. Hinter der Kugel entsteht durch die Ablösung der Strömung ein Gebiet niedrigeren Druckes und somit eine Druckdifferenz zwischen Staupunkt und dem gegenüberliegenden Punkt in der Totzone, die zu einer direkten Proportionalität der Druckverlustes zum Staudruck ( ζ = const ) führt.
Bei der Platte spielt fast ausschließlich der molekulare Impulstransport an der Wand die Rolle für die Widerstandskraft.
13) Versuchen Sie den Verlauf der Nußelt Zahl über der Peclet Zahl (Diagramm Abb. 3-14) zu erläutern. Warum ändert sich der Verlauf der Nußelt Zahl mit unterschiedlichen Prandtl Zahlen. ( Warum erst ab einer
bestimmten Peclet Zahl?)
Die Peclet-Zahl kann in dieser Auftragung als eine Art dimensionslose Geschwindigkeit angesehen werden
und die mittlere Nußelt-Zahl in diesem Diagramm als mittlere Wärmeübergangszahl. Für sehr kleine Peclet-Zahlen, d.h. für sehr kleine Geschwindigkeiten ( schleichende Strömung ), findet lediglich Wärmetransport durch Wärmeleitung statt ( siehe Herleitung Nu=2 ). In diesem Bereich spielt die Strömung keine Rolle. Erst ab einer bestimmten Geschwindigkeit beginnt die Umströmung einen Einfluss auf den Wärmeübergang an dem Partikel zu bekommen. Erst ab diesem Zustand der Umströmung spielt die Prandtl Zahl
Pr =
ν
eine Rolle beim Wärmeübergang. Die Prandtl Zahl setzt die molekularen Austauschkoeffizienten für
a
Impuls ( kinematische Viskosität ) und Energie ( Temperaturleitfähigkeit ) ins Verhältnis. Je größer die
Prandtl Zahl, umso besser findet der molekulare Impulsaustausch im Vergleich zum molekularen Energieaustausch statt. D.h. je größer die Prandtl Zahl desto größer ( qualitativ ) ist auch die Temperaturgrenzschicht im Vergleich zur Geschwindigkeitsgrenzschicht. Je größer die Temperaturgrenzschicht, desto kleiner ist der Temperaturgradient an der Wand und desto schlechter ist der Wärmeübergang, der an der
r
Wand lediglich durch den Temperaturgradienten ( w = 0 ) bestimmt wird.
14) Worin unterscheidet sich allgemein das laminare Geschwindigkeitsprofil vom Turbulenten? Zeichnen Sie
beide Profile für eine überströmte Platte, sowie das Strömungsprofil eines überströmten Zylinders und eine
überströmte Kugel.
15) Warum gibt es auch bei turbulenter Überströmung eine laminare Unterschicht?
Auch bei turbulenter Strömung gilt weiterhin die Wandhaftung, wodurch sich ein Geschwindigkeitsprofil
ausbildet. In diesem herrscht bis zu einem bestimmten Wandabstand noch eine relativ kleine Geschwindigkeit, die eine laminare Strömung zulässt.
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81
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16) Mit welcher Gleichung und unter welchen Voraussetzungen lässt sich das laminare Geschwindigkeitsprofil
für eine überströmte Platte herleiten?
Ann. : - die Strömung ist stationär
- die Strömung ist zweidimensional (eben)
- die Stoffwerte seien konstant ( ρ = const, η = const )
- die Temperaturerhöhung auf Grund der Dissipation ist vernachlässigbar
- die Massenkräfte seien vernachlässigbar
- chem. Reaktionen kommen nicht vor
mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung und den Navier-Stokes-Gleichungen können wir nun das Geschwindigkeitsprofil berechnen.
17) Was drückt der Reibungsbeiwert aus und wie ist er definiert?
FW
ζ≡
AP
Der Reibungsbeiwert ist ein Maß für den Druckverlust durch die Schubspannung an einer Oρ w2
2 x,∞
berfläche.
18) Was ist der Turbulenzgrad? Worin unterscheiden sich turbulente Austauschkoeffizienten von den molekularen, bzw. wovon sind sie abhängig?
_ ,2
Turbulenzgrad Tu =
w∞
w 2∞
. Setzt zeitlich gemitteltes Quadrat der Schwankungsgeschwindigkeit ins Ver-
hältnis zur Anströmgeschwindigkeit. Turbulente Austauschkoeffizienten sind Systemgrößen die vom Strömungszustand, Geometrie… usw. abhängen, während die Molekularen Stoffgrößen sind, die im Allgemeinen von Temperatur und Druck abhängen.
19) Was versteht man unter dem Staupunkt und was gilt an ihm? Wie entsteht das Rückstromgebiet und was
versteht man unter dem Ablösepunkt?
Alösepunkt: Das Fluidteilchen wird hinter dem Staupunkt wieder beschleunigt und gelangt in ein Gebiet
abnehmende Drucks. Hinter der breitesten Stelle des Körpers wird das Fluidteilchen verzögert und es
kommt in den Bereich des Druckanstiegs. Hier muss beachtet werden, das wir ein reibungsbehaftetes Gebiet, nahe der wand haben und ein nahezu Reibungsfreies Gebiet in genügend weiter Entfernung zur Wand.
Im Reibungsbehafteten Wandnahen gebiet wird während der Beschleunigungsphase kinetische Energie
aufgrund der Reibung dissipiert und in innere Energie umgewandelt. Die während der Beschleunigung
gewonnene kinetische Energie ist aber geringer als die im reversiblen Fall der Außenströmung. Da sich
die wandnahen Fluidteilchen aber immer noch im Gebiet des Druckanstiegs befindet, während schon ihre
gesamte kinetische Energie in innere Energie umgewandelt ist, kommt es stromabwärts zu einer Rückströmung. Der Ablösepunkt ist der Punkt an dem sich die Außenströmung aufgrund der Gegenströmung
von der Oberfläche ablöst.
20) Was beschreibt der Widerstandsbeiwert und aus welchen Anteilen setzt er sich zusammen? Geben Sie die
beschreibende Gleichung an und beschrieben Sie die Abhängigkeit von der Reynoldszahl für einen quer
angeströmten Zylinder.
Der Widerstandsbeiwert beschreibt das Verhältnis von Reibungs- zu Trägheitskräften. Er setzt sich aus
dem Staudruck, dem Druckverlust der Strömung aufgrund von Reibung, sowie der Mantel und der durchströmten Fläche zusammen. Bei kleinen Reynoldszahlen Re < 1 überwiegen die Reibungskräfte. Die WiFachgebiet Verfahrenstechnik
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
derstandskraft nimmt linear mit der Geschwindigkeit zu und der Widerstandsbeiwert erhöht sich umgekehrt
proportional zu Reynoldszahl. zwischen 10^3 < Re<10^5 ist der Widerstandbeiwert annähernd konstant,
da sich die Widerstandskraft quadratisch mit der Geschwindigkeit zu nimmt, wie auch der Staudruck. Hier
spielt die Reibung im Vergleich zur Trägheit keine Rolle mehr. ζ =
Fw
ρ 2 π 2
w∞ d
2
4
4
Durchströmte Rohre, Kanäle und Festbetten
4.1
Rohrströmung
4.1.1
Aufgabe Impulsbilanz
Vereinfachungen Hagen Poiseuille Gesetz:
•
Laminar w ϕ = 0 und w r = 0
•
Ausgebildet , d.h. keine Veränderungen in Strömungsrichtung
•
Keine Volumenkräfte fz = 0 ( horizontale Strömung )
•
Stationäre Strömung
•
Konstante Stoffwerte ρ, η = const.
∂
(...) = 0
∂z
∂
(...) = 0
∂t
dA außen = 2π(r + dr )dz
dz
dA innen = 2πrdz
ϕ
p( z)
r
p( z + dz)
z
τ(r )
τ(r + dr )
dr
Abbildung 41 – Bilanzraum Zylinderkoordinaten
Impulsbilanz in Strömungsrichtung: ( Beachte w z = f ( t, z( t ),r( t ), ϕ( t )) Kettenregel für Zeitableitung verwenden)
∂w ϕ
∂w
∂w z
∂w r
dI
= ρ ⋅ V ⋅( z + wz ⋅
+ wr ⋅
+ wϕ
)=
dt
∂t
∂z
∂r
∂(r ⋅ ϕ)
(1
p(4
z)4
−2
p(4
z +4dz
(4
r2
+4
dr
3)) ⋅ 2πrdr − τ(r ) ⋅ 2πrdz + τ1
3) ⋅ 2π(r + dr )dz
−
dp
( Taylor )
dz
= τ(r )+
∂τ
⋅dr
∂r
Auf Grund der getroffenen Vereinfachungen verschwindet die komplette linke Seite der Gleichung. Mit der
Taylorreihenentwicklung und Ausmultiplikation ergibt sich folgende Differentialgleichung
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0=−
Lösungskatalog zu EIS II A
dp η d dw z
dp τ(r ) dτ
dp 1 d
+
+
=−
+
+
(
⋅ r)
(τ ⋅ r ) = −
dz r dr dr
dz
r
dr
dz r dr
Erneute Integration ergibt:
r 2 1 ∂p
+ C 2 = w z (r ) .
4 η ∂z
Aus der Wandhaftbedingung ergibt sich die Konstante C 2 zu:
4.1.2
C2 = −
Aufgabe laminare Rohrströmung
a) Für die angenommene laminare Strömung verlaufen alle Stromfäden parallel, d.h. es treten keine Geschwindigkeiten in r - und ϕ -Richtung auf. Es gilt: w ϕ = w r = 0 ebenso sind die Gradienten dieser Geschwindigkeiten Null.
Folglich kann die Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten für Geschwindigkeit in z-Richtung
verwendet werden (Gl. (2.68)):
2
⎡1 ∂ ⎛ ∂w ⎞ 1 ∂ 2 w
⎤
⎛ ∂w
∂w z ⎞
∂w z w ϕ ∂w z
∂p
z +
z + ∂ w z + ρg
⎟=−
+ η⎢
+ wz
+
ρ⎜⎜ z + w r
⎟ 2
⎜r
⎥
z
⎟
2
r ∂ϕ
∂z
∂z ⎠
∂r
∂z 2 ⎥⎦
⎢⎣ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂ϕ
⎝ ∂t
Damit erhalten wir das Geschwindigkeitsprofil zu:
w z (r ) =
3.
ausgebildete Strömung: keine Änderung des Geschwindigkeitsprofils mit der Lauflänge
⇒
4.
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂w z
∂p
+ η⎢
⎜r
∂z
⎣ r ∂r ⎝ ∂r
∂
∂2
=
=0
∂ϕ ∂ϕ2
⎝ ∂r ⎠r =0
=0.
0
0
0
1 ∂p
( − R2 ) .
4 η ∂z
Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Zusammenhang:
w=
V&
πR 4 ∂p
1 ∂p
=−
=
( −R 2 )
A
8ηπR 2 ∂z 8η ∂z
und aus dem Vergleich der mittleren und der Maximalen Geschwindigkeit ergibt sich:
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
w z _ max
w
b) Die Randbedingungen lauten: w z (r = R ) = 0 , aufgrund der Haftbedingung, sowie aus Symmetriegrün∂w
den: ⎛⎜ z ⎞⎟
R
w z _ max =
Damit lautet die verbleibende Navier-Stokes-Gleichung:
0=−
R
Da der auftretende Druckgradient negativ ist, hebt sich das Minuszeichen später auf. Diese Gleichung
ist auch unter dem Namen Hagen-Poiseuille-Gleichung bekannt.
Aus Symmetriegründen (vgl. Gleichung des Geschwindigkeitsprofils wz(r)) liegt das Geschwindigkeitsmaximum an der Stelle r = 0. Es folgt:
∂w z ∂ 2 w z
=
=0
∂z
∂z 2
Rotationssymmetrie:
R
π 4 ∂p
π ∂p 3
V& = ∫ w z (r )dA = ∫ 2 π r w (r ) dr = ∫
(r − rR 2 )dr = −
R
2η ∂z
8η
∂z
∂w z
=0
∂t
stationäre Strömung:
1 ∂p 2
(r − R 2 )
4η ∂z
c) Es ergibt sich der Volumenstrom aus der Integration des Geschwindigkeitsprofils über den gesamten
Rohrquerschnitt:
Weiterhin ergeben sich aus den Annahmen die folgenden Vereinfachungen:
1.
Vernachlässigung der Volumenkräfte ⇒ der Term ρgz kann gestrichen werden
2.
R 2 ∂p
.
4η ∂z
= 2 ⇒ w max = 2 ⋅ w .
d) Für eine turbulente Rohrströmung liegt das Verhältnis etwa bei w max = 1,2 ⋅ w .
Da die Geschwindigkeit nur noch von einer Variablen abhängt, können die partiel-
len in nicht partielle Ableitungen umgewandelt werden. Dabei kann der Druckgradient als konstant angenommen werden und daher wie eine Konstante behandelt werden.
⎛ dw z ⎞
⎟:
⎝ dr ⎠
Nach der Trennung der Variablen ergibt sich unter Verwendung der Substitution u = ⎜
4.1.3
Ann:
1 ∂p
r
dr = d[ru]
η ∂z
und nach einmaliger Integration:
r 2 1 ∂p
+ C1 = ru .
2 η ∂z
Nun erfolgt die Rücksubstitution, wobei die Konstante wegen der Symmetrierandbedingung wegfällt
( C1 = 0 ). Nach erneuter Trennung der Variabeln folgt:
r 1 ∂p
dr = dw z .
2 η ∂z
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Aufgabe Impulstransport Rohrströmung
•
•
Newtonsches Fluid
Inkompressibel
:
:
•
Stationär, ausgebildet
:
∂
=0
∂ t
•
Laminare Strömung
:
wϕ = 0
η = const.
ρ = const.
und w r = 0
a)
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Lösungskatalog zu EIS II A
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Fp1
Fp2
r
ρw 2
dp
ζ
2d = ζ
L = 1=
∆p
4c f
2ρw 2
cf
∆z
d
d)
z
FI1
FI2
r
Fτ
4.1.4
Abbildung 42 – Integrale Impulsbilanz Rohrstück
∂ I
Aufgabe Wärmetransport
a) Zunächst muss die Art der vorliegenden Strömung bestimmt werden:
b) integrale Impulsbilanz am Rohr (auf Grund der Annahmen nur in z-Richtung):
∂ t
ζ = 4c f
⇒
Re =
= V& aus w aus ρ − V& ein w einρ = ∑ Fz
w D w 2 r ρNa 0,3 ⋅ 2 ⋅ 0,15 ⋅ 778,5
=
=
= 70065 > 2300
ν
ηNa
0,001
Die Strömung ist voll turbulent.
Für das Temperaturprofil ergibt sich qualitativ:
w aus = w ein ⇒ ∑ Fz = 0 , aus Kontinuitätsgleichung : wA = V& = const.
0 = ∑ Fz = Fp,1 − Fp,2 − Fτ
⇒
0 = p1A − p 2 A − τA Mantel
(p1 − p 2 )π d
2
| p 2 − p1 = ∆p | : ∆z
= τ * πd * ∆z
4
∆p 4τ
=
∆z
d
⇒
(1)
Abbildung 43 - Strömungsprofil
geg: Definition des Reibungsbeiwert:
cf =
τ
ρ * w2 2
τ = cf
⇒
ρw 2
2
b) Aus der integralen Energiebilanz folgt:
(2)
& =m
& Na ⋅ c p,Na ⋅ ∆ϑ
Q
2ρw 2
∆p
= cf
d
∆z
(2) in (1):
& Na = V& ⋅ ρNa = A ⋅ w ⋅ ρNa = π r 2 ⋅ w ⋅ ρNa = 16,51 kg .
m
s
&
Q
27321W
⇒ ∆ϑ =
=
= 1,31K
& Na ⋅ c p,Na
m
16,51kg ⋅1,26 kJ
s
kg K
mit
c) aus H.-P.-Gleichung ist die Gleichung für die mittlere Geschwindigkeit bekannt:
w=
R 2 ⎛ dp ⎞
⎜−
⎟ ⇒
8η ⎝ dz ⎠
aber hier Def:
dp
8 wη
=−
dz
R2
dp = p 2 − p1
⇒
dp 8 wη
=
dz
R2
(3)
geg. Definition des Widerstandsbeiwerts für kreisrunde Rohre:
ζ=
∆p ⎛ d ⎞
⎜ ⎟
ρ w2 2 ⎝ L ⎠
(3)=(4) ⇒
ζ=
∆p
ρw 2
=ζ
L
2d
⇒
8 wη
R2
=ζ
64η
ρw 2 d
⇒
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ρw 2
2d
mit
ζ=
ζ=
⇔
(4)
c) Zur Bestimmung des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten aus der Nußelt-Zahl werden der Widerstandsbeiwert nach Gl. (4.43) und die Prandtl-Zahl benötigt.
ζ = (1,83 lg Re − 1,64 ) −2 = 0,019
0,001kg
⋅1,26 kJ
ν η c p,Na
ms
kg K
Pr = =
=
= 4,2
W
a
λ Na
0,3
mK
8 * 2dwη
Für die Nußelt-Zahl ergibt sich unter Verwendung der theoretisch hergeleiteten Gleichung (4.41):
ρw 2 d2 4
Nu =
wd wd ρ
Re =
=
ν
η
ζ
8
Re ⋅ Pr
1+ 5
ζ
(Pr − 1)
8
= 503
Aus der an Messdaten angeglichenen Gleichung (4.42) folgt:
64
Re
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ζ
8
Nu =
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(Re− 1000 ) ⋅ Pr
(
)
ζ
1 + 12,7
Pr 2 / 3 − 1
8
⎛ ⎛ d ⎞ 2 / 3 ⎞ ⎛ Pr
⎜1+ ⎜ ⎟
⎟ ⋅⎜
⎜ ⎝L ⎠
⎟ ⎜ Pr0
⎝
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
0,11
1
= 385
wobei in unserem Fall aufgrund einer konstanten Viskosität Pr = Pr0 gilt.
Der Wärmeübergangskoeffizient berechnet sich nach
α=
W
W
Nu λ
= 385
bzw. 503
D
m2 K
m2 K
2
4.1.5
Abbildung 44 – Stromlinie im Behälter
Aufgabe thermisches Solarkraftwerk
Integrale Energiebilanz um das Absorberrohr liefert
.
.
p0 +
.
0 = Hein − Haus + Qüber
Wobei sich der Umgebungsdruck auf beiden Seiten herausstreichen lässt und die Austritts Geschwindigkeit aus dem Hochbehälter als Null angesehen werden kann ( w 0 = 0 ) und für den Reibungsdruck-
.
0 = M c p (ϑein − ϑaus ) + α ⋅ π ⋅ d ⋅ L ⋅ ∆ϑüber
∆ϑüber = ∆ϑlog =
(ϑ0 − ϑein ) − (ϑ0 − ϑaus )
= 232,7 K
(ϑ − ϑein )
ln 0
( ϑ0 − ϑaus )
verlust gilt:
∆pRe ibung = ζRohr2
Wärmeübergangskoeffizient α aus empirischen Korrelationen für die Rohrströmung ⇒ Strömungszustand
feststellen
Re =
.
w ⋅d
ν
mit w =
⇒ Re = 1,47 ⋅ 10 5
.
m
V
4⋅V
=
= 2,76
s
A π ⋅ d2
Pr =
ν νρc p
=
= 36,8
a
λ
> 2300 ⇒ turbulente Rohrströmung
Wärmeübergangskorrelation für die turbulente Rohrströmung
(Gleichung (4.41) im Skript)
_
Nu =
ζ
⋅
8
Re⋅ Pr
ζ
1 + 5 (Pr − 1)
8
_
m 2K
.
4.1.6
ρ ⋅ V⋅ c p
α ⋅ π ⋅ d ⋅ ∆ϑlog
a) Aus der Definition des Volumenstroms ergibt sich:
A durchström t
=
ρ
ρ
L⎞
⎛
w 22 +
w 22 ⎜ ζ Eintritt + ζ Krümmer2 + ζ Rohr2 ⎟ − h2
2ρ g
2ρg
d⎠
⎝
h=
1 2⎛
L⎞
w 2 ⎜1 + ζ Eintritt + ζ Krümmer2 + ζ Rohr2 ⎟ − h2
2g
d⎠
⎝
ρ 2
ρ
w 0 + ρgh − ∆p Reibung = p 2 + w 12 + ρgz
2
2
p 2 = p 0 + ρgh −
4V&
p0 +
b) Bernoulli mit Reibungsdruckverlust vom Punkt 1- 2 (Ablauf des Hochbehälters zum Ende des Auslaufrohres):
.
ρ 2
ρ
w 0 − ρgh 1 = p 1 + w 12 + ρgz + ∆ p Reibung
2
2
und nach umstellen ergibt sich unter der Berücksichtigung der Bestimmung des Reibungsdruckverlustes:
p 1 = p 0 - ρgh 1 −
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L
ρ 2⎛
⎞
w 1 ⎜ 1 − ζ A − 1 ζ Rohr1 ⎟
2
2D
⎝
⎠
Für den Druck auf der rechten Seite der Pumpe ergibt sich analog:
πd2
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bzw.
Die Geschwindigkeit an der Wasseroberfläche des Hochbehälters ist zu Null zu setzen, ebenso die Höhe z, da wir von hieraus unsere Bernoulli Gleichung aufstellen und unsern Nullpunkt hierhin legen. Es
ergibt sich:
Aufgabe Rohrströmung (Alte Klausuraufgabe)
w2 =
h=
p0 +
(ϑaus − ϑein ) ≅ 132,82 m
V&
Nachdem Einsetzen der getroffenen Annahmen und Vereinfachungen in die Bernoulli Gleichung ergibt
sich die gesuchte Höhe h durch auflösen:
Als den zu überwindenden Druck ist die Differenz aus dem Druck vor und hinter der Pumpe zu bilden.
Da wir keinen Stromfaden durch die Pumpe „legen“ dürfen um die Druckdifferenz zu bestimmen, stellen wir zwei Bernoulli Gleichungen auf, auf der rechten und der linken Seite der Pumpe, auf. Für die
linke Seite ergibt sich:
W
Eingesetzt in die Energiebilanz und nach der Länge aufgelöst ergibt sich
L=
ρ 2 ρ 2
w 2 + w 2 (ζ Einbauten + ζ Krümmer2 )
2
2
c) Die Pumpenleistung ergibt sich zu:
mit: ∆p = p2 − p1
P = V& ∆p
mit ζ = (1,82 ⋅ lgRe− 1,64)−2 = 0,0166
α = 2303
⇒
Nu = 1228
ρ 2
ρ
w 0 + ρgh = p 0 + w 22 + ρg( −h 2 ) + ∆pReibung
2
2
89
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L
ρ 2⎛
⎞
w 1 ⎜ 1 + ζ K1 + 1 ζ Rohr1 ⎟ .
2
2D
⎝
⎠
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Damit ergibt sich:
u2 = −
L
ρ
⎛
⎞
∆p = p 2 − p1 = ρg(h + h1) + w 12 ⎜ ζ A + ζ K1 + 1 ζ Rohr1 ⎟
2
D
⎝
⎠
V&
4 V&
=
A πD2
u1 = −
Nun kann man die benötigte Pumpenleistung wie oben berechnen:
P = V& ∆p
α
h
Innerhalb des Beckens gilt natürlich ebenfalls die Kontinuitätsgleichung, weshalb kein Geschwindigkeitsterm hinzukommt ( UBecken = 0 ). Man hat folglich mit zunehmender Tiefe einen linearen, von der
Abbildung 45 – Kraft auf die Behälterwand
Der Druck ist senkrecht nach unten gerichtete Kraft und damit muss man die resultierende Kraft auf die
Behälterwand über die Winkelfunktion ermittelt werden.
F = p⋅A ⇒ F =
h
sinα
h
sinα
0
0
∫ p(s)dA = B ∫ p(s)ds mit: p(s) = ρgh − ρgs ⋅ sinα
4.1.7
h
sinα
Tiefe abhängigen Druckanstieg.
Wir wissen, dass der Druck am Ende des Rohres gleich dem Außendruck sein muss. Aufgrund der
Kontinuitäts-Gleichung wissen wir, dass die mittlere Geschwindigkeit im Rohr konstant ist. Unter Berücksichtigung des Reibungsdruckverlustes ergibt sich für das senkrechte Rohr aus der BernoulliGleichung, dass der Druck am Punkt B pB1 = p0 − ρgl + ∆p betragen muss. Folglich gibt es auch innerhalb des Rohres einen mit der Höhe linearen Druckanstieg (aus der Hagen-Poiseuille-Gleichung ist ersichtlich, dass der Druckverlust auf Grund von Reibung ebenfalls linear von der Länge des Rohres abhängt). Es muss folglich ein höheres Druckniveau am Punkt B herrschen im Vergleich zum Fall ohne
Reibung. Für den Fall des waagerechten Ausflussrohrs folgt das Gleiche und somit ergibt sich
pB2 = p 0 + ∆p .
als Funktion des Drucks von s und damit ergibt sich für die Kraft:
F = Bρ ⋅ g ⋅
2
⎛ 32
⎞
l ⋅ υ + ⎜⎜
l ⋅ υ ⎟⎟ + 2g ⋅ (h + l)
d2
⎝ d2
⎠
32
b) Analog zur Lösung der Aufgabe Aufgabe Ausflussfunktion I 1.4.2 muss man sich zunächst klar machen, dass man für die beiden Teilbereiche (Becken, Rohr) unterschiedliche Betrachtungsweisen annimmt. Wenn man von der Beckenseite an den Punkt B herangeht, ist die Geschwindigkeit in diesem
Punkt 0. Nähert man sich von Rohrseite an den Punkt B, hat die mittlere Geschwindigkeit einen Wert,
der größer 0 ist. Unter Zuhilfenahme der Kontinuitäts-Gleichung hat die mittlere Geschwindigkeit gerade den Wert der mittleren Ausflussgeschwindigkeit U . An der Wasseroberfläche herrscht der Außendruck p0 . Mit zunehmender Tiefe nimmt die Wassersäule zu und es kommt ein weiterer Druckterm mit
ρgh hinzu.
d)
s z
2
Analog gilt für den linken Behälter
und die Geschwindigkeit ermittelt man wieder aus dem Volumenstrom:
w1 =
2
⎛ 32
⎞
l ⋅ υ + ⎜⎜
l ⋅ υ ⎟⎟ + 2gh
d
⎝ d2
⎠
32
h
1 2
⎡
⎤ sin α Bρgh 2
=
∫ (h - s ⋅ sinα) ds = Bgρ⎢⎣h ⋅ s − 2 s ⋅ sin α⎥⎦
2 sin α
0
0
An der Stelle B kommt es zu einer plötzlichen Druckabsenkung. Diese ist in den Druckverläufen als
Unstetigkeitsstelle eingezeichnet; in Wirklichkeit ist die Beschleunigungsstrecke stets endlich, so dass
man in der Praxis einen stetigen Druckverlauf erwarten kann.
Aufgabe Ausflussfunktion II
a) Für den rechten Behälter gilt für den Stromfaden von der Oberfläche bis zum Ausfluss folgender Zusammenhang nach Bernoulli
p 0 = p 0 − ρgh +
0 = u 22 + ζ ⋅ u 22
0 = u 22 +
ρ
2
ρ 2
u 2 + ∆p
2
l
− 2 ⋅ gh
d
wobei ∆p = ζ ⋅ u22 ⋅
l
d
als Druckverlust für kreisrunde Rohre
Im Falle laminarer Rohrströmung gilt ζ =
64
υ
.
= 64 ⋅
Re
u2 ⋅ d
64 2 l
64
u 2 − 2gh = u 22 +
⋅ l ⋅ υ ⋅ u2 − g ⋅ h
Re
d
d2
u 2(1,2) = −
2
⎞
⎛ 32
l ⋅ υ ± ⎜⎜
l ⋅ υ ⎟⎟ + 2gh
d2
⎠
⎝ d2
32
Da die negative Geschwindigkeit in diesem Falle physikalisch nicht sinnvoll ist ergibt sich als Lösung
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
z
Rechter Behälter: Analoges Vorgehen:
z
h
1
1
pB2 + ρ uB2 2 = p0 + ρ u2 2 + ∆p
2
2
ρ 2 64 l
pB2 = p 0 + u 2
2 Re D
h
ρg(h+l)
p0 + ρgh
∆p
p
p0+∆p
p0
l
p0
Normale Hagen-Poiseuille-Gleichung, da keine Höhendifferenz vorliegt
p
u1 = −
p0 + ρgh
p0
⇒ pB 2 = p 0 + pB 2 − p 0
p
l
4.1.8
c) Der Druckverlust ∆p kann aus der Hagen-Poiseuille-Gleichung für die mittlere Geschwindigkeit
R 2 (p 0 − pB )
8η
∆l
Aufgabe Wasserleitung
Benutze Gleichung:
Frage:
Linker Behälter: Für einen Stromfaden stromabwärts von Punkt B1 bis zum Austritt gilt die erweiterte
Bernoulli-Gleichung:
mit
ζ1 = ζ 2
wi =
V& i
A
1602
∆p ⎛ d ⎞
⎜ ⎟
ρ w2 2 ⎝ L ⎠
?
m
s
5137
w 1 = 1,78
⇒
w 2 = 3,06
m
s
⎛ 0,05 ⎞
⎛ 0,05 ⎞
⎜
⎟=
⎜
⎟
1000 * 1,78 2 2 ⎝ 2 ⎠ 1000 * 3,06 2 2 ⎝ 2 ⎠
Da das Rohr eine konstante Querschnittsfläche aufweist, gilt nach der Kontinuitätsgleichung für inkompressible Medien: uB1 A = u1 A ⇒ uB1 = u1 . Der Druckverlust wird über die mittlere Geschwindigkeit
bestimmt.
mit
ζ Rohr =
∆p1 ⎛ d ⎞
∆p 2 ⎛ d ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
ρ w 12 2 ⎝ L ⎠ ρ w 2 2 2 ⎝ L ⎠
1
1
ρ uB12 + ρ g l = p 0 + ρ u12 + ∆pRges .
2
2
ρ
l
∆pRges = u12 ζ
2
D
0=0
Überlegung: Wenn der Druckverlust nur auf den gesteigerten Volumenstrom zurückzuführen wäre, dürfte sich
der Widerstandsbeiwert, auf Grund der voll ausgebildeten Turbulenz (siehe Moody Diagramm) nicht ändern:
bestimmt werden. Die nach Torricelli hergeleitete Ausflussgeschwindigkeit kann nicht verwendet werden, da diese mit der Bernouilli Gleichung für reibungsfreie Strömungen berechnet wurde.
pB1 +
⇒
x
Abbildung 46 - Druckverlauf mit Druckverlust: links –
vertikales Ausflussrohr, rechts – horizontales Ausflussrohr
u=−
R 2 ⎛ (p 0 − pB2 ) ⎞ D 2 ⎛ (pB2 − p 0 ) ⎞
⎜
⎟=
⎜
⎟
8η ⎝
∆l
∆l
⎠ 32η ⎝
⎠
ζ=
0,0253 ≠ 0,0274
es liegen Veränderungen im Rohr vor
⇒
64
Re
Es folgt:
ρ 2 64 l
u1
2
Re D
ρ 2 64 η l
pB1 + ρ g l = p0 + u1
2
u1 D ρ D
pB1 + ρ g l = p 0 +
4.1.9
Aufgabe Kühlung eines Brennstabes (alte Klausuraufgabe SS 2006)
a) Differentielle Energiebilanz in Strömungsrichtung
1 64 η l
pB1 + ρ g l = p 0 + u1
2
D2
.
u1 = −
.
m c pT∞ ( x + dx )
m c pT∞ ( x )
Hagen-Poiseuille-Gleichung mit eingerechneter Höhendifferenz:
R 2 ⎛ (p 0 − pB1)
⎞ D 2 ⎛ (pB1 − p0 )
⎞
+ ρg ⎟ =
+ ρg ⎟
⎜
⎜
8η ⎝
∆l
∆l
⎠ 32η ⎝
⎠
pB1 + ρ g l = p0 +
.
dQ
1 D2 ⎛ (pB1 − p0 )
⎞ 64 η l
+ ρg ⎟
= p 0 + pB1 − p0 + ρgl
⎜
∆l
2 32η ⎝
⎠ D2
r
Æ 0=0
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x
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x + dx
x
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
4.1.10 Aufgabe Druckverlustberechnung
Abbildung 47 – Differentielle Bilanz Fluid
.
.
.
2
a)
2
mit m = ρ ⋅ w ⋅ A quer = ρ ⋅ w ⋅ π ⋅ (r − R )
d Q = q( x )2πRdx
.
.
x
2πR
.
dx
.
L ⋅ 2 ⋅R
.
+ C1
⇒
RB.: T(0) = To
∆p ges = ∆pKessel + ∆p WÜ +
.
C1 = T0 + qm ⋅
m cp
L ⋅ 2 ⋅R
= T0 + qm ⋅
.
mcp
k
= 0,0006
d
für gezogene Rohre ergibt sich ein Widerstandsbeiwert
54,2m
1160
⎡
⎤
+ ζ geschw
+ 2ζ Ventil ⎥
ρ 2 ⎢ζ gez
0,1m
0,1
w1 ⎢
⎥
2
⎣⎢+ 3ζ Schieber + 8ζ Bogen
⎦⎥
Æ ∆p ges = 1,02 * 105 Pa .
.
m cp
b)
.
x L ⋅ 2 ⋅R
L ⋅ 2 ⋅R
T( x ) = − qm ⋅ cos( π ) ⋅
+ T0 + qm ⋅
.
.
L
mcp
m cp
L ⋅ 2 ⋅R
für geschweißte, bzw.
Damit resultiert der gesamt Druckverlust zu:
.
.
m
s
ζ gezogen = 0,018 .
m cp
.
x L ⋅ 2 ⋅R
T( x ) = − qm ⋅ cos( π ) ⋅
+ C1
.
L
m cp
T(0) = T0 = − qm ⋅
= 0,764
aus dem Moody Diagramm von:
ζ geschweißt = 0,02 bzw.
Trennung der Variablen liefert
.
k
= 0,001
d
mit
.
.
.
∂T( x )
x
dx = d Q = q( x )2πRdx = qm ⋅ sin( π ) ⋅ 2πRdx
∂x
L
∫ ∂T( x ) = ∫ qm ⋅ sin( π L ) ⋅
&
M
ρ * 0,25 * π * d2
Æ Re = 228794 ⇒ turbulente Strömung
.
m c p (T∞ ( x ) − T∞ ( x + dx )) + d Q = 0
m cp
w1 =
w2 =
&
M
ρ * 0,25 * π * d22
= 0,49
m
,
s
daraus ergibt sich: Re = 183035 ⇒ turbulente Strömung und es ergibt sich ζ geschweißt = 0,02 und
ζ geschweißt = 0,018 . Damit resultiert der gesamte Druckverlust zu:
x
(1 − cos( π ))
L
⎡ 2⎛
54,2 m
⎞⎤
+ 2ζ Ventil + 3ζ Schieber + 8ζ Bogen ⎟⎥
⎢ w 1 ⎜ ζ gez
ρ⎢ ⎝
0,1 m
⎠⎥
∆p ges = ∆pKessel + ∆p WÜ +
⎥
2⎢
2 1160 m
+
ζ
w
⎢ geschw 2
⎥
0,125 m
⎣
⎦
b) Temperatur- und Wärmestromdichtenverlauf
T (x )
Æ ∆p ges = 42612 Pa .
.
q( x )
4.1.11 Aufgabe Ähnlichkeitstheorie
a) V& = wA
d2 =
|A = π
4 V&
wπ
d=
4 V&
=
wπ
d2
4
4 * 0,00222
m
0,75 * π
d = 0,06 m
b) Re =
L
2
0
L
x
wd 0,75 * 0,06
=
Re = 13548,8
ν
3,4 * 10 −6
95
⇒
turbulent
c) Rohr:
ρ 2L
w
2
d
k 0,0001
=
= 0,00166
d
0,06
ζ Rohr mit
Diagramm, dass
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2300
∆pRohr = ζ Rohr
Abbildung 48 – Temperatur- und Wärmestromdichtenverlauf
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>
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folgt mit der berechneten Re-Zahl aus dem Moody
ζ Rohr = 0,031
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
∆pRohr = 0,031 *
∆p 90°,ges = 20624,8 Pa
830
180
* 0,75 2 *
Pa
0,06
2
30°-Krümmer:
∆pRohr = 21709,7 Pa
ρ 2
w
2
830
= 3 * 0,3 *
* 0,75 2 Pa
2
= 210 Pa
∆p30°,ges
∆p 90°,ges = 3 * ζ 90°
∆p90°,ges
∆p 90°,ges
∆p30°,ges
Ventil:
ρ 2
w
2
830
= 2 * 0,1 *
* 0,75 2 Pa
2
= 46,7 Pa
∆p Ventil
∆p 30°,ges = 2 * ζ 30°
∆p 30°,ges
∆p Ventil
Gesamtsystem:
Ventil:
∆p ges = ∆pRohr + ∆p 90°,ges + ∆p 30°,ges + ∆p Ventil
ρ
= ζ Ventil w 2
2
830
= 4,6 *
* 0,75 2 Pa
2
= 1073,8 Pa
∆p Ventil
∆p Ventil
∆p Ventil
ρ 2
w
2
1000
= 4,6 *
* 6,77 2 Pa
2
= 105415,7 Pa
∆p Ventil = ζ Ventil
30°-Krümmer:
∆p30°,ges
ρ 2
w
2
1000
= 2 * 0,1 *
* 6,77 2 Pa
2
= 4583,3 Pa
∆p 30°,ges = 2 * ζ 30°
90°-Krümmer:
∆p ges = 2131229 Pa + 20624,8 Pa + 4583,3 Pa + 105415,7 Pa
∆p ges = 2,2 * 10 6 Pa = 22 bar
4.1.12 Aufgabe Rohrströmung
Gesamtsystem:
Wir führen eine Energiebilanz über die Lauflänge des Rohres durch und wir erkennen, dass der übergehende
Wärmestrom gleich der Erhöhung des Enthalpiestromes des Wassers ist.
Es ergibt sich: Q& konvektiv = H& aus − H& ein ⇒ αm A Mantel ∆Tm,log = M& c p (Taus − Tein )= 41,71 kW , wobei sich die Mantel-
∆p ges = ∆pRohr + ∆p 90°,ges + ∆p 30°,ges + ∆p Ventil
∆p ges = 21709,7 Pa + 210 Pa + 46,7 Pa + 1073,8 Pa
∆p ges = 23040,2 Pa = 0,23 bar
d) P = V& ∆p ges =
fläche des Rohres und der Massenstrom des Wassers und die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz sich
8
23040,2 W
3600
errechnen durch: A m = πdL ; M& = ρV& ; ∆Tm,log =
(T0 − Tein ) − (T0 − Taus ) .
⎛ T − Tein
ln⎜⎜ 0
⎝ T0 − Taus
P = 51,2 W
e) Re = const. =
wd
ν
hier mit
dneu =
⇒
d
30
⇒
w=
w=
w = 6,77
Re ν
d
⎞
⎟⎟
⎠
Unsere Energiebilanz können wir nun nach dem mittleren Wärmeübergangskoeffizienten umstellen und erhal-
Re ν 13548,2 * 10
=
d 30
0,06 30
−6
ten so: αm =
m
s
& cp(T
M
W
aus − Tein )
.
= 768,2
πdL∆Tm,log
m 2K
m
s
&
Q
f) Rohr:
ρ 2L
w
2
d
1000
180
= 0,031 *
* 6,77 2 *
Pa
2
0,06
∆pRohr = ζ Rohr
∆pRohr
&c T
M
p aus
&c T
M
p ein
∆pRohr = 2131229 Pa
90°-Krümmer:
ρ 2
w
2
1000
∆p 90°,ges = 3 * 0,3 *
* 6,77 2 Pa
2
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∆p 90°,ges = 3 * ζ 90°
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
t = 1833,33s = 30,55 min
Abbildung 49 – Energiebilanz Rohrströmung
4.1.13 Aufgabe Strömung in einem Ringspalt (alte Klausuraufgabe Theorieteil)
a) Vereinfachungen:
- Vernachlässigung von Massenkräften
⇒ K r = 0,K ϕ = 0,K z = 0
-
stationäre Strömung
∂w ϕ
∂w r
∂w
⇒
= 0,
= 0, z = 0
∂t
∂t
∂t
-
ausgebildete Strömung
⇒
-
Laminare Strömung
⇒ w r = 0, w ϕ = 0 (Geschwindigkeiten quer zur Strömungsrichtung sind
∂w z
∂2w z
= 0,
=0
∂z
∂z 2
Null und damit auch ihre Ableitungen)
-
Rohr ist rotationssymmetrisch
⇒
∂
(...) = 0
∂ϕ
b) Verbleibende relevante Differentialgleichung:
0=−
⎛ ∂2w
dp
z + 1 ∂w z
+ η⎜
⎜ ∂r 2
r ∂r
dz
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
c) Randbedingungen
Wandhaftbedingung bei r = Ri und r = Ra :
1.RB : w z (r = R i ) = 0
2.RB : w z (r = R a ) = 0
4.1.14 Aufgabe Zeus
Es wird eine Energiebilanz um die Anlage aufgestellt. Die Anlage ist vereinfachend als adiabat anzusehen.
Außerdem fließt in oder aus dem System kein Stoffstrom, da die Flüssigkeit (Wasser) im Kreis gefahren wird.
dU
&
=W
t
dt
dU
= UPumpe ⋅ IPumpe
dt
M ⋅ c p ⋅ dT
= UPumpe ⋅ IPumpe
dt
ρ ⋅ V ⋅ c p ⋅ dT
= UPumpe ⋅ IPumpe
dt
Nach Integration und Umformung folgt:
t−0 = t =
Mit
ρ ⋅ V ⋅ c p ⋅ 5K
UPumpe ⋅ IPumpe
kJ
:
c p = 4,18
kgK
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4.2
Lösungskatalog zu EIS II A
Durchströmte Kanäle
4.2.1
b) Bernoulli über den Kanal
ρ 2
ρ
u0 + p1 = ρgh 2 + u 22 + p 2 + ∆p mit u0 , h2 = 0
2
2
p1 = p 2 = p0 (offenes System, Stromfaden an der Wasseroberfläche)
ρgh0 +
Aufgabe Entwässerungskanal
b
a
ρgh0 =
α1
α2
ρ 2
umax + ∆p
2
_2
uKanal L
∆p = ζ Kanal ⋅ ρ ⋅
⋅
2
dh
mit
_
_
.
V
uKanal =
A
(t )
{
( dh = f (H( t )) siehe a))
L1
siehe a)
h2
h1
u2
∆p
⇒ max = gh0 −
2
ρL
L2
_
L
uKanal =
1
u( x )dx
L∫
Bestimmung der mittleren Kanalgeschwindigkeit
0
_2
2
umax
uKanal L
⋅
= gh0 − ζ Kanal ⋅
2
dh
2
x
L3
a) sin α1 =
Abbildung 50 – Geometrie Entwässerungsgraben
h
sin α 2 = 2
L2
h1
L1
x = h2 − h1 ⇒ x = sin α 2 ⋅ L 2 − sin α1 ⋅ L1
⇒ Vere inf achung : H( t ) > x
4⋅A
U
A = A1 + A 2 + A 3
Definition hydraulischer Durchmesser
dh =
(alle Flächen sind Fkt. der Zeit)
A 3 = H( t ) ⋅ L 3
A2 =
b( t ) ⋅ H( t )
2
b( t ) = cot(α 2 ) ⋅ H( t )
2
cot(α 2 ) ⋅ [H( t )]
2
(H( t ) − x ) ⋅ a( t )
A1 =
2
=
=
a( t ) = cot( α1) ⋅ (H( t ) − x )
2
(H( t ) − x ) ⋅ cot( α1 )
2
(H( t ) − x )2 ⋅ cot( α1 ) + [H( t )] ⋅ cot( α 2 ) + 2 ⋅ H( t ) ⋅ L 3
2
U = L1( t ) + x + L 3 + L 2 ( t )
A=
L1( t ) =
U=
(H( t ) − x )
sin(α1 )
L 2 (t) =
(H( t )
sin(α 2 )
(H( t ) − x )
H( t )
+ x + L3 +
sin(α1 )
sin(α 2 )
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4.3
Verständnisfragen
1) Wovon hängt der Druckverlust im Rohr bei vollständig ausgebildeter turbulenter Strömung ab? Begründen
Sie die Antwort!
2) Wie ist es zu erklären, dass der Widerstandsbeiwert ζ mit steigender Reynolds-Zahl im laminaren Bereich
abnimmt? (Hinweis: Berücksichtigen Sie die Definitionsgleichung des Druckverlustes.)
Fw
. Im laminaren Bereich ist die Druckkraft gegenüber der Reiρ 2
w A
2
bungskraft für die Bestimmung der Widerstandskraft zu vernachlässigen, daher ist: Fw ~ w und damit folgt
Laut Definitionsgleichung gilt: ζ =
für den Widerstandsbeiwert: ζ ~
1
w
und daher ist der Verlauf im doppeltlogarithmischen Diagramm eine
fallende Gerade.
3) Welche Arten von Einlaufströmungen können beim Wärmeübergang im Rohr auftreten? Unter welchen
Bedingungen müssen sie bei der Abschätzung des gesamten Wärmeübergangs berücksichtigt werden?
4) Wie kann man für eine Rohrgeometrie ein Integral über die Querschnittsfläche in ein Integral über den Radius umwandeln?
dA Rohr quer
dr
=2πr
⇒
dA Rohr quer = 2 π r dr
5) Wie groß ist die kritische Reynoldszahl für eine Rohrströmung?
ReRohr krit = 2300
6) Zeichnen Sie den Einlauf eines Fluides in ein Rohr für eine laminare und eine turbulente Strömung!
laminar
turbulent
Abbildung 51 - Einlauf Rohrströmung
7) Wie berechnet sich der Gesamtdruckverlust einer Rohrleitung?
L⎞
⎛ ρ
⎛ ρ
⎞
∆p = ∑ ⎜ ζ w 2 ⎟ + ∑ ⎜ ζ E w 2 ⎟
d⎠
2
⎝ 2
⎝
⎠
8) Wie ist die Nußelt Zahl definiert?
Nu =
αd
λ
9) Leiten Sie ausgehend von der allgemeinen Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten mit Hilfe der
entsprechenden Vereinfachungen die für die Hagen-Poiseuille-Strömung maßgebliche Differentialgleichung her?
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Die Navier Stokes Gleichung in Zylinderkoordinaten für die Geschwindigkeit in z Richtung lautet:
2
⎞
⎛ 1 ∂ ⎛ ∂w ⎞ 1 ∂ 2 w
⎛ ∂w z
∂w z w ϕ ∂w z
∂w z ⎞
∂p
z +
z + ∂ w z ⎟ + ρg Vereinfachungen: Wegen
⎟=−
+ wr
+
+ wz
+ η⎜
ρ⎜⎜
⎜r
⎟
z
⎟
2 ⎟
⎜ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ 2
t
r
r
∂
z
∂
z
∂
∂
∂
ϕ
z
∂
⎝
⎠
⎠
⎝
∂
= 0 . Da sich die Fluidteilchen auf paralleder Symmetrie besteht kein Einfluss des Winkels ϕ ⇒ w ϕ = 0 ,
∂ϕ
∂w z
len Stromfäden in z-Richtung bewegen ist w r = 0 Die Strömung ist stationär:
= 0 . Die Strömung ist
∂t
∂w z
ausgebildet:
= 0 . Keine Schwerkraft in z Richtung Damit lautet die verbleibende Differentialgleichung
∂z
für das Geschwindigkeitsprofil der Rohrströmung: 0 = −
⎛ 1 ∂ ⎛ ∂w z
∂p
+ η⎜⎜
⎜r
∂z
⎝ r ∂r ⎝ ∂r
5
5.1
Wärme- und Stoffübergang durch freie Konvektion
Impulsgleichung
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
10) Wovon hängt der Druckverlust bei vollständig ausgebildeter turbulenter Strömung ab und warum?
Der Druckverlust wird auch hier über den Zusammenhang für die Widerstandskraft beschrieben: ζ =
Fw
ρ 2
w A
2
. Wobei sich die Widerstandskraft aus einem Trägheits- uns einem Reibungsanteil zusam-
mensetzt. Im turbulenten Gebiet überwiegen die Trägheitskräfte gegenüber den Reibungskräften, die Proportional zu w 2 sind. Damit nimmt der Widerstandsbeiwert einen konstanten Wert an. Dieser Wert ist unabhängig von der Geschwindigkeit, aber er hängt von der Rohrrauigkeit ab. Im vollständig turbulenten
Gebiet ragen die Rauhigkeitsspitzen aus der laminaren Unterschicht heraus und beeinflussen die Kernströmung. Daher ist hier der Druckverlust von der Rohrrauhigkeit abhänig, über den Impulsaustausch mit
der Rohrwand, aber auch wieder von der mittleren Strömungsgeschwindigkeit und dem Verhältnis L/D .
11) Leiten Sie aus einer integralen Kräftebilanz für einen beliebigen Querschnitt und der Definitionsgleichung
für den Druckverlust die Gleichung für den hydraulischen Durchmesser her.
∑ Fx = 0 = Fp1 − Fp2 − FRe ibung = p1A − p 2 A − τ W U( x1 − x 2 ) Damit ergibt sich unter Berücksichtigung der Definiτ
ζ
ζρ 2
= w ⇒ τw =
w
4 ρ 2
42
w
2
U( x1 − x 2 )
U ρ 2
A
durchström te Fläche
w L ⇒ dh = 4 = 4
L = x1 − x 2 : p1 − p 2 = τ w
=ζ
A
4A 2
U
benetzter Umfang
tion
des
Widerstandsbeiwertes: c fo =
und
mit
12) Welchen physikalischen Sachverhalt beschreibt die Graetz-Zahl und wie ist Sie definiert?
Die Grätzzahl kann als dimensionslose Lauflänge angesehen werden. Sie findet Anwendung beim Wärmeübergang für die laminare Strömung. In Abb. 4.9 wird deutlich das Sie die dimensionslose Einlauflänge
kennzeichnet, ab Gr = 1 sind alle Strömung sowohl fluiddynamisch, als auch thermisch eingelaufen.
13) Erläutern Sie für welchen Fall und aus welchem Grund logarithmische Temperatur- bzw. Konzentrationsdifferenzen eingeführt werden und wie sind Sie definiert?
Man nutzt die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz bspw. bei Wärmeübertragern, in denen die
Temperaturdifferenz zwischen heißem und kaltem Gut innerhalb des Apparats variieren. Hierbei wäre die
Frage, mit welcher Temperaturdifferenz man die übergehende Energiemenge berechnet. Darum nutzt man
die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz für diese Berechnung. ∆Tln =
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105
(TF − Tα )
T − Tα
ln 0
T0 − TF
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106
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
~
5.2
Wärmeübergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Strömung
5.2.1
p MLuft
= 304,17K ≅ 31°C
RρHL
Aufgabe Radiatoren
Geg. ϑ0 = 60°C
Ges.
THL =
&
Q
A = Konv
α * ∆T
& = 3,2 kW
Q
ϑ∞ = 20°C
b) Freie Strömung an senkrechter Platte mit L = 2 ⋅ R
(davon 30 % Strahlungswärme)
R=3
α wird aus einer empirischen Gleichung ermittelt
3 ⋅ VBallon
= 9,85m ⇒ L ≅ 19,7m
4⋅π
Gr = 2,43 ⋅ 1013
a)
Ra = 1,73 ⋅ 1013 ⇒ > 10 9
ϑ0
_
Nu(t = 0) =
_
ϑ∞
v∞ = 0
.
dH
= −Q
dt
m
s
Mc P
_
ν
v ⎝ ∂T ⎠p
T∞
d) Mit sinkender Temperatur im Ballon nimmt auch die Intensität der freien Konvektion ab, jedoch beginnt der Ballon mit abnehmender Temperatur abzusinken, so daß die daraus resultierende erzwungene
Strömung den Wärmeübergang wiederrum begünstigt und somit die Annahme eines konstanten Wärmeübergangskoeffizienten zumindest in erster Näherung gerechtfertigt ist.
Gr = 7,33 * 10 8
Ra = Gr * Pr = 5,203 * 10
1
8
⇒
_
Mit RB: T( t = 0) = THL ⇒ C1 = THL − TL
1 ∂v
1
mit β ∞ = ⎛⎜ ⎞⎟ für ideale Gase ⇒ β ∞ =
2
_
dT
= − α⋅ A ⋅ ( THL − TL )
dt
α⋅ A
α⋅ A
1
dT = −
dt ⇒ THL = TL + C1 exp( −
t)
(THL − TL )
Mc P
Mc P
b) Bestimmung des Strömungszustandes:
β ∞ (ϑ0 − ϑ∞ )g * L3
W
m 2K
c) Integrale Energiebilanz
Abbildung 52 – Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil
Gr =
α⋅ H
= 2808,8
λLuft
α( t = 0) = 3,65
H = 0,5m
turbulent
_
laminare Strömung
1
Nu = 0,55 * Pr 3 * Gr 4 = 80,73
α *L
Nu * λ
W
⇒ α=
= 4,1334
Nu =
λ
L
m 2K
wenn man betrachtet, dass auf Grund der Strahlung nur 70% der ursprünglichen Leistung abgegeben
werden muss, kommt man auf eine Fläche von
A = 13,55 m 2
5.2.2
Aufgabe Ballonfahrt
a) Integrale Kräftebilanz ergibt
0 = FA − FG
0 = (ρLuft − ρHL )gVBallon − MBallon ⋅ g
ρHL = ρLuft −
MBallon
VBallon
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~
wobei ρLuft =
107
p MLuft
RTLuft
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
5.2.3
Lösungskatalog zu EIS II A
Aufgabe Schornstein III
1. Liegt laminarer oder turbulenter Strömungszustand vor?
Ra=Gr Pr < 10 9 ; Bedingung für laminare Strömung
a) erzwungene Konvektion
wd
4 A 4L2
mit d = dhydr. =
=
= L = 0,27m
ν
U
4L
m
3 ⋅0,27m
s
Re =
= 36652 > 2300 ⇒ Strömung ist turbulent!
m2
22,1⋅ 10 −6
s
Re =
mit Gr =
β∞ =
ν νρ c p
=
= 0,698
a
λ
ν Luft 2
1
1
=
=3,413 ⋅ 10 −3 K −1
T∞ 293K
3,413 ⋅ 10 −3
⇒ Gr =
Numerische Formel für turbulente Strömung verwenden!
Pr =
β ∞ (ϑ Wand −ϑ∞ )gL3
für Luft als ideales Gas und ϑWand =40°C geschätzt
1
(313 −293 )K ⋅ 9,81 m2 ⋅ (20m)3
K
s
2⎞
⎛
⎜15,11⋅ 10 −6 m ⎟
⎜
s ⎟⎠
⎝
L
20m
η
=
= 74,1 und mit
≈1
d 0,27m
η0
2
⇒Ra = 2,346 ⋅ 1013 ⋅ 0,71 = 1,666 ⋅ 1013 > 10 9 ⇒
= 2,346 ⋅ 1013
turbulente Strömung!
⇒Num = 89,2 mit Glchg. (4.42)
⇒ α im = Num
W
0,031
W
λ
mK
= 89,2 ⋅
= 10,24
di
0,27m
m 2K
2. Berechnung von Num :
1
Num =(0,825+
b) siehe Buch oder VL:
Freie Strömung an heißer Wand im offenen Raum:
ϑ Wa
ϑ(x,y)
0,387Ra 6
9 ⎤
⎡
16
⎢1+⎛⎜ 0,492 ⎞⎟
⎥
⎢ ⎝ Pr ⎠
⎥
⎣
⎦
⇒ α am = 2774,3
ϑ
8
)2 = 2774,3
27
W
λ
= 3,551
H
m 2K
d) Q& =α am A a (ϑ Wa −ϑ∞ )= α im A i (ϑm −ϑ Wi ) mit A a =4(L +2s)H=53,6m2 undA i =4LH=21,6m2
&
Q
=41,9°C
αa A a
&
Q
⇒ ϑ Wi =ϑm −
= 81,2°C
αi A i
⇒ ϑ Wa =ϑ∞ +
w x(x,y)
x
w
y
Abbildung 53 - Geschwindigkeits- und Temperaturprofil
Wand ( y = 0 ):
ϑ=ϑ Wa
wx = 0
(da Haftung)
e)
ϑ und w x ändern sich auch in Strömungsrichtung;
daher:
ϑ(x, y ) und w x (x, y )
c) äußerer Wärmeübergangskoeffizient: freie Konvektion
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
ϑaus
5.3
Wärmeübergang an unterschiedlichen Geometrien
5.3.1
Aufgabe Mikroprozessor
A = 400 cm 2
Geg. Q& max = 82 W (20% Sicherheit) ⇒ Q& max,save = 98,4 W
20m
a)
ϑein
Abbildung 54 – Bilanzraum Schornstein
Bilanz: Q& =4159W =M& Rc p (ϑein −ϑaus )
(1)
ϑ +ϑ
mit ϑm = ein aus
2
⇔ ϑein =2ϑm −ϑaus
(2)
(Thermodynamik)
Nachströmbedingung
Abbildung 55 - Strömungszustand
(2) in (1) eingesetzt und mit M& R =ρwA =ρwL2 folgt:
⇒ ϑaus = ϑm −
4159 W
2
2ρwL c p
b) Gr =
=100 °C −9,71 °C=90,3°C
1
(∆ϑ) g L3
T∞
ν2
= 1,09 * 10 6
Ra * f (Pr) = 3,15 * 10 5
Nu = 0,15 * [Ra * f (Pr)]
⇒
1
3
& = 12,55 W < 98,4 W
Q
Ra = Gr * Pr = 7.8 * 10 5
turbulent
= 10,21
⇒
α = 5,23
W
m 2K
⇒ die Kühlung reicht nicht aus
c) Man muss die mit empirischen Gleichungen erhaltenen Ergebnisse immer nach ihrer Plausibilität beurteilen. Es stellt sich also immer die Frage, ob die Gleichungen wirklich für den gegebenen Fall anwendbar sind. Sind wirklich alle Voraussetzungen erfüllt, kann man davon ausgehen, dass man zumindest eine tendenziell richtige Lösung erhält.
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5.4
Lösungskatalog zu EIS II A
5.5
Überlagerung von freier und erzwungener Konvektion
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Stoffübergang bei freier Strömung
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5.6
Lösungskatalog zu EIS II A
Verständnisfragen
6
1) Wie ist der thermische Ausdehnungskoeffizient definiert und was beschreibt er?
β∞ =
Kondensation und Verdampfung
6.1
1
T∞
Wärmeübergang bei der Kondensation
6.1.1
2) Wie ist die Grashof Zahl allgemein definiert?
β (ϑ
− ϑ∞ )gx cos ϕ
Gr = ∞ Wand
ν2
3
3) Wie lautet die beschreibende Differentialgleichung für das Geschwindigkeitsfeld bei freier Konvektion?
4) Was gilt in genügend weiter Entfernung von einer beheizten oder gekühlten Wand für die Temperatur und
die Geschwindigkeit? Wofür werden diese Angaben benötigt?
5) Beschreiben und erklären Sie das dimensionslose Temperatur und Geschwindigkeitsfeld nach Ostrach,
sowie den Einfluss der Prandtl Zahl auf den Verlauf!
Zum Geschwindigkeitsfeld:
Es gilt die Wandhaftung. Daher ist die Geschwindigkeit an der Wand Null. Von da an läuft sie in ein Maximum um dann wieder in genügend weiter Entfernung (Randbedingung: in genügend weiter Entfernung
von der Wand herrscht hydrostatisches Gleichgewicht) wieder gegen Null zu gehen. Mit kleinerer Prandtl
Zahl kann man sagen, dass die Viskosität abnimmt und sich die Strömung immer mehr einer Art
Propfenprofil (sofern man hier davon sprechen kann…) annähert. Daher wird der Gradient an der Wand
steiler.
Zum Temperaturprofil:
Wir haben eine beheizte Platte vorliegen. Daher herrscht an der Wand die größte Temperatur. Wenn die
Prandtl Zahl kleiner wird kann man das auch so interpretieren, dass die Temperaturleitfähigkeit zunimmt.
Daher sind mit kleinerer Prandtl Zahl die Auswirkungen der Platte in größerer Entfernung zu merken.
6) Wie sind die Grenzfälle Pr Æ ∞ und Pr Æ 0 zu interpretieren?
Für das Geschwindigkeitsprofil:
Für Prandtl gegen Null haben wir praktisch keine Wandhaftung vorliegen. Das bedeutet, dass an der
Wand die größte Geschwindigkeit herrschen würde. Für Prandtl gegen unendlich würde das Fluid nicht
fließen, da es zu zähflüssig wäre.
Für das Temperaturprofil:
Für Prandtl gegen Null würde sich das Temperaturprofil auf das gesamte Fluid ausdehnen. Für Prandtl
gegen unendlich würde nur an der Wand die Wandtemperatur herrschen und im restlichen Fluid die konstante Temperatur des Fluids in genügend weiter Entfernung von der Wand.
Aufgabe Kondensation mit Inertgasen
Um den Einfluss der Luft, als nichtkondensierbares Inertgas auf den anfallenden Kondensatmassenstrom abzuschätzen, kann man das Verhältnis der mit und ohne Inertgas abgeführten Wärmestromdichten betrachten, da
diese direkt proportional sind zum anfallenden Kondensatmassenstrom. Dieses Verhältnis ist in Gleichung 6.26
angegeben, wobei die Sättigungstemperatur ϑs , sowie die Wandtemperatur ϑ0 bekannt sind.
q& G
ϑ − ϑ0
= I
q&
ϑS − ϑ0
(1)
Um nun die durch das Inertgas verringerte Sättigungstemperatur ϑI an der Phasengrenzfläche zu bestimmen,
benutzt man Gleichung (6.25) des Eis II Skriptes , wobei sich:
p1g = ( ~
y1ges − ~
y1I )p = (1 − 0,0647 )0,101325MPa = 0,0948MPa und nach der Gleichung (6.15) des EIS-II Skriptes
sich: α m,waag = 8899,92
W
m 2K
(für ϑS − ϑ0 = 40°C) ergibt.
ist. Zur Bestimmung von ϑI aus der oben benannten Gleichung schätzt man zunächst ϑI ab und prüft den so
ermittelten Wert p(ϑI ) mit dem aus der Wasserdampftafel nach, ob der schätzwert richtig war. Ist dies nicht der
Fall, so rechnet man erneut mit der Temperatur, zum bestimmten Druck. Nach genügend Itterationsschritten
erhält man ϑI ≅ 361K = 88°C mit dem zugehörigen Druck pI = 0,065 MPa .
Nun folgt aus Gleichung (1)
q& G
ϑ − ϑ0
= I
= 0,7 .
q&
ϑS − ϑ0
Die abgeführte Wärmestromdichte sinkt damit auf 70% der
Wärmestromdichte, die abzuführen wäre, wenn reiner Sattdampf vorhanden wäre. Die Fläche muss also um
den Faktor
6.1.2
1
= 1,43
0,7
vergrößert werden, wenn die Kondensatorleistung konstant bleiben soll.
Aufgabe Kondensation Dampfkraftanlage
.
a) W netto ?
.
η = 0,55 ⋅ ηcarnot =
W netto
.
Q solar
ηcarnot ?
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
T
.
.
c) MD =
.
Qzu
kg
QKond
= 193,183
s
∆hLV
Annahme reine Kondensation, keine Unterkühlung der kondensierten
Flüssigkeit
d)
T
To
TKond
''
∆Tmin
= 7°C
}
.
W netto
TKW ,aus
ϑ0
Tu
TKW ,ein
.
Qab
x
Abbildung 57 - Temperaturverlauf Kondensator
S
∆S
.
.
MKW =
Abbildung 56 - Carnot Prozess
Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, d.h. eines komplett reversiblen Kreisprozesses.
.
W netto
ηcarnot =
=
.
Q solar
e) Bestimmung der benötigten Kondensatorfläche über das Newton´sche Abkühlunggesetz.
Nutzen
Aufwand
.
A=
integrale Energiebilanz liefert:
.
.
.
W netto
ηcarnot =
.
.
=
Q zu
.
Q zu − Q ab
.
Q zu
α senk
Qab
.
∂Qrev = T ⋅ dS
Hieraus ergibt sich für den Carnot´schen Wirkungsgrad für Wärmekraftmaschinen:
Tab
T
= 1 − Kond
Tzu
TTurb,ein
⇒
⇒
.
313,15K
= 1−
= 0,535
673,15K
ηges = 0,55 ⋅ ηcarnot = 0,294
.
1
4
Gl. (6.16)
)
⎡ ρ ⋅ ρ − ρ ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ λ3 1 ⎤
f
f
g
LV
f
⎥
α senk = 0,943 ⋅ ⎢
ηf ⋅ (ϑs − ϑo )
H⎥
⎢
⎣
⎦
W
αsenk = 3617,65
m 2K
W
α waag = 6536,18
m 2K
1
4
Gl. (6.13)
A ges =
QKond
= 7388,99 m2
α ϑKond − ϑ0
(
)
A Einzelrohr = π ⋅ d ⋅ L = 0,9425 m 2
n=
A ges
A ER
≈ 7840 Rohre
f) Druckverlust im Kondensator bestimmen!
∆p = ζ Str ⋅
.
ρ 2 L
w ⋅
2
d
Strömungszustand!
W netto = ηges ⋅ Q solar = 191,19 MW
.
⎛L⎞
= 0,772 ⋅ ⎜ ⎟
⎝d⎠
.
Zur Bestimmung des Carnot-Wirkungsgrades muss eine Kondensationstemperatur abgeschätzt werden.
Diese wird zum einen bestimmt durch die Kühlwassereintrittstemperatur und zum anderen durch den
entsprechenden Kühlwassermassenstrom.
Für die folgenden Berechnungen wird eine Kondensationstemperatur von TKond = 40°C vorausgesetzt.
ηcarnot
)
(
Q zu
Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gilt für die reversibel übertragene Wärme
ηcarnot = 1 −
(
α waag
.
= 1−
QKond
α ϑKond − ϑ0
Der Wärmeübergangskoeffizient kann aus Korrelationen aus dem Skript Kapitel 6 bestimmt werden.
0 = Q zu − Qab − W netto
.
QKond
kg
= 21936,88
c p ( ϑKW ,aus − ϑKW ,ein )
s
.
b) QKond = Q solar − W netto = 458,81
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.
.
w=
m
V ER V ges
=
= 0,359
s
A ER A ges
A ER
d2
=π
= 7,85 ⋅ 10 −3 m 2
4
.
∆pER = 51,82 Pa
∆p ges = n ⋅ ∆pER = 406255,34Pa
.
darstellt.
Diese Oberflächentemperatur wird durch die Änderung der Kühlwassertemperatur bestimmt. Ausgehend von zu vernachlässigbarem Wärmeleitwiderstand in den Rohren wird zwischen Kühlwassereintrittstemp. und /-austrittstemp. logarithmisch gemittelt.
ϑo =
a) Eine integrale Energiebilanz um die Gesamtanlage liefert folgen Zusammenhang:
.
(unter Vernachlässigung der Pumpenleistung)
.
Jedoch fehlen sowohl die Kühlleistung QKühl als auch die notwendige
.
Heizleistung QHeiz . Die erforderliche Heizleistung kann aus den vorgegebenen Daten zum Heizkreislauf bestimmt werden.
.
.
QHeiz = ρ ⋅ V Heiz ⋅ c p ⋅ (ϑHeiz,ein − ϑHeiz,aus )
Nutzen
Q
COP =
= Kalt = 0,711
.
Aufwand
QHeiz
α waag
.
α senk
QKühl = QHeiz + QKalt = 24,056 kW
Wie im Aufgabenteil a) lässt sich der Kühlwasservolumenstrom aus den vorgegebenen Daten im
Kühlwasserkreislauf berechnen.
.
.
QKühl = ρ ⋅ V Kühl ⋅ c p ⋅ (ϑKühl,aus − ϑKühl,ein )
.
.
V Kühl =
QKühl
ρ ⋅ c p ⋅ (ϑKühl,aus − ϑKühl,ein )
= 6,47 ⋅ 10 − 4
m3
m3
= 2,33
s
h
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Gl. (6.17)
119
⎛L⎞
= 0,772 ⋅ ⎜ ⎟
⎝d⎠
1
4
Gl. (6.16)
Mit αsenk aus :
(
)
⎡ ρ ⋅ ρ − ρ ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ λ3 1 ⎤
f
f
g
LV
f
⎥
α senk = 0,943 ⋅ ⎢
ηf ⋅ (ϑs − ϑo )
H⎥
⎢
⎣
⎦
1
4
Gl. (6.13)
L = 0,2 m
c) Vorerst muss die im Kondensator abzugebende Wärmeleistung bestimmt werden. Hierzu muss die umlaufende Kältemittelmenge (Wasser) berechnet werden. Diese ergibt sich aus der geforderten Kälteleistung im Verdampfer von 10 kW und der entsprechenden spezifischen Verdampfungsenthalpie im Verdampfer.
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⎡
⎤ −1
c p,f (ϑs − ϑo )
αn=5 = ⎢1 + 0,2 ⋅
(n − 1)⎥ ⋅ n 4 ⋅ α1
∆
h
LV
⎣⎢
⎦⎥
für waagerechte Rohre bestimmt werden:
b) Aus der Energiebilanz ergibt sich
.
Zur Flächenbestimmung fehlt lediglich der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α . Es handelt sich um
einen Kondensator mit sieben untereinander waagerecht liegender Rohre. Im Kapitel 6 im Skript findet
sich eine Berechnungsgleichung für diesen Fall.
diglich der Dampf kondensiert und keine Tropfen bereits kondensierter Flüssigkeit auftreffen und den
Wärmeübergang beeinflussen. Dieser Wärmeübergangskoeffizient α waag kann aus den Korrelationen
.
.
ϑKühl,aus − ϑKühl,ein
= 31,28 °C
ϑ
ln Kühl,aus
ϑKühl,ein
Hierbei ist α1 der mittlere Wärmeübergangskoeffizient des obenliegenden 1.Rohres α waag an dem le-
= 14,056 kW
⇒
,wobei ϑo die mittlere Oberflächentemperatur auf den Kondensatorrohren
QKond = α ⋅ A ⋅ (ϑs − ϑo )
Aufgabe Absorptionkälteanlage
.
.
Um die Übertragungsfläche des Kondensators zu bestimmen wird von Newtons Abkühlungsgesetz ausgegangen:
PPumpen = V⋅ ∆p ges = 8,984 MW
.
kg
h
QKond = MH2O ⋅ ∆hLV ( 45°C) = 9,6252 kW
.
QHeiz + QKalt − QKühl = 0
QKalt
kg
= 4,02 ⋅ 10 −3
s
∆hLV (5°C)
Nun lässt sich die im Kondensator abzuführende Wärmeleistung bestimmen:
Widerstandsbeiwert aus Moody-Diagramm
6.1.3
⇒
MH2O =
= 14,46
w ⋅d
= 44684 > 2300 ⇒ turbulente Strömung
νf
ζ = 0,027
.
QKalt = MH2O ⋅ ∆hLV (5°C)
A ges = A ER ⋅ n = 61,57 m 2
Re =
.
.
.
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d = 0,01m
W
W
α senk = 6365,97
⇒
α waag = 10392,96
m2 ⋅ K
m2 ⋅ K
W
αn=5 = 6552,21
⇒ A = 0,0988 m 2
m2 ⋅ K
A ges
0,0988m 2
nRohre =
=
= 15,797 ⇒ 16 Rohre
A Rohr 6,2832 ⋅ 10 −3 m 2
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120
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
6.2
Lösungskatalog zu EIS II A
6.2.2
Wärmeübergang beim Sieden
6.2.1
Aufgabe Eindampfen
a)
Taus = 100°C
&
M
Aufgabe Verdampfung
Bilanzraum I
& h
M
L L
Gasströmung
Flüssigkeits
& h
M
G G
& h
M
L L
&
1%ige Lösung M
Lösung_ein
Tein = 38°C
BilanzraumII
strömung
verdampftes_Wasser
Q&Verdampfung
1,5%ige Lösung
&
M
Lösung_aus
Taus = 100°C
&
M
Prozess_Dampf
&
M
Kondensat
Tein = 110°C
p ein = 1,437bar
&
Q
∆z
Taus = 100°C
Abbildung 59 - Prozessfließbild des Aufkonzentrationsvorganges
Da es sich bei den Prozentangaben um Massenprozente handelt, gilt:
kg &
kg
&
&
M
; MWasser _ ein = 0,99 ⋅ M& ein = 1,2375
Zuc ker_ ein = 0.01 ⋅ Mein = 0,0125
s
s
BilanzraumI
&h
M
1
Da kein Zucker zum Prozess hinzu kommt, bleibt dieser Massenstrom konstant, nun soll aber dieser
Anteil 1,5 % am Gesamtmassenstrom betragen.
Es gilt also:
Abbildung 58- Bilanzierung der Strömung bis zum entstehen einer Zweiphasenströmung und zur Bestimmung des Gasgehaltes
a) Um die Rohrlänge zu ermitteln, bis das Wasser Sättigungstemperatur erreicht hat, also gerade auf der
Siedelinie liegt und demzufolge die Enthalpie h' hat, führen wir eine integrale Energie Bilanz für den
Bilanzraum I durch. Es ergibt sich: Q& + M& h1 - M& h' = 0 und damit ergibt sich:
kg
&
&
&
M
mit einem Wassermassenstrom zu:
Zuc ker_ ein = 0.015 ⋅ Maus ⇒ Maus = 0,833
s
kg
&
M
woraus sich ein Differenzstrom des Wassers zwischen Ein- und Ausgang zu:
wasser _ aus = 0,818
s
kg
&
∆M
ergibt, welches verdampft werden muss.
Wasser = 0,4195
s
2
& d π (h'-h1 ) .
q& πd∆z = m
4
Wobei sich der Wärmestrom auf die Mantelfläche des Rohres und der Enthalpiestrom auf die durchströmte Fläche, also den Rohrquerschnitt bezieht. Nun die obige Gleichung nach der gesuchten Größe
umgestellt ergibt:
∆z =
Um nun die benötigte Menge an Wärme für diesen Vorgang zu ermitteln, stellt man eine Energiebilanz
auf, die wie folgt lautet:
&
&
&
&
M
Lösung _ einc p Tein − MLösung _ aus c p Taus − Q verdampfun g + Q zu = 0 ,wobei die Massenbilanz um den Bilanz-
& d(h'- h1 )
m
= 0,97m
4q&
raum 1 ergibt:
&
M
b) Es ist nach dem Strömungsdamfgehalt: x = &g gefragt, wobei ebenfalls gilt:
M
&
M
*
L
.
1- x =
&
M
&
&
&
M
Lösung _ ein − MLösung _ aus − Mverdampfte s _ Wasser = 0 und die benötigte Verdampfungswärmesich ergibt zu:
*
&
&
Q
verdampung = Mverdamptfe s _ Wasser ⋅ ∆h v (p = 1bar ) und damit ergibt sich für die benötigte Wärme,
die der kondensierende Prozessdampfstrom abgeben muss.
&
&
&
M
Lösung _ ein c p (Taus − Tein ) + M Verdampfte s _ Wasser ∆h v (p = 1bar ) = QKondensati on
Hierzu führen wir eine integrale Energiebilanz für den Bilanzraum II durch.
&
⎛M
&
M
⎝
&
=M
Pr ozessdampf ∆h v (p = 1,437bar )
⎠
Der benötigte Kondensationswärmestrom ergibt sich zu: Q& kondensati on = 1271,18
&
M
wobei die linke Seite der umgeformten Gleichung mit & erweitert wurde und es ergibt sich mit den
M
oben eingeführten
Definitionen: M& LhL + Q& = M& x *hg + 1 - x * hL
(
( ) )
Mit hL = h' ; hg = h' ' ; h' '- h' = ∆h V ergibt sich für die Glei-
chung, die nach x* umgestellt wurde: x * =
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1
∆h V
121
.
⎞
EB: M& hL - M& ghg - M& LhL + Q& = 0 bzw. M& hL + Q& = M& ghg + M& LhL = M& ⎜ &g hg + &L hL ⎟
⎜ M
⎟
M
benötigte Prozessdampfstrom zu: M& Pr ozess _ Dampf = 0,57
KJ
Damit ergibt sich der
s
kg
s
b)
&
Q
. Als Zahlenwert ergibt sich: x * = 0,399 .
&
M
Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II A
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Lösungskatalog zu EIS II A
Lösungskatalog zu EIS II A
T
110°C
100°C
6.3
Verständnisfragen
1) Geben Sie die verschiedenen Arten des Siedevorgangs an?
stilles Sieden, Blasensieden und Strömungssieden.
2) Zeichnen und erläutern Sie den Temperaturverlauf in einer Flüssigkeit bei Oberflächenverdampfung?
z
Dampf
38°C
ϑI
ϑL
A1 + A2 A
A1
Abbildung 60 - Temperaturverlauf im Wärmeübertrager
Aufgrund des Temperaturverlaufes im Wärmetauscher ist nur bis zum erreichen des Siedepunktes mit
der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz zu rechnen, da mit erreichen des Siedepunktes die
Temperaturdifferenz konstant bleibt ergibt sich:
ϑs
Flüssigkei t
ϑ0
&
&
&
&
Q
Kondensati on = QDurchgang = Q erwärmen + Q verdampfen
ϑ
Woraus sich die jeweiligen Wärmeströme ergeben zu:
&
&
&
&
Q
erwärmen = MLösung _ ein c p (Taus − Tein ) = 946,93kW Q Verdampfen = MVerdampfte s _ Wasser ∆h v (p = 1bar ) = 325,5kW
Und aus der Definition des Wärmedurchgangs ergibt sich für die einzelnen Flächen:
A1 =
&
&
Q
Q
verdampfen
erwärmen
= 8,6m 2 und A 2 =
= 77,5m 2
k∆Tlog
k ∆T
mit ∆Tlog =
(Tein − Tprozessdampf ) − (Taus − Tprozessdampf ) = 31,4K
⎛ (T − T
⎞
ein
prozessdam pf ) ⎟
ln⎜
(
Q&
Abbildung 61 - Temperaturverlauf Oberflächensieden
In Abbildung 61ist der Temperaturverlauf in der Flüssigkeit bei Oberflächenverdampfung dargestellt.
Hierbei stellt sich direkt über dem beheizten Boden mit ϑ0 eine Temperaturgrenzschicht von der Größenwomit sich die benötigte gesamt Wärmeü-
)
⎜ T
⎟
⎝ aus − Tprozessdam pf ⎠
bertragerfläche ergibt: A1 + A 2 = A ges = 86,1m2
ordnung mit ca. 1 mm ein. In dieser ist ein starker Temperaturabfall auf die Temperatur im Flüssigkeitskern ϑL festzustellen. Im Flüssigkeitskern herrscht, aufgrund der durchmischenden Wirkung der auf- und
absteigenden Konvektionsströme annähernd die Konstante Temperatur ϑL . An der Oberfläche fällt die
Temperatur in einer dünnen Grenzschicht auf den Wert ϑI , der wenig über der Sättigungstemperatur ϑS
liegt.
3) Nennen Sie zwei Kondensationsarten! Wann kommen die beiden Formen vor?
Filmkondensation: hierbei handelt es sich um die Kondensation in einem zusammenhängendem Film, d.h.
das Kondensat fällt als Film an.
Tropfenkondensation: Diese liegt vor, wenn das Kondensat in Tropfenform entsteht
4) Welche Annahmen stecken in der Nußeltschen Wasserhauttheorie?
Annahme: - laminar abfließender Kondensat Film
im Film wird die abzuführende Kondensationswärme durch Wärmeleitung von der Oberfläche des Kondensatfilms, quer zur Strömungsrichtung durch Wärmeleitung übertragen, Konvektionseinflüsse werden
vernachlässigt.
5) Zu welcher Größe ist die Filmdicke proportional?
Die Filmdicke δ ist der vierten Wurzel der Lauflänge x proportional: δ ~ 4 x
6) Was für Auswirkungen hat ein nicht kondensierender Stoff in einem kondensierenden Fluidgemisch?
Der kondensierende Dampf muss durch das Inertgas zur Kondensatoberfläche hindurch diffundieren.
Durch die Anwesenheit des Inertgases wird die Temperaturdifferenz zwischen der Wand und der Phasengrenzfläche des Kondensatfilms mit dem Dampf- /Inertgasgemisch gesenkt, der Wärmedurchgangswiderstand erhöht sich und damit verringert sich der abgeführte Wärmestrom, wodurch weniger Dampf pro Flä-
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cheeinheit kondensiert wird.
7) Was ist bei einem Fluidfilm die charakteristische Länge? Was ist die Folge der Wahl dieser charakteristischen Länge?
Die Wandhöhe, an der Film entlangläuft ist die charakteristische Länge. Hierbei muss man eine Korrektur
berücksichtigen, für nicht senkrechte Wände/Rohre und für waagerechte Rohre muss man berücksichtigen,
das die Rohre nicht gleichmäßig benetzt sind, d.h. die Ergebnisse für senkrechte Rohre lassen sich nicht
ohne weiteres auf waagerechte übertragen.
8) Nennen Sie drei technische Anwendungen für das Verdampfen und Kondensieren. Erläutern Sie diese
kurz.
Dampfmaschine/-turbine: Wasser wird erhitzt und zum Sieden gebracht. Die Volumenvergrößerung des
Dampfen wird benutzt um Arbeit an der Turbine zu verrichten. Destillation / Stofftrennung: Man führt einem flüssigen Stoffgemisch Energie zu und verdampft es. Stoffgemische haben im thermodynamischen
Gleichgewicht eine unterschiedliche stoffliche Zusammensetzung in der flüssigen und gasförmigen Phase.
Kompressions- / Absorptionskältemaschinen: unterschiedliche Siede- / und Kondensationstemperaturen
verschiedener Stoffgemische werden hier genutzt. Außerdem wird die Eigenschaft ausgenutzt, das die Kondensation und Verdampfung bei konstanter Temperatur abläuft.
9) Beschreiben Sie kurz die allgemeine zeitliche Abfolge des Verdampfens und treffen Sie auch Aussagen
über das verhalten von Enthalpie und Temperatur in den jeweiligen Zuständen.
Die Unterkühlte Flüssigkeit muss auf Siedetemperatur gebracht werden, dh. Enthalpiezufuhr ist notwendig,
damit sich die Temperatur erhöht. Ist die Siedetemperatur erreicht, setzt die Verdampfung ein, es muss
weiterhin Enthalpie, die Verdampfungsenthalpie zugeführt werden, wobei die Temperatur konstant bleibt.
Ist der letzte Flüssigkeitstropfen verdampft, so liegt ein vollständiges Dampfgemisch vor. Wird weiterhin
Enthalpie zugeführt so erhöht sich die Temperatur und man spricht von überhitztem Dampf.
10) Beschreiben Sie kurz die unterschiedlichen Phasen von Dampf beim Kondensieren an einer gekühlten Oberfläche.
Beim Kondensieren an einer gekühlten Oberfläche muss der Dampf konvektiv und konduktiv an die gekühlte Oberfläche transportiert werden. An der Oberfläche findet als nächster Schritt die Kondensation statt.
Anschließend muss die an der Phasengrenzfläche frei werdende Kondensationsenthalpie konvektiv und
konduktiv abgeführt werden.
11) Welche Teilwiderstände müssen bei der Kondensation überwunden werden und welche Bedeutung haben
diese?
Es sind drei Teilwiderstände zu überwinden:
- Wärmewiderstand in der Dampphase
- Wärmewiderstand an der Phasengrenzfläche, beim Übertritt von der flüssigen in die dampfförmige
Phase
- Wärmewiderstand in der Flüssigphase
Wobei der Wärmewiderstand in der Flüssigphase meist der entscheidende ist. Der Wärmewiderstand in
der dampfförmigen Phase ist aufgrund er guten Durchmischung gering. Der Wärmeübergangswiderstand
an der Phasengrenzfläche von gasförmig zu flüssig ist ebenfalls gering, da hier eine dünne Phasengrenzfläche vorliegt und der Temperatur gering ist.
12) Stellen Sie die allgemeine Bilanzgleichung auf, die zum laminaren Geschwindigkeitsprofil in einem Kondensatfilm an einer gekühlten Wand führt. Wie sind die einzelnen Terme definiert?
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Abbildung 62 - Geschwindigkeitsprofil Kondensatfilm
Die allgemeine Kräftebilanz an einem differentiellen Volumenelement in einem laminaren Flüssigkeitsfilm
lautet: ∑ F = 0 = Fg + Fp + Fτ wobei die einzelnen Terme wie folgt definiert sind: Fg = ρ f gdV und berücksichtigt die Schwerkraft des Fluidelements. Fp = (p( x ) − p( x + dx ))dyB welche die Angreifenden Druckkräfte berücksichtigt. Der Term Fτ = ( τ( y + dy ) − τ( y ))dxB und hier wird die Angreifende Schubspannung berücksichtigt.
13) Wie lauten die Randbedingungen die zu diesem Geschwindigkeitsprofil führen und welche Annahmen stecken dahinter?
An der Wand herrscht Wandhaftung des Fluids und daher gilt an der Stelle y = 0 ist w = 0. Weiterhin ist
für geringe Dampfgeschwindigkeiten die Schubspannung, die der Dampf auf das Fluid ausübt zu vernachlässigen und damit gilt an y = δ :
∂w
=0.
∂y
14) Was besagt die Thompsonsche Gleichung?
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Abbildung 63 - Kräftebilanz an einer Dampfblase
Die Thompsonsche Gleichung stellt einen Zusammenhang zwischen dem Dampfdruck p 0 (ϑ) an einer Ebenen Phasengrenzfläche, dem Flüssigkeitsdruck pL (ϑ, r ) und dem Dampfdruck p G (ϑ, r ) an der Oberfläche
der Blase mit dem Radius r dar.
15) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Blasenradius und Überhitzung bei der Blasenbildung beim
Sieden! Welche Bedingung muss erfüllt sein um Blasen eines bestimmten Durchmessers zu erzeugen und
warum?
Aus der Gleichung 6.56 des EIS II Skriptes : r ≅
2σTS
lässt sich erkennen, das der Blasendurchmesser
ρ' ' ∆h v ∆ϑ
umgekehrt proportional zur Überhitzung der Flüssigkeit ist. Dies bedeutet, desto größer die Überhitzung
∆ϑ ist, desto kleiner Blasen können entstehen. Ist die Überhitzung zu klein können nur Blasen ab einem bestimmten Durchmesser entstehen, alle anderen Blasen kondensieren wider. Im umgekehrten Fall, bei großer Überhitzung können kleine Blasen entstehen und alle Blasen mit einem größeren Durchmesser sind
„lebensfähig“. Es ist also eine bestimmte Überhitzung nötig um Blasen an energetisch begünstigten Orten,
wie feste beheizte Oberflächen entstehen zu lassen.
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