Mechanik 3.nb - Hochschule Trier
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Mechanik 3.nb *UXQGODJHQGHU3K\VLN Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier Fach: Geowissenschaften Wintersemester 2000/2001 'R]HQW 'U.DUO0ROWHU 'LSORP3K\VLNHU )DFKKRFKVFKXOH7ULHU 7HO )D[ (0DLOPROWHU#IKWULHUGH ,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS Version: 1.1 26.01.01 /LWHUDWXU • • • • • • • • • 6WURSSH: 3K\VLN, Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN 3-446-21066-0 +HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNIU,QJHQLHXUH, Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN 3-540-66135-2 3DXO$7LSOHU: 3K\VLN, Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN 3-86025-122-8 *HUWKVHQ: 3K\VLN, Springer Verlag, 1999, ISBN 3-540-65479-8 %URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN, Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2 -UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN, Vieweg Verlag, 1993, ISBN 3-528-04933-2 +DQV-3DXV: 3K\VLN, Hanser Verlag, 1995, ISBN 3-446-17371-4 .ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNIU3K\VLNHU, Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN 3-528-06775-6, erhältlich!) 6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-64314-7 Mechanik 3.nb Mechanik fester Körper (3) $UEHLW(QHUJLHXQG/HLVWXQJ Wir haben bisher von Kräften gesprochen und festgestellt, das Kräfte sowohl Beschleunigungen als auch Verformungen (Deformationen) herbeiführen können. Im elastischen Fall können die Deformationen vollständig rückgängig gemacht werden. Zur Zeit der stärksten Deformation bewegt sich der Körper häufig nicht mehr (vgl. Flummi), er besitzt aber offenbar das Vermögen, sich wieder in Bewegung zu setzen. Wir sagen, der Körper besitzt Energie, um sich in Bewegung zu versetzten. Wir gehen im Folgenden näher auf den Begriff der Energie und den physikalischen Vorgang, über den ein Körper Energie gewinnt, ein. Dazu definieren wir die Begriffe Arbeit, Energie und Leistung. È $UEHLW Zum Verschieben eines ruhenden Körpers benötigen wir im allgemeinen eine Kraft, HVZLUG$UEHLWDQ LKPJHOHLVWHW. ¾» Für den Fall, das die Kraft ) konstant ist, wird die Arbeit W definiert als das Produkt aus Weg s und Komponente der Kraft längs des Weges F cos(j): $UEHLW j Weg s Führung F W = F s cos( ) [Nm] j ¢ [J] ¢ [Ws] ¾» ¾» wobei F der Betrag der Kraft ) und s der Betrag des Wegs V ist. kg P Die Einheit der Arbeit ist [ V2 ], abgekürzt auch [Nm] (Newtonmeter), [J] (Joule) oder [Ws] (Wattsekunden). 2 [1] Mechanik 3.nb Wir können die Arbeit auch als Skalarprodukt von Kraft und Weg definieren: ¾» » W = ) ·V, [2] denn das Skalarprodukt ist ja genau als Produkt der Beträge der Vektoren und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels definiert. Merke: Arbeit kann nur längs eines Wegs (also in Richtung der Änderung des Ortsvektors) geleistet werden. Eine Kraft, die senkrecht zum (möglichen) Weg angreift, verrichtet keine Arbeit. Die Gleichungen [1] und [2] sind völlig gleichwertig. ¾» Ändert sich die Kraft ) längs des zurückgelegten Wegs, oder ändert sich die Richtung des Wegs, so kann die Arbeit zunächst nur für kurze Wegelemente, für die die Voraussetzungen NRQVWDQWH.UDIW und JHUDGHU:HJ gut erfüllt sind, berechnet werden: ¾» » dW = ) d V . [3] » » Die gesamte Arbeit für die Verschiebung von U 1 nach U 2 erhalten wir durch Integration über den zurückgelegten Weg: » U ¾ » » W = Á»U ) V. Ê È (QHUJLH Unter der Energie eines Körpers versteht man seine Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Oder umgekehrt: Energie stellt gespeicherte Arbeit dar. Daraus ergibt sich sofort, dass die Einheiten von Arbeit und Energie identisch sind. Wir können verschiedene Energieformen unterscheiden: Führen wir einem Körper Energie zu, indem wir ihn in Bewegung versetzen, so sprechen wir von NLQHWLVFKHU(QHUJLH. Verrichten wir an einem Körper im Schwerefeld der Erde Arbeit, indem wir ihn in eine veränderte Lage (Höhe) bringen, so sprechen wir von /DJHHQHUJLH oder SRWHQWLHOOHU(QHUJLH. [4] Mechanik 3.nb Bei elastischer Deformation eines Körpers muss Arbeit aufgewendet werden (Flummi), die als Energie gespeichert wird. Man spricht von HODVWLVFKHU(QHUJLH. Im Folgenden wollen wir elementare Formeln für die einzelnen Energieformen aus dem, was wir bisher gelernt haben, herleiten: ì .LQHWLVFKH(QHUJLH Wir möchten berechnen, welche Arbeit an einem Körper der Masse m geleistet wurde, der aus dem Ruhezustand auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt wurde. Nehmen wir zunächst an, der Körper wird durch eine konstante Kraft F geradlinig entlang einer Strecke s beschleunigt. Diese Kraft ist der Trägheitskraft entgegengerichtet und hat den Betrag F=ma Da es sich um zeitlich und örtlich konstante Größen handelt, können wir die Arbeit unmittelbar nach Gleichung [1] berechnen zu: :N = m·a·s . [5] Uns interessiert aber nicht primär die Arbeit als Funktion der Strecke s, über die die Kraft wirkt, sondern als Funktion der Geschwindigkeit v, die der Körper hat, nachdem er die Strecke s zurückgelegt hat. Nach dem Weg Zeit Gesetz für eine konstante Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit Y0 = 0 und Anfangsort V0 = 0 gilt: s = 12 a W 2 und v=at Eliminieren wir durch Ersetzen in den beiden Gleichungen die Zeit t, erhalten wir einen Zusammenhang zwischen zurückgelegtem Weg und der Geschwindigkeit v: Y . s = 2D 2 Das Ergebnis setzen wir in die Gleichung [5] ein und erhalten so für die kinetische Energie: :N = 1 2 P Y2 [6] Dieses Ergebnis gilt übrigens auch für eine beliebige zeitabhängige Beschleunigung oder Kraft, wie sich leicht zeigen lässt: :N = Á P DHWL Ê [ wir ersetzen: Mechanik 3.nb dvHW L a(t) = dt und mit dx v = dt dx = v dt :N = P dv Y W dt =P Y Y = 12 P Y2 . Á Á Ê [7] Ê Es ist also völlig gleichgültig für die kinetische Energie, auf welche Art und Weise der Körper zu seiner Geschwindigkeit gekommen ist (wie zu erwarten war!). ì 3RWHQWLHOOH(QHUJLH Wie bereits oben erwähnt, versteht man unter der potentiellen Energie die Fähigkeit eines Körpers, auf Grund seiner Lage Arbeit zu verrichten. Die potentielle Energie im Schwerefeld der Erde lässt sich leicht nach Gleichung [1] berechnen: Die Kraft, die zum Heben eines Körpers notwendig ist, ist der Schwerkraft entgegengerichtet und hat den Betrag: F = -m·g Hebt man den Körper um eine Strecke h senkrecht nach oben, so sind Kraft und Weg parallel, also gilt für die potentielle Arbeit: :S = P J - ¿ ¿ H- K L = P J K ¿ ¿ Die Arbeit ist dabei vom Weg unabhängig, wie sich exemplarisch an der schiefen Ebene zeigen lässt: [8] Mechanik 3.nb 6FKLHIH(EHQH@ D s FH =mg sina h FN=mg cosa FG =mg a=30° Die Arbeit, um einen Körper über eine schiefene Ebene zu einer Position V zu bringen, muss gegen die Hangabtriebskraft m g sin(a) aufgebracht werden. Sie beträgt gemäss der Skizze: : S = m g sin( ) V . [9] a Der Zusammenhang zwischen Lage s auf der schiefen Ebene und Höhe h des Körpers (immer von der horizontalen Grundfläche der Ebene aus gesehen) ist einfach: h = s sin( ) . a [10] Setzen wir Gleichung [10] in Gleichung [9] ein, so erhalten wir das bekannte Ergebnis :S = m g h . [11] Es lässt sich allgemein zeigen, dass die Arbeit, um einen Körper im Schwerefeld der Erde von einem Ort A zu einem Ort B zu bewegen, unabhängig vom Weg ist, den man wählt um von A nach B zu gelangen. Man sagt, die 6FKZHUNUDIW ist eine NRQVHUYDWLYH.UDIW. Wir kommen darauf später noch zurück. Mechanik 3.nb ì (ODVWLVFKH(QHUJLH Bei der Deformation eines elastischen Körpers wird Arbeit aufgewendet, die als Energie (auch eine Art potentielle Energie) gespeichert wird. Wir gehen hier vom bereits mehrfach zitierten +RRNHVFKHQ *HVHW] aus, das besagt, dass die aufzuwendende Kraft proportional der Auslenkung (= Stärke der Verformung) ist: )H = k x [12] k ist dabei die Elastizitätskonstante (bei einer elastischen Feder auch Federkonstante genannt). Wir haben hier also einen Fall, bei dem die Kraft direkt vom Weg (= Stärke der Verformung) abhängig ist. Wir müssen die Arbeit und damit die gespeicherte Energie daher nach Gleichung [4] durch Integration ermitteln. Danach ergibt sich die Arbeit, um den elastischen Körper um eine Strecke s zu verformen zu: :H V = H L V Á 0 )H [ Ê V = Á0 N [ = N @ 12 = 1 2 Ê [2 [ V D [13] 0 N V2 [J] Die Arbeit und damit die gespeicherte Energie steigt quadratisch mit der Auslenkung an. ì (QHUJLHHUKDOWXQJ In den bisher besprochenen Beispielen wurde an einem Körper Arbeit verrichtet; es wurde ihm Arbeit zugeführt. Damit wurde ihm die Möglichkeit gegeben, selbst Arbeit zu verrichten. Man sagt, dass durch die Arbeit im System Energie gespeichert wurde. Arbeit wird üblicherweise durch den Buchstaben : (HQJO:RUN) abgekürzt, Energie durch den Buchstaben ( (HQHUJ\). Wie bereits oben gesagt, haben Arbeit und Energie die gleiche physikalische Einheit, nämlich [Nm] ¢ [J]. (QHUJLH ist eine =XVWDQGVJU|H. Energie wird im System gespeichert. $UEHLW dagegen ist eine 7UDQVSRUWJU|H, also das, was übergeben wird. Durch Zufuhr von %HVFKOHXQLJXQJVDUEHLW wird die NLQHWLVFKH(QHUJLH eines Systems verändert. Durch Zufuhr von +XEDUEHLW oder 9HUIRUPXQJVDUEHLW wird die SRWHQWLHOOH (oder /DJH-) (QHUJLH eines Systems verändert. Mechanik 3.nb Die Zusammenfassung aller Einzelfälle gibt der (QHUJLHVDW]GHU0HFKDQLN Durch Zufuhr von Arbeit (DW>0) wird die Energie eines Systems vergrößert. Durch Abfuhr von Arbeit (DW<0) wird die Energie eines Systems verringert. Im System kann die Energie in Form von potentieller oder kinetischer Energie vorliegen: DW = D(S + D(N . Ist eine Zufuhr oder Abfuhr von Arbeit nicht möglich, so nennt man ein SystemDEJHVFKORVVHQ. Dann gilt als Spezialfall des Energiesatzes der wichtige (QHUJLHHUKDOWXQJVVDW]GHU0HFKDQLN In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie, d.h. die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant. D(S + D(N = D(ges = 0 oder (S + (N = (ges = const. Der Energieerhaltungssatz ist ein Erfahrungssatz und kann nicht bewiesen werden. Ein im Sinne dieses Satzes abgeschlossenes System liegt nur dann vor, wenn ausschliesslich NRQVHUYDWLYH (die mechanische Energie erhaltende) Kräfte wirken. Sogenannte GLVVLSDWLYH Kräfte (dazu gehören insbesondere Reibungskräfte, die mechanische Energie in Wärme umwandeln) führen zu einem im Sinne der Mechanik nicht abgeschlossenen System. Um unter Einbeziehung dieser Kräfte wieder zu einem abgeschlossenen System zu gelangen, müssen wir den Bereich der Mechanik verlassen und zur Wärmelehre bzw. Thermodynamik übergehen. È $QZHQGXQJGHV(QHUJLHHUKDOWXQJVVDW]HV ì %HLVSLHOIUHLHU)DOO Wir betrachten folgende Situation: Mechanik 3.nb (SRW%HLVSLHO h 1 FG h2 1 v1 h1 Ein Körper wird im Schwerefeld der Erde auf die Höhe K2 angehoben. Anschliessend wird er losgelassen und beginnt nach unten zu fallen. Die potentielle Energie des Körpers nimmt ab. Am Körper wird Arbeit verrichtet, seine Geschwindigkeit und damit seine kinetische Energie nimmt zu. Gesucht ist die Geschwindigkeit Y1 des Körpers, wenn er sich auf der Höhe K1 befindet. Wir können das Problem auf zwei Arten lösen: 1.: Über einen NLQHPDWLVFKHQ$QVDW], indem wir die bekannten Bewegungsgleichungen verwenden. 2.: Über die Anwendung des Satzes von der (QHUJLHHUKDOWXQJ Beim NLQHPDWLVFKHQ$QVDW]eliminieren wir aus den Bewegungsgleichungen die Zeit, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Es handelt sich um eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung, die Anfangsgeschwindigkeit ist Null, also gilt: h(t) = K2 - und 1 2 g W2 [14] Mechanik 3.nb v(t) = g t [15] Bezeichnen wir mit W1 den Zeitpunkt, zu dem der Körper sich bei h1 befindet, so lässt sich die Gleichung [14] umschreiben: K1 = K2 - 12 g W1 2 , also 2 HK2 K1 L % W1 = $%%%%%%%%%%%%%%%%%% J . - Wir setzen dies in die Gleichung [15] ein und erhalten so die Geschwindigkeit Y1 zum Zeitpunkt W1 , zu der sich der Körper auf der Höhe K1 befindet: Y1 = 2 J K2 K1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H L [16] Bei der Anwendung des (QHUJLHHUKDOWXQJVVDW]HV stellen wir die Energiebilanz für das System auf: Für jeden Zustand des Systems muss gelten: (S + (N = (ges = const. In dem Augenblick, indem der Körper in der Höhe K2 losgelassen wird, besitzt das Sytem nur die potentielle Energie ( S = m g K2 = (ges. [17] In dem Moment, in dem sich der Körper in der Höhe K1 befindet, gilt für die Gesamtenergie: (ges = ( S + (N = m g K1 + 1 2 m Y1 2 [18] Da sich wegen der Energieerhaltung die Gesamtenergie des Systems nicht geändert hat, können wir die Gleichungen [17] und [18] gleichsetzen und daraus Y1 berechnen: m g K2 = m g K1 + 1 2 m Y1 2 [19] ð Y1 = 2 J K2 K !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H 1L Das Ergebnis ist identisch mit dem des kinematischen Ansatzes. Mechanik 3.nb È /HLVWXQJ Unter der Leistung 3 (HQJOSRZHU) versteht man die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit dW: dW dt P= [ Nm ] V ¢ [ -V ] ¢ [Watt]. [20] Bei zeitlich konstanter Arbeit ist die Leistung einfach als Arbeit pro Zeit definiert: P= : W [21] Wir können aber auch den Zusammenhang der Gleichung [3] verwenden und in Gleichung [20] einsetzen und erhalten dann für die (momentane) Leistung: P= dW dt ¾» » ¾» = )dtG V = ) » GV dt ¾» » = ) ·Y [22] ¾» ¾» Die Leistung ist das Skalarprodukt aus (momentaner) Kraft ) und (momentaner) Geschwindigkeit Y . =XVDPPHQIDVVXQJ Die äquivalenten physikalischen Einheiten für $UEHLW bzw. (QHUJLH sind: NJ P Newton Meter [Nm] ¢ A E V Joule [J] Watt Sekunden [Ws] Arbeit: ¾» ¾» : = Á ) Ê V [Nm] ¾» ¾» ¾» W = ) ·V () = const.) Energiesatz: ¾¾¾¾» ¾» D: = Á ) D Ê V = D(S + D(N ¾» ) D : äussere Kraft EnergieerD(S + D(N = haltungssatz: (S + (N = const. potentielle Energien: Lageenergie (S = P J K [Nm] abgeschlossenes System DW = 0 Spannenergie (S = 12 N V2 Mechanik 3.nb kinetische Energie: Leistung: (N = 12 P Y 2 ¾» ¾» dW P = = ) ¿ Y dt NJ P [W] ¢ A E V Die /HLVWXQJ wird in Watt [W] gemessen.
