Thermodynamik - Lernen Interaktiv
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WIPF‘SCHE FORMELSAMMLUNG Verfasser: Wipf Mario Fachbereich: Maschinen-Ingenieurwesen Klasse: Thermodynamik Umfang: Hauptstudium Fassung vom: 04.10.13 Thermodynamik Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Einführung in die Thermodynamik Hook‘sches Gesetz bezogen auf Volumina N EStahl = 210'000 mm 2 N EH 2O = 2'000 mm 2 N EÖl = 1'000 mm 2 ΔV Δp =− V E ⎡ N ⎤ E : Elastizitätsmodul ⎢ 2 ⎣ mm ⎥⎦ V : Urspungsvolumen m3 [ ] ΔV : Volumendifferenz[m3 ] ⎡ N ⎤ Δp : Druckdifferenz ⎢ 2⎥ ⎣ mm ⎦ Arbeit und innere Energie Begriffsdefinitionen: Offenes System: Ein System über dessen Systemgrenzen Materie tritt, heisst offenes System. Es wird von Stoff durchströmt (Kolben mit offenen Ventilen) Geschlossenes System: Ein System, über dessen Grenze keine Materie tritt, heisst geschlossenes System Adiabat: Wärmedicht bzw. ohne Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung Nichtadiabat / diatherm: Wärmedurchlässig bzw. mit Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung Abgeschlossenes System: Ein System, bei dem jede Wechselwirkung mit seiner Umgebung ausgeschlossen ist, bei dem also weder Stoff noch Energie die Systemgrenze überschreiten kann, heisst isoliertes oder abgeschlossenes System. Dissipativer Effekt (Dissipation): Vorgänge wie Reibung, Formänderungsarbeit, elektrische Vorgänge u.a., werden als dissipative Vorgänge bezeichnet. Ausgleichsvorgänge: Zwischenzustände näherungsweise als Gleichgewichtszustände und die Zustandsänderung als quasistatisch betrachtet werden. Vorzeichenkonvention: Minus: Vom System abgeführte Energie Plus: Dem System zugeführte Energie Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System) Merke: Man stelle sich als Betrachter vor ,im System zu sein Wv12 p 2 Wv12 = − ∫ p dV F 1 p 2 1 p V dV Achtung: Vorzeichen vor dem Integral unbedingt berücksichtigen Merke: Da für die Durchführung der Integration die Zustandsänderung p(v) bekannt sein muss, ist die Volumenänderungsarbeit demnach von der Zustandsänderung abhängig und somit eine Prozessgrösse. 04.10.13 Seite 3 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Arbeit und innere Energie Spezifische Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System) Wv12 : Volumenänderungsarbeit[J ] wv12 = Wv12 m 2 ⎡J ⎤ wv12 : spezifische Volumenänderungsarbeit ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ m : Masse [kg ] = − ∫ p dv 1 Achtung: Vorzeichen!!! Verschiebearbeit (geschlossenes System) (Volumenänderungsarbeit bei konstantem Druck) Merke: Die Volumenänderungsarbeit wird zwischen dem System und dem Kolben übertragen. Wird durch die Volumenänderung auch das Volumen einer unter konstantem Druck befindlichen Umgebung (z.B. auf der Erde) geändert, so ist die Verschiebearbeit Wu12 zu berücksichtigen p Wu12 = − pb (V2 − V1 ) Wu12 : Verschiebearbeit[J ] V1àV2 Qauf Achtung: Vorzeichen!!! V1 ⎡N⎤ pb : Umgebungsdruck ⎢ 2 ⎥ ⎣m ⎦ V1 : Anfangsvolumen [m 3 ] V1àV2 Wab V2 : Endvolumen [m3 ] V < V2 Nutzarbeit an der Kolbenstange (geschlossenes System) Merke: Die Volumenänderungsarbeit Wv teilt sich auf in die Verschiebearbeit Wu und die an der Kolbenstange übertragenen Nutzarbeit Wn Wv12 : Volumenänderugnsarbeit [ J ] p Wn12 = Wv12 − Wu12 Wu12 : Verschiebearbeit[J ] 1 Wn12 : Nutzarbeit an der Kolbenstange [ J ] Wn12 pb 2 Wu12 V 2 2 1 1 Wn12 = Wv12 − Wu12 = − ∫ p dV − (− p(V2 − V1 )) = − ∫ ( p(V ) − pb ) dV Dissipationsenergie (geschlossenes System, adiabat) Definition: Durch Reibung und andere Vorgänge wird Energie entwertet, wir bezeichnen sie als Dissipationsenergie oder Dissipationsarbeit Wdiss12 Wg12 = Wv12 + Wdiss12 Geschlossenes System Merke: Die gesamte am geschlossenen System verrichtete Arbeit kann somit aus Volumenänderungsarbeit und Dissipationsenergie bestehen 2 Wg12 = − ∫ p dV + Wdiss12 Geschlossenes System 1 Merke: Dissipationsenergie ist immer positiv in die Energiebilanz Miteinzukalkulieren Folgerung: Die zur Kompression aufzuwendende Arbeit wird daher um dem Betrag der Dissipationsenergie (Dissipationsarbeit) grösser, da komprimiert werden muss und (+) Reibung überwindet werden muss Spezifische Arbeiten bezogen auf die Masse m ergeben demnach: 2 wg12 = wv12 + wdiss12 = − ∫ p dv + wdiss12 1 04.10.13 Seite 4 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Arbeit und Wärme Innere Energie (geschlossenes System) Definition: Die ein einem System gespeicherte Energie wird innere Engerie U genannt. Die einem adiabat geschlossenen System zugeführte Arbeit erhöht die innere Energie U des Systems. 2 ∫ dW Wg : am geschlossenen System verrichtete Arbeit[J ] 2 g 1 = ∫ dU ⇒ Wg12 = U 2 − U1 U : innere Energie [J ] 1 ⎡ J ⎤ u : spezifische innere Energie ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ du = cv ⋅ dT ⎡ J ⎤ cv : isochore spez. Wärmekapazität ⎢ ⎥ ⎣ kg ⋅ k ⎦ Merke:Die innere Energie U eines idealen Gases hängt nur von seiner absoluten Temperatur Tab. Arbeit und Wärme (geschlossenes System) Definition: Wärme ist die Energie, die bei einem System mit nichtadiabatischer Grenze allein aufgrund eines Temperaturunterschiedes zu seiner Umgebung über die Systemgrenze tritt. Q12 : Wärmeenergie[J ] dQ12 + dWg12 = dU Q12 + Wg12 = U 2 − U1 Interpretation: Wärme und Arbeit bewirken gemeinsam eine Änderung der inneren Energie Q12 = U 2 − U1 − Wg12 2 Q12 − ∫ p dV + Wdiss12 = U 2 − U1 Merke:Dem System zugefühte Wärme ist positiv und abgeführte Wärme negativ 1 Enthalpie Definition: Enthalpie ist definiert als die Summe der inneren Energie plus dem Produkt p*V Merke: Enthalpie kann als Energievorrat eines Stoffstromes interpretiert werden ⎡J ⎤ dH : Enthalpie⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ dH = dU + p ⋅ dV H = U + p ⋅ dV C p ⋅ dT = dU + p ⋅ dV ⎡ J ⎤ c p : isobare spez. Wärmekapazität ⎢ ⎥ ⎣ kg ⋅ K ⎦ Technische Arbeit(offenes System) p 1 2 Wt12 = ∫ v dp 1 Wt12 Einschiebearbeit Wt12 : technische Arbeit [J] Volumenänderungsarbeit Ausschiebearbeit 2 V Innere Arbeit (offenes System) Definition: Die an einem offenen System verrichtete Arbeit wird innere Arbeit Wi12 genannt. Sie besteht aus einem reversiblen Anteilder technischen Arbeit Wt12- und er Dissipationsenergie Wdiss12. Wi12 = Wt12 + Wdiss12 04.10.13 Wi12 :innere Arbeit [J] Seite 5 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Arbeit und Wärme Innere Arbeit und Enthalpie (offenes System, adiabat) Definition: Die Arbeit Wg12 setzt sich aus der inneren arbeit Wi12 und den Arbeiten durch die Volumenverdrängung der Stoffmasse m zusammen. In dem unten aufgeführten Fall werden jedoch Änderungen der potentiellen und kinetischen Energie vernachlässigt. Wg12 = U 2 − U1 Wg : am geschlossenen System verrichtete Arbeit[J ] Wi12 + p1 ⋅V1 − p2 ⋅V2 = U 2 − U1 ⎡J ⎤ H : Enthalpie⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ pV : Volumenverdrängungsarbeiten [ J ] U : innere Energie [J ] Verschiebearbeit Durch Umformen erhält man: Wi12 = (U 2 + p2V2 ) − (U1 + p1V1 ) H2 H1 Wi12 = H 2 − H1 für adiabates, offenes System Merke: Die Verschiebearbeit wird nur aus Zustandsgrössen des Anfangs- und Endzustandes gebildet und ist somit selbst eine Zustandsgrösse Innere Arbeit und Enthalpie (offenes System, nicht adiabat) Merke: Sind die Systemgrenzen nichtadiabat, so muss bei der Energiebilanz die an der Systemgrenze übertretende Wärme berücksichtigt werden. Q12 + Wg12 = U 2 − U1 Q12 + Wi12 + p1V1 + p2V2 = U 2 − U1 Q12 + Wi12 = H 2 − H1 Mittlere spezifische Wärmekapazität Erklärung: Da bei Wärmerechnungen oftmals mit Temperaturdifferenzen gearbeitet wird und sich die entsprechenden spezifischen Wärmekapazitäten in Funktion der Temperatur ändern, wird für diese Fälle eine mittlere spezifische Wärmekapazität errechnet. cp,v 2 u2 − u1 = cvm ⋅ (T2 − T1 ) h2 − h1 = c pm ⋅ (T2 − T1 ) 2 2 1 1 in °C einsetzen 1 T 2 cvm = 1 cvm t2 0 ⋅ t 2 − cvm t1 ⋅ t1 0 t 2 − t1 Hinweis: Werte für c=f(T) sind aus dem Buch 3-446-22079-8 aus TB2.2 auf S.68 zu entnehmen Merke: Bei konstant bleibende Volumen ist cv, bei konstant bleibendem Druck cp einzusetzen 04.10.13 Seite 6 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Wärme / Gasgleichungen Mischrechnungen mit Wärme Ein Stahlgussstück von 120 kg, mittlere spezifische Wärmekapazität cma=0,58kJ/(kg K) wird zum Härten in ein Ölbad von 550 kg bebracht, dessen Temperatur von 22°C auf 65°C ansteigt. Mittlere spezifische Wärmekapazität des Härteöls cmb=1,7 Kj/(kg K). Das System kann adiabat angenommen werden. Mit welcher Temperatur wurde der Stahl eingetaucht ? ↑ ↓ Q Stahl + Q Öl = 0 ( ( ) ) mStahl ⋅ cStahl ⋅ TMisch − T1Stahl + mÖl ⋅ cÖl ⋅ TMisch − T1Öl = 0 mStahl ⋅ cStahl ⋅ TMisch − mStahl ⋅ cStahl ⋅ T1Stahl + mÖl ⋅ cÖl ⋅ TMisch − mÖl ⋅ cÖl ⋅ T1Öl = 0 (mStahl ⋅ cStahl + mÖl ⋅ cÖl )⋅ TMisch − mÖl ⋅ cÖl ⋅ T1 = mStahl ⋅ cStahl ⋅ T1 (mStahl ⋅ cStahl + mÖl ⋅ cÖl )⋅ TMisch − mÖl ⋅ cÖl ⋅ T1 Stahl Öl T1Stahl = Öl mStahl ⋅ cStahl Merke: Die mittleren Temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazitäten können aus dem Buch3-446-22079-8 TB1.7a S.51 entnommen werden. Wi : innere Arbeit[J ] Hauptsatz (offenes System) Q12 + Wi12 = H 2 − H1 + ( ) m 2 2 c2 − c1 + mg (z2 − z1 ) 2 Q12 + Wi12 = H 2 − H1 2 Q12 + ∫ v dp = H 2 − H1 Merke: Oft wird die unten aufgeführte vereinfachte Form verwendet, da in den meisten Fällen die potentielle und kinetische Energie vernachlässigt werden können. 1 Q : Wärmeenergie [J ] ⎡J ⎤ H : Enthalpie⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ c1, 2 : Strömungsgeschwindigkeit [ J ] z1, 2 : Höhe [m] Temperaturabhängiges Kappa ermitteln Für einen gegebenen Verdichtungs / Expansionsvorgang soll ein temperaturabhängiges Kappa ermittelt werden. Die Anfangstemperatur beträgt 30°C und di e Endtemperatur beläuft sich auf 232°C. Das Fluid ist Luft (R=287,2 J/(kg*K) in °C einsetzen c pm 2 1 χ= 04.10.13 = c pm cp c p − Ri t2 0 t ⋅ t 2 − c pm 1 ⋅ t1 0 t 2 − t1 = 1,014 = kJ kJ ⋅ 232°C − 1,005 ⋅ 30°C kJ kg ⋅ K kg ⋅ K = 1,015 232°C − 30°C kg ⋅ K 1,015 = 1,395 1,015 − 0,2872 Seite 7 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Zustandsänderungen eines idealen Gases ⎡N⎤ p : Druck ⎢ 2 ⎥ ⎣m ⎦ V : Volumen m 3 m = M ⋅n Vn = n ⋅Vmn (2.7) [ ] n für Normzustand 1 m M ρ= = = v V Vm ⎡ m3 ⎤ Vm : molares Volumen ⎢ ⎥ ⎣ kmol ⎦ (2.8a) ⎡ m3 ⎤ Vmn : molares Normvolumen 22,4 ⎢ ⎥ //ideales Gas ⎣ mol ⎦ Vn : Normvolumen [ Nm 3 ] //Normkubikmeter Vm = M ⋅ v m = n ⋅ M = ρ n ⋅Vn n für Normzustand (2.9) p ⋅ M ⋅ v = M ⋅ Ri ⋅ T (2.10a) p ⋅Vm = M ⋅ Ri ⋅ T p ⋅Vm = Rm ⋅ T ⎡ m3 ⎤ v : spezifisches Volumen ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ m : Masse [kg ] (2.10b) (2.11) p ⋅ v = z ⋅ Ri ⋅ T Vm = p ⋅ Vm T 1kmol = 6,022 ⋅10 26 Teilchen 1mol = 6,022 ⋅10 23 Teilchen p ⋅V = m ⋅ Ri ⋅ T Rm = ⎡ J ⎤ Ri :Spezielle Gaskonstante ⎢ ⎥ ⎣ kg ⋅ K ⎦ Merke: Für ideale Gase gilt: z=1 V n p ⋅V = n ⋅ Rm ⋅ T (2.12) ⎡ J ⎤ Rm : Universelle Gaskonstante8,31441 ⎢ ⎥ ⎣ mol ⋅ K ⎦ T : Temperatur [ K ] z : Realgasfaktor [oE ] n : Anzahl Molekühle[mol ] ⎡ kg ⎤ M : Molmasse ⎢ ⎥ ⎣ mol ⎦ pn : Normdruck 1,01325 [bar ] (2.13) Rm (2.14) M u = cv ⋅ T + u0 (2.17) Ri = Achtung: spezifische Grössen !!! (J/kg) h = c p ⋅ T + h0 (2.18) T2 U 2 − U1 = m ⋅ ∫ cv dT = m ⋅ cvm T1 T2 T1 T2 H 2 − H1 = m ⋅ ∫ c p dT = m ⋅ c pm T1 c p − cv = Ri χ= cp cv = T2 T1 (T2 − T1 χ χ −1 (2.22a) mit T χm 2 T1 = (2.24a) ⋅ Rm (2.24b) Cmp − Cmv = M ⋅ (c p − cv ) = M ⋅ Ri = Rm 04.10.13 ⎡ J ⎤ u : spezifische innere Energie ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ ⎡ J ⎤ h : spezifische Enthalpie ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ )(2.20) m für Mittelwert cp Cmp cv + Ri R = 1+ i = = cv cv c p − Ri Cmv Cmp = M ⋅ c p = ⎡ kg ⎤ 3 ⎣ m ⎥⎦ ρ : Dichte ⎢ ⎡ kg ⎤ (2.21a) 1 = M ⋅ cv = ⋅ Rm χ −1 t n : Normtemperatur 273,15 [ K ] (T2 − T1 ) (2.19) m für Mittelwertρ n : Dichte im Normzustand ⎢⎣ m 3 ⎥⎦ H 2 − H1 = χ m (U 2 − U1 ) (2.23) Cmv Formelsammlung: M.Wipf Gasgleichungen (2.21b) c pm T2 T1 cvm T2 T1 ⎡ J ⎤ cv : spez.Wärmekapazität für V = const. ⎢ ⎥ ⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎡ J ⎤ c p : spez.Wärmekapazität für p = const. ⎢ ⎥ ⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎡ J ⎤ Cmv , Cmp : molare Wärmekapazitäten ⎢ ⎥ ⎣ mol ⋅ K ⎦ χ : Isentropenexponent[-] z : Realgasfaktor Seite 8 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Zustandsänderungen Isochore (Volumen ist konstant) p/[Pa] Qauf T/[K] T/[K] 2 2,1 1,2 1 1 V/[m3] 2 s/[J/K] Qab s/[J/K] Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur: p2 T2 = p1 T1 p = const. T Volumenänderungsarbeit: 2 Wv12 = − ∫ p ⋅ dv 1 = 0 v = const ⇒ dv = 0 Technische Arbeit 2 2 1 1 [J ] Wt12 = ∫ v ⋅ dp = v ⋅ ∫ dp = m ⋅ v( p2 − p1 ) = m ⋅ Ri ⋅ (T2 − T1 ) [J ] Merke: für p2 >p1 wird die technische Arbeit positiv Zugeführte Wärmemenge: Q12 = u2 − u1 = m ⋅ cvm T 2 T 1 ⋅ (T2 − T1 ) [J ] Interpretation: - Bei einer isochoren Zustandsänderung ist die Volumenänderungsarbeit gleich Null. è Die Zustandsänderung kommt nur durch Wärmetransfer zustande - Die bei der isochoren zugeführte Wärmemenge wird vollständig zur Erhöhung der inneren Energie verwendet Entropieänderung: S 2 − S1 = m ⋅ cvm Interpretation: ⎛T ⎞ ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ t1 ⎝ T1 ⎠ t2 ⎡J ⎤ ⎢⎣ K ⎥⎦ - Gilt für alle isochoren Zustandsänderungen beliebiger Stoffe bei gleichbleibender Phase. Der Nullpunkt im T,S-Diagramm beliebig annehmbar, da die Zustandsänderung nur durch die Temperaturen und Entropiedifferenzen dargestellt wird. Die Fläche unter dem Graphen der Entropieänderungen entspricht: Qi12 + Wdiss = U 2 − U1 04.10.13 Seite 9 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Zustandsänderungen Isobare (Druck ist konstant) p/[Pa] Qauf T/[K] T/[K] 2 1 Qab 1,2 2,1 1 2 V/[m3] s/[J/K] s/[J/K] Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur: V2 T2 = V1 T1 Volumenänderungsarbeit: 2 Wv12 = − ∫ p ⋅ dv = − p(v2 − v1 ) = m ⋅ p(v1 − v2 ) [J ] = m ⋅ Ri (T1 − T2 ) [J ] 1 Technische Arbeit 2 Wt12 = ∫ v ⋅ dp 1 = 0 p = const ⇒ dp = 0 Merke: für p2 >p1 wird die technische Arbeit positiv Zugeführte Wärmemenge: Q12 = h2 − h1 = m ⋅ c pm T 2 T 1 ⋅ (T2 − T1 ) [J ] Interpretation: - Die bei einer Isobaren zugeführte Wärmemenge wird zur Erhöhung der Enthalpie verwendet - Dabei dient der grössere Teil zur Erhöhung der inneren Energie, der kleinere Teil zur Leistung der Gasarbeit Achtung unterschiedliche Parameter !!! Entropieänderung: S 2 − S1 = m ⋅ c pm Interpretation: t ⎛T ⎞ ⎛T ⎞ ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ = m ⋅ κ ⋅ cvm 2 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ t1 ⎝ T1 ⎠ t1 ⎝ T1 ⎠ t2 ⎡J ⎤ ⎢⎣ K ⎥⎦ Die Fläche unter dem Graphen der Entropieänderungen entspricht: Qib12 + Wdiss = H 2 − H1 04.10.13 Seite 10 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Zustandsänderungen Isotherme (Temperatur ist konstant) p/[Pa] T/[K] T/[K] 1,2 Qauf 1 2,1 2 V/[m3] 2 s/[J/K] Qab 1 s/[J/K] Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur: p2 V1 = p1 V2 Volumenänderungsarbeit: 2 ⎛v ⎞ 1 Wv12 = − ∫ p ⋅ dv = − Ri ⋅ T ⋅ ∫ dv = m ⋅ Ri ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ v ⎝ v2 ⎠ 1 1 [J ] ⎛p ⎞ = m ⋅ Ri ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ [J ] 2 Technische Arbeit 2 Wt12 = ∫ v ⋅ dp 1 2 = const R⋅T v = f ( p )= = p p Ri ⋅ T ⋅ ∫ 1 = ⎛p ⎞ 1 dp = m ⋅ Ri ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ p ⎝ p1 ⎠ [J ] Merke: für p2 >p1 wird die technische Arbeit positiv Zugeführte Wärmemenge: 2 Q12 = − ∫ v dp = − wt12 = − wv12 [J ] 1 Interpretation: - Bei einer Isothermen wird die zugeführte Wärmemenge vollständig in Arbeit umgesetzt - Die Isotherme ist daher eine anzustrebende Zustandsänderung. Leider ist sie bei Gasen nicht vollständig realisierbar Entropieänderung: ⎛p ⎞ ⎛V ⎞ S 2 − S1 = m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠ ⎝ V1 ⎠ 04.10.13 ⎡J ⎤ ⎢⎣ K ⎥⎦ Seite 11 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Zustandsänderungen Isentrope/Adiabate (Entropie ist konstant / ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung) p/[Pa] T/[K] 1 1 Qab=0 Qauf=0 2 2 V/[m3] s/[m] Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur: p2 ⎛ V1 ⎞ =⎜ ⎟ p1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠ κ κ p2 ⎛ T2 ⎞ κ −1 =⎜ ⎟ p1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ 1 T1 ⎛ V2 ⎞ =⎜ ⎟ T2 ⎜⎝ V1 ⎟⎠ V2 ⎛ T1 ⎞ κ −1 =⎜ ⎟ V1 ⎜⎝ T2 ⎟⎠ κ −1 T1 ⎛ p1 ⎞ =⎜ ⎟ T2 ⎜⎝ p2 ⎟⎠ κ −1 κ T2 ⎛ V1 ⎞ =⎜ ⎟ T1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠ κ −1 Volumenänderungsarbeit: 2 Wv12 = − ∫ p ⋅ dv = u2 − u1 = m ⋅ cvm (T2 − T1 ) [J ] 1 κ −1 ⎡ ⎤ κ ⎛ ⎞ p ⎢ 2 = m ⋅ cvm ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ [J ] κ −1 ⎡ ⎤ ⎡⎛ v ⎞κ −1 ⎤ κ ⎛ ⎞ 1 p 1 ⎢ ⎥ 2 = m⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥[J ] ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ κ −1 κ −1 ⎢⎣⎝ v2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Technische Arbeit 2 Wt12 = ∫ v ⋅ dp = h2 − h1 = m ⋅ c pm (T2 − T1 ) [J ] 1 κ −1 ⎡ ⎤ κ ⎛ ⎞ p ⎢ 2 = m ⋅ c pm ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ [J ] κ −1 ⎡ ⎤ ⎡⎛ v ⎞κ −1 ⎤ κ ⎛ ⎞ p κ ⎢ ⎥ 2 = m⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥[J ] ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ κ −1 κ −1 ⎢⎣⎝ v2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎦⎥ κ = κ ⋅ wv12 Zugeführte Wärmemenge: 2 Q12 = − ∫ v dp = 0 1 Interpretation: - Die Volumenänderungsarbeit wird auf Kosten der inneren Energie geleistet - Die technische Arbeit wird auf Kosten der Enthalpie geleistet Merke:In adiabaten Systemen nimmt die Entropie bei irreversiblen Prozessen zu, bei reversiblen bleibt sie konstant. Sie kann nicht abnehmen. Entropieänderung: S2 − S1 = 0 da ds = 0 Qit12 + Wdiss = 0 04.10.13 Seite 12 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Polytrope Isochore → pV ∞ = const. → n=∞ Isobare → pV = const → n=0 Isotherme → 1 pV = const → n =1 κ → n =κ 0 → Isentrope Formelsammlung: M.Wipf Zustandsänderungen pV = const Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur: p2 ⎛ V1 ⎞ =⎜ ⎟ p1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠ n n p2 ⎛ T2 ⎞ n −1 =⎜ ⎟ p1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ 1 V2 ⎛ T1 ⎞ n −1 =⎜ ⎟ V1 ⎜⎝ T2 ⎟⎠ κ : siehe S .61 ISBN 3 − 446 − 22079 − 8 Volumenänderungsarbeit: n −1 ⎡ ⎤ ⎡⎛ V ⎞ n −1 ⎤ n ⎛ ⎞ 1 p 1 ⎢ ⎥ 2 = − ∫ p ⋅ dv = m ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ ⎢ ⎥ n −1 κ −1 ⎢⎣⎝ V2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ p1 ⎠ 1 ⎣⎢ ⎦⎥ 2 Wv12 = m⋅ [J ] 1 Ri ⋅ (T2 − T1 ) [J ] n −1 Technische Arbeit: n −1 ⎡ ⎤ ⎡⎛ V ⎞ n −1 ⎤ n ⎛ ⎞ n p n ⎢ ⎥ 2 = ∫ v ⋅ dp = m ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ n − 1 n − 1 ⎢⎣⎝ V2 ⎠ ⎥⎦ 1 ⎢⎣ ⎥⎦ 2 Wt12 = m⋅ [J ] n Ri ⋅ (T2 − T1 ) [J ] n −1 Zugeführte Wärmemenge: Q12 = m ⋅ Cvm T2 n − κ (T2 − T1 ) ⋅ T1 n − 1 [J ] Polytropenexponent: n= ⎛ ln⎜⎜ ⎝ ⎛p ⎞ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠ ⎛T ⎞ p1 ⎞ ⎟⎟ − ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ p2 ⎠ ⎝ T2 ⎠ Entropieänderung: S 2 − S1 = m ⋅ c pm ⎛T ⎞ ⎛p ⎞ ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ − m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ t1 ⎝ T1 ⎠ ⎝ p1 ⎠ t2 ⎡J ⎤ ⎢⎣ K ⎥⎦ S 2 − S1 = m ⋅ cvm t 2 n − κ ⎛ T2 ⎞ t κ − n ⎛ T1 ⎞ ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ = m ⋅ cvm 2 ⋅ ln⎜ ⎟ t1 n − 1 ⎝ T1 ⎠ t1 n − 1 ⎜⎝ T2 ⎟⎠ S 2 − S1 = m ⋅ cvm t 2 ⎛ T2 ⎞ ⎛V ⎞ ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ t1 ⎝ T1 ⎠ ⎝ V1 ⎠ 04.10.13 ⎡J ⎤ ⎢⎣ K ⎥⎦ ⎡J ⎤ ⎢K ⎥ ⎣ ⎦ Seite 13 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Zustandgrössen Formelsammlung: M.Wipf Reversible und irreversible Prozesse Unterscheidung irreversibler Vorgänge Dissipationsprozesse: reibungsbehaftete Strömung, plastische Verformung, elektrische Vorgänge, Verbrennung Ausgleichsprozesse: Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsausgleich Merkmale irreversibler Prozesse 1. Sie verlaufen von selbst nur in einer Richtung 2. Bei ihnen wird Energie entwertet 3. Sie lassen sich nur dann wieder rückgängig machen, wenn von aussen in das System eingegriffen wird, wodurch Veränderungen in der Umgebung zurückbleiben Definition der Reversibilität Ein Prozess ist reversibel oder umkehrbar, wenn der Anfangszustand des Systems wieder erreicht werden kann, ohne dass Änderungen in der Umgebung zurückbleiben Definition der Irreversibilität Ein Prozess ist irreversibel oder nichtumkehrbar, wenn nach Erreichen des Anfangszustandes des Systems Änderungen in der Umgebung eingetreten sind. Definition der Entropie (Definition 1) Sie ist eine kalorische Zustandsgrösse und ermöglicht neben der Zahlenmässigen Bewertung der Irreversibilität zusätzlich die anschauliche Darstellung der bei einem Prozess auftretenden Wärme und Dissipationsenergie. Die Entropie eines Systems ändert sich, wenn Wärme über die Systemgrenze transportiert wird (dQ) oder wenn Energie im Inneren des Systems dissipiert (dwdiss). Definition der Entropie (Definition 2) Nach Ludwig Blotzmann ist di eEntropie das "Mass der Zustandswahrscheinlichkeit" oder auch schlicht der "Unordnung" Die Entropie ist eine Zustandsfunktion, die sich vom zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ableiten lässt. Für einen Vorgang, der in einem abgeschlossenen Raum abläuft, ist die Entropie ein Mass für dessen Nichtumkehrbarkeit (Irreversibilität). Die Entropie ist bei einem umkehrbaren Prozess gleich null, wobei bei diesem Vorgang auch keine Reibungsverluste auftreten dürfen. Bei allen irreversibleh Prozessen nimmt di eEntropie hingegen zu. dS = dS q + dS i dS q = dS i = dQ T dWdiss T Entropietransport, durch Wärme bewirkt (Verzicht auf Indes i) Entropieerzeugung, durch Dissipation bewirkt Der Transport von Arbeit über die Systemgrenze ändert die Entropie des Systems nicht. Adiabate Systeme: Für adiabate Systeme ist Sq12=0 (Es wird keine Wärme über die Systemgrenze transportiert) dS q12 adiabat = 0 ⇒ 04.10.13 S 2 − S1 = Si12 > 0 Seite 14 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Drosselung Adiabate Drosselung 1 2 Es wird die Energiegleichung (1.30b) angesetzt, welche in einem offenen System den stationären Prozess beschreibt: * Q12 + Wi 12 = H 2 − H1 + ( Q12 : zugeführte Wärme ) m 2 2 c2 − c1 + m ⋅ g ⋅ (z2 − z1 ) 2 * Wi 12 : Als Arbeit zugeführte Energie Unter der Voraussetzung, dass keine Wärmeübertragung stattfindet (Q=0) und keine Arbeit verrichtet wird (Wi=0) und unveränderter potentieller Energie gilt: H2 + m 2 m 2 c2 = H1 + c1 2 2 Oder formuliert mit der Totalenthalpie: * H1 = H 2 H* = H + * m 2 c 2 Wenn durch Querschnittserweiterung die Geschwindigkeiten vor und nach der Drosselstelle gleich gross sind (c2=c1) dann folgt: * * H1 = H 2 = const . ⇒ dH = 0 (bei c2 = c1 ) Bei unveränderter Strömungsgeschwindigkeit ist die Zustandsänderung eine Isenthalpe. Dies aber nur unter der Voraussetzung der stationären Strömung, keiner Arbeitsabgabe an der Drosselstelle, adiabater Abschluss und keiner Änderung sowohl der kinetischen als auch der potentiellen Energie. h T1 1 T2 2 s 04.10.13 Seite 15 Fachbereich: Thermodynamik Thema: Formelsammlung: M.Wipf Drosselung Adiabate Drosselung des idealen Gases 1 2 Die Drosselung des idealen Gases verläuft bei konstanter Enthalpie, konstanter innerer Energie und konstanter Temperatur. (Die Änderung potentieller Energie und Geschwindigkeitsänderungen (Querschnittserweiterung) wurden jeweils ausgeschlossen) T p S 2 − S1 = m ⋅ Ri ⋅ ln 1 p2 Wdiss12 = Wt = T ⋅ (S 2 − S1 ) p1 1 p2 2 Wdiss12 p2 < p1 s Merke: Die Dissipationsenergie ist also gleich dem Betrag der Arbeit Wt12, die verrichtet werden könnte, wenn das Fluid in einer Maschine von 1 auf 2 reversibel expandieren würde. Bei der Drosselung wird diese Arbeit aber nicht abgegeben. Die Möglichkeit nutzbare Arbeit zu verrichten wird also versäumt. 04.10.13 Seite 16 Fachbereich: Thermodynamik Thermischer Wirkungsgrad Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Formelsammlung: M.Wipf T Qzu ( positiv ) Wk (negativ) Qab (negativ) S ηth = Merke: Der thermische Wirkungsgrad ist das Verhältniss der Nutzarbeit des idealisierten (reversiblen) Kreisprozesses zur zugeführten Wärme. Wk Qzu Arbeitsverhältnis rw = Merke: Das Arbeitsverhältnis ist das Verhältniss von Nutzarbeit zu bei Druckminderung abgegebener Arbeit Wk − Wt Merke: Ein gutes Arbeitsverhältnis liegt nahe 1 Merke: Der Einfluss von Dissipation beim irreversiblen Prozess wird um so grösser, je kleiner Wk im Verhältnis zu Wt- ist. Innerer Wirkungsgrad (Bewertung der Abweichung der wirklichen von idealisierten Prozessen) Wik Definition: Wik ist die innere Arbeit der irreversiblen Prozesse: Es ist die vom Arbeitsmittel bei einem wirklichen, irreversiblen Prozess in den Maschinen insgesamt verrichtete Arbeit. Wik = −Wik = Qi zu + Qi ab Interpretation: Errechenbar aus der Bilanz der Energie, die die Systemgrenze überschreitet. Ist der wirkliche Prozess ein Kreisprozess (geschlossenes Gesamtsystem) dann gilt die links aufgeführte Beziehung. Wik = −Wik = Qi zu + Qi ab + H ein − H aus Merke:Läuft der wirkliche Prozess in einem offenen System ab, dann muss auch die Enthalpie des ein- und austretenden Arbeitsmittels berücksichtigt werden. Bei vernachlässigter Änderung der kinetischen und potentiellen Energie gilt: ηi = Wik Wk Interpretation: Der innere Wirkungsgrad ist das Verhältniss der Arbeit des irreversiblen Prozesses zu der des idealisierten Kreisprozesses Qizu , Qi ab :in wirklichem Prozess insgesamt zu − bzw. abgeführte Wärme[ J ] H ein , H aus : Enthalpien des ein − und austretenden Arbeitsmittels[ J ] 04.10.13 Seite 17 Fachbereich: Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Mechanischer Wirkungsgrad ηm k = We k Wi k Wek = Wik + ∑Wv Interpretation: Die Arbeit, die an der Kupplung der Wärme- oder Verbrennungskraftanlage auf die angetriebene Maschine übertragen wird, wird Kupplungsarbeit Wek genannt. Somit ist der mech. Wirkungsgrad als Verhältniss zwischen Kupplungsarbeit und innerer Arbeit des Kreisprozesses definiert. Wv : Lagerverluste [ J ] Wek : Kupplungsarbeit (eff. Arbeit)[ J ] Wik : innere Arbeit des Kreisprozesses [ J ] Nutzwirkungsgrad (Gesamtwirkungsgrad) Wek : Kupplungsarbeit (eff. Arbeit)[ J ] ηe = We k Qi zu Interpretation: Der Nutzwirkungsgrad ist das Verhältniss der Kupplungsarbeit zur zugeführten Wärme. = ηth ⋅ηi ⋅η m k Qi zu : zugeführte Wärme[ J ] Carnot-Prozess ⎛ T ⎞ Wcar = −⎜⎜1 − 3 ⎟⎟ ⋅ Q12 ⎝ T1 ⎠ ⎛V ⎞ Q12 = m ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V1 ⎠ !!!Achtung Vorzeichen beachten!!! !!!Achtung negativ!!! ηcar = ηth.max = 04.10.13 Wcar Q12 = 1− T3 T1 V4 V1 = V3 V2 Seite 18 Fachbereich: Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Joule-Prozess als Vergleichsprozess der Gasturbinenanlage Wv : Lagerverluste [ J ] Wek : Kupplungsarbeit (eff. Arbeit)[ J ] Wik : innere Arbeit des Kreisprozesses [ J ] Zuordnung der Zustandsänderungen: 1 à 2 Isentrope Verdichtung des Fluides im Verdichter 2 à 3 Isobare Wärmezufuhr (auch innere Wärmezufuhr genannt) 3 à 4 Isentrope Ausdehnung in der Turbine 4 à 1 Isobare Wärmeabfuhr (z.B. Wärmeabfuhr über Kühlflächen) p2 = p3 p4 = p1 Die Arbeit kann als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet werden W j = −W j = Q23 + Q41 = m ⋅ c pm t3 t ⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ c pm 4 ⋅ (T1 − T4 ) t2 t1 Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität lässt sich folgende Beziehung herleiten: W j = −W j = m ⋅ c pm ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 ) !!!Achtung Vorzeichen beachten!!! !!!Achtung negativ!!! Der thermische Wirkungsgrad mit temperaturveränderlicher spezifischer Wärmekapazität Wk Wj Q ηth = = = 1 + 41 = 1 + Qzu Q23 Q23 m ⋅ c pm m ⋅ c pm t4 t1 t3 t2 ⋅ (T1 − T4 ) ⋅ (T3 − T2 ) Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität wird hieraus: ηth = 1 − (T4 − T1 ) (T3 − T2 ) Über die Isentropenbeziehung bei Isentropen Zustandsänderungen folgt hierfür: ⎛p ⎞ T ηth = 1 − 1 = 1 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ T2 ⎝ p2 ⎠ κ −1 κ Merke: Der thermische Wirkungsgrad hängt für ein bestimmtes Gas nur vom Temperaturverhältnis bzw. vom Druckverhältnis bei der isentropen Kompression oder Expansion ab. Die Wärmezufuhr beeinflusst den thermischen Wirkungsgrad nicht Das Arbeitsverhältnis ist definiert wie folgt: rw = 04.10.13 Wj Wt 34 = 1− T2 T3 Merke: Das Arbeitsverhältnis wächst mit grösser werdender Temperatur T3. T3 ist nach oben durch Werkstoffeigenschaften begrenzt Für T3 sind nach Stand der Technik (2002) Werte bis 1300°C also bis 1575K erreichbar. Seite 19 Fachbereich: Thermodynamik Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Formelsammlung: M.Wipf Diskussion: Gemäss den unten aufgeführten Formel ist der thermische Wirkungsrad und das Arbeitsverhältnis definiert: rw = 1 − T2 T3 ηth = 1 − T1 T2 Das Temperaturverhältnis T2 / T3 und somit das Arbeitsverhältnis nehmen einen maximalen Wert an, wenn die Temperatur T2 nur wenig über den Umgebungstemperatur sitzt und T3 bei dem Werkstoffspezifischen Maximalwert angesiedelt ist. Wird nun dieses Verhältniss als fix angenommen kann festgestellt werden, dass dadurch der thermische Wirkungsgrad einen minimalen Wert annimmt, da der einzige noch regelbare Parameter T1 sich auf dem Niveau der Umgebung befinden muss. Es wird nun ersichtlich, dass nicht gleichzeitig ein guter thermischer Wirkungsgrad und ein gutes Arbeitsverhältnis erzielt werden können. Der Wunsch nach einem guten thermischen Wirkungsgrad hat durch seinen direkten Einfluss auf das Arbeitsverhältnis zur Folge, dass der Joule-Prozess empfindlich gegen die inneren Verluste wird. Bestes erzielbares Arbeitsverhältnis wenn gilt: Bester erzielbarer thermischer Wirkungsgrad wenn gilt: T2 = T1 T2 = T3 Merke: Diese Extremfälle haben keine praktische Bedeutung, da keine Fläche des Kreisprozesses entsteht und somit die Arbeit des Kreisprozesses gleich Null ist Maximal möglicher thermischer Wirkungsgrad Da keiner der Extremfälle, infolge Null werdender Arbeit, von praktischer Bedeutung ist, wird ein Kompromiss gesucht um einen praktisch sinnvollen Kompromiss eingehen zu können. Es kann hergeleitet werden, dass der grösstmögliche thermische Wirkungsgrad erreicht wird wenn gilt: Merke: Die Werte für den thermischen Wirkungsgrad und das Arbeitsverhältnis T2 = T1 ⋅ T3 werden gleich gross. 04.10.13 Seite 20 Fachbereich: Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Berechnung des wirklichen Prozesses (S.167 ISBN 3-446-22079-8) Wik : innere Arbeit des wirklichen Gasturbinenprozesses[ J ] WiT : innere Arbeit der Turbine [J] WiV : innere Arbeit des Verdichters [ J ] WtT : technische Arbeit der Turbine [ J ] Wik = WiT + WiV WtV : technische Arbeit des Verdichters [ J ] Beim Joule-Prozess liegt mit den Zustandspunkten 1 und 3 und den Zustandsänderungen (2 Isentropen, 2 Isobaren) der Vergleichsprozess mit den Punkten 1 2‘ 3 4‘ fest (siehe Bild oben) Als Vergleichsarbeiten werden die bei den isentropen Zustandsänderungen verrichteten technischen Arbeitenzugrunde gelegt. Somit gilt: Für den isentropen oder inneren Verdichterwirkungsgrad η iV = WtV 12' WiV 12 Für den isentropen oder inneren Turbinenwirkungsgrad ηiT = WiT 34 WtT 34' Bei mehreren Verdichtern und Turbinen Diese Zusammenhänge eingesetzt in die obige Grundgleichung ergeben: Wik = WiT + WiV = ηiT ⋅ WtT 34' + WtV 12' ηiV = ∑ηiT ⋅WtT 34' + ∑ WtV 12' ηiV Für den Joule-Prozess können bei vernachlässigter Änderung der kinetischen und potentiellen Energie die Arbeiten aus der Enthalpiedifferenz des Fluids ermittelt werden: WiV 12 = H 2 − H1 = m ⋅ c pm t2 (T2 − T1 ) innere Verdichterarbeit t1 WtV 12' = H 2 ' − H1 = m ⋅ c pm t2 ' (T2' − T1 ) isentrope technische Vergleichsarbeit des Verdichters t1 WiT 34 = H 4 − H 3 = m ⋅ c pm t4 (T4 − T3 ) innere Turbinenarbeit t3 WtT 34' = H 4 ' − H 3 = m ⋅ c pm 04.10.13 t4' (T4' − T3 ) isentrope technische Vergleichsarbeit der Turbine t3 Seite 21 Fachbereich: Thermodynamik Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Formelsammlung: M.Wipf Ericsson-Prozess als Vergleichsprozess in der Gasturbinenanlage Zuordnung der Zustandsänderungen: 1 à 2 Isotherme Kompression 2 à 3 Isobare Wärmezufuhr 3 à 4 Isotherme Expansion 4 à 1 Isobare Wärmeabfuhr T1 = T2 p2 = p3 T3 = T4 p4 = p1 Die zwischen den Maschinen zu- bzw. abzuführende Wärme ist gleich gross und die Wärmeübertragung erfolgt bei den gleichen Temperaturen. Die Wärme wird über einen im Kreislauf eingebauten Wärmeübertrager übertragen. Es gilt demnach: Q41 = Q23 Von aussen zugeführt wird die Wärme Q34 bei der Isothermen Expansion in der Turbine Nach aussen abgeführt wird die Wärme Q12 bei der Isothermen Kompression im Verdichter Die Arbeit des Kreisprozesses wird als Summe der von aussen zu- und nach aussen abgeführten Wärme berechnet: ⎛p ⎞ ⎛p ⎞ p Wer = −Wer = Q34 + Q12 = m ⋅ Ri ⋅ T3 ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + m ⋅ Ri ⋅ T1 ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = m ⋅ Ri ⋅ (T3 − T1 )ln 2 p1 ⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠ !!!Achtung negativ!!! Der thermische Wirkungsgrad errechnet sich demnach: ηth = Wer Q34 ⎛p ⎞ m ⋅ Ri ⋅ (T3 − T1 )ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ = 1 − T1 = T3 ⎛p ⎞ m ⋅ Ri ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ Das Arbeitsverhältnis errechnet sich gemäss Definition wie folgt: rw = !!!Achtung Vorzeichen beachten!!! Wer Wer T = = ηth = 1 − 1 Wt 34 Q34 T3 Merke: Das Arbeitsverhältnis hat den gleichen Wert wie der thermische Wirkungsgrad und erhöht sich mit ihm. Das ist ein grosser Vorteil des Ericsson-Prozesses. Diskussion: Beim Ericsson-Prozess zeichnen gegenüber dem Joule-Prozess sowohl das Arbeitsverhältnis als auch der thermische Wirkungsgrad durch bessere Werte, bei gleichen Randbedingungen aus 04.10.13 Seite 22 Fachbereich: Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Otto-Prozess als Vergleichsprozess des Verbrennungsmotors (Gleichraumprozess) Zuordnung der Zustandsänderungen: 1 à 2 Isentrope Verdichtung 2 à 3 Isochore Wärmezufuhr 3 à 4 Isentrope Ausdehnung 4 à 1 Isochore Druckminderung V2 = V3 V4 = V1 Die Nutzarbeit des Otto-Prozesses wird als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet: Wo = −Wo = Q23 + Q41 = m ⋅ cvm !!!Achtung negativ!!! t3 t ⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ cvm 4 ⋅ (T1 − T4 ) !!!Achtung Vorzeichen beachten!!! t2 t1 Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität lässt sich der obige Ausdruck vereinfachen zu: Wo = −Wo = m ⋅ cvm ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 ) Einführung des Begriffes des Verdichtungsverhältnisses: V Volumen vor Kompression VHub + VKompressio n ε= 1= = V2 Volumen nach Kompression VKompressio n Bei den isentropen Zust.änderungen gilt: ε κ isentrop = Der thermische Wirkungsgrad ergibt sich gemäss Definition: Wo Q ηth = = 1 + 41 = 1 + Q23 Q23 m ⋅ cvm m ⋅ cvm t4 t1 t3 t2 p2 p3 T T = ε κ −1isentrop = 2 = 3 p1 p4 T1 T4 ⋅ (T1 − T4 ) ⋅ (T3 − T2 ) Mit der Annahme konstanter Spezifischer Wärmekapazität lässt sich auch dieser Ausdruck vereinfachen zu: ηth = 1 − T4 − T1 T 1 = 1 − 1 = 1 − κ −1 T3 − T2 über Isentroopenbeziehung T2 ε Das Arbeitsverhältnis errechnet sich gemäss unten aufgeführter Gleichung nach: rw W0 T1 − T2 + T3 − T4 1 = = Wt 34 + Wt 41 κ (T3 − T1 ) − (T4 − T1 ) κ − 1 + 1 + κ T3 ηth −1 T2 Achtung: Auch diese Formel ist nur unter der vereinfachenden Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität gültig Diskussion: Der thermische Wirkungsgrad hängt beim konstanten Isentropenexponenten (Kappa) nur vom Temperaturverhältniss bei der Isentropen Kompression oder Expansion ab. Dieses Verhältniss kann auch als Druck- bzw. Verdichtungsverhältniss (Epsilon) ausgedrückt werden. Je höher verdichtet wird, um so grösser wird der thermische Wirkungsgrad. Das grösstmögliche Verdichtungsverhältnis ist durch die Gefahr der Selbstentzündung des angesaugten brennbaren Gemisches, auch Klopfen genannt. Begrenzt. Das Arbeitsverhältnis wächst mit steigendem Temperaturverhältnis T3/ T2 und mit grösser werdendem thermischen Wirkungsgrad. 04.10.13 Seite 23 Fachbereich: Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Diesel-Prozess als Vergleichsprozess des Verbrennungsmotors (Gleichdruckprozess) Zuordnung der Zustandsänderungen: 1 à 2 Isentrope Verdichtung 2 à 3 Isobare Expansion 3 à 4 Isentrope Ausdehnung 4 à 1 Isochore Druckminderung p2 = p3 V4 = V1 Die Nutzarbeit des Diesel-Prozesses wird als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet: t t Wd = −Wd = Q23 + Q41 = m ⋅ κ ⋅ cvm 3 ⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ cvm 4 ⋅ (T1 − T4 ) !!!Achtung Vorzeichen beachten!!! t2 t1 cp !!!Achtung negativ!!! Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität cvm wird daraus: Wd = −Wd = m ⋅ cvm ⋅ (T1 − κ ⋅ T2 + κ ⋅ T3 − T4 ) Im folgenden werden zwei Kenngrössen definiert: Verdichtungsverhältnis: Einspritzverhältnis: V1 V2 V T ϕ= 3 = 3 V2 T2 ε= Bei den isentropen Zust.änderungen gilt: ε κ isentrop = p2 p1 ε κ −1isentrop = T2 T1 Der thermische Wirkungsgrad ist errechenbar nach: ηth = Wd Q23 Q = 1 + 41 = 1 + Q23 t4 ⋅ (T1 − T4 ) t1 t m ⋅ κ ⋅ cvm 3 ⋅ (T3 − T2 ) t2 m ⋅ cvm Durch die vereinfachende Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität cvm folgt daraus: ηth = 1 − T4 − T1 κ (T3 − T2 ) Durch die zuvor eingeführten Kenngrössen lässt sich der thermische Wirkungsgrad auch berechnen wie folgt: ϕ κ ⋅ T1 − T1 T1 ϕ κ − 1 1 ϕ κ −1 ηth = 1 − = 1− = 1 − κ −1 κ (ϕ ⋅ T2 − T2 ) T2 κ ⋅ (ϕ − 1) ε κ ⋅ (ϕ − 1) Das Arbeitsverhältnis folgt hieraus gemäss Definition mit folgender Beziehung: rw = 04.10.13 ηth ⋅ (ϕ − 1) ϕ κ + κ −1 ϕ− κ ⋅ ε κ −1 Seite 24 Fachbereich: Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Seiliger-Prozess als Vergleichsprozess des Verbrennungsmotors (Gemischter Vergleichprozess) Zuordnung der Zustandsänderungen: 1 à 2 Isentrope Verdichtung 2 à 3 Isochore Druckerhöhung V2 = V3 3 à 4 Isobare Expansion p3 = p4 4 à 5 Isentrope Expansion 5 à1 Isochore Druckminderung V5 = V1 !!!Achtung Vorzeichen beachten!!! t4 t3 t5 Ws = −Ws = Q23 + Q34 + Q51 = m ⋅ cvm ⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ κ ⋅cvm ⋅ (T4 − T3 ) + m ⋅ cvm ⋅ (T1 − T5 ) t3 t2 t1 Die Nutzarbeit des Seiliger-Prozesses wird als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet: !!!Achtung negativ!!! Mit der auch hier vereinfachenden Annahme für eine konstante spezifische Wärmekapazität folgt für den obigen Ausdruck: Ws = −Ws = Q23 + Q34 + Q51 = m ⋅ cvm [T1 − T2 − (κ − 1)⋅ T3 + κ ⋅ T4 − T5 ] Es werden auch hier wieder folgende Kenngrössen definiert und über die Zustandsänderungen auf andere Zustandspunkte κ −1 umgerechnet: V1 V2 V T ϕ= 4 = 4 V3 T3 ε= Verdichtungsverhältnis: Einspritzverhältnis: Druckverhältnis für isochore Wärmezufuhr: ψ= ⎛ V1 ⎞ ⎟⎟ ⎝ V2 ⎠ ε κ −1 = ⎜⎜ = T2 T1 p3 T3 = p2 T2 Der thermische Wirkungsgrad errechnet sich wie folgt: ηth = Ws Q23 + Q34 = 1+ Q51 Q23 + Q34 Mit der vereinfachenden Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität folgt daraus: T5 T1 T5 T1 − −1 T5 − T1 1 T2 T1 T2 T1 ηth = 1 − = 1− = 1 − κ −1 T3 − T2 + κ (T4 − T3 ) ε ψ − 1 + κ (ψ ⋅ ϕ −ψ ) ⎛ T4 T3 T3 ⎞ T3 − 1 + κ ⎜⎜ − ⎟⎟ T2 ⎝ T3 T2 T2 ⎠ 1 ψ ⋅ϕ κ −1 =1 − κ −1 ε ψ − 1 + κ ⋅ψ (ϕ − 1) 04.10.13 Seite 25 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Der verlustlose Kolbenverdichter ohne Schadraum Einstufiger Kolbenverdichter Wt12 = H 2 − H1 − Q12 Mehrstufige Kolbenverdichter (S. 185) p/[Pa] 4 pz Isentrope Wkv −isen = Wt 12 + Wt 34 2 3 Konzept: 1. Bestimmung des Druckverhältnisses zwischen den einzelnen Stufen Dies ist auf die Herleitung zurückzuführen und bewirkt den kleinsten Arbeitsaufwand zwischen den einzelnen Stufen p2 p =n z p1 p1 2. px 1 isotherme V/[m3] n : Anzahl Stufen p z : zu erreichender Enddruck nach allen Stufen (In Skizze P4 ) Da zu Beginn jeder Stufe immer wieder die Anfangstemperatur erreicht wird, und bei jeder Stufe das gleiche Druckverhältnis zugrunde liegt, wird jeweils nach jeder Verdichtung die gleiche Temperatur erreicht. Somit gilt: t2 = t4 = t6 = ... 3. Für die aufzubringende Verdichterarbeit wird die technische Arbeit der Isentropen zu Grunde gelegt. Es ist für jede Stufe ein weiterer Summand anzufügen: Wkv −isen = Wt 12 + Wt 34 + ... 4. Der ausgeschriebene Formelausdruck erreicht somit folgende Form: Wkv −isen κ −1 κ −1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ κ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ px κ κ p4 κ ⎢ ⎢ ⎥ = ⋅ m ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 + ⋅ m ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ + ... ⎢⎝ p x ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ κ −1 p κ −1 ⎢⎣⎝ 1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Immer gleiche Temperatur, weil (gemäss Skizze ersichtlich) immer auf die gleiche Temperatur zurückgekühlt wird (Rückkühlung auf den Graphen der Isothermen) 5. Die Temperatur am Ende der Stufe: T2 ⎛ p2 ⎞ =⎜ ⎟ T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠ 04.10.13 κ −1 κ ⎛p ⎞ ⇒ T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ κ −1 κ Seite 26 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Zustandsgleichungen des Wasserdampfes p ⎡N⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ 1 3 5 4 2 Formelsammlung: M.Wipf Das wirkliche Verhalten der Stoffe (1) v : ungesättigte Flüssigkeit (2) v': gesättigte, siedende Flüssigkeit (3) vd : Nassdampf (gesättigte Fl. und Sattdampf ) (4) v' ':Sattdampf, gesättigter Dampf (5) v : Dampf, überhitzter Dampf, Heissdampf m d : Masse des Nassdampfgemisches[kg] v Merke: Im Nassdampfgebiet ist die Isobare zugleich Isotherme xd = m Fl. : Masse des Flüssigen Anteils im Gemisch [kg] ⎡ m3 ⎤ ⎢ kg ⎥ ⎣ ⎦ m' ' m'+ m' ' x d : Dampfgehalt (Anteil von Sattdampf in Zustand 3) [%] (1 − xd ) : Dampfnässe [%] Merke: Die Beziehungen können auch mit der Dichte formuliert werden, mit dem Bekannten Zusammenhang zwischen spezifischem Volumen und der Dichte vd = (1 − x )⋅ v' + x ⋅ v' ' Anteil Sattdampf Anteil Flüssigkeit vd = v'+ x ⋅ (v' '−v') v= 1 ρ Merke: Als Bezugspunkt mit dem Betrag Null für die Zustandsgrössen h‘, u‘, s‘ und h‘‘, u‘‘ ,s‘‘ wurde der Punkt mit folgenden Eigenschaften vereinbart: ttr = 0,01°C md = ρ ⋅V = 1 ⋅V vd mFl = (1 − x )⋅ md hd = hx = h'+ x ⋅ r = h' (1 − x ) + x ⋅ h' ' ptr = 0,0061bar ; ⇒ u 'tr = 0 und s'tr = 0 Über die Festlegung des Bezugspunktes ist folgender Zusammenhang gegeben: h'tr = u'tr + ptr ⋅ v'tr = 0 + 0,0061⋅105 N m3 kJ kJ ⋅ 0 , 001 = 0,00061 2 3 m kg 10 Nm kg Merke: Bei adiabater Drosselung ist bei gleichbleibender Geschwindigkeit in einem horizontalen System: H 2 = H1 04.10.13 Seite 27 Fachbereich: Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Clausius-Rankine-Prozess als Vergleichsprozess der Dampfkraftanlage Merke: oftmals über h-s-Diagramm weitere Informationen ermittelbarà vertikale Gerade, da konstante Entropie Zuordnung der Zustandsänderungen: 1 à 2 Isentrope Entspannung des Dampfes in der Turbine 2 à 3 Isobare Wärmeabfuhr zur Kondensation des Dampfes im Kondensator 3 à 4 Isentrope Druckerhöhung in der Pumpe 4 à 5 à 1 Isobare Wärmezufuhr im Dampferzeuger zur Erwärmung und Verdampfung des Wassers und zur Überhitzung des Dampfes p2 = p3 p4 = p1 Die Nutzarbeit des Kreisprozesses kann mittels der Summe der zu- und abgeführten Wärme oder als Summe der Arbeiten der Turbine und der Pumpe berechnet werden: Wc / r = −Wc / r = Q41 + Q23 oder Wc / r = Wt12 + Wt 34 Merke: Es ist günstig mit Enthalpieen zu rechnen, da diese einfach tabelliert sind. Die Enthalpie erfasst auch die zur Verdampfung erforderliche und bei der !!!Vorzeichen!!! Wc / r = −Wc / r = H1 − H 2 + H 3 − H 4 Kondensation freiwerdende Energie Der thermische Wirkungsgrad errechnet sich wie folgt: ηth = Wc / r Qzu = Wt12 + Wt 34 Q41 = H1 − H 2 + H 3 − H 4 H − H3 = 1− 2 H1 − H 4 H1 − H 4 Hinweis: Bei der Lösung von Aufgaben ist Das Arbeitsverhältnis: rw = Wc / r Wt12 + Wt 34 W W H − H3 = = 1 + t 34 = 1 − t 34 = 1 − 4 Wt12 Wt12 Wt12 Wt12 H1 − H 2 darauf zu achten, dass der sich Punkt 3 exakt auf der Kondensationslinie befindet. Die entsprechende Enthalpie ist über die Temperatur von Punkt 2 (da isobare auch zugleich istotherme zw. 2 und 3) und mittels der Tabelle Sättigungszustand eruierbar. Ergänzung: Es soll ein weiterer Zusammenhang zur Ermittlung der Enthalpie an der Stelle vier aufgezeigt werden 1. Der Ansatz zur Bestimmung dieser Enthalpie wird über die von der Pumpe verrichtet technische Arbeit erzielt: wt = v dp = ΔH 2. Da wir uns während der Zustandsänderung von 3 nach 4 unterhalb der Siedelinie befinden ist das komplette Fluid in Form von Wasser (ohne Dampfanteil) anzutreffen. Somit kann infolge der Inkompressibilität des Wassers in guter Näherung von konstantem Volumen v3‘ ausgegangen werden. H 4 − H 3 = v3 ' ( p4 − p3 ) 3. H 4 = H 3 + v3 ' ( p4 − p3 ) Merke: v4‘= v3‘ aus Tabelle zu entnehmen Besondere Achtung ist den Einheiten zu schenken, da H3 meist in kJ angegeben wird und der resultierende Anteil über die Drücke als J errechnet wird und somit noch mit 103 dividiert werden muss. ⎡ m 3 ⎤ ⎛ ⎡ N ⎤ ⎡ N ⎤ ⎞ −3 ⎡ kJ ⎤ ⎡ kJ ⎤ ⎢ kg ⎥ = ⎢ kg ⎥ + ⎢ kg ⎥⎜⎜ ⎢ m 2 ⎥ − ⎢ m 2 ⎥ ⎟⎟ ⋅10 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ 04.10.13 Seite 28 Fachbereich: 04.10.13 Thermodynamik Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen Formelsammlung: M.Wipf Seite 29 Thermodynamik Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen Formelsammlung: M.Wipf NASSDAMPF SATTDAMPF Fachbereich: 04.10.13 Seite 30 Fachbereich: Thermodynamik Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen p p=f(t) ⎡N⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ Formelsammlung: M.Wipf 1 v 04.10.13 ⎡ m3 ⎤ ⎢ kg ⎥ ⎣ ⎦ Seite 31 Fachbereich: Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen Thermodynamik p ⎡N⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ 1 v 04.10.13 Formelsammlung: M.Wipf ⎡ m3 ⎤ ⎢ kg ⎥ ⎣ ⎦ Seite 32 Fachbereich: Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen Thermodynamik p ⎡N⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ 1 v 04.10.13 Formelsammlung: M.Wipf ⎡ m3 ⎤ ⎢ kg ⎥ ⎣ ⎦ Seite 33 Fachbereich: Thermodynamik Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen Formelsammlung: M.Wipf p=f(t) 04.10.13 Seite 34 Fachbereich: 04.10.13 Thermodynamik Thema: Allgemeine Stoffeigenschaften einiger Gase Formelsammlung: M.Wipf Seite 35 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Temperaturstrahlung Ausstrahlung M= 2 ⎡ MW ⎤ ⎡ kW / m ⎤ M : spezifische Ausstrahlung ⎢ 3 ⎥; ⎢ ⎥ ⎣ m ⎦ ⎣ µm ⎦ dΦ dA Mλ = Formelsammlung: M.Wipf ⎡W ⎤ M λ : spektrale spezifische Ausstrahlung ⎢ 2 ⎥ ⎣m ⎦ Φ :Strahlungsleistung [W ] dM dλ A :Strahlungsfläche [m 2 ] λ : Wellenlänge [ µm] w : Wiensche Verschiebungskonstante = 2897,756[µm ⋅ K ] Wiensches Verschiebungsgesetz λ : Wellenlänge [ µm] λmax s = w T T : Temperatur[ K ] Merke: Zur Ermittlung der Temperatur eines schwarzen Körpers, bei bekannter Wellenlänge 2 ⎡ MW ⎤ ⎡ kW / m ⎤ M : spezifische Ausstrahlung ⎢ 3 ⎥; ⎢ ⎥ ⎣ m ⎦ ⎣ µm ⎦ Ausstrahlung grauer Körper ⎡W ⎤ M λ : spektrale spezifische Ausstrahlung ⎢ 2 ⎥ ⎣m ⎦ T : Temperatur des strahlenden Körpers [ K ] ε : Emissionskoeffzizient [−] M = ε ⋅σ ⋅ T 4 ⎡ W ⎤ 2 4 ⎣ m ⋅ K ⎥⎦ σ :Stefan − Boltzmann − Konstante = 5,67051 ⋅10 −8 ⎢ Merke: Die spezifische Ausstrahlung grauer Körper ist entsprechend ihres von der Wellenlänge unabhängigen Emissionskoeffizienten geringer, als die des schwarzen Körpers a : absorbtionsanteil Bestrahlung r : Reflexionsanteil d : Durchlässigkeitsanteil a + r + d =1 a =ε Schwarzer Körper a=1 Weisser Körper r=1 Feste und flüssige Körper d=0 Wärmeübertragung durch Strahlung (zwischen zwei Körpern) ( 4 4 Q = C12 ⋅ A ⋅ T1 − T2 C12,ebeneWandkombination = C12, Zylinderrohr = ) 1 + ⎡ W ⎤ C :Strahlungsaustauschkonstante ⎢ 2 4 ⎥ ⎣m ⋅ K ⎦ 2 A1 : Innenrohroberfläche[m ] σ 1 + 1 ε1 ε 2 σ ε1 04.10.13 Q : Gesamtenergiestrom[W ] A1 A2 −1 A2 : Mantelrohroberfläche[m 2 ] ⎛1 ⎞ ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ ε2 ⎠ Seite 36 Fachbereich: Thermodynamik Thema: Temperaturstrahlung Formelsammlung: M.Wipf Wärmeübertragung durch Strahlung und Konvektion Q = Q Strahlung + QÜbergang = (α + α S )⋅ A ⋅ (T1 − T2 ) 4 T − T2 α s = C12 1 T1 − T2 04.10.13 4 ⎡ W ⎤ 2 ⎥ ⎣m ⋅ K ⎦ α S :Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung ⎢ C12 :Stahlungsaustauschkonstante Seite 37 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Wärmetauscher Formelsammlung: M.Wipf Ermittlung der Wärmeübergangszahl alpha (erzwungene Strömung) Aufgabenstellung: Ein Rohr mit 32 mm äusserem Rohrdurchmesser, äussere Wandtemperatur 100°C wird von Wasserdampf unter 0,981 ba, 200°C (Mittelwert zwischen Zu- und Abströmtemperatur) mit 8 m/s quer angeströmt. Der Wärmeübergangskoeffizient ist zu berechnen. Konzept: 1. Als erstes ist ab Seite 336 und Folgeseiten die für den vorliegenden Fall zugrundeliegende Berechnungsformel zu eruieren. Hierfür muss unterschieden werden, ob freie Strömung (S.338) vorliegt oder erzwungene Strömung (S.336) . 2. In der gestellten Aufgabe ist entweder die Formel 8.21 (laminarer Fall) anzuwenden oder die Formel 8.22 (turbulenter Fall) zugrunde zu legen. Welcher Fall zum Zuge kommt, wird über die Reynoldszahl eruiert: 3. Gemäss Beschreibung im Buch (Bezugsgrössen rechte Spalte) gilt für diesen Fall folgende Beziehung: l = π ⋅r 4. = Überströmlänge beim Zylinder(char.Länge) Unter Berücksichtigung der obigen Beziehung und Miteinbezug der aus Tabellen zu ermittelnden Werten für die kinematische Viskosität und der gegebenen Geschwindigkeit berechnet sich die Reynoldszahl: w ⋅ l w ⋅ (π ⋅ r ) Re = = v v 5. ( ) 8m ⋅ π ⋅16 ⋅10 −3 m s = = 11424 s ⋅ 35,2 ⋅10 −6 m 2 Tabelle 8.3b/S.477 Nun muss aufgrund der im Buch auf S.337 in der linken Spalte angegebenen Gültigkeitsbereiche (für Reynoldszahl) ausfindig gemacht werden, ob turbulentes oder laminares Verhalten vorliegt. Zylinder Re < 10; Pr = 0,6...1000 6. Es muss nun für die Berechnung folgende Gleichung zugrunde gelegt werden: Nu m = 7. 0,037 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr K ⎛ 23 ⎞ − 0 ,1 1 + 2,443⋅ Re ⋅ ⎜⎜ Pr − 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ T fluid wobei bei Gasen und Dämfen gilt : K = ⎜⎜ ⎝ Twand !!! ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0,12 0,12 0,12 0,12 ⎞ ⎛ 200 + 273,15 ⎞ ⎛ 473,15 ⎞ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 1,267990,12 = 1,0289 ⎝ 100 + 273,15 ⎠ ⎝ 373,15 ⎠ ⎠ 0,037 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr 0,037 ⋅114240,8 ⋅ 0,959 Num = K = 1,0289 = 66,111 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 + 2,443⋅ Re −0,1 ⋅ ⎜⎜ Pr 3 − 1⎟⎟ 1 + 2,443⋅11424−0,1 ⋅ ⎜⎜ 0,959 3 − 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Eingesetzt in die unten aufgeführte Beziehung zur Ermittlung des Wärmeübergangskoeffizienten ergibt dies: αM = αM = 04.10.13 Tabelle 8.3b/S.477 Mit den entsprechenden Werten eingesetzt ergibt sich folgendes: ⎛ T fluid K = ⎜⎜ ⎝ Twand 8. da Re > 10 ⇒ turbulente s Verhalten ⇒ Gl Nr.8.22 λ ⋅ Nu m l λ ⋅ Num l = λ ⋅ Nu m π ⋅r = λ ⋅ Num 33,1⋅10 −3 ⋅ 66,111 W = = 43,5344 2 −3 π ⋅r π ⋅16 ⋅10 mK Achtung Wert für Fluid aus TB 8.3b/S.477 verwenden Seite 38 Fachbereich: Thema: Thermodynamik Formelsammlung: M.Wipf Wärmetauscher Ermittlung der Wärmeübergangszahl alpha (freie Strömung) Aufgabenstellung: Durch einen 0,4m hohen Plattenheizkörper mit 59°C mittlerer Wandtemperatur strömut Wasser von 0,981 bar bei freier Strömung, mittlere Wassertemperatur zwischen Ein- und Austritt 61°C. Der Wärmeübergangskoeffizient ist zu ermitteln. Konzept: 1. Als erstes ist ab Seite 336 und Folgeseiten die für den vorliegenden Fall zugrundeliegende Berechnungsformel zu eruieren. Hierfür muss unterschieden werden, ob freie Strömung (S.338) vorliegt oder erzwungene Strömung (S.336) . 2. Aufgrund der Aufgabenstellung wird ersichtlich, dass für folgenden Fall nur die Formel 8.24a in Frage kommen kann. Wobei folgende Beziehung gelten soll: l=h 3. Für die weitere Berechung muss die Rayleigh-Zahl bekannt sein, sie errechnet sich gemäss Darstellung unten. Die meisten erforderlichen Werte sind der Tabelle 8.2 / S.477 zu entnehmen: Ra = 4. g ⋅ γ ⋅ (t fluid − t wand )⋅ l g ⋅ γ ⋅ Δt ⋅ l = v⋅a v⋅a 3 3 = 1 3 ⋅ (61 − 59 )K ⋅ (0,4m ) K = 8,9217 ⋅10 9 2 2 m m 0,478 ⋅10 −6 ⋅ 0,159 ⋅10 −6 s s 9,81 ⋅ 0,00054 Die Prantel-Zahl kann ebenfalls aus der Tabelle 8.2 / S.477 entnommen werden: Pr = 3,01 5. Nun ist der Wert f1 gemäss der Beziehung aus dem Buch (S.338 3. Spalte) zu ermitteln: f1 = 6. 1 ⎡ ⎢1 + ⎛⎜ 0,492 ⎞⎟ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎣ 9 16 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 16 9 1 = ⎡ ⎢1 + ⎛⎜ 0,492 ⎞⎟ ⎢ ⎝ 3,01 ⎠ ⎣ = 0,578117 2 2 1 ⎡ ⎤ = ⎢0,825 + 0,387 8,92 ⋅109 ⋅ 0,578 6 ⎥ = 285,991 ⎣ ⎦ ( ) Hieraus kann nun unter Miteinbezug des Wärmeleitungskoeffizienten des Fluides (Wasser) die Wärmeübergangszahl alpha bestimmt werden: αM = αM = 04.10.13 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 16 9 Der eben erhaltene Wert fliesst direkt in die Berechnung der Nusselt-Zahl ein: 1 Num = ⎡⎢0,825 + 0,387(Ra ⋅ f1 )6 ⎤⎥ ⎣ ⎦ 7. 9 16 λ ⋅ Nu m l λ ⋅ Nu m l = = λ ⋅ Nu m h λ ⋅ Nu m h = 0,651 W ⋅ 285,991 W K ⋅m = 465,45 2 0,4m m K Seite 39
