Thermodynamik - Lernen Interaktiv

WIPF‘SCHE
FORMELSAMMLUNG
Verfasser:
Wipf Mario
Fachbereich:
Maschinen-Ingenieurwesen
Klasse:
Thermodynamik
Umfang:
Hauptstudium
Fassung vom:
04.10.13
Thermodynamik
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Einführung in die Thermodynamik
Hook‘sches Gesetz bezogen auf Volumina
N
EStahl = 210'000
mm 2
N
EH 2O = 2'000
mm 2
N
EÖl = 1'000
mm 2
ΔV
Δp
=−
V
E
⎡ N ⎤
E : Elastizitätsmodul ⎢
2
⎣ mm ⎥⎦
V : Urspungsvolumen m3
[ ]
ΔV : Volumendifferenz[m3 ]
⎡ N ⎤
Δp : Druckdifferenz ⎢
2⎥
⎣ mm ⎦
Arbeit und innere Energie
Begriffsdefinitionen:
Offenes System:
Ein System über dessen Systemgrenzen Materie tritt, heisst offenes System. Es wird von
Stoff durchströmt (Kolben mit offenen Ventilen)
Geschlossenes System:
Ein System, über dessen Grenze keine Materie tritt, heisst geschlossenes System
Adiabat:
Wärmedicht bzw. ohne Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung
Nichtadiabat / diatherm:
Wärmedurchlässig bzw. mit Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung
Abgeschlossenes System:
Ein System, bei dem jede Wechselwirkung mit seiner Umgebung ausgeschlossen ist,
bei dem also weder Stoff noch Energie die Systemgrenze überschreiten kann, heisst
isoliertes oder abgeschlossenes System.
Dissipativer Effekt (Dissipation):
Vorgänge wie Reibung, Formänderungsarbeit, elektrische Vorgänge u.a., werden als
dissipative Vorgänge bezeichnet.
Ausgleichsvorgänge:
Zwischenzustände näherungsweise als Gleichgewichtszustände und die Zustandsänderung
als quasistatisch betrachtet werden.
Vorzeichenkonvention:
Minus:
Vom System abgeführte Energie
Plus:
Dem System zugeführte Energie
Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System)
Merke: Man stelle sich als
Betrachter vor ,im System zu sein
Wv12
p
2
Wv12 = − ∫ p dV
F
1
p
2
1
p
V
dV
Achtung: Vorzeichen vor dem Integral unbedingt berücksichtigen
Merke: Da für die Durchführung der Integration die Zustandsänderung p(v) bekannt sein muss, ist die
Volumenänderungsarbeit demnach von der Zustandsänderung abhängig und somit eine Prozessgrösse.
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3
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Arbeit und innere Energie
Spezifische Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System)
Wv12 : Volumenänderungsarbeit[J ]
wv12 =
Wv12
m
2
⎡J ⎤
wv12 : spezifische Volumenänderungsarbeit ⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
m : Masse [kg ]
= − ∫ p dv
1
Achtung: Vorzeichen!!!
Verschiebearbeit (geschlossenes System) (Volumenänderungsarbeit bei konstantem Druck)
Merke: Die Volumenänderungsarbeit wird zwischen dem System und dem Kolben übertragen. Wird durch die Volumenänderung auch das
Volumen einer unter konstantem Druck befindlichen Umgebung (z.B. auf der Erde) geändert, so ist die Verschiebearbeit Wu12 zu
berücksichtigen
p
Wu12 = − pb (V2 − V1 )
Wu12 : Verschiebearbeit[J ]
V1àV2
Qauf
Achtung: Vorzeichen!!!
V1
⎡N⎤
pb : Umgebungsdruck ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
V1 : Anfangsvolumen [m 3 ]
V1àV2
Wab
V2 : Endvolumen [m3 ]
V
< V2
Nutzarbeit an der Kolbenstange (geschlossenes System)
Merke: Die Volumenänderungsarbeit Wv teilt sich auf in die Verschiebearbeit Wu und die an der Kolbenstange übertragenen Nutzarbeit Wn
Wv12 : Volumenänderugnsarbeit [ J ]
p
Wn12 = Wv12 − Wu12
Wu12 : Verschiebearbeit[J ]
1
Wn12 : Nutzarbeit an der Kolbenstange [ J ]
Wn12
pb
2
Wu12
V
2
2
1
1
Wn12 = Wv12 − Wu12 = − ∫ p dV − (− p(V2 − V1 )) = − ∫ ( p(V ) − pb ) dV
Dissipationsenergie (geschlossenes System, adiabat)
Definition: Durch Reibung und andere Vorgänge wird Energie entwertet, wir bezeichnen sie als Dissipationsenergie oder Dissipationsarbeit
Wdiss12
Wg12 = Wv12 + Wdiss12
Geschlossenes System
Merke: Die gesamte am geschlossenen System verrichtete Arbeit kann
somit aus Volumenänderungsarbeit und Dissipationsenergie bestehen
2
Wg12 = − ∫ p dV + Wdiss12
Geschlossenes System
1
Merke: Dissipationsenergie ist immer positiv in die Energiebilanz
Miteinzukalkulieren
Folgerung: Die zur Kompression aufzuwendende Arbeit wird daher um dem Betrag der Dissipationsenergie (Dissipationsarbeit) grösser,
da komprimiert werden muss und (+) Reibung überwindet werden muss
Spezifische Arbeiten bezogen auf die Masse m ergeben demnach:
2
wg12 = wv12 + wdiss12 = − ∫ p dv + wdiss12
1
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Arbeit und Wärme
Innere Energie (geschlossenes System)
Definition: Die ein einem System gespeicherte Energie wird innere Engerie U genannt. Die einem adiabat geschlossenen System zugeführte
Arbeit erhöht die innere Energie U des Systems.
2
∫ dW
Wg : am geschlossenen System verrichtete Arbeit[J ]
2
g
1
= ∫ dU ⇒ Wg12 = U 2 − U1
U : innere Energie [J ]
1
⎡ J ⎤
u : spezifische innere Energie ⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
du = cv ⋅ dT
⎡ J ⎤
cv : isochore spez. Wärmekapazität ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ k ⎦
Merke:Die innere Energie U eines idealen Gases hängt nur von seiner absoluten Temperatur Tab.
Arbeit und Wärme (geschlossenes System)
Definition: Wärme ist die Energie, die bei einem System mit nichtadiabatischer Grenze allein aufgrund eines Temperaturunterschiedes zu
seiner Umgebung über die Systemgrenze tritt.
Q12 : Wärmeenergie[J ]
dQ12 + dWg12 = dU
Q12 + Wg12 = U 2 − U1
Interpretation: Wärme und Arbeit bewirken
gemeinsam eine Änderung der inneren Energie
Q12 = U 2 − U1 − Wg12
2
Q12 − ∫ p dV + Wdiss12 = U 2 − U1
Merke:Dem System zugefühte Wärme ist positiv und abgeführte Wärme negativ
1
Enthalpie
Definition: Enthalpie ist definiert als die Summe der inneren Energie plus dem Produkt p*V
Merke: Enthalpie kann als Energievorrat eines Stoffstromes interpretiert werden
⎡J ⎤
dH : Enthalpie⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
dH = dU + p ⋅ dV
H = U + p ⋅ dV
C p ⋅ dT = dU + p ⋅ dV
⎡ J ⎤
c p : isobare spez. Wärmekapazität ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
Technische Arbeit(offenes System)
p
1
2
Wt12 = ∫ v dp
1
Wt12
Einschiebearbeit
Wt12 : technische Arbeit [J]
Volumenänderungsarbeit
Ausschiebearbeit
2
V
Innere Arbeit (offenes System)
Definition: Die an einem offenen System verrichtete Arbeit wird innere Arbeit Wi12 genannt. Sie besteht aus einem reversiblen Anteilder technischen Arbeit Wt12- und er Dissipationsenergie Wdiss12.
Wi12 = Wt12 + Wdiss12
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Wi12 :innere Arbeit [J]
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Arbeit und Wärme
Innere Arbeit und Enthalpie (offenes System, adiabat)
Definition: Die Arbeit Wg12 setzt sich aus der inneren arbeit Wi12 und den Arbeiten durch die Volumenverdrängung der Stoffmasse m
zusammen. In dem unten aufgeführten Fall werden jedoch Änderungen der potentiellen und kinetischen Energie vernachlässigt.
Wg12 = U 2 − U1
Wg : am geschlossenen System verrichtete Arbeit[J ]
Wi12 + p1 ⋅V1 − p2 ⋅V2 = U 2 − U1



⎡J ⎤
H : Enthalpie⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
pV : Volumenverdrängungsarbeiten [ J ]
U : innere Energie [J ]
Verschiebearbeit
Durch Umformen erhält man:
Wi12 = (U 2 + p2V2 ) − (U1 + p1V1 )
 
H2
H1
Wi12 = H 2 − H1
für adiabates, offenes System
Merke: Die Verschiebearbeit wird nur aus Zustandsgrössen des Anfangs- und Endzustandes gebildet und ist somit selbst eine Zustandsgrösse
Innere Arbeit und Enthalpie (offenes System, nicht adiabat)
Merke: Sind die Systemgrenzen nichtadiabat, so muss bei der Energiebilanz die an der Systemgrenze übertretende Wärme berücksichtigt
werden.
Q12 + Wg12 = U 2 − U1
Q12 + Wi12 + p1V1 + p2V2 = U 2 − U1

Q12 + Wi12 = H 2 − H1
Mittlere spezifische Wärmekapazität
Erklärung: Da bei Wärmerechnungen oftmals mit Temperaturdifferenzen gearbeitet wird und sich die entsprechenden spezifischen
Wärmekapazitäten in Funktion der Temperatur ändern, wird für diese Fälle eine mittlere spezifische Wärmekapazität errechnet.
cp,v
2
u2 − u1 = cvm ⋅ (T2 − T1 )
h2 − h1 = c pm ⋅ (T2 − T1 )
2
2
1
1
in °C einsetzen
1
T
2
cvm =
1
cvm
t2
0
⋅ t 2 − cvm
t1
⋅ t1
0
t 2 − t1
Hinweis: Werte für c=f(T) sind aus dem Buch 3-446-22079-8 aus TB2.2 auf S.68 zu entnehmen
Merke: Bei konstant bleibende Volumen ist cv, bei konstant bleibendem Druck cp einzusetzen
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Wärme / Gasgleichungen
Mischrechnungen mit Wärme
Ein Stahlgussstück von 120 kg, mittlere spezifische Wärmekapazität cma=0,58kJ/(kg K) wird zum Härten in ein Ölbad von
550 kg bebracht, dessen Temperatur von 22°C auf 65°C ansteigt. Mittlere spezifische Wärmekapazität des Härteöls cmb=1,7
Kj/(kg K). Das System kann adiabat angenommen werden. Mit welcher Temperatur wurde der Stahl eingetaucht ?
↑
↓
Q Stahl + Q Öl = 0
(
(
)
)
mStahl ⋅ cStahl ⋅ TMisch − T1Stahl + mÖl ⋅ cÖl ⋅ TMisch − T1Öl = 0
mStahl ⋅ cStahl ⋅ TMisch − mStahl ⋅ cStahl ⋅ T1Stahl + mÖl ⋅ cÖl ⋅ TMisch − mÖl ⋅ cÖl ⋅ T1Öl = 0
(mStahl ⋅ cStahl + mÖl ⋅ cÖl )⋅ TMisch − mÖl ⋅ cÖl ⋅ T1 = mStahl ⋅ cStahl ⋅ T1
(mStahl ⋅ cStahl + mÖl ⋅ cÖl )⋅ TMisch − mÖl ⋅ cÖl ⋅ T1
Stahl
Öl
T1Stahl =
Öl
mStahl ⋅ cStahl
Merke: Die mittleren Temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazitäten können aus dem Buch3-446-22079-8 TB1.7a S.51
entnommen werden.
Wi : innere Arbeit[J ]
Hauptsatz (offenes System)
Q12 + Wi12 = H 2 − H1 +
(
)
m 2
2
c2 − c1 + mg (z2 − z1 )
2
Q12 + Wi12 = H 2 − H1
2
Q12 + ∫ v dp = H 2 − H1
Merke: Oft wird die unten aufgeführte vereinfachte Form
verwendet, da in den meisten Fällen die potentielle und
kinetische Energie vernachlässigt werden können.
1
Q : Wärmeenergie [J ]
⎡J ⎤
H : Enthalpie⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
c1, 2 : Strömungsgeschwindigkeit [ J ]
z1, 2 : Höhe [m]
Temperaturabhängiges Kappa ermitteln
Für einen gegebenen Verdichtungs / Expansionsvorgang soll ein temperaturabhängiges Kappa ermittelt werden. Die
Anfangstemperatur beträgt 30°C und di e Endtemperatur beläuft sich auf 232°C. Das Fluid ist Luft (R=287,2 J/(kg*K)
in °C einsetzen
c pm
2
1
χ=
04.10.13
=
c pm
cp
c p − Ri
t2
0
t
⋅ t 2 − c pm 1 ⋅ t1
0
t 2 − t1
=
1,014
=
kJ
kJ
⋅ 232°C − 1,005
⋅ 30°C
kJ
kg ⋅ K
kg ⋅ K
= 1,015
232°C − 30°C
kg ⋅ K
1,015
= 1,395
1,015 − 0,2872
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Zustandsänderungen eines idealen Gases
⎡N⎤
p : Druck ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
V : Volumen m 3
m = M ⋅n
Vn = n ⋅Vmn (2.7)
[ ]
n für Normzustand
1 m M
ρ= = =
v V Vm
⎡ m3 ⎤
Vm : molares Volumen ⎢
⎥
⎣ kmol ⎦
(2.8a)
⎡ m3 ⎤
Vmn : molares Normvolumen 22,4 ⎢
⎥ //ideales Gas
⎣ mol ⎦
Vn : Normvolumen [ Nm 3 ] //Normkubikmeter
Vm = M ⋅ v
m = n ⋅ M = ρ n ⋅Vn
n für Normzustand
(2.9)
p ⋅ M ⋅ v = M ⋅ Ri ⋅ T (2.10a)
p ⋅Vm = M ⋅ Ri ⋅ T
p ⋅Vm = Rm ⋅ T
⎡ m3 ⎤
v : spezifisches Volumen ⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
m : Masse [kg ]
(2.10b)
(2.11)
p ⋅ v = z ⋅ Ri ⋅ T
Vm =
p ⋅ Vm
T
1kmol = 6,022 ⋅10 26 Teilchen
1mol = 6,022 ⋅10 23 Teilchen
p ⋅V = m ⋅ Ri ⋅ T
Rm =
⎡ J ⎤
Ri :Spezielle Gaskonstante ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
Merke: Für ideale Gase gilt: z=1
V
n
p ⋅V = n ⋅ Rm ⋅ T (2.12)
⎡ J ⎤
Rm : Universelle Gaskonstante8,31441 ⎢
⎥
⎣ mol ⋅ K ⎦
T : Temperatur [ K ]
z : Realgasfaktor [oE ]
n : Anzahl Molekühle[mol ]
⎡ kg ⎤
M : Molmasse ⎢
⎥
⎣ mol ⎦
pn : Normdruck 1,01325 [bar ]
(2.13)
Rm
(2.14)
M
u = cv ⋅ T + u0 (2.17)
Ri =
Achtung: spezifische
Grössen !!! (J/kg)
h = c p ⋅ T + h0 (2.18)
T2
U 2 − U1 = m ⋅ ∫ cv dT = m ⋅ cvm
T1
T2
T1
T2
H 2 − H1 = m ⋅ ∫ c p dT = m ⋅ c pm
T1
c p − cv = Ri
χ=
cp
cv
=
T2
T1
(T2 − T1
χ
χ −1
(2.22a)
mit
T
χm 2
T1
=
(2.24a)
⋅ Rm (2.24b)
Cmp − Cmv = M ⋅ (c p − cv ) = M ⋅ Ri = Rm
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⎡ J ⎤
u : spezifische innere Energie ⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
⎡ J ⎤
h : spezifische Enthalpie ⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
)(2.20) m für Mittelwert
cp
Cmp
cv + Ri
R
= 1+ i =
=
cv
cv c p − Ri Cmv
Cmp = M ⋅ c p =
⎡ kg ⎤
3
⎣ m ⎥⎦
ρ : Dichte ⎢
⎡ kg ⎤
(2.21a)
1
= M ⋅ cv =
⋅ Rm
χ −1
t n : Normtemperatur 273,15 [ K ]
(T2 − T1 ) (2.19) m für Mittelwertρ n : Dichte im Normzustand ⎢⎣ m 3 ⎥⎦
H 2 − H1 = χ m (U 2 − U1 ) (2.23)
Cmv
Formelsammlung: M.Wipf
Gasgleichungen
(2.21b)
c pm
T2
T1
cvm
T2
T1
⎡ J ⎤
cv : spez.Wärmekapazität für V = const. ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
⎡ J ⎤
c p : spez.Wärmekapazität für p = const. ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
⎡ J ⎤
Cmv , Cmp : molare Wärmekapazitäten ⎢
⎥
⎣ mol ⋅ K ⎦
χ : Isentropenexponent[-]
z : Realgasfaktor
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8
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Zustandsänderungen
Isochore (Volumen ist konstant)
p/[Pa]
Qauf
T/[K]
T/[K]
2
2,1
1,2
1
1
V/[m3]
2
s/[J/K]
Qab
s/[J/K]
Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur:
p2 T2
=
p1 T1
p
= const.
T
Volumenänderungsarbeit:
2
Wv12 = − ∫ p ⋅ dv
1
=

0
v = const ⇒ dv = 0
Technische Arbeit
2
2
1
1
[J ]
Wt12 = ∫ v ⋅ dp = v ⋅ ∫ dp = m ⋅ v( p2 − p1 )
= m ⋅ Ri ⋅ (T2 − T1 )
[J ]
Merke: für p2 >p1 wird die technische Arbeit positiv
Zugeführte Wärmemenge:
Q12 = u2 − u1 = m ⋅ cvm
T
2
T
1
⋅ (T2 − T1 )
[J ]
Interpretation:
- Bei einer isochoren Zustandsänderung ist die
Volumenänderungsarbeit gleich Null. è Die
Zustandsänderung kommt nur durch Wärmetransfer
zustande
- Die bei der isochoren zugeführte Wärmemenge wird
vollständig zur Erhöhung der inneren Energie verwendet
Entropieänderung:
S 2 − S1 = m ⋅ cvm
Interpretation:
⎛T ⎞
⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
t1 ⎝ T1 ⎠
t2
⎡J ⎤
⎢⎣ K ⎥⎦
- Gilt für alle isochoren Zustandsänderungen beliebiger Stoffe bei gleichbleibender Phase. Der Nullpunkt im T,S-Diagramm
beliebig annehmbar, da die Zustandsänderung nur durch die Temperaturen und Entropiedifferenzen dargestellt wird. Die Fläche
unter dem Graphen der Entropieänderungen entspricht:
Qi12 + Wdiss = U 2 − U1
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Zustandsänderungen
Isobare (Druck ist konstant)
p/[Pa]
Qauf
T/[K]
T/[K]
2
1
Qab
1,2
2,1
1
2
V/[m3]
s/[J/K]
s/[J/K]
Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur:
V2 T2
=
V1 T1
Volumenänderungsarbeit:
2
Wv12 = − ∫ p ⋅ dv = − p(v2 − v1 ) = m ⋅ p(v1 − v2 )
[J ]
= m ⋅ Ri (T1 − T2 )
[J ]
1
Technische Arbeit
2
Wt12 = ∫ v ⋅ dp
1
=

0
p = const ⇒ dp = 0
Merke: für p2 >p1 wird die technische Arbeit positiv
Zugeführte Wärmemenge:
Q12 = h2 − h1 = m ⋅ c pm
T
2
T
1
⋅ (T2 − T1 )
[J ]
Interpretation:
- Die bei einer Isobaren zugeführte Wärmemenge wird
zur Erhöhung der Enthalpie verwendet
-  Dabei dient der grössere Teil zur Erhöhung der inneren
Energie, der kleinere Teil zur Leistung der Gasarbeit
Achtung unterschiedliche Parameter !!!
Entropieänderung:
S 2 − S1 = m ⋅ c pm
Interpretation:
t
⎛T ⎞
⎛T ⎞
⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ = m ⋅ κ ⋅ cvm 2 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
t1 ⎝ T1 ⎠
t1 ⎝ T1 ⎠
t2
⎡J ⎤
⎢⎣ K ⎥⎦
Die Fläche unter dem Graphen der Entropieänderungen entspricht:
Qib12 + Wdiss = H 2 − H1
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Zustandsänderungen
Isotherme (Temperatur ist konstant)
p/[Pa]
T/[K]
T/[K]
1,2
Qauf
1
2,1
2
V/[m3]
2
s/[J/K]
Qab
1
s/[J/K]
Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur:
p2 V1
=
p1 V2
Volumenänderungsarbeit:
2
⎛v ⎞
1
Wv12 = − ∫ p ⋅ dv = − Ri ⋅ T ⋅ ∫ dv = m ⋅ Ri ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
v
⎝ v2 ⎠
1
1
[J ]
⎛p ⎞
= m ⋅ Ri ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
[J ]
2
Technische Arbeit
2
Wt12 = ∫ v ⋅ dp
1
2
=

const R⋅T
v = f ( p )=
=
p
p
Ri ⋅ T ⋅ ∫
1
=
⎛p ⎞
1
dp = m ⋅ Ri ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
p
⎝ p1 ⎠
[J ]
Merke: für p2 >p1 wird die technische Arbeit positiv
Zugeführte Wärmemenge:
2
Q12 = − ∫ v dp = − wt12 = − wv12
[J ]
1
Interpretation:
- Bei einer Isothermen wird die zugeführte
Wärmemenge vollständig in Arbeit umgesetzt
- Die Isotherme ist daher eine anzustrebende
Zustandsänderung. Leider ist sie bei Gasen nicht
vollständig realisierbar
Entropieänderung:
⎛p ⎞
⎛V ⎞
S 2 − S1 = m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
⎝ V1 ⎠
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⎡J ⎤
⎢⎣ K ⎥⎦
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11
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Zustandsänderungen
Isentrope/Adiabate (Entropie ist konstant / ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung)
p/[Pa]
T/[K]
1
1
Qab=0
Qauf=0
2
2
V/[m3]
s/[m]
Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur:
p2 ⎛ V1 ⎞
=⎜ ⎟
p1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠
κ
κ
p2 ⎛ T2 ⎞ κ −1
=⎜ ⎟
p1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠
1
T1 ⎛ V2 ⎞
=⎜ ⎟
T2 ⎜⎝ V1 ⎟⎠
V2 ⎛ T1 ⎞ κ −1
=⎜ ⎟
V1 ⎜⎝ T2 ⎟⎠
κ −1
T1 ⎛ p1 ⎞
=⎜ ⎟
T2 ⎜⎝ p2 ⎟⎠
κ −1
κ
T2 ⎛ V1 ⎞
=⎜ ⎟
T1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠
κ −1
Volumenänderungsarbeit:
2
Wv12 = − ∫ p ⋅ dv = u2 − u1
= m ⋅ cvm (T2 − T1 )
[J ]
1
κ −1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
p
⎢
2
= m ⋅ cvm ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎢⎣
⎦⎥
[J ]
κ −1
⎡
⎤
⎡⎛ v ⎞κ −1 ⎤
κ
⎛
⎞
1
p
1
⎢
⎥
2
= m⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥[J ]
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
κ −1
κ −1
⎢⎣⎝ v2 ⎠
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
Technische Arbeit
2
Wt12 = ∫ v ⋅ dp = h2 − h1 = m ⋅ c pm (T2 − T1 )
[J ]
1
κ −1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
p
⎢
2
= m ⋅ c pm ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎢⎣
⎦⎥
[J ]
κ −1
⎡
⎤
⎡⎛ v ⎞κ −1 ⎤
κ
⎛
⎞
p
κ
⎢
⎥
2
= m⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥[J ]
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
κ −1
κ −1
⎢⎣⎝ v2 ⎠
⎥⎦
⎢⎣
⎦⎥
κ
= κ ⋅ wv12
Zugeführte Wärmemenge:
2
Q12 = − ∫ v dp = 0
1
Interpretation:
- Die Volumenänderungsarbeit wird auf Kosten der inneren
Energie geleistet
- Die technische Arbeit wird auf Kosten der Enthalpie geleistet
Merke:In adiabaten Systemen nimmt die Entropie bei
irreversiblen Prozessen zu, bei reversiblen bleibt sie
konstant. Sie kann nicht abnehmen.
Entropieänderung:
S2 − S1 = 0
da ds = 0
Qit12 + Wdiss = 0
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Polytrope
Isochore
→
pV ∞ = const.
→
n=∞
Isobare
→
pV = const
→
n=0
Isotherme
→
1
pV = const
→
n =1
κ
→
n =κ
0
→
Isentrope
Formelsammlung: M.Wipf
Zustandsänderungen
pV = const
Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur:
p2 ⎛ V1 ⎞
=⎜ ⎟
p1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠
n
n
p2 ⎛ T2 ⎞ n −1
=⎜ ⎟
p1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠
1
V2 ⎛ T1 ⎞ n −1
=⎜ ⎟
V1 ⎜⎝ T2 ⎟⎠
κ : siehe S .61 ISBN 3 − 446 − 22079 − 8
Volumenänderungsarbeit:
n −1
⎡
⎤
⎡⎛ V ⎞ n −1 ⎤
n
⎛
⎞
1
p
1
⎢
⎥
2
= − ∫ p ⋅ dv = m ⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥
⎢
⎥
n −1
κ −1
⎢⎣⎝ V2 ⎠
⎥⎦
⎝ p1 ⎠
1
⎣⎢
⎦⎥
2
Wv12
= m⋅
[J ]
1
Ri ⋅ (T2 − T1 ) [J ]
n −1
Technische Arbeit:
n −1
⎡
⎤
⎡⎛ V ⎞ n −1 ⎤
n
⎛
⎞
n
p
n
⎢
⎥
2
= ∫ v ⋅ dp = m ⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 = m ⋅
⋅ Ri ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
n
−
1
n
−
1
⎢⎣⎝ V2 ⎠
⎥⎦
1
⎢⎣
⎥⎦
2
Wt12
= m⋅
[J ]
n
Ri ⋅ (T2 − T1 ) [J ]
n −1
Zugeführte Wärmemenge:
Q12 = m ⋅ Cvm
T2 n − κ
(T2 − T1 )
⋅
T1 n − 1
[J ]
Polytropenexponent:
n=
⎛
ln⎜⎜
⎝
⎛p ⎞
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
⎛T ⎞
p1 ⎞
⎟⎟ − ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
p2 ⎠
⎝ T2 ⎠
Entropieänderung:
S 2 − S1 = m ⋅ c pm
⎛T ⎞
⎛p ⎞
⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ − m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
t1 ⎝ T1 ⎠
⎝ p1 ⎠
t2
⎡J ⎤
⎢⎣ K ⎥⎦
S 2 − S1 = m ⋅ cvm
t 2 n − κ ⎛ T2 ⎞
t κ − n ⎛ T1 ⎞
⋅
ln⎜⎜ ⎟⎟ = m ⋅ cvm 2 ⋅
ln⎜ ⎟
t1 n − 1 ⎝ T1 ⎠
t1 n − 1 ⎜⎝ T2 ⎟⎠
S 2 − S1 = m ⋅ cvm
t 2 ⎛ T2 ⎞
⎛V ⎞
⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + m ⋅ Ri ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
t1 ⎝ T1 ⎠
⎝ V1 ⎠
04.10.13
⎡J ⎤
⎢⎣ K ⎥⎦
⎡J ⎤
⎢K ⎥
⎣ ⎦
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13
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Zustandgrössen
Formelsammlung: M.Wipf
Reversible und irreversible Prozesse
Unterscheidung irreversibler Vorgänge
Dissipationsprozesse: reibungsbehaftete Strömung, plastische Verformung, elektrische Vorgänge, Verbrennung
Ausgleichsprozesse: Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsausgleich
Merkmale irreversibler Prozesse
1. 
Sie verlaufen von selbst nur in einer Richtung
2. 
Bei ihnen wird Energie entwertet
3. 
Sie lassen sich nur dann wieder rückgängig machen, wenn von aussen in das System eingegriffen wird, wodurch
Veränderungen in der Umgebung zurückbleiben
Definition der Reversibilität
Ein Prozess ist reversibel oder umkehrbar, wenn der Anfangszustand des Systems wieder erreicht werden kann, ohne dass
Änderungen in der Umgebung zurückbleiben
Definition der Irreversibilität
Ein Prozess ist irreversibel oder nichtumkehrbar, wenn nach Erreichen des Anfangszustandes des Systems Änderungen in der
Umgebung eingetreten sind.
Definition der Entropie (Definition 1)
Sie ist eine kalorische Zustandsgrösse und ermöglicht neben der Zahlenmässigen Bewertung der Irreversibilität zusätzlich
die anschauliche Darstellung der bei einem Prozess auftretenden Wärme und Dissipationsenergie.
Die Entropie eines Systems ändert sich, wenn Wärme über die Systemgrenze transportiert wird (dQ) oder wenn Energie im
Inneren des Systems dissipiert (dwdiss).
Definition der Entropie (Definition 2)
Nach Ludwig Blotzmann ist di eEntropie das "Mass der Zustandswahrscheinlichkeit" oder auch schlicht der
"Unordnung" Die Entropie ist eine Zustandsfunktion, die sich vom zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ableiten
lässt. Für einen Vorgang, der in einem abgeschlossenen Raum abläuft, ist die Entropie ein Mass für dessen
Nichtumkehrbarkeit (Irreversibilität). Die Entropie ist bei einem umkehrbaren Prozess gleich null, wobei bei diesem
Vorgang auch keine Reibungsverluste auftreten dürfen. Bei allen irreversibleh Prozessen nimmt di eEntropie
hingegen zu.
dS = dS q + dS i
dS q =
dS i =
dQ
T
dWdiss
T
Entropietransport, durch Wärme bewirkt (Verzicht auf Indes i)
Entropieerzeugung, durch Dissipation bewirkt
Der Transport von Arbeit über die Systemgrenze ändert die Entropie des Systems nicht.
Adiabate Systeme: Für adiabate Systeme ist Sq12=0 (Es wird keine Wärme über die Systemgrenze transportiert)
dS q12 adiabat = 0 ⇒
04.10.13
S 2 − S1 = Si12 > 0
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14
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Drosselung
Adiabate Drosselung
1
2
Es wird die Energiegleichung (1.30b) angesetzt, welche in einem offenen System den stationären Prozess beschreibt:
*
Q12 + Wi 12 = H 2 − H1 +
(
Q12 : zugeführte Wärme
)
m 2
2
c2 − c1 + m ⋅ g ⋅ (z2 − z1 )
2
*
Wi 12 : Als Arbeit zugeführte Energie
Unter der Voraussetzung, dass keine Wärmeübertragung stattfindet (Q=0) und keine Arbeit verrichtet wird (Wi=0) und
unveränderter potentieller Energie gilt:
H2 +
m 2
m 2
c2 = H1 + c1
2
2
Oder formuliert mit der Totalenthalpie:
*
H1 = H 2
H* = H +
*
m 2
c
2
Wenn durch Querschnittserweiterung die Geschwindigkeiten vor und nach der Drosselstelle gleich gross sind (c2=c1) dann folgt:
*
*
H1 = H 2 = const .
⇒ dH = 0 (bei c2 = c1 )
Bei unveränderter Strömungsgeschwindigkeit ist die Zustandsänderung eine Isenthalpe. Dies aber nur unter der Voraussetzung
der stationären Strömung, keiner Arbeitsabgabe an der Drosselstelle, adiabater Abschluss und keiner Änderung sowohl der
kinetischen als auch der potentiellen Energie.
h
T1
1
T2
2
s
04.10.13
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15
Fachbereich:
Thermodynamik
Thema:
Formelsammlung: M.Wipf
Drosselung
Adiabate Drosselung des idealen Gases
1
2
Die Drosselung des idealen Gases verläuft bei konstanter Enthalpie, konstanter innerer Energie und konstanter Temperatur. (Die
Änderung potentieller Energie und Geschwindigkeitsänderungen (Querschnittserweiterung) wurden jeweils ausgeschlossen)
T
p
S 2 − S1 = m ⋅ Ri ⋅ ln 1
p2
Wdiss12 = Wt = T ⋅ (S 2 − S1 )
p1
1
p2
2
Wdiss12
p2 < p1
s
Merke: Die Dissipationsenergie ist also gleich dem Betrag der Arbeit Wt12, die verrichtet werden könnte, wenn das Fluid in
einer Maschine von 1 auf 2 reversibel expandieren würde. Bei der Drosselung wird diese Arbeit aber nicht abgegeben. Die
Möglichkeit nutzbare Arbeit zu verrichten wird also versäumt.
04.10.13
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16
Fachbereich:
Thermodynamik
Thermischer Wirkungsgrad
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Formelsammlung: M.Wipf
T
Qzu ( positiv )
Wk (negativ)
Qab (negativ)
S
ηth =
Merke: Der thermische Wirkungsgrad ist das
Verhältniss der Nutzarbeit des idealisierten
(reversiblen) Kreisprozesses zur zugeführten Wärme.
Wk
Qzu
Arbeitsverhältnis
rw =
Merke: Das Arbeitsverhältnis ist das Verhältniss von
Nutzarbeit zu bei Druckminderung abgegebener
Arbeit
Wk
−
Wt
Merke: Ein gutes Arbeitsverhältnis liegt nahe 1
Merke: Der Einfluss von Dissipation beim
irreversiblen Prozess wird um so grösser, je kleiner Wk
im Verhältnis zu Wt- ist.
Innerer Wirkungsgrad (Bewertung der Abweichung der wirklichen von idealisierten Prozessen)
Wik
Definition: Wik ist die innere Arbeit der irreversiblen
Prozesse: Es ist die vom Arbeitsmittel bei einem
wirklichen, irreversiblen Prozess in den Maschinen
insgesamt verrichtete Arbeit.
Wik = −Wik = Qi zu + Qi ab
Interpretation: Errechenbar aus der Bilanz der
Energie, die die Systemgrenze überschreitet. Ist der
wirkliche Prozess ein Kreisprozess (geschlossenes
Gesamtsystem) dann gilt die links aufgeführte
Beziehung.
Wik = −Wik = Qi zu + Qi ab + H ein − H aus
Merke:Läuft der wirkliche Prozess in einem offenen
System ab, dann muss auch die Enthalpie des ein- und
austretenden Arbeitsmittels berücksichtigt werden. Bei
vernachlässigter Änderung der kinetischen und
potentiellen Energie gilt:
ηi =
Wik
Wk
Interpretation: Der innere Wirkungsgrad ist das
Verhältniss der Arbeit des irreversiblen Prozesses zu der
des idealisierten Kreisprozesses
Qizu , Qi ab :in wirklichem Prozess insgesamt zu − bzw. abgeführte Wärme[ J ]
H ein , H aus : Enthalpien des ein − und austretenden Arbeitsmittels[ J ]
04.10.13
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Fachbereich:
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Mechanischer Wirkungsgrad
ηm k =
We k
Wi k
Wek = Wik + ∑Wv
Interpretation: Die Arbeit, die an der Kupplung
der Wärme- oder Verbrennungskraftanlage auf
die angetriebene Maschine übertragen wird,
wird Kupplungsarbeit Wek genannt. Somit ist
der mech. Wirkungsgrad als Verhältniss
zwischen Kupplungsarbeit und innerer Arbeit
des Kreisprozesses definiert.
Wv : Lagerverluste [ J ]
Wek : Kupplungsarbeit (eff. Arbeit)[ J ]
Wik : innere Arbeit des Kreisprozesses [ J ]
Nutzwirkungsgrad (Gesamtwirkungsgrad)
Wek : Kupplungsarbeit (eff. Arbeit)[ J ]
ηe =
We k
Qi zu
Interpretation: Der Nutzwirkungsgrad
ist das Verhältniss der Kupplungsarbeit
zur zugeführten Wärme.
= ηth ⋅ηi ⋅η m k
Qi zu : zugeführte Wärme[ J ]
Carnot-Prozess
⎛ T ⎞
Wcar = −⎜⎜1 − 3 ⎟⎟ ⋅ Q12
⎝ T1 ⎠
⎛V ⎞
Q12 = m ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ V1 ⎠
!!!Achtung Vorzeichen beachten!!!
!!!Achtung negativ!!!
ηcar = ηth.max =
04.10.13
Wcar
Q12
= 1−
T3
T1
V4 V1
=
V3 V2
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Fachbereich:
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Joule-Prozess als Vergleichsprozess der Gasturbinenanlage
Wv : Lagerverluste [ J ]
Wek : Kupplungsarbeit (eff. Arbeit)[ J ]
Wik : innere Arbeit des Kreisprozesses [ J ]
Zuordnung der Zustandsänderungen:
1 à 2
Isentrope Verdichtung des Fluides im Verdichter
2 à 3
Isobare Wärmezufuhr (auch innere Wärmezufuhr genannt)
3 à 4
Isentrope Ausdehnung in der Turbine
4 à 1
Isobare Wärmeabfuhr (z.B. Wärmeabfuhr über Kühlflächen)
p2 = p3
p4 = p1
Die Arbeit kann als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet werden
W j = −W j = Q23 + Q41 = m ⋅ c pm
t3
t
⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ c pm 4 ⋅ (T1 − T4 )
t2
t1
Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität lässt sich folgende Beziehung herleiten:
W j = −W j = m ⋅ c pm ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 )
!!!Achtung Vorzeichen beachten!!!
!!!Achtung negativ!!!
Der thermische Wirkungsgrad mit temperaturveränderlicher spezifischer Wärmekapazität
Wk
Wj
Q
ηth =
=
= 1 + 41 = 1 +
Qzu Q23
Q23
m ⋅ c pm
m ⋅ c pm
t4
t1
t3
t2
⋅ (T1 − T4 )
⋅ (T3 − T2 )
Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität wird hieraus:
ηth = 1 −
(T4 − T1 )
(T3 − T2 )
Über die Isentropenbeziehung bei Isentropen Zustandsänderungen folgt hierfür:
⎛p ⎞
T
ηth = 1 − 1 = 1 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟
T2
⎝ p2 ⎠
κ −1
κ
Merke: Der thermische Wirkungsgrad hängt für ein bestimmtes Gas nur vom Temperaturverhältnis bzw. vom Druckverhältnis
bei der isentropen Kompression oder Expansion ab. Die Wärmezufuhr beeinflusst den thermischen Wirkungsgrad nicht
Das Arbeitsverhältnis ist definiert wie folgt:
rw =
04.10.13
Wj
Wt 34
= 1−
T2
T3
Merke: Das Arbeitsverhältnis wächst mit grösser werdender Temperatur
T3. T3 ist nach oben durch Werkstoffeigenschaften begrenzt Für T3 sind
nach Stand der Technik (2002) Werte bis 1300°C also bis 1575K
erreichbar.
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19
Fachbereich:
Thermodynamik
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Formelsammlung: M.Wipf
Diskussion: Gemäss den unten aufgeführten Formel ist der thermische Wirkungsrad und das Arbeitsverhältnis definiert:
rw = 1 −
T2
T3
ηth = 1 −
T1
T2
Das Temperaturverhältnis T2 / T3 und somit das Arbeitsverhältnis nehmen einen maximalen Wert an, wenn die Temperatur
T2 nur wenig über den Umgebungstemperatur sitzt und T3 bei dem Werkstoffspezifischen Maximalwert angesiedelt ist. Wird
nun dieses Verhältniss als fix angenommen kann festgestellt werden, dass dadurch der thermische Wirkungsgrad einen
minimalen Wert annimmt, da der einzige noch regelbare Parameter T1 sich auf dem Niveau der Umgebung befinden muss.
Es wird nun ersichtlich, dass nicht gleichzeitig ein guter thermischer Wirkungsgrad und ein gutes Arbeitsverhältnis erzielt
werden können.
Der Wunsch nach einem guten thermischen Wirkungsgrad hat durch seinen direkten Einfluss auf das Arbeitsverhältnis zur
Folge, dass der Joule-Prozess empfindlich gegen die inneren Verluste wird.
Bestes erzielbares Arbeitsverhältnis wenn gilt:
Bester erzielbarer thermischer Wirkungsgrad wenn gilt:
T2 = T1
T2 = T3
Merke: Diese Extremfälle haben keine
praktische Bedeutung, da keine Fläche des
Kreisprozesses entsteht und somit die
Arbeit des Kreisprozesses gleich Null ist
Maximal möglicher thermischer Wirkungsgrad
Da keiner der Extremfälle, infolge Null werdender Arbeit, von praktischer Bedeutung ist, wird ein Kompromiss gesucht um
einen praktisch sinnvollen Kompromiss eingehen zu können. Es kann hergeleitet werden, dass der grösstmögliche thermische
Wirkungsgrad erreicht wird wenn gilt:
Merke: Die Werte für den thermischen
Wirkungsgrad und das Arbeitsverhältnis
T2 = T1 ⋅ T3
werden gleich gross.
04.10.13
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20
Fachbereich:
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Berechnung des wirklichen Prozesses (S.167 ISBN 3-446-22079-8)
Wik : innere Arbeit des wirklichen Gasturbinenprozesses[ J ]
WiT : innere Arbeit der Turbine [J]
WiV : innere Arbeit des Verdichters [ J ]
WtT : technische Arbeit der Turbine [ J ]
Wik = WiT + WiV
WtV : technische Arbeit des Verdichters [ J ]
Beim Joule-Prozess liegt mit den Zustandspunkten 1 und 3 und den Zustandsänderungen (2 Isentropen, 2 Isobaren) der
Vergleichsprozess mit den Punkten 1 2‘ 3 4‘ fest (siehe Bild oben)
Als Vergleichsarbeiten werden die bei den isentropen Zustandsänderungen verrichteten technischen Arbeitenzugrunde gelegt.
Somit gilt:
Für den isentropen oder inneren Verdichterwirkungsgrad
η iV =
WtV 12'
WiV 12
Für den isentropen oder inneren Turbinenwirkungsgrad
ηiT =
WiT 34
WtT 34'
Bei mehreren Verdichtern
und Turbinen
Diese Zusammenhänge eingesetzt in die obige Grundgleichung ergeben:
Wik = WiT + WiV = ηiT ⋅ WtT 34' +
WtV 12'
ηiV
= ∑ηiT ⋅WtT 34' + ∑
WtV 12'
ηiV
Für den Joule-Prozess können bei vernachlässigter Änderung der kinetischen und potentiellen Energie die Arbeiten aus der
Enthalpiedifferenz des Fluids ermittelt werden:
WiV 12 = H 2 − H1 = m ⋅ c pm
t2
(T2 − T1 ) innere Verdichterarbeit
t1
WtV 12' = H 2 ' − H1 = m ⋅ c pm
t2 '
(T2' − T1 ) isentrope technische Vergleichsarbeit des Verdichters
t1
WiT 34 = H 4 − H 3 = m ⋅ c pm
t4
(T4 − T3 ) innere Turbinenarbeit
t3
WtT 34' = H 4 ' − H 3 = m ⋅ c pm
04.10.13
t4'
(T4' − T3 ) isentrope technische Vergleichsarbeit der Turbine
t3
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Fachbereich:
Thermodynamik
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Formelsammlung: M.Wipf
Ericsson-Prozess als Vergleichsprozess in der Gasturbinenanlage
Zuordnung der Zustandsänderungen:
1 à 2
Isotherme Kompression
2 à 3
Isobare Wärmezufuhr
3 à 4
Isotherme Expansion
4 à 1
Isobare Wärmeabfuhr
T1 = T2
p2 = p3
T3 = T4
p4 = p1
Die zwischen den Maschinen zu- bzw. abzuführende Wärme ist gleich gross und die Wärmeübertragung erfolgt bei den gleichen
Temperaturen. Die Wärme wird über einen im Kreislauf eingebauten Wärmeübertrager übertragen. Es gilt demnach:
Q41 = Q23
Von aussen zugeführt wird die Wärme Q34 bei der Isothermen Expansion in der Turbine
Nach aussen abgeführt wird die Wärme Q12 bei der Isothermen Kompression im Verdichter
Die Arbeit des Kreisprozesses wird als Summe der von aussen zu- und nach aussen abgeführten Wärme berechnet:
⎛p ⎞
⎛p ⎞
p
Wer = −Wer = Q34 + Q12 = m ⋅ Ri ⋅ T3 ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + m ⋅ Ri ⋅ T1 ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = m ⋅ Ri ⋅ (T3 − T1 )ln 2
p1
⎝ p1 ⎠
⎝ p2 ⎠
!!!Achtung negativ!!!
Der thermische Wirkungsgrad errechnet sich demnach:
ηth =
Wer
Q34
⎛p ⎞
m ⋅ Ri ⋅ (T3 − T1 )ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠ = 1 − T1
=
T3
⎛p ⎞
m ⋅ Ri ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
Das Arbeitsverhältnis errechnet sich gemäss Definition wie folgt:
rw =
!!!Achtung Vorzeichen beachten!!!
Wer Wer
T
=
= ηth = 1 − 1
Wt 34 Q34
T3
Merke: Das Arbeitsverhältnis hat den gleichen Wert wie
der thermische Wirkungsgrad und erhöht sich mit ihm.
Das ist ein grosser Vorteil des Ericsson-Prozesses.
Diskussion: Beim Ericsson-Prozess zeichnen gegenüber dem Joule-Prozess sowohl das Arbeitsverhältnis als auch der
thermische Wirkungsgrad durch bessere Werte, bei gleichen Randbedingungen aus
04.10.13
Seite
22
Fachbereich:
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Otto-Prozess als Vergleichsprozess des Verbrennungsmotors (Gleichraumprozess)
Zuordnung der Zustandsänderungen:
1 à 2
Isentrope Verdichtung
2 à 3
Isochore Wärmezufuhr
3 à 4
Isentrope Ausdehnung
4 à 1
Isochore Druckminderung
V2 = V3
V4 = V1
Die Nutzarbeit des Otto-Prozesses wird als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet:
Wo = −Wo = Q23 + Q41 = m ⋅ cvm
!!!Achtung negativ!!!
t3
t
⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ cvm 4 ⋅ (T1 − T4 ) !!!Achtung Vorzeichen beachten!!!
t2
t1
Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität lässt sich der obige Ausdruck vereinfachen zu:
Wo = −Wo = m ⋅ cvm ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 )
Einführung des Begriffes des Verdichtungsverhältnisses:
V
Volumen vor Kompression VHub + VKompressio n
ε= 1=
=
V2 Volumen nach Kompression
VKompressio n
Bei den isentropen Zust.änderungen gilt:
ε κ isentrop =
Der thermische Wirkungsgrad ergibt sich gemäss Definition:
Wo
Q
ηth =
= 1 + 41 = 1 +
Q23
Q23
m ⋅ cvm
m ⋅ cvm
t4
t1
t3
t2
p2 p3
T T
=
ε κ −1isentrop = 2 = 3
p1 p4
T1 T4
⋅ (T1 − T4 )
⋅ (T3 − T2 )
Mit der Annahme konstanter Spezifischer Wärmekapazität lässt sich auch dieser Ausdruck vereinfachen zu:
ηth = 1 −
T4 − T1
T
1
=
1 − 1 = 1 − κ −1

T3 − T2 über Isentroopenbeziehung T2
ε
Das Arbeitsverhältnis errechnet sich gemäss unten aufgeführter Gleichung nach:
rw
W0
T1 − T2 + T3 − T4
1
=
=
Wt 34 + Wt 41 κ (T3 − T1 ) − (T4 − T1 ) κ − 1 + 1 + κ
T3
ηth
−1
T2
Achtung: Auch diese Formel ist nur unter
der vereinfachenden Annahme konstanter
spezifischer Wärmekapazität gültig
Diskussion:
Der thermische Wirkungsgrad hängt beim konstanten Isentropenexponenten (Kappa) nur vom Temperaturverhältniss bei der
Isentropen Kompression oder Expansion ab. Dieses Verhältniss kann auch als Druck- bzw. Verdichtungsverhältniss (Epsilon)
ausgedrückt werden.
Je höher verdichtet wird, um so grösser wird der thermische Wirkungsgrad.
Das grösstmögliche Verdichtungsverhältnis ist durch die Gefahr der Selbstentzündung des angesaugten brennbaren Gemisches,
auch Klopfen genannt. Begrenzt.
Das Arbeitsverhältnis wächst mit steigendem Temperaturverhältnis T3/ T2 und mit grösser werdendem thermischen
Wirkungsgrad.
04.10.13
Seite
23
Fachbereich:
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Diesel-Prozess als Vergleichsprozess des Verbrennungsmotors (Gleichdruckprozess)
Zuordnung der Zustandsänderungen:
1 à 2
Isentrope Verdichtung
2 à 3
Isobare Expansion
3 à 4
Isentrope Ausdehnung
4 à 1
Isochore Druckminderung
p2 = p3
V4 = V1
Die Nutzarbeit des Diesel-Prozesses wird als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet:
t
t
Wd = −Wd = Q23 + Q41 = m ⋅ κ ⋅ cvm 3 ⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ cvm 4 ⋅ (T1 − T4 ) !!!Achtung Vorzeichen beachten!!!
 t2
t1
cp
!!!Achtung negativ!!!
Unter der Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität cvm wird daraus:
Wd = −Wd = m ⋅ cvm ⋅ (T1 − κ ⋅ T2 + κ ⋅ T3 − T4 )
Im folgenden werden zwei Kenngrössen definiert:
Verdichtungsverhältnis:
Einspritzverhältnis:
V1
V2
V T
ϕ= 3 = 3
V2 T2
ε=
Bei den isentropen Zust.änderungen gilt:
ε κ isentrop =
p2
p1
ε κ −1isentrop =
T2
T1
Der thermische Wirkungsgrad ist errechenbar nach:
ηth =
Wd
Q23
Q
= 1 + 41 = 1 +
Q23
t4
⋅ (T1 − T4 )
t1
t
m ⋅ κ ⋅ cvm 3 ⋅ (T3 − T2 )
t2
m ⋅ cvm
Durch die vereinfachende Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität cvm folgt daraus:
ηth = 1 −
T4 − T1
κ (T3 − T2 )
Durch die zuvor eingeführten Kenngrössen lässt sich der thermische Wirkungsgrad auch berechnen wie folgt:
ϕ κ ⋅ T1 − T1
T1 ϕ κ − 1
1 ϕ κ −1
ηth = 1 −
= 1−
= 1 − κ −1
κ (ϕ ⋅ T2 − T2 )
T2 κ ⋅ (ϕ − 1)
ε κ ⋅ (ϕ − 1)
Das Arbeitsverhältnis folgt hieraus gemäss Definition mit folgender Beziehung:
rw =
04.10.13
ηth ⋅ (ϕ − 1)
ϕ κ + κ −1
ϕ−
κ ⋅ ε κ −1
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24
Fachbereich:
Thema: Das ideale Gas in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Seiliger-Prozess als Vergleichsprozess des Verbrennungsmotors (Gemischter Vergleichprozess)
Zuordnung der Zustandsänderungen:
1 à 2
Isentrope Verdichtung
2 à 3
Isochore Druckerhöhung
V2 = V3
3 à 4
Isobare Expansion
p3 = p4
4 à 5
Isentrope Expansion
5 à1
Isochore Druckminderung
V5 = V1
!!!Achtung Vorzeichen
beachten!!!
t4
t3
t5
Ws = −Ws = Q23 + Q34 + Q51 = m ⋅ cvm ⋅ (T3 − T2 ) + m ⋅ κ ⋅cvm ⋅ (T4 − T3 ) + m ⋅ cvm ⋅ (T1 − T5 )
t3
t2
t1
Die Nutzarbeit des Seiliger-Prozesses wird als Summe der zu- und abgeführten Wärme berechnet:
!!!Achtung negativ!!!
Mit der auch hier vereinfachenden Annahme für eine konstante spezifische Wärmekapazität folgt für den obigen Ausdruck:
Ws = −Ws = Q23 + Q34 + Q51 = m ⋅ cvm [T1 − T2 − (κ − 1)⋅ T3 + κ ⋅ T4 − T5 ]
Es werden auch hier wieder folgende Kenngrössen definiert und über die Zustandsänderungen auf andere Zustandspunkte
κ −1
umgerechnet:
V1
V2
V T
ϕ= 4 = 4
V3 T3
ε=
Verdichtungsverhältnis:
Einspritzverhältnis:
Druckverhältnis für isochore Wärmezufuhr:
ψ=
⎛ V1 ⎞
⎟⎟
⎝ V2 ⎠
ε κ −1 = ⎜⎜
=
T2
T1
p3 T3
=
p2 T2
Der thermische Wirkungsgrad errechnet sich wie folgt:
ηth =
Ws
Q23 + Q34
= 1+
Q51
Q23 + Q34
Mit der vereinfachenden Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität folgt daraus:
T5
T1 T5 T1
−
−1
T5 − T1
1
T2 T1 T2
T1
ηth = 1 −
= 1−
= 1 − κ −1
T3 − T2 + κ (T4 − T3 )
ε ψ − 1 + κ (ψ ⋅ ϕ −ψ )
⎛ T4 T3 T3 ⎞
T3
− 1 + κ ⎜⎜
− ⎟⎟
T2
⎝ T3 T2 T2 ⎠
1
ψ ⋅ϕ κ −1
=1 − κ −1
ε ψ − 1 + κ ⋅ψ (ϕ − 1)
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Seite
25
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Der verlustlose Kolbenverdichter ohne Schadraum
Einstufiger Kolbenverdichter
Wt12 = H 2 − H1 − Q12
Mehrstufige Kolbenverdichter (S. 185)
p/[Pa]
4
pz
Isentrope
Wkv −isen = Wt 12 + Wt 34
2
3
Konzept:
1. 
Bestimmung des Druckverhältnisses zwischen den einzelnen Stufen
Dies ist auf die Herleitung zurückzuführen und bewirkt den kleinsten
Arbeitsaufwand zwischen den einzelnen Stufen
p2
p
=n z
p1
p1
2. 
px
1
isotherme
V/[m3]
n : Anzahl Stufen
p z : zu erreichender Enddruck nach allen Stufen (In Skizze P4 )
Da zu Beginn jeder Stufe immer wieder die Anfangstemperatur erreicht wird, und bei jeder Stufe das gleiche
Druckverhältnis zugrunde liegt, wird jeweils nach jeder Verdichtung die gleiche Temperatur erreicht. Somit gilt:
t2 = t4 = t6 = ...
3. 
Für die aufzubringende Verdichterarbeit wird die technische Arbeit der Isentropen zu Grunde gelegt. Es ist für
jede Stufe ein weiterer Summand anzufügen:
Wkv −isen = Wt 12 + Wt 34 + ...
4. 
Der ausgeschriebene Formelausdruck erreicht somit folgende Form:
Wkv −isen
κ −1
κ −1
⎡
⎤
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
⎛
⎞
px
κ
κ
p4 κ
⎢
⎢
⎥
=
⋅ m ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 +
⋅ m ⋅ Ri ⋅ T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ + ...
⎢⎝ p x ⎠
⎥
⎢
⎥
κ −1
p
κ −1
⎢⎣⎝ 1 ⎠
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
Immer gleiche Temperatur, weil (gemäss Skizze
ersichtlich) immer auf die gleiche Temperatur
zurückgekühlt wird (Rückkühlung auf den
Graphen der Isothermen)
5. 
Die Temperatur am Ende der Stufe:
T2 ⎛ p2 ⎞
=⎜ ⎟
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
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κ −1
κ
⎛p ⎞
⇒ T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
κ −1
κ
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Zustandsgleichungen des Wasserdampfes
p
⎡N⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
1
3
5
4
2
Formelsammlung: M.Wipf
Das wirkliche Verhalten der Stoffe
(1) v : ungesättigte Flüssigkeit
(2) v': gesättigte, siedende Flüssigkeit
(3) vd : Nassdampf (gesättigte Fl. und Sattdampf )
(4) v' ':Sattdampf, gesättigter Dampf
(5) v : Dampf, überhitzter Dampf, Heissdampf
m d : Masse des Nassdampfgemisches[kg]
v
Merke: Im Nassdampfgebiet ist
die Isobare zugleich Isotherme
xd =
m Fl. : Masse des Flüssigen Anteils im Gemisch [kg]
⎡ m3 ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
m' '
m'+ m' '
x d : Dampfgehalt (Anteil von Sattdampf in Zustand 3) [%]
(1 − xd ) : Dampfnässe [%]
Merke: Die Beziehungen können auch mit der Dichte
formuliert werden, mit dem Bekannten Zusammenhang
zwischen spezifischem Volumen und der Dichte
vd = (1 − x )⋅ v' + 
x ⋅ v' '


 Anteil Sattdampf
Anteil Flüssigkeit
vd = v'+ x ⋅ (v' '−v')
v=
1
ρ
Merke: Als Bezugspunkt mit dem Betrag Null für die
Zustandsgrössen h‘, u‘, s‘ und h‘‘, u‘‘ ,s‘‘ wurde der
Punkt mit folgenden Eigenschaften vereinbart:
ttr = 0,01°C
md = ρ ⋅V =
1
⋅V
vd
mFl = (1 − x )⋅ md
hd = hx = h'+ x ⋅ r = h' (1 − x ) + x ⋅ h' '
ptr = 0,0061bar
;
⇒ u 'tr = 0 und s'tr = 0
Über die Festlegung des Bezugspunktes ist folgender Zusammenhang gegeben:
h'tr = u'tr + ptr ⋅ v'tr = 0 + 0,0061⋅105
N
m3 kJ
kJ
⋅
0
,
001
= 0,00061
2
3
m
kg 10 Nm
kg
Merke: Bei adiabater Drosselung ist bei gleichbleibender Geschwindigkeit in einem horizontalen System:
H 2 = H1
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Fachbereich:
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Clausius-Rankine-Prozess als Vergleichsprozess der Dampfkraftanlage
Merke: oftmals über h-s-Diagramm
weitere Informationen ermittelbarà
vertikale Gerade, da konstante Entropie
Zuordnung der Zustandsänderungen:
1 à 2
Isentrope Entspannung des Dampfes in der Turbine
2 à 3
Isobare Wärmeabfuhr zur Kondensation des Dampfes im Kondensator
3 à 4
Isentrope Druckerhöhung in der Pumpe
4 à 5 à 1
Isobare Wärmezufuhr im Dampferzeuger zur Erwärmung und Verdampfung des Wassers und
zur Überhitzung des Dampfes
p2 = p3
p4 = p1
Die Nutzarbeit des Kreisprozesses kann mittels der Summe der zu- und abgeführten Wärme oder als Summe der Arbeiten der
Turbine und der Pumpe berechnet werden:
Wc / r = −Wc / r = Q41 + Q23
oder Wc / r = Wt12 + Wt 34 Merke: Es ist günstig mit Enthalpieen zu rechnen,
da diese einfach tabelliert sind. Die Enthalpie erfasst
auch die zur Verdampfung erforderliche und bei der
!!!Vorzeichen!!!
Wc / r = −Wc / r = H1 − H 2 + H 3 − H 4
Kondensation freiwerdende Energie
Der thermische Wirkungsgrad errechnet sich wie folgt:
ηth =
Wc / r
Qzu
=
Wt12 + Wt 34
Q41
=
H1 − H 2 + H 3 − H 4
H − H3
= 1− 2
H1 − H 4
H1 − H 4 Hinweis: Bei der Lösung von Aufgaben ist
Das Arbeitsverhältnis:
rw =
Wc / r Wt12 + Wt 34
W
W
H − H3
=
= 1 + t 34 = 1 − t 34 = 1 − 4
Wt12
Wt12
Wt12
Wt12
H1 − H 2
darauf zu achten, dass der sich Punkt 3 exakt
auf der Kondensationslinie befindet. Die
entsprechende Enthalpie ist über die Temperatur
von Punkt 2 (da isobare auch zugleich
istotherme zw. 2 und 3) und mittels der Tabelle
Sättigungszustand eruierbar.
Ergänzung:
Es soll ein weiterer Zusammenhang zur Ermittlung der Enthalpie an der Stelle vier aufgezeigt werden
1. 
Der Ansatz zur Bestimmung dieser Enthalpie wird über die von der Pumpe verrichtet technische Arbeit erzielt:
wt = v dp = ΔH
2. 
Da wir uns während der Zustandsänderung von 3 nach 4 unterhalb der Siedelinie befinden ist das komplette Fluid in
Form von Wasser (ohne Dampfanteil) anzutreffen. Somit kann infolge der Inkompressibilität des Wassers in guter
Näherung von konstantem Volumen v3‘ ausgegangen werden.
H 4 − H 3 = v3 ' ( p4 − p3 )
3. 
H 4 = H 3 + v3 ' ( p4 − p3 )
Merke: v4‘= v3‘ aus Tabelle zu entnehmen
Besondere Achtung ist den Einheiten zu schenken, da H3 meist in kJ angegeben wird und der resultierende Anteil
über die Drücke als J errechnet wird und somit noch mit 103 dividiert werden muss.
⎡ m 3 ⎤ ⎛ ⎡ N ⎤ ⎡ N ⎤ ⎞ −3
⎡ kJ ⎤ ⎡ kJ ⎤
⎢ kg ⎥ = ⎢ kg ⎥ + ⎢ kg ⎥⎜⎜ ⎢ m 2 ⎥ − ⎢ m 2 ⎥ ⎟⎟ ⋅10
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠
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Fachbereich:
04.10.13
Thermodynamik
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
Formelsammlung: M.Wipf
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Thermodynamik
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
Formelsammlung: M.Wipf
NASSDAMPF
SATTDAMPF
Fachbereich:
04.10.13
Seite
30
Fachbereich:
Thermodynamik
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
p
p=f(t)
⎡N⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
Formelsammlung: M.Wipf
1
v
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⎡ m3 ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
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Fachbereich:
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
p
⎡N⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
1
v
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Formelsammlung: M.Wipf
⎡ m3 ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
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Fachbereich:
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
Thermodynamik
p
⎡N⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
1
v
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Formelsammlung: M.Wipf
⎡ m3 ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
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Fachbereich:
Thermodynamik
Thema: Der Dampf und seine Anwendung in Maschinen und Anlagen
Formelsammlung: M.Wipf
p=f(t)
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Fachbereich:
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Thermodynamik
Thema:
Allgemeine Stoffeigenschaften einiger Gase
Formelsammlung: M.Wipf
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Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Temperaturstrahlung
Ausstrahlung
M=
2
⎡ MW ⎤ ⎡ kW / m ⎤
M : spezifische Ausstrahlung ⎢ 3 ⎥; ⎢
⎥
⎣ m ⎦ ⎣ µm ⎦
dΦ
dA
Mλ =
Formelsammlung: M.Wipf
⎡W ⎤
M λ : spektrale spezifische Ausstrahlung ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
Φ :Strahlungsleistung [W ]
dM
dλ
A :Strahlungsfläche [m 2 ]
λ : Wellenlänge [ µm]
w : Wiensche Verschiebungskonstante = 2897,756[µm ⋅ K ]
Wiensches Verschiebungsgesetz
λ : Wellenlänge [ µm]
λmax s =
w
T
T : Temperatur[ K ]
Merke: Zur Ermittlung der Temperatur eines schwarzen Körpers, bei bekannter Wellenlänge
2
⎡ MW ⎤ ⎡ kW / m ⎤
M : spezifische Ausstrahlung ⎢ 3 ⎥; ⎢
⎥
⎣ m ⎦ ⎣ µm ⎦
Ausstrahlung grauer Körper
⎡W ⎤
M λ : spektrale spezifische Ausstrahlung ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
T : Temperatur des strahlenden Körpers [ K ]
ε : Emissionskoeffzizient [−]
M = ε ⋅σ ⋅ T 4
⎡ W ⎤
2
4
⎣ m ⋅ K ⎥⎦
σ :Stefan − Boltzmann − Konstante = 5,67051 ⋅10 −8 ⎢
Merke: Die spezifische Ausstrahlung grauer Körper ist entsprechend ihres von der Wellenlänge unabhängigen
Emissionskoeffizienten geringer, als die des schwarzen Körpers
a : absorbtionsanteil
Bestrahlung
r : Reflexionsanteil
d : Durchlässigkeitsanteil
a + r + d =1
a =ε
Schwarzer Körper
a=1
Weisser Körper
r=1
Feste und flüssige Körper
d=0
Wärmeübertragung durch Strahlung (zwischen zwei Körpern)
(
4
4
Q = C12 ⋅ A ⋅ T1 − T2
C12,ebeneWandkombination =
C12, Zylinderrohr =
)
1
+
⎡ W ⎤
C :Strahlungsaustauschkonstante ⎢ 2 4 ⎥
⎣m ⋅ K ⎦
2
A1 : Innenrohroberfläche[m ]
σ
1
+
1
ε1 ε 2
σ
ε1
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Q : Gesamtenergiestrom[W ]
A1
A2
−1
A2 : Mantelrohroberfläche[m 2 ]
⎛1
⎞
⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟
⎝ ε2 ⎠
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36
Fachbereich:
Thermodynamik
Thema:
Temperaturstrahlung
Formelsammlung: M.Wipf
Wärmeübertragung durch Strahlung und Konvektion
Q = Q Strahlung + QÜbergang = (α + α S )⋅ A ⋅ (T1 − T2 )
4
T − T2
α s = C12 1
T1 − T2
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4
⎡ W ⎤
2
⎥
⎣m ⋅ K ⎦
α S :Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung ⎢
C12 :Stahlungsaustauschkonstante
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37
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Wärmetauscher
Formelsammlung: M.Wipf
Ermittlung der Wärmeübergangszahl alpha (erzwungene Strömung)
Aufgabenstellung:
Ein Rohr mit 32 mm äusserem Rohrdurchmesser, äussere Wandtemperatur 100°C wird von Wasserdampf unter 0,981 ba,
200°C (Mittelwert zwischen Zu- und Abströmtemperatur) mit 8 m/s quer angeströmt. Der
Wärmeübergangskoeffizient ist zu berechnen.
Konzept:
1. 
Als erstes ist ab Seite 336 und Folgeseiten die für den vorliegenden Fall zugrundeliegende Berechnungsformel
zu eruieren. Hierfür muss unterschieden werden, ob freie Strömung (S.338) vorliegt oder erzwungene
Strömung (S.336) .
2. 
In der gestellten Aufgabe ist entweder die Formel 8.21 (laminarer Fall) anzuwenden oder die Formel 8.22
(turbulenter Fall) zugrunde zu legen. Welcher Fall zum Zuge kommt, wird über die Reynoldszahl eruiert:
3. 
Gemäss Beschreibung im Buch (Bezugsgrössen rechte Spalte) gilt für diesen Fall folgende Beziehung:
l = π ⋅r
4. 
= Überströmlänge beim Zylinder(char.Länge)
Unter Berücksichtigung der obigen Beziehung und Miteinbezug der aus Tabellen zu ermittelnden Werten für die
kinematische Viskosität und der gegebenen Geschwindigkeit berechnet sich die Reynoldszahl:
w ⋅ l w ⋅ (π ⋅ r )
Re =
=
v
v
5. 
(
)
8m ⋅ π ⋅16 ⋅10 −3 m s
=
= 11424
s ⋅ 35,2 ⋅10 −6 m 2
Tabelle 8.3b/S.477
Nun muss aufgrund der im Buch auf S.337 in der linken Spalte angegebenen Gültigkeitsbereiche (für
Reynoldszahl) ausfindig gemacht werden, ob turbulentes oder laminares Verhalten vorliegt.
Zylinder Re < 10; Pr = 0,6...1000
6. 
Es muss nun für die Berechnung folgende Gleichung zugrunde gelegt werden:
Nu m =
7. 
0,037 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr
K
⎛ 23 ⎞
− 0 ,1
1 + 2,443⋅ Re ⋅ ⎜⎜ Pr − 1⎟⎟
⎝
⎠
⎛ T fluid
wobei bei Gasen und Dämfen gilt : K = ⎜⎜
⎝ Twand
!!!
⎞
⎟⎟
⎠
0,12
0,12
0,12
0,12
⎞
⎛ 200 + 273,15 ⎞
⎛ 473,15 ⎞
⎟⎟ = ⎜
⎟ =⎜
⎟ = 1,267990,12 = 1,0289
⎝ 100 + 273,15 ⎠
⎝ 373,15 ⎠
⎠
0,037 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr
0,037 ⋅114240,8 ⋅ 0,959
Num =
K
=
1,0289 = 66,111
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
1 + 2,443⋅ Re −0,1 ⋅ ⎜⎜ Pr 3 − 1⎟⎟
1 + 2,443⋅11424−0,1 ⋅ ⎜⎜ 0,959 3 − 1⎟⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Eingesetzt in die unten aufgeführte Beziehung zur Ermittlung des Wärmeübergangskoeffizienten ergibt dies:
αM =
αM =
04.10.13
Tabelle 8.3b/S.477
Mit den entsprechenden Werten eingesetzt ergibt sich folgendes:
⎛ T fluid
K = ⎜⎜
⎝ Twand
8. 
da Re > 10 ⇒ turbulente s Verhalten ⇒ Gl Nr.8.22
λ ⋅ Nu m
l
λ ⋅ Num
l
=
λ ⋅ Nu m
π ⋅r
=
λ ⋅ Num 33,1⋅10 −3 ⋅ 66,111
W
=
= 43,5344 2
−3
π ⋅r
π ⋅16 ⋅10
mK
Achtung Wert für Fluid aus TB 8.3b/S.477 verwenden
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38
Fachbereich:
Thema:
Thermodynamik
Formelsammlung: M.Wipf
Wärmetauscher
Ermittlung der Wärmeübergangszahl alpha (freie Strömung)
Aufgabenstellung:
Durch einen 0,4m hohen Plattenheizkörper mit 59°C mittlerer Wandtemperatur strömut Wasser von 0,981 bar bei freier
Strömung, mittlere Wassertemperatur zwischen Ein- und Austritt 61°C. Der Wärmeübergangskoeffizient ist zu
ermitteln.
Konzept:
1. 
Als erstes ist ab Seite 336 und Folgeseiten die für den vorliegenden Fall zugrundeliegende Berechnungsformel
zu eruieren. Hierfür muss unterschieden werden, ob freie Strömung (S.338) vorliegt oder erzwungene
Strömung (S.336) .
2. 
Aufgrund der Aufgabenstellung wird ersichtlich, dass für folgenden Fall nur die Formel 8.24a in Frage kommen
kann. Wobei folgende Beziehung gelten soll:
l=h
3. 
Für die weitere Berechung muss die Rayleigh-Zahl bekannt sein, sie errechnet sich gemäss Darstellung unten.
Die meisten erforderlichen Werte sind der Tabelle 8.2 / S.477 zu entnehmen:
Ra =
4. 
g ⋅ γ ⋅ (t fluid − t wand )⋅ l
g ⋅ γ ⋅ Δt ⋅ l
=
v⋅a
v⋅a
3
3
=
1
3
⋅ (61 − 59 )K ⋅ (0,4m )
K
= 8,9217 ⋅10 9
2
2
m
m
0,478 ⋅10 −6
⋅ 0,159 ⋅10 −6
s
s
9,81 ⋅ 0,00054
Die Prantel-Zahl kann ebenfalls aus der Tabelle 8.2 / S.477 entnommen werden:
Pr = 3,01
5. 
Nun ist der Wert f1 gemäss der Beziehung aus dem Buch (S.338 3. Spalte) zu ermitteln:
f1 =
6. 
1
⎡
⎢1 + ⎛⎜ 0,492 ⎞⎟
⎢ ⎝ Pr ⎠
⎣
9
16
⎤
⎥
⎥
⎦
16
9
1
=
⎡
⎢1 + ⎛⎜ 0,492 ⎞⎟
⎢ ⎝ 3,01 ⎠
⎣
= 0,578117
2
2
1
⎡
⎤
= ⎢0,825 + 0,387 8,92 ⋅109 ⋅ 0,578 6 ⎥ = 285,991
⎣
⎦
(
)
Hieraus kann nun unter Miteinbezug des Wärmeleitungskoeffizienten des Fluides (Wasser) die
Wärmeübergangszahl alpha bestimmt werden:
αM =
αM =
04.10.13
⎤
⎥
⎥
⎦
16
9
Der eben erhaltene Wert fliesst direkt in die Berechnung der Nusselt-Zahl ein:
1
Num = ⎡⎢0,825 + 0,387(Ra ⋅ f1 )6 ⎤⎥
⎣
⎦
7. 
9
16
λ ⋅ Nu m
l
λ ⋅ Nu m
l
=
=
λ ⋅ Nu m
h
λ ⋅ Nu m
h
=
0,651
W
⋅ 285,991
W
K ⋅m
= 465,45 2
0,4m
m K
Seite
39