Scriptum zur Vorlesung TECHNISCHEELEKTRIZIT Ä TSLEHREI für

Scriptum
zur
Vorlesung
T E C H N I S C H E
E L E K T R I Z I T Ä T S L E H R E
I
für Maschinenbauingenieure
P r o f . Dr. W. H a r t h
Institut
für Allgemeine E l e k t r o t e c h n i k
der Technischen Universität München
Herausgegeben von D i p l . - P h y s .
April
J.
1974
( A l l e Rechte v o r b e h a l t e n )
Angerstein
I n h a l t s ü b e r s i c h t
1. P h y s i k a l i s c h e Größen
1.1. Zahlenwert und E i n h e i t
1.2. Größengleichungen
1
1
3
2. G l e i c h s t r o m
3
2.1. E l e k t r i s c h e Größen und Grundgesetze
2.2. K i r c h h o f f ' s e h e Gesetze
2.3. G l e i c h s t r o m k r e i s e
3
11
13
3. Das e l e k t r o s t a t i s c h e Feld
3.1. Kondensator
3.2. Spannung und P o t e n t i a l im F e l d
3.3. I n f l u e n z und e l e k t r i s c h e Verschiebung
3.4. Spannung und Strom des Kondensators
3.5. P a r a l l e l - und Reihenschaltung von
Kondensatoren
3.6. Laden und E n t l a d e n des Kondensators
3.7. G e s p e i c h e r t e Energie im Kondensator
24
24
26
27
28
30
31
34
4. Das magnetische F e l d
35
4.1. Magnetische Feldstärke
36
4.2. Die magnetische Flußdichte oder
Induktion
38
4.3. M a g n e t i s c h e r Fluß
41
4.4. Magnetischer K r e i s
43
4.5. Das I n d u k t i o n s g e s e t z
45
4.6. Induktivität ( S e l b s t i n d u k t i o n )
46
4.7. E n e r g i e s p e i c h e r u n g im M a g n e t f e l d
49
4.8. Kräfte im M a g n e t f e l d
50
4.9. Kräfte a u f s t r o m d u r c h f l o s s e n e L e i t e r
im M a g n e t f e l d
51
4.10. Anwendung des I n d u k t i o n s g e s e t z e s b e i der
Spannungserzeugung
52
5. Wechselstrom
5.1. Sinusförmige Wechselgrößen
5.2. W i d e r s t a n d , Spule und Kondensator b e i
Wechselstrom
,
5.3. D a r s t e l l u n g von Wechselgrößen im
Zeigerbild
5.4. L e i s t u n g b e i Wechselstrom
5.5. E i n f a c h e Wechselstromkreise
6. Gleichstrommaschinen
57
57
58
61
63
68
75
6.1. Aufbau und Wirkungsweise
75
6.2. B e t r i e b s v e r h a l t e n der Gleichstrommaschine77
6.3. E r r e g e r s t r o m a r t e n
85
_ 1 -
1.
P h y s i k a l i s c h e Größen
1 .1
Zahlenwert und E i n h e i t
P h y s i k a l i s c h e Größen werden durch e i n e n Zahlenwert
und e i n e E i n h e i t gekennzeichnet.
(1.1)
P h y s i k a l i s c h e Größe = Zahlenwert • E i n h e i t
Beispiel:
m
=
3 kg
=
3
•1
kg
Für p h y s i k a l i s c h e Größen verwendet man o f t verschiedene
Einheiten:
B e i s p i e l : Die Z e i t t kann i n Tagen ( d ) , Stunden ( h ) ,
M i n u t e n (min) usw. gemessen werden.
Ei'nheitsumrechnung:
t = 2 d = 2 • 1 d = 2 ' 24 h = 48 • 1 h
48 • 60 min - 2880 • 1 min - 2880 • 60 s
= 172 800 * 1 s = 172 800 s
Um Zahlenwerte möglichst k u r z s c h r e i b e n zu können,
verwendet man dekadische V i e l f a c h e oder T e i l e .
10
1 2
10
9
10
10
3
6
E
=
1
TE
(Tera)
10
E
=
1
GE
(Giga)
10
E
*
1 ME
(Mega)
10"
E
-
1
(Kilo)
10~
kE
E
- 3
- 6
1 2
9
-
1 mE ( M i l l i )
E
-
1 yE ( M i k r o )
E
=
1 nE (Nano)
E - -
1 pE
Tab. 1.1 Abkürzungen für V o r s a t z z e i c h e n
(Piko)
- 2 -
Im I n t e r n a t i o n a l e n E i n h e i t s s y s t e m werden a l s Basisgrößen, von denen a l l e anderen Größen a b g e l e i t e t
werden, d i e in Tab. 1.2 zusammengestellten Größen
verwendet.
Formelzeichen
Einheit
Größe
Name
Zeichen
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm kg
Zeit
Sekunde
el.
Stromstärke Ampere
K e l v i n Tempera- K e l v i n
tur
Gandela
Lichtstärke
1,8
m
s
t
A
I
K
T
cd
L
Tab. 1.2 Basisgrößen des M ( e t e r ) - , K ( i l o g r a m m ) - ,
S(ekunde)-, A(mpere)-Systems
System)
(auch G i o r g i -
Aus den Basisgrößen der Tab.1.2 werden d i e anderen
Größen der Mechanik und E l e k t r o t e c h n i k a b g e l e i t e t
(Tab. 1.3).
Hinweis: D i e e l e k t r i s c h e L e i s t u n g w i r d im MKSASystem a u f mechanische E i n h e i t e n zurückgeführt:
b
0.2)
- 2 a -
b
Tab. 1.3 A b g e l e i t e t e Größen des MKSA-Systems
- 3 -
1.2
Größengleichungen
Größengleichungen s i n d Gleichungen, i n d i e p h y s i k a l i s c h e Größen nach (1.1) e i n z u s e t z e n s i n d . Größeng l e i c h u n g e n s i n d unabhängig von der Wahl der E i n heiten.
Beispiel: v = j
1 - 100 m
v
2.
2*1 •
2.1.1.
=
t - 10 s
=
10 s
10 s
Gleichstrom
E l e k t r i s c h e Größen und Grundgesetze
Leiter, Nichtleiter, Halbleiter
M a t e r i a l i e n kann man nach i h r e r Leitfähigkeit i n verschiedene Gruppen e i n t e i l e n :
Gut l e i t e n d e S t o f f e :
Leiter
Schlecht l e i t e n d e S t o f f e : N i c h t l e i t e r
Zwischen diesen .Gruppen:
Halbleiter
Leiter:
Metalle,
Grafit
...
N i c h t l e i t e r : Glas, Gummi, Keramik, PVC ...
H a l b l e i t e r : S i l i z i u m , Germanium ...
2.1.2.
E l e k t r i s c h geladene Körper
Elektrisch neutraler
Körper:
Die Summe a l l e r Ladungen i s t N u l l (Q = 0)
E l e k t r i s c h wirksam w i r d e i n Körper durch Ladungst r e n n u n g , Entzug oder Zufuhr von Ladungen.
E i n h e i t der Ladung:
1 C = 1 Coulomb
Die k l e i n s t e L a d u n g s e i n h e i t , die.Ladung eines
Elektrons, i s t
(2.1)
- 4 -
Sie i s t definitionsgemäß n e g a t i v .
1 C = - 6,25 '
10
1 8
Elektronenladungen
Zufuhr von E l e k t r o n e n
Entzug von E l e k t r o n e n
2.1.3.
n e g a t i v e Ladung
p o s i t i v e Ladung
K r a f t w i r k u n g auf e l e k t r i s c h e Ladungen im e l e k t r i s c h e n
Feld:
Die K r a f t F, d i e auf eine Ladung Q im Feld E w i r k t ,
h a t d i e Größe
(2.2)
Für d i e Beträge:
Bild
2.1
Plattenkondensator
Die Anordnung
in B i l d 2.1
nennt man P l a t t e n k o n d e n s a t o r
Negative Ladungen werden von der p o s i t i v e n P l a t t e angezogen, p o s i t i v e Ladungen werden abgestoßen.
M l gerne i n g i l t :
Ungleichnamige Ladungen ziehen s i c h an,
gleichnamige Ladungen stoßen s i c h ab.
Das e l e k t r i s c h e F e l d i s t im P l a t t e n k o n d e n s a t o r homogen
e s w i r d durch L i n i e n d a r g e s t e l l t ( F e l d l i n i e n ) , d i e von
Plus nach Minus l a u f e n .
2.1.4,
Elektrische
Spannung
\us der Feldstärke erhält man d i e Spannung U, wenn man
d i e Feldstärke E m i t der Länge der F e l d l i n i e n 1 m u l t i pliziert :
- 5 -
E i n h e i t der Spannung:
E i n h e i t der Feldstärke:
Die
1 Volt = 1 V
1
1 r
Meter
m
=
Spannung w i r d m i t P f e i l e n d a r g e s t e l l t ,
die
vom P l u s p o l ausgehen.
2.1.5.
E l e k t r i s c h e r Strom
Bild
2.2
Elektrischer
Strom
i n einem L e i t e r
Wird an e i n e n L e i t e r wie i n B i l d 2.2 e i n e Spannung U
a n g e l e g t , so fließt e i n Strom von E l e k t r o n e n
unter
der K r a f t w i r k u n g F des e l e k t r i s c h e n Feldes E = ^ .
Da durch Wechselwirkung m i t dem K r i s t a l l g i t t e r eine
bremsende K r a f t auf d i e E l e k t r o n e n w i r k t , kommt es zu
e i n e r k o n s t a n t e n Bewegung, der D r i f t , m i t der Geschwind i g k e i t v.
Definitionsgemäß i s t d i e S t r o m r i c h t u n g I der E l e k t r o n e n bewegung e n t g e g e n g e r i c h t e t .
2.1.6.
Elektrische
Stromstärke
Fließt e i n e Ladung Q i n der Z e i t t gleichmäßig durch
den L e i t e r q u e r s c h n i t t , dann g i l t
(2.4)
I w i r d in Ampere (A) gemessen.
Das Ampere i s t e i n e B a s i s e i n h e i t
Aus
(2.5)
2.4
folgt
- 6 -
Der zugeordnete S t r o m p f e i l w e i s t von Plus nach Minus,
a l s o entgegen der Bewegungsrichtung der E l e k t r o n e n
( v g l . B i l d 2.2).
2.1.7.
Elektrische Arbeit,
e l e k t r i s c h e Leistung
Aus der Beziehung für d i e mechanische A r b e i t
(2.6)
mech.
Arbeit
folgt
mit
(2.2)
F = Q
E
und
(2.3)
U = E
und m i t (2.4)
F = U * I ' t/1
Damit erhält man für d i e e l e k t r i s c h e A r b e i t W
(2.7)
el.
Arbeit
W = U • I * t
und
für
die
elektrische
(2.8) m i t
P = W/t
(2.9)
el.
Leistg.
P = U
Leistung
P
Die E i n h e i t der L e i s t u n g i s t 1 Watt,
d i e der A r b e i t
1 Joule
Aus
(2.8)
und
(2.9)
folgt
(2.10 a)
(2.10 b)
2.1.8.
Elektrischer
Widerstand
E l e k t r o n e n v e r l i e r e n durch i h r e ständigen Zusammen'
stoße m i t dem K r i s t a l l g i t t e r e i n e n T e i l i h r e r Bewegungsenergie, d i e dadurch i n Wärme umgesetzt w i r d .
- 7 -
Dem Strom w i r d dadurch Widerstand e n t g e g e n g e s e t z t .
Zwischen Strom U,
der Zusammenhang
(2.11)
Ohmsch.
Gesetz
Spannung I und Widerstand R b e s t e h t
U = R • I
Öhm'sches Gesetz
E i n h e i t des e l e k t r i s c h e n Widerstandes: 1 Ohm (fi)
(2.12)
1 n = 1 V/A
Der Strom i s t der a n g e l e g t e n Spannung p r o p o r t i o n a l
( P r o p o r t i o n a l s k o n s t a n t e R; s. B i l d 2.3)
. _
I
»
B i l d 2.3 Öhm'sches Gesetz und S c h a l t z e i c h e n für e i n e n
e l e k t r i s c h e n Widerstand
Der Widerstand eines L e i t e r s e r r e c h n e t s i c h aus
(2.-13)
p: s p e z i f i s c h e r Widerstand
1: Länge des L e i t e r s
A:
Q u e r s c h n i t t des
Leiters
Der s p e z i f i s c h e Widerstand i s t e i n e M a t e r i a l k o n s t a n t e
2.1.9.
E l e k t r i s c h e r L e i t w e r t und e l e k t r i s c h e Leitfähigkeit
A n s t e l l e von R und p können auch d i e r e z i p r o k e n Größen
L e i t w e r t G und e l e k t r i s c h e Leitfähigkeit < verwendet
werden:
- 8 -
(2.14)
Leitwert
(2.15)
Leitfähigk.
Damit kann man das Ohm'sehe Gesetz (2.11) auch s c h r e i b e n
(2.16)
2.1.10
Temperaturabhängigkeit des e l e k t r i s c h e n Widerstandes
Der s p e z i f i s c h e Widerstand p eines e l e k t r i s c h e n L e i t e r s
ist
temperaturabhängig.
Für p r a k t i s c h anwendbare Temperaturbereiche i s t d i e
l i n e a r e Näherung ( m e i s t ) h i n r e i c h e n d :
(2.18)
S p e z i f i s c h e r Widerstand b e i der Temperatur 0
S p e z i f i s c h e r Widerstand b e i der Temperatur 20° C
T e m p e r a t u r k o e f f i z i e n t b e i 20° C
*20
20
A0 2Q: Temperaturabweichung von 20° C
:
:
a2Q i s t i n großen T e m p e r a t u r b e r e i c h e n temperaturunabhängig. Trotzdem s o l l t e der T e m p e r a t u r k o e f f i z i e n t a u f
e i n e bestimmte Temperatur ( h i e r : 20° C) bezogen werden,
Der Widerstand R
Q
b e i der Temperatur © i s t dann
(2.17)
Aus (2.17) und (2.18)
R
9
=
p
folgt
20 !
( 1
+
a
20
mit
(2.19)
Die Beziehung (2.19)
i s t i n B i l d 2.4 d a r g e s t e l l t .
- 9 -
B i l d 2.4 Temperaturabhängigkeit des e l e k t r i s c h e n
Widerstands
Metalle/
Legierungen
Silber
Kupfer
Aluminium
Wolfram
Manganin
Konstantan
Kohle
-P2C-2 .
ümm
/m
0,016
0,0178
0,028
0,055
0,43
0,50
60-80
a20
I/o C
0,0038
0,0039
0,0038
0,0041
10-5
-3-10
-0,2 b i s 0,8
-5
Tab. 2.1 S p e z i f i s c h e r Widerstand und Temperaturkoe f f i z i e n t des
2.1.1 1
spez.
Widerstands e i n i g e r S t o f f e
Stromwärme
Die i n 2.1.8 - 2.1.10 behandelten Widerstände sind Wirkw i d e r s t a n d e oder ohm'sche Widerstände.
Sie entziehen dem S t r o m k r e i s E n e r g i e , d i e in Wärme
(Joule'sche Wärme) umgewandelt w i r d .
Die an einem Widerstand e n t w i c k e l t e L e i s t u n g P i s t
(2.2 0 )
- 10 -
B i l d 2.5 L e i s t u n g P i n Abhängigkeit von Strom und
Spannung an einem k o n s t a n t e n Widerstand R
2.1.1 2
S t r o m d i c h t e und e l e k t r i s c h e Feldstärke
Fließt durch e i n e n L e i t e r des Q u e r s c h n i t t s A der
Strom I , s o i s t d i e S t r o m d i c h t e S
(2.21)
Stromdichte
M i t (2.13) R = p • i und (2.21) l a u t e t das
Ohm'sche Gesetz
(2.22>)
Mit
(2.3)
U = E
•
1
folgt
(2.23 a)
(2.23 b)
(2.23 a) und (2.23 b ) g e l t e n a l l g e m e i n auch für i n homogene F e l d e r , wenn man s i e a l s V e k t o r g l e i c h u n g e n
schreibt:
(2'. 24 a)
(2.24 b)
- 11 -
2.1.1 3
Generator, Verbraucher
Bild
2.6 V o r z e i c h e n f e s t l e g u n g b e i
einer
Schaltung
aus Generator und Verbraucher
Der Strom fließt beim Verbraucher i n d i e p o s i t i v e
Klemme h i n e i n . Beim Generator kommt er aus der
p o s i t i v e n Klemme heraus.
2.2,
2.2.1.
K i r c h h o f f ' s e h e Gesetze
E r s t e s K i r c h h o f f ' s c h e s Gesetz, K n o t e n r e g e l
B i l d 2.7 S t r o m k r e i s m i t Generator und Verbraucher
in Parallelschaltung
- 12 -
Die Stromverzweigungspunkte K b i s K»» heißen auch
Knotenpunkte.
1
Für e i n e n Knotenpunkt g i l t
(2.25)
zu
ab
Die Summe der zufließenden Ströme i s t g l e i c h d e r
Summe der abfließenden Ströme.
Oder u n t e r Berücksichtigung der V o r z e i c h e n der Ströme
Die Ströme verzweigen s i c h an Knoten d e r a r t , daß für
j e d e n Knoten g i l t
(2.26)
(zufließende Ströme p o s i t i v , abfließende n e g a t i v
gerechnet.)
2.2.2.
Zweites K i r c h h o f f ' sches Gesetz, Maschenregel
Bild
2.8
Stromkreis
m i t Teilspannungen
Schaltung aus Verbraucher Ry
stand)
(Ohm'scher Wider-
und Generator G; R und R
H
R
sind die
.Widerstände der H i n - bzw. Rückleitung und R^
i s t der I n n e n w i d e r s t a n d des G e n e r a t o r s .
- 13 -
Nach B i l d 2.8 g i l t dann ( u n t e r Beachtung der R i c h t u n g
der
Spannungspfeile):
Allgemein
2. Kirchhoff 'sches
Gesetz
gilt:
Die Summe a l l e r Spannungen längs eines b e l i e b i g e n geschlossenen S t r o m k r e i s e s , e i n e r Masche , i s t Nu11
(2.27)
2.3.
Gleichstromkreise
2.3.1.
WiderStandsSchaltungen
2.3.1.1..
Reihenschaltung
B i l d 2.9 Reihenschaltung von Widerständen (a)
und E r s a t z S c h a l t u n g
(b)
Der Gesamtwiderstand e i n e r Reihenschaltung von Widerständen e r g i b t s i c h nach dem 2. K i r c h h o f f ' s e h e n Gesetz
Durch d i e S c h a l t u n g 2.9 a fließt der Strom I .
- 14 -
(2.28)
Eine R e i h e n s c h a l t u n g von Widerständen
läßt s i c h
durch e i n e n E r s a t z w i d e r s t a n d R entsprechend (2.28)
darstellen.
Die
Teilspannungen
im
Bild
2.9
b verhalten
s i c h wie
d i e Widerstände
(2.29)
2.3.1.2. P a r a l l e l s c h a l t u n g
B i l d 2i10 P a r a l l e l s c h a l t u n g
(a)
und E r s a t z s c h a l t u n g
(b)
Für B i l d 2.10 a g i l t nach dem 1. K i r c h h o f f * sehen Gesetz
(KnotenTegel):
- 15 -
weiter
I .i
R
U
s 1
. R.
l l
(2.30)
Die Teilströme v e r h a l t e n s i c h wie d i e r e z i p r o k e n
Widerstände:
(2.31)
2.3.2,
E r s a t z s c h a l t b i l d e r für G l e i c h s t r o m k r e i s e
2.3.2.1. E l e k t r i s c h e Maschinen
Verbraucherkreis
Bild
2.11
Generatorersatzschaltbild
Die i n n e r e L e e r l a u f Spannung U" v e r u r s a c h t e i n e n Strom I
durch den V e r b r a u c h e r k r e i s .
Am i n n e r e n Widerstand R^ des Generators e n t s t e h t e i n
Spannungsverlust I * R^. Damit i s t d i e Spannung U an
den Generatorklemmen
o
(2.32)
Klemmenspannung am
Generator
- 16 -
U=U +IR
uu
(
"flR, )U = const
0
IR )u =const
S
0
U = U -IR
0
i
Bild
2.12
Betriebskennlinie
eines
Generators
Aus B i l d 2.12 kann man ersehen:
S t e i g e n d e r Strom •+• k l e i n e r e Ausgangsspannung
b e i konstantem U .
o
Um e i n e k o n s t a n t e Ausgangsspannung zu e r r e i c h e n , muß
U , wie z. B. in B i l d 2.12 d a r g e s t e l l t , m i t wachsender
L a s t größer gemacht werden. Dies kann z. B. d u r c h Ände
rung des Magnetfeldes des Generators veranlaßt werden.
Q
Ähnliche Verhältnisse wie beim Generator
beim Motor ( B i l d 2.13).
Bild
2.13 E r s a t z s c h a l t b i l d des Motors
I n n e r e Spannung:
U
i n n e r e r Widerstand: R.
finden wir
- 17 -
Aus
Bild
2.13 f o l g t d i e Spannungsgleichung des Motors
(2.33)
Spannungsgleichung
d. Motors
U n t e r s c h i e d zum Generator: Nur d i e andere S t r o m r i c h t u n g
Betriebskennlinie:
B i l d 2.14 B e t r i e b s k e n n l i n i e des Motors
2.3.22
Akkumulator
B i l d 2.15 E r s a t z s c h a l t b i l d e i n e r A k k u m u l a t o r z e l l e
a) E n t l a d e n , b) Laden
- 18 -
Entladen:
Die i n n e r e Spannung U v e r u r s a c h t den
Strom- I d u r c h den äußeren S t r o m k r e i s .
Am i n n e r e n Widerstand R^ des E l e k t r o l y t e n t r i t t der Spannungsverlust
U «' R. • I a u f .
Die i n n e r e Spannung U i s t von Bauart
und Ladezustand der Z e l l e abhängig.
Q
o
Entladen,
Spannungsgleichung
nach
Bild
2.15:
(2.34)
Entladen
Akku
Ladebetrieb,
Spannungsgleichung:
(2.35)
Laden
Akku .
(Gegenüber Entladen,Umkehr
der
2.3.2.3.
Stromrichtung)
Leitungen
Bild
2.16
Ersatzschaltbild
einer
Gleichstromleitung
Beim Stromfluß durch L e i t u n g e n t r e t e n V e r l u s t e wegen
des L e i t u n g s w i d e r s t a n d s auf .
( L e i t u n g s w i d e r s t a n d R - p • -r , Gl. (2.13))
- 19 -
Spannungsgleichung
der
Leitung
(Bild
2.16)
(2.36)
Spannungsverlust am Ende e i n e r L e i t u n g
(2.37)
In der P r a x i s b e z i e h t man Spannungsverluste auf
e i n e Nennspannung
und g i b t d i e Abweichung i n
Prozent an:
(2.38)
Aus (2.37) und (2.13) e r g i b t s i c h für d i e gesamte
Leitung
iL - 2 • 100 • I • R
N
U
%
= 200 • I • p • 1 %
* N
A
U
1 = e i n f a c h e Länge, A = Q u e r s c h n i t t
Zulässige T o l e r a n z für U von öffentlichen Netzen ca. 5 %,
y
Leistungsverluste
der L e i t u n g
Bezogen auf d i e N e n n l e i s t u n g P^ = U-^ • I i s t der V e r l u s t
(2.41)
(2.42)
oder
- 20 -
2.3.5.
GleichStrommessungen
2.3.3.1. Messung von Widerständen
Nach U = R * I kann man aus Strom I und Spannung U den
Widerstand R bestimmen.
Dazu kann man zwei Schaltungen verwenden ( B i l d 2.17)
B i l d 2.17 Strom- und Spannungsmethode zur Messung von Widerständen
In der S c h a l t u n g nach 2.17 a mißt der Strommesser den
d u r c h den Widerstand R fließenden Strom.
Der Spannungsmesser jedoch z e i g t d i e Spannung
(2.43)
In der S c h a l t u n g nach 2.17 b mißt der Spannungsmesser
d i e tatsächliche Spannung U am W i d e r s t a n d . Der Strommesser mißt den zu großen Strom
V
Ry:
(2.44)
I n n e n w i d e r s t a n d des Spannungsmessers
Damit g i l t
- 21 -
Für genaue Messungen müssen d i e Innenwiderstände der
Meßgeräte berücksichtigt werden.
Für genaue Widerstandsmessungen verwendet man d i e
Wheatstone'sehe Brückenschaltung ( B i l d 2.18):
B i l d 2.18 Wheatstone'sehe Brücke
Der Strom I j j ' i s t dann N u l l , wenn für d i e beiden Maschen
der Brücke g i l t
J
1 N " 2 b "
R
:
R
0 ;
J
1 N
R
=
!
2 b
R
und h i e r a u s durch D i v i s i o n f o l g t
(2.45)
Die Widerstände R
und R, s i n d b e i der t e c h n i s c h e n
a
b
Ausführung a l s gemeinsamer Widerstand R + R, a u s g e l e g t ,
a
u
der e i n e n veränderlichen A b g r i f f h a t , der R + R^ i n R
und R^
teilt.
Durch Veränderung d i e s e s A b g r i f f s e r r e i c h t man, daß 1^
= 0 w i r d , d. h. das A b g l e i c h e n der Brücke.
g
a
- 22 -
Aus dem g e z e i g t e n Verhältnis der Drahtlängen a und b
der Widerstände R
a
und R, kann dann
b
(2.45)
bestimmt werden.
Die Brückeneinstellung i s t von der Spannung der
Spannungsquelle unabhängig.
2.3.3.2.
\
Anpassung
B i l d 2.19 s t e l l t eine Spannungsquelle m i t dem Innenw i d e r s t a n d R. und dem veränderlichen Außenwiderstand R
l
dar.
Bild
2.19
Leistungsanpassung
Für Strom und Spannung g e l t e n
Damit i s t d i e i n R e r z e u g t e L e i s t u n g ?
a
(2.46)
Die L e i s t u n g i s t maximal, wenn
a
a
- 23 -
R. + R
1
(2.47)
oder
R
a
2 Ra = 0
a
= R.
i
Maximale L e i s t u n g erhält man, wenn Innen- und Außenwiderstand g l e i c h sind.
Aus (2.46) f o l g t für d i e maximale L e i s t u n g
2
(2.48)
• o
U
a
max
4
R
i
Im B i l d 2.20 i s t d i e A u s g a n g s l e i s t u n g unabhängig vom
L a s t w i d e r s t a n d bezogen auf d i e maximale
gestellt.
T-. /r>
4
_
L e i s t u n g dar-
R /R.
a 1
7
B i l d 2.20 Leistung als Funktion des Widerstandsverhältnisses
Von der Spannungsquelle abgegebene L e i s t u n g :
U
p
= V
=
2
irrte
- 24 -
Die Größe P /P b e z e i c h n e t man a l s Wirkungsgradr\:
3.
(2.48 a)
B i l d 2.20 a: Der Wirkungsgrad n a l s F u n k t i o n von R /R.
Für sehr große R
3.
>> R. s t r e b t der Wirkungsgrad gegen 1.
X
Dieser F a l l w i r d i n der S t a r k s t r o m t e c h n i k a n g e s t r e b t .
3.
Das e l e k t r o s t a t i s c h e Feld
E l e k t r i s c h e F e l d e r i n strömungsfreien I s o l a t o r e n (p -> « ,
S -*• 0) b e z e i c h n e t man a l s e l e k t r o s t a t i s c h e F e l d e r .
Beispiel:
3.1
Plattenkondensator
(Bild
2.1)
Kondensator
Nach 2.1.3. s i n d d i e auf den E l e k t r o d e n g e s p e i c h e r t e n
Ladungen d i e Ursache des e l e k t r i s c h e n Feldes zwischen
den E l e k t r o d e n . F e l d l i n i e n stehen senkrecht auf den
K o n d e n s a t o r p l a t t e n . (Sonst würde auf d i e P l a t t e n eine
K r a f t wirken.)
Die Ladung auf den K o n d e n s a t o r p l a t t e n i s t der Spannung
proportional:
- 25 -
C nennt man d i e Kapazität.
Die E i n h e i t der Kapazität i s t 1 Farad (1 F)
In der Technik werden Kondensatoren der Größenordnung
pF b i s yF verwendet. Die Kapazität eines Kondensators
kann aus der Geometrie und den M a t e r i a l e i g e n s c h a f t e n
des M a t e r i a l s zwischen den P l a t t e n , des D i e l e k t r i k u m s ,
e r m i t t e l t werden.
Z. B. g i l t für den Kondensator aus B i l d 2.1
(3.2)
Plattenfläche
Plattenabstand
Dielektrizitätskonstante
(3.3)
F/m, e = Dielektrizitätsk o n s t a n t e des Vakuums
Q
= r e l a t i v e ( d i m e n s i o n s l o s e ) Dielektrizitätsk o n s t a n t e (DK) .
e g i b t an, um w i e v i e l d i e Kapazität eines Kondensators
d u r c h Einfügen des M a t e r i a l s m i t der DK = e erhöht w i r d
r
r
Stoff
Vakuum
Luft
Pertinax
Porzellan
Wasser
Silizium
G
r
1
1
5
5,5
80
12
T a b e l l e 3.1 R e l a t i v e Dielektrizitätskonstante für e i n i g e
Stoffe
- 26 -
3.2
Spannung und P o t e n t i a l im Feld
Bild
3.1
Plattenkondensator mit S t r e u f e l d
Im I n n e r n des Kondensators: homogenes F e l d
Außen:
inhomogenes F e l d
Für b e l i e b i g e s ( z . B. inhomogenes) Feld g i l t
->
-y
dU = E * ds
( e n t s p r e c h e n d U = E • 1 für homogenes Feld)
Allgemein:•
(3.4)
Aus
Bild
3.1
TI
f o l g t mit
1 2
=
r
(3.4)
U * a
1
Spannungen werden immer auf e i n e n Bezugspunkt bezogen.
Der einem Punkt zugeordnete Spannungswert w i r d P o t e n t i a l
genannt.
Ilaben zwei Punkte 1 und 2 d i e P o t e n t i a l e <J> ^ und <f> 2» so
i s t d i e Spannung U ^ d i e P o t e n t i a l d i f f e r e n z :
- 27 -
$
3.3
Influenz
1 2
1
und
-
-e-
u
> <j> : U
?
*2 --
-
1?
2'
r -*• ->E d s
positiv
elektrische
Verschiebung
B r i n g t man zwei m e t a l l i s c h e Scheiben 1 und 2 in e i n
K o n d e n s a t o r f e l d und nimmt s i e g e t r e n n t heraus ( B i l d 3 . 2 ) ,
so z e i g t s i c h , daß jede Scheibe eine e l e k t r i s c h e Ladung
trägt: Die e l e k t r i s c h e n Ladungen s i n d i n f l u e n z i e r t worden. Diese Erscheinung heißt I n f l u e n z .
Bild
3.2
Influenz
Ursache: Die e l e k t r i s c h e Feldstärke v e r s c h i e b t d i e
Ladungen. N e g a t i v e Ladungen ( E l e k t r o n e n ) werden zur
p o s i t i v e n P l a t t e h i n verschoben, P o s i t i v e zur n e g a t i v e n
P l a t t e . Die Beträge der g e t r e n n t e n Ladungen s i n d g l e i c h
groß.
Die Flächenladungsdichte der i n f l u e n z i e r t e n Ladung i s t
g l e i c h der Flächenladungsdichte auf den Kondensatorplatten.
Die pro Flächeneinheit verschobene Ladung heißt e l e k t r i s c h e Verschiebung D . I h r Betrag i s t
(3.6)
A: Fläche der P r o b e p l a t t e
- 28 -
Zusammenhang V e r s c h i e b u n g D - Feldstärke E
D = 3 = CU C l
A
A ' A
(3.7a)
=
U
E = eE
D i s t der Feldstärke p r o p o r t i o n a l , d i e P r o p o r t i o n a litätskonstante i s t d i e Dielektrizitätskonstante G .
(3.7b)
3.4
D = eE
Spannung und Strom des Kondensators
Die Beziehung (3.1) Q = C • U i s t e i n e s p e z i e l l e Form
der a l l g e m e i n e r e n Gleichung
(3.9)
q, u: A u g e n b l i c k s w e r t e für Ladung und Spannung
( k l e i n e Buchstaben verwendet man im a l l g e m e i n e n b e i
z e i t l i c h veränderlichen Größen)
Die Spannungsänderung du führt zur Ladungsänderung dq
(3.10)
(3.11)
nach der Z e i t d i f f e r e n z i e r t
(3.12)
Mit
(3.11)
e r g i b t s i c h d i e a l l g e m e i n e Kondensatorgleichung
(3.13)
B i l d 3.4 S c h a l t z e i c h e n eines Kondensators
- 29 -
I n B i l d 3.4 s i n d d i e Zählpfeile für Strom und Spannung
am S c h a l t z e i c h e n des Kondensators d a r g e s t e l l t .
Bei k o n s t a n t e r Spannung fließt k e i n Strom in den Kondensator ( 3 . 1 3 ) . K o n s t a n t e r Stromfluß in den Kondens a t o r führt zu l i n e a r e m Spannungsanstieg: u = ^ • t
(3.13). A.uf e i n e n P.lattenkondensator (C
A
~) ange-
wendet e r g i b t m i t u = 1 " E ( t )
(3.14)
B e z i e h t man den Strom auf d i e Kondensatorfläche und
verwendet man d i e Beziehung ( 3 . 7 b ) , so erhält man
(3.15)
s i s t g l e i c h der z e i t l i c h e n Änderung der e l e k t r i s c h e n
Verschiebung. Deswegen nennt man den Kondensatorstrom
auch Verschiebungsstrom im U n t e r s c h i e d zum L e i t u n g s s t r o m .
Durch das i s o l i e r e n d e D i e l e k t r i k u m des I s o l a t o r s fließt
k e i n Strom.
Sind i n einem Kondensator verschiedene D i e l e k t r i k a ges c h i c h t e t angeordnet ( B i l d 3.3), s o i s t d i e e l e k t r i s c h e
Verschiebung i n beiden D i e l e k t r i k a g l e i c h . Sie i s t a l l e i n
durch d i e Ladung
und den P l a t t e n q u e r s c h n i t t gegeben.
Die Feldstärken v e r h a l t e n s i c h umgekehrt wie d i e
D i e l e k t r i z itätskonstanten.
B i l d 3.3 Geschichtete Dielektrika
- 30 -
P a r a l l e l - und Reihenschaltung von Kondensatoren
Bild
3.5
Parallelschaltung
von
Kondensatoren
Bei P a r a l l e l s c h a l t u n g l i e g e n a l l e Kondensatoren
Spannung I I . Für den Strom g i l t dann
an der
Bei der Reihenschaltung ( B i l d 3.6) i s t der Strom i bzw.
d i e Ladung q b e i a l l e n Kondensatoren g l e i c h .
Bild
3.6
Reihenschaltung
von
Kondensatoren
- 31 -
An den Kondensatoren l i e g e n d i e n Einzelspannungen
Wegen
(3.18 a)
(3.18 b)
(3.19)
mit
Die Reihenkapazität C berechnet s i c h wie der E r s a t z w i d e r s t a n d e i n e r P a r a l l e l s c h a l t u n g von Widerständen.
ß
3.6
Laden und E n t l a d e n des Kondensators
Legt man an den S t r o m k r e i s aus B i l d 3.7 eine Spannung,
so fließt k u r z z e i t i g e i n Strom, der den Kondensator auflädt.
B i l d 3.7 Laden e i n e s Kondensators
Nach der Maschenregel g i l t
(3.20)
(3.21)
Dabei i s t
(3.22)
T = RC
die Zeitkonstante des Ladevorgangs.
- 52 -
Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (5.21) h a t für d i e Klemmenspannung des Kondensators d i e Lösung
(3.23)
U (1 - e~^)
u
c
C
d
t
M i t i = C • - r ~ - erhält man für den Strom
(3.24)
i
:
U .
e~R
(Anfangsbedingung: = 0 für t = 0)
Der z e i t l i c h e V e r l a u f von Strom und Spannung i s t im B i l d 5.8
gezeigt:
u
c
•Stromstoß
B i l d 5.8 KondensatorSpannung u und Ladestrom i eines
c
Kondensators b e i einem Spannungssprung der
Gleichspannung U
(Schalter!)
B i l d e t man d i e Tangente
an den Strom
zur Z e i t t = 0, so i s t der Abszissenabstand der Tangente
( i = 0) die Zeitkonstante T.
r
Schließt man nach dem Laden d i e Klemmen der G l e i c h s t r o m quelle kurz,
so w i r d der Kondensator e n t l a d e n .
- 33 -
Es g i l t dann
(3.25)
Diese D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g hat für d i e Klemmenspannung
des Kondensators d i e Lösung
(3.26)
Für den E n t l a d e s t r o m des Kondensators erhält man
du
( m i t i = C^y~)
c
(3.27)
Strom und Spannung s i n d im B i l d 3.0 d a r g e s t e l l t
•\nfanfrsbedingung i s t u
= l! für t = 0
B i l d 3.9 Entladevorgang beim Kondensator
- 34 -
Lade- und Entladevorgänge nennt man auch A u s g l e i c h s vorgänge, d i e m i t e i n e r t y p i s c h e n Z e i t k o n s t a n t e ablaufen,
3.7
Gespeicherte Energie
im Kondensator
Beim Laden oder Entladen fließt dem Kondensator L e i stung zu bzw. aus ihm ah.
Der Momentanwert der L e i s t u n g i s t
(3.28)
Beginnt der Ladevorgang m i t U
= 0 h e i t = n und endet
mit u ( t | ) = I I , s o i s t d i e g e s p e i c h e r t e
.ncrnie
(3.29)
(3.30)'
Beim Laden nimmt der Kondensator d i e s e L e i s t u n g a u f .
Beim E n t l a d e n g i b t er s i e wieder ab.
Anwendung: K o n d e n s a t o r b a t t e r i e für E l e k t r o ( p u n k t ) schweißen, L i c h t b l i t z l a m p e n usw.
- 35 -
4.
Das magnetische Feld
Magnetisches F e l d : Raum, i n dem d i e a l l g e m e i n bekannten
magnetischen Erscheinungen a u f t r e t e n wie z. B. Kräfte
auf E i s e n t e i l e .
Das magnetische Feld w i r d durch F e l d l i n i e n d a r g e s t e l l t
(Bild
4.1).
Es g i b t keine überschüssigen magnetischen Ladungen wie
z. B. beim e l e k t r i s c h e n F e l d , das aus Ladungen ( Q u e l l e )
e n t s t e h t und an Ladungen m i t entgegengesetzten Vorzeichen
endet (Senke).
B i l d 4.1 F e l d b i l d eines hufeisenförmigen Dauermagneten
Die F e l d l i n i e n des magnetischen Feldes s i n d immer geschlossen ( s . B i l d 4.1). Man s a g t , das magnetische Feld
i s t q u e l l e n f r e i (im Gegensatz zum e l e k t r i s c h e n Q u e l l e n feld) .
Die r e l a t i v schwachen F e l d e r natürlicher Magneten s p i e l e n
i n der Technik f a s t k e i n e R o l l e . Zur Erzeugung von Kräften,
Drehmomenten und e l e k t r i s c h e n Spannungen in Maschinen
und T r a n s f o r m a t o r e n benötigt man s t a r k e M a g n e t f e l d e r
(50 000 mal stärker a l s das E r d m a g n e t f e l d ) , d i e durch
Ströme in D r a h t w i c k l u n g e n h e r v o r g e r u f e n werden. Diese
F e l d e r nennt man e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d e r .
- 56 -
4.1
Magnetische Feldstärke
I n B i l d 4.2 i s t g e z e i g t , wie durch Magnetnadeln (Kompass)
d i e Richtung des Magnetfeldes eines s t r o m d u r c h f l o s s e n e n
Drahtes bestimmt werden kann.
Magnetnadeln s t e l l e n s i c h immer t a n g e n t i a l zum Magnetf e id ein.
Das Magnetfeld w i r d durch magnetische
g e s t e l l t und durch den V e k t o r II der
stärke b e s c h r i e b e n .
Die Richtung des Magnetfeldes II i s t
an d i e durch den b e l i e b i g e n Punkt P
hende F e l d l i n i e so d e f i n i e r t , daß i n
Magnetnadel i n d i e p o s i t i v e R i c h t u n g
Bild
4.2
Definition
des
F e l d l i n i e n darmagnetischen F e l d durch d i e Tangente
im M a g n e t f e l d geP der Nordpol der
weist.
Magnetfeldes
Stromumkehr h a t Magnetfeldumkehr zur F o l g e .
M e r k r e g e l : Eine in R i c h t u n g des Stromes v o r g e t r i e b e n e
rechtsgängige Schraube g i b t durch i h r e Drehung d i e
Richtung von II an ( v e r g l e i c h e B i l d 4.3).
Bild
4.3
Schraubenzieherregel
- 37 -
E i n Maß für den Betrag von II i s t das Drehmoment M, das
e r f o r d e r l i c h i s t , u m eine Magnetnadel aus i h r e r t a n g e n t i a l e n Lage zum F e l d II herauszudrehen.
Für das M a g n e t f e l d eines L e i t e r s e r g i b t das Experiment
(4.1)
S e t z t man 1 = 2-rrr, 1 = F e l d l i n i e n länge, so f o l g t für
d i e Feldstärke
(4.2 a)
(4.2 b)
Bei b e l i e b i g g e f o r m t e r magnetischer F e l d l i n i e l a u t e t
(4.2 b) a l l g e m e i n
(4.2 c)
m i t dem Umlauf auf e i n e r geschlossenen F c l d l i n i e.
E i n F e l d , das um"einen Kern geschlossen i s t , heißt auch
Wirbelfeld.
M a g n e t f e l d : O u e l l e n f r e i e s W i r b e l f e l d . Im Gegensatz dazu:
E l e k t r i s c h e s Feld: W i r b e l f r e i e s Quellenfeld.
B i l d 4.5 z e i g t verschiedene I n t e g r a t i o n s w e g e , d i e um
e i n i g e L e i t e r beschrieben s i n d :
Bild
4.5
Zum
Durchflutungsgesetz
- 38 -
Allgemein
gilt
(4.3)
(Durchflutungsgesetz)
0 : Durchflutung
M i t (4.3) kann man das F e l d e i n e r Ringspule ( B i l d 4.6)
berechnen:
n
Windungen
mittlere Feldlange l
magnetischer oder unmagnetischer Ring
B i l d 4.6 Feld e i n e r Ringspule
Die Spule hat n Windungen. M i t t l e r e r F e l d l i n i e n u m f a n g :
1
In-tegrationsweg : e n t l a n g der F e l d l i n i e .
Durch d i e von der F e l d l i n i e begrenzte Kreisfläche t r i t t
der Strom n-mal h i n d u r c h :
mit
4.2
D i e magnetische Flußdichte oder I n d u k t i o n
Wird d e r Raum um e i n e n s t r o m d u r c h f l o s s e n e n L e i t e r m i t
L u f t s t a t t m i t Eisen gefüllt, so ändert s i c h an d e r
F e l d v e r t e i l u n g n i c h t s . Man weiß j e d o c h , daß am Übergang Eisen
- 39 -
L u f t , etwa i n einem L u f t s p a l t , eine s t a r k e K o n z e n t r a t i o n
des magnetischen Feldes a u f t r i t t . Zur C h a r a k t e r i s i e r u n g
des U n t e r s c h i e d s von L u f t und anderen W e r k s t o f f e n w i r d
der F e l d v e k t o r der magnetischen Flußdichte oder Indukt i o n B eingesetzt.
I h r e E i n h e i t i s t 1 Tesla (1 T)
Verwendet w i r d i n der P r a x i s auch d i e E i n h e i t Gauß (G)
Die R i c h t u n g e n von B und H s i n d immer g l e i c h . Der'Betrag
->von B i s t vom W e r k s t o f f abhängig.
Der Zusammenhang zwischen B und H w i r d d u r c h
(4.4)
gegeben, y: Permeabilität
D i e Permeabilität y g i b t das m a g n e t i s c h e . V e r h a l t e n eines
W e r k s t o f f e s wieder und hat d i e Dimension
Im Vakuum und m i t großer Annäherung für a l l e unmagnetischen
S t o f f e ( L u f t , Glas, H^O, C, Ag, ...) i s t y = y .
: Permeabilität des Vakuums
0
y
n
(4.5)
Bei f e r r o m a g n e t i s c h e n S t o f f e n wie E i s e n , K o b a l t , N i c k e l
usw. i s t y w e i t größer a l s b e i unmagnetischen S t o f f e n .
Die I n d u k t i o n i n magnetischen S t o f f e n i s t dann u m e i n
V i e l f a c h e s größer a l s i n L u f t , wenn der ganze Feldraum
m i t dem magnetischen W e r k s t o f f gefüllt i s t .
- 40 -
Zur C h a r a k t e r i s i e r u n g von W e r k s t o f f e n führt man d i e
r e l a t i v e Permeabilität. y e i n .
Dann g i l t
r
p i s t für magnetische W e r k s t o f f e e i n e F u n k t i o n der
Feldstärke:
w i r d dann g r a p h i s c h wie i n
B i l d 4.7 d a r g e s t e l l t .
B i l d 4.7 M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e m i t Neukurve und Hysteresisschleife
Ausgehend vom Zustand II = B = 0 erhält man b e i S t e i g e r u n g
des ErregerStroms d i e Neukurve. Im oberen T e i l e r k e n n t man
d i e Sättigung von B m i t I I .
Wird II auf N u l l r e d u z i e r t , so erhält man für II = 0 e i n
B = .B r#0. Diesen Wert nennt man d i e Remanz B r.
Um d i e remanente M a g n e t i s i e r u n g aufzuheben (B = 0) muß eine
umgekehrte ( n e g a t i v e ) Feldstärke a u f g e b r a c h t werden, d i e
K o e r z i t i v k r a f t H^. S t e i g e r t man das F e l d in n e g a t i v e r Richtung w e i t e r b i s zur Sättigung, senkt i h n auf N u l l und
s t e i g e r t wieder i n p o s i t i v e r R i c h t u n g , so durchläuft man
d i e H y s t e r e s e s c h l e i f e des B i l d e s 4.7.
- 41 -
Remanenz B t r i t t wegen der i n n e r e n Reibung der
Elementarmagnete (Dauermagnete von m o l e k u l a r e r Größe)
a u f . Um d i e s t a t i s t i s c h e Unordnung der Elementarmagnete zu e r r e i c h e n (B = 0) i s t Energie durch d i e Koezitivkraft
aufzubringen.
Die a u f g e b r a c h t e Energie w i r d i n Wärme übergeführt.
Diese H y s t e r e s e - V e r l u s t e s i n d der Fläche der Hysterese
schleife proportional.
r
Bei magnetischen W e r k s t o f f e n s o l l t e d i e Fläche der
H y s t e r e s e s c h l e i f e möglichst k l e i n s e i n ; solche S t o f f e
nennt man weiche magnetische S t o f f e .
Permanentmagnete s o l l e n e i n e b r e i t e H y s t e r e s e s c h l e i f e
haben: Harte magnetische W e r k s t o f f e m i t hoher Remanenz und großer K o e z i t i v k r a f t .
4.3
M a g n e t i s c h e r Fluß
Der magnetische Fluß
der durch d i e Fläche A h i n d u r c h t r i t t , e r g i b t s i c h aus
(4.7 a)
1
[Vs]'= 1 [Wb]
Wb: Weber
(4.7 a) s e t z t e i n über der Fläche A homogenes F e l d voraus.
Diese Bedingung i s t n i c h t notwendig, wenn man wie i n
B i l d 4.9
B i l d 4.9 Skalares Produkt zwischen Flächennormalen
und
Induktion
- 42 -
von einem Flächenelement dA. ausgeht, in dem das Magnet->•
f e l d durch den V e k t o r B gegeben i s t .
(4.7 b)
Nach I n t e g r a t i o n erhält man
C4.7 c)
B e i s p i e l : Magnetischer Fluß im Ring e i n e r R i n g s p u l e :
(Das magnetische F e l d i s t q u e l l e n f r e i )
- 43 -
Magnetischer K r e i s
Der Fluß <f> t r i t t immer i n geschlossenen Bahnen a u f :
magnetischer
Kreis.
W i c h t i g e Anwendung:
E r z i e l u n g eines bestimmten Flusses i n einem L u f t s p a l t
(Bild
4.11)
B i l d 4.11 Ringspule m i t L u f t s p a l t
Unter Vernachlässigung-von . S t r e u f e l d e r n und der.Annahme,
daß das Feld im Q u e r s c h n i t t \ homogen i s t , g i l t (nach 4.3)
Hp: Feldstärke im E i s e n
Up: Feldstärke im L u f t s p a l t
Nach (4.8) i s t
Bp: I n d u k t i o n im Eisen
B : I n d u k t i o n in L u f t
T
- 44 -
Für B ~ H (ohne Sättigung) i s t m i t B = y
E
0
• y •
r
(4.11)
(mit y
r
>> 1
-*•
H. >> Hg)
Aus (4.11) und(4.9) f o l g t
(4.12)
Für vorgegebenen Fluß <j> = y • 11^ • A im L u f t s p a l t erhält man d i e Amperewindungszahl ( D u r c h f l u t u n g ) :
Q
(4.13)
Analog zum Ohm'sehen Gesetz kann man e i n Ohm' sches Gesetz
für magnetische K r e i s e a u f s t e l l e n :
(4.14)
(4.15)
mit
( 1 : m i t t l e r e Feldlinienlänge)
Gleichung (4.13) b e d e u t e t , daß d i e Ringspule m i t L u f t s p a l t
e i n e r S e r i e n s c h a l t u n g von magnetischen Widerständen e n t spricht .
s. auch B i l d 4.12
(Für y » 1: R /R
« 1)
E
L
r
Bild
4.5
4.12
E r s a t z s c h a l t b i l d des magnetischen Kreises
4.11
Das I n d u k t i o n s g e s e t z
Eine kreisförmige Drahtwindung ( B i l d 4.13) b e f i n d e s i c h im
M a g n e t f e l d m i t dem Fluß $.
Bild
4.13
Zum
Induktionsgesetz
Bei Flußänderung d<f> w i r d i n der Drahtwindung d i e Spannung
(4.16)
induziert.
(4.16) i s t das I n d u k t i o n s g e s e t z für i n d u z i e r t e Spannung
Die Spannung u heißt UmlaufSpannung.
Bei N Drahtwindungen erhält man
(4.17)
- 46 -
I n B i l d 4.14 s i n d d i e Richtungen der Größen einander
zugeordnet.
B i l d 4.14 Zuordnung von Flußordnung, i n d u z i e r t e r Spannung
und
Strom
Die i n d u z i e r t e Spannung i s t s o g e r i c h t e t , daß e i n von i h r
e r z e u g t e r Strom d i e Flußänderung zu v e r h i n d e r n sucht
(Lenz'sches G e s e t z ) .
Das I n d u k t i o n s g e s e t z sagt n i c h t s darüber aus, wie der
magnetische Fluß e r z e u g t w i r d und wie d i e Flußänderung
in der Windungsfläche zustande kommt.
Induktivität
(Selbstinduktion)
Gegeben: Spule m i t N Windungen, I n n e n w i d e r s t a n d R^ = 0
(Bild
Bild
4.15).
4.15
Selbstinduktion einer
Luftspule
D i e z e i t l i c h e Änderung des Spulenstroms v e r u r s a c h t eine
z e i t l i c h e Änderung des Flusses und damit d i e i n d u z i e r t e
Spannung u : Diese Erscheinung heißt S e l b s t i n d u k t i o n .
- 47 -
(4.18)
Das F e l d im I n n e r e n e i n e r L u f t s p u l e i s t homogen:
(4.19)
A: S p u l e n q u e r s c h n i t t
(4.20)
1: Spulenlänge
mit
(4.21)
Allgemeingültig
ist
(4.22)
(4.22) und (4.21):
(4.23)
L heißt d i e I n d u k t i v : t a t der Spule
Ii:
Henry
Eine Spule h a t d i e Induktivität 1 I I , wenn d i e Stromänderung
eine Spannung von 1 V e r z e u g t .
B i l d 4.16 S c h a l t z e i c h e n der i d e a l e n Spulen (Induktivität)
Bei L u f t s p u l e n hängt L nur von der Geometrie und der Windungszahl ab.
Bei eisengefüllten Spulen muß d i e Permeabilität
Pr
des
- 48 -
Eisens berücksichtigt werden, wobei jj^ e i n e F u n k t i o n
des Stroms s e l b s t i s t . ( v e r g l . B i l d 4 . 7 ) .
4.6.1.
P a r a l l e l s c h a l t u n g von Induktivitäten
B i l d 4.17 P a r a l l e l s c h a l t u n g von Induktivitäten'
Nach B i l d 4.17 g i l t :
(4.25)
4*6.2.
R e i h e n s c h a l t u n g von Induktivitäten
B i l d 4.18 R e i h e n s c h a l t u n g von Induktivitäten
- 49 -
Nach B i l d 4.18 g i l t :
m i t der Ersatzinduktivität
(4.26)
4.7
E n e r g i e s p e i c h e r u n g im M a g n e t f e l d
Fließt e i n Strom i n d i e Induktivität L, so w i r d
magnetische Energie P ( t ) i n der Spule g e s p e i c h e r t
(4.27)
Einen anderen Ausdruck erhält man nach Gl (4.17)
(4.28)
Al = V = Spulenvolumen
HdB i s t dann d i e g e s p e i c h e r t e Energie pro V o l u m e n e i n h e i t
Mit
(4.29)
gilt:
- 50 -
V e r g l e i c h g e s p e i c h e r t e r Energie b e i
Kondensator
E = 3000 kV/cm
Induktivität
B = 1,5 T
(Feldstärke E)
Die g e s p e i c h e r t e n E n e r g i e n können i n Spulen w e i t
größer s e i n a l s i n Kapazitäten.
Kräfte im M a g n e t f e l d
An s e n k r e c h t zur I n d u k t i o n gelegenen Trennflächen verschiedener S t o f f e i n einem magnetischen K r e i s t r e t e n
magnetische Kräfte auf ( B i l d 4.19).
Bild
4.19
Kraft
zwischen Magnetpolen
Im L u f t s p a l t h e r r s c h t nach (4.29) d i e magnetische
Energie
- 51 -
Die gegen d i e K r a f t F auf der Länge d l g e l e i s t e t e
A r b e i t i s t Fdl
(4.30)
Die Richtung der magnetischen K r a f t z e i g t s t e t s zum
2
W e r k s t o f f m i t der k l e i n e r e n Permeabilität h i n . F ~ B ,
unabhängig von der R i c h t u n g von B, bzw. unabhängig von
der S t r o m r i c h t u n g der E r r e g e r s p u l e .
4.9
Kräfte auf s t r o m d u r c h f l o s s e n e L e i t e r im Magnetfeld
E i n vom Strom I d u r c h f l o s s e n e r L e i t e r b e f i n d e s i c h i n
einem homogenen M a g n e t f e l d
( B i l d 4.20).
B i l d 4.20 Magnetische K r a f t F auf einem s t r o m d u r c h f l o s senen L e i t e r im homogenen M a g n e t f e l d
Der Strom I r u f t um den Draht e i n M a g n e t f e l d m i t k r e i s förmigen F e l d l i n i e n h e r v o r , das s i c h m i t dem homogenen
Feld
überlagert.
Im B i l d 4.20 w i r d das F e l d r e c h t s vom L e i t e r verstärkt,
l i n k s geschwächt. Damit w i r k t eine K r a f t F a u f den L e i t e r ,
d i e vom L e i t e r i n Richtung zum geschwächten Feld z e i g t .
- 52 -
F i s t a l s o senkrecht zur S t r o m r i c h t u n g und zur R i c h tung von B. Man kann d i e R i c h t u n g der K r a f t auch nach
Bild
4.21
ermitteln.
B i l d 4.21 Bestimmung der R i c h t u n g von F nach der
Schraubenregel
Dreht man den S t r o m p f e i l I auf den kürzesten Weg in
R i c h t u n g von B, so erhält man den Drehsinn einer, r e c h t s gängigen Schraube, d i e s i c h i n R i c h t u n g von F bewegt.
B i l d e n I und B j e w e i l s r e c h t e Winkel m i t e i n a n d e r , so e r hält man
(4.31)
Schließen I und B. den Winkel a e i n , so g i l t
(4.32)
vektoriell_i
4.10
Anwendung des I n d u k t i o n s g e s e t z e s b e i der Spannungserzeugung
4.10.1. T r a n s f o r m a t o r i s c h e Spannung^erzeugung
In ruhenden Spulen werden e l e k t r i s c h e Spannungen durch
Änderung des magnetischen Flusses i n d u z i e r t ( v e r g l . Abs c h n i t t 4.6).
Die Flußänderungen werden i h r e r s e i t s durch veränderliche
- 53 -
Ströme in den Wicklungen h e r v o r g e r u f e n .
Der i d e a l e T r a n s f o r m a t o r ( B i l d 4 . 2 2 ) trägt eine P r i märspule m i t N.| Windungen und e i n e Sekundärspule m i t
N Windungen. Die Primärspule w i r d an d i e veränderl i c h e Spannung u^ angeschlossen.
2
Bei L e e r l a u f s i n d d i e Klemmen der Sekundärspule o f f e n .
Eisenkern
starre
Spannung
B i l d 4.22 T r a n s f o r m a t o r m i t E i s e n k e r n
u^ r u f t e i n e n Primärstrom i
^ hervor (Leerlauf-oder
M a g n e t i s i e r u n g s s t r o m des T r a n s f o r m a t o r s ) .
Die D u r c h f l u t u n g
e r z e u g t den Fluß <{> . Wenn beide
Spulen vom g l e i c h e n Fluß ^> d u r c h s e t z t und widerstandsl o s (R..
=
^2 " 0 ) angenommen werden, erhält man
=
(4.33)
(4.34)
N
rj—
=
Ubersetzungsverhältnis
J e t z t werde d i e Sekundärwicklung m i t dem Widerstand R
b e l a s t e t ( B i l d 4.23) . Dann fließt i n der Sekundärspule
e i n Strom i - .
- 54 -
B i l d 4.23
B e l a s t e t e r Transformator
±2 e r z e u g t e i n e D u r c h f l u t u n g ^2^2» d i e der des M a g n e t i s i e r u n g
S t r o m s und damit auch der Flußänderung e n t g e g e n w i r k t .
^2 b e w i r k t e i n e Flußänderung d^>*/dt, d i e e i n e Gegenspannung
N j d ^ * / d t i n der Primärspule e r z e u g t .
Zur A u f r e c h t e r h a l t u n g der s t a r r e n Spannung u.| muß in der
Primärspule e i n zusätzlicher Strom i ^ fließen, der i n s e i ner Wirkung auf den Fluß <j> d i e D u r c h f l u t u n g N^i 2 a u f h e b t .
Bis auf den Leerlaufström
herrschtDurchflutungsgleichgewicht:
0
1
N i
l
(4.35)
und
=
1
0
2.
= N i
2
2
damit
(4.36)
(4.37)
4.10.2.
R o t a t o r i s c h e Spannungserzeugung
I n r o t i e r e n d e n e l e k t r i s c h e n Maschinen (Generatoren,
Motoren) können Flußänderungen h e r v o r g e r u f e n werden
durch
1. Drehung der Spulen im stehenden M a g n e t f e l d
2. Drehung des M a g n e t f e l d s b e i ruhenden Spulen
- 55 -
H i e r w i r d nur F a l l 1 b e s c h r i e b e n :
I n einem z e i t l i c h k o n s t a n t e n homogenen M a g n e t f e l d m i t
der I n d u k t i o n B b e f i n d e s i c h e i n e Spule m i t N Windungen,.
d i e um i h r e Achse gedreht werden kann ( B i l d 4.24).
Schnitt
Bild
4.24
Rotatorische
1-2
Spannungserzeugung
Die Drehung der Spule s o l l zur Z e i t t = 0, a= 0 i n der Ausgangslage (1-2) beginnen (Ebene der Windungen |{ F e l d r i c h t u n g
Maximaler Fluß d u r c h d i e Spule:
Lage senkrecht zu den F e l d l i n i e n (<x = 90°):
(4.38)
Drehung der Spule
um den Winkel a: V e r k l e i n e r u n g des
Flusses wegen V e r k l e i n e r u n g der e f f e k t i v e n Fläche:
(4.39 a)
Für k o n s t a n t e W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t
(4.39 b)
(Zeitabhängigkeit des v e r k e t t e t e n magnetischen Flusses)
- 56 -
An der s i c h drehenden Spule t r i t t e i n e Spannung u auf
(4.40)
(4.41)
mit
Bei um -tr/2 verschobenen Anfangswerten für den Beginn
der Drehbewegung erhält man für d i e Flußverteilung
(4.43)
und für d i e Spannung
(4.44)
- 57 -
5
Wechselstrom
5.1
Sinusförmige Wechselgrößen
Nach A b s c h n i t t 4.10.2 w i r d i n einem Generator b e i r o t a t o r i s c h e r Spannungserzeugung eine sinusförmige Spannung
erzeugt
(s.
B i l d 5.1):
(5.1)
u = A m p l i t u d e oder S c h e i t e l w e r t
B i l d 5.1 Sinusförmige Wechselspannung ( Z e i t s c h a u b i l d )
D e f i n i t i o n des Betrages der Spannung:
Vereinbarungsgemäß w i r d i n der P r a x i s der q u a d r a t i s c h e
M i t t e l w e r t , genannt E f f e k t i v w e r t , zur Bestimmung der
Größe der Spannung verwendet.
Bestimmung des E f f e k t i v w e r t e s a l l g e m e i n :
(5.2)
- 58" -
Für sinusförmige Wechselgrößen ( z . B. G l . ( 5 . 1 ) )
(5.3)
l> - 220 V b e d e u t e t :
E f f e k t i v w e r t = 220 V, Amplitude = 311 V
Spannungsmesser und
Strommesser
quadratischen M i t t e l w e r t
zeigen den
(Effektivwert)
zeitlichem
an.
Definition:
(5.4)
(5.5)
5.2
Widerstand,
Spule und Kondensator bei.Wechselstrom
An einem Widerstand R l i e g e e i n e Wechsel Spannung
ü s i n ut = /2~ • U • s i n wt an ( B i l d 5.2).
B i l d 5.2 Widerstand R an e i n e r WechselSpannung u
u
- 59 -
Es g i l t für jeden Z e i t p u n k t das Ohm'sche Gesetz u = i R.
(5.6)
(5.7)
(5.8)
mit
Das Ohm'sche Gesetz g i l t auch für d i e E f f e k t i v w e r t e
von Wechselspannungen und -strömen.
u und
i
sind phasengleich.
Für den Phasenwinkel <j> g i l t
o
(5.9)
5.2.2.
Spule m i t Induktivität L
An e i n e r Spule werde d i e Spannung u
schaltet
( B i l d 5.3).
u • s i n wt ange-
u i
B i l d 5.3 Induktivität L an e i n e r Wechselspannung u
Es g i l t nach G l . (4.22)
di
Für den Momentanwert des Stroms g i l t
(5.10)
- 60 -
C5.11)
(5.12)
.X^ = uL = 2TT£L i s t der Wechselstromwiderstand oder
i n d u k t i v e Widerstand der Spule.
Für
Der G l e i c h s t r o m w i d e r s t a n d der i d e a l e n Induktivität i s t N u l l
Dagegen:
Bei der Induktivität e i l t der Strom der Spannung z e i t l i c h um den Phasenwinkel
(5.13)
nach ( v e r g l . G l . (5.11))
5.2.3.
Kondensator m i t der Kapazität C
Für den Kondensator ( B i l d 5.4) g i l t
B i l d 5.4 Kapazität C an e i n e r WechselSpannung
- 61 -
M i t u = /2 U • s i n ut erhält man
(5.14)
i = C ^pj: = /2 • U o) C cos cot
i =
n
C s i n (wt +^)
u
(cos wt = s i n (wt + 5-))
(5.15)
i = /2 * I ' s i n (cot +
(5.16)
U = I
X
= I
=
1
coC
1
toC
: Kapazitiver
für
0
V/iderstand
= 0
für
Der Strom e i l t beim Kondensator der Spannung um
den Phasenwinkel
(5.17)
= + 90
vor.
5.3
D a r s t e l l u n g von Wechselgrößen im Z e i g e r b i l d
Sinusförmige Vorgänge s i n d d a r s t e l l b a r durch P r o j e k t i o n
eines m i t der K r e i s g e s c h w i n d i g k e i t w auf e i n e r K r e i s bahn umlaufenden PFeiTes> ( B i l d 5 . 5 ) .
Ü
II -U
Bezugsachse
IT I = I
t = 0
Projektionsrichtung
b)
c)
Bild 5.5 Zeigerbild für sinusförmige Wechselgrößen
- 62 -
Die Spannung u und der Strom i werden d u r c h d i e in
der Ebene kreisförmig umlaufenden Punkte <1 und 2
d a r g e s t e l l t . Die P r o j e k t i o n auf eine Bezugsachse
g i b t den Momentanwert.
Um e i n e n sinusförmigen Vorgang zu c h a r a k t e r i s i e r e n
benötigt man: S c h e l t e l w e r t (oder E f f e k t i v w e r t ) , Frequenz
(oder K r e i s f r e q u e n z ) und Phasenwinkel. Die Kreisbewegung w i r d zur Beschreibung n i c h t benötigt, notwendig
i s t d i e K e n n t n i s der Lage der Punkte 1 und 2 z u e i n ander (Phasenbeziehung). Die V e r b i n d u n g s l i n i e vom
Ursprung zu 1 und 2 heißen Z e i g e r U und I der Größen
u und i ( B i l d 5.5 b ) .
Dem Z e i g e r werden üblicherweise a l s Länge d i e E f f e k t i v w e r t e zugeordnet.
D a r s t e l l u n g g l e i c h f r e q u e n t e r Wechselgrößen d u r c h e i n
ruhendes Diagramm: Zeigerdiagramm(z.B. B i l d 5 . 5 c ) , dessen
Lage i n der Papierebene gleichgültig i s t , d a esdurch d i e
Längen der Z e i g e r und d i e Phasenbeziehung e i n d e u t i g bestimmt
i s t . Im B i l d 5.6 s i n d Strom und Spannung am Kondensator im
Zeigerdiagramm d a r g e s t e l l t . D i e Phase <f> - 90° und das
Verhältnis d e r Zeigerlängen
bestimmen das Zeigerdiagramm.
Spannungen und Ströme werden im Zeigerdiagramm wie
Vektoren behandelt.
Bild
5.6
Schaltung und
Kondensator
Zeigerdiagramm für
einen
- 63 -
5.4
5.4.1.
L e i s t u n g b e i Wechselstrom
S c h e i n l e i s t u n g und W i r k l e i s t u n g
E i n b e l i e b i g e s Netzwerk aus Widerständen, Spulen und
Kondensatoren werde von e i n e r Spannung u = /2 U sin wt
gespeist.
Hat der Verbraucher nur zwei Klemmen,
i h n a l s Zweipol ( B i l d 5.7).
Bild
Der
5.7
so b e z e i c h n e t man
Zweipol
Zweipol
wird
charakterisiert
durch den
sogenannten
S c h e i n w i d e r s t a n d Z und.den Phasenwinkel <J>.
Allgemein g i l t
(5.18)
Für
Bild
5.7
gilt
>
Aufgenommene
Leistung
(Momentanwert):
p ( t ) '•• u • i - 2 U I s i n tot s i n ( u t '.+ $)
(5.19)
(Vergl.
(5.20)
Bild
D e f i n i t i o n : UI
5.8)
*
cos $ f P
(Leistungsmesser (Wattmeter) zeigen W i r k l e i s t u n g an)
B i l d 5.8 A u g e n b l i c k s w e r t der L e i s t u n g an einem Zweipol
Zur E i n d e u t i g k e i t der Angaben muß man zusätzlich angeben, ob das Netzwerk überwiegend k a p a z i t i v oder i n d u k t i v i s t , d. h. ob <j><0 oder <f>>0.
Bei p a s s i v e n Verbrauchern g i l t :
( G i l t n i c h t für a k t i v e V e r b r a u c h e r , d i e s e l b s t Spannungs
und
S t r o m q u e l l e n e n t h a l t e n können.)
- 65 -
D i e D a r s t e l l u n g läßt s i c h wie im B i l d 5.9 m i t dem
Zeigerdiagramm ausführen.
B i l d 5.9 Leistungsfluß b e i v e r s c h i e d e n e n Phasenlagen <\>
zwischen Strom und Spannung
5.4.2.
5.4.2.1.
B e i s p i e l e des L e i s t u n g s v e r l a u f s
Widerstand
(5.24)
(
s.
Bild
(5.25)
B i l d 5.10
L e i s t u n g s v e r l a u f an einem Widerstand
5.10 )
66
5.4.2.2. Kondensator
(5.26)
(
s.
B i l d 5.11
(5.27)
Der M i t t e l w e r t der L e i s t u n g
i s t Null
(Bild
5.11)
B i l d 5.11 L e i s t u n g s v e r l a u f an einem Kondensator
Der i d e a l e Kondensator i s t e i n v e r l u s t f r e i e r E n e r g i e s p e i c h e r . Die Energie p e n d e l t zwischen Quelle und Verbraucher h i n und her.
Induktivitäten zeigen e i n ähnliches V e r h a l t e n .
5.4.3.
Wirkstrom, Blindstrom, B l i n d l e i s t u n g
Der Strom I ( B i l d 5.7) kann i n e i n e n Wirkstrom I
.
w~
( i n Phase m i t der Spannung) und einem B l i n d s t r o m I
(J_ zur Spannung) z e r l e g t werden ( v e r g l . B i 1 d 5.12) .
(5.28)
B i l d 5.12 Wirk- und B l i n d s t r o m
)
- 67 -
Wirkstrom:
(5.29)
Blindstrom:
(5.30)
1^ > 0: K a p a z i t i v e r B l i n d s t r o m
1^ < 0:
0: induk
i n d u k t i v e r Blindstrom
Wirkleistung:
(5.31)
Blindleistung:
(5.32)
(5.33)
Mit
gilt
(5.34)
Die B l i n d l e i s t u n g v e r u r s a c h t i n Schaltungen größere
Ströme a l s für d i e Energieübertragung n o t w e n d i g wäre
Deshalb i s t a n z u s t r e b e n : cos 6 = 1 .
E i n h e i t für P , P und P i s t 1 Watt = 1 W.
Zur Unterscheidung i n der P r a x i s w i r d
g
fc
angegeben.
D i e w i c h t i g s t e n Zusammenhänge für R, L und C s i n d
in Tab.
5.1
zusammengestellt.
- 68 -
T a b e l l e 5.1 Schaltungen, Zeigerdiagramme und Gesetz
mäßigkeiten für sinusförmige Größen
5.5
5.5.1.
Die Kirchhoff 'sehen
Gesetze
(5.35)
(5.36)
E i n f a c h e Wechselstromkreise
K i r c h h o f f ' s e h e Gesetze ( V e r g l . Abschn. 2.2)
g e l t e n für b e l i e b i g e n z e i t l i c h e n V e r l a u f von i und u
(Momentanwerte).
- 69 -
G l e i c h f r e q u e n t e Spannungen und Ströme:
(5.37)
Elzu =
(5.38)
EU
I ab
,
= 0
(Knotenregel)
(Maschenregel)
Zeigergrößen werden v e k t o r i e l l a d d i e r t .
A d d i t i o n e n von Wechselgrößen s. B i l d 5.13
B i l d 5.13 A d d i t i o n von zwei V'echselströmen
i n einem Knoten i m Zeitdiagramm a ) ,
mit Scheitelwerten b ) ,
im Zeigerbild c ) .
5.5.2.
Wechselstromschaltungen m i t R, L, C
5.5.2.1. -Reihenschaltung aus R, L
- 70 -
Bild
5.14
S c h a l t b i l d und Zeigerdiagramm
R e i h e n s c h a l t u n g von R und L
für
eine
(5.39)
Berechnung der Effektivv,*erte (Beträge der Z e i g e r )
(5.40) .
(5.41)
(5.42)
(5.43)
Phase
(5.44)
Leistungen:
|| W i r k l e i s t u n g :
- 71 -
Scheinleistung:
Blindleistung:
Leistungsfaktor:
s i n (f> = cos <f> • t a n <(> =
Berechnung a l l g e m e i n e r Schaltungen:
Rezept:
1. S c h a l t p l a n e n t w u r f
2. K i r c h h o f f ' s e h e Gesetze
3. Zeigerdiagramm zeichnen
4. Berechnung der Größen nach Betrag
und Phase
5.5.2.2.
Parallelschaltung von R und C
B i l d 5.15 z e i g t Schaltung und
Bild
Aus
5.15
Bild
Schaltplan
5.15
(5.45)
Effektivwerte:
(5.46)
folgt:
und
Zeigerdiagramm
Zeigerdiagramm
- 72 -
5.5.2.3. R e i h e n r e s o n a n z k r e i s
Bild
Parallelresonanzkreis
Bild
5.16
5.17
Reihenschwingkreis
Parallelschwingkreis
a)
Schaltplan
a)
Schaltplan
b)
Zeigerbild
b)
Zeigerbild
c)
Zeigerbild
c)
Zeigerbild
b e i Resonanz
b e i Resonanz
Reihenschwingkreis
ParallelSchwingkreis
Bild
Bild
5.16
b:
5.17
b:
~ *h h K
:
(S.f-8)
(allen
Schaltelementen
gemeinsam: I )
(allen
+
+
Schaltelementen
gemeinsam: U)
- 73 -
(5.49)
(5.50)
(5.51)
Resonanz:
Bei der gegebenen Spannung U und gegebenem W i d e r s t a n d R
hat der Netzstrom I b e i
(5.52)
Spannungsresonanz
Stromresonanz
ein
e i n Minimum
I
J
Maximum
max " /
U
R
u n t e r der Bedingung
(5.53)
(5.54)
(Thomson'sehe Formel)
Für d i e Phase g i l t i n beiden Fällen
Anwendung von Resonanzschaltungen:
FL eiilstteurn ug :n g von Frequenzgemischen ( z . B. in Abstimmkreisen
und Resonanzkreisen b e i Rundfunk- und Fernsehgeräten),
Blindstromkompensation.
- 74 -
Die Schaltungen 5.16 a und 5.17 a m i t den nachfolgenden
Gleichungen s i n d zueinander d u a l .
M i t der T r a n s f o r m a t i o n
gehen d i e v e r s c h i e d e n e n Schaltungen i n e i n a n d e r über.
5.5.2.4. B l i n d s t r o m k o m p e n s a t i o n
Bei e l e k t r i s c h e n Maschinen kann cos <j> b e i entsprechend
hoher Induktivität r e c h t k l e i n werden (großer Phasenw i n k e l <J>) . Damit fließen unnötig große Blindströme 1 ^ ,
d i e zur Energieübertragung n i c h t notwendig s i n d , aber
d i e L e i t u n g e n b e l a s t e n ( B i l d 5.18).
Durch P a r a l l e l s c h a l t e n e i n e s Kondensators zur Maschine
kann der Phasenwinkel v e r k l e i n e r t und damit d i e B l i n d l e i s t u n g v e r r i n g e r t werden.
A n g e s t r e b t w i r d cos $ >0,9. Vollständige Kompensation
i s t aus Kostengründen o f t n i c h t möglich.
Bild
5.18
Blindstromkompensation
Gleichstronunaschinen
Aufbau und
Wirkungsweise
Ener.gieumwandlung i n e l e k t r i s c h e n Maschinen b e r u h t
a u f den i n A b s c h n i t t 4 . 8 - 4.10 beschriebenen Wechs e l w i r k u n g e n zwischen Kräften und e l e k t r i s c h e n Spannungen im M a g n e t f e l d .
Generatoren und Motoren
(für G l e i c h s t r o m und Wechsel-
strom) haben den g l e i c h e n Aufbau.
E i n s a t z von Gleichstrommaschinen:
Fahrzeug- und Schwerantriebe
(Ilebezeuge,
Walzstraßen,
Bahnen)
Drehzahlgesteuerte Antriebe
Kleinverbraucher
Ausführungsformen:
L e i s t u n g e n b i s 7000 kW, Spannungen b i s 3 kV
Drehzahlen ( b e i k l e i n e n Maschinen) b i s e i n i g e 10 000 LT/min.
Der e i n f a c h s t e F a l l i s t d i e z w e i p o l i g e Außenpol- Maschine
im B i l d 6.1.
1,2 S p u l e n s e i t e i
3 Anker
k Bürsten
5 Erregerspul«
6 Joch
7 Kommutator
8,10 N e u t r a l e Zoi
9 Polschuh
N,S Schenkel
11 magnetische
Induktion
Bild
6.1
Zweipolige
Gleichstrommaschine
- 76 -
Bei R o t a t i o n e i n e r Spule nach B i l d 6.1
Feld
entsteht
eine
im magnetischen
Wechselspannung.
Deshalb: Gleichstrommaschinen haben a l s Stromwender
Kommutatoren (7) ( K o l l e k t o r ) , von denen der Strom
m i t f e s t s t e h e n d e n Bürsten ( 4 ) , d i e am Ständer b e f e s t i g t
s i n d , abgenommen w i r d .
Die Stege (Segmente, Lamellen) des Kommutators s i n d
am Anker (3) (Läufer, R o t o r ) b e f e s t i g t .
I n der Spule (1,2) e n t s t e h t b e i Drehung e i n e Wechselspannung ( B i l d 6.2 a ) , d i e am Kommutator zum Z e i t p u n k t ,
w o d i e i n d u z i e r t e Spannung N u l l i s t , gewendet w i r d
(Bild
6.2
b).
B i l d 6.2 a
WechselSpannung in der Ankerspule bei einer zweipoligen
Maschine
B i l d 6.2 b Kommutierte Gleichspannung an den Maschinenklemmen
Erregerwicklung
Fluß (ohne Wendepolfluß)
Wendepol
Kompensationswicklung
B i l d 6.3 Schema von E r r e g e r w i c k l u n g , Kompensationsw i c k l u n g und Wendepolen e i n e r z w e i p o l i g e n
Gleichstrommaschine
- 77 -
P r a k t i s c h ausgeführte Gleichstrommaschinen haben mehrer e , gleichmäßig über den Umfang des Läufers v e r t e i l t e
Spulen, wodurch d i e W e l l i g k e i t des e r z e u g t e n G l e i c h stroms v e r k l e i n e r t w i r d . Bei großen Maschinen w i r d auch
das Joch a u f g e t e i l t , so daß mehrere Pole und Joche nur
Teilflüsse zu führen haben und damit w e s e n t l i c h k l e i n e r
s e i n können.
Bei größeren Maschinen (> 1kW) t r i t t durch S e l b s t i n d u k t i o n \tfährend des Stromwendens eine Spannung a u f :
Abbrand
der
Kupferstege
durch
Bürstenfeuer
A b h i l f e : Wendepole m i t e i n e r Wendepolwicklung, d i e
eine Gegenspannung erzeugen ( B i l d 6.4).
Bei Maschinen von 50 kW - 100 kW und B e t r i e b u n t e r
Laststößen w i r d eine zusätzliche Kompensationswicklung ( B i l d 6. ) angebracht. Durch d i e im Anker f l i e ßenden Ströme w i r d der Polfluß unsymmetrisch. Um d i e - '
se Unsymmetrie aufzuheben, w i r d eine Kompensationsw i c k l u n g verwendet. Kompensations- und Wendepolwicklung s i n d m i t der A n k e r w i c k l u n g i n Reihe g e s c h a l t e t .
B e t r i e b s v e r h a l t e n der Gleichstrommaschine
Ersatzschaltbild
der' Gleichsttommaschine
B i l d 6.4 Schematische D a r s t e l l u n g und Klemmenbezeichnung e i n e r Gleichstrommaschine
- 78 -
Der K r e i s i n B i l d 6.4 s t e l l t den Anker d a r .
A - B: Klemmen der A n k e r w i c k l u n g
G - H: Wendepolwicklung
I - K: E r r e g e r w i c k l u n g
Diese
der
Bezeichnungen f i n d e t man im Klemmenkasten
Maschine.
Im f o l g e n d e n werden nur Anker- und E r r e g e r k r e i s
betrachtet
(Wendepolkreis w i r d
in Ankerkreis e i n -
bezogen) .
6.2.2.
Spannung
und
Drehzahl
I n der e i n e n Wicklung der Elementarmaschine g i l t
für d i e i n d u z i e r t e Spannung:
Bei e i n e r Gleichstrommaschine g i l t für d i e m i t t l e r e
i n d u z i e r t e Spannung
(6.1)
<)>: Polfluß, c: Maschinenkonstante (abhängig von P o l z a h l und A n k e r w i c k l u n g ) ,
I
E
:
U:
Q
LeerlaufSpannung,
Erregerstrom
erhält man e i n e n p r o p o r t i o -
n a l e n Zusammenhang zwischen
und U
: U
~ u> ( B i l d 6.5)
B i l d 6.5 L e e r l a u f S p a n n u n g i n Abhängigkeit von ^ b e i
v e r s c h i e d e n e n Erregerströmen
- 79 -
B i l d 6.6 L e e r l a u f S p a n n u n g i n Abhängigkeit vom E r r e g e r strom b e i v e r s c h i e d e n e n W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t e n
(Leerlaufkennlinie)
Das Sättigungsverhalten von U i s t d u r c h d i e Sättigung
Q
des F l u s s e s $ m i t wechselndem Strom Ig zu erklären.
E r r e g e r Stromumkehr •* Spannungsumkehr
(nach G l .
(6.1)
und B i l d 6.6)
Drehrichtungsumkehr -*• Spannungsumkehr
(nach G l .
6.2.3.
(6.1)
und B i l d 6.5)
Strom- und Drehmoment
Nach A b s c h n i t t 4.9 ( G l . ( 4 . 3 1 ) ) w i r k t a u f e i n e n L e i t e r
im Magnetfeld die K r a f t
Ankerstrom
Drahtlänge
Für e i n e e i n z e l n e Windung e r g i b t s i c h e i n Kräftepaar
und damit e i n Drehmoment.
- 80 -
Im Anker e r g i b t s i c h für das Drehmoment
(6.2)
c: Konstante aus G l . (6.1)
insbesondere g i l t
E l e k t r i s c h e Leistung
(aus G l .
(6.1))
Mechanische L e i s t u n g (aus G l .
(6.2))
(6.3)
(6.4)
Daraus
folgt
(6.5)
6.2.4.
Drehzah1-Moment-Kennlinie
Der I n n e n w i d e r s t a n d des Ankers w i r d a l s i n S e r i e
zum Anker
geschalteter
Widerstand
Bild
Darstellung
des
6.7
b e t r a c h t e t (Bild 6.7)
Ankerwiderstandes
R
A
- 81 -
Nach B i l d 6.7 f o l g t
(6.6)
I s t d i e Belastung beim Motor g l e i c h N u l l , so g i l t
( u n t e r Vernachlässigung von Eisen- und Reibungsverlusten)
M
i
= 0 und somit I
A
- 0
(Gl.
(6.2))
Dann i s t U = U nach G l . ( 6 . 6 ) .
o
•
M i t (6.1) f o l g t
(6.7)
Aus
(6.8)
folgt
(6.9)
G l . (6.9) d i v i d i e r t durch w
e r g i b t m i t dem Nennmoment
N
(6.10)
(6.11)
- 82 -
I m B i l d 6.8 i s t
a l s F u n k t i o n von
bei
konstantem
E r r e g e r s t r o m a u f g e t r a g e n (<(> = <t>) .
N
Bild
6.8 W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t a l s F u n k t i o n des i n n e r e n
Moments b e i v e r s c h i e d e n e n Ankerspannungen und
konstantem Erregerfluß
I
> 0: M o t o r b e t r i e b (M* > 0)
I
< 0: G e n e r a t o r b e t r i e b (Mj < 0)
m i t o) > 0 und $ > 0
Betriebsfälle der G l e i c h s t r o m m a s c h i n e :
- 83 -
co > 0
0J <
a
M.l > 0
Ia < 0
M < 0
a<
Mj < 0
V
I
>
J
Generator
0
<
(u > 0)
0
Motor
u
0
0
o)
o
i
0
M.l > 0
Tab. 6.1 Schema der Betriebsfälle e i n e r Gleichstrommaschine
U > 0)
Die Drehzahl hängt s t a r k von der Ankerspannung und
wenig vom Lastmoment ab.
je nach Maschinengröße.
Deshalb: Gutes Stör- und S t e u e r v e r h a l t e n
Die L e e r l a u f d r e h z a h l (Mt = 0) i s t im Bereich
0 < n < n
v e r s t e l l b a r ( s . B i l d 6.8). .
0\i
- 84 -
6.2.S.
Klemmenspannung - A n k e r s t r o m k e n n l i n i e
Für G e n e r a t o r b e t r i e b i s t d i e Klemmenspannung - AnkerS t r o m k e n n l i n i e von Bedeutung.
Voraussetzung:
u =
konst.
Spannungsgleichung:
(6.12)
LeerlaufSpannung:
(6.13)
U
o
=
M
C
*N N
W
N
(6.12) d i v i d i e r t durch ( 6 . 1 3 ) :
(6.14)
ist
•?—
AN
i m B i l d 6.9 a l s F u n k t i o n von
aufgetragen
Motor
Generator
Generator
Motor
B i l d 6.9 Klemmenspannung-Generatorstrom-Kennlinie bei konstanter
Drehzahl w »
, Parameter:
- 85 -
Durch Änderung des E r r e g e r s t r o m s (V<I> ) i s t d i e
Ausgangsspannung des Generators l e i c h t v e r s t e l l b a r
( i m B e r e i c h 0 ^ U ^ U^).
N
6.3
6.3.1.
Erregerstromarten
Fremderregung
Definition:
Völlig vom A n k e r k r e i s unabhängige Erregung heißt
Fremderregung.
Anwendung: Hauptsächlich b e i Generatoren ( s . a.
Leonard-Umformer).
Motoren werden ausschließlich aus dem g l e i c h e n Netz
e r r e g t (Nebenschlußerregung, v e r g l . 6.3.2.).
Fremderregte Motoren: Nur b e i Leonard-Umformer
Bild
6.10
zeigt
das
Prinzipschaltbild
eines
Leonard-
Umformers. Bei diesem w i r d d i e S t e u e r b a r k e i t der
Gleichstrommaschine a u s g e n u t z t .
Steuergenerator
Asynchronmaschine
B i l d 6.10 Der Leonard Umformer
Steuermotor
mech.
Last
86
Eine Asynchronmaschine ( v e r g l . später) t r e i b t e i n e n
S t e u e r g e n e r a t o r . Die v a r i a b l e Erregerspannung U
1
s t e u e r t den Strom durch d i e E r r e g e r w i c k l u n g und
damit den Fluß im S t e u e r g e n e r a t o r . Die L e e r l a u f s p a n nung des S t e u e r g e n e r a t o r s kann damit im B e r e i c h
6.3.2.
verändert werden.
Damit kann d i e Drehzahl des Maschinensatzes in beiden
D r e h r i c h t u n g e n von sehr k l e i n e n Drehzahlen b i s zur Nennd r e h z a h l verändert werden
Zusätzliche Steuerung:
Änderung zur heldschwächung
L e i s t u n g : e i n i g e kW b i s e i n i g e 1000 kW.
Nebenschlußerregung:
Nebenschlußerregung w i r d f a s t immer b e i Motoren angewendet. Anker- und E r r e g e r w i c k l u n g s i n d p a r a l l e l ges c h a l t e t ( B i l d 6.11).
B i l d 6.11 Schaltung eines Nebenschlußmotors m i t Anlasser Ry^
Aus
Bild
6.11:
1
" A
Z
+
h
Ry.: A n l a s s e r ( w i d e r s t a n d )
Ry^ i s t notwendig, d a beim E i n s c h a l t e n d i e i n d u z i e r t e
Motorspannung ü* g l e i c h N u l l i s t . Sonst b e g r e n z t
0
nur der k l e i n e A n k e r i n n e n w i d e r s t a n d den E i n s c h a l t s t r o m ,
der dann e r h e b l i c h e Werte annehmen kann.
- 87 -
A n l a s s e r s i n d notwendig b e i Motoren über 1 kW l e i s t u n g .
Auch b e i Generatoren g i b t es d i e Nebenschlußerregung.
Netz und E r r e g e r w i c k l u n g s i n d p a r a l l e l g e s c h a l t e t
( B i l d 6.12) :
S e l b s t e r r r e g u n g des Generators
B i l d 6.12 Schaltung eines Nebenschlußgenerators
Es
gilt
I
A
=
I
+
I
e
S e l b s t e r r e g u n g i s t nur möglich, wenn e i n R e s t f e l d
(Remanenzfeld; v e r g l . B i l d 4.7) vorhanden i s t . Sonst
könnte s i c h beim A n l a u f e n der Maschine k e i n E r r e g e r strom aufbauen.
Der v e r s t e l l b a r e Widerstand Ry im E r r e g e r k r e i s ,
F e l d s t e l l e r genant, d i e n t zur E i n s t e l l u n g des E r r e g e r stroms und damit des E r r e g e r f l u s s e s und der i n d u z i e r t e n Spannung ( v e r g l . B i l d 6 . 9 ) . Bei Belastung nimmt der
E r r e g e r s t r o m m i t f a l l e n d e r Spannung U ab. Deshalb s i n k t
b e i B e l a s t u n g d i e Spannung stärker ab a l s im v e r g l e i c h baren f r e m d e r r e g t e n Generator ( B i l d 6.9). Deswegen bet r e i b t man s e l b s t e r r e g t e Generatoren nur an einem Netz
m i t annähernd k o n s t a n t e r L a s t .
- 88 -
6.3.3
Reihenschlußerregung
Diese
Erregungsart,
auch Hauptschlußerregung
genannt,
w i r d f a s t nur b e i Motoren angewendet.(Bild 6.13).
U
B i l d 6.13 Schaltung eines Reihenschlußmotors
Durch Anker- und E r r e g e r w i c k l u n g fließt d e r s e l b e
Strom I = 1 ^ = l
Q
.
Durch den v e r g l e i c h b a r hohen Strom d u r c h d i e E r r e g e r w i c k l u n g kommt man m i t r e l a t i v g e r i n g e n Windungszahlen
aus. Der Fluß <j> i s t d u r c h den Ankerstrom *T vorgegeben.
Die Drehzahl-Moment-Kennlinie kann nurpunktweise bestimmt werden, da <f> (1^) e i n e n i c h t l i n e a r e F u n k t i o n i s t .
A
I m g e r a d l i n i g e n T e i l der M a g n e t i s i e r u n g s k e n n l i n i e
ist
aber
* = c • I
(6.15)
£
mit
(6.16)
A
C'* C ' C£
U
0
=
C<oI
A
(6.17)
G l . (6.17) b e s a g t , daß der Strom I b e i wachsender Last
nur m i t der Wurzel des Drehmoments a n s t e i g t .
A
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Für Schweranlauf s i n d Reihenschlußmotoren deshalb
besser g e e i g n e t a l s Nebenschlußmotoren, da das Anzugsmoment größer
ist.
Bei k l e i n e r D r e h z a h l : Großes Drehmoment
Bei hoher D r e h z a h l :
Abnahme des Drehmoments
Aus den Gleichungen ( 6 . 6 ) , (6.16) und (6.17) erhält
man:
(6.18)
(6.19)
oder
D i e s e r Zusammenhang i s t im B i l d 6.14 v e r a n s c h a u l i c h t
B i l d 6.14 D r e h z a h l v e r h a l t e n eines Reihenschlußmotors
Weil b e i sinkender Belastung d i e Drehzahl e r h e b l i c h
zunimmt, s o l l e n Reihenschlußmotoren nur u n t e r Last
b e t r i e b e n werden. (Sonst: Für
•*• 0 g i l t o> -*• »,
der Motor "geht durch".)
Scriptum
zur
Vorlesung
T E C H N I S C H E
E L E K T R I Z I T Ä T S L E H R E
I I
für Maschinenbauingenieure
P r o f . Dr. W. H a r t h
Institut
für Allgemeine E l e k t r o t e c h n i k
der Technischen Universität München
Herausgegeben von D i p l . - P h y s .
Juli
J.
Angerstein
1974
( A l l e Rechte v o r b e h a l t e n )