¨Ubungen zur Vorlesung Theorie II (Elektrodynamik)

Institut für Physik
WS 2014/2015
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Theorie II (Elektrodynamik)
Blatt 4
Quickies:
37. Was versteht man unter Polarisation?
38. Was versteht man unter Magnetisierung?
39. Wie lauten die makroskopischen Maxwellgleichungen in isolierenden Medien? Woher
kommen die Unterschiede zum Vakuum?
40. Was ist die dielektrische Verschiebung und wie hängt sie mit dem elektrischen Feld
zusammen?
41. Wie hängen magnetisches Feld und magnetische Induktion zusammen und was ist
das?
42. Was ist die Dielektrizitätsfunktion?
43. Was ist die magnetische Permeabilität?
44. Diskutieren Sie die Frequenzabhängigkeit von ǫ(ω). Was kann man daraus über das
Medium lernen?
45. Wie lautet der Poyntingsche Satz in Medien für langsam veränderliche Felder?
46. Wie lautet der komplexe Poyntingsche Satz in Medien für schnell veränderliche Felder? Diskutieren Sie die einzelnen Terme.
Aufgaben (abzugeben vor der Vorlesung vom 20.5.2015)
Globaler Hinweis für alle Aufgaben auf diesem Zettel: An Grenzflächen zwischen zwei
Medien gelten die folgenden Randbedingungen: Der Anteil senkrecht zur Grenzfläche von
~ und B
~ ist stetig, der Anteil parallel zur Grenzfläche von E
~ und H
~ ist stetig.
D
Aufgabe 11) Kugelkondensator mit Dielektrikum (10 Punkte)
Zwei konzentrische leitende Kugeln vom inneren und äußeren Radius a bzw. b tragen die Ladung ±Q. Der Raum zwischen den
Kugeln ist zur Hälfte mit einem Dielektrikum gefüllt (siehe Bild)
(a) Bestimmen Sie das elektrische Feld an allen Punkten zwischen den Kugeln.
(b) Berechnen Sie die Verteilung der Flächenladung auf der inneren Kugel.
(c) Berechnen Sie die Dichte der auf der Oberfläche des Dielektrikums bei r = a
induzierten Polarisationsladung.
Aufgabe 12) Spiegelladungen (10 Punkte)
Zwei Medien mit Dielektrizitätskonstanten ǫ1 und ǫ2 sind durch eine Ebene bei
z = 0 voneinander getrennt. Am Ort r~′ = (x′ , y ′ , z ′ ) mit z ′ > 0 befindet sich eine
~ = −∇Φ)
Punktladung q. Berechnen Sie das elektrostatische Potential Φ(~r) (mit E
im ganzen Raum.
Machen Sie dazu folgenden Ansatz:
– Bei z > 0 setzt sich Φ(~r) zusammen aus dem Potential der Ladung q bei r~′ , und
dem einer zusätzlichen virtuellen Spiegelladung q ′′ bei r~′′ = (x′ , y ′ , −z ′ ).
– Bei z < 0 entspricht Φ(~r) dem Potential einer Ladung q ′ bei r~′ .
(a) Diskutieren Sie diesen Ansatz. Warum erfüllt er trotz der Spiegelladungen die
Gleichung ǫ∆Φ = 4πρ(~r) = 4π q δ(~r − ~r′ ) im ganzen Raum?
(b) Stellen Sie die Randbedingungen bei z = 0 auf.
(c) Berechnen Sie den Wert der Spiegelladungen q ′ und q ′′ aus den Randbedingungen.
Aufgabe 13) Homogen magnetisierte Kugel (10 Punkte + 5 Sonderpunkte)
Berechnen Sie das Magnetfeld und die magnetische Induktion einer Kugel des Radius
~ , innerhalb und außerhalb der Kugel.
R mit homogener, fester Magnetisierung M
Gehen Sie dabei folgendermaßen vor.
~ = −∇ΦM . Dieses
(a) Zeigen Sie: Es gibt ein skalares Potential ΦM (~r), so daß H
erfüllt innerhalb und außerhalb der Kugel die Laplace-Gleichung ∆ΦM = 0.
~ =B
~ − 4π M
~ nicht proportional zu B.)
~
(Achtung: Innerhalb der Kugel ist H
(b) Wegen ∆ΦM = 0 kann man ΦM gemäß 1.2.3.1 nach Kugelflächenfunktionen
~ , so daß
entwickeln. Legen Sie die z-Achse in Richtung der Magnetisierung M
Sie die Zylindersymmetrie des Systems ausnützen können. Damit vereinfacht
sich die Entwicklung zu
P
ΦM = l Al r l Yl0 (θ, φ)
innerhalb der Kugel, und
P
ΦM = l (Bl r l + Cl /r l+1 )Yl0 (θ, φ)
außerhalb der Kugel,
wobei Yl0 (θ, φ) von φ unabhängig ist.
Zeigen Sie explizit, dass im Inneren und im Äußeren der Kugel jeweils ∆ΦM
~ → 0 gelten sollte, ist Bl = 0
erfüllt ist. Zeigen Sie ferner: Da im Unendlichen B
für alle l.
(c) Stellen Sie die Randbedingungen für ΦM an der Oberfläche der Kugel auf.
Berechnen Sie daraus Al und Cl .
q 3
Sie erhalten A1 = C1 /R3 = 4π
3 M und Al = Cl = 0 für alle l 6= 1.
~ und H
~ in der Kugel homogen
(d) Zeigen Sie mit Hilfe der Lösung aus (c), daß B
sind, und außerhalb der Kugel genau dem Feld eines Dipols entsprechen.
Hinweise und Erinnerung: Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet
∆ = r12 ∂r r 2 ∂r − r12 L̂2 mit L̂2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm (θ, φ)
Der Nabla-Operator in Kugelkoordinaten lautet
1
∂φ
∇ = ~er ∂r + ~eθ 1r ∂θ + ~eφ r sin(θ)