Filter zur frequenzselektiven Messung

29. April 2008
Messtechnik-Praktikum
Filter zur frequenzselektiven Messung
Silvio Fuchs & Simon Stützer
1 Augabenstellung
1.
a) Bauen Sie die Schaltung eines RC-Hochpass (Abbildung 3.2, Seite 3) und eines RC-Tiefpass (Abbildung 3.2, Seite 3) auf! Wählen Sie dazu die Werte für Widerstand und Kondensator so, dass
Sie eine Grenzfrequenz im Bereich von einigen kHZ erreichen können. Beachten Sie den Massepol
der angeschlossenen Geräte!
b) Messen Sie mit dem Oszillograph und einem Wechselspannungsvoltmeter die ÜbertragungsfuktiUA
on g(ω), indem Sie die Amplitude |g(ω)|) = U
und die Phase ϕ(ω) als Funktion der Frequenz
E
aufnehmen. Bestimmen Sie die Phasenlage im Zweikanalbetrieb und x-y-Betrieb am Oszi. Kontrollieren Sie die Phasenlage an charakteristischen Werten für die Phasenverschiebung 4ϕ (z.B.
0, π2 , π) anhand der zugehörigen Lissajous Figuren.
c) Berechnen und messen Sie die Grenzfrequenz ωG der Schaltung und vergleichen Sie diese Mit den
berechneten Werten. Die Bauelemente werden mit der RLC-Messbrücke ausgemessen.
2.
a) Bauen Sie einen Parallel-Schwingkreis entsprechend Abbildung 3.2 (Seite 3) mit einer Resonanzfrequenz im Bereich von 1...100kHz auf. Die Güte dieses Schwingkreises lässt sich besser mit dem
Ersatzschaltbild beschreiben.
b) Bestimmen Sie experimentell die Güte Q dieses Parallelschwingkreises durch Messung der Resonanzfrequenz f0 und der Halbwertsbreite 4f und vergleichen Sie diesen Wert mit der theoretisch
zu erwartenden Güte (Ri = 50Ω).
c) Fügen sie zur Vergrößerung des Spulenwiderstandes in Reihe zur Spule L einen Widerstand
R = 10Ω ein und bestimmen Sie die Resonanzverschiebung zwischen Amplitudenmaximum und
Phasenverschiebung.
1
2 Grundlagen
Um die Beschreibung komplizierter elektrischer Netzwerke zu vereinfachen, geht man in den Frequenzraum
über. So gelingt es, von kompliziert gekoppelten Differentialgleichungen zu relativ einfachen algebraischen
Ausdrücken für die komplexe Ebene zu gelangen. Somit ist zudem eine Berücksichtigung der Phasenlage
zwischen Strom und Spannung gegeben.
In diesem Versuch betrachten wir zunächst einen Hoch- und Tiefpass. Es wird an einen Reihenschaltung von
Widerstand und Kondensator ein Spannung UE angelegt. Die Ausgangsspannung UA wird dann am Kondensator (Tiefpass) bzw. am Widerstand (Hochpass) abgegriffen. Charakteristisch für diese beiden Schaltungen
ist eine Phasenverschiebung (Tiefpass: 0 ≥ ϕ ≥ − π2 ; Hochpass: 0 ≤ ϕ ≤ π2 ) der Ein- und Ausgangsspannung,
eine Grenzfrequenz ωg und eine komplexe Übertragungsfunktion g(ω). Es gilt:
ωg =
g(ω) =
g(ω) =
1
1
bzw f =
R·C
2π · R · C
UA
1
=p
ei arctan(ω·R·C)
UE
1 + (ω · R · C)2
1
ω·R·C
UA
=p
ei arctan( ω·R·C )
2
UE
1 + (ω · R · C)
(1)
für den Tiefpass
(2)
für den Hochpass
(3)
Aus Gleichung 1 bis 3 ergibt sich also, dass die Amplitude der Ausgangsspannung im Fall der Grenzfrequenz
um den Faktor √12 kleiner als die Eingangsspannung ist. Zudem erkennt man, dass es am Tiefpass für
ω → 0 keine Phasenverschiebung gibt und im Fall ω → ∞ die Phasenverschiebung π2 beträgt. Dabei geht
UA
für den ersten Fall gegen 1, für den zweiten Fall gegen Null.
am Tiefpass der Quotient der Amplituden U
E
Aus der Übertragungsfunktion für den Hochpass sind dessen Eigenschaften zu erkennen. Hier ist es genau
UA
umgekehrt, sodass für ω → 0 der Quotient U
gegen Null und die Phase gegen π2 geht. Im Bereich großer
E
UA
Frequenzen ist U
= 1 wobei die Phasenverschiebung verschwindet.
E
In zweiten Teil des Praktikums beschäftigen wir uns mit dem Parallelschwingkreis. Dabei gelten folgende
Beziehungen
s
2
1
2
Z = R + ω·L−
· eiϕ Impedanz
(4)
ω·C
f0
=R·
Q=
b
r
C
L
Güte
(5)
UA
Damit im Parallelschwingkreis U
den maximalen Wert erreicht muss für die Blindwiederstände gelten XC +
E
XL = 0, sodass der Imaginärteil der Impedanz verschwindet. Daraus folgt schließlich die Resonanzfrequenz
mit
ω0 = √
2
1
LC
(6)
3 Schaltung und verwendete Messgeräte
3.1 Messgeräte
Zur Messung wurden folgende Messinstrumente verwendet:
• LMV181A Röhrenvoltmeter zur gleichzeitigen Messung von ein und Ausgangsspannung
• Oszillograph zur Bestimmung der Phasenverschiebung
• LCR-Messbrücke zur genauen Messung der Kenngrößen der einzelnen Bauelement
3.2 Schaltungen
Abbildung 1: Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF Abbildung 2: Hochpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF
Abbildung 3: Schwingkreis: L = 77, 63µH;
C = 4, 144µF ; R = 1, 958kΩ
Abbildung 4: Schwingkreis: L = 77, 63µH;
C = 4, 144µF ; R = 1, 958kΩ
R2 = 1, 199Ω
3
4 Messwerte
4.1 Aufgabe 1.2
Abbildung 5: Messwerte für Übertragungsfunktion g(ω) am Tiefpass
4
Abbildung 6: Messwerte für Übertragungsfunktion g(ω) am Hochpass
5
Abbildung 7: errechnete Dämpfung und Differenz zwischen Hoch- und Tiefpass
6
4.2 Aufgabe 2.2.1
Abbildung 8: Messwerte Schwingkreis
Bei der Messung des Schwingkreises mit vorgeschaltetem Widerstand ergaben sich folgende Messwerte:
ω0 = 9000Hz
bestimmt durch Maximum der Ausgangsspannung
ω0 = 8570Hz
bestimmt durch Lissajous Figuren
7
5 Auswertung
5.1 Aufgabe 1 b)
5.1.1 Tiefpass
Abbildung 9: Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF
Übertragungsfunktion |g(ω)|
Abbildung 10: Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF
Phasengang
Es wurde die charakteristische Übertragungsfunktion eines Tiefpasses gemessen. Durch Anfitten der theoretischen Funktion an die Messdaten, wurde ein experimenteller Wert von 4.967 · 10−5 s ± 0.001 · 10−5 s für das
Produkt R · C ermittelt. Dieses Ergebnis liegt mit 1.5% über dem, durch die Referenzmessung der Kapazität
und des Widerstandes ermittelten Wert von:
R · C = 10.24kΩ · 4.784nF = 4.899 · 10−5 s.
Dieser Unterschied ist auf den Widerstand der Leitungen und der Spannungsquelle zurückzuführen. Mit Hilfe
der Lissajous-Figuren wurden markante Phasenverschiebungen überprüft. So wurde im x-y-Modus bei ϕ = 0
eine Gerade, bei ϕ = π2 ein Kreis (Ellipse in Hauptachsenlage) auf dem Oszillographen abgebildet.
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5.1.2 Hochpass
Abbildung 11: Hochpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF Abbildung 12: Hochpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF
Phasengang
Übertragungsfunktion |g(ω)|
Es wurde die charakteristische Übertragungsfunktion eines Hochpasses gemessen. Mit Hilfe der LissajousFiguren wurden markante Phasenverschiebungen überprüft. So wurde im x-y-Modus bei ϕ = 0 eine Gerade,
bei ϕ = π2 ein Kreis (Ellipse in Hauptachsenlage) auf dem Oszillographen abgebildet.
5.2 Aufgabe 1 c)
Aus der angefitteten Übertragungsfunktion für den Tiefpass ergibt sich folgendes Ergebnis für die Grenzfrequenz ω0 :
1
1
|g(f )| = q
=q
1 + (2πf · RC)2
1 + (2πf · 4.9696 · 10−5 s)2
1
mit |g(f )| = √
2
q
⇒ ω0 = 2πf0 =
1
g(f0 )2
−1
RC
rad
ω0 = 20122.34
und damit
s
f0 = 3202.57Hz
=
1
RC
Die theoretische Grenzfrequenz beläuft sich auf f0theoretisch = 3248.72Hz bzw. ω0theoretisch = 20412.33 rad
s .
9
Durch die Messung des Phasengangs und der Dämpfung erhält man equivalente Ergebnisse. Dies zeigt sich
an den Abbildungen 7,11,12 sowie 13 (siehe unten).
Abbildung 13: Dämpfung an Hoch- und Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF
10
5.3 Aufgabe 2 a)
Die Schaltungen für den Aufbau eines Schwingkreises in Aufgabe 2.1 sind äquivalent. Der Unterschied zwischen den Schaltungen besteht zwischen den Versorgungsquellen (siehe rechts). Die
Spannungsquelle ist zu den Widerständen in Reihe und die Stromquelle parallel geschaltet. Die
ideale Spannungsquelle hat keinen Innenwiederstand. Durch den vorgeschalteten Widerstand Ri
wird die reale Scpannungsquelle simuliert. Die
Stromquelle hingegen besitz im Idealfall einen
unendlcih großen Widerstand. So fällt über der
idealen Spannungsquelle keine Spannung ab und
es fließt über die Stromquelle auch kein Strom.
Somit sind die Schaltungen äquivalent.
Abbildung 14: äquivalente Quellen: links: Spannungsquelle rechts: Stromquelle
Der Widerstand Rv simuliert den Verlustwiderstand der Leitungen, Anschlüsse und Messgeräte.
5.4 Aufgabe 2 b)
Abbildung 15: Schwingkreis: R = 1, 958kΩ; C = 4, 144µF ; L = 77, 63µH
Der theoretische Wert für die Resonanzfrequenz des Schwingkreises beläuft sich auf
f0 = 2π√1LC ≈ 8874Hz.
aus der Abbildung 15 und der Messwerttabelle (Abbildung 8) ergibt sich:
f0 = 9540Hz und ∆b = b2 − b1 ≈ 15000Hz − 6000Hz = 9000Hz
11
theoretischer Wert für die Güte des Schwingkreises:
s
r
r
C
C
4.144µF
Q=R·
= (Ri + R) ·
= (50Ω + 1958Ω) ·
≈ 464
L
L
77.63µH
aus den Abbildungen:
f0
9540Hz
Q=
=
= 1.06
∆b
9000Hz
Erklärung für diese Diskrepanz siehe Diskussion. Formal bestimmt sich der Verlustwiderstand Rv zu:
1
1
1
=
+
Rges
Rv
R + Ri
1
Rv = 1
mit Rges = Qgem ·
1
Rges − R+Ri
s
77.63µH
= 4.5878Ω ⇒
Rges = 1.06 ·
4.144µF
r
L
⇒
C
Rv = 4, 598Ω
5.5 Aufgabe 2 c)
Da wir mit einem 10Ω Widerstand keine Resonanzfrequenz messen konnten, weil unser zuvor gewälter Widerstand mit 2kΩ sehr groß gewählt ist, benutzten wir einen 1.199Ω Widerstand.
Damit ergibt sich folgende Resonanzfrequenzverschiebung für die Phasenverschiebung:
∆ωP = ω0 − ω0verschoben = 9540Hz − 8570Hz = 970Hz
und für das Amplitudenmaximum:
∆ωA = ω0 − ω0verschoben = 9540Hz − 9000Hz = 540Hz
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6 Diskussion
Im ersten Aufgabenteil wurden die Übertragungsfunktionen von Hoch- und Tiefpass nahe an den theoretischen Kurven gemessen. Einiger Ausreißer bei den Messwerten sind auf Ablesefehler zurückzuführen.
Deutlich wird dies insbesondere bei Abbildung 12, der letzten Messung zum ersten Aufgabenteil, da sehr
viele Messwerte aufgenommen wurden und dementsprechend zügig gearbeitet werden musste. Die Ergebnisse
der Messung zeigten dennoch erstaunlich genau die charakteristischen Verläufe. In Abbildung 13 wird die
Dämpfung von -3dB für die Grenzfrequenz von Hoch- und Tiefpass sehr genau ereicht. In Aufgabe 2 traten
deutlich mehr Probleme auf. Zunächst erschien uns die große Diskrepanz zwischen gemessener und theoretisch
bestimmter Güte als unwahrscheinlich und falsch. Nach zeitraubender, erfolgloser Fehlersuche scheint uns
folgende Erklärung logisch: Die meisten unserer Kommilitonen verwendeten kleine Widerstände im Bereich
des Innenwiderstandes der Spannungsquelle. Wir benutzen einen 2kΩ Widerstand. Der parallel geschaltete
Verlustwiderstand Rv ist bei unserer Messung der Ausschlaggebende. Über den großen Widerstand fließt im
Experiment fast kein Strom mehr. In der theoretischen Betrachtung jedoch wird der Verlustwiderstand nicht
berücksichtigt. Der wirkende Widerstand ist 2kΩ groß. Was den großen Unterschied zwischen den bestimmten
Güten erklären dürfte. Letztlich wurde gezeigt, dass bei zur Spule in Reihe geschalteten Widerständen die
Resonanzfrequenz verschoben wird. Insgesamt konnte hier die Resonanzverschiebung mit Hilfe von LissajousFiguren genauer bestimmt werden. Ablese- und Gerätefehler wurden in den Messwerttabellen angegeben und
in den Graphen eingezeichnet. Eine ausführliche Fehlerrechnung erschien uns bei diesem Versuch als wenig
hilf- und aufschlussreich.
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