23. Vorlesung

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ Klausur:
• Wissensfragen
• Rechnungen
Hinweise
☞ Klausur:
• Wissensfragen
• Rechnungen
☞ 1. Klausur vsl. am 01.08.2013, 15:00–16:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal), 5510.02.001 (MW 2001,
Rudolf–Diesel–Hörsaal)
Hinweise
☞ Klausur:
• Wissensfragen
• Rechnungen
☞ 1. Klausur vsl. am 01.08.2013, 15:00–16:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal), 5510.02.001 (MW 2001,
Rudolf–Diesel–Hörsaal)
☞ 2. Klausur vsl. am 02.10.2013, 09:00–10:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal)
Hinweise
☞ Klausur:
• Wissensfragen
• Rechnungen
☞ 1. Klausur vsl. am 01.08.2013, 15:00–16:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal), 5510.02.001 (MW 2001,
Rudolf–Diesel–Hörsaal)
☞ 2. Klausur vsl. am 02.10.2013, 09:00–10:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal)
☞ Der dritte Quantentest entfällt
Hinweise
☞ Klausur:
• Wissensfragen
• Rechnungen
☞ 1. Klausur vsl. am 01.08.2013, 15:00–16:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal), 5510.02.001 (MW 2001,
Rudolf–Diesel–Hörsaal)
☞ 2. Klausur vsl. am 02.10.2013, 09:00–10:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal)
☞ Der dritte Quantentest entfällt
☞ Wertung der Quantentests
Spin–Bahn–Wechselwirkung
☞ Hamilton–Operator
H = H 0 + V Spin−Bahn
Spin–Bahn–Wechselwirkung
☞ Hamilton–Operator
H = H 0 + V Spin−Bahn
☞ Hamilton–Operator für Coulomb–Problem
H0 = −
~2 ~ 2
∇ + V(r)
2m
mit V(r) = −
Z e2
r
Spin–Bahn–Wechselwirkung
☞ Hamilton–Operator
H = H 0 + V Spin−Bahn
☞ Hamilton–Operator für Coulomb–Problem
H0 = −
~2 ~ 2
∇ + V(r)
2m
mit V(r) = −
☞ Spin–Bahn–Kopplung
V Spin−Bahn =
1
dV(r) ~
L · ~s
2m2 c2 r dr
folgt aus relativistischer Feldtheorie
Z e2
r
Spin–Bahn–Wechselwirkung
~ ~s] = 0
☞ Verwende [L,
~2
y J
=
~ · ~s
y L
=
~ + ~s)2 = L
~ 2 + ~s 2 + 2L
~ · ~s
(L
1 ~2 ~2
J − L − ~s 2
2
Spin–Bahn–Wechselwirkung
~ ~s] = 0
☞ Verwende [L,
~2
y J
=
~ · ~s
y L
=
~ + ~s)2 = L
~ 2 + ~s 2 + 2L
~ · ~s
(L
1 ~2 ~2
J − L − ~s 2
2
➥ Satz von kommutierenden Operatoren
h
i
h
i
~ 2 = [H, J z ] = H, L
~ 2 = H, ~s 2 = 0
H, J
Lösungen
☞ Lösungsansatz
ψnℓjmj (~r) = Rnℓj (r) Yℓjmj (ϑ, ϕ)
entspricht |n, ℓ, j, mji = |n, ℓ, ji ⊗ |ℓ, j, mj i
Lösungen
☞ Lösungsansatz
ψnℓjmj (~r) = Rnℓj (r) Yℓjmj (ϑ, ϕ)
entspricht |n, ℓ, j, mji = |n, ℓ, ji ⊗ |ℓ, j, mj i
~ · ~s
☞ Wirkung von L
1
3 2
~
L · ~s Yℓjmj (ϑ, ϕ) =
j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) −
~ Yℓjmj (ϑ, ϕ)
2
4
~ 2−L
~ 2 − ~s 2
~ · ~s = 1 J
da L
2
Lösungen
☞ Lösungsansatz
ψnℓjmj (~r) = Rnℓj (r) Yℓjmj (ϑ, ϕ)
entspricht |n, ℓ, j, mji = |n, ℓ, ji ⊗ |ℓ, j, mj i
~ · ~s
☞ Wirkung von L
1
3 2
~
L · ~s Yℓjmj (ϑ, ϕ) =
j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) −
~ Yℓjmj (ϑ, ϕ)
2
4
☞ Hamilton–Operator
H0
~2 ~ 2
~2 ∂
= −
∇ + V(r) = −
2m
2m r2 ∂r
∂
r
∂r
2
+
~2
L
+ V(r)
2m r2
Radiale Schrödinger–Gleichung
☞ Radiale Schrödinger–Gleichung
~2 ∂
−
2m r2 ∂r
+
ℓ (ℓ + 1) ~2
2 ∂
+ V(r)
r
+
∂r
2m r2
~2 j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) −
2r
2m2 c{z
|2
3
4
dV(r)
Rnℓj (r) = Enℓj Rnℓj (r)
dr }
Spin-Bahn-Kopplung
Radiale Schrödinger–Gleichung
☞ Radiale Schrödinger–Gleichung
~2 ∂
−
2m r2 ∂r
+
ℓ (ℓ + 1) ~2
2 ∂
+ V(r)
r
+
∂r
2m r2
~2 j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) −
2r
2m2 c{z
|2
3
4
dV(r)
Rnℓj (r) = Enℓj Rnℓj (r)
dr }
Spin-Bahn-Kopplung
−
∂
ℓ (ℓ + 1) ~2
+ V(r)
r2
+
∂r
2m r2
3
1
Rnℓj (r) = Enℓj Rnℓj (r)
+ K 3 j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) −
r
4
~2 ∂
2m r2 ∂r
K = r2
~2 dV(r)
4m c2 dr
~ · ~s
j, ℓ und L
~ · ~s
☞ Wirkung von L
~ · ~s Yℓjm (ϑ, ϕ) = 1 j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) − 3 ~2 Yℓjm (ϑ, ϕ)
L
j
j
2
4
~ · ~s = 1 J
~ 2−L
~ 2 − ~s 2
da L
2
~ · ~s
j, ℓ und L
~ · ~s
☞ Wirkung von L
~ · ~s Yℓjm (ϑ, ϕ) = 1 j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) − 3 ~2 Yℓjm (ϑ, ϕ)
L
j
j
2
4
~ · ~s = 1 J
~ 2−L
~ 2 − ~s 2
da L
2
ℓ
0
1
j
j (j + 1) − ℓ (ℓ + 1) − 3/4
1/2
0
1/2
−2
3/2
+1
2
3/2
−3
5/2
+2
ℓ ℓ − 1/2
−(ℓ + 1)
ℓ + 1/2
+ℓ
Feinstruktur
E
ℓ=0
n=3
n=2
n=1
Feinstruktur
E
ℓ=0
32 S1/2
n=3
22 S1/2
n=2
n
n=1
2s + 1
12 S1/2
j
ℓ = 0, 1, 2, . . . ↔ S, P, D, . . .
Feinstruktur
E
ℓ=0
n=3
n=2
n=1
32 S1/2
22 S1/2
12 S1/2
ℓ=1
Feinstruktur
E
ℓ=0
n=3
32 S1/2
ℓ=1
32 P3/2
32 P1/2
n=2
22 S1/2
22 P3/2
22 P1/2
n=1
12 S1/2
Feinstruktur
E
ℓ=0
n=3
32 S1/2
ℓ=1
32 P3/2
32 P1/2
n=2
22 S1/2
22 P3/2
22 P1/2
n=1
12 S1/2
ℓ=2
Feinstruktur
E
ℓ=0
n=3
32 S1/2
ℓ=1
32 P3/2
ℓ=2
32 D5/2
32 P1/2
n=2
22 S1/2
22 P3/2
22 P1/2
n=1
12 S1/2
32 D3/2
Nicht–wechselwirkende Teilchen
☞ Hamilton–Operator zerfällt in zwei unabhängige Teile
H = H 1 (~r1 ) + H 2 (~r2 )
Nicht–wechselwirkende Teilchen
☞ Hamilton–Operator zerfällt in zwei unabhängige Teile
H = H 1 (~r1 ) + H 2 (~r2 )
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion faktorisiert
Ψ(~r1 ,~r2 ) = ψ1 (~r1 ) · ψ2 (~r2 )
Nicht–wechselwirkende Teilchen
☞ Hamilton–Operator zerfällt in zwei unabhängige Teile
H = H 1 (~r1 ) + H 2 (~r2 )
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion faktorisiert
Ψ(~r1 ,~r2 ) = ψ1 (~r1 ) · ψ2 (~r2 )
➥ Zwei unabhängige Schrödinger–Gleichungen
H i ψi (~ri ) = E(i) ψi (~ri )
Teilchen mit Wechselwirkung
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion faktorisiert nicht
i.A.
ψ(~r1 ,~r2 ) , ψ1 (~r1 ) · ψ2 (~r2 )
Teilchen mit Wechselwirkung
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion faktorisiert nicht
i.A.
ψ(~r1 ,~r2 ) , ψ1 (~r1 ) · ψ2 (~r2 )
☞ Ausblick: Für ununterscheidbare Teilchen ist die
Wellenfunktion
• entweder vollständig symmetrisch
• oder vollständig antisymmetrisch
Teilchen mit Wechselwirkung
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion faktorisiert nicht
i.A.
ψ(~r1 ,~r2 ) , ψ1 (~r1 ) · ψ2 (~r2 )
☞ Ausblick: Für ununterscheidbare Teilchen ist die
Wellenfunktion
• entweder vollständig symmetrisch
• oder vollständig antisymmetrisch
. . . mehr dazu in QM2
Zwei Spin–1/2–Teilchen
☞ Gesamtspin
~s = ~s(1) + ~s(2) =
mit
~s(i)
2
s(i)
z
~
σ
~ (1) + σ
~ (2)
2
σ
~ (i) =
1 (i) ,m
=
s
2
1 (i) ,m
=
s
2
(i)
(i)
σ(i)
x , σy , σz
3 2 1 (i) ~ 2 , ms
4
1 (i) m(i)
s ~ 2 , ms
Zwei Spin–1/2–Teilchen
☞ Gesamtspin
~s = ~s(1) + ~s(2) =
~
σ
~ (1) + σ
~ (2)
2
☞ Ansatz
|s, ms i =
X 1
(1) 1
(i)
2 , ms , 2 , ms
(2)
m(1)
s ,ms
s, ms · 1 , m(1) ⊗ 1 , m(2)
2
s
2
s
Zwei Spin–1/2–Teilchen
☞ Gesamtspin
~s = ~s(1) + ~s(2) =
~
σ
~ (1) + σ
~ (2)
2
☞ Ansatz
|s, ms i =
X 1
(1) 1
(i)
2 , ms , 2 , ms
(2)
m(1)
s ,ms
☞ Abkürzungen
1 1
,+
=: |↑i
2
2
und
s, ms · 1 , m(1) ⊗ 1 , m(2)
1 1
,−
=: |↓i
2
2
2
s
2
s
2⊗2 = 3⊕1
s = 1: Drei Möglichkeiten:
ms = 1 : |s = 1, ms = 1i = |↑i(1) · |↑i(2)
ms = −1 : |s = 1, ms = −1i = |↓i(1) · |↓i(2)
1
ms = 0 : |s = 1, ms = 0i = √ |↑i(1) · |↓i(2) + |↓i(1) · |↑i(2)
2
2⊗2 = 3⊕1
s = 1: Drei Möglichkeiten:
ms = 1 : |s = 1, ms = 1i = |↑i(1) · |↑i(2)
ms = −1 : |s = 1, ms = −1i = |↓i(1) · |↓i(2)
1
ms = 0 : |s = 1, ms = 0i = √ |↑i(1) · |↓i(2) + |↓i(1) · |↑i(2)
2
Bezeichnung : Triplett (symmetrisch)
2⊗2 = 3⊕1
s = 1: Drei Möglichkeiten:
ms = 1 : |s = 1, ms = 1i = |↑i(1) · |↑i(2)
ms = −1 : |s = 1, ms = −1i = |↓i(1) · |↓i(2)
1
ms = 0 : |s = 1, ms = 0i = √ |↑i(1) · |↓i(2) + |↓i(1) · |↑i(2)
2
Bezeichnung : Triplett (symmetrisch)
s = 0: Eine Möglichkeit:
ms = 0 : |s = 0, ms = 0i =
1
√ |↑i(1) · |↓i(2) − |↓i(1) · |↑i(2)
2
2⊗2 = 3⊕1
s = 1: Drei Möglichkeiten:
ms = 1 : |s = 1, ms = 1i = |↑i(1) · |↑i(2)
ms = −1 : |s = 1, ms = −1i = |↓i(1) · |↓i(2)
1
ms = 0 : |s = 1, ms = 0i = √ |↑i(1) · |↓i(2) + |↓i(1) · |↑i(2)
2
Bezeichnung : Triplett (symmetrisch)
s = 0: Eine Möglichkeit:
ms = 0 : |s = 0, ms = 0i =
1
√ |↑i(1) · |↓i(2) − |↓i(1) · |↑i(2)
2
Bezeichnung : Singlett (antisymmetrisch)
Zeitunabhängige Störungstheorie
☞ Zerlegung
H = H0 + λ V
bereits verstanden
Störung
Zeitunabhängige Störungstheorie
☞ Zerlegung
H = H0 + λ V
bereits verstanden
☞ Gesucht: |ni mit
H |ni = En |ni
Störung
Störungstheorie für nicht–entartete Zustände
☞ Annahmen:
• n(0) diskret
• E(0)
n nicht entartet
Störungstheorie für nicht–entartete Zustände
☞ Annahmen:
• n(0) diskret
• E(0)
n nicht entartet
☞ Lösungsansatz:
En
=
|ni =
2 (2)
E(0) + λ E(1)
n + λ En + . . .
n(0) (1) n
+ λ n
+ λ2 n(2) + . . .
Störungstheorie für nicht–entartete Zustände
☞ Annahmen:
• n(0) diskret
• E(0)
n nicht entartet
☞ Lösungsansatz:
En
=
|ni =
2 (2)
E(0) + λ E(1)
n + λ En + . . .
n(0) (1) n
+ λ n
+ λ2 n(2) + . . .
☞ Forderung
(0) n n = n(0) n(0) = 1
D
E
y n(0) n(k) = 0 für k > 0
Störungstheorie für nicht–entartete Zustände
☞ Annahmen:
• n(0) diskret
• E(0)
n nicht entartet
☞ Lösungsansatz:
En
=
|ni =
2 (2)
E(0) + λ E(1)
n + λ En + . . .
n(0) (1) n
+ λ n
+ λ2 n(2) + . . .
☞ Forderung
(0) n n = n(0) n(0) = 1
D
E
y n(0) n(k) = 0 für k > 0
☞ Verschiebung k–ter Ordnung
(0) (k−1) E
für k > 0
E(k)
n V n
n =
Störung erster Ordnung
☞ Verschiebung der Energie–Eigenwerte
(0) (0) E(1)
n V n
n =
d.h.
(0) (0) V n
En = E(0)
+ O(λ2 )
n + n
Störung erster Ordnung
☞ Verschiebung der Energie–Eigenwerte
(0) (0) E(1)
n V n
n =
d.h.
(0) (0) V n
En = E(0)
+ O(λ2 )
n + n
☞ Korrektur der Eigenzustände
X m(0) V n(0) (1) n
m(0)
=
0
0
En − Em
m,n
Störung zweiter Ordnung
☞ Verschiebung der Energie–Eigenwerte
E(2)
n
=
X m(0) V n(0) 2
m,n
(0)
E(0)
n − Em
Stark–Effekt (I)
☞ Elektron im Wasserstoff–Atom (ohne Spin und relativistische Effekte)
Stark–Effekt (I)
☞ Elektron im Wasserstoff–Atom (ohne Spin und relativistische Effekte)
☞ Hamilton–Operator ohne Störung
H 0 |n, ℓ, mi = E(0)
n |n, ℓ, mi
Stark–Effekt (I)
☞ Elektron im Wasserstoff–Atom (ohne Spin und relativistische Effekte)
☞ Hamilton–Operator ohne Störung
H 0 |n, ℓ, mi = E(0)
n |n, ℓ, mi
☞ Eigenzustände
H 0 |n, ℓ, mi = E(0)
n |n, ℓ, mi
mit
U (r)
~r n, ℓ, m = nℓ Yℓm (ϑ, ϕ) und
r
E(0)
n = −
e2 1
2a0 n2
Stark–Effekt (I)
☞ Elektron im Wasserstoff–Atom (ohne Spin und relativistische Effekte)
☞ Hamilton–Operator ohne Störung
H 0 |n, ℓ, mi = E(0)
n |n, ℓ, mi
☞ Eigenzustände
H 0 |n, ℓ, mi = E(0)
n |n, ℓ, mi
mit
U (r)
~r n, ℓ, m = nℓ Yℓm (ϑ, ϕ) und
r
E(0)
n = −
~ = (0, 0, ε)
☞ Störung: äußeres elektrisches Feld E
H = H0 + V
mit V = e ε z
e2 1
2a0 n2
Stark–Effekt (II)
☞ Matrixelemente
hn, ℓ, m| V n′ , ℓ′ , m′
Z∞
Z
∗
= e ε dr r2 Rnℓ (~r) r Rn′ ℓ′ (~r) dΩ Yℓm
(ϑ, ϕ) cos ϑ Yℓ′ m′ (ϑ, ϕ)
0
Stark–Effekt (II)
☞ Matrixelemente
hn, ℓ, m| V n′ , ℓ′ , m′
Z∞
Z
∗
= e ε dr r2 Rnℓ (~r) r Rn′ ℓ′ (~r) dΩ Yℓm
(ϑ, ϕ) cos ϑ Yℓ′ m′ (ϑ, ϕ)
0
. . . für den Grundzustand
Z
dΩ Y00 cos ϑ Y00
1
=
4π
Z2π Z1
dϕ d cos ϑ cos ϑ = 0
0
−1
Stark–Effekt (III)
. . . für den ersten angeregten Zustand, d.h. n = 2 & ℓ = 0, 1
V = (V)ij = hn = 2, ℓ, m| V n′ = 2, ℓ′ , m′
Stark–Effekt (III)
. . . für den ersten angeregten Zustand, d.h. n = 2 & ℓ = 0, 1
V = (V)ij = hn = 2, ℓ, m| V n′ = 2, ℓ′ , m′
nicht–verschwindende Matrixelemente
h2, 0, 0| V |2, 1, 0i = h2, 1, 0| V |2, 0, 0i = h2, 0, 0| e ε z |2, 1, 0i = V0
Stark–Effekt (III)
. . . für den ersten angeregten Zustand, d.h. n = 2 & ℓ = 0, 1
V = (V)ij = hn = 2, ℓ, m| V n′ = 2, ℓ′ , m′
nicht–verschwindende Matrixelemente
h2, 0, 0| V |2, 1, 0i = h2, 1, 0| V |2, 0, 0i = h2, 0, 0| e ε z |2, 1, 0i = V0
➥ Eigenwert–Problem

−E(1)
2
 V0

 0
0
V0
−E(1)
2
0
0
0
0
−E(1)
2
0

0
c1
 c2
0 

0   c3
c4
−E(1)
2


 = 0

Stark–Effekt (III)
. . . für den ersten angeregten Zustand, d.h. n = 2 & ℓ = 0, 1
V = (V)ij = hn = 2, ℓ, m| V n′ = 2, ℓ′ , m′
nicht–verschwindende Matrixelemente
h2, 0, 0| V |2, 1, 0i = h2, 1, 0| V |2, 0, 0i = h2, 0, 0| e ε z |2, 1, 0i = V0
➥ Eigenwert–Problem

−E(1)
2
 V0

 0
0
V0
−E(1)
2
0
0
0
0
−E(1)
2
0
➥ Eigenwerte
{E(1)
2 } = {0, 0, +V0 , −V0 }

0
c1
 c2
0 

0   c3
c4
−E(1)
2


 = 0

Stark–Effekt (IV)
|2,0,0i−|2,1,0i
√
2
3e ε a0
|2, 0, 0i , |2, 1, 0i
|2, 1, 1i , |2, 1, −1i
|2, 1, ±1i
3e ε a0
|2,0,0i+|2,1,0i
√
2
ε=0
ε>0
Hyperfein–Aufspaltung (I)
☞ Wasserstoff–Atom unter Berücksichtigung des Spins des
Protons
Hyperfein–Aufspaltung (I)
☞ Wasserstoff–Atom unter Berücksichtigung des Spins des
Protons
☞ Magnetisches Moment des Protons
~µp =
gp e
~sp
2mp c
Hyperfein–Aufspaltung (I)
☞ Wasserstoff–Atom unter Berücksichtigung des Spins des
Protons
☞ Magnetisches Moment des Protons
~µp =
gp e
~sp
2mp c
➥ Magnet–Feld
~ = 1 3 ~µ · br br − ~µ + 2 4π ~µ δ(3) (~r)
B
r3
3
br = ~r/|~r|
Hyperfein–Aufspaltung (I)
☞ Wasserstoff–Atom unter Berücksichtigung des Spins des
Protons
☞ Magnetisches Moment des Protons
~µp =
gp e
~sp
2mp c
➥ Magnet–Feld
~ = 1 3 ~µ · br br − ~µ + 2 4π ~µ δ(3) (~r)
B
r3
3
➥ Hyperfein–Wechselwirkung
V HF
=
r − ~sp · ~se
r ~se · b
3 ~sp · b
g p e2
2 m p m e c2
r3
+
4π gp e2
~sp · ~se δ(3) (~r)
3 m p m e c2
Hyperfein–Aufspaltung (II)
☞ Energie–Verschiebung in erster Ordnung Störungstheorie
E(1)
HF
=
g p e2
2 m p m e c2
+
*
+
r − ~sp · ~se
r ~se · b
3 ~sp · b
r3
4π gp e2 ~sp · ~se |ψn00 (0)|2
3 m p m e c2
Hyperfein–Aufspaltung (II)
☞ Energie–Verschiebung in erster Ordnung Störungstheorie
E(1)
HF
=
g p e2
2 m p m e c2
+
*
+
r − ~sp · ~se
r ~se · b
3 ~sp · b
r3
4π gp e2 ~sp · ~se |ψn00 (0)|2
3 m p m e c2
☞ Speziell für n = 1
E(1)
HF =
g p e2 4 a−3
0
~sp · ~se
2
3 mp me c
Hyperfein–Aufspaltung (II)
☞ Energie–Verschiebung in erster Ordnung Störungstheorie
E(1)
HF
=
g p e2
2 m p m e c2
+
*
+
r − ~sp · ~se
r ~se · b
3 ~sp · b
r3
4π gp e2 ~sp · ~se |ψn00 (0)|2
3 m p m e c2
☞ Speziell für n = 1
E(1)
HF =
g p e2 4 a−3
0
~sp · ~se
2
3 mp me c
☞ Gesamtspin
~s = ~se + ~sp
Hyperfein–Aufspaltung (II)
☞ Energie–Verschiebung in erster Ordnung Störungstheorie
E(1)
HF
=
g p e2
2 m p m e c2
+
*
+
r − ~sp · ~se
r ~se · b
3 ~sp · b
r3
4π gp e2 ~sp · ~se |ψn00 (0)|2
3 m p m e c2
☞ Speziell für n = 1
E(1)
HF =
g p e2 4 a−3
0
~sp · ~se
2
3 mp me c
☞ Gesamtspin
~s = ~se + ~sp
y ~se · ~sp =
1 2
~s − ~se2 − ~sp2
2