Grundwissen Physik 7. bis 11. Klasse

Grundwissen Physik
am bayerischen Gymnasium (G8)
Richard Reindl
2004–2013
Das Grundwissen ist zweispaltig dargestellt,
links die Definitionen, Sätze und Beweise,
rechts Abbildungen und Beispiele.
Es handelt sich nicht nur um einen Grundwissenskatalog, sondern um eine kompakte Darstellung des Stoffes mit den notwendigen Herleitungen und Beweisen. Daher eignet sich der
Text zur Wiederholung und zum Selbststudium des Stoffes.
Die Auswahl des Stoffes beruht auf meinem
Unterricht und den von mir gesetzten Schwerpukten und Vertiefungen, ist also nicht unbedingt eine 1:1-Umsetzung des Lehrplans. Es
wird auch kein Anspruch auf Vollständigkeit
erhoben.
Die aktuellste Version des Werks findet man
unter
http://www.stbit.de
Das Werk steht unter einer Creative Commons
- Namensnennung
- Nicht-kommerziell
- Weitergabe unter gleichen Bedingungen
3.0 Unported Lizenz
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.de
2
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Größen in der Physik
Beispiele
Definitionen und Regeln
Grundgrößen
Eine physikalische Größe besteht aus einem Zahlenwert und aus einer Einheit (Benennung).
Historisches
Früher wurde die Sekunde als der 86400-ste Teil
eines Tages festgelegt.
t = 3,47 s
Formelzeichen
Das Meter wurde um 1800 folgendermaßen definiert:
Einheit
Zahlenwert
Ein Meter ist der zehnmillionste Teil der
Länge des Meridianbogens, der vom Nordpol über Paris bis zum Äquator reicht.
Wenn möglich, verwendet man für gleiche Größen
immer gleiche Formelzeichen, z.B. t für die Zeit
(engl.: time, lat.: tempus).
Mit dieser Definition hat der Erdumfang, eine
exakte Kugel für die Gestalt der Erde vorausgesetzt, die Länge 40 000 km.
Die Zeit
Zur Definition der Grundeinheit der Zeit, der Sekunde, kann jeder periodisch ablaufende Vorgang
verwendet werden. Die Sekunde wird als Vielfaches der Schwingungsdauer einer ganz bestimmten Strahlung definiert, die von Cäsiumatomen
ausgesandt wird. Realisiert wird diese äußerst genaue Zeitmessung mit Atomuhren. Eine solche
Atomuhr geht in 1014 s, das sind ungefähr drei
Millionen Jahre, nur um eine Sekunde falsch.
Ein Kilogramm hat man früher als die Masse von
einem Liter (1 dm3 ) Wasser bei 20◦ definiert.
Schreibweise großer und kleiner Zahlen
10n = 1 000
. . . 0},
| {z
10−n =
n Nullen
n−1 Nullen
1
= 0,000 001
1 000 000
Multiplizieren mit 10n bedeutet eine Kommaverschiebung um n Stellen nach rechts, multiplizieren mit 10−n bedeutet eine Kommaverschiebung
um n Stellen nach links:
Die Länge
103 = 1 000,
Die Grundeinheit der Länge ist das Meter.
Ein Meter ist die Strecke, die Licht in
1
der Zeit
s zurücklegt.
299792458
10−6 =
Die Masse
5,73 · 105 = 573 000,
Ein Kilogramm (kg) ist definiert als die Masse
des in der Nähe von Paris aufbewahrten Urkilogramms (ein Zylinder aus einer Platin-IridiumLegierung). An einer moderneren Definition der
Masse wird derzeit gearbeitet.
Vorsilben für Zehnerpotenzen:
Größe
Zeit
Länge
Masse
1
= 0, |00 {z
. . . 0} 1
10n
Name
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Pico
Grundgrößen
Einheit
Zeichen
Sekunde
s
Meter
m
Kilogramm
kg
3
Zeichen
h
k
M
G
T
c
m
µ
n
p
3,45 · 10−6 = 0,000 003 45
Bedeutung
102
103
106
109
1012
10−2
Hundertstel
10−3
Tausendstel
10−6
Millionstel
10−9
Milliardstel
10−12 Billionstel
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Elektrizität
Definitionen und Regeln
Beispiele
Bausteine der Materie
Kräfte zwischen elektrisch geladenen Teilchen:
Die ganze uns umgebende Materie besteht aus
nur drei Bausteinen, den Protonen (p+ ), Neutronen (n) und Elektronen (e− ).
Die Protonen tragen eine poitive elektrische Elementarladung e, die Elektronen eine negative
Elementarladung −e. Gleichnamig geladene Teilchen (z.B. zwei Protonen oder zwei Elektronen)
stoßen sich ab, zwei ungleichnamig geladene Teilchen ziehen sich an.
Protonen und Neutronen heißen auch Nukleonen (Kernbausteine).
Protonen, Neutronen und Elektronen sind die
Bausteine der Atome. Protonen und Neutronen
sind die Teile des positiv geladenen, sehr kleinen
und schweren Atomkerns, die Elektronen bilden
die negativ geladene Atomhülle. Dabei darf man
sich die Elektronen nicht als kleine Kugeln vorstellen, die um den Kern kreisen wie die Planeten um die Sonne. Wenn sich ein Elektron einem
Kern nähert, geschieht etws sehr Merkwürdiges:
Es bläht sich auf und aus dem zunächst winzigen
Teilchen wird eine Ladungswolke, die ungefähr
100 000-mal größer ist als der Atomkern.
Atome enthalten im Normalzustand (neutrale
Atome) genauso viele Elektronen wie Protonen,
d.h. die Gesamtladung eines neutralen Atoms ist
null (n · e + n · (−e) = 0).
Die Radien der Atome liegen im Bereich von ungefähr 10−10 m bis 10−9 m, die der Kerne von
10−15 m bis 10−14 m.
Das einfachste und leichteste Atom ist das Wasserstoffatom (H), dessen Kern aus einem Proton
und dessen Hülle aus einem Elektron besteht. Das
schwerste in der Natur vorkommende Atom ist
das Uranatom (U) mit 92 Protonen und 146 Neutronen im Kern und 92 Elektronen in der Hülle.
Noch schwerere Atome können künstlich erzeugt
werden, sind aber nicht stabil (sie zerfallen in
leichtere Atome).
Stoffe, die aus nur einer Atomsorte bestehen, heißen chemische Elemente. In der Natur kommen also 92 verschiedene chemische Elemente
vor. Die chemischen Eigenschaften eines Elements
hängen nur von der Zahl der Elektronen in der
Hülle ab.
Aufbau der Atome
aus Kern und Elektronenhülle
Aufbau der Kerne
aus Nukleonen
n p
n
n
n
p
p
p
p
Aufbau eines
Moleküls aus
Atomen
n
n
p
n
−
− −−
− + −
−− −
p
p
n
O
H
H
H2 O
Sauerstoffkern
In unserer Umwelt gibt es aber mehr als 92
verschiedene Materialien. Das liegt daran, dass
sich die Atome zu Molekülen verbinden können.
So ist z.B. das kleinste Teilchen, das noch die
Eigenschaften von Wasser besitzt, das Wassermolekül. Es besteht aus einem Sauerstoffatom
(O) und aus zwei Wasserstoffatomen (H), man
schreibt dafür auch H2 O.
Die Massen der wichtigsten Teilchen in kg
p+
n
e−
1,67265 · 10−27
1,67495 · 10−27
9,1095 · 10−31
Ein Atom, das mehr oder weniger Elektronen als
Protonen enthält, nennt man ein negatives oder
positives Ion.
Ein Sauerstoffatom O enthält 8 Protonen im
Kern. Ein O-Atom mit 9 Elektronen hat die Gesamtladung 8e + 9(−e) = −e, also eine negative
Elementarladung. Dieses einfach negativ geladene
Ion bezeichnet man mit O− .
Beispiele für Ionen
Stoff
4
Protonen
Elektronen
Symbol
Magnesium
12
10
Mg++
Schwefel
16
18
S−−
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der elektrische Strom
In einem (metallischen) elektrischen Leiter gibt
es frei bewegliche, nicht fest an ein Atom gebundene Elektronen (ungefähr ein bis zwei Elektronen pro Atom). Diese frei beweglichen Elektronen schwirren wie ein Mückenschwarm in ungeordneten Bewegungen zwischen den positiven
Atomrümpfen hindurch.
Eine elektrische Stromquelle (Batterie, Steckdose) besitzt einen Plus- und einen Minuspol. Am
Pluspol herrscht Elektronenmangel, d.h. er ist
positiv geladen. Am Minuspol herrscht Elektronenüberschuss, d.h. er ist negativ geladen. Verbindet man den Plus- und den Minuspol einer
Stromquelle mit einem Leiter, dann zieht der
Pluspol die Leiterelektronen an und der Minuspol stößt sie ab, die Leiterelektronen bewegen sich
also vom Minus- zum Pluspol (wie ein Mückenschwarm, der sich von einer Straßenlaterne zur
nächsten bewegt). Elektronen fließen am Minuspol in den Leiter hinein und am Pluspol wieder
in die Stromquelle zurück. Die Stromquelle wirkt
also wie eine Elektronenpunpe.
Stromquelle
Minuspol
Pluspol
Stromrichtung
Stromquelle
Fließende elektrische Ladung bezeichnet man als elektrischen Strom.
Leitung
Ein Stromkreis besteht aus einer Stromquelle,
den Leitungen und einem Verbraucher (z.B. einer
Glühbirne).
Die Richtung des elektrischen Stromes ist so definiert, dass ein positiver Strom außerhalb der
Stromquelle vom Pluspol zum Minuspol fließt.
Schalter
Glühbirne
Mechanik
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Geschwindigkeit
t1
Ein Auto bewegt sich entlang der x-Achse. Zur
Zeit t1 befindet es sich am Ort x1 , zur Zeit t2
am Ort x2 . Die Zeitspanne zwischen t1 und t2 ist
∆t = t2 − t1 , die Länge des Weges zwischen x1
und x2 ist ∆x = x2 − x1 . Die Geschwindigkeit
des Autos ist dann
v=
0
∆t = t2 − t1
x1
t2
v
x2
x
∆x = x2 − x1
PKW auf der Autobahn: Um 13:07:22 bei der kmMarke 27, um 13:17:37 bei der km-Marke 47,5.
x2 − x1
∆x
=
∆t
t2 − t1
Geschwindigkeit =
v
∆t = 10 min 15 s = 10,25 min = 615 s
∆x = 20, 5 km = 20500 m
zurückgelegter Weg
dazu benötigte Zeit
km
km
20,5 km
=2
= 120
=
10,25 min
min
h
20500 m
m
=
= 33,3
630 s
s
v=
m
km
1
= 3,6
s
h
5
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Definitionen und Regeln
Beispiele
Startet ein Körper zur Zeit t0 = 0 am Ort x0 mit
konstanter Geschwindigkeit v und ist er zur Zeit
t am Ort x(t), dann ist
tx-Diagramm mit konstanter Geschwindigkeit:
x
x(t)
∆x = x(t) − x0
und ∆t = t − t0 = t
∆x
x0
x(t) − x0
∆x
=
∆t
t
Für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gilt also:
v=
t
tv-Diagramm mit konstanter Geschwindigkeit:
x(t) = x0 + vt
v
In der Zeit ∆t bewegt sich ein Körper mit der konstanten Geschwindigkeit v um die Strecke ∆x =
v · ∆t. Nebenstehendem tv-Diagramm entnimmt
man:
v
t1
Die Beschleunigung
t1
Ein Auto bewegt sich entlang der x-Achse. Zur
Zeit t1 ist seine Geschwindigkeit v1 , zur Zeit t2
beträgt sie v2 . Die Geschwindigkeitsänderung in
der Zeitspanne ∆t = t2 − t1 ist ∆v = v2 − v1 . Die
Beschleunigung des Autos ist dann
0
∆t
t
t2
v2
t2
v1
x1
x2
x
Ein Auto beschleunigt in 10 s von null auf 108 km
h .
∆v = 108
v2 − v1
∆v
=
a=
∆t
t2 − t1
a=
Geschwindigkeitsänderung
dazu benötigte Zeit
Startet ein Körper zur Zeit t0 = 0 mit der Geschwindigkeit v0 mit konstanter Beschleunigung
a und hat er zur Zeit t die Geschwindigkeit v(t),
dann ist
∆v = v(t) − v0
v
∆x
Weg = Fläche unter dem tv-Diagramm.
Beschleunigung =
t
km
m
− 0 = 30
h
s
30 ms
m
∆v
=
= 3,0 2
∆t
10 s
s
v
v(t)
∆v
und ∆t = t − t0 = t
v0
v(t) − v0
∆v
=
∆t
t
Für die Bewegung mit konstanter Beschleunigung
gilt also:
v(t) = v0 + at
a=
t
v
Startet ein Körper zur Zeit null mit x0 = x(0) = 0
und v0 = v(0) = 0, dann gilt v(t) = at:
x(t) = ∆x =
v
1
1
· t · v = at2
2
2
x(t) =
t
v = at
∆x
1 2
at
2
t
6
t
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Definitionen und Regeln
Beispiele
Masse und Trägheit
Die Beeinflussung eines Körpers durch einen anderen, z.B. durch Gravitation (Schwerkraft) oder
durch Reibung, nennt man Wechselwirkung zwischen den Körpern. Ein wechselwirkungsfreier
Körper wird also von keinem anderen Körper beeinflusst. Die Eigenschaft eines Körpers, sich einer
Bewegungsänderung zu widersetzten, nennt man
Trägkeit. Galilei hat um 1590 den Trägheitssatz
formuliert:
Definition der Masse:
Feder
in Ruhe
v1
Ein wechselwirkungsfreier Körper erfährt
die Beschleunigung null, d.h. er bewegt sich
mit konstanter Geschwindigkeit.
m1
m2
Beispiel:
Ein Körper der zunächst unbekannten Masse m2
wird in Ruhe durch eine Feder mit einer Kopie des Urkilogramms (m1 = 1 kg) verbunden.
Nach dem Auseinanderschnellen der Feder hat
der Körper der Masse m2 die Geschwindigkeit
v2 = 5,0 ms und das Kilogrammstück die Geschwindigkeit v1 = 8,5 ms .
(Newton 1)
Bringt man zwei zunächst ruhende Körper in
Wechselwirkung (indem man z.B. eine zusammengedrückte Feder zwischen sie bringt) und
misst ihre Geschwindigkeiten v1 und v2 nach der
Wechselwirkung, dann definiert man die Massen
m1 und m2 der beiden Körper über die Beziehung
m1 · v1 = m2 · v2
=⇒
1 kg · 8,5 ms
m1 · v1
=
m2 =
= 1,7 kg
v2
5 ms
m1 · v1 = m2 · v2
Um mit diesr Definition die Masse eines der beiden Körper bestimmen zu können, muss die Masse des anderen Körpers bekannt sein (z.B. das
Urkilogramm oder eine Kopie davon).
Der schwerere Körper ist nach der Wechselwirkung langsamer als der leichtere, die Masse ist
also ein Maß für die Trägheit eines Körpers.
In der Praxis misst man die Masse nicht mit
Wechselwirkungsversuchen, sondern mit Waagen.
Dabei wird die Tatsache ausgenutzt, dass gleiche
Massen von der Erde gleich stark angezogen werden. Die Abbildung zeigt eine Balkenwaage, mit
der man Massen sehr genau vergleichen kann.
Die Massen in den beiden Waagschalen sind
gleich, wenn der Zeiger der Waage genau in der
Mitte steht.
Die Dichte
Hat ein Körper, der aus einem bestimmten Stoff
(z.B. Blei) besteht, das Volumen V und die Masse
m, dann nennt man den Quotienten
̺=
Stoff
Styropor
Holz (Fichte)
Holz (Buche)
Alkohol
Wasser
Eisen
Kupfer
Blei
Quecksilber
Gold
m
V
die Dichte dieses Stoffes (̺ ist der griechische
Buchstabe rho“).
”
m=̺·V
=⇒
V =
m
̺
Einheiten der Dichte:
1
v2
kg
kg
g
=1
= 1000 3
cm3
dm3
m
7
Dichte in
bei 20 ◦ C
≈ 0,04
0,5
0,7
0,789
1,00
7,86
8,93
13,35
13,55
19,3
g
cm3
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Kraft
Erfährt ein Körper der Masse m die Beschleunigung a, dann wirkt auf ihn die Kraft
Addition von Kräften (Kräfteparallelogramm):
~1
F
F = ma
(Newton 2)
~2
F
~ges = F
~1 + F
~2
F
oder in Worten
~2
F
Kraft = Masse mal Beschleunigung
Wirken mehrere Kräfte, z.B.F~1 bis F~4 auf einen
Körper, dann ist die Gesamtkraft auf den Körper
die Vektorsumme
Einheit der Kraft:
1 Newton = 1 N = 1
kg m
s2
F~ges = F~1 + F~2 + F~3 + F~4
Zur vollständigen Beschreibung einer Kraft muss
neben ihrem Betrag auch noch ihre Richtung bekannt sein. Die Kraft ist ein Vektor (Kraftpfeil).
Die Länge des Vektors ist der Betrag der Kraft.
~3
F
~2
F
Bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit, dann ist seine Beschleunigung null und
wegen Newton 2 muss dann auch die auf ihn wirkende Gesamtkraft null sein:
~4
F
~1
F
~ges = F
~1 + F
~2 + F
~3 + F
~4
F
v konstant ⇐⇒ a = 0 ⇐⇒ Fges = 0
Kraft und Gegenkraft:
Kräfte wirken immer zwischen zwei Körpern. Ist
F~1 die Kraft, die der Körper K2 auf den Körper
K1 ausübt und F~2 die Kraft, die der Körper K1
auf den Körper K2 ausübt, dann sind die Beträge
der beiden Kräfte gleich, ihre Richtungen aber
entgegengesetzt:
K2
K1
~2
F
~1
F
F~2 = −F~1
(Newton 3)
Die Gewichtskraft
Einige Ortsfaktoren:
Im Vakuum, d.h. ohne Luftwiderstand,
fallen alle Körper gleich schnell.
Der Mittelwert der Fallbeschleunigung an der
Erdoberfläche ist
g = 9,81
N
m
= 9,81
2
s
kg
Die Ursache für die Fallbeschleunigung ist die Gewichtskraft (Gravitationskraft, Schwerkraft) FG :
m
s2
Ort
g in
N- oder S-Pol
Äquator
45◦ nördl. Breite
Zugspitze
Mond
Mars
Jupiter
9,832
9,780
9,80665
9,797
1,57
3,83
24,5
Beispiel: Ein Astronaut wiegt auf dem Mars
306 N. Wie schwer ist er auf dem Mond?
FG = mg
FMars = m · gMars
Die Masse eines Körpers ist überall gleich, die
Fallbeschleunigung ist vom Ort abhängig und
heißt deshalb auch Ortsfaktor.
FMond = m · gMond =
8
=⇒
m=
FMars
gMars
FMars · gMond
= 125 N
gMars
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 7
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Reibungskraft
Die Kraft, mit der ein Körper senkrecht auf seine Unterlage drückt, heißt Normalkraft und wird
mit FN bezeichnet. Bewegt sich der Körper, dann
wirkt entgegen der Bewegungsrichtung die Reibungskraft (genauer Gleitreibungskraft) mit dem
Betrag
FR = µ · FN
FR
FA
K
Antriebskraft FA , Reibungskraft FR , Beschleunigung a:
ma = Fges = FA − FR
µ heißt Reibungszahl (Gleitreibungszahl) und ist
Abhängig von den Materialien des Körpers und
der Unterlage.
Um einen ruhenden Körper auf einer Unterlage
in Bewegung zu versetzen, muss die Haftreibungskraft FHaft überwunden werden, die etwas größer
als die Gleitreibungskraft ist. Auch FHaft ist proportional zu FN :
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, wenn
FA = FR .
Stoffpaar
Autoreifen–Straße (trocken)
Autoreifen–Straße (nass)
Ski–Schnee
µ
µH
0,5
0,3
0,05
0,8
0,5
0,1
FHaft = µH · FN
µH heißt Haftreibungszahl.
Die Federkraft
Eine Feder wird von der Kraft F um die Strecke
∆x gedehnt oder zusammengedrückt. Dabei gilt
im Elastizitätsbereich das Hookesche Gesetz:
~
F
K
F = D · ∆x
x
x0
∆x
x
mit der Federkonstanten D.
Kräfte an der schiefen Ebene
Ein Körper K befindet sich auf einer schiefen Ebene (z.B. einem Skihang) mit dem Neigungswinkel
ϕ. Die Gewichtskraft FG = mg kann in eine Kraft
parallel zum Hang, der Hangabtriebskraft FH und
in die Normalkraft FN , die senkrecht auf die Unterlage drückt, zerlegt werden:
K
FH
ϕ
FN
F~G = F~H + F~N
FG
ϕ
ϕ
FH und FN werden durch Konstruktion ermittelt
(Kräfteparallelogramm).
Aufwärtsfahren mit der Antriebskraft FA :
FA
ma = Fges = FA − FH − FR
Abwärtsfahren mit der Antriebskraft FA :
K
FH
ma = Fges = FA + FH − FR
FR
ϕ
9
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Mechanik
Beispiele
Definitionen und Regeln
Die Arbeit
Ein Körper K wird unter dem Einfluss der Kraft
F~0 um die Strecke ∆~x bewegt. F~ ist der Teil von
F~0 , der parallel zu ∆~x ist und F ist der Betrag
von F~ . Die am Körper K verrichtete Arbeit ist
dann
∆W = F · ∆x
~0
F
~
F
K
∆~
x
Die Einheit der Arbeit ist
[W ] = 1 J = 1 Joule = 1 Nm = 1
F
kg m2
s2
F
∆W = F · ∆x F
Arbeit = Fläche unter dem xF -Diagramm
x
∆x
Ein Körper der Masse m wird
mit konstanter Geschwindigkeit
um die Höhe h senkrecht gehoben. Dabei muss die Gesamtkraft
auf K null sein, d.h. der Betrag der hebenden Kraft F~ muss
gleich dem Betrag der Gewichtskraft sein: F = mg. Die Hubarbeit ist dann
~
F
Aus der Geometrie
(Ähnliche Dreiecke)
FH
h
folgt:
=
FG
AB
h
ϕ
~G
F
∆x =
WB =
h
~G
F
ϕ
Ein Körper der Masse m wird mit konstanter Geschwindigkeit und ohne Reibung von der Kraft F
eine schiefe Ebene der Länge AB und der Höhe h
hinaufgezogen. Wegen der konstanten Geschwindigkeit ist die Gesamtkraft auf den Körper null,
insbesondere ist F = FH . Die am Körper verrichtete Arbeit ist dann
a 2
t
2
W = F · AB = FH · AB = FG · h = mgh
Allgemein gilt:
Die Beschleunigungsarbeit ist dann
WB = F · ∆x = ma ·
~H
F
A
Ein Körper der Masse m wird auf waagrechter
Unterlage ohne Reibung von der Kraft F beschleunigt. In der Zeit t ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers von null auf v und er bewegt
sich um die Strecke ∆x:
v = at,
B
m
FH · AB = FG · h
m
WH = mgh
F = ma,
~
F
Ohne Reibung ist die Hubarbeit immer
WH = mgh, ganz gleich auf welchem
Weg die Höhe h überwunden wird.
a 2
m
t = (|{z}
at )2
2
2
v
m 2
v
2
Ein Bergsteiger (m = 70 kg) steigt von Garmisch
(700 m) auf die Zugspitze (2962 m). Dabei verrichtet er die Hubarbeit
Wh = mgh = 70 kg · 9,81
10
N
· 2262 m = 1, 55 MJ
kg
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
Um die Arbeit zu berechnen, die beim Spannen oder Zusammendrücken einer Feder verrichtet wird, zeichnet man das xF -Diagramm. Nach
Hooke ist F (x) = Dx. Die Spannarbeit einer Feder ist dann (Fläche unter dem xF -Diagramm):
F
F (x)
F (x)
1
D 2
1
x
WS = x · F (x) = x · Dx =
2
2
2
WS =
1
2 xF (x)
x
D 2
x
WS =
2
Beispiel: Ein Auto der Masse m = 900 kg wir auf
der Strecke ∆x = 200 m von null auf v = 108 km
h
beschleunigt, die Reibungszahl (Rollreibung) ist
µ = 0,05. Die gesamte zu verrichtende Arbeit ist
Praktisch jede Bewegung ist mit Reibung verbunden. Die Reibungsarbeit ist einfach Reibungskraft
mal Weg:
WR = FR · ∆x = µFN ∆x
Wges =
m 2
v + µmg∆x = 504 kJ
|2{z } | {z }
405 kJ
Die Energie
ist gespeicherte
potentielle Energie
kinetische Energie
Spannenergie
Hubarbeit
Beschleunigungsarbeit
Spannarbeit
99 kJ
x
Ein Körper der Masse m ruht
v0 = 0
h
in der Höhe h über dem Boden
und besitzt somit die potentielle
∆x
Energie Wpot = mgh bezüglich
x
des Bodens. Der Körper fällt
v(x)
nach unten. Während des Falls
wirkt immer die Gewichtskraft
FG = mg auf den Körper und
zwar über die ganze Strecke h.
Deshalb wird am Körper die Be0
schleunigungsarbeit ∆W = mgh
verrichtet, d.h. seine kinetische
v(0)
Energie beim Aufprall auf den
Boden ist Wkin = ∆W = mgh.
In der Höhe x ist die kinetische Energie mg∆x =
mg(h − x). Fassen wir zusammen:
Energie ist gespeicherte Arbeit, Energie ist die
Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
Energieform
x
Die potentielle Energie ist abhängig von der Wahl
des Nullpunktes. In der Höhe h über dem Nullpunkt ist die potentielle Energie
Wpot = mgh
In einem Körper der Masse m, der sich mit der
Geschwindigkeit v bewegt, ist die kinetische Energie
m 2
Wkin =
v
2
gespeichert.
In einer Feder mit der Federkonstanten D, die um
die Strecke ∆x gedehnt oder gestaucht ist, ist die
Spannenergie
Position
Wpot
Wkin
Wges =
Wpot + Wkin
x=h
x
x=0
mgh
mgx
0
0
mg(h − x)
mgh
mgh
mgh
mgh
Beim freien Fall ist die Gesamtenergie Wges =
Wpot + Wkin des fallenden Körpers konstant, d.h.
Wges hat immer den gleichen Wert:
D
WS =
∆x2
2
Wges = Wpot + Wkin = konstant
gespeichert.
Die Atome eines Körpers sind in ständiger Bewegung (Schwingungen um eine Ruhelage). Die
Summe aller Energien, die in der Bewegung und
der Lage der Atome zueinander stecken, nennt
man die innere Energie Wi des Körpers. Einer großen inneren Energie entspricht eine große
Temperatur!
Bei Reibung entsteht Wärme:
Die Reibungsarbeit wird in innere
Energie Wi eines Körpers umgewandelt.
11
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
Ein abgeschlossenes System ist ein System von
Körpern, die zwar untereinander aber nicht mit
anderen Körpern in Wechselwirkung stehen. Die
Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist
die Summe aller kinetischen, potentiellen, Spannund inneren Energien der Körper des Systems.
Beispiele für die Anwendung des Energiesatzes:
Ein Eisstock der Masse m gleitet mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 15 ms über eine ebene Eisfläche, die Reibungszahl ist µ = 0,09. Wie weit
gleitet der Stock?
(Energiesatz)
Am Anfang ist die Gesamtenergie des Eisstocks
seine kinetische Energie, am Ende der Bewegung
hat sich die gesamte kinetische Energie in innere
Energie verwandelt (Reibungsarbeit):
Für Anwendungen ist der Energiesatz in folgender Form am besten geeignet:
m 2
v = µmg∆x
2 0
Wges, vorher = Wges, nachher
152 ms2
v2
∆x = 0 =
= 127 m
2µg
2 · 0,09 · 9,81 sm2
Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist konstant.
2
Wir können auch berechnen, welche Geschwindigkeit v1 der Eisstock nach der Strecke ∆x1 = 50 m
hat:
m 2
m 2
v0 = µmg∆x1 +
v
2
2 1
v12 = v02 − 2µg∆x1 = 137
v1 = 11,7
m2
s2
m
s
Die Leistung
Wer viel Arbeit in wenig Zeit verrichtet, der leistet viel, wer wenig Arbeit in viel Zeit verrichtet,
der leistet wenig. Daher definiert man die Leistung P :
∆W
P =
∆t
Aus ∆W = P · ∆t erhält man eine oft gebrauchte
Einheit der Arbeit (Energie):
1 kWh = 1 Kilowattstunde = 1 kW · 1 h =
= 1000 W · 3600 s = 3,6 · 106 J
1 kWh = 3,6 MJ
Die Einheit der Leistung ist
Als Beispiel betrachten wir ein Auto der Masse
m = 1000 kg, das in ∆t = 10 s von 0 auf die Gem
schwindigkeit v = 108 km
h = 30 s beschleunigt.
Der Wirkungsgrad des Motors ist η = 30%, ein
Liter Benzin liefert die Energie 30 MJ, d.h. der
MJ
Energieinhalt des Benzins ist E = 30 dm
3.
J
[P ] = 1 = 1 W = 1 Watt
s
1 J = 1 Ws
Als Wirkungsgrad oder Leistungsziffer einer
Maschine definiert man
η=
PN
Nutzleistung
=
aufgewendete Leistung
Pg
Die aufgewendete Leistung oder Gesamtleistung
Pg ist dabei die Summe aus der Nutzleistung PN
und der Verlustleistung PV . PV führt meistens zu
einer Erwärmung der Maschine und der Umgebung (außer bei einer Heizung, da ist gerade die
Wärmeleistung die Nutzleistung).
η=
Beschleunigungsarbeit: ∆W =
m 2
v = 450 kJ
2
Nutzleistung des Motors: PN =
∆W
= 45 kW
∆t
Pg =
45 kW
PN
=
= 150 kW
η
0,3
Vom Benzin verrichtete Arbeit
WB =
∆W
= Pg · ∆t = 1,5 MJ
η
Der Benzinverbrauch für die Beschleunigung ist
PN
Pg − PV
PV
=
=1−
≦1
Pg
Pg
Pg
V =
12
WB
1,5 MJ
=
= 0,05 dm3 = 50 cm3
MJ
E
30 dm
3
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
Kraftwandler
Ein Kraftwandler ist eine mechanische Maschine mit einem Eingangspunkt E (z.B. ein Hebel
oder ein Seilende) und einem Ausgangspunkt A.
E wird von einer Kraft Fe um die Strecke e bewegt. Dabei bewegt sich A um die Strecke a und
bewirkt dabei die Kraft Fa auf einen anderen Gegenstand. Bei einer idealen (reibungsfreien) Maschine folgt aus dem Energiesatz
Fe · e = Fa · a
=⇒
Fa =
F~a
E
e
a
A
F~e
e
· Fe
a
Ist die Ausgangskraft n-mal so groß wie die
Eingangskraft, dann ist der Eingangsweg
n-mal so groß wie der Ausgangsweg.
Mechanische Maschinen sind z.B. der Hebel, Flaschenzüge, Kettengetriebe (Fahrrad), Zahnradgetriebe usw.
Flaschenzüge
E
Flaschenzüge bestehen aus Seilen und Rollen. Zur
einfacheren Beschreibung nehmen wir an, dass die
Rollen reibungsfrei und die Seile nicht dehnbar
sind. Der einfachste Flaschenzug besteht aus einem Seil und einer Rolle (siehe nebenstehende
Abbildung, links). Da die Seillänge konstant ist,
gilt
a1 + a2 = b 1 + b 2
=⇒
h = a1 − b 1 = b 2 − a2
e + a2 = h + b 2
=⇒
e = h + b2 − a2 = 2h
Fe
3F
b1
b2
e
a1
K
E
3F
h
a2
3F
2F
F
F
E
F
A
h
Fa
Um die Last um die Höhe h zu heben, muss
man den Eingangspunkt E um die Strecke
e = 2h bewegen. Da die Kraft Fa am Ausgang A
gleich der Gewichtskraft mg der Last sein muss,
muss man mit der Kraft Fe = ae Fa = 12 mg am
Eingangspunkt E ziehen.
2F
6F
A F =
8F
mg
8
m
Einfacher findet man die Ausgangskraft mit folgenden Regeln:
Die rechte Abbildung zeigt einen komplizierten
Flaschenzug, der aber doch recht einfach zu berechnen ist. Im Seilstück von E bis zum Knoten K
herrscht die Seilspannung F . An der rechten Rolle
addieren sich zwei parallele Kräfte F zu 2F , in K
addieren sich 2F und F zu 3F . Die Seilspannung
3F herrscht dann im Reststück des Seils.
Bei reibungsfreien Rollen ist die Spannkraft
in einem Seilstück überall gleich.
Parallele Kräfte addieren sich.
Der Hebel
Ein Hebel ist ein starrer Körper mit einem Drehpunkt D. Auf den Eingangspunkt E wird die
Kraft F1 ausgeübt, der Ausgangspunkt A bewirkt
die Kraft F2 auf einen anderen Körper. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass F~1 ⊥ED und
F~2 ⊥AD. E und A bewegen sich auf Kreisbögen
mit den Längen b1 und b2 . Aus dem Energiesatz
folgt F1 b1 = F2 b2 und damit
F2
D
b1
ϕ
E
a1
a2
A
ϕ
b2
F1
F1 a1 = F2 a2
b1 =
13
ϕ
ϕ
· 2a1 π und b2 =
· 2a2 π
360◦
360◦
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der Druck
Wirkt eine Kraft F senkrecht auf eine Fläche A,
dann erzeugt die Kraft auf die Fläche den Druck
p=
F wirkt gleichmäßig
über die ganze Fläche
A.
F
A
Druck =
F
Kraft
Fläche
A
Die Einheit des Drucks ist
1 Pascal = 1 Pa = 1
N
m2
Ein Skifahrer der Masse m = 80 kg mit 2 m langen und 9 cm breiten Skiern übt auf den Schnee
folgenden Druck aus:
Da 1 Pa ein sehr kleiner Druck ist, verwendet man
häufig folgende Einheiten:
1 hPa
1 kPa
1 MPa
1 bar
1 mbar
=
=
=
=
=
1
100 Pa
1000 Pa
106 Pa
105 Pa
100 Pa=1 hPa
p=
N
80 kg · 9,81 kg
mg
N
= 0,218
= 21,8 hPa
=
A
2 · 200 · 9 cm2
cm2
Eine Eisläuferin der Masse m = 50 kg mit 30 cm
langen und 0,5 cm breiten Schlittschuhkufen übt
auf das Eis folgenden Druck (sie steht nur mit
einem Schlittschuh auf dem Eis) aus:
(alte Einheit)
(alte Einheit)
N
= 104 Pa = 100 hPa
cm2
N
50 kg · 9,81 kg
N
mg
= 32,7
= 327 kPa
=
p=
A
30 · 0,5 cm2
cm2
Druck in Flüssigkeiten
Wirkt eine Kraft F1 über einen beweglichen, aber
gut dichtenden Stempel der Fläche A1 (wie bei einer Spritze) auf eine eingeschlossene Flüssigkeit,
dann herrscht überall in der Flüssigkeit der gleiche Druck
F1
p=
A1
F1
A1
F2
A2
p
(Stempeldruck)
Auf einen zweiten Stempel der Fläche A2 wirkt
dann die Kraft
F2 = p · A2 =
A
A2
· F1
A1
̺
h
p(h)
In der Tiefe h einer Flüssigkeit der Dichte ̺
herrscht der Druck der darüber befindlichen
Flüssigkeitssäule (Schweredruck):
̺
p(h)
Der Schweredruck ist für alle Gefäßformen gleich!
p(h) = ̺gh
h1
F1
Ein quaderförmiger Körper der Grundfläche A
und der Höhe ∆h = h2 − h1 befindet sich wie
in nebenstehender Abbildung in einer Flüssigkeit
der Dichte ̺. Am Boden des Quaders herrscht der
Druck p2 = ̺gh2 , an der Deckfläche der kleinere
Druck p1 = ̺gh1 . Die von der Flüssigkeit auf den
Quader ausgeübte Gesamtkraft (Auftrieb) ist
h2
∆h
V
̺′
A
̺
F2
Allgemein gilt:
FA = F2 − F1 = p2 A − p1 A = ̺gA(h2 − h1 )
Der Auftrieb ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.
FA = ̺V g
14
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Wärme
Die Temperatur
Auf S.4 haben wir den Aufbau der Materie aus
Atomen und Molekülen kennen gelernt. Da in der
uns umgebenden Materie viel Energie vorhanden
ist, sind die Atome und Moleküle in einer andauernden Bewegung; die gesamte kinetische Energie
aller Atome eines Körpers nenne wir Wk .
Ein Körper fühlt sich heiß an, wenn seine Moleküle beim Auftreffen auf die Haut deren Zellen
zerstören können. Dazu müssen die Teilchen eine große kinetische Energie besitzen. Man definiert die Temperatur eines Körpers also so, dass
sie proportional zur mittleren kinetischen Energie
W k der Teilchen ist.
Da die kinetische Energie nicht kleiner als null
werden kann, gibt es eine kleinste Temperatur
T = 0, den absoluten Temperaturnullpunkt, die
nicht unterschritten werden kann. Der absolute
Nullpunkt entspricht einem vollständigen Stillstand der Teilchen: W k (0) = 0.
Ein Körper (es kann auch ein Gas oder eine
Flüssigkeit sein) enthält N Moleküle. Ist Wkn die
kinetische Energie von Teilchen Nummer n, dann
ist die gesamte kinetische Energie der Teilchen
Wk = Wk1 + Wk2 + .. + WkN
Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist
Wk =
1
Wk
(Wk1 + Wk2 + .. + WkN ) =
N
N
Experiment zur Temperaturdefinition:
Einen Behälter mit Sauerstoffgas (O2 ) taucht
man einmal in Eiswasser (T1 ) und einmal in siedendes Wasser (T2 ). Durch ein feines Loch im
Behälter treten O2 -Moleküle aus, deren mittlere kinetische Energie mit raffinierten Methoden
gemessen wird. Als Ergebnis erhält man
Wk1 = 5,657 · 10−21 J und Wk2 = 7,728 · 10−21 J.
Definition der Temperatureinheit K (Kelvin):
Wk
Ist T1 die Temperatur des schmelzenden Eises
und T2 die Temperatur des siedenden Wassers
(bei Normaldruck), dann ist
Wk2
∆W
Wk1
∆T
∆T = T2 − T1 = 100 K
Experimente ergeben (siehe Kasten rechts), dass
dem Schmelzpunkt des Eises die Temperatur
T1 = 273,15 K entspricht. Die eben eingeführte
Temperatur T nennt man die absolute Temperatur. Neben der Kelvinskala (absolute Temperatur) wird, hauptsächlich im Alltag, die Celsiusskala der Temperatur verwendet. Die Celsiusskala
ist die um 273,15 K verschobene Kelvinskala, d.h.
Wk1
∆W
Wk2 − Wk1
=
=
T1
∆T
∆T
T
=⇒
5,657 · 100 K
Wk1 · ∆T
=
= 273,15 K
Wk2 − Wk1
2,071
T1 =
0 K = −273,15 ◦ C, 273,15 K = 0 ◦ C, usw.
T2
T1
0
Skala der absoluten Temperatur (Kelvin)
0
Bezeichnen wir die absolute Temperatur mit T
und die gleiche Temperatur in der Celsiusskala
mit ϑ, dann gelten die Umrechnungsformeln
ϑ
T = ◦ + 273,15 K
C
T
ϑ=
− 273,15 ◦ C
K
100
−200
−273
200
−100
273
0
T
K
300
100
ϑ
◦C
Celsiusskala
20 ◦ C
20 C =
+ 273,15 K = 293,15 K
◦C
180 K
180 K =
− 273,15 ◦ C = −93,15 ◦ C
K
◦
Temperaturdifferenzen gibt man immer
in Kelvin an.
ϑ1 = 23 ◦ C, ϑ2 = −11 ◦C, ∆ϑ = ϑ1 − ϑ2 = 34 K
Beispiele für Temperaturen:
Temperaturausgleich:
Siedepunkt von Helium:
Zündholzflamme:
Sonnenoberflache:
im Inneren der Sonne:
Sich berührende Körper nehmen nach
einiger Zeit die gleiche Temperatur an
(Ausgleichstemperatur).
15
4,21 K
800 ◦C
5800 K
1,6 · 107 K
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Aggregatzustände
Zwischen den Atomen wirken Kräfte, die eine potentielle Energie hervorrufen; die gesamte potentielle Energie aller Atome eines Körpers nenne wir
Wp .
Die innere Energie Wi eines Körpers ist die Summe aller kinetischen Energien der Teilchen und
der potentiellen Energie:
W
Nebenstehende Abb.
zeigt den Verlauf der
potentiellen Energie
Wp∗ eines Teilchens
Wp,max
in einem KristallgitWp∗
Wk,max
ter. Dabei ist x die
Entfernung des Teilx
chens von seiner Ruhelage. Ist die maximale kinetische Energie
Wk,max des Teilchens kleiner als Wp,max , dann
ist das Teilchen im Energietal gefangen und
schwingt um seine Ruhelage hin und her (wie
eine Kugel in einer Schüssel hin und her rollt.).
Wi = Wk + Wp
Alle Eigenschaften eines Körpers folgen daraus,
wie sich die potentielle Energie aus der Lage der
Moleküle zueinander berechnet. Dabei spielen
nicht nur die Orte der Teilchen eine Rolle,
sondern auch ihre räumiche Ausrichtung. Die
potentielle Energie kann sich somit sogar ändern,
wenn die Moleküle nur gedreht werden und ihre
Abstände zueinander gleich bleiben.
Im Festkörper schwingen die Teilchen um eine feste Ruhelage.
Modell: Durch Federn
verbundene Kugeln.
Die gesamte potentielle Energie eines Körpers ist
minimal, wenn die Moleküle regelmäßig angeordnet sind (Gitterstruktur, Kristallgitter). Wenn
die mittlere kinetische Energie der Teilchen nicht
zu groß ist, d.h. wenn die Temperatur T einen
gewissen Wert Ts nicht überschreitet, sind die
Teilchen im Energietal gefangen und bleiben,
bis auf Zitterbewegungen, an ihrem Ort. Die
Teilchen bilden also ein stabiles Gebilde, einen
Festkörper.
Modell für eine Flüssigkeit:
Sich aneinander vobeimogelnde Menschen
in einer dichten Menschenmenge.
Erwärmt man einen Festkörper bis zur Temperatur Ts und führt noch weiter Energie zu,
dann können die Teilchen ihr Energietal verlassen und die regelmäßige Anordnung der Moleküle
wird zerstört. Dadurch erhöht sich die potentielle Energie Wp des Körpers, W k und damit auch
T bleiben konstant, bis das ganze Gitter zerstört
ist: der Körper schmilzt, er geht vom festen in den
flüssigen Zustand über. Ts heißt Schmelztemperatur.
Am Rand der Flüssigkeit macht die potentielle
Energie eines Teilchens einen Sprung der Höhe
∆Wp . Ein Molekül an der Flüssigkeitsoberfläche
kann diese also nur dann verlassen, wenn seine kinetische Energie größer als ∆Wp ist. Auch wenn
die mittlere kinetische Energie W k < ∆Wp ist,
haben einige Teilchen an der Oberfläche eine kinetische Energie größer als ∆Wp . Diese Teilchen
verlassen die Flüssigkeit, sie verdunsten. Beim
Verdunsten verlassen nur die schnellsten Teilchen
die Flüssigkeit, die mittlere kinetische Energie der
verbleibenden Teilchen wird dadurch kleiner, die
Flüssigkeit wird kälter.
Die verdunsteten Teilchen schwirren über der
Flüssigkeit frei durch den Raum, sie bilden jetzt
ein Gas bzw. einen Dampf.
In der Flüssigkeit ändert sich die potentielle Energie nicht, wenn sich die Teilchen nur
gegenseitig verschieben, ohne dass sich ihre
mittlere gegenseitige Entfernung ändert. Daher
ist eine Flüssigkeit nicht mehr formstabil wie ein
Festkörper, aber sie ist bestrebt ihr Volumen
konstant zu halten.
Verlauf der potentiellen Energie Wp∗ eines
Teilchens am Rand
der Flüssigkeit.
Wp∗
in der Flüssigkeit
Rand der Flüssigkeit
In einem Gas bewegen
sich die Teilchen frei
durch den Raum.
Modell für ein Gas: Ein
Mückenschwarm.
Die drei Aggregatzustände:
fest – flüssig – gasförmig
16
∆Wp
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Druck in Gasen
Die Gasteilchen werden an den Gefäßwänden
reflektiert und erzeugen dadurch einen Druck
p auf die Wände. Wird das Gasvolumen V bei
gleich bleibender Gasmenge (konstanter Teilchenzahl N ) halbiert, dann treffen in der gleichen
Zeit doppelt so viele Moleküle pro cm2 auf die
Gefäßwand, d.h. der Druck wird doppelt so groß.
Der Gasdruck p ist bei konstanter Teilchenzahl
N also umgekehrt proportional zum Gasvolumen
V . Bei doppelter Teilchenzahl verdoppelt sich der
Druck ebenfalls, d.h. p ist proportional zu N . Bei
doppelter Teilchengeschwindigkeit v verdoppelt
sich die Kraft, die bei einem Stoß auf die Wand
übertragen wird und es verdoppelt sich auch die
Zahl der Stöße auf die Wand. Daher wird bei
doppeltem v der Druck viermal so groß: p ist
proportional zu v 2 und damit proportional zur
kinetischen Energie und damit proportional zur
Temperatur T .
p∼
1
V
und p ∼ N und p ∼ T
p∼
NT
V
V
p
V2
p2
V1
p1
T2
T1
N
N
Für ein Gas mit konstanter Teilchenzahl N lautet
die Gasgleichung:
=⇒
oder p = k ·
v
NT
V
pV
= konstant oder
T
pV
= Nk
T
(Allgemeine Gasgleichung)
p2 V2
p1 V1
=
T1
T2
Spezialfälle der Gasgleichung:
V2
V1
=
.
T1
T2
Bei konstanter Temperatur ist p umgekehrt proportional zu V , d.h. p1 V1 = p2 V2 .
Bei konstantem Druck ist V ∼ T , d.h.
An der Erdoberfläche leben wir am Grund eines Luftozeans“. Den Schweredruck der ganzen
”
über uns befindlichen Luftsäule verspüren wir als
Luftdruck. Im Mittel ist der Luftdruck auf Meereshöhe
Der mittlere Luftdruck pL in Abhängigkeit von
der Höhe h über dem Meeresspiegel:
h
m
pL
hPa
p0 = 1013 hPa (Normaldruck)
In einem geschlossenen Gefäß üben die verdunsteten Moleküle über einer Flüssigkeit (Dampf)
auf die Gefäßwände einen Druck aus, den Dampfdruck pD . Da bei einer höheren Temperatur mehr
Teilchen im gasförmigen Zustand sind und jedes
dieser Teilchen auch mehr kinetische Energie hat,
ist der Dampfdruck bei einer höheren Temperatur
größer.
Wenn der Dampfdruck pD einer Flüssigkeit genauso groß oder größer als der Druck p in der
Flüssigkeit ist, dann bilden sich Dampfblasen in
der Flüssigkeit, sie siedet (kocht). In einem offenen Gefäß setzt sich der Druck p in der Flüssigkeit aus dem Luftdruck pL und dem Schweredruck
̺gh zusammen. Dicht unter der Flüssigkeitsoberfläche gilt p ≈ pL , die Flüssigkeit siedet also,
wenn pD > pL . Die Siedetemperatur oder Verdampfungstemperatur Tv markiert den Beginn des
Siedens und es gilt pD (Tv ) = pL .
In der Höhe h = 3000 m ist der mittlere Luftdruck
701 hPa, bei diesem Druck siedet das Wasser bei
90 ◦ C.
0
700
1000
2000
3000
1013
933
899
795
701
pL
pD
T
h
pD
p
T
Dampfblase
Dampfdruck
siedendes Wasser
Dampfdruck von Wasser:
T
◦C
pD
hPa
0
20
80
90
100
120
6,1
23,4
474
701
1013
1985
Siedetemperatur Tv von Wasser in Abhängigkeit
von der Höhe h über dem Meer:
h
m
Tv
◦C
17
0
500
700
1000
2000
3000
100
98,4
97,7
96,7
93,4
90,0
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Innere Energie
Da der Nullpunkt der potentiellen Energie beliebig gewählt werden kann, wählen wir ihn so, dass
die potentielle Energie der Teilchen am absoluten
Nullpunkt null ist: Wp (0) = 0. Damit gilt für die
gesamte kinetische, potentielle und innere Energie eines Körpers
W
kJ
Innere Energie
von 1 kg Wasser
4000
mit
der
Konstante
∆Wp = k2 ∆T
Boltzmann-
k = 1,38 · 10−23
2000
Wir betrachten die Erwärmung eines Körpers der
Masse m, beginnend beim absoluten Nullpunkt
T = 0:
Beim Erwärmen steigt Wk , durch das heftigere
Schwingen der Teilchen wird die mittlere Entfernung der Teilchen etwas größer und damit steigt
auch die potentielle Energie Wp . Die kinetische
Energie Wk ist nach Definition der Temperatur
proportional zu T , für Wp sind die Verhältnisse
in der Nähe des absoluten Nullpunkts sehr kompliziert, aber für nicht zu kleine T ist die Änderung ∆Wp der potentiellen Energie proportional
zur Änderung ∆T der Temperatur:
3
2 kT
Wk =
3000
Wk (0) = Wp (0) = Wi (0) = 0
∆Wk = k1 ∆T,
Wi
mittlere kin. Energie
Wv
J
K
1000
Ws
100
200
Ungefährer Verlauf der
potentiellen
Energie
eines Körpers in der
Nähe des absoluten
Nullpunkts. Wp ist
nicht exakt proportional zu T , aber für
nicht zu kleine T ist
∆Wp ∼ ∆T .
=⇒
∆Wi = ∆Wk + ∆Wp = (k1 + k2 ) ∆T
| {z }
Wp
300
Wk
500
400
T
K
W
Wp
∆Wp
∆T
T
Allgemein gilt:
C
Die Proportionalitätskonstante C selbst ist zur
Masse m des Körpers proportional (doppelte Masse – doppelte Teilchenzahl – doppelte
Energie), d.h. C = cm. c ist nur vom Material
abhängig und heißt spezifischen Wärmekapazität.
Innerhalb eines Aggregatzustands ist die
Änderung ∆Wi der inneren Energie eines
Körpers proportional zu seiner Masse m und
zur Änderung ∆T der Temperatur:
∆Wi = mc∆T
Erreicht die Temperatur beim Erwärmen des
Festkörpers die Schmelztemperatur Ts , dann wird
die ganze zugeführte Energie zum Schmelzen
(Zerstören der regelmäßigen Anordnung der Teilchen) verwendet. Die Temperatur und damit auch
Wk bleiben während des Schmelzens konstant, die
potentielle Energie nimmt um den Betrag
mit der spezifischen Wärmekapazität c.
Die spezifische Wärmekapazität von H2 O:
fest
flüssig
gasförmig
(Eis) (Wasser)
(Dampf)
c in
Ws = qs m
kJ
kg K
2,06
4,19
1,87
Thermische Daten einiger Stoffe:
Stoff
H2 O Eisen Quecksilber
zu. Ws ist die Schmelzenergie oder Schmelzwärme, qs heißt spezifische Schmelzwärme.
Ts in ◦ C
Ist der ganze Körper geschmolzen, erwärmt sich
die Flüssigkeit, die mittlere Teilchenentfernung
wird größer, Wk und Wp werden größer. Wenn
T die Siedetemperatur Tv erreicht, wird die ganze zugeführte Energie zum Verdampfen verwendet. Die Temperatur und damit auch Wk bleiben
während des Verdampfens konstant, die potentielle Energie nimmt um den Betrag
qs in
0
1535
kJ
kg
◦
−38,9
334
277
11,8
100
2730
356,6
kJ
kg
2257
6340
285
Tv in C
qv in
Der Übergang vom gasförmigen in den flüssigen
Zustand heißt Kondensieren, der Übergang vom
flüssigen in den festen Zustand Erstarren.
Wv = qv m
Beim Kondensieren wird die Verdampfungswärme und beim Erstarren die Schmelzwärme
wieder an die Umgebung abgegeben.
zu. Wv ist die Verdampfungswärme, qv heißt spezifische Verdampfungswärme.
18
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Wärmekapazität von Gasen
Da die mittlere Entfernung der Moleküle in Gasen relativ groß ist, sind die Kräfte zwischen den
Gasmolekülen sehr klein und die potentielle Energie eines Gases ändert sich fast nicht mehr, wenn
sich die Temperatur ändert.
Bei einatomigen Gasen (Edelgase wie Helium, Neon, Argon) ist die Änderung der inneren Energie
gleich der Änderung der kinetischen Energie, d.h.
∆Wi = ∆Wk . Ist M die Masse eines Moleküls
und N die Zahl der Moleküle, dann gilt m = N M
und ∆Wk = N ∆W k und damit für die spezifische
Wärmekapazität
Drehachse
Mehratomige Moleküle können um eine Achse
rotieren und die Atome können gegeneinander
schwingen. Die Rotationsenergie und die Schwingungsenergie der Moleküle sind Teil der inneren
Energie des Gases und tragen zur spezifischen
Wärmekapazität bei.
∆W k
3k
∆Wk
=
=
m
M
2M
(einatomiges Gas)
c=
Wärmeausdehnung
Festkörper und Flüssigkeiten dehnen sich bei
Erwärmung aus. Ein Stab der Länge x dehnt sich
bei der Temperaturerhöhung ∆T um die Länge
∆x aus. Ein doppelt so langer Stab dehnt sich
bei der gleichen Temperaturerhöhung um 2∆x
aus. Die Längenänderung ∆x ist also proportional zu x. ∆x ist auch proportional zur Temperaturerhöhung ∆T . Zusammengefasst ergibt sich
∆x
x
T
T + ∆T
2∆x
2x
T
T + ∆T
∆x = αx∆T
Längenausdehnungszahlen einiger fester Stoffe:
Stoff
Alu
Eisen
Gold
mit der vom Material abhängigen Längenausdehnungszahl α. x(T ) ist die Länge eines Stabes bei
der Temperatur T :
α in
1
K
2,38 · 10−5
1,20 · 10−5
1,43 · 10−5
Ein Eisenwürfel mit der Kantenlänge a = 1 m und
dem Volumen V = 1 m3 wird um ∆T = 10 K
erwärmt:
3
V ′ = V (T + ∆T ) = 1 m3 · 1 + 1,2 · 10−4 =
x(T + ∆T ) = x(T ) + ∆x = x(T ) + αx(T )∆T
x(T + ∆T ) = x(T )(1 + α∆T )
Ein Würfel hat bei der Temperatur T die Kantenlänge a und das Volumen V = a3 . Bei der
Temperatur T + ∆T hat er die Kantenlänge
= 1 m3 · 1,000123 = 1,000360043201728 m3 ≈
≈ 1,00036 m3 = 1 m3 · 1 + 3 · 1,2 · 10−4
a′ = a(1 + α∆T )
An dem Beispiel erkennt man:
und das Volumen
(1 + α∆T )3 ≈ 1 + 3α∆T
V ′ = (a′ )3 = a3 (1 + α∆T )3 = V (1 + α∆T )3
Volumenausdehnungszahlen von Flüssigkeiten:
Stoff
Wasser
Quecksilber
Benzin
Da α∆T sehr klein ist, gilt in guter Näherung
V ′ ≈ V (1 + 3α∆T ) = V (1 + γ∆T )
γ in
mit der Volumenausdehnungszahl γ = 3α.
Da Flüssigkeiten meistens in einem Gefäß sind,
macht die Angabe der Längenausdehnungszahl
für Flüssigkeiten wenig Sinn. Für Flüssigkeiten
gibt man also die Volumenausdehnungszahl γ an.
Die Wärmeausdehnung von Gasen regelt die allgemeine Gasgleichung.
1
K
20,7 · 10−5
18,1 · 10−5
106 · 10−5
Anomalie des Wassers:
Bei 4 ◦ C hat das V
Volumen von Wasser ein Minimum,
die Dichte ein Maximum.
4 ◦C
19
T
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Elektrizität
Definitionen und Regeln
Beispiele
Stromstärke
Die Einheit der elektrischen Ladung ist das Coulomb (die Ladung von 6,242 · 1018 Protonen):
Es ist eine experimentell abgesicherte Tatsache,
dass sich ein Verzweigungspunkt P (Knoten) einer elektrischen Schaltung nicht auflädt, d.h. die
pro Sekunde in den Knoten hineinfließende Ladung muss gleich der pro Sekunde vom Knoten
abfließenden Ladung sein. Da aber Ladung pro
”
Zeit“ nichts anderes als die Stromstärke ist, gilt
folgende Regel:
1 Coulomb = 1 C = 6,242 · 1018 e
Dabei ist e die Elementarladung (Ladung eines
Protons):
e = 1,602 · 10−19 C
Die Summe der in einen Knoten P hineinfließenden Ströme ist gleich der Summe der
von P abfließenden Ströme.
(1. Kirchhoff ’sche Regel)
Die Ladung eines Elektrons ist −e (eine negative
Elementarladung).
Fließt in der Zeit ∆t die Ladung ∆Q durch
die Querschnittsfläche eines Leiters, dann ist
die Stromstärke im Leiter
I=
Knoten
I1
∆Q
∆t
I5
I2
P
∆Q = I∆t
∆Q
∆t =
I
I2 + I3 + I4 = I1 + I5
Beispiel: Durch eine Überlandleitung fließt ein
Strom der Stärke I = 800 A. In einer Stunde fließt
also die Ladung ∆Q = 800 A·3600 s = 2,88·106 C
durch den Leiterquerschnitt, das sind
Die Einheit der Stromstärke ist
1 Ampere = 1 A = 1
I4
I3
C
s
1 C = 1 As
n=
∆Q
= 1,80 · 1025 Elektronen.
e
Die elektrische Spannung
Im Raum um elektrische Ladungen herum wirkt
auf eine weitere Ladung q eine Kraft. Man spricht
davon, dass im Raum um Ladungen herum ein
elektrisches Kraftfeld oder kurz ein elektrisches
Feld herrscht. Wird die Ladung q vom Punkt A
zum Punkt B bewegt, dann wird vom elektrischen
Feld die Arbeit WAB an q verrichtet. Eine Eigenschaft elektrischer Felder ist, dass WAB auf
jedem Weg von A nach B gleich ist. Diese Wegunabhängigkeit der Arbeit bedeutet, dass WAB
eindeutig festgelegt ist. Die Kraft auf q und damit auch die Arbeit WAB ist zu q proportional
(doppelte Ladung, doppelte Arbeit). Die Proportionalitätskonstante
Weg 1
q
A
B
Weg 2
Die Einheit der elektrischen Spannung ist
1 Volt = 1 V = 1
J
C
Beispiel: In einer Bildröhre wird ein zunächst ruhendes Elektron von der Spannung U = 5000 V
beschleunigt. Die am Elektron verrichtete Arbeit
wird in kinetische Energie des Teilchens verwandelt:
r
m
2eU
m 2
v = eU =⇒ v =
= 4,2 · 107
2
m
s
WAB
U=
q
heißt elektrische Spannung zwischen A und B.
WAB = qU ist die potentielle Energie der Ladung
q am Ort B bezüglich des Punktes A.
20
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Leistung einer Stromquelle
An den Enden A und B eines Leiters liegt die
Spannung U = UAB und durch den Leiter fließt
der Strom I. In der Zeit ∆t fließt dann die Ladung ∆Q = I · ∆t durch einen Leiterquerschnitt.
In dieser Zeitspanne ∆t wird an der Ladung ∆Q
von U die Arbeit ∆W = ∆Q · U verrichtet. Die
an die bewegte Ladung ∆Q abgegebene Energie
∆W stammt von der Stromquelle. Die Stromquelle abgegebnene Leistung ist also
P =
A
I
P = UI
U = UAB
∆W
U ∆Q
∆Q
=
=U·
= UI
∆t
∆t
∆t
Beispiel: Ein Elektromotor mit dem Wirkungsgrad η = 75%, der an das Haushaltsnetz angeschlossen ist (U = 230 V), wird von einem Strom
der Stärke I = 3,6 A durchflossen. In welcher Zeit
kann dieser Motor eine Last der Masse m = 50 kg
h = 16 m hoch heben?
Fließt von einer Stromquelle der Spannung
U der Strom I durch einen Leiter, dann
ist die von der Stromquelle abgegebene Leistung
P = UI
Die mechanische Leistung des Motors ist
P = ηU I = 0,7 · 230 V · 3,6 A = 621 W
Für die Einheiten gilt:
1 W = 1 VA
und
Die zu verrichtende Arbeit ist
1 J = 1 Ws = 1 VAs
∆W = mgh = P · ∆t
1 kWh (Kilowattstunde) ist die Energie, die bei
der Leistung 1 kW in 1 h umgesetzt wird:
∆t =
6
1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3,6 · 10 J
Der elektrische Widerstand
Bei Metallen (Kupfer, Eisen, ...) steigt der
Widerstand mit steigender Temperatur
Bei Halbleitern (Germanium, Silizium, ...)
U
I
fällt der Widerstand mit steigender Temperatur
der Widerstand des Leiters.
Bei bestimmten Legierungen (z.B. Konstan-
Die Einheit des elektrischen Widerstands ist
1 Ω = 1 Ohm = 1
∆W
7848 J
=
= 13 s
P
621 W
Der Widerstand der meisten Leiter ist temperaturabhängig:
Liegt an den Enden eines Leiters die Spannung U und fließt durch den Leiter der
Strom I, dann heißt
R=
B
tan) ist der Widerstand in einem großen
Temperaturbereich konstant.
V
A
I
Konstantan
Halbleiter
Ohmsches Gesetz:
Bei konstanter Temperatur ist der Widerstand eines Leiters konstant.
Metall
Andere Formulierung des Ohmschen Gesetzes:
U
Bei konstanter Leitertemperatur T ist die
Spannung U zwischen den Leiterenden zum
Strom I durch den Leiter proportional, die
Proportionalitätskonstante ist der Widerstand:
UI-Kennlinien verschiedener Leiter
Beispiel: Ein Bügeleisen, das bei U = 230 V vom
Strom I = 5,75 A durchflossen wird, hat den Widerstand
U
R=
= 40 Ω.
I
U
= R = konst. wenn T konstant
I
21
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
An den Enden eines Widerstands R liegt die
Spannung U , der Widerstand wird vom Strom I
durchflossen. Die im Widerstand umgesetzte Leistung ist
Schaltsymbole:
Stromquelle (Gleichstrom)
Stromquelle (Wechselstrom)
U2
P = U I = RI 2 =
R
Stromquelle
Batterie
Ein Strommessgerät (Ampèremeter) muss von
dem Strom, den es messen soll, durchflossen werden.
Ein Spannungsmessgerät (Voltmeter) muss an
die Punkte angeschlossen werden, zwischen
denen die Spannung gemessen werden soll.
In nebenstehender
V
Schaltung
misst
das Ampèremeter
U1 A
den Strom I und
das Voltmeter die
Spannung U1 .
I
Glühlampe
Widerstand
V
Spannungsmessgerät
A
Strommessgerät
Schalter
Diode (lässt den Strom nur in einer Richtung durch)
U
Schaltung von Stromquellen
A, B und C sind drei beliebige Punkte. Eine Testladung q wird von A über B nach C transportiert,
die an q verrichteten Arbeiten sind W1 = WAB
und W2 = WBC . Dann gilt
UAC =
q
A
B
W1
W1
W2
W1 + W2
=
+
= UAB + UBC
q
q
q
A
B
U2
UAC = U1 + U2
A
B
Die Spannungen hintereinander geschalteter Stromquellen addieren bzw. subtrahieren
sich entsprechend ihrer Polung.
Hintereinanderschaltung oder Reihenschaltung
von zwei Widerständen:
U1
.....
Un
Rn
C
U
Spezialfall n gleicher Widerstände R:
C
A
U1
U2
R
R
I
Un
.....
U
U
Rges = RAC = R1 + R2 + ... + Rn
Rges = RAC = nR
I=
U1 = R1 I =
I
R2
A
Widerständen in Reihe addieren sich:
I
U2
B
R1
U1 + U2
U1
U2
U
=
=
+
= R1 + R2
I
I
I
I
U2
R2
U2
UAC = U1 − U2
Zwei hintereinander geschaltete Widerstände
werden vom gleichen Strom I durchflossen. Für
den Gesamtwiderstand RAC der Schaltung gilt:
U1
R1
C
U1
Reihenschaltung von Widerständen
A
C
U1
UAC = UAB + UBC
RAC =
C
W2
U
Rges
I=
Rn U
R1 U
, ... , Un = Rn I =
Rges
Rges
C
U
U
=
Rges
nR
U1 = U2 = ... = Un = RI =
22
R
U
RU
=
nR
n
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 8
Definitionen und Regeln
Beispiele
Parallelschaltung von Widerständen
Parallelschaltung von zwei Widerständen:
An zwei parallel geschalteten Widerständen liegt
die gleiche Spannung U . Der Gesamtstrom von
A nach C ist I = I1 + I2 : Daher gilt für den
Gesamtwiderstand R = RAC der Schaltung:
I1
R1
I
C
A
U
U
U
= I1 + I2 =
+
I=
Rges
R1
R2
R2
=⇒
I2
U
1
1
1
=
+
Rges
R1
R2
=⇒
Rges
Beispiel: Parallelschaltung von R1 = 1 Ω und
R2 = 9 Ω:
R1 R2
=
R1 + R2
1
1
10
1
=
+
=
Rges
1Ω 9Ω
9Ω
Der Kehrwert des Gesamtwiderstandes
von mehreren parallel geschalteten Widerständen ist die Summe der Kehrwerte der
Teilwiderstände:
=⇒
Spezialfall n gleicher Widerstände R:
I1
I1
R
I2
R
R1
I2
R2
I
.....
.....
A
Rges = 0,9 Ω
I
.....
.....
A
C
C
In
R
In
Rn
R
n
nU
=
R
Rges = RAC =
1
1
1
1
1
=
=
+
+ ... +
Rges
RAC
R1
R2
Rn
I = I1 + I2 + ... + In =
I1 =
I=
U
Rges
I1 = I2 = ... = In =
U
I
=
R
n
U
U
, ... , In =
R1
Rn
Beispiel: In nebenstehende Abbildung gilt:
R1 = 1,9 Ω, R2 = 7 Ω, R3 = 3 Ω,
R4 = 6 Ω, U = 24 V.
R∗
R1
RBC ist der Widerstand der Parallelschaltung
von R2 und R3 :
1
1
1
1
1
10
=
+
=
+
=
RBC
R2
R3
7Ω 3Ω
21 Ω
21 Ω
= 2,1 Ω
RBC =
10
R∗ ist der Widerstand der Reihenschaltung von
R1 und RBC :
B
I2
R2
I3
R3
I1
A
C
R4
D
I4
U
I=
∗
R = R1 + RBC = 4 Ω
Der Gesamtwiderstand RAD ist der Widerstand
der Parallelschaltung von R∗ und R4 :
24 V
U
=
= 10 A,
V
RAD
2,4 A
I1 = I − I4 = 6 A oder I1 =
1
1
1
1
1
10
= ∗+
=
+
=
RAD
R
R4
4Ω 6Ω
24 Ω
RAD
U
Rges
I
I4 =
U
= 4A
R4
U
= 6A
R∗
U1 = UAB = R1 I1 = 11,4 V
U2 = U3 = UBC = U − U1 = 12,6 V
24 Ω
= 2,4 Ω
=
10
I2 =
23
U3
U2
= 1,8 A, I3 =
= 4,2 A
R2
R3
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Elektrizität und Magnetismus
Beispiele
Definitionen und Regeln
Elektrizität und Magnetismus
S
N
S
N
S
N
N
S
N
S
S
N
Magnetismus
Ein Magnet hat zwei Pole (N und S). Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen
sich an.
Magnetpole treten nur paarweise auf, es gibt keine enzelnen Nord- oder Südpole.
Die Kraft zwischen den Magnetpolen nimmt mit
wachsender Entfernung ab.
Die Kräfte zwischen Magneten werden durch magnetische Feldlinien beschrieben.
Frei drehbare Magneten stellen sich parallel zu
den Feldlinien ein:
~
B
N
S
N
S
Magnetische Feldlinien zeigen vom magne-
N
tischen Nordpol zum magnetischen Südpol.
S
~ wirkt auf einen
In einem Magnetfeld B
Nordpol eine Kraft in Richtung der Feldlinien, auf einen Südpol in entgegengesetzte
Richtung.
ohne
Magnetfeld
Eisen
Die elementaren Bausteine der Materie, Proton,
Neutron und Elektron, sind selbst kleine Magnete. Manche Atome, in denen die Elementarteilchen entsprechend angeordnet sind, bilden auch
kleine Magnete (Elementarmagnete). Stoffe mit
diesen Atomsorten (z.B. Eisen) heißen ferromagnetisch. Normalerweise sind die Elementarmagnete drehbar und wegen der Wärmebewegung
der Atome liegen sie wild durcheinander (nicht
geordnet oder ausgerichtet). Bringt man jedoch
einen Magneten in die Nähe eines ferromagnetischen Körpers, dann richten sich seine Elementarmagnete aus und der Körper wird selbst zum
Magneten (magnetische Influenz).
Fremdatome in Ferromagneten können die Drehbarkeit der Elementarmagnete unterhalb einer
bestimmten Temperatur TC (Curietemperatur)
verhindern. Erhitzt man einen solchen Körper in
einem starken Magnetfeld über die Curietemperatur und lässt ihn, immer noch im Magnetfeld,
abkühlen, dann bleibt die Ausrichtung der Elementarmagnete erhalten (Permanentmagnete).
Einige ferromagnetische Materialien:
Material
Eisen (Fe)
Nickel (Ni)
Kobalt (Co)
N
N
S
S
Eisen wird durch die Influenzwirkung (Ausrichtung der Elementarmagnete) von einem Nordpol
genauso angezogen wie von einem Südpol:
S
N
N
S
Das elektrische Feld
Elektrische
Feldlinien
zeigen von
plus
nach
minus.
~
F
~
F
~ wirkt auf eine posiIn einem elektrischen Feld E
tive Ladung eine Kraft in Richtung der Feldlinien, auf eine negative Ladung in entgegengesetzte
Richtung.
TC in K
1033
627
1395
24
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Magnetfeld von Strömen
Ein stromdurchflossener Leiter ist von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben, deren
Orientierung mit der Korkenzieherregel bestimmt
wird:
~
B
~
B
I~
I~
Die Spitze des Korkenziehers zeigt in
Stromrichtung, die Drehrichtung gibt
~
die Orientierung des Magnetfeldes B
an.
~
B
Ein Elektromagnet ist eine Spule mit vielen Windungen. Das Magnetfeld in der Spule ist umso stärker, je mehr Windungen die Spule hat
(bei gleicher Stromstärke). Das Magnetfeld wird
durch einen Eisenkern in der Spule verstärkt
(Ausrichtung der Elementarmagnete).
N
S
I~
Anwendungen: Elektromotor, Klingel, ...
−
+
Kraft auf Ströme im Magnetfeld
Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem
Magnetfeld wirkt eine Kraft, deren Richtung man
mit der UVW-Regel (Rechte-Hand-Regel) bestimmt (Ursache-Vermittlung-Wirkung):
Ursache ist der Strom, Vermittlung das Magnet~ B
~ und F~
feld und die Wirkung ist die Kraft. I,
bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Es
gilt
~
F~ ⊥ I~ und F~ ⊥ B
Zeigefinger
~
B
rechte Hand
Daumen
V
U
I~
~
F
W
Mittelfinger
Die Lorentzkraft
Da bewegte Ladungen Ströme sind, wirkt auf bewegte Ladungen in einem Magnetfeld eine Kraft,
die Lorentzkraft F~L . Die Richtung der Lorentzkraft auf eine positive Ladung findet man wieder
mit der UVW-Regel, allerdings mit der Teilchengeschwindigkeit ~v statt der Stromstärke.
Die Lorentzkraft auf eine negative Ladung zeigt in
die entgegengesetzte Richtung wie die Kraft auf
eine positive Ladung.
linke Hand
rechte Hand
Zeigefinger
Zeigefinger
Daumen
~
B
Daumen
~
B
~
v
ϕ
~
v
ϕ
~L
F
~L
F
Mittelfinger
Mittelfinger
negative Ladung
positive Ladung
Bewegungsinduktion
Ein gerader Leiter bewegt sich mit der Geschwin~ Damit bedigkeit ~v durch ein Magnetfeld B.
wegt sich auch jedes Elektron im Leiter mit der
Geschwindigkeit ~v . Auf jedes Elektron im Leiter
wirkt also die Lorentzkraft F~ . Die freien Elektronen bewegen sich dann zu einem Leiterende und
laden es negativ auf, am anderen Ende des Leiters herrscht Elektronenmangel, d.h. dieses Ende
ist positiv geladen. Zwischen den geladenen Leiterenden liegt eine Spannung Ui , die sogenannte
Induktionsspannung.
~
B
~
F
−−
−
ϕ
~
F
~
v
++
+
Bei Umkehrung der Bewegungsrichtung ändert
sich die Polung der Induktionsspannung.
25
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Induktionsgesetz
Wir betrachten ein scharf begrenztes Magnetfeld
wie in nebenstehender Abbildung. Eine Leiterschleife wird einmal aus dem Feld gezogen und
das andere Mal in das Feld geschoben. Die Leiterschleife wird als Stromquelle betrachtet, d.h. der
Induktionsstrom fließt außerhalb der Leiterschleife von +❥ nach −❥. Die Richtung des Induktionsstroms ermittelt man über die Lorenzkraft
auf die Leiterelektronen. Der Induktionsstrom I
~ i beerzeugt selbst ein Magnetfeld, das wir mit B
zeichnen. Wird die Schleife aus dem Feld gezogen, dann wird das Feld durch die Schleife kleiner.
~ i in diesem
Der Abbildung entnimmt man, dass B
Fall innerhalb der Schleife in die Richtung von
~ zeigt, d.h. B
~ i wirkt der Schwächung des Feldes
B
entgegen. Wird die Schleife in das Feld geschoben,
~i
dann wird das Feld durch die Schleife größer. B
zeigt in diesem Fall innerhalb der Schleife ent~ d.h. B
~ i wirkt dem
gegen der Richtung von B,
Größerwerden des Feldes entgegen.
Bewegt sich ein Leiter in einem ruhenden Magnetfeld, dann wird an den Enden des Leiters eine
Spannung induziert. Die gleiche Spannung wird
induziert, wenn sich das Magnetfeld relativ zu einem ruhenden Leiter bewegt.
Ein zeitlich veränderlicher Strom (z.B. ein Wechselstrom) erzeugt in einem Elektromagneten ein
zeitlich veränderliches Magnetfeld.
I
I
~
v
+
~i
B
−
~
B
I
~
v
−
+
~i
B
Das vom Induktionsstrom erzeugte Ma~ i ist innerhalb der Leitergnetfeld B
schleife so gerichtet, dass es der
Feldänderung durch die Schleife entgegen wirkt. (Lenz’sche Regel).
An den Enden einer Spule oder
Leiterschleife, die von einem zeitlich
veränderlichen Magnetfeld durchsetzt
ist, wird eine Spannung induziert. Die
Lenzsche Regel liefert die Richtung des
Induktionsstroms und damit auch die
Polung der Induktionsspannung (Induktionsgesetz).
Der Transformator
Sitzen zwei Spulen auf einem geschlossenen Eisenring, dann spricht man von einem Transformator.
Wird eine Spule (Primärspule) an eine Wechselspannung U1 angeschlossen, dann wird diese Spule von einem Wechselstrom I1 durchflossen. Durch
diesen zeitlich veränderlichen Strom entsteht im
Eisenkern ein zeitlich veränderliches Magnetfeld.
Der geschlossene Eisenkern überträgt dieses zeitlich veränderliche Feld in das Innere der zweiten
Spule (Sekundärspule), d.h. an der Sekundärspule
wird eine Spannung U2 induziert.
Die Spannungen an den Transformatorspulen verhalten sich wie die Windungszahlen:
I1
U1 ∼
I2
n2
n1
R
U2
~
B
Schaltsymbole für einen Trafo
n1
U1
=
U2
n2
Im Idealfall, d.h. wenn die Spulen den Ohm’schen
Widerstand Null haben und wenn das ganze Feld
der Primärspule auch die Sekundärspule durchsetzt, folgt aus dem Energiesatz:
Energiesatz beim realen Transformator:
P2 = U2 I2 = ηU1 I1 = ηP1
mit dem Wirkungsgrad η. Beim idealen Trafo ist
η = 1.
I1
U2
n2
=
=
I2
U1
n1
26
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Atome und Kerne
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der Baukasten des Universums
Elementarteilchen
Unser Universum besteht aus Quarks, Leptonen
und den Austauschteilchen der vier bekannten
Wechselwirkungen (WW):
Ladung
Protonen und Neutronen bestehen aus aus
Quarks:
p+ = uud
n = udd
Quarks
u
+ 23 e
u (up)
c (charm)
t (top)
− 13 e
d (down)
s (strange)
b (bottom)
Lad.
u
u
d
d
d
n
p+
Leptonen
−e
e
−
0
(Elektron)
νe
Elektronneutrino
Kraft
µ (Muon)
τ (Tauon)
νµ
Muonneutrino
ντ
Tauonneutrino
Austauschteilchen
Teilchen
Die uns umgebende Materie besteht fast ausschließlich aus Atomen und damit aus Protonen,
Neutronen und Elektronen (siehe S.4).
Die uns umgebende Materie besteht nur
aus den drei Bausteinen u, d und e− .
Symbol
Elektromagnetisch
Photon
γ
Schwache WW
Bosonen
Z0 , W+ , W−
Starke WW
Gluonen
g1 , ... , g8
Gravitation
Graviton
G
Bei kleinen Entfernungen (/ 10−15 m) ist die
durch die starke WW vermittelte Anziehungskraft zwischen den Nukleonen ( p+ und n) größer
als die elektrische Abstoßung zwischen den p+ ;
daher gibt es stabile Atomkerne.
Atombau
Protonen und Neutronen heißen auch Nukleonen
(Kernbausteine). Im neutralen Atom ist die Zahl
Z der Protonen (Kernladungszahl) gleich der Zahl
der Elektronen. Mit N bezeichnen wir die Zahl
der Neutronen im Kern, A = Z + N ist die Massenzahl (Zahl der Nukleonen).
Die atomare Masseneinheit u:
1u =
1
MC12 = 1,6605402 · 10−27 kg
12
M : Atommasse, Ar : relative Atommasse:
chem. Symbol:
Protonen:
Elektronen:
Neutronen:
Atommasse:
M = Ar u
Teilchen
Masse
in u
Größe
in m (≈)
1
H
1
1,673533 · 10
−27
1,0078250
10−10
p+
1,672623 · 10−27
1,0072765
10−15
n
1,674929 · 10−27
1,0086649
10−15
e−
9,109383 · 10−31
0,0005486
< 10−19
in kg
A
X
Z
Atome mit gleichem Z haben die gleichen chemischen Eigenschaften. Mit dem chemischen Symbol X ist auch Z bekannt (Periodensystem!), d.h.
folgende Schreibweisen sind gleichberechtigt:
A
X
Z
Zu jedem Elementarteilchen gibt es ein Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung aber gleicher
Masse. Die Antiteilchen bezeichnet man mit
einem Querstrich. Das Antiteilchen des Elektrons
hat einen eigenen Namen (Positron) und ein
eigenes Zeichen (e+ ).
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
p+ = uud
n=udd
Positron
Antiproton
Antineutron
= AX = X A
Alle Atome mit gleichem Z heißen Isotope.
Einige H- und He-Isotope:
(D: Deuterium, T: Tritium)
Atom
Antiteilchen
e−
X
Z
Z
N =A−Z
M = Ar u ≈ Au
e+
2
H
1
3
H
1
Z
N
A
= H = H2 = D
1
1
2
= 3H = H 3 = T
1
2
3
2
2
4
2
1
3
2
p− = uud
4
He
2
n = udd
3
He
2
27
= 4 He = He 4
3
= He = He 3
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Masse und Größe von Atomen
Durch radioaktive Bestrahlung kann man Atome
ionisieren (ein Elektron entfernen). Ein somit positiv geladenes Ion wird von einer Spannung U
auf die Geschwindigkeit v beschleunigt und tritt
dann senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld ein. Durch die Lorentzkraft wird
das Ion auf eine Kreisbahn gezwungen. Aus dem
Radius der Kreisbahn kann man die Masse des
Ions und damit (eine Elektronenmasse addieren)
die Atommasse berechnen (Massenspektrometer).
Aus der Atommasse M und
der Dichte ̺ kann man
das Volumen V berechnen,
das einem Atom in einem
Festkörper zur Verfügung
steht.
Ion
m v
~
B
U
−
+
Massenspektrometer:
Aus U, B und r kann
m berechnet werden.
a
r
a
a
Aluminium besteht zu 100 % aus 27
Al, seine Dich13
g
3 kg
te ist ̺ = 2,70 cm3 = 2,70 · 10 m3 . Einem AlAtom steht also das Volumen
V =
r
Atom
Masse in u
1
H
1
1,00782503
4
He
2
4,00260325
12
C
6
12,00000000
27
Al
13
26,98153863
56
Fe
26
55,93493743
238
U
92
238,0507882
Atomradien liegen in der Größenordnung 10−10 m = 0,1 nm.
26, 98 u
M
=
= 1,66 · 10−29 m3
kg
̺
2,70 · 103 m
3
Atome haben keine scharf definierte Grenze,
der Atomradius hängt also davon ab, wie man
ihn misst (z.B. über den Platzbedarf in einem
Festkörper)!
zur Verfügung. Der √
Radius eines Al-Atoms ist
dann ungefähr r = 21 3 V = 1,3 · 10−10 m.
Elektromagnetische Wellen
Eine elektromagnetische Welle ist eine räumlich
~ und maperiodische Anordnung elektrischer (E)
~ Felder, die sich mit Lichtgeschwingnetischer (B)
digkeit (~c) ausbreitet. Eine volle Periodenlänge λ
der Welle heißt Wellenlänge. In der Zeit T , in
der eine volle Periode der Welle über einen ruhenden Beobachter hinwegstreicht, schwingen die
Felder für den Beobachter einmal hin und her.
Der Beobachter sieht“ also eine Schwingung mit
”
der Schwingungsdauer T und der Frequenz
f=
λ
~
E
~
c
~
B
EM Welen
Radiowellen
Handy
Wärmestrahlung (IR)
sichtbares Licht
UV
Röntgenstrahlung
1
T
Einheit der Frequenz:
=⇒
1 – 10 000
0,33
8 · 10−7 – 10−3
4 · 10−7 – 8 · 10−7
10−8 – 4 · 10−7
10−11 – 10−8
Gitter
Strahlung
1
1 Hertz = 1 Hz = 1
s
c
λ = cT =
f
λ in m
ϕ
Spektrum
Spektrometer
λf = c
Ein feines Gitter oder ein Glasprisma lenkt elektromagnetische Wellen aus ihrer ursprünglichen
Richtung ab. Der Ablenkwinkel ϕ steht in einer eindeutigen Beziehung zur Wellenlänge. Somit lässt sich λ sehr genau messen (Spektrometer).
violett
grün
orange
Sichtbares Licht
λ in nm
λ in nm
380 – 420 blau 420 – 490
490 – 575 gelb 575 – 585
585 – 650 rot
650 – 780
Weißes Licht enthält alle Wellenlängen
aus dem sichtbaren Bereich.
28
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Quantenphysik
Beispiel eines gebundenen klassischen Systems
(Kugel in einer Schüssel):
Ein gebundenes Quantensystem sind zwei oder
mehrere Elementarteilchen, die durch anziehende Kräfte (elektrisch, starke Kraft) zu einer Einheit verbunden sind (Atomkern, Atom, Molekül,
Festkörper).
Aus der Quantenmechanik, der mathematisch
sehr anspruchsvollen Physik der Atome und Teilchen, folgt:
Start der Kugel in
der Höhe h mit
v
h
der Geschwindigkeit
null. Die Energie
der Kugel ist immer W = mgh, im tiefsten Punkt
liegt sie in Form von kinetischer Energie vor. Da
h beliebig gewählt werden kann, kann auch W jeden beliebigen Wert annehmen.
——————————————–
Ein gebundenes Quantensystem, dessen
potentielle Energie die Form eines Tales
aufweist (Potentialtopf), kann nur diskrete Energiewerte annehmen (Energieniveaus).
Beispiel eines gebundenen Quantensystems (Wasserstoffatom):
Potentielle Energie
im System ProtonElektron (H-Atom)
in Abhängigkeit von
der Teilchenentfernung x.
In einem Atom entspricht jedem der diskreten
Energiewerte eine bestimmte Konfiguration der
Elektronenhülle.
Der Zustand mit der kleinsten möglichen Energie
eines gebundenen Quantensystems ist der Grundzustand, die anderen Zustände heißen angeregte
Zustände.
Energiestufen im H-Atom
(Energieniveaus):
Ein gebundenes Quantensystem, dessen potentielle Energie eine periodische
Struktur aufweist (z.B. ein Elektron in
einem Metall), kann nur Energiewerte
annehmen, die in bestimmten Intervallen liegen (Energiebänder).
Wn = −
W
eV
0
n=4
n=3
13,60 eV
n2
n=2
W1 = −13,60 eV
W2 = −3,40 eV
W3 = −1,51 eV
W4 = −0,85 eV
Für W > 0 ist das Elektron frei und es sind beliebige
Energiewerte möglich (Kontinuum).
1 eV = e · 1 V = 1,602 · 10−19 J
Photonen
−10
−14
n=1
Entzieht Materie einer EMW die Energie hf ,
dann sagt man auch, ein Photon wird absorbiert.
Über die Größe von Photonen kann man keine
klaren Aussagen treffen. Sie hängt vom Zustand
des Photons und von der Art der Beobachtung
ab. Ein Photen eines Lasers kann senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung eine Querschnittsfläche von
einigen mm2 und eine Länge von einigen cm bis
zu einigen km haben. Trifft ein Photon auf den
Sensor einer Digitalkamera, dann wird es nur von
einem Sensorelement (1 Pixel: ≈ 10−5 mm2 ) absorbiert.
Trifft eine elektromagnetische Welle (EMW) der
Frequenz f auf Materie (ein Elementarteilchen,
ein Atom, ein Molekül oder einen Festkörper),
dann kann die Materie der Welle einen Energiebetrag W entziehen, der proportional zu f ist. Die
Proportionalitätskonstante h ist für jede Materie
und alle Wellen die gleiche und heißt Planckkonstante oder Plancksches Wirkumsquantum:
mit
x
−5
Die Energie, die ein Elektron oder ein Proton
erhält, wenn es von der Spannung 1 V beschleunigt wird, heißt Elektronenvolt (eV):
W = hf
x
W
h = 6,6260693 · 10−34 Js
Einer EMW kann man also Energie nur in Portionen (Quanten) hf entziehen (folgt aus dem Formalismus der Quantenmechanik).
Photonen sind keine sehr kleinen Teilchen, sondern einfach Teile einer EMW
mit der Energie hf .
Ein Teil der EMW mit der Energie hf
heißt ein Photon.
29
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Wechselwirkung einer EMW mit Atomen
Beispiel zur Resonanzfluoreszenz:
Eine EMW fällt auf Atome im Grundzustand der
Energie W1 . Ein Atom kann der Welle nur die
Energie hf entziehen. Das geht aber nur, wenn
im Atom ein Zustand mit einer passenden Energie
Wn vorhanden ist, d.h. wenn Wn − W1 = hf .
W
Ein Atom mit nebenstehendem Termsche- 3,5 eV
ma kann im Grund- 3 eV
zustand Photonen mit
2 eV
folgenden Energien absorbieren:
1 eV
hf12 = W12 = 2 eV
0 eV
hf13 = W13 = 3 eV
hf14 = W14 = 3,5 eV
Die zugehörigen Wellenlängen sind
hc
λ12 =
= 620 nm (orange)
W12
Freie Atome oder Moleküle (Gase)
können einer EMW nur dann Energie
entziehen, wenn die Frequenz der Welle
gleich einer der Resonanzfrequenzen
fn =
Wn − W1
h
ist (Resonanzabsorption).
EMW mit anderen Frequenzen werden von den
Atomen ignoriert (keine Wechselwirkung), das
Gas ist für diese Wellen durchsichtig.
Absorbiert ein Atom oder Molekül im Grundzustand ein Photon mit der Frequenz fn , dann geht
es in einen angeregten Zustand mit der Energie
λ13 =
hc
= 413 nm (violett)
W13
λ14 =
hc
= 354 nm (UV)
W14
W4
W3
W2
W1
Wir nehmen an, dass das Atom ein Photon der
Wellenlänge 354 nm absorbiert und in den angeregten Zustand mit W4 = 3,5 eV übergeht.
W
Wn = W1 + hfn
W4
3,5 eV
3 eV
über. Nach einer durchschnittlichen Zeit τ (≈ 1 µs
bis einige s), der Lebensdauer des angeregten Zustands, geht das Atom in einem oder in mehreren
Schritten in den Grundzustand über. Bei jeder
Änderung in einen Zustand mit weniger Energie
sendet das Atom ein Photon mit der entsprechenden Energiedifferenz aus. Die Richtung, in die das
Photon ausgesandt wird, ist vollkommen zufällig
und hängt nicht von der Richtung der einfallenden Welle ab.
Der ganze Vorgang
Atom
EMW
– Absorption
– angeregtes Atom
A∗
angeregtes Atom
– Ausstrahlung
Atom
heißt Resonanzstreuung.
λ34
2 eV
λ14
1 eV
λ34
W3
λ23
λ24
W2
λ13
λ12
λ12
W1
0 eV
Das angeregte Atom kann direkt oder über Zwischenzustände in den Grundzustand zurückkehren. Bei jeder Zustandsänderung sendet das Atom
ein Photon mit der entsprechenden Energiedifferenz aus:
W4 → W1 :
W4 → W3 → W1 :
W4 → W2 → W1 :
W4 → W3 → W2 → W1 :
Resonanzstreuung
λ41
λ43
λ31
λ42
λ21
λ43
λ32
λ21
= 354 nm
= 2480 nm
= 413 nm
= 827 nm
= 620 nm
= 2480 nm
= 1240 nm
= 620 nm
——————————————–
Fällt ein Strahl weißen Lichts durch ein Gas, dann
werden die Anteile des Lichtes mit den Resonanzfrequenzen des Gases in alle Richtungen gestreut und fehlen daher im durchgehenden Strahl
fast vollständig. Im Spektrum des durchgehenden
Strahls finden sich also dunkle Linien, deren Lage
(Wellenlängen) Auskunft über das durchstrahlte
Gas gibt. Die dunklen Linien im Spektrum des
Sonnenlichts (Fraunhoferlinien) geben Auskunft
über die chemischen Elemente in der Hülle der
Sonne.
In heißen Körpern oder Gasen haben die Teilchen genügend kinetische Energie, die sich bei
Stößen in Anregungsenergie umwandeln kann.
Die angeregten Atome senden dann bei der Rückkehr in den Grundzustand Photonen aus (Leuchten, Glühen). Das Licht leuchtender Gase enthält
nur bestimmte Wellenlängen (diskretes Spektrum, Spektrallinien). Anhand dieses Spektrums
können die Stoffe, die das Licht aussenden, identifiziert werden (Spektralanalyse).
30
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
In einem Festkörper mit regelmäßig angeorneten
Atomen ist die potentielle Energie eines Elektrons
eine periodische Funktion. Aus der Quantenmechanik folgt, dass die möglichen Energiewerte für
die Elektronen nicht diskret sind wie bei einzelnen
Atomen, sondern ganze Energieintervalle (Energiebänder) von den Elektronen besetzt werden
können. Die meisten Elektronen befinden sich in
einem Valenzband und sind durch die Form der
potentiellen Energie an ein Atom gebunden (siehe nebenstehende Abbildung). Elektronen mit einer höheren Energie befinden sich im Leitungsband und können sich frei im Festkörper bewegen. Je mehr Elektronen im Leitungsband sind,
umso besser leitet der Körper. In einem Nichtleiter enthält das Leitungsband keine Elektronen.
W
Kontinuum
Wk
Metallrand
Wk
0
hf
A
hf
Leitungsband
∆W
x
Valenzband
Atomrümpfe
Beispiel: Die Austrittsarbeit von Zink ist A =
4,34 eV. Um den Photoeffekt auszulösen, müssen
Photonen mindestens die Energie A besitzen:
EMW auf Metall (Fotoeffekt):
Die Energie A, die benötigt wird um eines Elektron aus dem Leitungsband ins Kontinuum zu
befördern (aus dem Metall zu entfernen) heißt
Austrittsarbeit. Fällt eine EMW auf eine Metalloberfläche, dann kann die Energie hf eines Photons z.B. an ein Elektron im Leitungsband übertragen werden. Ist hf größer als A, kann das Elektron das Metall mit der kinetischen Energie Wk
verlassen (äßerer Fotoeffekt):
hf =
hc
>A
λ
=⇒
hc
= 286 nm
A
Sichtbares Licht kann bei Zink also keinen Fotoeffekt auslösen, man braucht dazu UV-Licht.
λ<
Beispiel: Licht der Wellenlänge λ = 400 nm trifft
auf Barium mit der Austrittsarbeit A = 2,52 eV.
Die Maximalenergie der austretenden Elektronen
ist
Wk = hf − A
Wird die Photonenenergie von einem Elektron im
Valenzband absorbiert, kann es ins Leitungsband
wechseln (innerer Fotoeffekt). Ist die Energielücke
∆W zwischen Leitungs- und Valenzband kleiner
als die Photonenenergie des sichtbaren Lichts,
dann wechseln beim Bestrahlen mit Licht viele
Elektronen ins Leitungsband, der Widerstand des
Materials sinkt (Fotowiderstand).
Wk =
hc
− A = 0,58 eV = 9,3 · 10−20 J
λ
Die Geschwindigkeit der Elektronen ist v:
r
m 2
m
2Wk
= 4,5 · 105
v = Wk =⇒ v =
2
me
s
Röntgenstrahlung
Sind bei der Umkonfiguration der Elektronenhülle eines Atoms auch innere (kernnahe)
Elektronen beteiligt, dann treten größere Energieänderungen auf wie bei einer Konfigurationsänderung mit nur äußeren Elektronen. Die
absorbierten und emitierten Photonen haben also größere Energien und damit kleinere Wellenlängen (Röntgenstrahlung).
Röntgenstrahlung entsteht auch beim Abbremsen
schneller Elektronen (Röntgenröhre).
W
W
Röntgenstrahlung
mm Wellenlänge
mm Photonenenergie
10−8 nm bis 10−11 nm
0,1 keV bis 100 keV
nur äußere
auch innere
Elektronen beteiligt
31
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Radioaktivität
Alphastrahlung
Zwischen den positiven Protonen im Atomkern
herrscht eine starke elektrische Abstoßungskraft
Fe . Für Abstände kleiner als r0 ≈ 10−15 m ist
aber die anziehende starke Kraft zwischen den
Nukleonen größer als die abstoßende elektrische
Kraft, der Grund für das Zusammenhalten der
Atomkerne. In den Kernen haften immer zwei
Protonen und zwei Neutronen besonders fest zusammen (α-Teilchen). Die potentielle Energie eines α-Teilchens im Kern schaut ungefähr wie der
Querschnitt durch einen Vulkan aus (siehe Abbildung). Dabei ist r die Entfernung zum Kernmittelpunkt. Ist die Energie des α-Teilchens negativ,
kann es den Kern nicht verlassen. Bei einer positiven Energie des α-Teilchens könnte es den Kern
nach der klassischen Physik auch nicht verlassen,
da der Energiebetrag ∆W bis zum Kraterrand“
”
fehlt. Nach den Regeln der Quantenphysik kann
das Teilchen aber mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p durch den Energieberg tunneln. p ist
umso kleiner, je kleiner ∆W und die Dicke ∆r
des Berges sind (Gamow, 1928).
Ein Atom, das ein α-Teilchen aussendet, ist ein
α-Strahler, es unterliegt einem α-Zerfall.
Reaktionsgleichung eines α-Zerfalls:
A
X
Z
F
Fs
Fe
r0
Das Alphateilchen ist ein 42 HeKern, besteht also aus zwei Protonen und zwei Neutronen (zweifach positives Heliumion):
α = 42 He
n
α-Teilchen
α-Teilchen
∆r
Y + 42 He
−→ A−4
Z−2
r
Für W < 0 ist
der Kern stabil.
Neutrinos
Neutrinos bewegen sich (fast? Man weiß es
noch nicht ganz genau) mit Lichtgeschwindigkeit.
Die Wechselwirkung der Neutrinos mit Materie
ist sehr gering. Um die Hälfte eines Neutrinoschwarms abzuschirmen, bräuchte man eine mehrere Lichtjahre dicke Bleimauer.
−
Beim Betazerfall (genauer β -Zerfall) wandelt
sich ein Neutron im Kern in ein Proton, ein Elektron und ein Elektronantineutrino um. Das Elektron und das Neutrino werden ausgestoßen.
Reaktionsgleichung eines β − -Zerfalls:
Gammastrahlung
+
A
−→ Z+1
Y + e− + ν e
Das mit großer Energie ausgesandte Elektron
wird nach dem Abbremsen von einem zunächst
einfach positiv geladenen Tochteratom eingefangen.
∆W
X
γ-Quant
Y
Beispiele:
n −→ p+ + e− + ν e
214
Bi
83
p+
p+
++
∆W
Betastrahlung
3
H
1
n
W
Die beiden überschüssigen Elektronen des Tochterelements Y werden abgestoßen und bilden mit
dem α-Teilchen ein neutrales 42 He-Atom.
Beispiel:
238
U −→ 234
Th + 42 He
92
90
A
X
Z
r
Die Tochterkerne beim Alpha- und Betazerfall
entstehen meist in einem angeregten Zustand und
geben beim Übergang in den Grundzustand ein
energiereiches Photon (Gammaquant) ab (Gammastrahlung).
+
−→ 32 He + e− + ν e −→ 32 He + ν e
+
−→ 214
Po + e− + ν e −→ 214
Po + ν e
84
84
32
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Neben dem β − -Zerfall gibt es noch den β + Zerfall. Dabei wandelt sich ein Proton im Kern in
ein Neutron, ein Positron (Antiteilchen des Elektrons) und ein Elektronneutrino um. Das Positron
und das Neutrino werden ausgestoßen.
Beispiele:
Reaktionsgleichung eines β + -Zerfalls:
Der β + -Zerfall des freien Protons ist äußerst unwahrscheinlich und noch nicht nachgewiesen.
A
X
Z
p+ −→ n + e+ + νe
−
−→ 22
Ne + e+ + νe −→ 22
Ne + νe + 2γ
10
10
22
Na
11
−
A
−→ Z−1
Y + e + + νe
Nützliche Matheformeln (a > 0):
Das einfach negativ geladene Tochteratom stößt
sein überschüssiges Elektron ab. Das ausgesandte
Positron zerstrahlt mit einem Elektron in zwei
Photonen:
e+ + e− −→ 2γ
a−x =
1
1
ax
(ax )y = axy
= ax
a−x
ax
= ax−y
ay
ax ay = ax+y
a0 = 1
Das Zerfallsgesetz
Ein Element X (Mutterelement) zerfällt in das
Element Y (Tochterelement). N (t) ist die Zahl
der Atome des Mutterelements zur Zeit t, die Zahl
der Mutteratome zur Zeit t = 0 bezeichnen wir
mit N0 = N (0).
Jedes Atom ein und desselben radioaktiven Elements hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, in der
Zeitspanne ∆t zu zerfallen. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig vom Alter des Atoms und
den Umgebungseinflüssen wie Druck, Temperatur
usw.
Für jedes radioaktive Element gibt es eine charakteristische Zeit T , die sogenannte Halbwertszeit, nach der im Mittel die Hälfte der anfänglich
vorhandenen Atome zerfallen ist.
t
0
T
2T
3T
nT
N
N0
N0
2
T
N0
4
N0
8
N (t + T ) = N0 · 2−
t+T
T
t
= N0 · 2 − T − 1 =
t
N (t)
1
· N (t)
2
——————————————–
N (t + T ) =
Beispiel: N0 = 1,60 · 1020 , T = 250,0 a
N (250 a) =
N0
= 8,00 · 1019
2
1
N (1 a) = 1,60 · 1020 · 2− 250 = 1,59997 · 1020
Daraus folgt das Zerfallsgesetz:
N (7000 a) = 1,60 · 1020 · 2−28 = 5,56 · 1011
Ist N0 = N (0) die Zahl der Atome eines
radioaktiven Elements zur Zeit t = 0, dann
gilt für die Zahl N (t) der zur Zeit t noch
vorhandenen Atome:
Wann ist N (t) = 8,00 · 1012 ?
t
N0 · 2− T = N (t)
t
N (t) = N0 · 2− T
≈
t
= N0 · 2− T ·2−1
| {z }
N0
N0
= 1 = N0 · 2−1
2
2
N0
N (T )
=
= N0 · 2−2
2
4
N (2T )
N0
=
= N0 · 2−3
2
8
N0
= N0 · 2−n
2n
230
109
4T
3T
t+T
N0
220
106
t 2T
T
N (t)
210
103
N (t + T )
N (t)
x=
t
T
=⇒
=⇒
t
t
2− T =
2 T = 2x =
N (t)
N0
N0
= 2,00 · 107
N (t)
x
24
25
24,2 24,3 24,25
x
2
1, 68 3,36 1,93 2,07 1,995
107
x = Tt ≈ 24,25 =⇒ t ≈ 24,25 T = 6063 a
240
1012
33
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Aktivität
Aktivität von Uran:
Im Zeitintervall [t; t + ∆t] ändert sich die Zahl
der Atome eines radioaktiven Elements mit der
Halbwertszeit T um
235
U
92
∆N = N (t + ∆t) − N (t) =
= N0 · 2 −
= N0 ·
= N (t) ·
2
λ=
t
t+∆t
T
t
2− T
hat die Halbwertszeit T = 7,0 · 108 a und die
Atommasse M = 235,044 u. Ein Stück U 235 der
m
= 2,56 ·1024
Masse m = 1 kg besteht aus N0 = M
Atomen. Die Zerfallskonstante von U 235 ist
− N0 · 2 − T =
∆t
−
· 2 T −1 =
!
1
−1 <0
∆t
Die Aktivität des Uranstücks zur Zeit t = 0 ist
A0 = λN0 = 8,04 · 107 Bq
Radioaktive Altersbestimmung
T
Als Beispiel der Altersbestimmung mittels der
Radioaktivität besprechen wir die C 14-Methode
oder Radiokarbon-Methode (Walter Libby,
1949). Durch kosmische Höhenstrahlung werden
in der Atmosphäre freie Neutronen produziert,
die sich mit Stickstoff zu 146 C verbinden:
Die Zahl der im Intervall [t; t + ∆t] zerfallenen
Atome ist
∆t
−
T
|∆N | = −∆N = N (t) · 1 − 2
Wie man die Momentangeschwindigkeit als ∆x
∆t
mit immer kleiner werdendem ∆t definiert, so
definiert man die Aktivität A eines radioaktiven
|
Stoffes als |∆N
∆t mit immer kleiner werdendem ∆t
(∆t → 0):
∆t
−
N (t) · 1 − 2 T
|∆N |
=
A(t) =
∆t
∆t
Mit α =
∆t
T
14
N
7
Der Zerfall
1 1 − 2−α
·
T | {z
α }
mit α → 0
0,01
0,69075
0,001
0,692907
10−6
0,693147
+ 11 p
NC14
= 1, 18 · 10−12
NC12
Im toten Gewebe findet kein Austausch mit dem
CO2 der Luft statt und das 14 C wird immer weniNC14
einer toten Probe
ger. Das Verhältnis k =
NC12
wird im Allgemeinen durch Massenspektroskopie
bestimmt. Aus dem Zerfallsgesetz für die Zahl der
14
C-Kerne folgt nach Division durch NC12
Je kleiner α gewählt wird, um so mehr nähert sich
f (α) dem Wert 0,693147... an. Auf dem Taschenrechner findet man diese Zahl mit ln 2 = .
Mit der Zerfallskonstanten
λ=
14
C
6
β−
14
C → 147 N
6
k0 =
f (α)
α
f (α)
+ 10 n →
hat die Halbwertszeit T = 5730 a. Ist die Intensität der Höhenstrahlung konstant, dann stellt
sich mit der Zeit ein konstantes Verhältnis von
14
C zu 12 C-Isotopen ein (radioaktives Gleichgewicht). Im Jahre 1950 betrug dieses Verhältnis in
lebendem Gewebe
ist ∆t = αT und damit
A(t) = N (t) ·
7·
1
ln 2
· 24 · 3600 s = 3,14 · 10−17
· 365,25
s
108
t
ln 2
T
k(t) = k0 · 2− T
und daraus die Zeit t vom Absterben der Probe
bis zur Messung.
ist die Aktivität
t
t
A(t) = λN (t) = λN0 ·2− T = A0 · 2− T
|{z}
——————————————–
In einem Stück Holzkohle aus der Höhle von LasNC14
zu k = 1,80·10−13
NC12
bestimmt.
A0
caux wird das Verhältnis
Die Einheit der Aktivität ist
1 Becquerel = 1 Bq = 1
1
s
t
2T =
A = 500 Bq bedeutet also 500 Zerfälle pro Sekunde.
k0
= 6,55
k(t)
=⇒
t
= 2,71
T
t = 2,71 T = 1,55 · 104 a
34
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Dosimetrie
Durchschnittliche Strahlenbelastung in der BRD:
Die Wirkung von einer radioaktiven Strahlung
auf ein Stück Materie wird beschrieben durch die
Energie ∆W , die von der Masse ∆m absorbiert
wird. Man nennt
D=
∆W
∆m
mit [D] = 1 Gy = 1 Gray = 1
Belastunsart
J
kg
natürliche Belastung
2,4 mSv
a
künstlich
1,9 mSv
a
Die Strahlenschutzverordnung von 2001 erlaubt,
zusätzlich zur natürlichen Belastung:
die Energiedosis. Da verschiedene Stoffe radioaktive Strahlung verschieden stark absorbieren, ist
die Energiedosis nicht nur von der Art und der
Energie der Strahlung, sondern auch vom Absorbermaterial abhängig. Um die Wirkung von radioaktiver Strahlung auf den Menschen beschreiben zu können, wird der Begriff der Äquivalentdosis eingeführt:
20
1
bis 0,25 Sv:
bis 1 Sv:
bis 4 Sv:
γ-Strahlung mit hf = 1 MeV,
ab 7 Sv:
H = 1 Sv = 1 Sievert
Für eine bestimmte Strahlenart ist die Äquivalentdosis proportional zur Energiedosis:
mit
[q] = 1
(beruflich bedingt)
(allgemein)
keine Behandlung erforderlich
(aber Folgeschäden! Krebs!)
leichte Strahlenkrankheit, selten
Tote (außer durch Folgeschäden)
Erbrechen, Haarausfall, innere
Blutungen (50 % Todesfälle)
fast sicher tödlich
Die Wirkungen schwacher Dosen sind noch wenig
erforscht und die Resultate stark umstritten.
Die geschätzte Zahl von Krebstoten pro 106
Personen nach einer Ganzkörperdosis von 0,01 Sv
schwankt, je nach Autor, zwischen 200 und 3700
(Sterbewahrscheinlichkeit: 0,0002 bis 0,0037).
Bei einer mittleren Dosis von 2 mSv für die
nächsten 50 Jahre, bedingt durch den Unfall in
Tschernobyl, erhält man für die 80 Millionen
Bundesbürger zwischen 3200 und 59200 Krebstote!!
——————————————–
dann hat diese Strahlung die Äquivalentdosis
oder Organdosis
H =q·D
mSv
a
mSv
a
Wirkungen einer kurzen, einmaligen Belastung:
Ruft eine Strahlung beim Menschen die gleichen Schäden hervor wie
1 Gy
pro Person
Sv
Gy
Der Proportionalitätsfaktor q heißt RBE
(Relative Biological Effectivness).
Es ist zu beachten, dass die gleiche Dosis, in
kürzerer Zeit aufgenommen, gefährlicher ist, da
die Reparaturmechanismen des Körpers dann weniger Zeit haben, die Schäden zu beheben.
Die größten Schäden bei gleicher Aktivität richten α-Strahler an, die durch Nahrungsaufnahme
oder Atmung in den Körper gelangen (Inkorporation). Wegen ihrer geringen Reichweite geben die
α-Teilchen nämlich ihre ganze Energie auf kurzer
Strecke innerhalb des Körpers ab.
Beispiel: Eine Person der Masse m = 70 kg hat
m0 = 1 µg Po 210 (Polonium) mit der Nahrung
aufgenommen. Po 210 ist ein α-Strahler mit der
Halbwertszeit T = 138,4 d und der α-Energie
m0
15
Wα = 5,304 MeV. Mit N0 = 210
u = 2,87 · 10
ist die Aktivität
A = λN0 =
ln 2
N0 = 1,66 · 108 Bq .
T
In 10 Tagen nimmt der Körper die Energiedosis
10 d · A · Wα
=
m
864 000 s · 1,66 · 108 1s · 8,50 · 10−13 J
=
=
70 kg
J
= 1,74
= 1,74 Gy
kg
D=
Strahlung
γ bis 3 MeV
β
α
p+
n (langsam)
n (schnell)
RBE
1
1
20
10
2
20
auf. Mit RBE = 20 folgt die absolut tödliche Organdosis
H = RBE · D = 35 Sv .
35
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Masse und Energie
Erwärmt man m = 1 kg Wasser der Temperatur
10 ◦ C auf 90 ◦ C, dann nimmt die innere Energie
des Wassers um
Jede Masse m enthält die Energie
W = mc2
kJ
· 1 kg · 80 K =
kg K
= 335 kJ = 3,35 · 105 J
∆W = cW m∆T = 4,19
(Einstein, 1905). Dabei ist
c = 299792458
m
m
≈ 3,00 · 108
s
s
zu. Dies entspricht einer Massenzunahme von
die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
∆m =
Die Masse M eines Atoms des Elements A
X ist
Z
kleiner als die Summe MS der Massen seiner Bausteine:
——————————————–
Massendefekt von U 238:
M = 238,0508 u
M < MS = Z(mp + me ) + (A − Z)mn
Massensumme der Bausteine:
Die Differenz
MS = 92 (mp + me ) + 146 mn = 239,9850 u
∆M = MS − M
∆M = MS − M = 1,9342 u = 3,2118 · 10−27 kg
nennt man den Massendefekt des Atoms. Das
Atom hat um ∆M weniger Masse und um ∆M c2
weniger Energie als die getrennten Bausteine.
WB = −∆M c
∆W
= 3,7 · 10−12 kg
c2
Um das U 238-Atom vollständig in seine Bausteine zu zerlegen, muss die Energie
∆W = ∆M · c2 = 2,887 · 10−10 J = 1802 MeV
2
aufgewendet werden. Die Bindungsenergie des
U 238-Atoms ist
ist die Bindungsenergie des Atoms. Bezeichnet
WS = MS c2 die Gesamtenergie der einzelnen
Bausteine, dann ist die Gesamtenergie des Atoms
WB = −1802 MeV
W = WS + WB = M c2 = (MS − ∆M )c2
Kernenergie
Energieerzeugung in Sternen
Bei der Verschmelzung (Fusion) von zwei leichten
Kernen (wegen der elektrischen Abstoßung der
Kerne nur bei Temperaturen von einigen Millionen Kelvin möglich) entsteht ein Kern mit einer
Masse, die kleiner als die Summe der Massen der
Ausgangskerne ist.
Bei der durch Neutronenbeschuss ausgelösten
Spaltung schwerer Kerne entstehen zwei Kerne
und einige Neutronen, deren Massensumme kleiner als die Masse des Ausgangskerns ist. Die bei
der Spaktung frei werdenden Neutronen lösen
nach geeigneter Abbremsung weitere Spaltungen
aus (Kettenreaktion).
Bei der Fusion leichter und der Spaltung schwerer
Kerne wird also Energie frei, die in Form von Photonen (Gammastrahlung) oder Hitze (kinetische
Energie der Atome) an die Umgebung abgegeben
wird.
Unsere Sonne bezieht ihre Energie durch die Fusion von vier Wasserstoffkernen (Protonen) zu einem He 4-Kern (über einige Zwischenreaktionen).
Die Zusammenfassung aller Reaktionen lautet:
4 11 H + 2 −10 e −→ 42 He + 2νe
Wegen der gewaltigen Hitze im Sterninneren liegen keine Atome, sondern die Kerne und die Elektronen bilden zusammen ein Gas, das sogenannte Plasma. Daher rechnen wir nicht mit Atom-,
sondern mit Kernmassen, um den Energiegewinn
einer solchen Fusionsreaktion zu berechnen:
∆W = (4mp + 2me − mHe4 )c2 =
= (4 · 1,67262 · 10−27 + 2 · 9,11 · 10−31 −
− 6,6447 · 10−27 ) kg · c2 =
= 4,28 · 10−12 J = 26,7 MeV
Kernfusion: Sterne, Wasserstoffbombe, am Fusionsreaktor wird schon seit 50 Jahren geforscht
und seit 50 Jahren heißt es, er wird in 20 Jahren
einsatzbereit sein.
Von dieser Energie werden 0,5 MeV durch
die Neutrinos abtransportiert, die restlichen
26,2 MeV dienen der Leuchtkraft der Sonne.
Kernspaltung: Kernreaktor, Atombombe
36
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Mechanik
Definitionen und Regeln
Beispiele
Kinematik
t0 v
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
heißt auch gleichförmige Bewegung.
x(t)
|{z}
Ort zur Zeit t
= x(t0 ) +v · (t − t0 )
| {z }
| {z }
Startort
:
:
x0
x(t)
0
x
x0
v>0
x0
v t0
v t
x
x(t)
x
x(t)
Fahrzeit
v<0
t0
Das tx-Diagramm der gleichförmigen Bewegung
ist eine Gerade, die Geschwindigkeit v ist die Steigung der Geraden:
steil
flach
t v
x0
0
x
x(t)
v>0
v<0
schnell (|v| groß)
langsam (|v| klein)
t
:
:
t
t
x
v<0
v>0
∆x = x(t2 ) − x(t1 ) = v · ∆t
v>0
t2
t1
Nebenstehendem tv-Diagramm entnimmt man:
t
v
tv-Diagramm mit
konstanter
Geschwindigkeit:
Weg = Fläche unter dem tv-Diagramm.
v
Dieser Satz gilt auch für Bewegungen mit nicht
konstanter Geschwindigkeit:
v
∆x
t1
Die Differenz der Ortskoordinaten
∆x = x(t2 ) − x(t1 ) ist gleich der Fläche
unter dem tv-Diagramm zwischen t1
und t2 , wobei Flächen unterhalb der tAchse negativ zählen.
t
Bewegung in die positive x-Richtung
Bewegung in die negative x-Richtung
tx-Diagramm mit
nicht konstanter
Geschwindigkeit:
In der Zeit ∆t = t2 −t1 bewegt sich ein Körper mit
der konstanten Geschwindigkeit v um die Strecke
t0
t
t2
∆t
v
tv-Diagramm mit
nicht konstanter
Geschwindigkeit:
A1
t2
t1
t
A2
∆x = A1 − A2
Mittlere Geschwindigkeit
Wir betrachten die Bewegung eines punktförmigen Körpers K entlang einer Geraden (x-Achse).
Der Ort x des Körpers ist eine beliebige Funktion der Zeit t. t1 und t2 sind zwei beliebige Zeiten,
x1 = x(t1 ) und x2 = x(t2 ). Mit den Abkürzungen
∆t = t2 − t1
x
x2
∆x
x1
∆t
und ∆x = x(t2 ) − x(t1 )
definiert man die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [t1 , t2 ]
v = v12 =
t2
t1
∆x
x(t2 ) − x(t1 )
=
∆t
t2 − t1
t
Beispiel: x(t) = 0,5 sm2 t2 mit t1 = 1 s:
Die mittlere Geschwindigkeit oder auch Durchschnittsgeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich
K von x1 nach x2 bewegen würde, wenn die Geschwindigkeit konstant wäre.
37
t2
s
∆t
s
x1
m
x2
m
∆x
m
v in
2
1,1
1,01
1,001
1
0,1
0,01
0,001
0,5
0,5
0,5
0,5
2
0,605
0,51005
0,5010001
1,5
0,105
0,01005
0,0010005
1,5
1,05
1,005
1,0005
m
s
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Momentangeschwindigkeit
Die Momentangeschwindigkeit oder einfach die
Geschwindugkeit zur Zeit t ist der Grenzwert der
mittleren Geschwindigkeit im Intervall [t, t + ∆t]
mit immer kleiner werdendem ∆t:
v(t) = lim
∆t→0
x
P
x(t + ∆t)
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
Die Geschwindigkeit v(t) ist die Steigung der Tangente an den Grafen von x(t) im Punkt A(t|x(t)).
A
x(t)
∆t
Für die Bewegung mit
x(t) =
a 2
t
2
t
a
a
(t + ∆t)2 − t2 =
2
2
a 2
t + 2t∆t + ∆t2 − t2 =
=
2
a
= ∆t(2t + ∆t) =⇒
2
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) = at
Dabei ist a die Beschleunigung (siehe S.6), denn
v(t2 ) − v(t1 )
∆v
=
=
∆t
t2 − t1
at2 − at1
=
=a
t2 − t1
Beschleunigung =
v(t) = lim
= lim
∆t→0
Definition der (konstanten) Beschleunigung:
v(t) − v(t0 )
∆v
=
∆t
t − t0
a
2 ∆t(2t
+ ∆t)
=
∆t
i
∆t→0
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
ha
2
(2t + ∆t) = at
v
=⇒
∆t
A
v(t0 )
Bei konstanter Beschleunigung ist der Graf der
Funktion v(t) (tv-Diagramm) eine Gerade.
A = v(t0 ) · ∆t, ∆v = a∆t
1
a
· ∆t · ∆v = ∆t2
2
2
x
v
∆x = x(t) − x(t0 ) = A + A△ =
a
= v(t0 )∆t + ∆t2 =⇒
2
t
t
t0
x(t) = x(t0 ) + v(t0 ) · (t − t0 ) +
∆v
A△
v(t) = v(t0 ) + a · (t − t0 )
A△ =
t + ∆t
t
0
gilt (siehe rechte Spalte)
a=
∆x = x(t + ∆t) − x(t)
P
v(t)
t0
v(t0 )
a
· (t − t0 )2
2
x(t)
t
t
x(t0 )
t0
t
Spezialfall: t0 = 0, x0 = x(0), v0 = v(0):
Beginn des Bremsvorgangs zur Zeit 0 mit der
Beschleunigung a < 0:
v(t) = v0 + a · t
x(t) = x0 + v0 · t +
a 2
·t
2
v0
v0
t0 = − =
a
|a|
v2
1
∆s = v0 t1 = 0
2
2|a|
Für a = konst. ist das tv-Diagramm eine Gerade
und das tx-Diagramm eine Parabel.
38
v
v0
∆s
t0
(Bremsweg)
t
t
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 9
Definitionen und Regeln
Beispiele
Zusammenhang zwischen x(t) und v(t):
v<0
v>0
Zusammenhang zwischen v(t) und a(t):
v>0
v
a>0
a<0
a>0
a
x
v
t
v=0
kleinstes v
t
bremsen
a=0
v=0
Der freie Fall
m
s2
(Erdbeschleunigung).
Ort
g
Zwei Möglichkeiten eines geeigneten Koordinatensystems für die Behandlung des freien Falls:
x-Achse zeigt nach oben:
=⇒
g 2
x(t) = h − t
2
x(t1 ) = 0 =⇒
g
h − t21 = 0
2
s
2h
t1 =
g
N-, S-Pol
9,832 sm2
Äquator
9,780 sm2
45◦ nördl. Breite
9,80665 sm2
x-Achse zeigt nach unten:
x(0) = h
√
v1 = v(t1 ) = −gt1 = − 2gh
bremsen
Genauere Messungen zeigen, dass g, abhängig von
der geografischen Lage und der Höhe, leichten
Schwankungen unterworfen ist (alle Werte auf
(Meereshöhe):
Alle Körper fallen an der Erdoberfläche mit der
gleichen Beschleunigung mit dem Betrag
g = 9,81
a=0
x(0) = 0 =⇒
g
x(t) = t2
2
x(t1 ) = h =⇒
g 2
t =h
2 1
s
2h
t1 =
g
x
v0 = 0
h
a = −g
v1 = v(t1 ) = gt1 =
t1
v0 = 0
0
a=g
√
2gh
t1
h
0
v1
v1
Die Aufprallgeschwindigkeit v1 einfach mit dem
Energiesatz:
p
m 2
v1 = mgh =⇒ |v1 | = 2gh
2
39
x
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Das astronomische Weltbild
Beispiele
Definitionen und Regeln
Erde und Sonnensystem
Geschichtliche Daten
≈ -600
Thales von Milet (*−624, −546),
der Begründer der griechischen Mathematik, sieht die Erde noch als
Scheibe an. Thales kann aber als der
erste wahre Physiker betrachtet werden, da er die Natur für rational erklärbar hält, ohne auf die Mythologie zurückgreifen zu müssen.
≈ −500
Pythagoras von Samos (*−580,
−497), kennt schon die kugelförmige Gestalt der Erde.
≈ −330
Aristoteles aus Athen (*−383,
−322) glaubte, dass jede Bewegung, auch die mit konstanter Geschwindigkeit, einer Kraft bedarf.
Diese Vorstellung wurde erst von
Galilei und Newton revidiert.
≈ −300
Euklid aus Alexandria. Seine
berühmten Elemente waren ein
Standardwerk der Geometrie bis
ins 19. Jahrhundert. Er baute die
Geometrie auf ein Axiomensystem
auf.
≈ −220
Archimedes aus Syrakus, (*−287,
−212): Statik, Hebelgesetz, Auf-
1543
Kopernikus, Nikolaus (*19.2.1473
in Thorn, 24.5.1543 in Frauenburg)
veröffentlicht in seinem Todesjahr
das berühmte Werk De revolutionibus orbium coelestium (Über die
Umdrehungen der Himmelsbahnen),
in dem er das geozentrische durch
das heliozentrische Weltbild ersetzt
(die Planeten kreisen um die Sonne,
nicht um die Erde).
1602
Das Hauptwerk von Brahe, Tycho
(*14.12.1546 in Knudstrup auf Schonen, 24.10.1601 Benatky/Böhmen)
wird von Kepler in Prag veröffentlicht. Brahe hat die Bahnen der
Planeten, noch ohne Fernrohr, mit
äußerster Präzision aufgezeichnet,
und zwar mit der bemerkenswerten
Beobachtungsgenauigkeit von 2′ .
1602
Kepler, Johannes (*1571 in Weil
der Stadt, 1630 in Regensburg)
findet das 2. Keplersche Gesetz
(Flächensatz).
1605
1. Keplersches Gesetz (Planetenbahnen sind Ellipsen).
1609
Galilei, Galileo (*15.2.1564 in Pisa, 8.1.1642 in Arcetri bei Florenz)
erfindet ein Fernrohr und entdeckt
damit die Jupitermonde, die Phasen der Venus, die Sonnenflecken
und die Tatsache, dass die Milchstraße aus vielen einzelnen Sternen
besteht.
Im gleichen Jahr findet Galiei die
Fallgesetze, d.h. die Formeln der Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Beginn der modernen Physik.
trieb, Geometrie.
≈ −200
Eratosthenes
aus
Alexandria (*−276, −194) misst den
Erdumfang.
≈ 150
Ptolemäus, Claudius aus Alexandria (*90, 168) entwirft ein geozentrisches Weltmodell, das es gestattete, die Positionen der inneren Planeten vorauszuberechnen: Ein Punkt S
bewegt sich auf einem Kreis um die
Erde, dessen Mittelpunkt nicht die
Erde ist, die Planeten beschreiben
Kreisbahnen um S (Sonne). Ptolemäus hat ein für die Darstellung
ungünstiges Bezugssystem gewählt,
eben das der Erde.
1614
Napier, John (*1550 in Edinburgh,
1617 in Edinburgh) veröffentlicht
die erste Logarithmentafel (Hilfe für
die komplizierten Berechnungen der
Astronomen).
1619
40
3. Keplersches Gesetz (Verhältnis
der Umlaufzeiten).
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
1672
1676
Beispiele
Cassini, Giovanni (*1625 in Perinaldo bei Nizza, 1712 in Paris)
misst trigonometrisch die Entfernung des Mars von der Erde und
bestimmt daraus mit den Keplergesetzen die Entfernung Erde-Sonne
mit nur 8% Fehler. Entdeckung von
vier weiteren Saturnmonden und der
Lücke in den Saturnringen (CassiniTeilung, 1675).
1796
Roemer, Olaus (*1644 in Aarhus,
1710 in Kopenhagen): Messung der
Lichtgeschwindigkeit durch Beobachtung der Jupitermonde.
1686
1705
1781
Newton, Isaac (*1643 in Woolsthorpe, 1727 in Kensington) legt
das Manuskript seiner berühmten
Philosophiae naturalis principia mathematica (Mathematische Grundlagen der Naturwissenschaft) der Royal Society vor. Von 1665 bis 1686 hat
Newton unter anderem Folgendes
entdeckt: Newton 1 (Trägheitssatz),
Newton 2 (F = dp
dt ), Gravitationsgesetz, Ableitung der Keplergesetze
aus dem Gravitationsgesetz, Spektralzerlegung des Lichts, Korpuskulartheorie des Lichtes, Infinitesimalrechnung (unabhängig von Leibnitz), Bewegung des Mondes unter dem Schwerkrafteinfluss von Erde, Sonne und Planeten. Auf die
Erkenntnisse Newtons aufbauend,
kommt die moderne Physik erst
richtig in Schwung.
1798
Laplace, Pierre-Simon (*1749 in
Beaumont-en-Auge, 1827 in Arcueil bei Paris) veröffentlicht sein
Buch Exposition du système du
monde, in dem er unter anderem
eine Theorie der Entstehung des
Sonnensystems und die Möglichkeit Schwarzer Löcher beschreibt.
Ein fünfbändiges Werk über Himmelsmechanik (1799-1825), in dem
er die Gezeiten und die Planetenbewegungen unter dem Einfluss
der anderen Planeten beschreibt.
1812 veröffentlicht er sein bekanntes
Werk über die Wahrscheinlichkeitsrechnung (Théorie analytique des
probabilités).
Cavendish, Henry (*1731 in Nizza,
1810 in London) veröffentlicht sei-
ne Bestimmung der Erddichte (und
damit der Erdmasse und der Gravitationskonstanten) mit Hilfe der
Drehwaage.
Halley, Edmond (*1656 in Haggerston, 1762 in Greenwich) entdeckt seinen“ Kometen und wendet
”
die Newton’sche Gravitationstheorie
auf Kometenbahnen an. Er erkennt,
dass auch die Fixsterne ihre Lage
zueinander langsam ändern (1718).
Quecksilberthermometer, Verbesserung der Taucherglocke.
Herschel,
Friedrich
Wilhelm
(*1738 in Hannover, 1822 in
Slough bei Windsor) entdeckt den
Planeten Uranus. Er erkennt, dass
Doppelsterne einander umkreisende Sonnen sind und sich unser
Sonnensystem relativ zu den Fixsternen bewegt (1782). Entdeckung
infraroter Strahlen im Sonnenlicht
(1800).
41
1838
Bessel, Friedrich Wilhelm (*1784 in
Minden, 1846 in Königsberg): Erste
Entfernungsbestimmung eines Fixsterns mit der Parallaxenmethode.
1846
Le Verrier, Urbain Jean Joseph
(*1818, 1877) und Adams, John
Couch, berechnen aus den Störungen der Uranusbahn die Position eines weiteren Planeten (Neptun), der
nach Le Verrier’s Angaben von Johann Gottfried Galle, einem Assistenten an der Berliner Sternwarte,
entdeckt wird.
1905
Einstein, Albert (*1879 in Ulm,
1955 in Princeton, USA), spezielle
Relativitätstheorie
1915
Einstein, allgemeine Relativitätstheorie (Theorie der Gravitation)
1929
Hubble, Edwin (*1889 Marshfield
(USA), 1953 San Marino (USA)),
Rotverschiebung des Lichtes entfernter Galaxien, damit Ausdehnung des Universums.
1948
Gamow, Edwin (*1904 Odes1968
Boulder
(USA)),
sa,
Urknalltheorie.
1965
Penzias, Arno (*1933) und Wilson, Robert (*1936) entdecken die
kosmische Hintergrundstrahlung.
2001
WMAP (Satellit) vermisst die Hintergrundstrahlung und bestätigt die
Urknalltheorie.
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Stellung der Erde im Sonnensystem
Die Bahn der Erde um die Sonne:
Die Erde ist angenähert eine Kugel mit dem Radius RE = 6380 km.
ε = 23◦ 26′ 21′′
θ ≈ 11◦
Die Erde umrundet die Sonne auf einer ungefähren Kreisbahn mit dem Radius rE = 1,5 ·
108 km.
Erdachse
Lot auf Bahnebene
Herbstbeginn
23.9.
ε
Wintersonnwende
22.12.
Die Rotationsachse der Erde bildet mit der Senkrechten auf die Bahnebene den Winkel ε =
23◦ 26′ 21′′ (Entstehung der Jahreszeiten).
θ
Aphel (2.7.)
Sonne
Perihel
(2.1.)
Der Mond umrundet die Erde auf einer ungefähren Kreisbahn mit dem Radius rM =
384 000 km, die Ebene der Mondbahn ist gegen
die Ebene der Erdbahn um den Winkel 5◦ 9′ geneigt (Entstehung von Sonnen-und Mondfinsternissen).
N
S
Sommersonnwende
22.6.
Frühlingsbeginn
21.3.
Perihel
Aphel
:
:
sonnennächster Punkt der Erdbahn
sonnenfernster Punkt der Erdbahn
Die Fixsterne sind viel weiter von uns entfernt
als die Planeten und sind selbstleuchtende
Himmelskörper wie unsere Sonne.
Die Planeten umrunden wie die Erde die Sonne.
Die Planeten und der Mond leuchten nicht selbst,
sondern sie reflektieren das Sonnenlicht.
Die Ellipse
Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die von
zwei festen Punkten S1 und S2 , den Brennpunkten, eine konstante Abstandssumme haben:
P
r1
r2
S1 P + S2 P = k = konstant
Symmetrie =⇒
S2
S1
S1 A = S2 B =⇒
k = S1 B + S2 B = S1 B + S1 A = 2a, also
S1 P + S2 P = 2a
a: große Halbachse, b: kleine Halbachse
d: lineare Exzentrizität
d
Exzentrizität: e =
=⇒ d = ea
a
b
r0
d
A
S1 M
B
S2
a
a
r0 = a − d = a(1 − e)
Für r1 = S1 P und r2 = S2 P gilt
a − d ≦ r1,2 ≦ a + d
S1 C + S2 C = 2a und S1 C = S2 C
a
a
b
=⇒
d
S1
d
M
S2
r0
S1 C = S2 C = a
Pythagoras: b2 = a2 − d2 = a2 − e2 d2 = a2 (1 − e2 )
b=a
p
1 − e2
Konstruktion von Punkten P der Ellipse:
S1 und S2 zeichnen, r1 mit
Für e = 0, d.h. b = a ist die Ellipse ein Kreis.
Gleichung der Ellipse:
Fläche der Ellipse:
x2
y2
+
=1
a2
b2
a − d ≦ r1 ≦ a + d
wählen, dann Kreis um S1 mit Radius r1 und
Kreis um S2 mit Radius r2 = 2a − r1 .
A = abπ
42
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Kepler und das Sonnensystem
Gestützt auf die Daten von Tycho Brahe fand
Kepler nach langwierigen Berechnungen seine
drei Gesetze für die Bewegung der Planeten um
die Sonne:
ra
rp
P
S d
A
a
1. Die Bahnen sind Ellipsen,in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Der Leitstrahl von der Sonne zum
Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).
P: Perihel (kleinste Entfernung von der Sonne)
A: Aphel (größte Entfernung von der Sonne)
rp = a − d = a(1 − e), ra = a + d = a(1 + e)
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen
der großen Halbachsen.
Der Flächensatz (2. Keplersches Gesetz):
t1
Für zwei Planeten mit den Umlaufzeiten T1 und
T2 und den großen Halbachsen a1 und a2 lautet
das 3.Keplersche Gesetz:
T12
a31
=
T22
a32
=⇒
t2
t4 − t3 = t2 − t1
T12
T22
=
=C
a31
a32
t3
A1 = A2
Einige Objekte im Sonnensystem
a
M
Name
e
AE
ME
P
Merkur
0,3871 0,2056
0,055
l
Venus
0,7233 0,0068
0,815
Erde
1,0000 0,0167
1,000
a
n
Mars
1,5237 0,0934
0,107
e
Jupiter
5,2026 0,0485
317,9
Saturn
9,5549 0,0555
95,2
t
e
Uranus
19,2184 0,0463
14,6
n
Neptun
30,1104 0,0090
17,2
Klein- Pluto
39,543 0,2490
0,0017
plaEris
67,695 0,441
0,0028
neten
Makemake
45,660 0,156
0,0010
Kome- Halley
17,94 0,967
ten
Hale-Bopp
187 0,99511
AsteCeres
2,7669 0,0767
0,00017
2,7701 0,2348
0,00004
roiden Pallas
——————————————–
Beispiel: Der Komet Halley
r
p
a2
3
· 17,943 AE3 = 76,0 a
T = C⊙ a = 1
AE3
rp = a(1 − e) = 0,592 AE
T2
=C
a3
Die große Halbachse der Erdbahn wird als
Längeneinheit in der Astronomie verwendet
(Astronomische Einheit oder astronomical unit):
1 AE = 1 au = 1,49597870 · 1011 m
Die Konstante C im 3. Keplergesetz findet man
aus den Daten eines umlaufenden Körpers. Für
die Sonne (Symbol: ⊙) als Zentralkörper folgt aus
den Daten der Erde
2
a2
−19 s
=
2,9746
·
10
m3
AE3
Für die Erde als Zentralkörper folgt aus den Daten der Mondbahn (aMond = 384400 km, TMond =
27,32166 d):
CErde = 1
A2
S
Dabei ist C für alle Körper, die sich um den gleichen Zentralkörper bewegen, konstant, d.h.für jeden umlaufenden Körper gilt
C⊙ = 1
t4
A1
2
s2
TMond
= 9,8105 · 10−14 3
3
aMond
m
ra = a(1 + e) = 35,29 AE
p
b = a 1 − e2 = 4,57 AE
Der Flächensatz bedeutet, dass die vom Leitstrahl in der Zeit ∆t überstrichene Fläche ∆A
proportional zu ∆t ist. Mit der Umlaufdauer T
und der Ellipsenfläche A = πab folgt
1
vp ∆trp
∆t
∆A
=
= 2
T
A
πab
2πb
2πab
=
vp =
rp T
(1 − e)T
T
∆t
=
∆A
πab
km
(im Perihel)
vp = 54,3
s
43
rp
P
b
∆A =
1
2 brp
S
b = vp ∆t
vp
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Äußere Planeten (H ist der Halleysche Komet):
Innere Planeten:
Halley
H
Sonne
M V
E
Mars
J
S U
0
Merksatz für die Reihenfolge der acht Planeten:
Mein Vater erklärt mir jeden
”
Sonntag unseren Nachthimmel.“
20
Pluto
N
40
60
Eris
80
100
r
AE
Zwischen Mars und Jupiter befindet sich der
Asteroidengürtel, eine Ansammlung von vielen
kleinen Himmelskörpern mit Durchmessern im
Meterbereich bis zu 960 km (Ceres).
Aufbau des Weltalls
Astronomische Längenmaße
Lichtgeschwindigkeit:
c = 299792458
1 Ls = c · 1 s ≈ 3,00 · 108 m
1 Lmin = c · 60 s ≈ 1,80 · 1010 m
1 Lh = c · 3600 s ≈ 1,08 · 1012 m
Lichtsekunde:
Lichtminute:
Lichtstunde:
m
m
≈ 3,00 · 108
s
s
Erde–Mond:
Erde–Sonne:
Eris–Sonne:
1 a = 365,25 d = 31557600 s
384400km = 1,28 Ls
1 AE = 499 Ls = 8,32 Lmin
67,7 AE = 563 Lmin = 9,38 Lh
Ein Lichtjahr (LJ, ly) ist die Strecke, die das Licht
in einem Jahr zurücklegt:
Erde, Sommer
r = 1 pc
Stern
1 LJ = 9,460730473 · 1015 m
a = 1 AE
a = 1 AE
1 Parsec (1 pc) ist die Entfernung, aus der 1 AE
unter dem Winkel 1′′ erscheint:
1 pc =
ϕ
sin ϕ =
1 AE
= 3,0857 · 1016 m = 3,2616 LJ
sin 1′′
a
r
=
1 AE
1 pc
Erde, Winter
Die uns nächsten Fixsterne sind Proxima Centauri (4,22 LJ) und Alpha Centauri (4,36 LJ).
Sterne
Eigenschaften unserer Sonne:
Sterne sind riesige Gasbälle, die aus den leichten
Elementen (im Periodensystem vor dem Eisen)
bestehen. Der hohe Gravitationsdruck im Inneren
der Sterne bewirkt so hohe Temperaturen, dass
Kernfusion einsetzt. Die Fusion ist die Quelle der
gewaltigen Energiemengen, die von den Sternen
abgestrahlt werden. Die Strahlungsleistung L eines Sterns nennt man auch seine Leuchtkraft.
Die Lebensdauer eines Sterns reicht von einigen Millionen Jahren bei sehr schweren Sternen
(blauen Riesen) bis zu vielen Milliarden Jahren
bei leichten Sternen wie unserer Sonne. Je nach
Masse ist der Endzustand eines Sterns ein weißer Zwerg, ein Neutronenstern oder ein schwarzes
Loch.
M⊙
R⊙
L⊙
1,9891 · 1030 kg
696 000 km
3,84 · 1026 W
p⊙,Zentrum
T⊙,Zentrum
T⊙,Oberfläche
3 · 1016 Pa
1,5 · 107 K
5780 K
Weißer Zwerg: Keine Kernfusion mehr, langsames Ausglühen
Neutronenstern: Ungeheuere Dichte (ungefähr
1,5 Sonnenmassen bei 20 km Radius)
44
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der Übergang eines schweren Sterns in seinen
Endzustand ist eine dramatische Supernova. Die
dabei frei werdende Energie führt zur Fusion der
schweren Elemente, die in den Raum geschleudert
werden. Aus diesen Gasen bilden sich neue Sterne und, da die schweren Elemente jetzt vorhanden
sind, auch Planeten wie die Erde.
Schwarzes Loch: Ist der Radius eines Himmelskörpers der Masse M kleiner als der zu M
proportionale Schwarzschildradius RS , dann kollabiert die ganze Masse auf Punktgröße (Singularität). Eine gedachte Kugelfläche um die Singularität mit Radius RS heißt Ereignishorizont
(Grenze des schwarzen Lochs). Nichts, nicht einmal Licht, kann das Innere des Ereignishorizonts
verlassen. Der Schwarzschildradius einer Sonnenmasse ist ungefähr 3 km.
Alle schweren Elemente im Kosmos sind
in Supernovaexplosionen entstanden!
Endstadien eines Sterns (Ma : Anfangsmasse, Me : Endmasse)
Ma / 0,08 M⊙
0,08 M⊙ / Ma / 10 M⊙
10 M⊙ / Ma / 40 M⊙
Ma ' 40 M⊙
Me / 0,08 M⊙
0,08 M⊙ / Me / 1,44 M⊙
1,44 M⊙ / Me / 3 M⊙
Me ' 3 M⊙
brauner Zwerg
weißer Zwerg
Neutronenstern
schwarzes Loch
Unsere Milchstraße (Galaxis)
Die Sterne sind nicht gleichmäßig über das ganze All verteilt, sondern sie konzentrieren sich in
Galaxien (Sternsystemen). Unsere Galaxis besteht aus ca. 4 · 1011 Sternen, deren Masse ungefähr 1,75 · 1011 M⊙ beträgt. Die Sterne der Galaxis konzentrieren sich auf eine dünne Scheibe mit verdicktem Kern. Der Kern ist ein riesiger Sternhaufen mit einigen 1010 M⊙ , in dem die
Abstände zwischen den Sternen sehr klein sind
(einige Lichtwochen). Ganz im Zentrum der Galaxis befindet sich ein riesiges schwarzes Loch der
Masse M ≈ 2,5 · 106 M⊙ . Von oben gesehen ist
die Scheibe in Spiralarme aufgeteilt. Die Scheibe ist von einem kugelsymmetrischen Halo umgeben, der hauptsächlich aus Kugelhaufen besteht.
Die Masse des sichtbaren Teils des Halos ist ca.
1 · 1010 M⊙ . Die Umlaufgeschwindigkeit unserer
Sonne um das galaktische Zentrum ist
Halo
Sonne
26 000 LJ
≈ 15 000 LJ
≈ 100 000 LJ
≈ 160 000 LJ
Spiralstruktur der Galaxis:
km
v⊙ ≈ 220
s
Aus dieser Umlaufgeschwindigkeit und den Umlaufzeiten von zwei Zwerggalaxien (Magellansche
Wolken) um unsere Galaxis folgt, dass die Galaxis viel mehr Masse als die der sichtbaren Sterne
enthalten muss (dunkle Materie).
Ungefähr die Hälfte aller Sterne bildet ein
Doppel- oder Mehrfachsystem, d.h. zwei oder
mehr Sterne umrunden ihren gemeinsamen
Schwerpunkt.
Die meisten Einfachsterne besitzen Planeten, in
Mehrfachsystemen sind Planetenbahnen oft chaotisch und die Planeten können aus dem System
geschleudert werden.
S
45
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Kosmologie
Die Kosmologie ist die Lehre vom Aufbau und der
Entwicklung des gesamten Universums.
Die Andromeda-Galaxie (M31) ist das unserer
Milchstraße am nächsten stehende größere Sternsystem (≈ 1 · 1011 M⊙ ). Mit einigen kleineren
Galaxien bilden die Milchstraße und M31 ein
gravitativ gebundenes System, die lokale Gruppe. Der nächste größere Galaxienhaufen ist der
rund 70 MLJ entfernte Virgohaufen, der ca. 2500
Galaxien enthält. Die Galaxienhaufen in einem
kugelförmigen Gebiet um den Virgohaufen mit
einem Radius von ungefähr 80 MLJ bilden den
Virgo-Superhaufen. Die Haufen und Superhaufen
bilden eine netzartige Struktur, die von fast galaxienfreien Blasen durchsetzt ist. Damit sind wir
bei den größten Strukturen des Universums angelangt.
Die Gesamtzahl der Galaxien im sichtbaren Universum ist ≈ 1011 , der Beitrag der hellen Sterne zur Masse des sichtbaren Universums ist dann
≈ 1022 M⊙ ≈ 1052 kg, die Gesamtmasse des beobachtbaren Weltalls liegt bei ungefähr 1054 kg. Die
baryonische Materie, bestehend aus Quarks und
Leptonen (siehe S. 4 und S. 27), d.h. alle Sterne,
Planeten, schwarzen Löcher und das interstellare
Gas, machen nur ungefähr 5 % der Gesamtmasse
des Universums aus. Weitere 25 % bestehen aus
dunkler Materie, von der man noch nicht weiß,
aus was sie genau besteht und die restlichen 70 %
sind die noch mysteriösere dunkle Energie.
Die Spektrallinien des Lichtes einer von uns wegbewegten Quelle sind verschoben (Rotverschiebung). Bei der Untersuchung des Lichtes ferner
Galaxien entdeckten Georges Lemaı̂tre (1927)
und Edwin Hubble (1929) eine Rotverschiebung
der Spektrallinien, d.h. die Galaxien bewegen sich
von uns weg. Die Geschwindigkeit v, mit der sich
die Galaxien von uns entfernen, ist proportional
zur Entfernung D der Galaxien (Hubblegesetz):
M32
M31
M33
2,2 MLJ
Sculptor
Fornax
Ursa minor
Draco
Milchstraße
Leo II
Magellansche
Leo I
Wolken
70 MLJ
lokale Gruppe
Virgohaufen
Ausdehnung des Weltalls:
a1
b1
a2
v = H0 D
b2
früher
km
mit der Hubblekonstanten H0 = 73 s·MPc
.
Aus dem Hubblegesetz und einer genauen Vermessung der Hintergrundstrahlung durch Satelliten (COBE (1989–1993), WMAP (2001–2009))
folgt:
später
Die Hintergrundstrahlung
Bis ca. 300000 a nach dem Urknall war das Universum so heiß, dass die Materie ionisiert war. Ionisierte Gase sind undurchsichtig. Ab ca. 300000 a
nach dem Urknall wurde das Universum für Licht
durchlässig. Dieses Licht ist heute noch vorhanden und trifft uns aus allen Richtungen (kosmische Hintergrundstrahlung, entdeckt von Penzias und Wilson, 1965). Allerdings ist die Wellenlänge dieser Strahlung wegen der Expansion
des Universums jetzt viel größer als damals (Mikrowellen).
9
Vor 13,7 · 10 a entstand unser Universum aus einer punktförmigen Region
(Urknall). Seit dem Urknall dehnt sich
das Universum aus (Expansion).
46
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Newtonsche Mechanik
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Bewegungsgleichung
Näherungen
Die Steigung dieser Sehne ist
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
x
Ist der Ort x eines Körpers als Funktion der Zeit
gegeben (x(t)), dann gilt für die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t (siehe S. 38)
Die
Steigung
dieser
Sehne ist
∆t
x t + 2 − x t − ∆t
2
∆t
x(t + ∆t) − x(t)
v(t) = lim
∆t→0
∆t
Die Steigung dieser Tangente ist
v(t)
v(t) ist die Steigung der Tangente an den Grafen
von x(t) im Punkt (t|x(t)).
Näherungsweise gilt also für ein kleines ∆t (umso
genauer, je kleiner ∆t ist):
t−
x(t + ∆t) − x(t)
v(t) ≈
∆t
(einseitiger Differenzenquotient)
x(t) = 1
v(t + ∆t) − v(t)
∆t→0
∆t
mit
m
·t
s
1,21 m − 1 m
m
= 2,1
0,1 s
s
v
v
exakt:
∆x
Näherung:
∆x
v(t)
v(t2 )
v(t1 )
t1
t1 + t2
2
∆t
t2
t
Wegdifferenz gleich Fläche
unter dem tv-Diagramm.
t1
t
∆t
t2
t
v
∆v ≈ a(t)∆t
∆x
Für größere Intervalle [ T1 , T2 ] zerlegt man in n
Teilintervalle der Breite
∆t =
v(t) = 2
m
1,1025 m − 0,9025 m
= 2,0
0,1 s
s
v(1 s) ≈
Umgekehrt berechnet man näherungsweise bei
bekanntem v(t) die Wegdifferenz ∆x im kleinen
Zeitintervall ∆t = t2 − t1 :
Analog:
t
Mit zweiseitigem Differenzenquotienten:
der Momentanbeschleunigung für kleine ∆t die
Näherungsformel
v t + ∆t
− v t − ∆t
2
2
a(t) ≈
∆t
t=
m 2
·t
s2
v(1 s) ≈
a(t) = lim
mit
t + ∆t
und den Werten t = 1 s und ∆t = 0,1 s.
Exakt gilt v(1 s) = 2 ms .
Mit einseitigem Differenzenquotienten:
Analog folgt aus der Definition
∆x ≈ v(t)∆t
∆t
2
Wir testen die Näherungsformeln für
− x t − ∆t
2
v(t) ≈
∆t
(zweiseitiger Differenzenquotient)
∆t
2
t+
t
∆t
Eine viel bessere Näherung ist
x t+
∆t
2
∆t
2
∆t
2
T2
T1
T2 − T1
n
v
v(t)
Mittelpunkte der Zeitintervalle:
t1 = T 1 +
∆t
, t2 = t1 + ∆t , t3 = t2 + ∆t , ...
2
∆x4
v(t1 )
∆t
∆x ≈ ∆t · [v(t1 ) + v(t2 ) + ... + v(tn )]
(Mid-Point-Rule)
t1
T1
47
t2
t3
t4
tn
t
T2
t
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Bewegungsgleichung
Ein Spezialfall der Bewegungsgleichung ist:
Newtonsche Gesetze (siehe S. 7 und S. 8):
Wirkt auf einen Körper der Masse die
Gesamtkraft null, dann ist auch seine
Beschleunigung gleich null, d.h. er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
(Trägheitssatz)
Bewegt sich ein Körper der Masse
m mit der Beschleunigung a(t), dann
wirkt auf ihn die Kraft
F (t) = m · a(t)
F
Für eine konstante Kraft F ist auch a = m
konstant, d.h. wir haben eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung, deren Beschreibung wir
schon kennen (siehe S. 38).
Das bekannteste Beispiel für eine Bewegung unter
dem Einfluss einer konstanten Kraft ist der freie
Fall in der Nähe der Erdoberfläche (siehe S. 39).
Umgekehrt gilt die Bewegungsgleichung:
Wirkt auf einen Körper der Masse m
die Gesamtkraft F (t), dann erhält er
die Beschleunigung
a(t) =
F (t)
m
Numerische Lösung der Bewegungsgleichung (Halbschrittverfahren)
v
Die Kraft F auf einen Körper der Masse m kann
von seinem Ort x, von seiner Geschwindigkeit v
und von der Zeit t abhängen:
∗
∗
vn
= vn + an
vn
F = F (x, v, t)
Eine Grundaufgabe der Mechanik ist es, bei
Kenntnis der Funktion F (x, v, t) und den Anfangsbedingungen x(t0 ) = x0 und v(t0 ) = v0 den
Ort x(t) und die Geschwindigkeit v(t) für ein beliebiges t zu berechnen. Ist F (x, v, t) nicht konstant, dann fehlen uns die mathematischen Mittel
für eine analytische Lösung der Bewegungsgleichung. Wir können aber unter Ausnutzung der
Ergebnisse von S. 47 x(t) und v(t) mit beliebiger
Genauigkeit näherungsweise berechnen (numerische Lösung).
Zuerst wählt man eine kleine Zeitspanne ∆t
(Schrittweite). Um jetzt aus x0 = x(t0 ) und
v0 = v(t0 ) die Werte x1 = x(t1 ) und v1 = v(t1 )
mit t1 = t0 + ∆t mit der Mid-Point-Rule zu ermitteln, berechnet man zuerst die Zwischenwerte
v0∗ = v0 + a0
und
an der Stelle
berechnet man
= t0 +
a∗0 =
a∗
n
x∗
n = xn + vn
t∗
n
tn
t∗n
vn∗
Mit diesen Werten
x∗n
F (x∗0 , v0∗ , t∗0 )
m
und x1 = x0 +
t
∗
xn+1 = xn + vn
∆t
∆t
2
tn+1
F (xn , vn , tn )
m
∆t
= tn +
2
∆t
= vn + an
2
∆t
= xn + vn
2
F (x∗n , vn∗ , t∗n )
=
m
= vn + a∗n ∆t
an =
a∗n
vn+1
a∗0 ∆t
tn+1
t
Berechnung von vn+1 und xn+1 aus vn und xn :
und damit
v1 = v0 +
an
xn
F (x0 , v0 , t0 ) ∆t
∆t
= v0 +
·
2
m
2
∆t
2 .
t∗
n
x
∆t
x∗0 = x0 + v0
2
t∗0
tn
vn+1 = vn + an ∆t
∆t
2
xn+1 = xn + vn∗ ∆t
v0∗ ∆t
48
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die harmonische Schwingung
Wirkt auf einen Körper der Masse m die ortsabhängige Kraft F = −D · x, dann lautet die
Bewegungsgleichung:
F =0
v0
0
F (x) = ma(t) = −D · x(t)
x
F <0
(Schwingungsgleichung)
x>0
0
Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung
ist
x(t) = A sin(ωt + ϕ)
x<0
und
0
x
——————————————–
v(t) = v0 cos(ωt + ϕ)
Numerische Lösung der Schwingungsgleichung
N
für m = 0,81 kg, D = 2,0 m
, x(0) = 0 und v(0) =
m
v0 = 1,0 s mit der Schrittweite ∆t = 0,1 s.
mit der Amplitude A, der Phase ϕ und der Kreisfrequenz
r
D
ω=
m
x
m
0,6
A=
v0
= 0,64 m
ω
6
7
0,4
ω
1
f=
=
2π
2π
r
0,2
D
m
0
r
0,8
0,6
0,4
0,2
0
−0,2
−0,4
−0,6
−0,8
−1,0
D
m
D
m
v(t)2 + x(t)2 = v02 = A2
2
2
2
2
v0 = A
D
= Aω
m
5
8t
s
1
2
3
4
5
6
7
8t
s
Die Schwingungsdauer ist T = 4,0 s. Für x(t)
passt am besten x(t) = A sin ωt, wobei T die Periode ist. Es gilt also ωT = 2π oder
v(t) = Aω cos(ωt + ϕ)
Die maximale Geschwindigkeit v0 erreicht der
schwingende Körper beim Durchgang durch den
Nullpunkt.
h ϕ i
x(t) = A sin(ωt + ϕ) = A sin ω t +
ω
ω=
2π
1
= 1,57
T
s
oder ω 2 = 2,47
1
s2
D
= 2,47 s12
=⇒ ω 2 =
Andererseits ist m
——————————————–
x
Der Phase ϕ entspricht also eine Verschiebung der
Funktion sin ωt um tA = − ωϕ auf der t-Achse.
x(t) = A sin(ωt + ϕ)
A
tA
Beispiel:
x(t) = A sin
4
v
m
s
m
D
Die Gesamtenergie der Schwingung ist
=⇒
3
−0,6
1
s
(Schwingungsdauer)
r
2
−0,4
Einheit der Frequenz: 1 Hz = 1 Hertz = 1
W =
1
−0,2
(Frequenz)
2π
1
= 2π
T = =
f
ω
x
F >0
t
π
π
t−
4s
2
−A
ist die um tA = 2 s nach rechts verschobene
Funktion A sin 4πs t mit der Schwingungsdauer
T = 8 s und der Frequenz f = 0,125 Hz.
49
T
D
m.
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Federpendel im Gravitationsfeld
An einer Feder der Härte D hängt eine Masse
m. In der Ruhelage wird die Feder durch die Gewichtskraft Fg = mg um x0 gedehnt:
mg = Dx0
=⇒
x0 =
mg
D
−x0
F0
0
Lenkt man die Masse um x aus ihrer Ruhelage
aus, ist die Feder um ∆x = x+ x0 gedehnt. Dabei
wirkt auf die Masse die Federkraft
m
FD
mg
mg
x + x0
F
FD = −D(x + x0 ) = −Dx − Dx0 = −Dx − mg
x
m
Die Gesamtkraft auf die Masse ist dann
mg
F = FD + mg = −Dx
x
Das Fadenpendel
Eine Masse m hängt an einem Faden der Länge
L. Bei einer Auslenkung um den Winkel ϕ aus
der Ruhelage wirkt auf m in Bewegungsrichtung
die beschleunigende Kraft (negativ, da bei Auslenkung nach rechts nach links gerichtet)
F = −mg sin ϕ = −
ϕ
ϕ
sin ϕ
δrel
20◦
0,349
0,342
−2,1%
14◦
0,2443
0,2419
−1,0%
ϕ
L
L−h
mg
·x
L
2◦
0,03491
0,03490
−0,02%
1◦
0,01745
0,01745
−0,005%
x
h
F
ϕ
Für ϕ < 14◦ ist der relative Fehler, wenn man
sin ϕ durch ϕ ersetzt, kleiner als 1%. Für kleine
Auslenkungen gilt also
sin ϕ ≈ ϕ
F ≈ −mgϕ = −
ϕ
mg
· b = −Db
L
Beispiel: Welche Länge hat ein Pendel an der Erdoberfläche, dessen Schwingungsdauer eine Sekunde beträgt (Sekundenpendel)?
s
T 2g
L
= 24,8 cm
= T =⇒ L =
2π
g
4π 2
mg
L
Dabei ist b die Bogenlänge, d.h. der tatsächlich
vom Pendel zurückgelegte Weg. Die Masse m
führt also um ihre Ruhelage eine harmonische
Schwingung mit der Schwingungsdauer
s
r
m
L
2π
= 2π
= 2π
T =
ω
D
g
D=
L ist dabei die Strecke vom Aufhängepunkt bis
zum Schwerpunkt der Masse m.
Ist v0 die Geschwindigkeit des Pendelkörpers im
tiefsten Punkt, dann folgt aus dem Energiesatz
m 2
v = mghmax
2 0
aus.
ϕ(t) = ϕmax sin ωt
ω=
r
mg
=⇒
mit
mit
m
b
D
m 2
v0 = b2max
2
2
g
L
=⇒
ϕmax =
50
=⇒
hmax =
bmax = v0
bmax
v0
=
L
Lω
r
v02
2g
v0
m
=
D
ω
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die gleichförmige Kreisbewegung
P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
∆ϕ
ω=
=⇒ ϕ = ωt
∆t
auf einer Kreisbahn mit Radius r. Die Einheit von
ω ist 1s , wird aber nicht mit Hertz bezeichnet.
Wählt man für ∆t die Umlaufdauer T , dann ist
y
~
v
ϕ
ψ
y(t)
P
~
r (t)
r
t=0
ϕ
◦
∆ϕ = 360 = 2π = ωT
O
x(t)
x
oder
T =
2π
ω
Betrag der Geschwindigkeit:
2rπ
= ωr
T
x(t)
r cos ωt
~r(t) =
=
y(t)
r sin ωt
v=
Der Geschwindigkeitsvektor ~v (t) dreht sich einmal in der Zeit T um 360◦ , seine Spitze beschreibt
einen Kreis der Länge“ 2πv:
”
Der Geschwindigkeitsvektor ~v (t) ist tangential
zur Bahn, d.h. er steht senkrecht auf ~r(t):
−rω sin ωt
~v (t) =
rω cos ωt
~
a(0)
~
v (0)
Die Beschleunigung ~a(t) berechnet sich genauso
aus ~v (t), wie sich ~v (t) aus ~r(t) berechnet:
~v (t)
,
~a(t) = lim
∆t→0 ∆t
t=0
~
v
~r(t)
~v (t) = lim
∆t→0 ∆t
~
a
T
4
T
4
~
v (t)
~
a(t)
Daher gilt für den Betrag der Beschleunigung
(siehe Abb. rechts)
a=
2πv
v2
= ωv =
= ω2r
T
r
~
a(t)
~
v (t)
und ~a(t) steht senkrecht auf ~v (t). ~a(t) zeigt also
von P zum Kreismittelpunkt.
−rω 2 cos ωt
˙
~a(t) = ~v (t) =
= −ω 2~r
−rω 2 sin ωt
~
r (t)
~a heißt Zentripetalbeschleunigung.
Durchläuft ein Körper der Masse m eine Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω,
dann wirkt auf ihn die Zentripetalkraft
~
v (t)
F~Z = m~a = −mω 2~r
~
r (t)
mit dem Betrag
FZ = mω 2 r =
mv 2
r
51
~
a(t)
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Bezugssysteme
Galileitransformation
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem
der Trägheitssatz gilt (siehe S.48).
Das Inertialsystem S′ bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v relativ zum Inertialsystem S. Zur Zeit t = 0 sind die Ursprünge beider
Systeme am gleichen Ort.
vt
O
O
x′
K
′
ξ
u, u′
x′
x
x
∆x
∆t
∆x′
Geschwindigkeit des Körpers K in S′ : u′ =
∆t
t2 = t1 + ∆t =⇒
∆x − v∆t
∆x
∆x′
=
=
−v =u−v
∆t
∆t
∆t
∆x′ = x′ (t2 ) − x′ (t1 ) =
∆u′
u′ (t2 ) − u′ (t1 )
=
=
∆t
∆t
u(t2 ) − v − (u(t1 ) − v)
=
=
∆t
u(t2 ) − u(t1 )
=a
=
∆t
a′ =
u′ = u − v ,
v
Geschwindigkeit des Körpers K in S: u =
(Galileitransformation)
x′ = x − vt ,
S′
S
x′ = x − vt
u′ =
y′
y
= x(t2 ) − vt2 − (x(t1 ) − vt1 ) =
= x(t2 ) − x(t1 ) − v(t2 − t1 )
= ∆x − v∆t
a′ = a
Trägheitskräfte
S′ bewegt sich mit der konstanten Beschleunigung
b relativ zu S, K bewegt sich mit der Beschleunigung a in S und mit a′ in S′ :
y′
y
S′
S
ξ=
b 2
2t
O
b
a′
b + a′ 2
a
t
x = t2 = ξ + x′ = t2 + t2 =
2
2
2
2
=⇒
a = b + a′
O
v
ξ
x
x′ =
oder a′ = a − b
In S wirkt auf den Körper K mit der Masse m
also die Kraft F = ma, in S′ verspürt K dagegen
die Kraft
x′
K
′
u, u′
x′
x
a′ 2
2 t
In diesem Beispiel sei g = −10 sm2 (x-Achse zeigt
nach oben). Eine Person der Masse m = 70 kg
verspürt in einem Aufzug, der mit konstanter Geschwindigkeit nach oben fährt, die Gewichtskraft
FG = mg = −700 N.
Beschleunigt der Aufzug mit b1 = 2 sm2 nach oben,
verspürt die Person die Kraft
F ′ = ma′ = m(a − b) = F − mb
Die angestellten Überlegungen gelten auch vektoriell:
In einem System S′ , das sich relativ zu
einem Inertialsystem mit der Beschleunigung ~b bewegt, wirkt auf einen Körper der
Masse m die Gesamtkraft
Beschleunigt der Aufzug mit b2 = −2 sm2 nach unten, verspürt die Person die Kraft
F~ ′ = F~ + F~T = F~ − m ~b
F = mg − mb2 = m(g − b2 ) = −560 N.
F = mg − mb1 = m(g − b1 ) = −840 N.
wobei F~ die Wechselwirkungskraft und
F~T = −m ~b
die Trägheitskraft ist.
52
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Eine Masse m beschreibt in einem Inertialsystem S eine Kreisbahn (Radius r, Mittelpunkt O)
mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Die Beschleunigung der Masse in S ist die Zentripetalbeschleunigung aZ = −ω 2~r. In einem ebenfalls mit
ω um O rotierenden System S′ ruht die Masse m,
verspürt aber die nach außen wirkende Trägheitskraft (Zentrifugalkraft)
m
~T
F
~
r
~Z
F
O
FT = −maZ = mω 2~r
(Zentrifugalkraft)
Zentripetalkraft
:
Zentrifugalkraft
:
Kraft im Inertialsystem,
die den Körper auf die
Kreisbahn zwingt.
Trägheitskraft im
rotierenden System,
in dem der Körper ruht.
Wurfbewegungen
Ein Körper K (Masse m) startet zur Zeit null am
Ort (0|h) mit der Anfangsgeschwindigkeit
v
~v (0) = ~v0 = x0
vy0
y
ymax
q
2 + v2
v0 = vx0
y0
vx0 = v0 · cos ϕ,
x1
(konstant)
vy (t1 ) = vy0 − gt1 = 0
t1 =
vy (t) = vy0 − gt
g
y(t) = h + vy0 t − t2
2
x
vx0
=⇒
v0 sin ϕ
= 0,95 s
g
x1 = vx0 t1 = 10,6 m
g
y1 = y(t1 ) = h + v0 t1 sin ϕ − t21 = 6,43 m
2
=⇒ H( 10,6 m | 6,43 m )
=⇒
Wurfweite:
g
y = h + vy0 t − t2 =
2
vy0 x g x2
− · 2
=h+
vx0
2 vx0
y=−
x
Höchster Punkt H:
Die Beschleunigung in y-Richtung ist −g:
t=
w
Beispiel: Ein Kugelstoßer stößt die Kugel in der
Höhe h = 2,00 m mit der Geschwindigkeit v0 =
14,5 ms unter dem Winkel ϕ = 40,0◦ gegen die
Horizontale ab.
x(t) = vx0 t
=⇒
ymax
vy0 = v0 · sin ϕ
K erfährt also in x-Richtung keine Beschleunigung, d.h.
x = vx0 t
vy0
ϕ
vx0
h
K unterliegt nur der Gravitationskraft
0
FG =
−mg
vx (t) = vx0
~
v0
g
y(t2 ) = h + vy0 t − t2 = 0 =⇒
2
q
1
+
2 + 2gh = 2,09 s
t2 =
vy0
vy0 (−)
g
g
vy0
2
·x+h
2 ·x + v
2vx0
x0
x2 = vx0 t2 = 23,3 m
Die Bahnkurve ist also eine Parabel.
53
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der Impulssatz
Definition des Impulses:
Rakete:
Eine Rakete der Masse M + m stößt Treibgase
der Masse m aus. Die Geschwindigkeit der Gase
relativ zur Rakete nach dem Ausstoß ist −u, die
Geschwindigkeitsänderung der Rakete ist ∆v:
p~ = m~v
Ein System aus n Körpern heißt abgeschlossen,
wenn die Körper zwar untereinander, aber mit
keinen anderen Körpern in Wechselwirkung stehen.
Aus der Definition der Masse (siehe S.7) folgt:
(M + m)v = m(v + ∆v − u) + M (v + ∆v)
0 = m∆v − mu + M ∆v
mu
∆v =
m+M
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen
Systems ist konstant:
——————————————–
p~ges = p~1 + ... + ~
pn = konst.
Beispiel eines zentralen, unelastischen Stoßes:
Eine Kugel der Masse m = 30 g schlägt mit der
Geschwindigkeit v = 340 ms in einen ruhenden
Sandsack der Masse M = 2,01 kg und bleibt in
ihm stecken. u ist die Geschwindigkeit KugelSandsack nach dem Einschlag:
(Impulssatz)
Andere Formulierung:
p~ges,vorher = p~ges,nachher
mv = (m + M )u =⇒
0,03 · 340 m
m
mv
=
= 5,00
u=
m+M
2,04
s
s
Total inelastischer Stoß
m2
Zwei Körper mit den
Massen m1 und m2
~
v2
und den Geschwin- m
1
digkeiten ~v1 und ~v2
u
~
stoßen
zusammen
~
v1
m
und bilden einen Verbundkörper mit der Masse m = m1 + m2 und der
Geschwindigkeit ~u:
Vorsicht! Diese Aufgabe ist nicht mit dem Energiesatz lösbar, da die kinetische Energie nicht erhalten bleibt:
Wk,nachher
m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~u
Die Differenz ∆W = Wk,vorher − Wk,nachher steckt
in der inneren Energie (Wärme, Verformung).
——————————————–
Zentraler elastischer Stoß
Zwei Körper mit den Massen m1 und m2 und den
Geschwindigkeiten v1 und v2 stoßen zentral (alle
Geschwindigkeiten, vor- und nachher, sind parallel) und elastisch (die gesamte kinetische Energie
vorher ist gleich der gesamten kinetischen nachher) zusammen:
m1
vorher:
m1
nachher:
u1
Beispiel eines zentralen, elastischen Stoßes:
Eine Stahlkugel der Masse m1 = m trifft mit der
Geschwindigkeit v1 = v elastisch auf eine ruhende
Kugel der Masse m2 = 2m:
Energiesatz :
m2
v1
m 2
v = 1734 J
2
m+M 2
=
u = 25,5 J
2
Wk,vorher =
Impulssatz :
v2
m 2
m
2m 2
v = u21 +
u
2
2
2 2
mv = mu1 + 2mu2
u1 = v − 2u2 in Energiesatz:
m2
v 2 = (v − 2u2 )2 + 2u22
u2
0 = −4vu2 + 6u22 = 2u2 (−2v + 3u2 )
Energiesatz :
Impulssatz :
=⇒ u2 = 0 und u1 = v
(das ist die Situation vorher!)
2
1
oder u2 = v und u1 = − v
3
3
m1 2 m2 2
m1 2 m2 2
v +
v =
u +
u
2 1
2 2
2 1
2 2
m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2
54
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Gravitation
r
Das Gravitationsgesetz
F0
F0
n2 Atome
m1 = n1 m0
m2 = n2 m0
Kraft von einem Atom von m1 auf alle Atome von
m2 :
n2 F0
Kraft von allen Atomen von m1 auf alle Atome
von m2 :
F2 = n1 n2 F0 =
m1 m2 k
· f (r) = Gm1 m2 · f (r)
m20
mit der neuen Konstanten
v
F
G=
m2
k
m20
Newton 3 =⇒ F1 = F2 = F
——————————————–
Zusammenfassend ergibt sich:
Zwei punktförmige Massen m1 und m2 in
der Entfernung r ziehen sich mit der Kraft
m2 v 2
F = Gm1 m2 · f (r) =
r
v=
n1 Atome
Kraft von einem Atom von m1 auf ein Atom von
m2 :
F0
F = Gm1 m2 · f (r)
Mit
F2
F1
F0
F0
mit einer Konstanten k und einer Funktion f , die
beschreibt, wie die Kraft mit zunehmender Entfernung abnimmt.
Wie nebenstehend dargelegt, ist die Kraft F , mit
der sich zwei Massen m1 und m2 anziehen, proportional zu m1 und m2 :
Um die Abstandsfunktion f zu bestimmen, ber
trachten wir einen Planeten der Masse m2 , der
m1
um einen Stern der Masse m1 kreist. Die Zentripetalkraft, die den Planeten auf seine Kreisbahn
zwingt, ist gleich der Gravitationskraft F :
m2
m1
Zwei Körper mit den Massen m1 und m2 befinden
sich im Abstand r voneinander. Die Abmessungen
der beiden Körper seien so klein, dass jedes Atom
des einen Körpers von jedem Atom des anderen
Körpers in guter Näherung die gleiche Entfernung
r hat. Weiter nehmen wir der Einfachheit halber
an, dass beide Körper aus den gleichen Atomen
der Masse m0 bestehen. Die Kraft zwischen zwei
Atomen ist
F0 (r) = k · f (r)
FG = G ·
2πr
T
m1 m2
r2
an (Gravitationskraft).
folgt
(Gravitationsgesetz, Newton 1680)
4π 2 rm2
4π 2 r2 m2
=
F = Gm1 m2 · f (r) =
rT 2
T2
Die Gravitationskonstante G kann nicht aus der
Analyse von astronomischen Umlaufbahnen bestimmt werden, da die Massen der Zentralkörper
zunächst nicht bekannt sind. Vielmehr muss zur
Bestimmung von G die sehr kleine Kraft zwischen
zwei bekannten Massen, z.B. zwei Bleikugeln, gemessen werden. Dies gelang 1797 Henry Cavendish mit einer Drehwaage. Der heutige Wert der
Gravitationskonstanten ist
Aus dem Keplergesetz
T2
=C
r3
folgt dann
F = Gm1 m2 · f (r) =
4π 2 m2 1
· 2
C
r
G = 6,6742 · 10−11
Ein Vergleich der linken mit der rechten Gleichungsseite zeigt:
1
4π 2
f (r) = 2 und C =
r
Gm1
m3
kg s2
Eine praktischere Einheit von G ist
55
Nm2
.
kg2
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Gravitationsgesetz vektoriell
Masse M im Ursprung,
Masse m am Ort ~r.
~e ist ein Vektor, der in die
Richtung von ~r zeigt und
den Betrag 1 hat:
~e =
~r
r
mit
r = |~r|
Die Entfernung r zwischen zwei Körpern im
Gravitationsgesetz ist die Entfernung zwischen
den Schwerpunkten der beiden Körper. Bei radialsymmetrischen aufgebauten Körpern (Sterne,
Planeten) sind die Schwerpunkte in den Mittelpunkten der Kugeln.
m
y
~G
F
~
r
M
~
e
x
r
Die Gravitationskraft F~G von M auf m zeigt in
die Richtung von −~e:
——————————————–
Masse der Sonne aus Kepler und den Umlaufdaten der Erde:
Mm
GM m
F~G = G · 2 · (−~e) = − 3 · ~r
r
r
r = 1,5 · 1011 m, T = 1 a = 3,15 · 107 s
Das Gravitationsfeld
GM
4π 2 r3
r3
=
=⇒
M
=
= 2,0 · 1030 kg
T2
4π 2
GT 2
——————————————–
Im Ursprung O eines Koordinatensystems sitzt
die Masse M , am Ort ~r befinde sich eine Testmasse m. Der Quotient ~g (~r) aus F~G (~r) und m ist
eine von m unabhängige Größe und heißt Gravitationsfeldstärke der Masse M am Ort ~r:
~g (~r) =
Erdmasse aus g = 9,81 sm2 und R = 6,38 · 106 m:
g=
F~G (~r)
GM
= − 3 · ~r
m
r
M=
gR2
= 5,98 · 1024 kg
G
GM
r2
Wegen Newton 2 ist ~g(~r) nichts anderes als die
Beschleunigung, die eine Masse m aufgrund der
Schwerkraft am Ort ~r erhält:
——————————————–
Gravitationsfeld
eines
Planeten mit konstanter
Dichte ̺:
Gravitationsfeldstärke = Schwerebeschleunigung
Für r ≧ R ist M (r) gleich
der Gesamtmasse M des
Planeten.
Mit
Der Gauß’sche Satz
Für eine radialsymmetrische Massenverteilung
um O (die Dichte ̺ ist nur von r abhängig, d.h. ̺
hat auf einer Kugelfläche um O überall den gleichen Wert) gilt:
g(r) =
=⇒
Gravitationsfeld einer Punktmasse
mit dem Betrag
g=
GM
R2
̺=
Gm(r)
r2
M
~
r
m(r)
R
3M
4πR3
folgt daraus
m(r) = ̺ · V (r) =
m(r) ist die Masse innerhalb einer Kugel vom Radius r um O.
g(r) =
Das Gravitationsfeld einer radialsymmetrischen Massenverteilung der Gesamtmasse
M ist außerhalb der Masse gleich dem Feld
einer Punktmasse M im Zentrum der Verteilung.
g
Gm(r)
=

r2


 GM
r2
R
56
3M 4π 3
r3
·
r
=
M
·
4πR3 3
R3

GM


· r für r < R

 R3
für r ≧ R
r
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Relativistische Mechanik
Definitionen und Regeln
Beispiele
Das Brehmediagramm
Das Inertialsystem S′ bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v relativ zum Inertialsystem S, zur Zeit null sind die Ursprünge O und O′
am gleichen Ort. Ein Ereignis E hat in S die Koordinaten (x|t) und in S′ die Koordinaten (x′ |t)
mit
x′ = x − vt
Koordinatenfindung durch Projektion parallel zu
den Achsen. Um zwei verschiedene x-Koordinaten
eines Ereignisses darzustellen, braucht man also
zwei Zeitachsen (ct und ct′ ).
x′
x
Brehmediagramm der
Galileitransformation (BDG)
x
ct
(Galileitransformation, siehe S. 52). Man kann
(x|t) und (x′ |t) gleichzeitig in einem Zeit-RaumDiagramm darstellen. Statt der Zeitachse wählt
man eine ct-Achse (c ist die Lichtgeschwindigkeit), um auf allen Achsen die gleiche Einheit verwenden zu können. Nebenstehendes Diagramm
repräsentiert die Galileitransformation, wenn
ϕ
ϕ
2ct sin ϕ
E
ct′ = ct
x′
ct′
ct′
ϕ
ϕ
x′ = x − (2c sin ϕ) · t = x − v t
ct
ct
d.h. wenn
v
β = = 2 sin ϕ
c
Die Weltlinie eines Lichtsignals, das sich in S
mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet, ist im
Brehmediagramm parallel zur Winkelhalbierenden zwischen x- und ct-Achse.
Die Weltlinie eines Lichtsignals, das sich in S′ mit
c ausbreitet, ist im Brehmediagramm parallel zur
Winkelhalbierenden zwischen x- und ct′ -Achse.
Experimente zeigen, dass sich Licht in jedem Inertialsystem mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
x
v′ = c
∆x′
∆x
c∆t
α
x′
x
c∆t
c∆t
ct′
β
2ϕ
v=c
ct′
γ
δ 2ϕ
∆x′ = c ∆t
m
m
c = 299792458 ≈ 3,00 · 108
s
s
∆x = c ∆t
ct
c∆t
ct
Das relativistische Brehmediagramm:
ausbreitet.
Widerspruch zur Galileitransformation!
Im Brehmediagramm müsste die Weltlinie eines
Lichtsignals durch den Ursprung also gleichzeitig
Winkelhalbierende zwischen der x- und der ctAchse als auch zwischen der x- und der ct′ -Achse
sein. Das ist nur möglich, wenn zwei x-Achsen
verwendet werden. Aus dem Einsteinschen Relativitätsprinzip ( Die Gesetze der Physik haben in
”
allen Inertialsystemen die gleiche Form“) folgen
die genauen Eigenschaften des Diagramms (siehe
Relativitätsskript auf http://www.stbit.de).
x
x′
x1
E1
WLLicht
x′1
2ϕ γ
ct′
γ
2ϕ
ct′1
ct1 ct
x
x
x-Achse senkrecht auf der ct′ -Achse
x′ -Achse senkrecht auf der ct-Achse
β=
x′
x′
WLO′
ct′
2ϕ
v
= sin 2ϕ
c
2ϕ
x = vt = ct sin 2ϕ
ct
ct
Die ct′ -Achse ist Weltline des Ursprungs O′ von
S′ . Zur Zeit t ist O′ in S am Ort x = vt.
57
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Lorentztransformation
Nebenstehender Abbildung entnimmt man:
x = CF + FE = ct sin 2ϕ + x′ cos 2ϕ
x
x′
D
x
Mit
sin 2ϕ = β =
p
v
und cos 2ϕ = 1 − β 2
c
x′
folgt
Aus
x − vt
x′ = p
1 − β2
E
2ϕ
2ϕ
ct′
F
(1)
2ϕ
B
ct′
2ϕ
U
A
′
ct = UA + AC = ct cos 2ϕ + x sin 2ϕ
C
ct
folgt
ct
t − v2 x
t =p c
1 − β2
′
(2)
Beispiel: v = 0,6c, x = 6 Ls, t = 5 s
(1) und (2) sind die berühmten Gleichungen der
Lorentztransformation, die eine Verallgemeinerung der Galileitransformation darstellt.
Mit dem Lorentzfaktor
γ=p
Mit der Galileitransformation folgt
x′ = x − vt = 6 Ls − 3 Ls = 3 Ls,
Mit β =
1
1 − β2
t′ = t = 5 s
v
1
= 0,6 folgt γ =
= 1,25 und damit
c
0,8
x′ = γ(x − vt) = 1,25 · 3 Ls = 3,75 Ls
x
v =
t′ = γ t − 2 x = γ t − β
c
c
= 1,25 · (5 s − 0,6 · 6 s) = 1,75 s
stellt sich die Lorentztransformation übersichtlich
dar:
x′ = γ (x − βct)
Zum Zeichnen des Brehmediagramms berechnet
man tan ϕ:
ct′ = γ(ct − βx)
sin 2ϕ = 0,6
Entweder wie oben aus dem Diagramm ableiten
oder einfach nach x und t auflösen und man erhält
die Umkehrformeln:
=⇒
x
x = γ (x′ + βct′ )
ct = γ(ct′ + βx′ )
tan ϕ =
1
3
x′
6
E(6 Ls|5 s)S
Wie man leicht nachrechnet, gilt die Lorentztransformation auch für Koordinatendifferenzen
∆x = x2 − x1 und ∆t = t2 − t1 :
1
1
3
ct′
ϕ ϕ
∆x′ = γ (∆x − βc∆t)
c∆t′ = γ(c∆t − β∆x)
ϕ
ϕ
3
1
1
5
ct
58
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Zeitdilatation
Eine Uhr U′ (ruhend in S′ ) bewegt sich mit der
Geschwindigkeit v an zwei in S ruhenden Uhren U1 und U2 vorbei. Nebenstehender Abbildung
entnimmt man
x
x′
U’
E2
′
c · ∆t′ = c · ∆t · cos 2ϕ
Mit
cos 2ϕ =
E1
c∆t
U1
ct′2
′
ct′1
folgt die Formel der Zeitdilatation (Zeitdehnung):
ct′
c∆t
2ϕ
p
1 − β2
U2
2ϕ
c∆t
ct1
′
∆t = ∆t
p
1−
β2
∆t
=
γ
c∆t
ct2
ct
∆t′ nennt man auch die Eigenzeit der Uhr U′ .
Flug mit v = 0,99c zu einem 100 LJ entfernten
Stern:
Zwei wichtige Näherungen:
√
x
1+x≈1+
für |x| ≪ 1
2
100c a
= 101 a
0,99c
1
= 7,09
Lorentzfaktor : γ = p
1 − 0,992
∆t
Zeit im Raumschiff : ∆t′ =
= 14,2 a
γ
Zeit im System Erde :
1
≈ 1 − x für |x| ≪ 1
1+x
Für sehr kleine Geschwindigkeiten (v ≪ c) ist
β ≪ 1 und es gilt
∆t =
——————————————–
m
Eine Stunde Autofahrt mit v = 108 km
h = 30 s :
p
β2
1 − β2 ≈ 1 −
2
Zeit im System Erde :
und
1
β2
1
≈
≈
1
+
γ=p
2
2
1 − β2
1 − β2
Zeit Auto :
∆t = 3600 s
v
β = = 1,00 · 10−7
c p
′
∆t = ∆t 1 − β 2
Die Autouhr geht um δt nach:
h
i
p
δt = ∆t − ∆t′ = ∆t 1 − 1 − β 2 =
∆tβ 2
β2
=
= 1,8 · 10−11 s
≈ ∆t 1 − 1 −
2
2
Für Geschwindigkeiten sehr nahe an der Lichtgeschwindigkeit gilt
β = 1 − α mit α ≪ 1
p
p
p
1 − β 2 = 1 − (1 − α)2 = α(2 − α)
——————————————–
Ein Proton fliegt in der Eigenzeit ∆t′ = 1 h von
einer s = 100 000 LJ entfernten Supernova zur Erde. Die Geschwindigkeit des Protons ist sicher fast
Lichtgeschwindigkeit, also v = (1−α)c mit α ≪ 1
und ∆t ≈ sc = 105 a = 8,766 · 108 h. Aus
Aus α ≪ 1 folgt 2 − α ≈ 2 und damit
p
√
1 − β 2 ≈ 2α
∆t′ = ∆t
folgt
1
α=
2
p
√
1 − β 2 ≈ ∆t 2α
∆t′
∆t
2
= 6,5 · 10−19
β = 1 − α = 0,999 999 999 999 999 999 35
59
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Geschwindigkeitsaddition
Ein Körper K bewegt sich in S mit der Geschwindigkeit u und in S′ mit der Geschwindigkeit u′ ,
die Geschwindigkeit von S′ relativ zu S ist v. Aus
∆x′
′
u = ∆x
∆t und u = ∆t′ folgt mit der Lorentztransformation für Koordinatendifferenzen
u=
=
Beispiele:
γ (∆x′ + v ∆t′ )
∆x
=
=
∆t
γ (∆t′ + cv2 ∆x′ )
∆x′
∆t′ + v
′
1 + cv2 ∆x
∆t′
v⊕c=
v+c
=c
1 + vc2c
c⊕c=
c+c
2 = c
1 + cc2
0,8c ⊕ 0,6c =
1,4c
1+
u′ + v
=
′
1 + uc2v
35
c
37
=
0,48c2
c2
Einsteinaddition:
v1 ⊕ v2 =
v1 + v2
1 + v1c2v2
Der Dopplereffekt
Ein Sender S sendet im zeitlichen Abstand ∆ts
(gemessen in seinem Ruhsystem) Lichtsignale zu
einem Empfänger E, der sich mit der Geschwindigkeit v relativ zu S bewegt. Im Empfängersystem treffen die Lichtsignale im zeitlichen Abstand ∆te bei E ein. Gleichung der Weltlinie von
Signal 2❥in S:
xs
xe
1
Licht
4
Licht
c∆te
Die Gleichung des Empfängers lautet
c∆ts
Sender
c∆ts
E : x = vt
cts
2❥trifft E“:
xs
c t − c · ∆ts = v t
xe
1
Licht
oder nach Division durch c
2
Licht
t − ∆ts = β t
c∆te
∆ts
=
1−β
Empfänger
c∆ts
Sender
cts2
cts
Analog zeigt man für die Annäherung von Sender
und Empfänger:
oder endgültig für den Fall, dass sich S und E
voneinander entfernen:
∆te = ∆ts ·
cte2
2ϕ
Nebenstehender Abb. entnimmt man für die EKoordinate von E2
p
∆te = te2 = ts2 · cos 2ϕ = ts2 1 − β 2 =
s
p
1 − β2
(1 − β)(1 + β)
= ∆ts ·
= ∆ts ·
1−β
(1 − β)2
s
cte
E2
Auflösen nach t ergibt die S-Koordinate von E2
t = ts2
5
Licht
c∆te
Empfänger
E2
2❥: x = c t − c · ∆ts
”
3
Licht
cte
2ϕ
E2 =
2
Licht
∆te = ∆ts ·
1+β
1−β
60
s
1−β
1+β
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
Zusammenfassung (Dopplerformel):
∆te = ∆ts
s
(
1+β
mit
1−β
β>0
β<0
Ohne die Dopplerformel wäre die moderne Astronomie nicht denkbar, da alle Geschwindigkeiten
von entfernten Himmelskörpern mit dieser Methode gemessen werden. Sogar kleine Geschwindigkeitsschwankungen von Sternen können erfasst
werden, was zur Entdeckung extrasolarer Planeten führte.
Beispiel: Die rote Linie des Wasserstoffs hat im
Ruhsystem des Gases (im Vakuum) die Wellenlänge λs = 656,4696 nm. Die gleiche Linie
im Licht eines Sterns hat die Wellenlänge λe =
656,4762 nm.
s
1+β
λe
= 1,000010
=
k=
1−β
λs
(Entfernung)
(Annäherung)
Für die Frequenzen und Wellenlängen einer elektromagnetischen Welle, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, folgt aus der Doppler1
formel mit f = ∆t
und λ = fc :
s
fe = fs ·
und
λe = λs ·
s
1−β
1+β
1+β
= kλs
1−β
k2 − 1
= 0,000010
k2 + 1
Der Stern entfernt sich von der Erde mit
β=
mit dem Dopplerfaktor
k=
Entfernung:
Annäherung:
s
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
v = βc = 3,0 · 103
1+β
1−β
m
s
——————————————–
Für |β| ≪ 1 folgt wegen
fe < fs und λe > λs
Rotverschiebung
fe > fs und λe < λs
Blauverschiebung
k=
s
1
1−β
≈1+β
p
1+β
≈ (1 + β)2 = 1 + β
1−β
Energie
Ohne Herleitung, da mathematisch zu anspruchsvoll:
Ein Proton im LHC (Large Hadron Collider) hat
die Energie
Die Gesamtenergie eines Körpers der Masse m, der sich mit der Geschwindigkeit
v = βc bewegt, ist
W = 7,00 TeV = 1012 eV = 1,12 · 10−6 J
Die Ruhenergie des Protons ist
W = γmc2
W0 = mp c2 = 938 MeV = 1,5 · 10−10 J
mit dem Lorentzfaktor
γ=p
Der Lorentzfaktor des Protons ist
1
γ=
1 − β2
Für die Geschwindigkeit v = βc des Protons gilt
Die Energie eines ruhenden Körpers, seine Ruhenergie, ist
W0 = mc2
1
γ=p
1 − β2
r
1
1
1− 2 ≈1− 2 =
γ
2γ
= 1 − 9,0 · 10−9 = 0,999 999 9910
β=
Kinetische Energie:
Wkin = W − W0 = mc2 (γ − 1)
Mit dem Radius r = 2,81·103 m der kreisförmigen
Teile des LHC folgt für das Magnetfeld, das die
Protonen auf die Kreisbahn zwingt:
Relativistische Formel für die Zentripetalkraft:
Fz =
W
= 7,46 · 103
W0
γmv 2
r
γmp v 2
= evB
r
61
=⇒
B=
γmp v
= 8,3 T
er
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 10
Definitionen und Regeln
Beispiele
In der älteren Literatur und leider auch in der
Schulbuchliteratur wird die Masse eines ruhenden
Körpers mit m0 bezeichnet und heißt dann Ruhmasse, das Produkt m = γm0 wird relativistische
Masse genannt. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir die relativistische oder auch
dynamische Masse mit µ:
heute üblich
m (Masse)
µ = γm
(dynamische Masse)
Schulbuchliteratur
m0 (Ruhmasse)
m = γm0
(relativistische Masse)
Die Formel für die kinetische Energie eines
Körpers der Masse m erhält man nicht durch Ersetzen der Masse durch die relativistische Masse
in der newtonschen Formel:
m
µ = γm = p
1 − β2
µ 2
γβ 2 2
v =
mc 6= Wk = (γ − 1)mc2
2
2
Die newtonsche Formel für die Zentripetalkraft
geht zwar in die richtige relativstische Formel
über, wenn man die Masse durch die dynamische
Masse ersetzt, aber sonst führt der Einsatz der
relativistischen Masse in Formeln der newtonschen Mechanik meist zu falschen Ergebnissen.
Für β = 0,6 zum Beispiel ist
und Wk = 0,25 mc2 .
µ 2
2v
= 0,225 mc2
Die Masse ist eine invariante Größe, d.h.sie
hat in allen Inertialsystemen den gleichen
Wert.
Fazit: Der Begriff der dynamischen Masse hat in
der Physik keine Bedeutung, kann aber noch in
Abituraufgaben vorkommen.
Impuls
Der Impuls eines Teilchens der Masse m und der
Geschwindigkeit v = βc (bezogen auf ein Inertialsystem S) ist in der Relativitätstheorie definiert
durch
p = γmv = γβmc
Beispiel: Ein Teilchen der Masse m und der kinetischen Energie Wk = 6mc2 trifft auf ein ruhendes Teilchen der Masse m. Beim Stoß entsteht ein
Teilchen der Masse M und der kinetischen Energie Wk′ .
Man kann zeigen, dass mit dieser Definition der
Impulssatz gilt:
m
m
v
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen
Systems von Teilchen ist konstant.
M
v′
nachher
vorher
(γ − 1)mc2 = 6mc2 =⇒ γ = 7
r
4√
1
β = 1− 2 =
3
γ
7
Für ein Teilchen mit dem Impuls p = γβmc, der
Gesamtenergie W = γmc2 und der Ruhenergie
W0 = mc2 gilt die Energie-Impuls-Relation:
Energie und Impulssatz:
W 2 = W02 + p2 c2
γmc2 + mc2 = γ ′ M c2
γβmc = γ ′ β ′ M c
Beweis:
W02 + p2 c2 = m2 c4 + γ 2 β 2 m2 c4 =
= m2 c4 1 + γ 2 β 2 =
β2
2 4
=
=m c 1+
1 − β2
1 − β2 + β2
= m2 c4 ·
=
1 − β2
1
= m2 c4 ·
=
1 − β2
2
= γ 2 m2 c4 = γmc2 = W 2
− − − − −− − − − −
8m = γ ′ M
√
4 3m = γ ′ β ′ M
√
3
β =
2
′
=⇒
γ′ = 2
=⇒
M = 4m
Wk′ = (γ ′ − 1)M c2 = 4mc2
Oder mit der Energie-Impuls-Relation:
√
W ′ = W = 8mc2 , W0′ = M c2 , p′ = p = 4 3mc
64m2 c4 = W0′2 + 48m2 c4
62
=⇒
W0′ = 4mc2
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Das elektrische Feld
Beispiele
Definitionen und Regeln
Die elektrische Feldstärke
Experimente zeigen, dass die Kräfte zwischen
zwei Ladungen zur Verbindungsgeraden der beiden Ladungen parallel sind. Weiter zeigen Versuche, dass sich Kräfte zwischen Ladungen vektoriell addieren (Superpositionsprinzip).
Eine kleine Punktladung q steht mit anderen Ladungen (Q1 , Q2 , ...) in Wechselwirkung. Punktladung bedeutet, dass die Abmessungen der Ladung klein sind gegen die Entfernungen zu den
anderen Ladungen. Die Ladung q besteht aus
n = |q|
e Elektronen (wenn q < 0) oder aus n Protonen (wenn q > 0) (die anderen, sich gegenseitig neutralisierenden Ladungen lassen wir ausser
Acht). Da sich alle Teilladungen (e− oder p+ ) von
q bezüglich der umgebenden Ladungen praktisch
am gleichen Ort befinden, wirkt auf jede Teilladung die gleiche Kraft F~0 . Wegen des Superpositionsprinzips ist die Gesamtkrat auf q dann
!
|q| ~
F~0
~
~
F = nF0 =
F0 = q · ±
e
e
Q1 < 0
Q2 > 0
~1
F
~
E
~
F
q>0
~2
F
q>0
~0
F
~0
F
~
F
~0
F
~0
F
Q1
Q2
Q3
~
E
q
~
F
Dabei gilt das obere Vorzeichen für q > 0. Die Gesamtkraft F~ auf die Punktladung q ist also pro~
portional zu q. Der Propotionalitätsfaktor ± Fe0 ,
der natürlich vom Ort ~r der Ladung abhängt,
~ r)
heißt elektrische Feldstärke und wird mit E(~
~ bezeichnet.
oder kurz E
~
r
Qn
O
Erzeugen die Ladungen Q1 bis Qn am Ort ~r die
~ 1 bis E
~ n , dann ist das Gesamtfeld
Felder E
Übt eine beliebige Ladungsverteilung auf
eine kleine Testladung q am Ort ~r die Kraft
F~ (~r) aus, dann hat das von dieser Ladungsverteilung erzeugte elektrische Feld am Ort
~r die Stärke
~ r) = E
~ 1 (~r) + ... + E
~ n (~r)
E(~
(Superposition für Felder, folgt direkt aus der
Superposition für die Kräfte.)
~
~ r ) = F (~r)
E(~
q
Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist
N
J
W
V
N
=
=
=
= ,
C
As
Asm
Am
m
Umgekehrt ist die Kraft auf eine Ladung q am
Ort ~r durch
~ r)
F~ (~r) = q E(~
also
[E] =
gegeben. Für die Beträge der Vektoren gilt
N
V
=
C
m
Zunächst einmal ist das elektrische Feld
nur ein mathematisches Hilfsmittel, um die
Kräfte zwischen Ladungen zu beschreiben!
F = |q| · E
63
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Elektrische Feldlinien
Vektorfeld zwischen zwei Punktladungen:
Elektrische Feldlinien sind Kurven, deren Tan~ r)
gente an einem beliebigen Ort ~r parallel zu E(~
ist.
Feldlinien zeigen von Plus nach Minus!
Feldlinie
~
F
~k
F
Feldlinien zwischen zwei Punktladungen:
Leiter
Elektron
Stehen Feldlinien nicht senkrecht auf Leiteroberflächen, dann wirkt auf die Leitungselektronen an
der Oberfläche eine Kraftkomponente parallel zur
Oberfläche und es fließt ein Strom. Genauso erzeugen Felder im Leiter einen Stromfluss. Dieser Strom bricht aber nach kurzer Zeit zusammen und es stellt sich ein Ladungsgleichgewicht
ein; in diesem Gleichgewichtszustand, der in der
Elektrostatik untersucht wird, stehen die Feldlinien senkrecht auf den Leiteroberflächen, die Ladungen sind in Ruhe und die Feldstärke im Leiter
ist Null.
Wenn sich zwei Feldlinien schneiden würden,
dann gäbe es im Schnittpunkt zwei unterschiedliche Kraftrichtungen auf eine Probeladung. Da
die Kraft auf die Ladung aber eindeutig ist (die
Ladung kann sich nicht in zwei verschiedene
Richtungen gleichzeitig bewegen), kann es keine
Schnittpunkte von Feldlinien geben.
+ +
+
+
+
+
E = 0 im Leiter
−
Zusammenfassung:
1. Feldlinien geben in jedem Raumpunkt die
Richtung des Feldes an.
−
−
−
+
+
−
2. Feldlinien beginnen bei positiven und enden
bei negativen Ladungen.
~ r ) = konst. in einem Raumgebiet V , dann
Gilt E(~
~ in V homogen. Ein in V homogenes Feld
heißt E
hat in jedem Punkt von V die gleiche Richtung
und den gleichen Betrag.
Das Feld im Innenraum eines Plattenkondensators ist annähernd homogen.
3. Feldlinien schneiden sich nicht.
4. Feldlinien beginnen oder enden senkrecht
auf Leiteroberflächen.
~ = 0.
5. Im Inneren von Leitern gilt E
+
−
64
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Das Gesetz von Coulomb
Zwei leitend verbundene Alukugeln, deren eine direkt auf einem Elektroskop sitzt, dienen als Nachweisgerät für elektrische Felder (siehe Abb.). Mit
diesem Gerät weisen wir das elektrische Feld in
der Umgebung einer geladenen Metallkugel nach.
Wird das Gerät von einem Drahtkäfig umgeben
(Faraday-Käfig), dann kann trotz der geladenen
Metallkugel kein Feld mehr nachgewiesen werden.
Exaktere Versuche (z.B. von Williams, Faller und
Hill, 1971) ergeben:
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Elektroskop
Abschirmung nach Innen:
Enthält ein Raumgebiet, das von einer geschlossenen Leiterfläche begrenzt wird, keine Ladungen, dann ist in diesem Raumgebiet E = 0.
+
Das Raumgebiet kann das Innere oder das Äußere
der geschlossenen Leiterfläche sein!
~
Die Erklärung für das Verschwinden von E
liegt in der Ausbildung von Influenzladungen
auf der Leiteroberfläche. Diese Influenzladungen
verteilen sich genau so, dass sich im ladungsfreien
~ u und das
Raumgebiet das ursprüngliche Feld E
~ i der Influenzladungen kompensieren.
Feld E
−
Leiter +
−
−
−
−
+
E=0
+
+
+
+
−
Abschirmung nach Außen:
−
−
−
−
−
Das Feld einer Punktladung Q mit |Q| = ne ist
radialsymmetrisch, d.h. die Verlängerungen der
Feldstärkevektoren gehen alle durch den Ort der
Ladung und der Betrag E der Feldstärke ist für
alle Punkte mit gleicher Entfernung r zur Ladung
gleich. E ist also eine Funktion von r. Ist E0 (r)
der Betrag der Feldstärke einer Elementarladung
e, dann folgt aus dem Superpositionsprinzip, dass
E(r) = nE0 (r) = |Q| ·
~
E
+
+
− − −
−
−
−
−
E=0
Feld einer Punktladung:
E(r)
E0 (r)
e
gilt. Mit der Ortsfunktion f (r) =
E0 (r)
e
r
gilt also
Q
E(r) = |Q| · f (r)
Jetzt betrachten wir zwei Punktladungen Q1 und
Q2 im Abstand r. E1 = |Q1 |f (r) ist die von Q1
am Ort von Q2 erzeugte Feldstärke und entsprechend E2 = |Q2 |f (r) die von Q2 am Ort von
Q1 erzeugte Feldstärke. Q2 übt auf Q1 die Kraft
F21 = |Q1 |E2 = |Q1 |·|Q2 |f (r) und umgekehrt Q1
auf Q2 die Kraft F12 = |Q2 |E1 = |Q2 | · |Q1 |f (r)
aus. Die beiden Kräfte sind gleich, wie es das dritte Newtonsche Gesetz verlangt.
Der Betrag der Kraft, mit der sich zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand r anziehen oder
abstoßen, ist
Kräfte zwischen zwei Punktladungen:
Q1
~2
E
~21
F
~12
F
r
F (r) = |Q1 | · |Q2 | · f (r)
65
~1
E
Q2
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Aus der Tatsache, dass das Innere einer geladenen
Leiterkugel feldfrei ist, kann man die Ortsfunktion f (r) ableiten. Dazu betrachten wir eine geladene Leiterkugel mit Radius R, die sehr weit von
anderen Leitern und Ladungen entfernt ist, damit
keine Influenzladungen auftreten. Aus der Symmetrie der Kugel folgt, dass sich die Ladung Q
der Kugel gleichmäßig über die ganze Oberfläche
A verteilt, d.h. für die Flächenladungsdichte σ gilt
dA1
r1
q
r2
Q
Q
dQ
= konst.
=
=
σ=
dA
A
4 π R2
dA2
Wir betrachten eine kleine Probeladung q an einem beliebigen Punkt P im Inneren der Kugel.
Wir denken uns einen sehr schmalen Doppelkegel
mit der Spitze in P. Dieser Doppelkegel schneidet aus der Kugeloberfläche die Flächen dA1 und
dA2 aus. Die Ladungen auf diesen Flächen sind
Die Konstante k schreibt man aus erst später ersichtlichen Gründen in der Form
k=
dQ1 = σ · dA1 und dQ2 = σ · dA2
Diese beiden Ladungen üben auf q Kräfte mit den
Beträgen dF1 und dF2 aus.
1
4πε0
ε0 heißt elektrische Feldkonstante oder absolute
Dielektrizitätskonstante. Im Kapitel über die elektromagnetischen Schwingungen lernen wir folgenden Zusammenhang zwischen ε0 , der magnetischen Feldkonstanten
Annahme:
Die beiden Kräfte dF1 und dF2 heben sich
für alle möglichen Doppelkegel gegenseitig
auf.
µ0 = 4π · 10−7
Aus dieser Annahme folgt, dass die Gesamtkraft
aller Ladungen der Kugeloberfläche auf q gleich
Null ist, d.h. das Innere der Kugel ist tatsächlich
feldfrei.
Da sich die Flächen dA1 und dA2 wie die Quadrate der Entfernungen r1 und r2 verhalten, folgt
für die Abstandsfunktion f (r):
Vs
Am
und der Lichtgeschwindigkeit c kennen:
1
m
c= √
= 299792458
ε 0 µ0
s
Da µ0 und c exakt bekannt sind, ist auch ε0 exakt:
ε0 =
dF1 = f (r1 ) · dQ1 · q = f (r2 ) · dQ2 · q = dF2
f (r1 ) · σ · dA1 = f (r2 ) · σ · dA2
f (r1 ) · r12 = f (r2 ) · r22
1
As
= 8,85418781762.... · 10−12
µ0 c 2
Vm
Somit lautet das Coulombsche Gesetz in endgültiger Form
Die letzte Gleichung besagt
F =
f (r) · r2 = k = konst.
oder
1
|Q1 | · |Q2 |
·
4πε0
r2
oder
k
mit k = konst.
r2
Dieses Ergebnis ist mit erheblich mehr mathematischem Aufwand auch ohne die gemachte Annahme beweisbar.
Für den Betrag der Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 in der gegenseitigen Entfernung r folgt das Coulomb’sche Gesetz
f (r) =
F =k·
|Q1 | · |Q2 |
r2
mit
k=
Vm
Vm
1
≈ 8,98755 · 109
≈ 9,0 · 109
4 π ε0
As
As
Der Exponent 2 im Coulombgesetz ist experimentell äußerst genau gesichert:
|Q1 | · |Q2 |
F =k·
r2
f (r) =
66
k
r2+ε
mit
|ε| < 3 · 10−16
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Das Feld von Punktladungen
Im Ursprung eines Koordinatensystems sitzt die
Ladung Q, am Ort ~r die Testladung q. Die Kraft
F~ , die von Q auf q ausgeübt wird, ist parallel
zu ~r. F~ ist ein Vektor, der in die Richtung des
Einheitsvektors ~r0 (siehe Kasten rechts) zeigt und
den Betrag
k|Qq|
F =
r2
hat.
Für Qq > 0 (Q und q haben das gleiche Vorzeichen) ist F~ abstoßend, d.h. F~ zeigt in die Richtung von ~r.
Für Qq < 0 (Q und q haben verschiedene Vorzeichen) ist F~ anziehend, d.h. F~ zeigt in die Gegenrichtung von ~r.
Alle genannten Eigenschaften von F~ sind in folgender Formel zusammengefasst:
~
F
z
q
~
r
~
r0
Q
y
x
Einheitsvektor:
Ein Vektor ~r0 , der in die Richtung von ~r
zeigt und die Länge 1 hat, heißt Einheitsvektor von ~r:
1
Qq
kQq
· 3 · ~r
F~ = 2 · ~r0 =
r
4πε0 r
~r
~r
= mit r = |~r|
|~r|
r
~r0 =
Die von Q am Ort ~r erzeugte Feldstärke ist also
Beispiel: Am Ort A (−2 cm 1 cm) sitzt die Punktladung Q = 2 · 10−9 C. Gesucht ist das Feld am
Ort B (3cm 5cm).
√
−→
5 cm
~r = AB =
=⇒ r = |~r| = 41 cm
4 cm
~
~ r ) = F = 1 · Q · ~r
E(~
q
4πε0 r3
mit dem Betrag
|Q|
E(r) =
4πε0 r2
~ =
E
1,7 · 103 N
,
1,4 · 103 C
E = 2,2 · 103
N
C
Der Fluss eines Vektorfeldes
~v (~r) ist ein beliebiges Vektorfeld, z.B. die Fließgeschwindigkeit eines großen Stromes am Ort ~r.
Wir tauchen einen Rahmen der Fläche dA in den
Fluss. dA sei so klein, dass ~v auf der ganzen
Fläche praktisch konstant ist. ~n ist ein Vektor,
der senkrecht auf der Fläche steht (Normalenvektor). In der Zeit dt legt das Wasser die Strecke
vdt zurück. Das in dt durch dA strömende Wasservolumen ist dann
~
v dt
~
n
dA
~
v dt
v = |~
v|
von oben:
dV = dA · h = dA · vdt · cos ϕ
~
v dt
ϕ
Als Fluss Φ durch dA bezeichnet man das pro
Zeit durch die Fläche fließende Wasservolumen:
Φ=
~
v
ϕ
~
v
h
ϕ
dV
= v dA cos ϕ
dt
~
n
~
v dt
Der Fluss eines beliebigen Vektorfeldes
~v (~r) durch eine Fläche dA mit dem Normalenvektor ~n ist definiert durch
Zeigt ~n in die entgegengesetzte Richtung wie in
der Abbildung, dann ist 90◦ ≦ ϕ ≦ 180◦ und Φ
damit negativ.
Φ = |~v | dA cos ϕ mit ϕ =<
) (~v , ~n)
67
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der Gauß’sche Satz
~ durch eine
Der Fluss eines elektrischen Feldes E
Fläche dA in Richtung ~n ist
~⊥
E
~
n
~ · dA · cos ϕ = ±|E
~ ⊥ | · dA
dΦ = |E|
ϕ
~ ~n) ≦ 90◦ .
, wenn 0 ≦ ϕ =<
) (E,
Dabei gilt +❥
~
E
dA
Wir berechnen den Fluss Φ des Feldes einer
Punktladung Q durch eine Kugelfläche mit Radius r um Q; dabei wählen wir die Orientierung
von ~n so, dass ~n immer nach außen (vom Kugelmittelpunkt weg) zeigt. Für jede kleine Teilfläche
~ und ~n gleich 0◦ ,
dA ist der Winkel ϕ zwischen E
d.h. der Fluss durch dA ist
~
E
~
n
dA
~
n
r
~ · dA · cos 0◦ = E dA
dΦ = |E|
dA
Q
~
E
Addiert man alle dΦ’s, dann erhält man wegen
E = konst. für den gesamten Fluss durch die Kugelfläche A
A
Q
Q
· 4πr2 =
ΦA = EA =
4πε0 r2
ε0
Strömungsfeld einer Wasserquelle:
Nebenstehendes Beispiel des Strömungsfeldes
zeigt, dass der Fluss durch jede beliebige geschlossene Fläche, die Q umschließt, gleich ist.
Da das Strömungsfeld mathematisch zum elektrischen Feld einer Punktladung äquivalent ist, gilt
entsprechend für elektrische Felder:
Wir betrachten eine punktförmige Wasserquelle
mit der Fördermenge
m3
dV
gemessen in
,
Q=
dt
s
Q
ε0
ΦA =
Da jede beliebige Ladungsverteilung aus Punktladungen besteht, gilt allgemein:
Der elektrische Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche A ist
ΦA =
Qi
,
ε0
wobei Qi die Gesamtladung im Inneren von A ist.
(Satz von Gauß)
Da das Feld in einem Leiter verschwindet, muss
nach Gauß die Gesamtladung innerhalb jeder geschlossenen Fläche im Leiter null sein, d.h. die
Ladungen eines geladenen Leiters sitzen an seiner Oberfläche.
Wir denken uns einen Quader, der den Teil dA
der Leiteroberfläche umschließt, wobei die Deck~
fläche parallel zur Leiteroberfläche ist. Da E⊥dA,
ist der Fluss durch die Seitenflächen null. Wegen
E0 = 0 ist der gesamte Fluss durch die Quaderoberfläche EdA = dQ
ε , woraus folgt:
EOberfläche =
deren Wasser in alle Raumrichtungen gleichförmig davonströmt. Wir denken uns eine beliebige geschlossene Fläche A mit der Quelle in ihrem
Inneren. Wegen der Inkompressibilität des Wassers muss der Fluss durch A gleich der Fördermenge Q sein:
ΦA = Q
Ist A speziell eine zur Quelle konzentrische Kugelfläche mit Radius r, dann gilt
Q = v(r) · 4πr2
=⇒
v(r) =
Das Strömungsfeld einer punktförmigen Wasserquelle hat also die gleiche mathematische Struktur wie das elektrische Feld einer Punktladung!
~
E
dA
Leiter
++
+
+ dQ
E0 = 0
dq
Flächenladungsdichte: σ =
dQ
σ
=
ε0 dA
ε0
68
Q
4πr2
dQ
dA
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Radialsymmetrische Ladungsverteilungen
Eine Ladungsverteilung heißt radialsymmetrisch,
wenn die Ladungsdichte ̺ räumlich nur von der
Entfernung r zu einem festen Punkt Z (Zentrum)
abhängt. ̺(r) ist also auf jeder Kugelschale um Z
konstant.
Aus Symmetriegründen ist das elektrische Feld
einer radialsymmetrischen Ladungsverteilung
ebenfalls radial, d.h. alle Feldlinien sind Geraden
~ hängt räumlich
durch Z und der Betrag von E
nur von r ab.
Wir denken uns eine Kugelfläche A mit dem Mittelpunkt Z und dem Radius r. Der Fluss durch A
ist nach Gauß
E(r)
r
Z
Q(r)
A
Eine radialsymmetrische Ladungsverteilung, die auf den Bereich r ≦ R beschränkt
ist (d.h. ̺(r) = 0 für r > R), hat für r > R
das gleiche elektrische Feld wie eine Punktladung q = Q(R) in Z.
Q(r)
,
ΦA = A(r)E(r) = 4πr E(r) =
ε0
2
wobei Q(r) die Ladung innerhalb von A ist. Damit gilt
Q(r)
E(r) =
4πε0 r2
Überführungsarbeit im elektrischen Feld
Eine Ladung q wird in einem elektrischen Feld
~ langsam und ohne Beschleunigung ( quasistaE
”
tisch“) auf der Kurve K von A nach B befördert.
~
Die vom Feld auf q wirkende Kraft F~ = q E
∗
~
muss dabei von einer äußeren Kraft F = −F~
kompensiert werden. Von F~ ∗ wird dabei die
Überführungsarbeit WAB verrichtet.
Wir untersuchen die Überführungsarbeit einer
~ Wir wählen das
Ladung q im homogenen Feld E.
~
Koordinatensystem so, dass E in die negative yRichtung zeigt:
0
Ex
~
=
E=
−E
Ey
B
~∗
F
~
E
WAB
K
A
Für α = 90◦ ist
wegen cos 90◦ = 0
auch die Überführungsarbeit gleich
null!
Die Überführungsarbeit beim Transprt der Ladung q auf der Geraden von A nach B ist
F∗
B
~∗
F
α
α
~k
F
∆y
q
~
E
A
~
F
x
Fk
y
B
Die Ladung q wird auf vier verschiedenen Wegen
von A nach B transportiert, die Kurve K denken
wir uns in n sehr kurze Geradenstücke zerlegt:
∆y2
K
∆y
D
~
E
WAB = qE∆y
WACB = qE · 0 + qE∆y = qE∆y
| {z } | {z }
∆y1
A
C
x
WCB
WADB = qE∆y1 + qE∆y2 = qE∆y
| {z } | {z }
WAD
y
∆y
z }| { z }| {
= −q · Ey cos α ·AB = qE∆y
|
{z
}
WAC
q
~
F
Die Überführungsarbeit im homogenen Feld ist
wegunabhängig!
WDB
WK = qE(∆y1 + ∆y2 + ... + ∆yn ) = qE∆y
69
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Überführungsarbeit im Feld einer Punktladung
~ r0 )
E(~
Eine Ladung q wird im Feld der im Ursprung
plazierten Punktladung Q vom Ort ~r0 zum Ort
~
~r0 + ∆~s verschoben. ∆~s sei so klein, dass E
auf dem ganzen Weg praktisch konstant ist. Da
die Überführungsarbeit nur von der Wegänderung
~ abhängt, gilt in guter Näherung
parallel zu E
∆r
A
B
∆~
s
q
~
r0
Q
∆W ≈ −qE(r)∆r
∆W ist also nur von der Änderung des Radiuses r abhängig und nicht von der Richtung
der Bewegung. Mit W (r) bezeichnen wir die
Überführungsarbeit von einem Punkt mit Radius
r0 bis zu einem Punkt mit Radius r. Damit gilt
Beweis der links stehenden Behauptung:
Aus
kqQ
+C
r
mit einer beliebigen Konstanten C folgt
W (r) =
∆W = W (r + ∆r) − W (r) ≈ −qE(r)∆r
kqQ
kqQ
−
r + ∆r
r
kqQ∆r
kqQ(r − r − ∆r)
=−
=
r(r + ∆r)
r(r + ∆r)
∆W = W (r + ∆r) − W (r) =
oder
kqQ
∆W
≈ −qE(r) = − 2
∆r
r
Im Grenzfall ∆r → 0 wird aus dem Ungefähr- ein
Gleichheitszeichen:
lim
∆r→0
lim
∆r→0
∆W
dW
kqQ
=
=− 2
∆r
dr
r
∆W
kqQ
kqQ
= lim −
=− 2
∆r→0
∆r
r(r + ∆r)
r
Die Konstante C folgt aus der Bedingung
W (r0 ) = 0:
Die Lösung dieser Gleichung ist (Beweis siehe Kasten rechts)
W (r0 ) =
kqQ
+C
W (r) =
r
Die Überführungsarbeit für eine Ladung q im Feld
einer Ladung Q beim Transport von einem Punkt
A mit der Entfernung r0 zu einem Punkt B mit
der Entfernung r von Q ist
qQ
1
1
W (r) =
−
4πε0 r
r0
kqQ
+C =0
r0
=⇒
C=−
kqQ
r0
K2
q
A
r0
B
K1
r
Q
——————————————–
Da jedes reale statische (zeitlich konstante) elektrische Feld von Punktladungen erzeugt wird,
gilt:
Auch im Feld einer Punktladung ist die
Überführungsarbeit wegunabhängig, d.h. die
Überführungsarbeiten auf den Kurven K1 und K2
sind gleich:
WK1 = WK2
In jedem statischen elektrischen Feld ist die
Überführungsarbeit auf einer geschlossenen Kurve gleich null. (Energiesatz der Elektrostatik)
Wird die Kurve K2 in umgekehrter Richtung
durchlaufen, ändert sich das Vorzeichen der Überführungsarbeit:
Es gibt keine Ladungskonfiguration, die ein Feld
erzeugt, das dem Energiesatz widerspricht!
W−K2 = −WK2
Die Überführungsarbeit auf der geschlossenen
Kurve von A auf K1 nach B und zurück auf K2
von B nach A ist null!
70
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Potentielle Energie im elektrischen Feld
y
y
Die potentielle Energie von q im Punkt B bezüglich des Punktes A ist einfach die Überführungsarbeit von A nach B:
q
P
~
E
WA (B) = WAB
A
x
Wegen der Wegunabhängigkeit der Überführungsarbeit ist die potentielle Energie im elektrischen Feld
definiert. Im homogenen
eindeutig
0
~
Feld E =
ist die potentielle Energie ei−E
ner Ladung q im Punkt P (x y) bezüglich eines
Punktes A auf der x-Achse
WA (P) = qEy
Beispiel: Die potentielle Energie eines Elektrons
im Feld eines Protons ist
Die Wahl des Bezugspunktes bei der potentiellen
Energie einer Ladung q im Feld einer Punktladung Q ist zweckmäßigerweise ein unendlich fer1
= 0:
ner Punkt mit r0 → ∞ und damit lim
r0 →∞ r0
W∞ (r) =
W∞ (r) =
Eine Fläche konstanten
Potentials heißt Äquipotentialfläche. Da die
Überführungsarbeit auf
jeder Kurve, die überall
senkrecht zu den elektrischen Feldlinien steht,
null ist, gilt:
Das Potential im Punkt B bezüglich des Punktes
A ist definiert durch
WA (B)
WAB
=
q
q
0
ist das Potential
−E
im Punkt P (x y) bezüglich eines Punktes A auf
der x-Achse
ϕA (P) = Ey
~ =
Im homogenen Feld E
∆~
s
A
Im homogenen Feld sind die Äquipotentialflächen
parallele Ebenen senkrecht zu den Feldlinien.
Im Feld einer Punktladung sind die Äquipotentialflächen zur Ladung konzentrische Kugelflächen.
Q
4πε0 r
Die Einheit des Potentials ist
Leiteroberflächen sind Äquipotentialflächen!
V
[ϕ] = [E] · [∆y] =
·m=V
m
Liegen A und B in einer Äquipotentialfläche,
dann ist die Überführungsarbeit WAB = 0.
Die Spannung im Punkt P bezüglich des Punktes
Q ist die Potentialdifferenz
UQP = ϕA (P) − ϕA (Q) = ϕQ (P) =
~
E
Alle Flächen, die überall senkrecht zu den elektrischen Feldlinien stehen, sind Äquipotentialflächen.
Das Potential einer Punktladung Q bezüglich eines unendlich fernen Punktes ist
ϕ∞ (r) =
e2
e · (−e)
=−
,
4πε0 r
4πε0 r
wobei r die Entfernung Elektron–Proton ist.
qQ
4πε0 r
Das Potential des elektrischen Feldes
ϕA (B) =
x
Eine positive Überführungsarbeit bedeutet, dass
Arbeit von außen in das System Feld-Ladung
hineingesteckt wird, die potentielle Energie des
Systems wird erhöht. Ist WAB dagegen negativ,
dann wird die Arbeit vom Feld verrichtet, es wird
Energie frei, die potentielle Energie des Systems
wird kleiner (z.B. in kinetische Energie verwandelt).
Die Potentialdifferenz (Spannung) zwischen zwei Punkten A und B in einem homogenen elektrischen Feld E ist
WQP
q
U = ∆ϕ = E∆s
WPQ = −WQP = −qUQP
∆s ist die Projektion von AB
~
auf die Richtung von E.
71
E
∆s
A
B
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die zweidimensionale Darstellung eines eindimensionalen Potentials ϕ(x) oder die dreidimensionale Darstellung eines zweidimensionalen Potentials
ϕ(x, y) wird als Potentialgebirge bezeichnet.
Positive Ladungen rollen“ im Potentialgebirge
”
abwärts, negative aufwärts:
ϕ
ϕ
Das Potentialgebirge folgender Abbildung gehört
zu vier positiven Ladungen Q und einer negativen
Ladung −2Q:
r
Q>0
bei r = 0
Q<0
bei r = 0
r
Die Gesamtenergie
eines Teilchens der
Masse m und der
Ladung q in einem
Potential ϕ ist
ϕ
Q>0
bei r = 0
v1
Beispiel:
W (r) = Wkin (r) + qϕ(r)
m
= v(r)2 + qϕ(r)
2
Ein zunächst ruhendes Elektron wird in einer
Elektronenröhre von der Spannung U = 500 V
beschleunigt. Wie groß ist seine Endgeschwindigkeit v?
me 2
v = eU
2
r
2eU
m
v=
= 1,3 · 107
me
s
v2
r1
r2
r
Der Energiesatz lautet dann
W (r1 ) = W (r2 )
oder
Beispiel:
m 2
m
v1 + qϕ(r1 ) = v22 + qϕ(r2 )
2
2
q
v2 = v12 + q(ϕ(r1 ) − ϕ(r2 ))
Protonen der Geschwindigkeit v0 = 1,0·106 ms sollen durch ein homogenes elektrisches Feld E auf
einer Strecke von ∆s = 10 cm auf die halbe Geschwindigkeit abgebremst werden. Wie muss das
Feld beschaffen sein?
——————————————–
Elektronenröhre
Die Glühkathode K, eine Drahtwendel, wird mit
der Spannung UH beheizt und zum Glühen gebracht. Wegen der heftigen Wärmebewegungen
können Elektronen den Draht verlassen. Der dadurch positiv geladene Draht lässt die Elektronen
aber nicht entkommen, sie bilden eine Ladungswolke um die Glühkathode. Legt man zwischen K
und die Anode A (Leiterplatte mit Loch) eine Beschleunigungsspannung U , werden die Elektronen
der Ladungswolke bis zu A hin beschleunigt und
fliegen nach dem Loch mit konstanter Geschwindigkeit v weiter.
K
Das Feld muss entgegen der Bewegunsrichtung
zeigen.
mp 2 mp v0 2
= eU = eE∆s
v −
2 0
2
2
3mp 2
3mp v02
v0 = eE∆s =⇒ E =
8
8e∆s
V
=⇒ U = E∆s = 3,91·103 V
E = 3,91·104
m
Beispiel:
Ein Elektron verlässt eine Kugel (R = 5,0 cm)
mit der Ladung Q = −2,0 · 10−8 C. Welche Geschwindigkeit v hat das Elektron 10 cm von der
Kugeloberfläche entfernt?
A
UH
Q · (−e) me 2
Q · (−e)
=
+
v mit r = 15 cm
4πε0 R
4πε0 r
2
s
m
1
1
−Qe
= 2,9 · 107
−
v=
2πε0 me R r
s
− U +
72
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Vergleich
Gravitationsfeld
Elektrisches Feld
1
4πε0
k=
Kraft zwischen zwei Punktladungen:
F =
Kraft zwischen zwei Punktmassen:
kQ1 Q2
r2
F =
Gm1 m2
r2
Gravitationsfeldstärke:
Elektrische Feldstärke:
~
~ = F
E
q
~g =
F~
m
Kraft auf Masse:
Kraft auf Ladung:
F~ = m~g
~
F~ = q E
Feld einer Punktladung:
Feld einer Punktmasse:
E(r) =
kQ
r2
g(r) =
Fluss durch geschlossene Fläche mit Masse M
innerhalb der Fläche:
Fluss durch geschlossene Fläche mit Ladung Q
innerhalb der Fläche:
Φ = 4πkQ =
Q
ε0
Φ = 4πGM
Radialsymmetrische Massenverteilung:
Radialsymmetrische Ladungsverteilung:
E(r) =
GM
r2
kQ(r)
r2
g(r) =
GM (r)
r2
Potentielle Energie einer Ladung
q im Punkt
0
~
P (x y) im homogenen Feld E =
bezüglich
−E
eines Punktes auf der x-Achse:
Potentielle Energie einer Masse mim Punkt
0
P (x y) im homogenen Feld ~g =
bezüglich
−g
eines Punktes auf der x-Achse:
W (P ) = qEy
W (P ) = mgy
Potentielle Energie einer Ladung q im Feld einer
Punktladung Q bezüglich eines unendlich fernen
Punktes:
Potentielle Energie einer Masse m im Feld einer
Punktmasse M bezüglich eines unendlich fernen
Punktes:
GM m
W (r) = −
r
W (r) =
Qq
kQq
=
r
4πε0 r
Potential einer Punktmasse M bezüglich eines
unendlich fernen Punktes:
Potential einer Punktladung Q bezüglich eines
unendlich fernen Punktes:
ϕ(r) =
kQ
Q
=
r
4πε0 r
ϕ(r) = −
GM
r
Das unterschiedliche Vorzeichen bei W (r) und ϕ(r) beruht darauf, dass die Gravitationskraft bei
positiven Massen (es gibt ja nur positive Massen) immer anziehend, die elektrische Kraft bei
zwei positiven Ladungen aber abstoßend ist.
Energiesatz für Masse m im Potential ϕ:
Energiesatz für Ladung q im Potential ϕ:
m 2
m
v + mϕ(r1 ) = v22 + mϕ(r2 )
2 1
2
m
m 2
v + qϕ(r1 ) = v22 + qϕ(r2 )
2 1
2
73
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Kondensatoren
Beliebiger Kondensator:
Ein Kondensator besteht aus zwei getrennten
Leitern. Schließt man den Kondensator an eine
Stromquelle an, fließt Ladung auf die beiden Leiter. Da sich die Stromquelle nicht auflädt, ist
die Gesamtladung auf den beiden Leitern null,
die Ladungen auf den leitern sind betragsmäßig
gleich.
Bei einer Veränderung der Ladung bleibt die Geometrie der Feldlinien zwischen den Leitern gleich,
es ändert sich nur die Stärke E des Feldes (kann
man exakt mit den Grundgleichungen der Elektrostatik zeigen). Nach Gauß ist E zu Q proportional. Da die Spannung U zwischen den Leitern
auch zu E proportional ist, ist letztendlich Q zu U
proportional. Der Proportionalitätsfaktor C heißt
Kapazität des Kondensators:
+
1 pF = 10−12 F
1 nF = 10
F
(Nanofarad)
1 µF = 10
−6
F
(Mikrofarad)
Q
+ + + + + + + +
A
+
U
d
~
E
_
_ _ _ _ _ _ _ _
−Q
Beispiel:
Kondensator aus zwei kreisförmigen Platten (r =
10,0 cm) mit d = 2,00 mm und U = 100 V:
C=
und damit die Kapazität des Plattenkondensators
ε0 r 2 π
= 0,139 nF
d
Q = CU = 1,39 · 10−8 C
U
V
= 5,00 · 104
d
m
Reihenschaltung von Kapazitäten:
Die untere Platte eines KondenC1
sators und die obere Platte des
darunter befindlichen Kondensators tragen zusammen die Ge- U C2
samtladung −Q1 + Q2 = 0 =⇒
ε0 A
d
E=
Parallelschaltung von Kapazitäten:
An jedem Kondensator liegt die gleiQ1
che Spannung U . Die Gesamtladung
aller Kondensatoren ist
C1
Q2
C = C1 + C2 + . . . + Cn
(Pikofarad)
−9
Plattenkondensator:
Qd
Q
= ,
ε0 A
C
Die Gesamtkapazität ist also wegen
Q
C= U
C
V
Gebräuchliche Einheiten sind:
Die Spannung zwischen den Platten ist
Q = C1 U + C2 U + . . . + Cn U
_
[C] = 1 Farad = 1 F = 1
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei gleich
großen, parallel angeordneten Leiterplatten der
jeweiligen Fläche A und mit dem Plattenabstand
d. Wenn d klein
√ zu den Abmessungen der Platten ist (d ≪ A), dann ist das Feld zwischen den
Platten annähernd homogen und die Flächenladungsdichte σ auf einer Platte ist näherungsweise
konstant:
Q
σ=
A
Nach Gauß ist die Feldstärke zwischen den Platten
Q
σ
=
E=
ε0
ε0 A
C=
U
Einheit der Kapazität:
Q
C=
U
U = Ed =
__
__
_ −Q
_
_
_
++
++
Q
+
++
C2
Q1 = Q2 = . . . = Qn =: Q
Cn
Die Summe der Teilspannungen:
Qn
Q
Q
Q
+
+ ···+
= U : Q
C1
C2
Cn
Cn
U
1
1
1
1
+
+ ···+
=
C
C1
C2
Cn
74
Q1
−Q1
Q2
Qn
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Energie des elektrischen Feldes
Ein Plattenkondensator der Kapazität C = 1 F
mit dem Plattenabstand d = 1 mm müsste die
Fläche
Cd
= 1,13 · 108 m2
A=
ε0
Der Energieinhalt W des Kondensators ist die
potentielle Energie der Ladungen gegeneinander,
wobei die Energie des ungeladenen Kondensators null sein soll (Wahl des Bezugspunktes). Vergrößert man die Ladung von Q auf Q + ∆Q,
muss man dazu die Ladung ∆Q von der nagativen auf die positive Platte transportieren. Die
dazu benötigte Überführungsarbeit ist die Vergrößerung ∆W des Energieinhalts. Für ∆Q ≪ Q
gilt:
∆W ≈ U ∆Q
=⇒
haben, das entspricht einem Quadrat der Seitenlänge 10,6 km.
Durch besonders strukturierte Oberflächen und
das Einbringen spezieller Nichtleiter (Dielektrika)
zwischen die Platten lässt sich die Kapazität eines Kondensators extrem erhöhen. Statt starrer
Platten werden dünne Leiter- und Nichtleiterfolien verklebt und aufgewickelt. Es gibt heute Superkondensatoren (z.B. Goldcaps) mit einem Volumen von weniger als 100 cm3 und einigen hundert Farad.
Als Beispiel betrachten wir einen Kondensator
(SuperCap R) mit C = 400 F, der mit der Spannung U = 2,5 V betrieben werden darf. Er kann
die Ladung Q = CU = 1000 C und die elektriQ2
sche Energie W = 2C
= 1250 J speichern. Eine
4 W LED-Lampe (I = P
U = 1,6 A) könnte damit
Q
t = I = 625 s = 10,4 min lang betrieben werden.
——————————————–
Eine freistehende Leiterkugel mit Radius R trägt
die Ladung Q. Man kann die Kugel als Kondensator betrachten, dessen zweiter Leiter eine Kugelschale mit unendlich großem Radius ist. Die
Spannung zwischen der Kugeloberfläche und einem unendlich weit entfernten Punkt ist
Q
∆W
≈U =
∆Q
C
oder im Grenzfall ∆Q → 0
Q
dW
= W ′ (Q) =
dQ
C
Die Lösung dieser Gleichung mit W (0) = 0 ist
W =
C
Q2
= U2
2C
2
Die Herleitung dieser Gleichung machte nicht von
den speziellen Gegebenheiten beim Plattenkondensator Gebrauch, sie gilt also für alle Kondensatoren. Speziell für den Plattenkondensator kann
man wegen
E=
Q
ε0 A
und C =
ε0 A
d
U = ϕ(R) − ϕ(∞) =
schreiben:
Die Kugel hat also die Kapazität
ε2 A2 E 2 d
ε0 AdE 2
ε0
W = 0
=
= E2V
2ε0 A
2
2
C=
mit dem Feldvolumen V = Ad.
Der Unterschied zwischen dem geladenen und
dem ungeladenen Kondensator ist das einmal vorhandene und einmal fehlende elektrische Feld.
Man kann also annehmen, dass die Energie des
Kondensators in seinem Feld steckt. Die Energiedichte des elektrichen Feldes ist also
w=
Q
4πε0 R
Q
= 4πε0 R
U
und das Feld der Kugel den Energieinhalt
W =
Q2
Q2
=
2C
8πε0 R
Wenn man annimmt, dass ein Elektron wie ein
Kugelkondensator gebaut ist und seine Masse der
Masse seines Feldes entspricht, dann ist
ε0
W
= E2
V
2
me =
Wenn unsere Annahme stimmt und das elektrische Feld tatsächlich Energie enthält, muss es
nach Einsteins Massen-Energie-Äquivalenz
Q2
W
=
2
c
8πε0 Rc2
und der Radius des Elektrons (klassischer Elektronenradius) ist
W = mc2
re =
auch Masse besitzen. Die Ablenkung von Licht,
das nur aus elektrischen und magnetischen Feldern besteht, durch schwere Massen (Sterne, Galaxien) ist eine schöne Bestätigung unserer Annahme.
e2
= 1,4 · 10−15 m
8πε0 me c2
Dies ist natürlich nur eine grobe Abschätzung der
Größe des Elektrons, dessen Verhalten durch die
Gesetze der Quantenmechanik geregelt ist.
75
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Kraft auf die Kondensatorplatten
Da die Kondensatorplatten Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens tragen, ziehen sie sich
gegenseitig an. F sei die Kraft, die von einer Platte auf die andere ausgeübt wird. Vergrößert man
den Plattenabstand von x auf x + ∆x, muss man
an einer Platte ebenfalls mit der Kraft F ziehen,
um die Anziehungskraft zu überwinden. Die für
die Abstandsvergrößerung aufgewendete Arbeit
steckt in der neuen Feldenergie. Da die Ladung
Q konstant ist, gilt
Q
+ + + + + + + +
A
x
~
E
_ _ _ _ _ _ _ _
−Q
∆x
_ _ _ _ _ _ _ _
Q2
Q2
∆W = F ∆x = W − W =
−
=
2C′
2C
2
1
1
Q
=
−
=
′
2
C
C
Q2 x + ∆x
x
=
=
−
2
ε0 A
ε0 A
Q2 ∆x
=
2ε0 A
′
F =
F
Q2
1 Q
1
= ·
· Q = EQ
2ε0 A
2 ε0 A
2
Bewegung von Ladungen im homogenen
Feld
y
Ein Teilchen der Masse m und der Ladung q tritt
zur Zeit t0 = 0 bei O(0|0) mit der Anfangsgeschwindigkeit
v0x
v0 cos α
~v0 =
=
v0 sin α
v0y
+
+
+
+
+
+
~
v0
α
v0x
q
v0y
0
−E
~
v1
~
E
L x
~
F
_ _ _ _ _ _ _ _
−Q
Zur Zeit t befindet sich das Teilchen am Ort
1
x(t)
~s(t) =
= ~v0 t + ~at2
y(t)
2
ein. Im Feld ist die Beschleunigung des Teilchens
q ~
F~
0
ax
=
= E=
~a =
ay
− qE
m
m
m
x = x(t) = v0x t
=⇒
t=
x
v0x
ay 2
t
2
Die Bahngleichung des Teilchens im Kondensatorfeld (0 ≦ x ≦ L) ist also
y = y(t) = v0y t +
Da die Beschleinigung in x-Richtung null ist, ist
die Geschwindigkeit in x-Richtung konstant:
vx = vx0 = v0 cos α
y=
Das Teilchen verlässt zur Zeit
t1 =
+
y1
O
in das homogene Feld
~ =
E
Q
+
L
L
=
vx0
v0 cos α
qE
v0y
2
·x−
2 ·x
v0x
2mv0x
Das Teilchen bewegt sich im Kondensator auf einer Parabel. Scheitel der Parabel, wenn
das Kondensatorfeld mit der Geschwindigkeit
vy (t2 ) = v0y −
~v1 = ~v0 + ~at1
qE
t2 = 0
m
Der Scheitelpunkt existiert nur, wenn t2 < t1 .
am Ort
1
~s1 = ~v0 t1 + ~at21
2
76
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Das magnetische Feld
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Lorentzkraft
Kraft auf Ströme im Magnetfeld
Zur Wiederholung siehe S.24.
Zeigefinger
Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem
~ wirkt eine Kraft, deren Richtung
Magnetfeld B
man mit der UVW-Regel (Rechte-Hand-Regel)
bestimmt (Ursache-Vermittlung-Wirkung):
Ursache ist der Strom, Vermittlung das Magnet~ B
~ und F~
feld und die Wirkung ist die Kraft. I,
bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Es
gilt
~
F~ ⊥ I~ und F~ ⊥ B
~
B
Daumen
V
U
I~
~
F
W
Mittelfinger
Misst man die Kraft F auf einen vom Strom I
durchflossenen Leiter der Länge l für verschiedene Ströme und verschiedene Leiterlängen in immer dem gleichen Magnetfeld, dann stellt man
F
fest, dass
konstant ist. Diese Konstante
I l sin ϕ
nennt man magnetische Flussdichte oder Kraft~ ist ein Vektor mit dem Betrag
flussdichte B. B
B, der in Richtung der magnetischen Feldlinien
zeigt.
F
B=
I l sin ϕ
l
~
F
ϕ
I~
Die Einheit der Kraftflussdichte ist
[B] = 1
rechte Hand
~
B
~⊥
B
~
a × ~b
Vs
N
= 1 2 = 1 T = 1 Tesla
Am
m
~b
Ein Leiter, der vom Strom I~ durchflossen wird,
befindet sich in einem Magnetfeld mit der Kraft~ ϕ =<
~ B).
~ Dann wirkt auf den
flussdichte B,
) (I,
Leiter der Länge l die Kraft F~ mit dem Betrag
ϕ
~
a
Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt ~a × ~b
zweier Vektoren ~a und ~b, die den Winkel ϕ
miteinander einschließen, ist folgendermaßen
definiert:
F = lIB sin ϕ = lIB⊥
oder in Vektorform
Für ~a 6= ~0 und ~b =
6 ~0 gilt ~a × ~b ⊥ ~a und
~
F~ = l · I~ × B
~a × ~b ⊥ ~b
Beispiel:
~a, ~b und ~a×~b bilden in dieser Reihenfolge
Ein 10 cm langer Leiter wird vom Strom I = 3,0 A
durchflossen und schließt mit einem Magnetfeld
der Kraftflussdichte B = 0,40 T den Winkel ϕ =
30◦ ein. Die Kraft auf den Leiter ist
ein Rechtssystem (Daumen–Zeigefinger–
Mittelfinger der rechten Hand).
| ~a × ~b | = |~a| · |~b| · sin ϕ
Für das Vektorprodukt gelten folgende Regeln:
F = 0,1 m · 3 A · 0,4 T · sin 30◦ = 6,0 · 10−2 N
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
~a × ~a = ~0
77
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Lorentzkraft
~ d.h. die bewegten Elektronen,
Der Strom I,
sind die Ursache für die Kraft F~ auf einen
stromdurchlossenen Leiter im Magnetfeld. Wir
nehmen an, dass alle Elektronen die gleiche
Geschwindigkeit ~v besitzen und somit auf jedes
Elektron die gleiche Kraft F~ ∗ wirkt. n sei die
Anzahl der frei beweglichen Elektronen im
Volumen V = A l und t die Zeit, in der die
Elektronen die Strecke l zurücklegen. Aus
l
Q = −ne und t =
v
folgt
ne
Q
=−
·v
I=
t
l
oder
~
v
l
~
v
~∗
F
ϕ
~
F
α
~
v
A
~
B
I~
α = 90◦ − ϕ
=⇒
~
F
sin α = − sin ϕ
(q > 0)
ne
I~ = −
· ~v
l
~
B
Für die Gesamtkraft auf das Leiterstück der
Länge l gilt dann
ϕ
q
~ = −n e · ~v × B
~
F~ = n · F~ ∗ = l · I~ × B
~
v
und es folgt für die Kraft auf ein Elektron
~
F~ ∗ = (−e) · ~v × B
~
F
(q < 0)
Die Verallgemeinerung auf beliebige Teilchen liefert:
~
v
q>0
Auf ein Teilchen der Ladung q und mit der
~ die
Geschwindigkeit ~v wirkt im Magnetfeld B
Lorentzkraft
~
B
~
F
~
F~ = q · ~v × B
~
v
d~
s
r
Der Betrag der Lorentzkraft ist
~
F
F = |F~ | = |q|vB sin ϕ
Spezialfälle der Lorentzkraft:
~ (ϕ = 0) =⇒
~v k B
~ (ϕ = 90◦ ) =⇒
~v ⊥ B
Mit der konstanten Geschwindigkeit v ist auch
der Betrag F = |q|vB der Lorentzkraft konstant.
An jedem Punkt der Bahn sind also die Bedingungen für die Bahnkrümmung (v, F ) die gleichen,
d.h. die Bahn hat überall die gleiche Krümmung
und ist somit ein Kreis. Den Radius r der Kreisbahn findet man mit der Bedingung
F =0
F = qvB
Ein Teilchen der Masse m und der Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit ~v in einem ho~ E sei die Ebene, die den
mogenen Magnetfeld B.
momentanen Teilchenort enthält und die senk~ steht. ~v und die Lorentzkraft F~ auf
recht auf B
das Teilchen sind dann parallel zu E. Da es also keine Kraftkomponente senkrecht zu E gibt,
verläuft die Teilchenbahn ganz in E. In einer
sehr kleinen Zeit dt legt das Teilchen den Weg
d~s = ~v dt zurück. Die auf diesem Weg von F~ am
Teilchen verrichtete Arbeit ist
Zentripetalkraft = Lorentzkraft :
mv 2
= |q|vB
r
Beispiel:
Ein Elektron mit v = 2,·106 ms beschreibt im Feld
mit B = 4,0 · 10−5 T einen Kreis mit Radius
dW = |F~ | · |d~s| · cos 90◦ = 0
r=
Die kinetische Energie und damit auch der Betrag
v = |~v | der Teilchengeschwindigkeit sind also konstant.
78
mv
= 0,28 m
eB
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Der magnetische Fluss
~ ~n) ≦ 90◦ .
, wenn 0 ≦ ϕ =<
) (B,
Dabei gilt +❥
Der Fluss durch die Fläche A ist die Summe der
Flüsse durch die kleinen Flächen dA.
Die Einheit des magnetischen Flusses ist
Da es keine magneti~
B
~
n
schen Monopole gibt
ϕ
(es gibt nur Dipole,
d.h. Magnetpole tredA
ten immer im ZweiA
erpack nord-süd auf)
sind magnetische Feldlinien immer geschlossen, im Gegensatz zu den
elektrischen Feldlinien, die bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen enden. Eine Konsequenz davon ist der Satz von Gauß für Magnetfelder:
[B] = 1 Tm2 = 1 Vs = 1 Weber
Der magnetische Fluss durch eine geschlossene
Fläche ist immer null.
Der magnetische Fluss ist wie der elektrische
Fluss definiert (siehe S. 68):
~ durch eine
Der Fluss eines magnetischen Feldes B
kleine, ebene Fläche dA in Richtung ~n mit ~n⊥dA
ist
~ · dA · cos ϕ = ±|B
~ ⊥ | · dA
dΦ = |B|
Die Bewegungsinduktion
Bewegt sich ein gerader Leiter der Länge L mit
~
der Geschwindigkeit ~v durch ein Magnetfeld B
~
und steht der Leiter senkrecht auf B und ~v , dann
wirkt auf jedes freie Elektron im Leiter die Lorentzkraft mit dem Betrag
~
B
ϕ
Durch die Verschiebung der Elektronen aufgrund
der Kraft F lädt sich ein Leiterende positiv und
das andere negativ auf, d.h. im Leiter entsteht ein
~ mit dem Betrag E. Achtung,
elektrisches Feld E
wir sind nicht mehr in der Elektrostatik, in der
die elektrische Feldstärke in Leitern immer Null
ist! Die Elektronen bewegen sich solange, bis sich
Lorentzkraft und elektrische Kraft auf die Elektronen aufheben (Gleichgewicht):
=⇒
U
−
−
−
~
F
e · E = evB sin ϕ
~
B
v∆t
L
∆A = Lv∆t
−
A
~
v
v∆t
~
v
+
E = vB sin ϕ
Allgemein gilt:
Zwischen den Leiterenden liegt dann eine Spannung mit dem Betrag
Überstreicht ein beliebig geformter Leiter die
Fläche A(t) in einem zeitlich konstanten aber
sonst beliebigen (also nicht notwendig homo~ und ist Φ(t) der magenen) Magnetfeld B
gnetische Fluss durch A(t), dann gilt für den
Betrag der Induktionsspannung zwischen den
Leiterenden
dΦ |U | = |Φ̇| = dt U = EL = LvB sin ϕ
(Induktionsspannung)
∆A sei die Fläche, die der Leiter in der Zeit ∆t
überstreicht. Der magnetische Fluss durch ∆A ist
∆Φ = B · ∆A · sin ϕ = BLv sin ϕ · ∆t
oder
∆Φ
∆t
~
E
~
++ Fe
+
Da v an jedem Ort des Leiters gleich ist, herrscht
somit im Leiter das homogene Feld
U=
~
v
~
F
F = |F~ | = evB sin ϕ
Fe = F
~
F
L
Die Polung von U folgt aus der Richtung der
Lorentzkraft auf die Leiterelektronen.
~ homogen
für B
79
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Bewegung einer Leiterschleife
Nebenstehende Abbildung zeigt eine rechteckige
Leiterschleife zu zwei kurz aufeinanderfolgenden
Zeiten. In den Leiterstücken parallel zu ~v wird
keine Spannung induziert, da sie die Fläche Null
überstreichen.
UAB =
dΦ1
dt
und
UCD =
B
dΦ2
dt
~
v
C
A
t1
|U | = |UAB + UDC | = |UAB − UCD | =
dΦ1
dΦ2 dΦ1 − dΦ2 −
=
=
dt
dt dt
U
t2 = t1 + dt
Bewegt sich eine Leiterschleife in einem zeit~ und ist Φ(t)
lich konstanten Magnetfeld B
der magnetische Fluss durch die Leiterschleife, dann wird an den Enden der Schleife die
Spannung U induziert mit
Der Fluss durch die Gesamtfläche der Leiterschleife sei Φ. Es gilt dann
und
dΦ2
Φ∗
Der Betrag der Spannung U zwischen den Leiterenden ist dann
Φ(t1 ) = Φ∗ + dΦ1
D
dΦ1
Φ(t2 ) = Φ∗ + dΦ2
dΦ = |Φ̇|
|U | = dt und damit
dΦ = Φ(t2 ) − Φ(t1 ) = dΦ2 − dΦ1
Jetzt müssen wir uns noch um die Polung der
Induktionsspannung kümmern. Die Leiterschleife
wird als Stromquelle betrachtet, d.h. der Induktionsstrom fließt außerhalb der Leiterschleife von
+❥ nach −❥.
Als Beispiel betrachten wir ein scharf begrenztes Magnetfeld wie in nebenstehender Abbildung.
Die Leiterschleife wird einmal aus dem Feld gezogen und das andere Mal in das Feld geschoben. Die Richtung des Induktionsstroms ermittelt man über die Lorenzkraft auf die Leiterelektronen. Der Induktionsstrom I erzeugt selbst ein
~ i bezeichnen. Wird die
Magnetfeld, das wir mit B
Schleife aus dem Feld gezogen, dann wird der
Fluss Φ durch die Schleife kleiner. Der Abbildung
~ i in diesem Fall innerhalb
entnimmt man, dass B
~ zeigt, d.h.
der Schleife in die Richtung von B
~
Bi wirkt der Schwächung von Φ entgegen. Wird
die Schleife in das Feld geschoben, dann wird der
~ i zeigt in dieFluss Φ durch die Schleife größer. B
sem Fall innerhalb der Schleife entgegen der Rich~ d.h. B
~ i wirkt dem Größerwerden von
tung von B,
Φ entgegen.
I
I
~
v
~i
B
+
−
~
B
I
~
v
~i
B
−
+
Das vom Induktionsstrom erzeugte Magnet~ i ist innerhalb der Leiterschleife so gefeld B
richtet, dass es der Flussänderung durch die
Schleife entgegen wirkt. (Lenz’sche Regel).
80
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Das Induktionsgesetz
Versuche ergeben, dass Induktionsspannungen an
den Enden einer Leiterschleife immer dann auftreten, wenn sich der magnetische Fluss Φ durch
die Leiterschleife ändert. Dabei muss sich die
Leiterschleife weder bewegen noch muss das Magnetfeld den Leiter berühren. Alle diese Versuchsergebnisse lassen sich durch das Induktionsgesetz
beschreiben:
~
B
~ kleiner,
Hier wird |B|
Φ ist positiv und
Φ̇ daher negativ.
~
n
=⇒ U = −Φ̇
I
A
Q
U >0
P
Eine Spule mit n Windungen berandet die
Fläche A und Φ ist der magnetische Fluss
durch A. Die an den Spulenenden induzierte
Spannung hat den Betrag
dΦ |U | = n · |Φ̇| = n · dt Das Vorzeichen von U ist so definiert, dass bei positivem U der Normalenvektor ~n und die Stromrichtung ein Rechtssystem bilden (Korkenzieherregel!). A ist die vom Magnetfeld durchsetzte
Fläche.
Die Richtung des Induktionsstromes bzw. die
Polung von U folgt aus der Lenz’schen Regel.
~
B
Ohne Beträge lautet das Induktionsgesetzt (siehe
rechts):
A
U
U = −nΦ̇
Die Tatsache des Auftretens einer Induktionsspannung ohne Bewegung des Leiters und ohne
Berührung des Magnetfeldes kann wie folgt erklärt werden:
~
B
~
Hier wird |B|
kleiner
~
E
Um ein sich änderndes Magnetfeld wird ein
quellenfreies (keine Ladungen) elektrisches
Feld mit geschlossenen Feldlinien (elektrisches
Wirbelfeld) aufgebaut. Die Richtung des Wirbelfeldes ist die Gleiche wie die eines Induktionsstromes in einem entlang der Feldlinie gedachten Leiters.
~
E
Im einfachen Fall eines axialsymmetrischen (zy~ ist
lindersymmetrischen) Magnetfelds, d.h. B
~ hängt
parallel zur Zylinderachse und B = |B|
nur vom Abstand r zur Zylinderachse ab, sind
die Feldlinien des Wirbelfeldes zur Achse konzentrische Kreise. Die Spannung U (r) entlang eines
solchen Kreises ist nach dem Induktionsgesetz
r0
~
B
Ist das axialsymmetrische Magnetfeld homogen
für r ≦ r0 und null für r > r0 , dann ist
(
B(t)r2 π für r ≦ r0
Φ(r) =
B(t)r02 π für r > r0
|U (r)| = 2πrE(r) = |Φ̇(r)|
und damit folgt für den Betrag des Wirbelfeldes
E(r) =
r
|Φ̇(r)|
2πr
woraus folgt
Dabei ist Φ(r) der magnetische Fluss durch einen
Kreis mit Radius r, dessen Mittelpunkt auf der
Zylinderachse liegt und dessen Fläche senkrecht
auf der Zylinderachse steht.


 |Ḃ(t)|r
2
E(r) =
2

 |Ḃ(t)|r0
2r
81
für r ≦ r0
für r > r0
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Das Magnetfeld von Strömen
Das Linienintegral
Eine Kurve K mit den Endpunkten P und Q wird
in kleine Abschnitte d~s zerlegt, die praktisch als
gerade angesehen werden können. Für jeden dieser Abschnitte wird das Skalarprodukt
ϕ
~ s = |B|
~ · |d~s| · cos ϕ
Bd~
d~
s
K
berechnet. Die Summe all dieser Skalarprodukte nähert sich einem Grenzwert LK an, wenn die
Längen von d~s gegen null gehen. Diesen Grenz~ über K.
wert nennt man das Linienintegral von B
~
Das Linienintegral von E über K ist nichts anderes als die Spannung UPQ (siehe S.71).
P
Schreibweise des Linienintegrals:
I
~ d~s
LK = B
Rogowski-Spirale
Der magnetische Spannungsmesser (RogowskiSpirale) ist eine flexible, zweilagig gewickelte Induktionsspule, deren Anschlüsse dicht beieinander liegen. Die Rogowski-Spirale plaziert man entlang der Kurve K und schaltet dann das Magnetfeld aus. Die Fläche S unter dem Grafen der dabei auftretenden Induktionsspannung U (t) nennt
man den Spannungsstoß. Man kann zeigen, dass
das Linienintegral LK zu S proportional ist:
LK =
Q
~
B
K
Rogowski-Spirale
K
A
l
·S
An
Dabei ist A die Querschnittsfläche der Spirale
und n ihre Windungszahl. Schließt man an die
Rogowski-Spirale ein Strommessgerät mit mechanischem Zeiger an (ballistisches Galvanometer),
dann ist der Maximalausschlag a proportional
zum Spannungsstoß S:
A
S = cut a
Damit gilt
LK = Ca
mit
C=
lcut
nA
B
Alternativ kann S mit Hilfe eines Computers gemessen werden, der den Spannungsverlauf U (t)
aufzeichnet und dann S numerisch berechnet.
Die Daten unserer Versuchsanordnung mit einem
ballistischen Spiegelgalvanometer sind
t
l = 0,5 m, n = 2600, A = 2,5 cm2 und
cut = 1,12 · 10−4
U
Vs
,
Skt
S
woraus
C=
l cut
Vs
= 8,6 · 10−5
nA
m Skt
t
folgt.
82
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Das Ampèrsche Durchflutungsgesetz
Versuch 1:
Versuch 1 mit der Rogowski-Spirale: K ist eine
geschlossene Kurve, die die Fläche A∗ berandet,
K geht durch das Innere einer Spule mit n Windungen, die vom Strom I durchflossen wird. Der
Gesamtstrom durch A∗ ist Iges = nI.
n
I
Iges
a
Skt
A
a
·
Iges Skt
300
1A
300 A
300
3A
900 A
900
1A
900 A
900
0,5 A
450 A
4,25
13,0
13,0
6,2
0,014
0,014
0,014
0,014
K
A∗
a
I
Versuch 2:
K
Iges = 0
Die Versuche ergeben, dass der gemessene Spannungsstoß und somit auch das Linienintegral entlang der Kurve K proportional zu Iges ist.
A∗
a
LK
Ca
Vs
=
= 1,2 · 10−6
= µ0
Iges
Iges
Am
Auch beim Ausschalten von I ist a = 0!!
Damit gilt das Ampèrsche Durchflutungsgesetz:
Versuch 3:
Umschließt eine geschlossene Kurve K die
Fläche A∗ und ist Iges der Gesamtstrom, der
senkrecht durch diese Fläche fließt, dann ist
das Linienintegral der magnetischen Kraft~ entlang von K gleich
flussdichte B
I
~ d~s = µ0 · Iges
LK = B
K
I
−I
A∗
a
Iges = 0
K
Auch beim Ausschalten von I ist a = 0!!
Die magnetischen Feldlinien eines unendlich langen, geraden Leiters, der vom Strom I durchflossen wird, sind konzentrische Kreise um die Drahtachse. Wählt man für die Kurve K einen dieser
Kreise mit Radius r, dann ist der Winkel ϕ zwi~ und d~s immer null. Außerdem ist der
schen B
~ auf K konstant. Daher vereinBetrag B von B
facht sich das Linienintegral zum Produkt B mal
Länge von K und aus dem Ampèrsche Durchflutungsgesetz folgt
LK = B · 2πr = µ0 I
=⇒
B(r) =
I
~
B
A∗
µ0 I
2πr
Mit der Definition der Stromstärke 1 A (siehe
rechts) ist die magnetische Feldkonstante µ0 exakt festgelegt. Aus
Ampèredefinition:
1m
Im unendlich langen Paralleldrahtsystem mit dem
Abstand 1 m ist I = 1 A,
wenn die Kraft F auf ein
Leiterstück der Länge 1 m
genau 2 · 10−7 N beträgt.
µ0 I 2 L
F = BLI =
2πr
folgt mit I = 1 A und L = r = 1 m
µ0 =
N
2πF
= 4π · 10−7 2
2
I
A
µ0 = 4π · 10−7
r
I
I
~
B
r
~
F
Nm
J
VAs
Vs
N
= 2 = 2 = 2 =
2
A
A m
A m
A m
Am
Vs
Am
83
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die langgestreckte Spule (Solenoid)
Mit einem magnetischen Spannungsmesser wird
das Feld einer Spule der Länge l vermessen. Die
folgende Tabelle zeigt die ballistischen Ausschläge
beim Ausschalten des Spulenfeldes:
a1
15 Skt
a2
0,5 Skt
a3
0,5 Skt
l
2R
n
a1
a4
15,5 Skt
Der Tabelle entnimmt man, dass sich der Hauptteil des Spulenfeldes im Spuleninneren befindet.
Unter der Annahme eines homogenen Feldes im
Spuleninneren folgt aus dem Ampèrschen Durchflutungsgesetz (K1 ist der Teil der geschlossenen
Kurve K, der im Inneren der Spule verläuft):
a3
a2
µ0 nI = LK = LK1 + LK2 ≈ LK1 = B · l
Damit folgt für das Feld im Inneren einer langgestreckten Spule (l ≫ 2R):
B≈
a4
µ0 nI
l
K2
A
Die Ringspule (Toroid)
C
K1
I
~ auf Kreisen
Aus Symmetriegründen ist B = |B|
um die Mittelachse des Toroids konstant. Mit der
Windungszahl n folgt aus dem Durchflutungsgesetz:
I
~ d~s = 2rπB = µ0 nI
B
K
ra
K
ri
µ0 nI
B=
2rπ
r
(im Inneren des Toroids)
~
B
ds
Die Induktivität
Für eine langgestreckte Spule (Solenoid mit n
Windungen, Länge l, Querschnittsfläche A) gilt:
Durch eine Spule oder eine einzelne Leiterschleife fließt der Strom I. Das von der Spule erzeugte
Magnetfeld ist überall proportional zu I. Damit
ist der gesamte magnetische Fluss Φges durch die
Spule ebenfalls proportional zu I. Die Proportionalitätskonstante L heißt Induktivität der Leiteranordnung:
Φges
L :=
I
Die Einheit der Induktivität wird nach dem US
Physiker Joseph Henry (1797 - 1878) benannt:
[L] = 1
Φges = n · A · B = nA ·
L=
µ0 nI
µ0 An2
=
·I = L·I
l
l
µ0 An2
l
(Induktivität eines Solenoids ohne Eisenkern)
Beispiel: Eine 10 cm lange Spule mit 300 Windungen und der Querschnittsfläche 9,0 cm2 hat die
Induktivität
Vs
= 1 H = 1 Henry
A
L=
84
µ0 · 9 · 10−4 m2 · 3002
= 1,0 mH
0,1 m
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Strom einschalten
Ersatzschaltbild
Die Spannung
Ue =
(
Ue
Ue
0
U
für t < 0
für t ≧ 0
Ui
UR
Ui
UR
A
I
liegt an einer Spule mit der Induktivität L und
dem ohmschen Widerstand R (d.h. Einschalten
des Stromes zur Zeit null). Da der Strom durch
die Spule anwächst, wird auch Φges größer und
nach der Lenz’schen Regel wird eine Spannung Ui
an den Spulenenden induziert, die der angelegten
Spannung Ue entgegenwirkt:
n
I
R
L
L
R
Ue
Ue
Ue
U
t
Ui = −Φ̇ges = −L · I˙
I
U
R
Die Gesamtspannung an der Spule ist dann
U = R · I = Ue + Ui = Ue − L · I˙
t
und für den Strom gilt die Differentialgleichung
Beispiel: Eine große supraleitende Spule hat die
Induktivität L = 14 H und den Widerstand (Zuleitungen, Stromquelle) R = 0,50 Ω. τ sei die
Zeit, in der die Stromstärke durch die Spule beim
Einschalten von null auf 99% der Sättigungsstromstärke ansteigt:
Ue
R
I˙ + · I =
L
L
Die Lösung dieser Gleichung für eine konstante
angelegte Spannung Ue = U lautet (Beweis!):
R
U
+ C · e− L ·t
R
I(t) =
R
U
U 1 − e− L ·τ = 0,99 ·
R
R
I(τ ) =
Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt
I(0) =
U
+C =0
R
=⇒
C=−
R
e− L ·τ = 0,01 =
U
R
−
und damit
I(t) =
R
U
1 − e− L ·t
R
1
100
R
1
· τ = ln
= − ln 100
L
100
L
τ = · ln 100 = 129 s
R
Strom ausschalten
Beim Ausschalten des Stromes zur Zeit t0 = 0
gilt Ue = 0 für t > 0, die Lösung der Differentialgleichung lautet damit
R1
L
I
R
I(t) = C · e− L ·t
R2
R = R1 + R2
Mit der Anfangsbedingung I(0) = I0 folgt
Ue
R
S
I(t) = I0 e− L ·t
I0
t
85
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Energie des Magnetfeldes
Der Induktionsstrom
l
R
I(t) = I0 e− L ·t
A
nach dem Ausschalten wird von der Induktionsspannung Ui = −L · I˙ angetrieben. Die Leistung
des Induktionsstromes ist somit
dI
P = Ui · I = −LI˙ I = −LI
dt
Fassen wir zusammen:
Eine Spule mit n Windungen, der Länge l und der
Querschnittsfläche A wird vom Strom I durchflossen. Die magnetische Kraftflussdichte im Inneren
der Spule ist
µ0 nI
B=
,
l
ihre Induktivität
Ist W (t) die vom Induktionsstrom nach dem Ausschalten verrichtete Arbeit, dann gilt
P (t) = Ẇ =
n
I
dW
dI
= −LI
dt
dt
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist
1
W (t) = − LI(t)2 + C
2
L=
mit einer Konstanten C, wie man leicht mit der
Kettenregel nachweist. Mit der Anfangsbedingung W (0) = 0 folgt
1
W (0) = − LI02 + C = 0
2
=⇒
µ0 An2
l
und der im Wesentlichen auf das Volumen V = lA
konzentrierte Energieinhalt des Magnetfeldes ist
Wm =
1
C = LI02
2
B2
L 2 µ0 An2 B 2 l2
·V
·I =
· 2 2 =
2
2l
µ0 n
2µ0
Die Energiedichte (Energie pro Volumen) des Magnetfeldes ist also
und damit
W (t) =
1 2 1
LI − LI(t)2
2 0 2
wm =
Wegen lim I(t) = 0 folgt
B2
2µ0
t→∞
Beispiel:
1
lim W (t) = LI02
t→∞
2
Eine sehr große Spule eines Teilchendetektors hat
den Radius r = 3,20 m, die Länge l = 13 m und
n = 2196 Windungen. Der Strom durch die supraleitende Spule ist I = 2,0 · 104 A.
Die Induktivität der Spule ist
W kann nur vom Magnetfeld stammen, das von I0
erzeugt wurde. Im Magnetfeld einer Leiteranordnung der Induktivität L, die vom Strom I durchflossen wird, steckt also die Energie
Wm =
L=
L 2
·I
2
µ0 n 2 r 2 π
= 15 H.
l
Im Magnetfeld der Spule ist die Energie
W =
1 2
LI = 3,0 · 109 J = 833 kWh
2
gespeichert. Bei einem Preis von 0,3 ¿ pro kWh
kostet das Einschalten der Spule 250 ¿.
Die Kraftflussdichte in der Spule ist
B=
µ0 nI
= 4,25 T,
l
die Energiedichte des Magnetfeldes im Inneren
der Spule ist
wm =
86
W
W
J
B2
=
= 2 = 7,2 · 106 3 .
2µ0
V
r πl
m
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Masse des Elektrons
a
Die von der Glühkathode eines Fadenstrahlrohrs
emittierten Elektronen werden von der Anodenspannung U beschleunigt. Das ziemlich homogene Magnetfeld des Helmholtz-Spulenpaares zwingt
die Elektronen auf eine Kreisbahn mit Radius r.
Das Rohr ist mit einem verdünnten Gas gefüllt,
das von den Elektronen zum Leuchten angeregt
wird.

2eU
m 2

v = e U =⇒
v2 =



2
m
2  =⇒

e
B
r
v2


=⇒ v 2 =
evB = m
r
m
~
B
a
Q
~
r
~
r
M
A
Q
K
~
B
+ U_
6,3 V (Heizspannung)
Helmholtz-Spulenpaar
Mit den Versuchsdaten n = 130 und a = 15,0 cm
und den Messwerten
2eU
e2 B 2 r 2
=
m
m2
I = 1,71 A, U = 165 V und r = 3,25 cm
e
2U
= 2 2
m
B r
erhält man (als Zwischenergebnis nicht exakt gerundet)
e
heißt spez. Ladung des ElekDas Verhältnis m
trons.
Für das Magnetfeld B0 im Mittelpunkt M des
Rohres und in guter Näherung in der Ebene der
Elektronenbahn gilt
B ≈ B0 = 1,3326 · 10−3 T
und damit
C
e
= 1,76 · 1011
m
kg
23
4
n µ0 I
B0 =
·
5
a
Der heute (2014) beste Wert für
2010) ist
Dabei ist I der Strom durch die Spulen, n die
Windungszahl pro Spule und µ0 = 4 π · 10−7 TAm .
Experimente, bei denen die Bewegung geladener
Teilchen im Magnetfeld untersucht wird, liefern
e
. Um die Masse des
immer nur das Verhältnis m
Elektrons oder anderer Elementarteilchen zu messen, muss die Elementarladung e durch anders geartete Versuche bestimmt werden.
Netzsuche zu den Stichwörtern Millikan-Versuch
und Quanten-Hall-Effekt.
e
m
(gültig seit
e
As
= 1,758820088 · 1011
m
kg
Mit der Elementarladung
e = 1,602176565 · 10−19 A s
folgt für die Masse des Elektrons
me = 9,10938291 · 10−31 kg
Das Wienfilter
Eine Kombination aus einem homogenen elektri~ und einem darauf senkrecht stehenschen Feld E
~ mit einer Eintrittsden homogenen Magnetfeld B
und einer Austrittsblende nennt man ein Wienfilter. Die Felder müssen dabei so orientiert sein,
dass die Lorentzkraft auf ein in Durchlassrichtung
fliegendes Teilchen der elektrischen Kraft entgegen gerichtet ist. Für geladene Teilchen, die geradlinig durch das Wienfilter fliegen, gilt FB =
FE , d.h.
q·E = q·v·B
y
m
q
oder
v=
E
B
87
v0
O
v<
E
B
v>
E
B
~E
F
~
B
~B
F
~
E
x
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Massenbestimmung
Nebenstehende Abbildung zeigt als Beispiel
den Massenspektrografen nach Bainbridge: Ein
Strahl gleichartiger Teilchen (Masse m, Ladung
q mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten tritt
in ein Wienfilter ein. Die durchgehenden Teilchen
mit v = BE1 gelangen in ein homogenes Magnetfeld B2 und beschreiben dort eine Kreisbahn, gemessen wird ihr Durchmesser d:
mv 2
d
2
m=
~2
B
r
Skala
d
~1
B
Wienfilter
= |q|vB2
~
E
|q|dB1 B2
|q|dB2
=
2v
2E
Blenden
m
q
Das Zyklotron
Nebenstehende Abbildung zeigt den schematischen Aufbau eines Zyklotrons. Ein Strahl von
Teilchen mit der Ladung q (Elektronen, Protonen, Ionen,...) wird im elektrischen Feld zwischen
den beiden Duanden (Leiter in der Form einer
flachen, auseinandergeschnittenen Konservendose) beschleunigt. In den Duanden herrscht kein
elektrisches Feld (Faraday-Käfig). Die ganze Anordnung befindet sich im Vakuum und ist von ei~ durchsetzt. In einem Duanden
nem Magnetfeld B
wirkt nur die Lorentzkraft auf die Teilchen:
mv 2
= |q|vB
r
=⇒
Duand
Vakuum
~
B
Beschleuni-
∼ U
gungsfeld
Duand
r
m
=
v
|q|B
Teilchenquelle
r0
Die Zeit für einen halben Umlauf ist dann
T
rπ
mπ
=
=
2
v
|q|B
d.h. sie ist unabhängig vom momentanen Bahnradius r. Wenn ein positives Teilchen zur Zeit Null
die Teilchenquelle verlässt, dann muss zu diesem
Zeitpunkt der untere Duand positiv und der obere negativ sein. Zur Zeit T2 ,wenn das Teilchen in
der linken Hälfte das Beschleunigungsfeld durchquert, muss die Spannung an den Duanden gerade
umgepolt sein. Die Frequenz f der Wechselspannung U (t) = U0 cos ωt an den Duanden muss also
gleich der Umlauffrequenz f der Teilchen sein.
f=
U
U0
Beschleunigungsphasen
t
Die Endenergie Wmax der Teilchen ist durch den
Radius r0 des Zyklotrons begrenzt. Aus obigen
Gleichungen folgt
|q|B
2πm
vmax =
nennt man die Zyklotronfrequenz. Dem nebenstehenden Grafen entnimmt man, dass während der
Beschleunigungsphasen |U (t)| ≈ U0 gilt. Pro Umlauf wird die kinetische Energie eines Teilchens
also um 2qU0 vergrößert.
r0 qB
m
und daraus
Wkin,max =
88
r2 q 2 B 2
m 2
vmax = 0
2
2m
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Maxwellgleichungen
~
E
Die bisher gefundenen Erkenntnisse der Elektrodynamik lassen sich in vier Grundgesetzen zusammenfassen:
Ist A eine geschlossene Fläche, Qi die gesamte Ladung innerhalb von A, Φe der elektrische und Φm
der magnetische Fluss durch A, dann gilt der Satz
von Gauss für elektrische Felder und für magnetische Felder (siehe S. 68 und S. 79):
Qi
ε0
Φm = 0
Φe =
~
B
(M1)
(M2)
~
B
Iges
~
n
~
n
A∗
A∗
K
K
Die Fläche A∗ wird von der geschlossenen Kurve K berandet. Der Normalenvektor ~n legt den
positiven Umlaufssinn von K fest (Korkenzieherregel). Iges : Gesamtstrom senkrecht zu A∗
K
~ d~s = µ0 Iges
B
A
Geschlossene Fläche A. Nach außen zeigende Felder erzeugen positive, nach innen zeigende negative Flüsse durch A.
Das Induktionsgesetz (S. 81) lässt sich auch mit
Hilfe des Linienintegrals (S. 82) formulieren, das
vierte Grundgesetzt ist das Ampèrsche Durchflutungsgesetz (S. 83):
I
~ d~s = −Φ̇m
E
(M3)
I
A
Qi
(M4′ )
K
Q
Der Inhalt des Induktionsgesetzes (M3) besagt,
dass ein sich änderndes Magnetfeld von einem
elektrischen Feld umgeben ist. Es findet sich aber
nichts Gleichwertiges für ein sich änderndes elektrisches Feld in den bisherigen Gesetzen. J.C.
Maxwell gefiel diese Asymmetrie nicht und er
~′ = B
~ in neforderte die Existenz eines Feldes B
benstehender Anordnung.
Das Feld im Kondensator ist
E=
Q = ε0 A∗ E
I
Q
ε0 A∗
=⇒
~
E
A∗
I
~
B
I
~
B
~′
B
Φe ist der Fluss des elektrischen Feldes durch die
Fläche A∗ .
=⇒
~
E
I = Q̇ = ε0 A∗ Ė
~ d~s = µ0 I = ε0 µ0 A∗ Ė = ε0 µ0 Φ̇e
B
Iges
~
n
(M4′′ )
A∗
K
K
~
Ein elektrisches Feld E(t)
ist also von einem Ma~
gnetfeld B umgeben, das (M4′′ ) erfüllt.
Ist A∗ von einem elektrischen Feld und einem
Strom Iges durchsetzt, ergibt die Zusammenfassung von (M4′ ) und (M4′′ ):
I
~ d~s = µ0 Iges + ε0 µ0 Φ̇e (M4)
B
Zusammenfassend lauten die Grundgleichungen
des elektromagnetischen Feldes:
Qi
ε0
Φm = 0
Φe =
K
In den vier Maxwellgleichungen und dem Gesetz
für die Kraft auf ein geladenes Teilchen
(M1)
(M2)
I
~ d~s = −Φ̇m
E
(M3)
I
~ d~s = µ0 Iges + ε0 µ0 Φ̇e
B
(M4)
K
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
K
steckt die gesamte Elektrodynamik und damit
auch die Optik!
Maxwellgleichungen, 1873
89
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Definitionen und Regeln
Beispiele
Elektromagnetische Schwingungen
Der Schwingkreis
Der ideale Schwingkreis besteht aus einem Kondensator mit der Kapazität C und einer Spule
mit der Induktivität L, der Ohm’sche Widerstand
der Schaltung ist null. Zunächst müssen wir die
Vorzeichen der Kondensatorspannung UC und des
Stromes I festlegen. I sei positiv, wenn er im Uhrzeigersinn fließt (Richtung des Zählpfeils). UC ist
positiv, wenn die Ladung Q der rechten Platte positiv ist. Die Gesamtspannung entlang des Stromkreises in Zählpfeilrichtung muss null sein (Maschenregel). Die von der Spule erzeugte Indukti˙ die Spannung des Kondenonsspannung ist −LI,
sators in Zählpfeilrichtung (also von rechts nach
links) ist −UC :
−LI˙ − UC = 0
=⇒
LI˙ = −UC = −
L
I >0
I
C
Q
Zur Bestimmung von der Amplitude I0 braucht
man neben L und C noch einen weiteren Wert,
z.B. die maximale Kondensatorladung Q0 oder
die Gesamtenergie Wges der Schwingung.
Q
C
˙ = −LI0 ω cos ωt = −U0 cos ωt
UC (t) = −LI(t)
Differenzieren unter Beachtung von Q̇ = I:
mit
1
I¨ = −
I
LC
U0 = LI0 ω = I0
mit
√
I0
Q0 = U0 C = I0 LC =
ω
Die Gesamtenergie der Schwingung ist
1
ω= √
LC
lautet die Differentialgleichung für den Schwingkreis (Schwingungsgleichung)
¨ = −ω 2 I(t)
I(t)
1
1
LI(t)2 + CUC (t)2 =
2
2
1
1
= LI02 sin2 ωt + CU02 cos2 ωt =
2
2
1 2
= LI0 sin2 ωt + cos2 ωt =
2
1
1
= LI02 = CU02
2
2
Wges (t) =
(S1)
Die Lösung von (S1) ist
I(t) = I0 sin(ωt + ϕ)
(S2)
Beweis durch Einsetzen von (S2) in (S1).
I(t) beschreibt eine harmonische Schwingung mit
der Amplitude I0 , der Kreisfrequenz ω und der
Phase ϕ. Die Schwingungsdauer T ist die Periode
der Schwingung:
=⇒
Beispiel:
Schwingkreis mit C = 0,10 µF, L = 0,025 H und
U0 = 10 V:
ω=√
√
2π
= 2π LC
T =
ω
1
ω
1
√
=
=
T
2π
2π LC
Den Zeitnullpunkt (Start der Uhr) kann man immer so wählen, dass die Phase null ist:
Wges
I(t) = I0 sin ωt
90
1
1
= 2,0 · 104
s
LC
ω
= 3,18 · 103 Hz
2π
1
T = = 3,14 · 10−4 s
f
r
C
I0 = U0
= 0,020 A
L
1
1
= LI02 = CU02 = 5,0 · 10−6 J
2
2
f=
Die Frequenz der Schwingung ist
f=
L
C
Q(t) = CUC = −U0 C cos ωt = −Q0 cos ωt
Mit der Abkürzung
ωT = 2π
r
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Schwingungsgleichung
Beispiel: Masse an einer Feder
Jede von der Zeit abhängige physikalische Größe
f (t), die der Schwingungsgleichung
F
m
2
d f
= f¨(t) = −ω 2 f (t)
dt2
genügt, beschreibt eine harmonische Schwingung
x
x
0
x ist die Auslenkung aus der Ruhelage. Nach
Hook gilt für die Kraft auf die Masse
f (t) = A sin(ωt + ϕ)
F = ma = mẍ = −Dx
F >0 F <0
Auf eine Masse in der
Gleichgewichtslage
x0
x < x0 x0 x > x0 x
F
wirkt eine Kraft wie in
nebenstehender
Abbilx0
x
dung. In erster Näherung
(für kleine Auslenkungen) gilt F = −D(x − x0 ), d.h. der Körper führt
eine harmonische Schwingung um x0 aus. Ein Beispiel sind die Schwingungen der Atome in einem
Festkörper.
mit der Federkonstanten D.
ẍ = −
ω=
r
D
x = −ω 2 x
m
2π
f=
= 2π
ω
D
,
m
r
m
D
Gedämpfte Schwingung
Geht bei einer harmonischen Schwingung laufend
Energie verloren (z.B. durch Reibung), spricht
man von einer gedämpften Schwingung. Für den
elektrischen Schwingkreis mit ohmschem Widerstand R steht in der Schwingungsgleichung statt
UC der Term UC + RI:
LI˙ + UC + RI = 0
y
h1
t
(S3)
h2
1
R
I=0
(S4)
I¨ + I˙ +
L
LC
Die Lösung dieser Gleichung ist eine Schwingung
mit exponentiell abfallender Amplitude und einer
leicht verschobenen Frequenz:
I(t) = I0 e
mit
ω=
R
− 2L
·t
r
Wegen −1 ≦ sin(ωt + ϕ) ≦ 1 liegt der Graf von I
zwischen den Hüllkurven
sin(ωt + ϕ)
R
R
h1 (t) = I0 e− 2L ·t und h2 (t) = −I0 e− 2L ·t
R2
1
−
LC
4L2
Resonanz
Ein gedämpfter Schwingkreis wird von einer externen Spannungsquelle Ue = U0 sin ωt angeregt:
L
R
I
LI˙ + UC + RI = U0 sin ωt
(S5)
C
Ue
1
U0 ω
R
I=
cos ωt
(S6)
I¨ + I˙ +
L
LC
L
Die Lösung von (S6) für genügend großes t:
I0
I(t) = I0 (ω) sin(ωt + ϕ)
mit
I0 (ω) = q
U0
ωL −
1 2
ωC
ω0
+
I0 (ω) ist maximal für ω = ω0 =
R2
91
√1 .
LC
ω
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die Wellengleichung
Es gibt viele physikalische Größen u(x, t), die vom
Ort x und der Zeit t abhängen und der (eindimensionalen) Wellengleichung
1
u (x, t) = 2 ü(x, t)
c
′′
u
ct
f (x)
(W1)
0
genügen. Dabei bedeutet u′′ (x, t) die zweite Ableitung von u nach x bei konstant gedachtem t
und ü die zweite Ableitung von u nach t bei konstant gedachtem x. Die allgemeinste Lösung von
(W1) ist
u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)
f (x − ct)
t=0
t
c
x
Welle nach rechts
Beispiel:
u((x, t) = f (x − ct) mit f (x) = x2 , f ′ (x) = 2x
u((x, t) = (x − ct)2
d
d
(x − ct)2 = 2(x − ct) ·
(x − ct) =
u′ (x, t) =
dx
dx
= 2(x − ct) · 1 = 2(x − ct) = f ′ (x − ct)
d
d
u̇(x, t) = (x − ct)2 = 2(x − ct) · (x − ct) =
dt
dt
= 2(x − ct) · (−c) = −2c(x − ct) =
(W2)
wobei f und g beliebige zweimal differenzierbare
Funktionen sind.
f (x − ct) ist die um ct nach rechts verschobene
Funktion f (x). f (x − ct) beschreibt also eine sich
mit der Geschwindigkeit c nach rechts bewegende
Welle, deren Form durch f (x) gegeben ist.
g(x + ct) ist die um ct nach links verschobene
Funktion g(x). g(x + ct) beschreibt also eine sich
mit der Geschwindigkeit c nach links bewegende
Welle, deren Form durch g(x) gegeben ist.
= −cf ′ (x − ct)
Beweis, dass (W2) eine Lösung von (W1) ist:
u′′ (x, t) = f ′′ (x − ct) + g ′′ (x + ct)
u̇(x, t) = −cf ′ (x − ct) + cg ′ (x + ct)
Beispiele für physikalische Größen, die (zumindest näherungsweise) der Wellengleichung
genügen:
ü(x, t) = c2 f ′′ (x − ct) + c2 g ′′ (x + ct) =
= c2 [f ′′ (x − ct) + g ′′ (x + ct)] =
= c2 u′′ (x, t)
1
u′′ (x, t) = 2 ü(x, t)
c
Die Auslenkung in y-Richtung bei einem in
x-Richtung eingespannten Seil (schwingende Saite, Musik)
Die Dichteschwankung ∆̺ in einem Gas,
=⇒
Beispiel: Paralleldrahtsystem (Lechersystem)
einer Flüssigkeit oder in einem Festkörper
(Schallwellen)
I(x, t)
Die z-Koordinate (nach oben zeigend) einer
Ue
Wasseroberfläche (Wasserwellen)
U(x, t)
−I(x, t)
Elektrische und magnetische Felder (elek-
x
0
tromagnetische Wellen, Licht)
Für den Strom I und die Spannung U gelten die
Wellengleichungen
Die Stromstärke in einem idealen Leiter
(R = 0) (Antennen)
¨ t)
I ′′ (x, t) = ε0 µ0 I(x,
——————————————–
Momentaufnahme
einer
Ladungsund
Feldstärkeverteilung in einem Lechersystem:
U ′′ (x, t) = ε0 µ0 Ü (x, t)
Strom- und Spannungswellen breiten sich also mit
der Geschwindigkeit
Ue
0
1
m
c= √
= 399792458
ε 0 µ0
s
aus (Lichtgeschwindigkeit!).
x
92
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die fortlaufende Sinuswelle
Eine nach rechts laufende Welle
λ
u
u(x, t) = f (x − ct)
t=0
mit
x0
x
f (x) = u(x, 0) = A sin kx
nennt man eine nach rechts laufende Sinuswelle.
Die Periodenlänge
λ=
u
c
t=
2π
k
T
4
x
der Sinusfunktion heißt Wellenlänge, k ist die
Wellenzahl, A die Amplitude.
u
t=
u(x, t) = A sin k(x − ct) = A sin(kx − kct)
x
An einer festen Stelle x0 beschreibt
u(x0 , t) = A sin(kx0 − kct) = A sin ω(t − t0 )
u
t=
mit
kx0 − π
ω
eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω und der Frequenz
ω = kc
f=
T
2
3T
4
und t0 =
x
ω
kc
c
=
=
2π
2π
λ
Mit ω geschrieben lautet die Gleichung der nach
rechts laufenden Sinuswelle:
Die Frequenz f dieser Schwingung heißt auch Frequenz der Welle. Es gilt
u(x, t) = A sin(kx − ωt)
λf = c
Reflexion von Wellen
Eine auf ein Hindernis treffende Welle, das die
Bedingung (B1) erzwingt, wird also am Hindernis
reflektiert (u2 ist die reflektierte Welle). Mit der
trigonometrischen Formel
Eine nach links laufende Sinuswelle
u1 (x, t) = A sin(kx + ωt)
trifft bei x = 0 auf ein Hindernis, das
u(0, t) = 0 für alle t
sin α + sin β = 2 sin
(B1)
α+β
α−β
+ cos
2
2
folgt für die resultierende, sich vor dem Hindernis
aufbauende Welle
erzwingt (z.B. ein bei x = 0 fest eingespanntes
Seil). Die Lösung dieses Problems ist eine zusätzliche nach rechts laufende Sinuswelle
u(x, t) = A sin kx cos ωt
u
u2 (x, t) = A sin(kx − ωt).
0
Die resultierende Welle u = u1 + u2 , also
x
u(x, t) = A[sin(kx + ωt) + sin(kx − ωt)]
erfüllt die Wellengleichung (W1) und wegen
u(x, t) beschreibt eine stehende Welle mit der von
der Zeit abhängigen Amplitude A cos ωt.
Die Knoten (Nullstellen) der stehenden Welle haben den Abstand λ2 .
u(0, t) = A[sin ωt + sin(−ωt)] = 0
auch die Bedingung (B1).
93
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Die stehende Welle
Beidseitig geschlossenes System:
Eine stehende Welle
a
u
u(x, t) = A sin kx cos ωt
0
die neben der Bedingung (B1) auch noch
n=1
u(a, t) = 0 für alle t
(B2)
0
x
n=2
λ2 = a
2. Hauptschwingung, 1. Oberschwingung
u
a
0
2a
λn =
n
λ3 =
n=3
2
3
x
a
3. Hauptschwingung, 2. Oberschwingung
Die möglichen Frequenzen der stehenden Welle
mit den beiden Randbedingungen (B1) und (B2)
sind dann
c
c
fn =
=n·
λn
2a
Beidseitig offenes System:
a
u
λ1 = 2a
Beispiele für stehende Wellen, die (B1) und
(B2) genügen, sind die schwingende Saite (u
ist die Auslenkung senkrecht zur Saite) und die
Stromstärke im offenen Paralleldrahtsystem oder
in einem geraden Leiter der Länge a (Dipol).
a
0
u
λ2 =
a
0
a
offenes Lechersystem
a
u
λn
mit n ∈ N
2
a
x
λ1 = 2 a
1. Hauptschwingung
erfüllen muss (z.B. eine bei x = 0 und x = a fest
eingespannte Saite), existiert nur für bestimmte Wellenlängen, da a ein ganzzahliges Vielfaches
des Knotenabstandes λ2 sein muss:
a=n·
a
Dipol
x
2a
2
x
u
λ3 =
Beispiele für stehende Wellen mit maximalen
Werten von u bei x = 0 und x = a, d.h. u′ (0, t) =
u′ (a, t) = 0, sind die Stromstärke im beidseitig
geschlossenen Lechersystem oder die Luftschwingungen in einem beidseitig offenen Rohr.
a
0
2a
3
x
Einseitig geschlossenes und einseitig offenes System:
a
a
u
geschlossenes Lechersystem
λ1 = 4a
0
Beispiele für einseitig geschlossene (einseitig offene) Systeme sind das einseitig geschlossene Rohr,
das entsprechende Lechersystem oder ein geerdeter Dipol ( λ4 -Dipol, Stabantenne).
a
u
λ2 =
0
a
x
4a
3
x
a
a
einseitig offenes Lechersystem
u
λ
4 Dipol
λ3 =
0
Für das einseitig offene und einseitig geschlossene
System gilt
4a
λn =
2n − 1
94
a
4a
5
x
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Genauere Betrachtung der Schwingung eines
λ
2 -Dipols:
1. Hauptschwingung
~
E
~
B
t=
t=0
T
4
t=
T
2
t=
3T
4
~
B
~
E
2. Hauptschwingung
Da der gerade Leiter in der Grundschwingung genau eine halbe Wellenlänge lang ist, nennt man
ihn auch λ2 -Dipol. Der Dipol ist die einfachste Form eines elektrischen Schwingkreises. Im
geschlossenen Schwingkreis, bestehend aus einer
~
Spule und einem Plattenkondensator, sind die E~
und B-Felder
fast ausschließlich auf den Innenraum der Bauteile beschränkt. Beim Dipol dagegen erstrecken sich die Felder weit in den umgebenden Raum. Der Dipol wirkt als Antenne zur
Abstrahlung elektromagnetischer Felder.
λ
Die Ankopplung eines Di2
I
pols an einen Hochfrequenzgenerator (Sender)
IGen
geschieht meist induktiv
wie in der Abb. Da ein
Generator
Sender meistens nur eine
feste Frequenz benützt, kann die Dipollänge optimal abgestimmt werden (eben eine halbe Wellenlänge). Die Dipollänge eines Empfängers, der
Sender mit Frequenzen aus einem größeren Bereich empfangen soll (z.B. UKW), ist immer ein
Kompromiss.
Eine genaue Analyse der Maxwell’schen Gleichungen liefert für große Entfernungen zu den
felderzeugenden Ladungen folgende Beziehungen,
die zum Teil für einen Dipol im Ursprung sofort
einsichtig sind:
~ c ,
E⊥~
~ c ,
B⊥~
~ B
~
E⊥
,
x
~
B
~
~ = ~c × E
B
2
c
y
~
E
~
Das B−Feld
schwingt also gleichphasig mit dem
~
E−Feld. Für die Beträge der Felder gilt
B=
x
~
B
E
c
y
~
E
Eine Welle, deren Größen in einer Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung konstant sind,
heißt ebene Welle. Weit weg von einem Sender
sind alle Wellen näherungsweise ebene Wellen.
Die Wellenabstrahlung eines Dipols rührt von den
schwingenden Ladungsträgern (Elektronen) her.
Allgemein gilt:
x
y
Jede beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab!
~
E
~
E
c
x
z
Beispiele: Synchrotronstrahlung bei Kreisbeschleunigern, Bremsstrahlung von z.B. in Materie
abgebremsten Ladungen
95
~
B
~
B
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Energietransport in elektromagnetischen
Wellen
Wegen
Einer mathematischen Formelsammlung entnimmt man
sin2 x =
E
1
B=
und c = √
c
ε 0 µ0
ist die Energiedichte in einer elektromagnetischen
Welle
1
(1 − cos x)
2
sin2 x
1
1 2
ε0 2
B =
E +
2
2µ0
ε0
1
=
E 2 = ε0 E 2
+
2
2µ0 c2
0
w(x) =
x
π
cos x
sin2 x entsteht aus der cos-Funktion durch
Streckung mit dem Faktor 21 , Spiegeln an der xAchse und Verschiebung um 21 nach oben.
Speziell in einer Sinuswelle
E(x) = E0 sin(kx − ωt)
ist die Energiedichte
w(x) = ε0 E02 sin2 (kx − ωt)
A1
00
λ
Beispiel: Die Intensität der Sonnenstrahlung kapp
W
ausserhalb der Erdatmosphäre ist J = 1367 m
2
(Solarkonstante). Die Sonne strahlt also die Leistung (r = 1,5 · 1011 m)
∆W
∆P
=
= wc
A
A∆t
oder
1
ε0 cE02
2
P = 4πr2 J = 3,9 · 1026 W
ab.
Die Strahlung eines Senders der Leistung P (z.B.
eines Stern), der seine Energie gleichmäßig in alle
Richtungen (isotrop) abstrahlt, hat in der Entfernung r vom Sendermittelpunkt die Intensität
Beispiel: Ein λ2 -Dipol
der
Sendeleistung
P = 1 kW erzeugt am
Punkt A die Intensität
(ϕ = 90◦ )
P
4πr2
J=
(Verleilung der Energie auf eine Kugelfläche mit
Radius r).
Ein Dipol strahlt nicht isotrop. Ist ϕ der Winkel
zwischen der Dipolachse und der Strahlrichtung,
dann gilt für einen λ2 -Dipol
J=
λ
2
Den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall auf der x-Achse findet man, indem man die
Fläche, die vom Grafen und der x-Achse eingeschlossen wird (Flächen unter der x-Achse negativ), in eine Rechtecksfläche gleicher Breite verwandelt. Der Mittelwert ist dann die Höhe des
Rechtecks. Wegen A1 + A2 = A3 + A4 + A5 ist
der Mittelwert von sin2 kx über eine volle Wellenlänge gleich 12 .
∆W ist die Energie, die in der Zeit ∆t auf eine Fläche A trifft. Die Leistung ∆P , die auf eine senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende
FLäche A trifft, nennt man die Intensität oder
Bestrahlungsstärke der Welle:
J=
A5
A4
A3
∆W = wA∆x = wAc∆t
J=
A2
1
2
Der Mittelwert der Energiedichte (siehe rechts)
ist
ε0
w = E02
2
Ein Volumen mit der Querschnittsfläche A senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und der Dicke
∆x = c∆t enthält die Wellenenergie
J=
sin2 kx
y
A
z
100 m
3P
W
= 0,012 2
8πr2
m
und die Amplitude des elektrischen Feldes
r
r
2J
3P
V
E0 =
=
= 3,0
2
ε0 c
4πr ε0 c
m
3P
sin2 ϕ
8πr2
96
x
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Reflexion und Brechung
Die Menge aller zusammenhängenden Maxima einer Welle nennen wir eine Wellenfront. Die Wellenfronten einer ebenen Welle sind parallele Ebenen im Abstand je einer Wellenlänge, die Wellenfronten einer Kugelwelle sind Kugelschalen, deren
Radien sich je um eine Wellenlänge unterscheiden. Trifft eine Welle auf eine sehr kleine Öffnung in einer für die Welle undurchlässigen Wand,
dann geht von der Öffnung eine kugelförmige Elementarwelle aus.
Christian Huygens (1629 - 1695) hat diese Tatsache verallgemeinert (Huygens’sches Prinzip):
Wellenfront
ebene
Welle
Von jedem Punkt eines beliebigen Wellenfeldes geht eine kugelförmige Elementarwelle aus. Die Einhüllende aller von einer
Wellenfront ausgehenden Elementarwellen
bildet eine neue Wellenfront.
Die Ableitung des Huygens’schen Prinzips aus
den Maxwellgleichungen gelang Gustav Kirchhoff (1824 - 1887).
Elementarwellen
Elementarwellen
neue Wellenfronten
In durchsichtigen Stoffen (Medien) ist die Lichtgeschwindigkeit c′ kleiner als im Vakuum (c).
Vereinfacht ausgedrückt absorbiert ein Atom das
Licht und sendet es zeitlich versetzt wieder aus.
Das Verhältnis
c
n= ′
c
heißt Brechungsindex des Mediums.
Eine ebene Welle breitet sich in einem Medium
mit der Geschwindigkeit c1 = nc1 aus und trifft
auf die ebene Grenzfläche zu einem anderen Medium mit der Wellengeschwindigkeit c2 = nc2 . Die
einfallende Wellenfront 1❥trifft zur Zeit t = 0
im Punkt A auf die Grenzfläche. Zur Zeit T = λc11
trifft 1❥in B und 2❥in A auf die Grenzfläche
u.s.w. Überall dort, wo eine Wellenfront auf die
Grenzfläche trifft, geht vom Auftreffpunkt eine
Elementarwelle aus. Die Abbildung zeigt die Ele, 2❥
mentarwellen, die von den Wellenfronten 1❥
❥
und 3 zu den Zeiten 0, T und 2 T erzeugt wurden. Der Abb. entnimmt man für den Einfallswinkel α und den Ausfallswinkel β
sin α =
3λ1
3c1 T
=
AD
AD
,
sin β =
3λ2
3c2 T
=
AD
AD
Einfallende Welle
3
c1
2
c2 < c1 , n2 > n1
3λ1
c1
c2
α
A
D
β
1
3λ2
2
1
C
B
2
3
Einfallslot
1
λ2
α α′
c2
n1
n2
1
Momentaufnahme zur Zeit 3T
1
n2
2
n1
=⇒
n2
sin α ≦
n1
β
n1 > n2
n2
sin α =
sin β
n1
sin β ≦ 1
1
λ1
αg
3
3
2
2
1
1
und erhält damit das Brechungsgesetz
Beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch
dünnere Medium (n1 > n2 ) ist nn12 < 1 und es gibt
einen Grenzwinkel αg mit
n2
c1
sin α
=
=
sin β
c2
n1
Zeichnet man die Elementarwellen im Medium 1
ein (mit λ1 !), erhält man das Reflexionsgesetz
sin αg =
n2
,
n1
für den es gerade noch einen gebrochenen Strahl
gibt. Für größere Einfallswinkel gibt es nur den
reflektierten Strahl (Totalreflexion).
α = α′
97
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Polarisation
Eine elektromagnetische Welle heißt linear polari~ seine Schwinsiert, wenn der Feldstärkevektor E
gungsrichtung nicht ändert. Die Strahlung eines
Dipols ist z.B. linear polarisiert.
Ein Polarisationsfilter (Polfilter) besteht aus einem Material, in dem die Elektronen nur in eine
Richtung schwingen können, d.h. er besteht aus
lauter kleinen Dipolen. Liegt die Länge dieser Dipole in der Größenordnung der Wellenlänge der
einfallenden Strahlung, dann werden die Dipole
von der zur Dipolachse parallelen Komponente
~ k der einfallenden Welle zum Mitschwingen anE
~ k wird vom Polfilter also reflektiert (wie
geregt. E
an einer Metallwand) und ist somit hinter dem
Filter nicht mehr vorhanden. Ein Polfilter lässt
~ ⊥ der Welle durch, der senkalso nur den Teil E
recht auf den Dipolachsen steht. Die Welle nach
dem Polfilter ist linear polarisiert.
Ein Polfilter für Mikrowellen (cm-Bereich) besteht aus einem Gitter von parallelen Drähten.
Polfilter für Licht (400 nm bis 800 nm) werden
aus Kunststoffen gefertigt, die aus langgestreckten Molekülen bestehen, die ein über das ganze
Molekül frei bewegliches Elektron besitzen.
~ e auf ein PolTrifft eine linear polarisierte Welle E
~ e und der
filter und ist ϕ der Winkel zwischen E
~
Durchlassrichtung D, dann gilt für den Betrag des
Feldstärkevektors der durchgehenden Welle
~⊥
E
ϕ
~e
E
~
D
Elektron
~k
E
Durchlassrichtung
~d
E
~
c
~
D
Pol-Filter
~e
E
~2 = 0
E
~1
E
~
D
~′
D
lin. pol.
natürliches
Ed = E⊥ = Ee · cos ϕ
~ D
~′
D⊥
Licht
Für die Intensität der durchgehenden Welle gilt
dann wegen J ∼ E 2
Der Mittelwert der Funktion cos2 ϕ über eine volle Periode ist 12 (siehe S.96). Ein Polfilter reduziert die Intensität natürlichen Lichts also um
50%.
Jd = Je · cos2 ϕ
Natürliches Licht, das alle Polarisationsrichtungen enthält, wird durch ein Polfilter linear polarisiert. In nebenstehender Abbildung trifft natürliches Licht auf ein Polfilter mit der Durchlassrich~ Danach ist es linear polarisiert (E
~ 1 k D).
~
tung D.
Trifft dieses polarisierte Licht jetzt auf ein wei~ ′ senkteres Polfilter, dessen Durchlassrichtung D
◦
~
recht auf D steht, dann ist wegen cos 90 = 0 die
Welle hinter dem zweiten Filter verschwunden.
98
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Interferenz
Überlagerung von zwei Wellen gleicher Wellenlänge und gleicher Amplitude. Die Entfernung
d zweier Wellenberge (Maxima) ist der Gangunterschied der beiden Wellen.
d
Ist d ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge
(d = nλ, n ∈ Z), dann trifft Berg auf Berg und
Tal auf Tal, die resultierende Welle hat die doppelte Amplitude der Einzelwellen (Verstärkung).
d = nλ, n ∈ Z
Ist d ein halbzahliges
Vielfaches der Wellenlänge
(d = n + 21 λ, n ∈ Z), dann trifft Berg auf Tal
und die resultierende Welle hat die Amplitude
null (Auslöschung).
Wir betrachten jetzt zwei im Gleichtakt schwingende (gleichphasige) Sender S1 und S1 im Abstand d = S1 S2 , die Gerade g ist ein Lot auf
S1 S2 . In die Richtung, die den Winkel ϕ mit g
einschließt, haben die von S1 und S2 ausgehenden Wellen den Gangunterschied
d= n+
1
2
λ,
S1
δ = d sin ϕ
sin ϕn =
nλ
,
d
g
δ
Zur maximalen Verstärkung der Welle kommt es,
wenn δ ein ganzzahliges Vielfaches von λ ist, also
für alle Winkel ϕn mit
n∈Z
ϕ
d ϕ
S2
n∈Z
(Verstärkung)
Zur totalen Auslöschung der Welle kommt es,
wenn δ ein halbzahliges Vielfaches von λ ist, also
für alle Winkel ϕm mit
sin ϕm =
1 λ
,
m+
2 d
hell
dunkel
hell
ϕ
m∈Z
Schirm
(Auslöschung)
hell
dunkel
ϕ
Beispiel: Ein Laserstrahl (enthält nur Licht einer Wellenlänge λ) fällt auf ein Gitter mit dem
Spaltabstand d = 5,00 · 10−6 m. Auf einer Wand
im Abstand a = 4,00 m zum Gitter findet man
das Maximum 1. Ordnung in der Entfernung x =
0,510 m zum Maximum 0. Ordnung.
tan ϕ1 =
x
= 0,1275
a
hell
Schirm
x
Gitter
dunkel
hell
x
Laser
=⇒
x
Doppelspalt
Trifft Licht senkrecht auf einen Doppelspalt, dann
wirken die Spaltöffnungen wie zwei gleichphasige
Sender.
Mit einem optischen Gitter (viele Spalte in gleichem Abstand) anstatt eines Doppelspalts treten
die Interferenzeffekte viel deutlicher hervor.
dunkel
hell
a
ϕ1 = 7,27◦
ϕ
x
n=1
=⇒
λ = d sin ϕ1 = 632 nm
Gitter
99
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Beugung
Paralleles Licht fällt auf einen Spalt der Breite a. Nach dem Huygens’schen Prinzip kann jeder Punkt des Spalts als Ausgangspunkt einer
kugelförmigen Elementarwelle angesehen werden.
Von jeder zu b parallelen Strecke des Spaltes
geht dann eine zylinderförmige Elementarwelle
aus (Einhüllende aller von der Strecke ausgehenden Kugelwellen).
Zur Herleitung der Intensitätsverteilung J(ϕ)
hinter dem Spalt denkt man sich den Spalt in
n äquidistante Sender mit dem gegenseitigen
Abstand d = na zerlegt und führt dann den
Grenzübergang n → ∞ aus. Dazu muss man
die Formel für die Intensitätsverteilung Jn (ϕ) des
Gitters kennen und nicht nur die Winkel mit maximaler Intensität. Die ganze Herleitung findet
man im LK-Skript zur Elektrodynamik. Das Ergebnis für die Intensitätsverteilung hinter dem
Spalt lautet


sin2 u
f ür ϕ 6= 0
J
·
0
J(ϕ) =
u2

J0
f ür ϕ = 0
S1
d
d
d
b
a
Sn
a
L
ϕ
a
J(0) = J0
mit
a π sin ϕ
λ
Die Nullstellen von J liegen bei ϕk mit
u=
sin ϕk = k ·
λ
,
a
Die Intensitätsverteilung J(ϕ) für a = 3λ und
−90◦ < ϕ < 90◦ :
J
k ∈ Z \ {0}
91% der gesamten Energie des Lichtes nach dem
Spalt findet man im Hauptmaximum zwischen
−ϕ1 und ϕ1 .
Für eine kreisförmige Blende mit dem Durchmesser a gilt für das erste Beugungsminimum mit
ε = ϕ1 :
λ
sin ε = 1,22 ·
a
Ein paralleles Lichtbündel hat nach dem Durchgang durch eine kreisförmige Blende mit dem
Durchmesser a also den Öffnungswinkel ε mit
ϕ1
ϕ1
−ϕ1
ϕ
Blende
ϕ
λ
sin ε = 1,22 ·
a
a
Schirm
Die Beugung beeinträchtigt das Auflösungsvermögen optischer Instrumente und verhindert
die Herstellung echt paralleler Lichtbündel.
Licht
L
ε
a
D
ε
100
Minimum
1. Ordnung
Grundwissen Physik – Jahrgangsstufe 11
Definitionen und Regeln
Beispiele
Elektromagnetisches Spektrum
Vereinigt man die Spektralfarben mit einer Linse,
so entsteht wieder weißes Licht:
Der in folgender Abbildung dargestellte Versuch
(das Gitter hat 570 Linien
mm , L = 2,00 m) liefert
für die Ränder des Spektrums 1. Ordnung xv1 =
47 cm und xr1 = 102 cm. Damit folgt aus
tan ϕ =
x
,
L
d=
1 mm
570
Weißes Licht ist ein Gemisch aller Wellenlängen des sichtbaren Lichts!
und λ = d sin ϕ
für die Wellenlängen des sichtbaren Lichts:
400
| {znm}
<
≈
λ
<
≈
800
| {znm}
rot
violett
Linse
Spalt
Schirm
Gitter
L
weißer Fleck
xv1
violett
xr1
Bogenlampe
1. Ordnung
rot
violett
2. Ordnung
rot
λ
m
104
Überblick über das elektromagnetische Spektrum
Name
Erzeugung
Anwendung
↑ Niederfrequenz ↑
↑ Generatoren ↑
Mikrofone
103
Langwelle
102
101
Mittelwelle
Kurzwelle
0
10
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5
−6
10
10−7
Schwingkreis
UKW
Dezimeterwellen
Fernsehen
Radar
Mikrowellen
Klystron
Infrarot
(Temperaturstrahlung)
Atome
sichtbares Licht
UV
10−8
10−9
10−10
Röntgenröhre
Röntgenstrahlung
Herd
Medizin
(Wärme)
Medizin
(Diagnostik)
Beschleuniger
10−11
10−12
10−13
10−14
10−15
Rundfunk
Atomkerne
Teilchenvernichtung
Gammastrahlung
↓
↓
↓
↓
Höhenstrahlung
101
Materialprüfung