physikalische Darstellungen

Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Ein Vortrag zum Seminar
Höhere Theoretische Physik
„Teilchen, Symmetrien und
Quantentheorie“
Physikalische
Darstellungen der
Poincaré - Gruppe
von Nadia Amor, Johanna Fleckner
und Andrea Neusiedl
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2
Ziel:............................................................................................................................. 3
Kapitel I: Überblick über die wichtigsten Operatoren und deren Eigenschaften ......... 4
Erzeugende............................................................................................................. 4
Casimir-Operatoren ................................................................................................ 5
Kapitel II: Massive Teilchen: m≠0 ............................................................................... 7
Kapitel III: Massive Einteilchen - Zustände und Poincaré – Gruppe ........................... 8
Erinnerung an aktive und passive Drehung ............................................................ 8
Anwendung auf einen physikalischen Zustand ...................................................... 9
Homogene Transformationen (a=0) ...................................................................... 10
Wigner‘sche Drehung............................................................................................ 11
Reine Translationen .............................................................................................. 12
Allgemeine Transformationen ............................................................................... 12
Kapitel VI: Masselose Teilchen................................................................................. 13
Operatoren Wλ ...................................................................................................... 15
Helizität ................................................................................................................. 16
Spin....................................................................................................................... 18
Aktuelles Beispiel: Neutrinos................................................................................. 19
Zusammenfassung ................................................................................................... 20
Klassifikation der Darstellungen:........................................................................... 20
Betrachtung von Symmetrien:............................................................................... 21
Literaturverzeichnis: ................................................................................................. 22
Bücher:.................................................................................................................. 22
Internet:................................................................................................................. 22
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Ziel:
Ziel dieses Vortrages ist die Beschreibung elementarer, mikrophysikalischer Objekte
wie Atome, Kerne oder Elementarteilchen, welche im Folgenden zur Vereinfachung
nur noch allgemein als „Teilchen“ bezeichnet werden sollen.
Grundlage der hier gemachten Überlegungen ist ein Postulat von Wigner, welches im
Wesentlichen aussagt, dass kräftefreie dynamische Zustände von Teilchen nach den
Eigenwerten ihrer Masse und ihres Spins klassifiziert werden können. Dabei erhält
man 4 Eigenwerte der P̂ µ (der Energie und des Impulses) und eine Komponente des
Spins.
Diese Spin- Eigenwerte bilden den Schwerpunkt unserer Betrachtungen.
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Kapitel I: Überblick über die wichtigsten Operatoren und
deren EigenschaftenErzeugende
Es sollen nun zunächst noch einmal die bereits im Vortrag über die Lorentz- und
Poincaré-Gruppe eingeführten Erzeugenden wiederholt werden:
Dabei sind zunächst die Erzeugenden von Translationen in Raum und Zeit, Pν , zu
nennen. Dabei sind die iPν (5x5)-Matrizen mit einer „1“ an (5, ν )-ter Stelle, also
0 0 0 0 1


 0 0 0 0 0
z.B. :
P0 = −i  0 0 0 0 0 
(1)


 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0


Die Entsprechung zu den sechs Parametern der Lorentz- Gruppe nimmt in
Matrixform folgende Gestalt an:
K1 K 2 K 3 
 0


0
J3 − J2 
 − K1
(2)
M µν = 
− K 2 − J3
0
J1 


− K
J 2 − J1
0 
3

Aus den bisherigen Studien der Lorentz-Gruppe ist bekannt, dass man eine
infinitesimale, spezielle Lorentz-Transformation entwickeln kann:
(3)
Λ = 1 − 12 (δωµν M µν )
Vergleicht man nun die sich hieraus ergebende Form der eigentlichen endlichen
Lorentz-Transformation mit der bereits bekannten,
Λ = exp(− 12 ωµν M µν )
(4)
r
r
= exp(−iφˆ J ) ⋅ exp(−iψˆ K ),
so folgt eine formell aus der Elektrodynamik bekannte Matrixform (vgl. Fµν ):
 0

ψ
⇒ ωµν = −i  1
ψ
 2
ψ
 3
− ψ1
− ψ2
0
− φ3
φ3
− φ2
0
φ1
− ψ3 

φ2 
− φ1 

0 
.
(5)
Man kann nun entweder über Vergleich der beiden Exponentialfunktionen in
Gleichung (4) oder mit Hilfe einer Lagrangefunktion (s. Greiner, W.: Relativistische
Quantenmechanik) eine sehr anschauliche Darstellung für M µν finden:
M µν = x µ Pν − x ν Pµ .
(Auch an dieser Stelle sei noch einmal an die Elektrodynamik erinnert.)
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(6)
Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Casimir-Operatoren
Diese nach dem 1909 in Den Haag geborenen Hendrik Casimir benannten
Operatoren zeichnen sich dadurch aus, dass sie mit allen Generatoren Pµ , M µν
kommutieren. Dabei sind sie keineswegs eindeutig, da Linearkombinationen oder
Potenzen von Casimir-Operatoren trivialerweise wieder Casimir-Operatoren bilden.
Diese Mehrdeutigkeit ermöglicht eine Auswahl möglichst einfacher und vor allem
physikalisch bedeutungsvoller Operatoren. So erfüllt der Eins-Operator zwar
offensichtlich die Forderung mit den Generatoren zu kommutieren hat aber keinerlei
physikalische Bedeutung.
Anders verhält es sich für P 2 = Pµ P µ . Wir wollen zunächst zeigen, dass dies in der Tat
ein Casimir-Operator ist. Dazu müssen wir einige Kommutatoren studieren:
[Pµ , Pν ] = 0,
[J i , Pj ] = i ε ijk Pk , [J i , P0 ] = 0
(7)
[K i , Pj ] = i δ ik P0 , [K k , P0 ] = iPk
Damit wird aus P 2 = Pµ P µ = (P0 ) 2 − P 2 :
[P 2 , P µ ] = 0
(8)
[P 2 , J i ] = 0, [P 2 , K i ] = 0.
Ebenso:
[P ², M µν ] = [P α Pα , M µν ]
= P α M µν Pα − P α M µν Pα + P α Pα M µν − M µν P α Pα
= P α M µν Pα − M µν P α Pα + P α Pα M µν − P α M µν Pα
= [P α , M µν ]Pα + Pα [P α , M µν ]
(9)
= {[ Pα , M µν ], P α }
= i{g µα Pν − g µα Pµ , P α }
= i 2(Pν Pµ − Pν Pµ )
=0
Das nun nahe liegende Analogon zu P 2 , also M 2 , ist leider kein Casimir-Operator,
daher wird zunächst der sogenannte kovariante Spinvektor von Paul und Lubanski
definiert:
Wσ := 12 ε µνσλ M µν P λ
(10)
Dabei
ist
ε µνσλ das
vollständig
antisymmetrische
Levi-Cività-Symbol
in
vier
Dimensionen, welches hier mit der Konvention verwendet wird, dass ε 0123 = +1 gilt.
Man erhält wie in drei Dimensionen für gerade Permutationen einen Faktor +1, für
ungerade entsprechend -1. Dabei gilt es hier zu beachten, dass in vier Dimensionen
eine zyklische Vertauschung nunmehr eine ungerade Permutation ist!
(Bemerkung: Für diejenigen, die die Schreibweise als Skalarprodukt der in
Komponentenschreibweise vorziehen, sei hier erwähnt, dass der Spinvektor sich
r r r
r r
auch schreiben lässt als: Wσ = ( J ⋅ P, JP0 + K × P) .)
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Untersuchen wir nun den Spinvektor auf seine Eigenschaften, so stellen wir als
erstes fest, dass seine einzelnen Komponenten nicht miteinander kommutieren:
(11)
[W µ , W ν ] = i ε µνβγ W β P γ
--------------------------------------------------------------------------------Beweis:
Zunächst müssen zwei Hilfskommutatoren berechnet werden.
[ x µ , Wτ ] = 12 ε ταβγ [ x µ , M αβ P γ ]
= 12 ε ταβγ (M αβ [ x µ , P γ ] + [ x µ , M αβ ]P γ )
a)
(12)
= 2i ε ταβµ M αβ
[M αβ , Wτ ] = [ x µ P ν − x ν Pµ , Wτ ]
= [ x µ , Wτ ]P ν −[ x ν , Wτ ]Pµ
b)
= − 2i (ε ταβµ M αβ Pν − ε ταβν M αβ Pµ )
(13)
= i(g ντ Wµ − g µτ Wν )
Daraus folgt nun schließlich:
[W , W ] =
µ
ν
1
2
ε µαβγ [M αβ , Wν ]P γ
β
α
= 2i ε µαβγ (g ν W α − g ν W β )P γ
(14)
= iε µνβγ W β P γ
--------------------------------------------------------------------------------Also bilden wir das Quadrat:
W 2 = Wµ W ν (15)
Bemerkung: Anstelle der vier Komponenten der Pµ kann man auch nur drei von
ihnen und P² verwenden; es kann aber nur eine Komponente des Spinoperators im
Satz aufgenommen werden (analog zum normalen Drehimpuls).
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Kapitel II: Massive Teilchen: m≠0
Bevor die massiven Teilchen nun näher auf ihre Spineigenwerte untersucht werden,
hier eine kurze Erinnerung an die bereits bekannten, das Teilchen
charakterisierenden
Eigenwerte:
r2
2 2
P ↔m c
m : invariante Ruhemasse
P 0 ↔ Ec
r
r
P↔p
r
p, E bzgl. einer Klasse von Bezugssystemen mit ausgezeichneter Zeitachse
Jedes massive Teilchen besitzt ein eigenes Ruhesystem. Bei vorgegebenem Impuls
p kann man immer eine spezielle Lorentz-Transformation angeben, die in dieses
Ruhesystem transformiert.
r
Im Ruhesystem gilt p = (mc,0) T .
Außerdem stellen wir nach Erinnerung an den Spinvektor, Wσ := 12 ε µνσλ M µν P λ ,
folgendes fest:
Für σ = 0 :
W0 Ψ = 0 Ψ ,
da zwei Indizes gleich sind.
Für σ = 1,2,3 : Wi = mc J i
[( ) , ( )] = i ε
i
W
mc
j
W
mc
(17), (18) ⇒
(16)
(17)
k
W
ijk mc
Ŵ 2
(mc) 2
(18)
Ψ = j( j + 1) Ψ
D.h. um den Spin eines massiven Teilchens quantitativ festzustellen, muß man
in sein momentanes Ruhesystem gehen und es dort allen möglichen Drehungen des
Koordinatensystems im IR³ unterwerfen.
In der Sprache der D-Matrizen heißt dies, dass wenn sein Zustand mit D(j) antwortet,
das Teilchen den Spin j hat.
Betrachten wir nun noch einen raumartigen Einheitsvektor n, der senkrecht zu p
stehen soll, d.h.
n²= -1 (19)
(n⋅p)=0
(20)
Im Ruhesystem gilt nun:
0
n = (0, n̂ )
n 2 = −n̂ 2 = −1
mit EW µ
(21)
(22)
(23)
( W ⋅ n ) = J ⋅ n̂ =: J n̂
Da das Lorentz-Skalarprodukt (W⋅n) Invariante nter allen speziellen LorentzTransformationen ist, ist µ Eigenwert in jedem Bezugssystem!
1
mc
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Kapitel III: Massive Einteilchen - Zustände und Poincaré –
Gruppe
Wir wollen uns in diesem Kapitel nun der Frage widmen, wie eine beliebige PoincaréTransformation (Λ, a) auf einen Zustand eines Einteilchen Systems wirkt.
Wir betrachten nun ein Teilchen mit Masse, das den Spin s besitzt. Alle weiteren
Quantenzahlen seien mit α charakterisiert; sie sind hier aber nicht von Bedeutung.
Erinnerung an aktive und passive Drehung
Ich erinnere kurz an den Unterschied zwischen der aktiven und passiven
Interpretation einer Drehung im R3:
Passive Interpretation:
Bei der passiven Interpretation wird das Bezugssystem gedreht; das physikalische
Objekt jedoch nicht.
Aktive Interpretation:
Hier wird das physikalische Objekt gedreht, das Bezugssystem aber nicht.
Eine aktive Drehung wird in Euler’schen Winkeln beschrieben durch:
R = e iJ 3Ψ e iJ 2Θ e iJ 3Φ
Die Drehung im Raum impliziert eine unitäre Transformation im Hilbertraum, die
durch die D-Matrizen gegeben ist:
( j)
Dm
µ (Ψ ,Θ ,Φ ) = ⟨ jm | R | jµ ⟩
Jetzt schauen wir uns noch an, wie sich die Basiszustände transformieren:
(j)*
|jm⟩' = U(R −1)|jm⟩ = ∑m' Dmm'
|jm' ⟩ = ∑m' (D(j)† )m'm|jm' ⟩
Bisher wurden die Drehungen als passive Transformation aufgefasst. Die Wirkung
einer Poincaré-Transformation muss man sich aber als aktive vorstellen. Ersetze
daher die passive durch eine aktive Drehung (R-1 durch R, (D(j) )-1= D(j) † durch D(j)):
(j)
→ U(R)|jm⟩ = ∑ Dm'm
|jm' ⟩
m'
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Anwendung auf einen physikalischen Zustand
Wir befinden uns nun im Ruhesystem des Teilchens. Dort besitzt das Teilchen die
folgenden Quantenzahlen, wobei mit sm die Spinquantenzahlen gemeint sind. In α
werden alle weiteren, hier nicht interessanten Quantenzahlen zusammengefasst.
0
0
| α ; sm; p⟩ mit p = (mc,0,0,0) .
Eine aktive Drehung auf diesen Zustand bewirkt:
0
0
(s )
U (R,0) | α ; sm; p⟩ = ∑ Dm'm (R ) | α ; sm' ; p⟩
m'
Lässt man nun eine Spezielle Lorentz-Transformation wirken, schiebt das Teilchen
also auf den Impuls p an, so ergibt sich
0
U (L( p ),0) | α ; sm; p⟩ =| α ; sm; p⟩
Es entsteht nun ein Zustand mit Spinquantenzahlen (sm), der sich mit Vierimpuls p
bewegt; die Quantenzahlen α bleiben unberührt.
Wir haben jetzt die Hilfsmittel zur Verfügung, mit denen wir die folgende Frage
beantworten können:
Wie wirkt eine beliebige Poincaré-Transformation U(Λ,a) auf den Zustand |α;sm;p>?
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Homogene Transformationen (a=0)Berechne nun die Wirkung, die eine
homogene Lorentz-Transformation auf unseren Quantenzustand hat.
Dazu ist
0
U ( Λ,0) | α ; sm; p⟩ = U ( Λ,0)(U (L( p ),0) | α ; sm; p⟩ )
1
Mit ( Λ,0)(L( p ) ,0) = ΛL( p ) = (L( Λp )L−( Λ
p ) )Λ L( p )
folgt dann
1
U ( Λ )U(L( p ) ) = U ( ΛL( p ) ) = U (L( Λp ) )U(L−( Λ
p ) Λ L( p ) )
Wenden wir diese Zwischenergebnisse auf unseren Zustand |α;sm;p> an, so ergibt
sich:
0
−1
U ( Λ,0) | α ; sm; p⟩ = U (L( Λp ) )U(L( Λp )Λ L( p ) ) | α ; sm; p⟩
Nun wollen wir erst einmal herausfinden, wie sich das Produkt L-(1Λp ) ΛL( p ) auf unser
System auswirkt.
Dazu betrachten wir die Wirkung der einzelnen Transformationen auf unseren
Zustand, der sich anfangs im Ruhesystem des Teilchens befindet (p=(mc,0,0,0)):
Lp
L
p
L-1 (L p)
L(p)
(m,0)
Das Teilchen hat nun eine reine Drehung ausgeführt!
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(p2 =m2 )
Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Wigner‘sche Drehung
L−( 1Λp ) ΛL( p ) := RW
Diese Drehung wird Wigner’sche Drehung genannt.
Warum ergibt sich eine reine Drehung nach der Anwendung von L−( Λ1p ) ΛL( p ) ?
Eine Erklärung liefert uns die Kommutatorrelationen [K1, K2] = -J3:
Führt man zwei Lorentzboosts in verschiedene Richtungen aus, lässt dann deren
Inverses in umgekehrter Reihenfolge wirken, so resultiert eine echte Drehung.
Beweis:
Nehme spezielle Lorentz-Transformationen in 1- und 2- Richtung und entwickle
diese in zweiter Ordnung:
L1= 1 + λ1 K1 + ½ ( λ1)2 (K1)2
L2= 1 + λ2 K2 + ½ ( λ2)2 (K2)2
Berechne nun das Produkt (L2)-1 (L1)-1 L2 L1 unter Berücksichtigung der zweiten
Ordnung in den λi:
(L2)-1 (L1)-1 L2 L1 = 1 - λ1 λ2 [K1,K2] = 1 + λ1 λ2 J3Daraus ergibt sich die Behauptung.
Die Wirkung einer Wigner’schen Drehung auf einen Zustand im Ruhesystem
lautet:
0
0
0
(s )
−1
U (L( Λp ) ΛL( p ) ) | α ; sm; p⟩ = U (RW ) | α ; sm; p⟩ = ∑ Dm'm (RW ) | α ; sm' ; p⟩
m'
1
) an den Matrixelementen
Nun kann man die verbleibende Transformation U (L−( Λ
p)
der Drehmatrix D(s ) vorbeiziehen:
(s )
U ( Λ,0) | α ; sm; p⟩ = ∑ Dm
'm (RW
m'
) | α ; sm' ; ( Λp )⟩
Dieses „Vorbeiziehen“ bedarf einer kleinen Überlegung:
Die Wirkung der Wigner’schen Drehung ist eine Linearkombination der Zustände
|sm> mit Elementen der entsprechenden D-Matrix als Koeffizienten. Die verbleibende
Spezielle Lorentz-Transformation zum Impuls Λp ändert nichts an diesen
Koeffizienten, wohl aber am Impulsanteil, den sie vom Ruhesystem aus auf den
Impuls Λp anschiebt
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Reine Translationen
i
( a ⋅P )
h
e
der unitäre Operator, der die Wirkung einer reinen Translatinen (1,a)
i
(a ⋅ p)
. Damit ergibt sich
beschreibt. Er besitzt den Eigenwert e h
U (1, a ) | α ; sm; p⟩ =
i
(a⋅ p )
eh
| α ; sm; p⟩
Allgemeine Transformationen
Auf Grund der Gruppeneigenschaften gilt:
U ( Λ, a ) = U (1, a )U ( Λ,0)
Nun muss man nun das Ergebnis der homogenen Transformationen (Λ,0) und der
reinen Translationen noch zusammenfassen und erhält als Endergebnis:
U ( Λ, a ) | α ; sm; p⟩
i
( a⋅Λp )
(s )
−1
h
=e
∑ Dm'm (L( Λp ) ΛL( p )
m'
| α ; sm' ; Λp⟩
Diese Darstellung ist irreduzibel und unitär. Ein Beweis zur Unitarität der
Transformation U(Λ,a) ist in Scheck, Florian: „Theoretische Physik 4: Quantisierte
Felder“, 2001, Springer Verlag, S. 68, zu finden.
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Kapitel VI: Masselose Teilchen
Betrachten wir masselose Teilchen mit endlichem Spin, so fliegen diese mit der
universellen Geschwindigkeit c, die in allen Bezugssystemen gleich ist.
Das Teilchen bewegt sich entlang des Lichtkegels, wie wir wissen ist es unmöglich
über eine spezielle Lorentztransformation (LT) in ein im Teilchen gedachtes
Ruhesystem zu kommen und denn es besitzt keines, indem sein Vierer-Impuls die
Form (mc, 0)T annimmt. Für lichtartige Vektoren ist eine mögliche Grundform z.b.
z=(1, 0, 1, 0)T mit der allgemeinen Beziehung z2=0.
r
Für massive Teilchen mit der Energie
E = (mc 2 ) 2 + c 2 p 2
bleibt ihr Vektor p=(mc, 0)T im Ruhesystem invariant unter der vollen Drehgruppe
E =c⋅p
SO(3). Für masselose Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung
T
2
wählt man den Vierer-Impuls p=(E/c, p) mit p =0. Statt der vollen Drehgruppe sind
hier nur Drehungen um die Richtung von p möglich ohne den Impuls p mit p2=0 zu
ändern. Wir erhalten hier nur eine einparametrige Gruppe, die z.b. für den gewählten
Impuls p=(p,0,0,p)T, eine Bewegung in der z-Richtung in lR3, alle Drehungen um die
z-Achse um θ beinhaltet.
Illustration:
Drehung um die z-Achse des Impulses p=(p,0,0,p)T:
0
1

 0 cos θ
ℜ=
0 − sin θ

0
0

0
sin θ
cos θ
0
0

0
0

1 
⇒
0
1

 0 cos θ
ℜp = 
0 − sin θ

0
0

0
sin θ
cos θ
0
0  p
  
0  0 
⋅
=p
0  0 
  
1   p 
So gilt jedoch für denselben Impuls bei Drehung um die x-Achse:
1

0
ℜ=
0

0

0
0
1
0
0
cos θ
0 − sin θ
0 

0 
sin θ 

cos θ 
⇒
1

0
ℜp = 
0

0

0
0
1
0
0
cos θ
0 − sin θ
0   p 
p

   

0  0 
0

⋅  = 

sin θ
0
p ⋅ sin θ 
   

cos θ   p   p ⋅ cos θ 
Der Impuls in einem Ruhesystem bleibt unter diesen exemplarischen Drehmatrizen
invariant.
Die Zustände eines massiven Teilchens haben wir im Ruhesystem über die Analyse
der Operatoren P2 und Wi=mcJi und deren Eigenwerte vollständig beschrieben, dies
ist offensichtlich hier nicht möglich, denn es gilt: m = 0 und P 2 = 0 ⋅ 1l
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Zur Beschreibung der Zustände wählen wir im Minkowski-Raum ein Basissystem:
{nˆ
(0)
, nˆ (1) , nˆ ( 2 ) , nˆ ( 3 )
}
Diese Basis beschreibt ein System von ausgezeichneten Bezugssystemen, da
nˆ ( i ) ∈ lR 3 × lR t eine festgelegte Zeitachse benutzt.
Unsere Basis soll orthonormiert sein i. S. v:
nˆ (α ) ⋅ nˆ ( β ) = 0 für alle Vektoren α ≠ β
2
2
nˆ ( 0 ) = 1 und nˆ ( i ) = −1
Für den Impuls des masselosen Teilchens p=(E/c, p)T soll gelten:
p ⋅ n̂ (1) = 0 = p ⋅ nˆ ( 2 )
Aus dem Schmidt’schen Orthonormierungsverfahren ist es jetzt möglich den dritten
Basisvektor rekursiv zu konstruieren:
r r
r
r
x N − ∑ ek / x N ⋅ ek
r
k
Allgemein gilt : eN =
r r
r
r
x N − ∑ ek / x N ⋅ ek
k
p
− nˆ ( 0 )
(0)
ˆ
p⋅n
Der erste Basisvektor ist zeitartig und die letzten drei raumartig.
Somit erhalten wir für nˆ ( 3 ) =
z0
zeitartig
zR2 < 0
raumartig
r
z
z 2Z > 0
Wählen wir das Bezugssystem so, dass der Vierer-Impuls die Grundform:
(1,0,0,1)T aufweist, so gelangen wir zu den Basisvektoren, wie man leicht
nachrechnet:
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
nˆ ( 0 )
 1
 
0
= 
0
 
0
 
0
 
 1
= 
0
 
0
 
n̂ (1)
nˆ ( 2 )
0
 
0
= 
1
 
0
 
Es liegt somit ein vollständiges
verallgemeinerten Beziehungen folgt:
nˆ (α ) ⋅ nˆ ( β ) = g αβ
nˆ ( 3 )
0
 
0
= 
0
 
 1
 
orthonormiertes
System
vor,
das
den
n̂ (α ) g αβ nˆ ( β ) = g στ
und
Operatoren Wλ
Die Operatoren Wλ wollen wir nun mit Hilfe des Basissystems durch die Generatoren
J(σ) ausdrücken:
Wλ = J(σ ) g στ nˆ λ(τ )
oder
Beachte
Gl. 1
immer
(σ ) λ
J(σ ) = Wλ ⋅ nˆ
= ( W ⋅ nˆ (σ ) )
Summenkonvention!
Für diese obigen Operatoren gelten:
J( 0 ) = W ⋅ nˆ ( 0 ) und analog J(i) mit i = 1,2,3
1
W ⋅ p = ∑ ε νστµ Mνσ pτ p µ = Wµ p µ = 0
2
[pµ , Wν ] = 21 ε αβσν pµ ,Mαβ pσ = 21 ε αβσν Mαβ pµ , pσ + pµ ,Mαβ pσ = 0
mit
M µν = −ε µνσ Jσ
[
]
(
[
] [
und
] )
Dieser Kommutator zeigt, dass pµ und Wµ äquivalent zur Beschreibung eines
Teilchenzustandes genutzt werden können.
J( 3 ) = W ⋅ nˆ ( 3 ) = − J( 0 )
Man beachte:
⇒ J ( 3 ) + J( 0 ) = 0
(
⇒ J ( 3 ) + J( 0 )
2
)
⇒ J ( 3 ) = J( 0 )
2
2
2
= J ( 3 ) + 2J ( 3 ) J ( 0 ) + J ( 0 ) = 0
2
Berechnet man nun das Quadrat des Vektoroperators J, so ergibt sich bei Beachtung
(
2
der Metrik und obiger Berechnung: J 2 = − J(1) + J( 2 )
15 / 22
2
)
Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Unsere vier Operatoren J(σ) erfüllen folgende Kommutatorregeln:
[J
(1)
]
[
]
[J
, J( 2 ) = 0, J( 2 ) , J( 3 ) = −i ( p ⋅ nˆ ( 0 ) )J(1) ,
(3)
]
, J(1) = −i ( p ⋅ nˆ ( 0 ) )J( 2 )
Berechnung der Kommutatoren:
[J
]
)
)
)
)
, J( 2 ) = n (1)λ ⋅ n ( 2 )σ [Wλ , Wσ ] = −iε λσαβ n (1)λ ⋅ n ( 2 )σ W α p β =
)
)
)
)
)
)
)
− iε λσαβ n (1)λ ⋅ n ( 2 )σ ⋅ n (ν )α g µν J( µ ) p ( β ) = iε λσαβ n (1)λ ⋅ n ( 2 )σ ⋅ n ( 3 )α + n ( 0 )α J( 3 ) p ( β ) = 0
(1)
(
)
Hierbei gehen ein der Kommutator von W mit sich selbst, nachzulesen Gleichung
1.131 Scheck; Theoretische Physik Band 4, die Antisymmetrie des Levi-CivitaSymbols und die Eigenschaften der Orthonormalbasis.
Alle folgenden Kommutatoren lassen sich auf gleicher Weise berechnen.
Diese Kommutatoren sollten uns schon jetzt bekannt vor kommen.
Substituieren wir noch
1
J( i )
(0)
ˆ
p⋅n
so ergeben sich:
S(i ) = −
[S
(1)
]
[
]
, S ( 2 ) = 0, S ( 2 ) , S ( 3 ) = iS (1) ,
[S
(3)
]
, S (1) = iS ( 2 )
Wir bemerken hier, dass diese Algebra isomorph zur Euklidischen Gruppe ISO(2) in
zwei Dimensionen ist, sie ist ein semi-direktes Produkt aus den reinen Translationen
des Koordinatensystems hier entsprechend dargestellt durch S(1) und S(2) in der 1bzw. 2-Richtung und der reinen Rotation um den Ursprung durch S(3).
Analog zum massiven Teilchen interessieren uns die Casimir-Operatoren:
Für
den
Operator
2
(
W2
)
errechnet
sich
mit
Gl.1:


2
2
W 2 = ∑  ∑ J(σ ) g στ nˆ λ(τ )  = − J(1) + J( 2 ) = J 2
λ  σ ,τ

Ohne physikalischen Hintergrund, kann der Eigenwert von W2 jeden beliebigen Wert
annehmen, denn er hängt nur von den Opertoren J(1) und J(2) ab, welche die
Translationen in der 1- bzw. 2-Ebene beschreiben. Er ist offenbar nicht quantisiert
und besäße einen inneren Freiheitsgrad, jedoch gibt es in der Natur ein derartigen
kontinuierlichen Spin nicht und man „eicht“ den physikalischen Zustand derart, dass
er den Eigenwert w2=0 besitzt.
Im Vergleich zu vorher war der Eigenwert von W2 (2j+1)-fach entartet mit den
Eigenwerten j(j+1).
Helizität
Welche Konsequenzen zeigt dies?
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
w2 = 0
p2 = 0
Diese beiden Vektoren sind im Minkowsik - Raum somit lichtartig
w = h⋅p = 0
⇒
Aus dieser Betrachtung ziehen wir den Schluss, dass der Vierer-Eigenvektor w
kollinear mit dem Vierer-Impuls p ist und sie somit in einer Ebene liegen.
Man beschreibt ihre Beziehung über die sog. Helizität, ein Proportionalitätsfaktor.
w = h⋅p
Der eingeführte
Spinoperator.
Spinoperator
Wµ
ist
der
verallgemeinerte,
relativistische
Kehren wir noch mal zum Anfang zurück und erinnern uns, dass
1
Wσ = ε µνλσ M µν P λ
mit
M µν = ε µνσ Jσ
2
dann ist
W0 =
1
ε µνλ M µν P λ = J ⋅ P = p ⋅ J
2
Führt man zur Beschreibung einen Operator h ein, dessen Eigenwert h ist, so kann
man mit obiger Formel schließen:
W0 = p ⋅ h = p0 ⋅ h
und es folgt
h=
p⋅J
p
Gl. 2
Die Helizität beschreibt nun die Projektion des Drehimpulse und des Spins auf die
Flugrichtung. Die klassische
r r r Mechanik sagt uns, dass der Drehimpuls senkrecht auf
dem Impuls steht: l = x × p . In der Quantenmechanik zeigt uns die Entwicklung der
ebenen Wellen im Observablensatz des Impulses für eine kräftefreie Bewegung nach
den Eigenfunktionen des Hamiltonoperators bzw. des Drehimpulses, dass die
Projektion aller Partialwellen auf die Flugrichtung gleich Null ist auf Grund der
Eigenschaften der Legendre-Polynome und der Kugelflächenfunktionen. (siehe
Scheck B2 Seite 96)
Also beschreibt h nur die Projektion des Spins auf die Flugrichtung, den die
Projektion des Drehimpulses ist Null.
Bei massiven Teilchen ist der Spin im Ruhesystem definiert, hier hat man im
Gegensatz dazu nur die Möglichkeit ihn über die Helizität h zu benennen.
Man sagt s=IhI ist der Spin des masselosen Teilchens.
Man macht sich klar, dass dieser Spin fest mit der Bewegungsrichtung verknüpft ist
und er immer in diese Richtung zeigt.
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Spin
Aus w2=0 und w=hp, folgt dass die Operatoren J(1) und J(2) die Eigenwerte Null haben
müssen. Für J(3) errechnet sich:
 1

J( 3 ) = − J( 0 ) = W ⋅ nˆ ( 3 ) = W ⋅ 
⋅ p − nˆ ( 0 )  = − p ⋅ h
(0)
 p ⋅ nˆ

Also hat J(3) den Eigenwert: − ( p ⋅ nˆ ( 0 ) ) ⋅ h und somit der neu eingeführte Operator S(3)
den Eigenwert h.
Interessante Anmerkungen:
Betrachtet man Gleichung 2, so verhalten sich die Operatoren auf der rechten Seite
unter Raumspiegelung wie folgt: J ist eine drehinvariante Größe und p ändert
offensichtlich sein Vorzeichen. Damit ist der Operator h ein Pseudoskalar, der
drehinvariant ist, aber bei Raumspieglung in sein Negatives verwandelt wird. Der
Spin kann so anschaulich zwei Polarisationszustände annehmen +h und –h, die über
die Raumspiegelung verknüpft sind.
Nach Spin-Statistik-Theorem sind die Wellenfunktionen für Bosonen (ganzzahliger
Spin) einwertig, d.h. symmetrisch und für Fermionen (halbzahliger Spin) zweiwertig
und antisymmetrisch.
Der Wertevorrat für s=ІhІ ergibt sich somit zu: s=0,1/2,1,3/2,...
Ist eine Wechselwirkung zwischen Teilchen invariant unter Raumspiegelung, so
nimmt h die Werte ±α ein und diese Teilchen sind ununterscheidbar bzw. miteinander
identifizierbar. Die schwache Wechselwirkung ist dies jedoch nicht und Teilchen,
welche der schwachen Wechselwirkung unterliegen, mit den Spineinstellungen +h
und –h sind unterscheidbar bzw. Teilchen und Antiteilchen.
Die eingeführte Helizität ist unter einer Lorentz-Transformation invariant, so ist sie ja
konstruiert, die zugehörigen Zustände wegen der Phase jedoch nicht. Man beachte,
dass die Gleichung 2) für massive Teilchen keine Invariante unter speziellen LorentzTransformationen mehr ist.
Das wohl meist bekannte massenlose Teilchen, das Photon hat per Definition den
Spin s=1. Er kann die Zustände 1 und –1 annehmen.
Ein allgemeiner Ein-Photon-Zustand:
2
2
Ψp,s = ε + Ψp,1 + ε − Ψp,−1 mit
ε+ + ε− = 1
Die Polarisationen sind gegeben durch:
ε + = ε − : linear polarisiert mit signifikanter Phase
ε + = 0 ∨ ε − = 0 :zirkular polarisiert, wobei die erste Bedingung für rechts (σ-) und die
zweite für links polarisiertes (σ+) Licht steht.
ε + ≠ ε − : elliptisch polarisiert
Den größten Unterschied zwischen massiven und masselosen Teilchen besteht in
den Möglichkeiten der Spinquantenzahl:
m≠0: die Eigenwerte von J in
(2j+1) Unterzuständen
-µ,..., µ
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m=0: die Eigenwerte von J
+h,-h
Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Aktuelles Beispiel: Neutrinos
Allgemein gehören Neutrinos zu der Familie der Leptonen:
ν e 
 - 
e 
ν µ 
 − 
µ 
ν τ 
 − 
τ 
Ihre Existenz wurde postuliert von Wolfgang Pauli um 1930:
Antisymmetrie in Kernreaktionen: das neutrale Neutrino sollte die fehlende kinetische
Energie wegtragen.
Die Neutrinos glaubte man masselos, zumindest konnte man experimentell die
Masse mit m(νe)< 7eV/c2 eingrenzen. Diese Annahme ist bei den betrachteten
Reaktionen durchaus zu vertreten, da ihre Massenenergien zu den übrigen Partnern
vernachlässigbar sind.
Jede Leptonen -Familie besitzt ihre eigene Quantenzahl: Le, Lµ, Lτ
Die Gesamt-Leptonenzahl wird im Standardmodell der schwachen Wechselwirkung
als Erhaltungsgröße angesehen. In Reaktionen sollte diese deswegen stets konstant
sein, was aber postuliert, dass durch keine Reaktion sie ineinander übergehen
können.
Ihre Spinprojektionen s3 sind für Neutrinos ½ und für Antineutrinos –½.
Untersuchungen mit Sonnenneutrinos zeigten, dass 60% der erwarteten ElektronNeutrinos auf der Erde ausblieben und man daher die Möglichkeit der NeutrinoOszillationen in verschiedene Flavours erwägt, welche aber mit unterschiedlichen
Massenzuständen der Neutrinos verknüpft sind. Masselos?
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Zusammenfassung
Klassifikation der Darstellungen:
Darstellungstyp
* p² = m² c 4 > 0
p² = m² c 4 > 0
* p² = 0
p² = 0
Standard-Impuls
p0 > 0 (mc²,0,0,0)
* p =0
Teilchen mit Ruhemasse
m>0
p0 < 0 (-mc²,0,0,0)
p0 > 0 (p,0,0,p)
0
p <0
p² = - µ² < 0
µ
Physikalische Bedeutung
Masseloses Teilchen
(-p,0,0,p)
(0,0,0,µ)
0
p > 0 (0,0,0,0)
Vakuum
Die Teilchen lassen sich z.B. in die hier gezeigten drei Klassen bzgl. ihres Impulses
einteilen (die mit einem * gekennzeichneten Typen sind zwar theoretisch möglich,
treten aber in der Natur nicht auf).
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Betrachtung von Symmetrien:
Im nichtrelativistischen Grenzfall:
Translationsinvarianz des Raumes ↔ Homogenität des Raumes
Erhaltungsgrößen:
Raumtranslationen: Impuls p
Zeittranslationen: Hamiltonfunktion H
Rotationsinvarianz des Raumes ↔ Isotropie des Raumes
Erhaltungsgröße: Gesamtdrehimpuls L
Im relativistischen Fall:
Translationsinvarianz ↔
Homogenität der Raum-Zeit
Erhaltungsgröße: 4-Impuls p
Invarianz unter Transformationen der Poincaré- Gruppe ↔ Invarianz des M4 (incl.
Rotationen ↔ Isotropie)
Erhaltungsgrößen: Symmetrie der sich im Raum beweg. Teilchen (Masse,
Spin)
Man sieht also wie die Symmetrie des Raumes, d.h. die Invarianz gegenüber den
Transformationen der Poincaré-Gruppe, zu einer Symmetrie der sich im Raum
bewegenden Teilchen wird. Die invariante Masse und der Spin ergeben sich als
Folge der Invarianz unter Symmetrietransformationen.
Andere Teilcheneigenschaften erscheinen an dieser Stelle nicht. Offensichtlich sind
für ihre Erhaltung andere Symmetrien verantwortlich, welche hier der Vollständigkeit
wegen kurz erwähnt werden sollen:
Für die Ladung C sind die Symmetrien der lokalen Eichinvarianz verantwortlich
(welche in der Vorlesung der Theoretischen Physik IV, Elektrodynamik, behandelt
wurden).
Die Paritäts- und Zeitumkehr (Π, T) gehören hingegen zu den diskreten PoincaréTransformationen.
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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe
Literaturverzeichnis:
Bücher:
Scheck, F.: Theoretische Physik Band 2 & Band 4
Scheck, F.: Electroweak and Strong Interactions
Greiner, W.; Rafelski J.: Spezielle Relativitätstheorie
Greiner, W.: Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung
Greiner, W.: Relativistische Quantenmechanik
Fließbach, T.: Allgemeine Relativitätstheorie
Internet:
http://www.itp.uni-hannover.de/~flohr/ lectures/my_qm2/qm2_handout8.pdf
http:// www.planetjahn.de/files/qft.pdf
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