1.1 Die SI-Einheiten (System International)
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Inhaltsverzeichnis 1.1 Die SI-Einheiten (System International)........................................................................1 1.2 Kinematik.......................................................................................................................2 1.2.1 Die gleichförmige Bewegung................................................................................2 1.2.2 Die gleichförmig beschleunigte Bewegung...........................................................3 1.2.3 Berechnung der Bahnkurve des schiefen Wurfs in zwei Dimensionen.................5 1.3 Kräfte als Ursache jeder Beschleunigung......................................................................7 1.3.1 Die Federwaage......................................................................................................8 1.4 Die Addition von Kräften mit dem Kräfteparallelogramm............................................8 1.4.1 Ein Zeichenbeispiel..............................................................................................10 1.4.2 Das Gewicht am Seil............................................................................................10 1.4.3 Die Addition der Kraft als Koordinatenrechnung................................................10 2. Energie...........................................................................................................................10 2.1 Arbeit.......................................................................................................................10 2.1.1 Der Flaschenzug..............................................................................................10 2.1.2 Kräfte am Hebel...............................................................................................11 2.1.3 Getriebe...........................................................................................................11 2.2 Energieerhaltung.....................................................................................................11 2.2.1 Die potentielle Energie....................................................................................12 2.2.2 Die kinetische Energie.....................................................................................12 Einführung in die Mechanik (Marcus Werner) Die Lehre der Mechanik steht physikalisch nicht (nur) für Zahnräder oder Maschinen, sondern ist vielmehr die Lehre von allen beweglichen Dingen. Begriffe wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung aber auch Masse, Kraft oder kinetische Energie gehören in dieses Teilgebiet der Physik. Natürlich sind Flaschenzug und Hebel auch Teil der Mechanik, aber auch bei der Bewegung der Himmelskörper spricht man von Himmelsmechanik, obwohl hier natürlich nichts irgendwo befestigt ist. 1.1 Die SI-Einheiten (System International) Ein kurzer Blick auf die verwendeten Einheiten vermeidet spätere Verwirrung (hoffe ich): Physikalische Größe Strecke Masse Zeit Geschwindigkeit Beschleunigung Kraft Energie Einheit Meter [m] Kilogramm [kg] Sekunde [s] Meter pro Sekunde [m/s] Meter pro Sekundenquadrat [m/s²] Newton [N] = [kg m/s²] Joule [J] = [kg m²/s²] Formelsymbol s, d, l m t v a F E, W Formel v = ds/dt a = dv/dt F = m*a W = F ds In der Tabelle wurde eine genaue Unterscheidung zwischen Formelsymbol und Einheit betont, damit es nicht zur Verwechslungen kommt. Einheiten schreiben wir ab jetzt stets in eckigen Klammern! Das kleine d vor einigen Größen in der Spalte Formel betont den Charakter der Differenz oder Änderung einer Größe. Zum Beispiel bei v =ds /dt bedeutet es: Messe die Änderung der Geschwindigkeit und teile durch die während dieser Änderung verstrichene Zeit. 1.2 Kinematik Kinematik heißt einfach Bewegungslehre und ist das erste Teilgebiet der Mechanik. Hier lernt man erst mal, wie man eine Bewegung mit Messgrößen geeignet beschreiben kann. Das ist bei uns vertrauten Begriffen wie Ort und Geschwindigkeit noch relativ leicht. Bei der Beschleunigung muss man vielleicht schon über legen, was das genau ist. Wir fangen also ganz einfach an: 1.2.1 Die gleichförmige Bewegung So nennt man eine Bewegung, bei der sich ein Körper ohne Änderung der Geschwindigkeit absolut gleichförmig geradeaus bewegt. Mit Hilfe der Formel: s t = v ts 0 kann man so eine Bewegung beschreiben. Es handelt sich um eine Funktion, die den Ort des Körpers in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. Die Geschwindigkeit v und den Startpunkt s 0 des Körpers zum Zeitpunkt t = 0 muss man kennen, dann kann man die Position des Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt t berechnen. Kennt man dagegen den Ort eines Körpers zu verschiedenen Zeitpunkten, kann man seine Geschwindigkeit berechnen, in dem man die zurückgelegte Strecke durch die in diesem Zeitraum verstrichene Zeit teilt, als Formel: v = ds dt Die Geschwindigkeit eines Körpers ist ein Maß für die Änderung seines Ortes pro Zeiteinheit. Natürlich kann man nicht wissen, ob der Körper nicht während der Messung etwas schneller und dann wieder etwas langsamer geworden ist. Man misst also eigentlich immer Durchschnittsgeschwindigkeiten. Selbst die Tachonadel im Auto braucht eine Zeit, um auf eine Änderung der Geschwindigkeit zu reagieren. 1.2.2 Die gleichförmig beschleunigte Bewegung Man kennt das Gefühl der Beschleunigung vom "Gas geben" im Auto: Eine unsichtbare Kraft drückt einen in den Sitz. Gleichzeitig "klettert" die Nadel des Tachometers nach oben: Die Geschwindigkeit nimmt zu. Die Beschleunigung eines Körpers ist ein Maß für die Änderung seiner Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. Um die Geschwindigkeit eines Körpers zu ändern, muss man eine Kraft auf ihn ausüben! Wenn diese Kraft immer gleich groß ist, dann ist die Beschleunigung konstant und man spricht von einer gleichmäßigen Beschleunigung. (Dies ist natürlich nur für eine begrenzte Zeit möglich, denn entweder man stösst irgendwann mit etwas zusammen oder man verlässt die Erde --- Uuhps). Der freie Fall Die bekannteste gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist der freie Fall. (Wirklich gleichmäßig beschleunigt ist diese Bewegung aber nur im Vakuum. Wenn jedoch Gegenstände recht klein und gleichzeitig schwer sind und nicht zu schnell werden, spielt die Luftreibung zunächst keine so große Rolle.) Wird ein Körper fallen gelassen erfährt er die sogenannte Erdbeschleunigung von: aErde = g = 9,81 [m/s²] Die man auch ein "g" nennt (g von Gravitation). Die Geschwindigkeit des Körpers ändert sich dann so: v t =g t Hat der Körper zu Beginn 0 [m/s], so ist seine Geschwindigkeit nach einer Sekunde 9,81 [m/s], nach zwei Sekunden 19,62 [m/s], nach drei Sekunden 9,81 [m/s] * 3 usw. Er wird also gleichmäßig schneller. (Wie gesagt ohne Luftreibung!!!) Wie aber ändert sich nun der Ort des Körpers mit der Zeit beim freien Fall? Nun es ist klar, dass der Körper zunächst sehr langsam ist und somit nur geringe Strecken zurücklegt. Nach und nach wird er schneller und legt größerer Strecken in gelich Zeiteinheiten zurück. Es muss sich bei dem Graphen des Ortes aufgetragen über der Zeit um eine immer stärker ansteigende Kurve handeln: s(t) t Wie aber kommt man an die genaue Kurvenform? Nun - man benutzt einen Trick. Wir wissen, das sich die Geschwindigkeit v nach jeder Zeiteinheit um die Beschleunigung a (hier a=g=9,81 m/s²) ändert. Betrachten wir die erste Sekunde des freien Falls. Hat man am Anfang v = 0 und nach einer Sekunde v = g, welche Strecke wurde zurückgelegt? Nun, es gibt keine konstante Geschwindigkeit, daher ist eine Berechnung nicht möglich. Aber man könnte sagen, das die Durchschnittsgeschwindigkeit doch genau das Mittel der Start und der Endgeschwindigkeit sein müsste, und das ist gerade die halbe Geschwindigkeit der Endgeschwindigkeit. Der fallende Gegenstand hat also genau die Durchschnittsgeschwindigkeit von: v t = a t ; v Durchschnitt = v t 2 v Durchschnitt = 9,81[m/ s² ]∗1[ s]∗0,5 = 4,905[m/s ] Und damit nach einer Sekunde folgende Strecke zurückgelegt: s t = v Durchschnitt t 4,905 [m/s ]∗1 [s ] = 4,905[m]. Diese Überlegung stimmt so für jede Zeit t, nicht nur für die erste Sekunde. Also kann man alles in allem schreiben: s t = v Durchschnitt t = v t at 1 t = t = a t² 2 2 2 Was ist nun s(t) für eine Funktion? Eine Parabel, also eine Funktion die immer schneller ansteigt, genau wie ursprünglich gefordert! Die Fallstrecke eines Körpers, der sich in einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung befindet berechnet sich zu: 1 s t= a t² 2 oder konkreter beim freien Fall auf der Erde mit a = g = 9,81 [m/s²] 1 s t= g t² 2 1.2.3 Berechnung der Bahnkurve des schiefen Wurfs in zwei Dimensionen Wirft man einen Gegenstand, beginnt dieser vom ersten Moment an mit einer gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung, selbst wenn man den Gegenstand nach oben wirft. Die Anfangsgeschwindigkeit v y ,0 soll nun die Geschwindigkeit in y-Richtung - also senkrecht zum Erdboden - sein, ein positiver Wert heißt, dass die Bewegung nach oben gerichtet ist. Der Fallprozess äußert nun sich in einer stetigen Änderung der Geschwindigkeit in y- Richtung. Ist diese z.B. 30 [m/s] und nach oben gerichtet, so nimmt sie jede Sekunde um 9,81 [m/s] ab. Das heißt, nach ca. 3 Sekunden ist die Geschwindigkeit 0 [m/s] erreicht und damit der höchste Punkt der Flugbahn. Danach nimmt die Geschwindigkeit mit derselben Rate - doch diesmal in Richtung Erde zu. Der Wert wird also immer negativer. Es gilt: v y t = v y ,0 −g t² (Gelesen: V y von t ist gleich v y Null minus g t Quadrat) Nimmt man nun noch an, dass der Wurf zum Zeitpunkt Null in einer Höhe ergibt sich für die y-Komponente der aktuelle Bahnkoordinaten: y t = y 0 startet, 1 a t ²v y ,0 t y 0 2 Wie ist aber die x-Koordinate des schiefen Wurfes zu berechnen, also die Bewegung in horizontaler (waagerechter) Richtung? Dazu kann man sich folgendes überlegen. Angenommen man führt einen senkrechten Wurf (also einfach hoch und gerade wieder runter) in einem durchsichtigen Zug aus, der mit einer bestimmten, gleichförmigen Geschwindigkeit v x ,0 an einem stehenden Beobachter vorbeifährt. Im gleichmäßig fahrenden Zug verhält sich der geworfene Körper genauso, wie in einem ruhenden Zug (mal abgesehen von den Vibrationen). Man kann ja auch im Flugzeug Kaffee eingießen, der Kaffeestrahl wird nicht aus der senkrechten Richtung abgelenkt und donnert hinten an die Wand! Von innen betrachtet bleibt also die x-Koordinate beim senkrechten Wurf stets gleich. Von außen betrachtet müssen wir jedoch die gleichmäßige Geschwindigkeit v x des Zuges hinzurechnen, da Zug und Experimentator sich ja am Beobachter vorbei bewegen. Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, ist damit die x-Koordinate: x t =x 0v x t Diese beiden Gleichungen beschreiben jede mögliche Flugbahn eines geworfenen Körpers auf der Erde (allerdings wird die Luftreibung hierbei vernachlässigt). Es handelt sich immer um Parabeln, man spricht auch von der "Wurfparabel". (Anschließend haben wir zum Üben ein paar dieser Parabeln berechnet und gezeichnet). 1.3 Kräfte als Ursache jeder Beschleunigung Isaac Newton machte aus dem zuvor für alle möglichen Sachverhalte verwendeten Kraftbegriff einen physikalischen Begriff. Die Grundlage dieser exakten Definition sind die drei Newtonschen Gesetze: 1. Lex prima Ein Körper verharrt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig und gleichförmig, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn wirken. (Man stelle sich einen Steinbrocken im leeren Weltraum vor, der ohne jede Reibung immer weiter geradeaus fliegt.) 2. Lex secunda a= F m Die Beschleunigung, die ein Körper erfährt, berechnet sich aus der auf ihn wirkenden Kraft geteilt durch seine eigene Masse. (Wenn zwei Fahrzeuge die gleiche Motorleistung einsetzen, aber eins der beiden ist zehnmal leichter, dann ist seine Beschleunigung zehnmal größer! Deswegen hat ein Auto beim Beschleunigen keine Chance gegen ein Motorrad der gleichen Motorleistung.) 3. Lex tertia Alle Kräfte in einem geschlossenen System heben sich auf. Oder: Zu jeder Kraft auf einen unbeschleunigten Körper gibt es eine gleichgroße entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft. Oder: "Actio = Reactio." Oder: Man kann kein Gerät bauen, dass ohne die Wechselwirkung mit einem anderen Körper eine Kraft erzeugt. (Raketen erzeugen ihre Antriebskraft durch das Rückstoßprinzip: Sie stoßen mit hoher Geschwindigkeit Materie aus dem Triebwerk aus, an dieser Masse stoßen sie sich sozusagen ab. Man auch Tennisbälle aus dem Raumschiff werfen, um seine Geschwindigkeit zu ändern. Einen Raumantrieb ohne Massenverlust gibt es nicht, dass würde gegen das 3. Gesetz verstoßen.) Um die Anwendung der Newtonschen Gesetze zu verstehen, besprechen wir nun verschiedene einfache Anordnungen. 1.3.1 Die Federwaage Wir brauchen zwei Gesetze: a) Hooksches Gesetz zur Längenausdehnung einer Feder: b) Die Gravitationskraft auf ein Gewicht der Masse m: F = D x F = m g Die eine Kraft wächst mit der Länge der Feder, die andere Kraft ist konstant und zieht nach unten. Im Gleichgewicht gilt dann: F Feder =F Gewicht und damit m g = D x . 1.4 Die Addition von Kräften mit dem Kräfteparallelogramm Wenn an einem Punkt mehrere Kräfte angreifen, die nicht parallel oder antiparallel (Antiparallel ist die Richtung genau entgegen der anderen Richtung) verlaufen, dann ist die die Frage welche Richtung und Stärke die Gesamtkraft der beiden Kräfte hat? F1 Gegenstand F2 Fgesamt ? Die Skizze zeigt das Problem anschaulich: Am Gegenstand sind z.B. zwei Seile angebunden, an die in verschiedenen Richtungen mit verschieden starken Kräften gezogen wird. Intuitiv sieht man, dass der Gegenstand in die Richtung zwischen den beiden Kräften bewegen wird und wahrscheinlich auch stärker, als nur durch eine der Kräfte. Genauer beurteilen können wir die Verhältnisse mit einer Zeichnung, bei der die Stärke der Kräfte durch die Länge der Kraftpfeile dargestellt wird. Wir brauchen daher eine Maßstab für die Kraft, z.B. 1 Newton ≙ 1 cm. Die Richtung der Kraftpfeile soll vorgegeben sein. Eine solche Größe bestehend aus Richtung und Betrag nennt man übrigens eine Vektor! Da wir keine Regel zum Addieren von Vektoren kennen, müssen wir einen Trick anwenden. Wenn wir uns denken, dass beide Kräfte in sehr schneller Folge abwechselnd wirken würden, anstatt gleichzeitig (und dabei doppelt so stark, da ja jede Kraft nur die halbe Zeit wirkt) dann müsste doch eigentlich das gleiche Ergebnis herauskommen. Un die Wirkung einer Kraft können wir ja berurteilen! Also: Es ist klar das der Weg des Gegenstandes im Zick-Zack mal der einen, mal der anderen Kraft folgen würde. Die Länge der Wegstücke wären dabei proportional zur wirkenden Kraft. In der Skizze ist dies mit roten und grünen Pfeilen dargestellt. Alle grünen Pfeile ergeben zusammen wieder F1 alle roten F2. F1 Gegenstand F2 Hängt das Ergebnis davon ab, wie fein man diese Unterteilung durchführt? Wenn man kurz nachdenkt ( ... hier nachdenken ... ) merkt man: Nein, man landet immer an der Stelle, die man auch erhält, wenn man den Kraftpfeil F2 mit seinem Anfang an das Ende von F1 legt. Genauso kann man auch den Kraftpfeil F1 mit seinem Anfang an das Ende von F2 legen. F1 Gegenstand F2 Diese Figur nennt man Kräfteparallelogramm. Die resultierenden Kraft kann man einfach an der Diagonale der Figur ablesen: F1 Gegenstand F2 F2 FGesamt F1 Die Addition zweier Kräfte ist mit der Konstruktion eines Kräfteparallelogramm durchzuführen. Die Verbindung vom Anfang der Kraftpfeile zur gegenüberliegenden Ecke des Parallelogramms gibt Stärke und Richtung der Gesamtkraft (auch Ersatzkraft) an. 1.4.1 Ein Zeichenbeispiel 1.4.2 Das Gewicht am Seil 1.4.3 Die Addition der Kraft als Koordinatenrechnung 2. Energie 2.1 Arbeit 2.1.1 Der Flaschenzug -> Aufbau und Umsetzung der Kraft. -> Kraft mal Weg bleibt gleich! Goldene Regel der Mechanik Arbeit = geleistete Energie = Kraft mal Weg! -> Die Einheit der Energie Joule 2.1.2 Kräfte am Hebel 2.1.3 Getriebe 2.2 Energieerhaltung Um eine Masse auf eine bestimmte Höhe zu heben, ist eine bestimmte Arbeitsleistung nötig, die durch eigene Energie aufgebracht werden muss. Man benötigt also eine bestimmte Energiemenge. Wie wir in 2.1 gesehen haben, ist diese Energiemenge unabhängig vom verwendeten Mechanismus, vorausgesetzt, wir verschwenden keine Energie durch Reibung. Wenn es Energie kostet eine Masse auf eine bestimmte Höhe zu bringen, kann man einen Teil oder sogar die gesamte der Energie dann auch durch Absenken der Masse zurückgewinnen? Man könnte ja ein Seil an die Masse hängen und dies z.B. über eine Rolle an einen Dynamo anschließen, der wiederum Strom erzeugt. Könnte man eventuell sogar mehr Energie zurückerhalten? Um zu beurteilen, ob die Energie verloren geht, gleich bleibt oder sogar größer wird, müssten wir mit Hilfe dieses Stromes wieder ein Gewicht gleicher Masse hochheben. Erreichen wir die gleiche Höhe, ist keine Energie verloren gegangen. Können wir das Gewicht höher heben, haben wir sogar Energie gewonnen. Ähnliche Experimente werden seit dem Mittelalter angestellt. Die Hoffnung der Mechaniker war, eine Maschine zu bauen, die sich von selbst bewegt, ohne Energie zu benötigen, genannt Perpetuum Mobile erster Art (lat. p.M. "fortwährende Bewegung") oder sogar eine Maschine, die endlos Energie produziert (Perpetuum Mobile zweiter Art). Wir wissen heute: Es ist nicht möglich ein Perpetuum Mobile zu bauen. Man kann allerdings Geräte konstruieren die einem Perpetuum Mobile erster Art recht nahe kommen, dass heißt, die relativ lange wie von selbst laufen, scheinbar ohne langsamer zu werden. Der Trick ist hier, sehr sehr wenig Reibung im System zuzulassen. Ein gutes Beispiel für ein solches Perpetuum Mobile erster Art in unser Planetensystem, das sich ja anscheinend immer gleichförmig bewegt. Tatsächlich wird es theoretisch durch den Energieverlust durch die Aussendung von Gravitationswellen einmal irgendwann zum Stillstand kommen, aber erst sehr lange nach dem unserer Sonne erkaltet ist. Also zurück zu unserem Gewicht: Anscheinend bleibt die Energie in der gehobene Masse gespeichert und kann sogar zurückgewonnen werden. Man kann ihren Betrag über Arbeit = Kraft mal Weg berechnen. Die Einheit der Energie ist übrigens Joule, kurz [J]. 1 [Joule] = 1[kg m/s² m] = 1[kg m²/s² ] 2.2.1 Die potentielle Energie Die durch Hebearbeit gespeicherte Energie nennt man auch potentielle Energie. Wie angekündigt leiten wir hier die Formel her: E pot = W Hebearbeit = F s = F G h FG = m g E pot = F G h = m g h E pot = m g h Dabei ist h die Hebestrecke, m die Masse des Gegenstandes und g die Erdbeschleunigung. F_G ist die Kraft mit der der Gegenstand aufgrund seiner Masse von der Erde angezogen wird. Das bedeutet, dass in jeder gehobenen Masse die Energiemenge E pot =mgh steckt, die frei wird, wenn die Masse wieder die Strecke h hinabgelassen wird. 2.2.2 Die kinetische Energie Nehmen wir nun an, wir lassen die Masse einfach fallen. Wo bleibt die Energie dann? Wenn die Masse am Boden aufschlägt, könnte sie den Boden verformen ... aber wo ist die Energie unterwegs gespeichert, also während des Falls, zum Beispiel kurz vor dem Aufschlag? Nun eine Möglichkeit wäre, dass die Energie sozusagen in der Geschwindigkeit des Körpers gespeichert wird, denn diese nimmt ja ständig zu! Wir wissen, dass die Masse beim Fallen immer schneller wird: v = at = g t Nun während des Fallens vermindert sich auf jeden Fall die potentielle Energie, in direkter Abhängigkeit von der Höhe. Es wäre ganz gut wenn wir die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Fallstecke s ausdrücken könnten. Wir brauchen dazu eine Funktion, die uns für jeden Fallweg die vergangene Zeit 'ausspuckt': v = g t (s ) t ( s) = ... ? Na ja wir wissen ja, das gilt: 1 s= a t² 2 und damit folgt: t ( s) = √ 2s g Wenn wir das in v= g t einsetzen, können wir die Zeit loswerden: v = gt = g √ 2s = g √ 2g ²s = g √2 g s Was bringt uns das nun? Irgendwo muss ja die Information über die Energiemenge stecken, die in der Geschwindigkeit versteckt ist .... Auf der rechten Seite der Gleichung steht g und s. Wir wissen dass kurz vor dem Ausprall s = h gilt. Wir ersetzen s durch h ... v Aufprall = g t Aufprall = √2 g h Nun haben wir rechts g und h unter der Wurzel stehen. Können wir vielleicht die Gleichung durch Äquivalenzumformungen so umformen, dass rechts m g h steht? Dann stünde rechts die potentielle Energie. Die linke Formelseite müsste dann für die Energiemenge aufgrund der Geschwindigkeit stehen: 2 v Aufprall = 2 g h 1 2 v = gh 2 Aufprall 1 2 mv Aufprall = mh g 2 Wir sehen: Wenn die potentielle Energie vor dem Fall E pot = mgh ist, dann muss diese Energiemenge unmittelbar vor dem Aufprall vollständig in die Bewegungsenergie 1 E kin = m v² gewandelt worden sein. 2 Die kinetische Energie eines Körpers läßt sich bei gegebener Geschwindigkeit berechnen: E kin = 1 m v² 2 2.2.3 Andere Energieformen Die Energieerhaltung gilt immer: Energie kann nicht vernichtet werden, sie kann nur in andere Energieformen umgewandelt werden! Arbeit ( = umgewandelte Energie) = Kraft mal Weg A=F∗s Energie zum Heben eines Gewichts im Schwerefeld der Erde um die Höhe h: E pot =m g h Kintische Energie: 1 2 E kin= m v 2 Spannenergie: 1 E Spann= D x 2 Änderung Wärmeenergie eines Körpers der Masse m und der Wärmekapazität c bei einer Temperaturänderung : E=c∗m (Einige Wärmekapazitäten siehe Buch Seite 241.)
