Dieter Bangert Februar 2017

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Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 1 - Physik und Umwelt -
Physik und Umwelt – Lerneinheit 1
Einführung in die Wärmelehre
Feuer als Quelle von Licht und Wärme. Seine Beherrschung hat die Kulturgeschichte des
Menschen seit über 500000 Jahren entscheidend mitbestimmt.
Dieter Bangert
Februar 2017
3
Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 1 - Physik und Umwelt -
Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 1 - Physik und Umwelt Vorwort
6
1
Thermische Zustandsgrößen .................................................................................... 7
1.1
Das thermodynamische System....................................................................................... 8
1.2
Thermodynamisches Gleichgewicht................................................................................. 9
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
Temperatur und Temperaturskalen ................................................................................ 10
Celsius - Skala ................................................................................................................ 11
Fahrenheit - Skala .......................................................................................................... 12
Kelvin - Skala .................................................................................................................. 13
Gefühlte Temperatur ...................................................................................................... 14
1.4
1.5
Thermische Eigenschaften von Stoffen: Thermische Ausdehnung von
Festkörpern und Flüssigkeiten ....................................................................................... 15
Wärmeausdehnung der Gase777777777777777777777777.19
2
Thermische Zutandsgleichungen---..--.--...---.. ............ -----.22
2.1
Das ideale Gas. ............................................................................................................. .22
2.2
Ideale Gasgesetze und die Zustandsgleichung des idealen Gases .............................. 22
2.3
Gesetz von Avogadro ..................................................................................................... 29
2.4
Druckverhältnisse in der Erdatmosphäre und die Barometrische Höhenformel............ 31
2.5
Anwendung: Zugwirkung eines Schornsteines .............................................................. 36
2.6
Zustandsgleichung realer Gase ..................................................................................... 38
3
Energieformen und Energieumwandlung .............................................................. 41
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
Erscheinungsformen der Energie ................................................................................... 41
Potentielle Energie ......................................................................................................... 40
Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie ............................................................. 41
Mechanische Energieerhaltung ...................................................................................... 41
Volumenänderungsarbeit ............................................................................................... 42
3.2
Innere Energie und Wärme ............................................................................................ 48
3.3
Energieumwandlung ....................................................................................................... 51
3.4
3.4.1
3.4.2
Kinetische Gastheorie und statistische Begründung der Thermodynamik .................... 51
Gasdruck als Summenwirkung....................................................................................... 51
Gleichverteilungssatz777777................ 7777777777777777.. 588
4
Wiederholungstest .................................................................................................. 62
4.1
Testfragen....................................................................................................................... 62
4
Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 1 - Physik und Umwelt -
4.2
Lösungen der Testfragen............................................................................................... 62
5
Zusammenfassung-----------..---------------66
6
Übungen ................................................................................................................... 68
6.1
Übungsaufgaben............................................................................................................ 68
6.2
Lösungen der Übungsaufgaben .................................................................................... 68
Anhang 69
A1 Griechisches Alphabet 69
A2 Formelzeichen 70
A3 Literaturauswahl 71
5
Vorwort
Vorwort
Die Wärmelehre ist ein klassisches Teilgebiet der Physik und besitzt
einen besonderen Bezug zur Ingenieurpraxis. Zentrale Begriffe der
Wärmelehre sind Temperatur und Energie. Das thermische Verhalten
von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen ist auch für die Wärmetechnik von grundsätzlicher Bedeutung. Die Anwendungsgebiete
überdecken einen weiten Temperaturbereich von der Tieftemperaturtechnik über die Kälte- und Klimatechnik bis zur Heiz- und Wärmetechnik. Weitere Anwendungen finden sich in der Energietechnik,
die sich mit Verfahren zur Energieumwandlung und Energieübertragung beschäftigt, sowie im Maschinen- und Anlagenbau, bei dem es
beispielsweise um die Optimierung der Wirkungsgrade von Wärmekraftmaschinen und Strömungsmaschinen geht.
Die vorliegende Lerneinheit soll eine orientierende Einführung in die
Wärmelehre liefern. Dazu werden in Kapitel 1 die thermischen Zustandsgrößen Temperatur T, Druck p und Volumen V eingeführt. In
Kapitel 2 werden diese Zustandsgrößen durch die Zustandsgleichung
idealer Gase miteinander verknüpft. Zur Beschreibung realer Gase
wird schließlich die Van-der-Waalssche Zustandsgleichung vorgestellt. Gegenstand von Kapitel 3 sind die verschiedenen Energieformen und mögliche Energieumwandlungen. Abschließend erfolgt eine
elementare Einführung in die gaskinetische Betrachtungsweise als
Grundlage für eine statistische Begründung der Wärmelehre.
Für Studenten der Ingenieurwissenschaften werden zur Vertiefung
der thermodynamischen Grundlagen sowie zur Berücksichtigung der
umfangreichen wärmetechnischen Anwendungen eigenständige
Lehrveranstaltungen über Technische Thermodynamik angeboten.
Verbesserungsvorschläge, Fehlermeldungen und sonstige Kommentare oder Hinweise sind erwünscht. Bitte richten Sie diese an folgende E-Mail-Adresse:
[email protected]
Marburg, im Februar 2017
6
Dieter Bangert
1.1 Das thermodynamische System
1
Thermische Zustandsgrößen
Durch den vorgeschichtlichen Umgang mit Feuer und der frühgeschichtlichen Herstellung von Metallen aus Erzen ist der Mensch mit
dem Phänomen der Wärme vertraut. Die praktische Erfahrung mit
Wärmeerscheinungen führte zu zwei grundlegenden Begriffsbildungen der Thermodynamik: Temperatur und Wärmemenge. Dass es
sich hierbei um unterschiedliche Begriffe handelt, zeigt beispielsweise die Flamme eines Schneidbrenners, die heißer als eine glühende
Metallplatte ist, obwohl sie eine geringere Wärmemenge enthält.
Bevor der Begriff „Temperatur“ völlig verstanden wurde, gab es
bereits Temperatur-Messinstrumente, die Thermometer. Die frühesten Versionen basierten auf der temperaturabhängigen Ausdehnung
der Luft. Die bei Erwärmung beobachtete Volumenänderung
∆V wurde als Maß für die eingetretene Temperaturänderung ∆T
interpretiert. Das Messprinzip beruht auf der Annahme:
∆T ∝ ∆V
(1.1)
Die Temperaturänderung ist der Volumenänderung proportional.
Das Messergebnis wurde allerdings durch die zusätzliche Abhängigkeit der Volumenänderung der Luft vom äußeren Luftdruck p L verfälscht. Die in (1.1) formulierte Proportionalität gilt streng genommen nur bei konstantem äußeren Luftdruck p L . Erst Ende des 17.
Jahrhunderts wurden geschlossene Flüssigkeitsthermometer entwickelt, bei denen es zur Erzielung einer großen Messgenauigkeit auf
die Herstellung von gleichmäßig engen Steigröhren ankam. Das
Prinzip dieser einfachen Thermometer wird schematisch in nachfolgender Abb. 1 gezeigt.
PL
PL
Abb. 1: Einfache Thermometer
Feste und flüssige Körper können durch Angabe von Volumen und
Temperatur beschrieben werden. Bei gasförmigen Körpern ist zusätzlich immer die Angabe des Druckes notwendig. Physikalische
Größen zur Beschreibung der Zustandseigenschaften eines Körpers,
7
1 Thermische Zustandsgrößen
der in der Thermodynamik auch als System bezeichnet wird, werden
Zustandsgrößen genannt. Die verschiedenen Zustandsgrößen werden eingeteilt in:
-
thermische Zustandsgrößen: Volumen V, Druck p,
Temperatur T
-
kalorische (lat. calor = Wärme) Zustandsgrößen: Innere Energie
U, Enthalpie H, Entropie S, …
Die thermischen Zustandsgrößen p, V und T sind direkt messbar. Die
kalorischen Zustandsgrößen U, H und S sind nicht direkt messbar.
Sie hängen von zwei unabhängigen thermischen Zustandsgrößen (z.
B. U(p,T) oder U(V,T)) ab und werden berechnet.
Anmerkung: Nicht jede kalorische Größe ist eine Zustandsgröße;
dies gilt u. a. für die Wärme Q, die eine Prozessgröße ist.
1.1
Das thermodynamische System
Als ein thermodynamisches System bezeichnet man einen Stoff,
der aus einem Ensemble von Teilchen besteht, die mit der Umgebung oder untereinander in Wechselwirkung stehen. Die Eigenschaften des Systems werden durch die Systemgrenzen festgelegt, durch
welche die räumliche Abgrenzung des Systems und das Verhalten
der Systemgrenzen im Hinblick auf Wärmedurchlässigkeit und
Stoffdurchlässigkeit definiert werden. Die Systemgrenzen können
hinsichtlich der Wärmedurchlässigkeit adiabat (wärmedicht) oder
diatherm (wärmedurchlässig) sein. Man unterscheidet folgende
Systemtypen:
Geschlossenes System
Es ist massedicht, d. h. es besitzt eine konstante Masse m,
bzw. konstante Stoffmenge n. Das Volumen, die Temperatur
und der Druck des Systems können sich ändern. Durch die
Systemgrenzen kann Energie in Form von Wärme und/oder
Arbeit übertragen werden.
Isoliertes oder abgeschlossenes System
Es ist ein geschlossenes System. Durch die Systemgrenzen
kann folglich keine Materie und zusätzlich auch keine Ener-
8
1.2 Thermodynamisches Gleichgewicht
gie (Wärme oder Arbeit) übertragen werden. Jede Form von
Wechselwirkung mit seiner Umgebung ist ausgeschlossen.
Thermisch isoliertes (adiabatisches) System
Es ist masse- und wärmedicht. Über verschiebbare Systemgrenzen kann Energie nur in Form von Arbeit mit der Umgebung
ausgetauscht (abgegeben oder aufgenommen) werden.
Offenes System
Es ist massedurchlässig. Neben Materie kann aber auch
Energie (Wärme, Arbeit) durch die Systemgrenzen übertragen werden.
In der nachfolgenden Tabelle 1 sind die thermodynamisch möglichen
Systemtypen im Überblick dargestellt.
System
offenes
geschlossenes
adiabatisches
abgeschlossenes
Austausch von
Arbeit möglich?
ja
ja
ja
nein
Austausch von
Wärme möglich?
ja
ja
nein
nein
Austausch von
Materie möglich?
ja
nein
rein
nein
Tab. 1: Thermodynamisch mögliche Systeme
Weitere Systemeigenschaften können sich z. B. auf die Verteilung
der Materie im System beziehen. Besitzt die Materie im gesamten
System die gleichen chemischen und physikalischen Eigenschaften,
so heißt das System homogen, anderenfalls heterogen.
1.2
Thermodynamisches Gleichgewicht
Die phänomenologischen Größen, die den Zustand eines Systems als
Ganzes charakterisieren, heißen Zustandsgrößen. Energieströme,
die bei Zustandsänderungen auftreten, heißen dagegen Prozessgrößen. Wärme ist eine Prozessgröße. Sie stellt diejenige Energie dar,
welche aufgrund eines Temperaturunterschiedes zwischen zwei Systemen ausgetauscht wird.
Ein System befindet sich dann im Zustand des thermodynamischen
Gleichgewichts, wenn sich seine Zustandsgrößen ohne Einwirkung
von außen nicht ändern. In einem solchen von der Umgebung isolier-
9
1 Thermische Zustandsgrößen
ten System herrschen z. B. überall der gleiche Druck und die gleiche
Temperatur.
Die phänomenologische Thermodynamik befasst sich mit Erscheinungen, die unmittelbar wahrnehmbar und messbar sind. Sie interessiert sich nicht für die atomistische Struktur der Materie. Ihre Aussagen beruhen auf makroskopischen Erfahrungstatsachen, die unabhängig von unserem Wissen über die mikroskopische Struktur der
Materie sind.
1.3
Temperatur und Temperaturskalen
Wärme ist verknüpft mit der ungeordneten Bewegung, der Wärmebewegung der Atome und Moleküle, und Temperatur ist ein Maß
für deren kinetische Energie. Die Temperatur ist dabei als Mittelwert
definiert und daher nur auf einen aus vielen Atomen/Molekülen bestehenden Stoff (Kollektiv), nicht aber auf die individuelle Bewegung eines einzelnen Teilchens anwendbar.
Aus Erfahrung wird der Begriff der Temperatur mit der Empfindung
von "warm" und "kalt" verbunden. Werden drei unterschiedlich
warme Körper A, B und C so in Kontakt gebracht, dass B gleichzeitig mit den Körpern A und C in Kontakt steht und zugleich kein direkter Kontakt zwischen den Körpern A und C existiert, dann findet
trotzdem ein Wärmeaustausch zwischen den Körpern A und C statt.
A
B
C
Abb. 2: Temperaturausgleich
Dadurch gleichen sich die anfänglich bestehenden Ungleichgewichte
über die Kontaktstellen aus, so dass sich alle drei Körper gleich
warm anfühlen. Die exakte Definition der Temperatur erfolgt mit
Hilfe dieses thermischen Gleichgewichts durch den "Nullten
Hauptsatz der Thermodynamik", durch den die Temperatur als
Basisgröße der Wärmelehre eingeführt wird:
Es gibt eine Zustandsgröße, genannt Temperatur, die
folgendes Verhalten zeigt:
10
1.3 Temperatur und Temperaturskalen
Werden zwei Körper von unterschiedlicher Temperatur
miteinander in Kontakt gebracht, so findet ein Temperaturausgleich statt. Beide Körper nehmen dann die
gleiche Temperatur an. Sie befinden sich dann im
Wärmegleichgewicht.
Werden drei unterschiedlich warme Körper A, B und C so in Kontakt
gebracht, dass B gleichzeitig mit A und C in Kontakt steht und zugleich kein direkter Kontakt zwischen den Körpern A und C existiert, dann findet trotzdem ein Wärmeaustausch zwischen den Körpern A und C statt, so dass schließlich alle drei Körper gleich warm
sind..
Steht ein Körper B mit zwei anderen Körpern A und C
im thermischen Gleichgewicht (Abb. 2), so besteht ein
solches Gleichgewicht auch zwischen A und C. Alle
drei Körper A, B und C haben dann die gleiche Temperatur.
Wissenschaftshistorisch wurde diese Aussage des „Nullten Hauptsatzes der Thermodynamik“ zu einer Zeit formuliert, zu der die Begriffe
Erster und Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik bereits eingeführt
und damit schon vergeben waren. Gemessen wird die Temperatur
durch Thermometer. Dabei wird zur Temperaturmessung eine Eigenschaft eines Systems benutzt, die in gesetzmäßiger und reproduzierbarer Weise temperaturabhängig ist und durch die mit Hilfe von Fixpunkten eine Temperaturskala definiert wird.
Eine Temperaturskala ist eine Folge von Punkten auf einer Zahlenwertskala. Um zu einer einheitlichen Temperaturskala zu kommen,
war eine Einigung im Hinblick auf die verwendete Thermometersubstanz und auf die Wahl der beiden Fixpunkte notwendig. Die gemessene Temperatur eines Gegenstandes wird dann durch einen Punkt
auf einer solchen Skala dargestellt.
1.3.1
Celsius - Skala
Benannt nach dem schwedischen Astronomen Anders Celsius (1701
- 1744). Sie wurde 1741 von Celsius erstmals als Zentigradskala
benutzt. Bereits 1665 hatte der niederländische Astronom und Mathematiker Christian Huygens (1629 – 1695) den Schmelzpunkt des
Eises und den Siedepunkt des Wassers als Fundamentalpunkte vorgeschlagen. Der dazwischen liegende Bereich wird durch 100 gleich
große Skalenteile („Grade“) unterteilt. Dadurch entspricht der Abstand zwischen zwei Skalenteilen einer Temperaturdifferenz von
einem Grad Celsius ( ∆ϑ = 1°C).
11
1 Thermische Zustandsgrößen
Fixpunkte:
ϑ = 0 °C
Gefrierpunkt des Wassers (Schmelzpunkt des Eises)
ϑ = 100 °C Siedepunkt des Wassers
Die Fixpunkte sind bei Normdruck p n der Erdatmosphäre in Meereshöhe festgelegt. Gemäß DIN 1343 gilt für den Normdruck:
p n =1,01325 ⋅105 N / m 2 = 1013 hPa = 1013 mbar
10 5 Pa = 1 bar
Die Genauigkeit der Temperaturmessung variiert in den verschiedenen Temperaturbereichen. So hat der Gefrierpunkt (Eispunkt) des
Wassers eine Unsicherheit von etwa 0,002 °C. Der Siedepunkt lässt
sich mit einer Genauigkeit von etwa 0,001 °C reproduzieren. Wesentlich genauer lässt sich dagegen der Tripelpunkt des Wassers
bestimmen. Der Tripelpunkt ( ϑ T = 0,01 °C, p T = 609 Pa ) des Wassers ist exakt definiert und reproduzierbar messbar mit einer Genauigkeit von 0,00005 °C. Er ist dadurch ausgezeichnet, dass bei einer
bestimmten Temperatur ϑ T und einem bestimmten Druck p T alle
drei Aggregatzustände eines Stoffes, wie zum Beispiel Eis, Wasser
und Wasserdampf miteinander im Gleichgewicht existieren können.
1.3.2
Fahrenheit - Skala
Benannt nach dem deutschen Naturforscher Gabriel Daniel Fahrenheit (1686 - 1736), der diese Skala 1714 einführte. In den USA wird
die Temperatur heute noch in Grad Fahrenheit (°F) angegeben. Um
einen Temperaturmesswert von t F auf der Fahrenheit-Skala in die
entsprechende Temperatur ϑ auf der Celsius-Skala umzurechnen,
wird die Beziehung
5
ϑ / °C = ( t F / °F − 32)
9
verwandt. Für die Berechnung der Fahrenheit-Temperatur gilt:
9
t F / °F = ϑ / °C + 32
5
Die o.g. Umrechnungsformeln werden als „zugeschnittene“ Größengleichungen bezeichnet.
12
1.3 Temperatur und Temperaturskalen
Beispiele:
a) t F = 98,6 °F
ϑ = 37 °C (Körpertemperatur)
b) ϑ = 100 °C
t F = 212 °F (Siedetemperatur des Wassers)
1.3.3
Kelvin - Skala
Die Kelvin-Skala der thermodynamischen Temperatur T ist nach
dem irisch-britischen Physiker William Thomson (1892 zum Lord
Kelvin geadelt) (1824 - 1907) benannt. Sie ist eine Absolutskala, d.h.
der Nullpunkt dieser thermodynamischen Temperaturskala ist ein
absoluter Nullpunkt.
Die Kelvin-Skala wird durch einen Fixpunkt festgelegt.
Hierzu wurde 1954 der Tripelpunkt TT des Wassers gewählt:
Tripelpunkt:
TT = 273,16 K ( ϑ T = 0,01 °C)
Die Einheit Kelvin (K) der thermodynamischen Temperatur ergibt
sich zu
1K =
TT
.
273,16
Die Temperatureinheit Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von Wasser.
Die Einheit Kelvin wird über eine willkürlich ausgewählte Materialeigenschaft, den Tripelpunkt des Wassers, definiert. Die thermodynamische Temperatur ist eine Basisgröße und ihre Einheit ist eine
Basiseinheit des Internationalen Einheitensystems (SI-System). Die
Celsius-Temperatur ist eine abgeleitete SI-Größe und ihre Einheit
Grad Celsius (Einheitenzeichen: °C) ist eine abgeleitete SI-Einheit.
Mit dieser Festlegung ergeben sich die beiden Fixpunkte der CelsiusSkala zu:
Schmelzpunkt des Eises:
TS = 273,15 K
Siedepunkt des Wassers:
TV = 373,15 K
13
1 Thermische Zustandsgrößen
Im Gegensatz zum absoluten Nullpunkt und dem Tripelpunkt des
Wassers sind der Schmelzpunkt von Eis und der Siedepunkt von
Wasser als experimentell zu ermittelnde Größen nicht per definitionem festgelegt. Für den Zusammenhang zwischen CelsiusTemperatur ϑ (gemessen in °C) und Kelvin-Temperatur T (gemessen in K) gilt:
ϑ /°C = T/K - 273,15
T/K = ϑ /°C + 273,15
Die Temperaturdifferenzen ∆T der Kelvin- und ∆ϑ der CelsiusTemperatur entsprechen sich.
∆T / K = ∆ϑ / °C
Die Fixpunkte der wichtigsten Temperaturskalen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Fahrenheit
(1714)
Celsius
(1742)
100
0
Kelvin
(1851)
Siedepunkt des
Wassers bei
Normaldruck
212
Schmelzpunkt
des Eises
32
273,16
Tripelpunkt
des Wassers
Abb. 3: Verschiedene Temperaturskalen und deren Fixpunkte
1.3.4
Gefühlte Temperatur
Die gemessene Lufttemperatur stimmt häufig nicht mit der menschlichen Temperaturempfindung überein. Mit wachsenden Windgeschwindigkeiten weicht die Temperaturempfindung zunehmend von
der gemessenen Lufttemperatur ab. Dieser Auskühlungseffekt durch
den Wind wird durch die gefühlte Temperatur berücksichtigt. Es
handelt sich dabei um eine meteorologische Rechengröße, die seit
1997 vom Deutschen Wetterdienst als Zusatzinformation neben der
reinen Lufttemperatur verbreitet wird. Dabei werden neben der
14
1.4 Thermische Eigenschaften von Stoffen: Thermische Ausdehnung von
Festkörpern und Flüssigkeiten
Windgeschwindigkeit weitere Faktoren wie Luftfeuchtigkeit und die
Intensität der Sonneneinstrahlung berücksichtigt. In den USA wird
schon seit langem in den Wetterberichten die Abkühlung durch die
Windbedingungen durch die Angabe eines Windchillindex berücksichtigt. Diese Information erlaubt es, die Temperaturverhältnisse
realistisch einzuschätzen. Wichtigste Ursache für die Diskrepanz
zwischen Lufttemperatur und gefühlter Temperatur ist der konvektive Wärmetransport. Der dabei auftretende Wärmeübergangskoeffizient ist von der Windgeschwindigkeit abhängig.
1.4
Thermische Eigenschaften von Stoffen:
Thermische Ausdehnung von Festkörpern und
Flüssigkeiten
Erwärmen wir einen Körper, so ändern sich dessen Abmessungen.
Die Länge l 0 eines Stabes vergrößert sich bei Erwärmung (Temperaturerhöhung) um ∆T um ∆l auf l = l 0 + ∆l . Der Längenzuwachs ist
dabei proportional zur Ausgangslänge l 0 und der Temperaturerhöhung ∆T .
∆l = α l 0 ∆T
α ist dabei ein stoffspezifischer Proportionalitätsfaktor. Für die
Länge l folgt dann:
l = l 0 (1 + α∆T )
l 0 = l(T0 ) bedeutet dabei die Ausgangslänge bei der Temperatur
T0 . Die Länge des Stabes nach Erwärmung um ∆T = T − T0 auf die
Temperatur T ist l = l(T ) .
∆l
l0
l
Abb. 4: Thermische Ausdehnung eines Stabes
α heißt linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient oder kurz
Längenausdehnungskoeffizient. Er ist grundsätzlich temperaturabhängig und stellt nur in einem bestimmten Temperaturbereich eine
stoffspezifische Konstante dar. Es gilt folgende Erfahrungstatsache:
15
1 Thermische Zustandsgrößen
Im Allgemeinen nimmt α mit wachsender Temperatur
zu.
Insbesondere ist α = 0 für T = 0 K . Allgemein gilt:
α=
∆l
l 0 ⋅ ∆T
[α ] =
[∆l]
m
=
= K −1
[l 0 ] ⋅ [∆T] m ⋅ K
Sei l(T) die Länge bei einer Temperatur T, dann ergibt sich bei Temperaturerhöhung um dT eine Längenänderung dl und es gilt:
dl = αldT
dl
= αdT
l
l dl
T
∫ = ∫ αdT
l0 l
T0
ln
l
l0
T
= ∫ αdT
T0
T
l(T ) = l 0
∫ αdT
T0
e
Hierbei gilt: l 0 = l(T0 )
Obige Beziehung gilt für temperaturabhängiges α . Für konstanten
Ausdehnungskoeffizienten α folgt:
T
∫ αdT = α(T − T0 )
T0
l(T ) = l 0 e α( T −T0 )
Durch Potenzreihenentwicklung (Taylorreihe) der e-Funktion erhält
man in linearer Näherung:
l(T ) ≈ l 0 (1 + α(T − T0 ))
Damit folgt die experimentell gesicherte Beziehung:
l(T ) − l 0 = l 0 α(T − T0 )
oder
∆l = αl 0 ∆T .
16
1.4 Thermische Eigenschaften von Stoffen: Thermische Ausdehnung von
Festkörpern und Flüssigkeiten
Für Flüssigkeiten und Gase, aus denen keine stabförmigen Proben
hergestellt werden können, kann nur der kubische Ausdehnungskoeffizient γ angegeben werden. Die Abhängigkeit des Volumens von
der Temperatur ergibt sich daraus, dass jede lineare Abmessung des
Körpers sich gemäß l = l 0 (1 + α∆T ) ändert. Für die Änderung
∆V eines Volumens V0 bei Erwärmung eines Stoffes um ∆T gilt:
V = V0 + ∆V = V0 (1 + γ ∆T )
γ heißt kubischer Ausdehnungskoeffizient oder Volumenausdeh-
nungskoeffizient.
Ausgehend von V = V0 (1 + γ ∆T ) lässt sich der kubische Ausdehnungskoeffizient γ wie folgt definieren:
γ = lim
∆T → 0
1 ∆V
1 dV
=
(
)p=konst .
V0 ∆T V0 dT
γ beschreibt bei konstantem Druck die relative Volumenänderung
pro Grad Temperaturänderung.
In einem V,T - Diagramm ist γ ein Maß für die Steigung der V(T)Kurve. Nimmt das Volumen V mit wachsender Temperatur T zu, so
∆V
ist
> 0 und γ ist positiv. Dies ist bei den meisten Stoffen der
∆T
Fall.
Eine wichtige Ausnahme stellt Wasser dar. Für den Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Wasser gilt:
γ > 0 , für ϑ > 4 °C
γ = 0 , für ϑ = 3,98 °C ≈ 4 °C
γ < 0 , für ϑ < 4 °C
V
V0
l0
l
Abb. 5: Thermische Ausdehnung eines Würfels
17
1 Thermische Zustandsgrößen
Für den Zusammenhang zwischen α und γ gilt:
γ = 3α .
Ein Würfel von der Kantenlänge l(T) hat dann das Volumen:
V = l 3 (T ) = l 30 (1 + α∆T ) 3
V = l 30 (1 + 3α∆T + 3α 2 (∆T ) 2 + α 3 (∆T ) 3 )
Da α∆T << 1
gilt:
V = l 30 (1 + 3α∆T ) = V0 (1 + γ∆T)
In der letzten Gleichung wurde die Abkürzung γ = 3α benutzt. Die
thermische Ausdehnung von Flüssigkeiten ist im Allgemeinen um
zwei Größenordnungen größer als die von Festkörpern.
Die in Tabelle 2 genannten Ausdehnungskoeffizienten gelten für
Festkörper im Temperaturbereich zwischen 0 °C und 100 °C. Von
allen metallischen Werkstoffen haben Eisen-Nickel-Legierungen (z.
B. FeNi 36 mit 36% Ni) im Temperaturintervall von 20 - 200°C den
kleinsten linearen Ausdehnungskoeffizienten ( α = 1,5 ⋅ 10 −6 K −1 ). Sie
sind unter dem Handelsnamen Invar (das Invariable, Unveränderliche) bekannt und werden für Unruhfedern von mechanischen Uhren,
Messbänder und Geräte der Messtechnik verwendet. Der schweizer
Physiker Charles Guillaume erhielt für die Entdeckung dieser Nickel-Eisen-Legierung Invar36 1920 den Nobelpreis für Physik. Extrem kleine Ausdehnungskoeffizienten besitzen glaskeramische Systeme. So besitzt die LAS-Glaskeramik, bestehend aus Lithiumoxid,
Aluminiumoxid und Siliciumdioxid einen linearen Ausdehnungskoeffizienten von α = 0,1 ⋅ 10 −6 K −1 .
Fast alle Stoffe haben im gesamten Temperaturbereich positive Ausdehnungskoeffizienten, die jedoch nicht konstant sind, sondern von
der jeweiligen Temperatur abhängen. Das von den Stoffen eingenommene Volumen vergrößert sich daher monoton mit zunehmender Temperatur. Diese Volumenzunahme hat zur Folge, dass mit
steigender Temperatur die Dichte abnimmt.
ρ(T ) =
m
=
V (T )
ρ0
m
=
V0 (1 + γ∆T ) (1 + γ∆T )
Dabei bedeuten ρ 0 =
m
die Dichte z. B. bei T0 = 273,15 K
Vo
( ϑ 0 = 0 °C ) oder bei Zimmertemperatur TZ = 293,15 K
( ϑ Z = 20 °C ). Für die Temperaturänderung ∆T = T − T0 gilt:
18
1.4 Thermische Eigenschaften von Stoffen: Thermische Ausdehnung von
Festkörpern und Flüssigkeiten
∆T ist bei Erwärmung des Körpers positiv ( T > T0 ), bei Abkühlung
des Körpers negativ ( T < To ).
Festkörper
α / 10 −6 K −1
Flüssigkeiten/Gase
(ϑ = 20 °C)
γ / 10 −3 K −1
PTFE
100
Hexan
1,35
Pb
29
Ethanol
1,10
Al
23
Heizöl
0,95
Cu
15
Glycerol
0,47
Fe
12
Wasser
0,21
Ti
9
Quecksilber
0,18
W
4
(ideale) Gase
3,66
Invar
2
Wasserdampf
3,94
Tab. 2: Ausdehnungskoeffizienten verschiedener Stoffe
Die Dichte eines Gases im Normzustand ( ϑ n = 0 °C ;
p n = 1013,25 hPa ) wird Normdichte genannt und mit ρ n bezeichnet.
Nur wenige Stoffe, wie spezielle Kristalle (z. B. Zirconiumwolframat) und einige Polymere (Kautschuk, Schrumpffolien und
Schrumpfschläuche) haben im kristallinen Zustand (Polymerkristalle) in Kettenrichtung negative Ausdehnungskoeffizienten. Ursache
hierfür ist die mit wachsender Temperatur zunehmende Amplitude
ungeordneter Transversalschwingungen, die zu einer Verkürzung der
Molekülkette in Längsrichtung führt. Dies trifft auch auf Aramidfasern (Beispiel: Kevlar) und C-Fasern zu.
Ein besonderer Fall liegt beim Wasser vor. Der Ausdehnungskoeffizient von Wasser ist nur oberhalb von 3,98 °C positiv. Zwischen
0 °C und 3,98 °C ist γ negativ. Diese Eigenschaft wird als Anomalie des Wassers bezeichnet. Beim Dichtemaximum von 3,98 °C
verschwindet der Ausdehnungskoeffizient ( γ = 0 ). Aufgrund dieser
Eigenschaft ist 1 l Wasser bei etwa 4 °C schwerer als 1 l Wasser
am Gefrierpunkt. Beim Erstarren erfolgt eine sprunghafte Abnahme
der Dichte. Wasser hat bei ϑ0 = 0 °C eine Dichte von
ρ0,W = 999,8 kg / m3 während die Dichte von Eis bei ϑ 0 = 0 °C nur
ρ 0,E = 917 kg / m 3 beträgt. Eis schwimmt daher auf dem Wasser.
Für Eis ist der Ausdehnungskoeffizient wieder positiv. Bei
ϑ = −20 °C besitzt porenfreies Eis eine Dichte von
ρ E = 920 kg / m 3 . Auch bei hohen Wassertemperaturen erfolgt die
Volumenzunahme nicht linear.
19
1 Thermische Zustandsgrößen
Der Ausdehnungskoeffizient γ ist nicht konstant, sondern temperaturabhängig, und zwar nimmt er mit wachsender Temperatur zu.
Die Abhängigkeit des Wasservolumens von der Temperatur zeigt
Abb. 6 im oberen Teil. Dabei wurde das Volumenverhältnis
V( ϑ )/V(0) dargestellt. V(0) bedeutet dabei das Wasservolumen bei
der Temperatur ϑ = 0 °C. Der untere Teil der Abbildung zeigt den
Verlauf der Dichte von Wasser als Funktion der Temperatur.
V( )
V (0)
1.0010
1.0005
1.0000
5
10
15
ϑ C
60
80 100
ϑ C
0
ρ
g/cm³
1,00
0,98
0,96
0,94
0,92
-20
0
20
40
0
Abb. 6: Temperaturabhängigkeit des Volumens und der Dichte von
Wasser ( V (ϑ) = V0 (1 + γϑ) )
Im Eis ist jedes O-Atom tetraedrisch von vier H-Atomen umgeben.
Zwei Wasserstoffatome sind über kovalente Bindungen an das Sauerstoffatom gebunden. Sie bilden zusammen das Wassermolekül
( H 2 O ). Die beiden anderen H-Atome gehören zu benachbarten
Wassermolekülen und sind nur über Wasserstoffbrücken an das OAtom gebunden. Die Struktur von Eis kann daher als ein weitmaschiges Netzwerk von H 2 O -Molekülen aufgefasst werden, das von
Wasserstoffbrücken zusammengehalten wird. Wenn Eis schmilzt,
lösen sich einige der Wasserstoffbrücken. Die Moleküle sind im
Wasser weniger regelmäßig, dafür aber dichter gepackt.
20
1.5 Wärmeausdehnung der Gase
Abb. 7: Struktur von Eis in räumlicher Darstellung
Neben Wasser dehnen sich auch die Elemente Si, Ga und Bi beim
Erstarren aus der Schmelze etwas aus. Dieser Vorgang erfolgt beim
Abkühlen bei der Erstarrungstemperatur.
Abb. 8: Struktur von Eis in ebener Darstellung
1.5
Wärmeausdehnung der Gase
Die experimentelle Erfahrung zeigt: Bei konstantem Gasdruck p ist
das Gasvolumen V einer gegebenen Gasmenge eine lineare Funktion
der Gastemperatur T.
V = konst. * T
V
= konst.
T
Für zwei verschiedene Zustände „ “ und „ “ des Gases mit den
Zustandsgrößen V0 und T0 bzw. V1 und T1 folgt dann:
V0 V1 V2
=
=
= konst.
T0
T1 T2
21
1 Thermische Zustandsgrößen
Sei speziell T0 = 273,15 K , sowie die Temperaturänderung
∆T = T1 − T0 .
Nach Erwärmung habe das ideale Gas bei der Temperatur T1 ein
Volumen V1
Dann gilt für die Volumenänderung ∆V :
∆V = V1 − V0
Wegen
V0 V1
T
folgt: V1 = V0 1
=
T0 T1
T0
∆V = V1 − V0 = V0
T1
T
T T
T − T0
− V0 = V0 ( 1 − 1) = V0 ( 1 − 0 ) = V0 1
T0
T0
T0 T0
T0
Wegen ∆T = T1 − T0 ergibt sich:
∆V =
1
V0 ∆T
T0
Andererseits gilt definitionsgemäß für den Volumenausdehnungskoeffizienten γ :
∆V = γV0 ∆T
Koeffizientenvergleich liefert:
γ=
1
1
=
= 3,66 ⋅ 10 − 3 K −1
T0 273,15 K
Alle idealen Gase dehnen sich bei konstantem Druck bei Tempera1
turerhöhung um 1 °C oder um 1 K um
des Ausgangsvolu273,15
mens V0 aus, welches sie vor der Temperaturerhöhung einnahmen.
22
1.5 Wärmeausdehnung der Gase
Gas
ideales Gas
Helium
Neon
Wasserstoff
Stickstoff
Sauerstoff
Argon
Krypton
Kohlendioxid
Ethan
Wasserdampf
γ /(10 −3 K −1 )
3,66
3,66
3,66
3,66
3,67
3,67
3,68
3,69
3,73
3,75
3,94
Tab. 3: Ausdehnungskoeffizienten realer Gase
23
2 Thermische Zustandsgleichungen
2
Thermische Zustandsgleichungen
2.1
Das ideale Gas
Das ideale Gas stellt eine physikalische Idealisierung dar. Es ist ein
thermodynamischer Modellstoff, der eine einfache methodische Behandlung erlaubt und der das Verhalten der meisten technisch wichtigen Gase bei Zimmertemperatur und bei höheren Temperaturen
hinreichend genau beschreibt.
Das ideale Gas hat folgende Eigenschaften:
-
Die Teilchen (Moleküle, Atome) des idealen Gases sind Massenpunkte; sie haben kein Eigenvolumen
-
Die Teilchen des idealen Gases üben keine Anziehungskräfte
aufeinander aus. Abgesehen von elastischen Stößen zwischen
den sich bewegenden Gasteilchen und mit den Behälterwänden
verhält sich ein ideales Gas wechselwirkungsfrei.
2.2
Ideale Gasgesetze und die Zustandsgleichung
des idealen Gases
Unter einer stoffmengenbezogenen Größe, kurz auch als molare
Größe G m bezeichnet, versteht man den Quotienten aus einer physikalischen Größe G und der Stoffmenge n.
Gm =
G
n
Mit dieser Definition erhält man für die molare Masse M m :
Mm = M =
m
n
[ M ] = kg mol-1
Dabei sind m die Masse und n die Stoffmenge des Gases. Die molare
Masse wird im Folgenden, wie international üblich, ohne Index
durch das Formelzeichen M charakterisiert.
Der Quotient aus der Anzahl N der Teilchen eines Stoffes und der
Stoffmenge n, die sog. molare Teilchenzahl Nm hat für alle Stoffe
den gleichen Wert und wird Avogadro-Konstante genannt und mit
N A bezeichnet:
24
2.2 Ideale Gasgesetze und die Zustandsgleichung des idealen Gases
Nm = NA =
N
= 6,022 ⋅ 10 23 mol −1
n
1 mol eines jeden Stoffes besteht stets aus N A = 6,022 ⋅ 10 23
Teilchen.
N A wird auch als Loschmidtsche Konstante bezeichnet. Der Wie-
ner Physiker Josef Loschmidt (1821 – 1895) veröffentlichte 1866
eine Arbeit „Zur Größe der Luftmoleküle“, in der er erstmalig die
Größenordnung von N A abschätzen konnte.
Für das molare Volumen Vm eines Gases mit dem Volumen V und
der Stoffmenge n erhält man:
Vm =
V
n
Der funktionale Zusammenhang p = f(V,T) zwischen den thermischen Zustandsgrößen p,V und T wird durch die Zustandsgleichung
der idealen Gase beschrieben:
pV = NkT
oder mit der Teilchendichte ν =
N
V
p = νkT .
Die Zustandsgleichung ist nicht das Ergebnis theoretischer Überlegungen oder mathematischer Ableitungen, sondern stellt eine kompaktifizierte Zusammenfassung der Versuchsergebnisse zur experimentellen Untersuchung idealer Gase dar. Der Gasdruck p ist der
Teilchendichte ν und der Temperatur T direkt proportional. Für alle
p
= k konstant.
νT
N
⋅ m3
2
[ p]
Pa
N⋅m J
[k ] =
=
= m
=
=
1
[ν][T]
K
K
K
K
3
m
Gase ist der Ausdruck
Der Proportionalitätsfaktor k ist somit eine universelle Konstante,
die aus Messwerten ermittelt wird. Sie wird zu Ehren des österreichischen Physikers Ludwig Boltzmann (1844 – 1906) BoltzmannKonstante genannt.
k = 1,381 ⋅ 10 −23 J / K
25
2 Thermische Zustandsgleichungen
Erweitern von pV = NkT mit N A liefert:
pV =
N
N A kT
NA
oder
pV = nRT
mit R = kN A
folgt für die universelle Gaskonstante R:
R = 8,314
J
mol ⋅ K
Die universelle Gaskonstante R ist stoffunabhängig und wird in der
Literatur gelegentlich auch als molare Gaskonstante bezeichnet. Die
Zustandsgleichung idealer Gase wird manchmal auch in der folgenden Formulierung angegeben:
pV =
m
RT
M
mit n =
m
.
M
Hinweis: In der Literatur zur technischen Wärmelehre wird im Allgemeinen eine stoffabhängige Gaskonstante R S verwendet. Die Zustandsgleichung des idealen Gases kann dann in einer weiteren Form
mulierung angegeben werden. Aus pV = nRT folgt mit n =
,
M
wobei m die Gesamtmasse des betrachteten Gases und M die zugehörige molare Masse darstellt,
pV =
m
R
RT = m
T = mR S T .
M
M
R
heißt spezielle oder individuelle Gaskonstante und
M
wird mit R S oder R i gekennzeichnet. Die spezielle Gaskonstante
Die Größe
R S hängt von der molaren Masse ab und ist somit charakteristisch
für das verwendete Gas. In dieser Formulierung erhält man für die
Zustandsgleichung des idealen Gases:
pV = mR S T
oder
p = ρR S T .
Die speziellen Gaskonstanten für Luft R L bzw. für Wasserdampf
R D besitzen die Werte R L = 287,05 J /( kg ⋅ K ) und
26
2.2 Ideale Gasgesetze und die Zustandsgleichung des idealen Gases
R D = 462 J /( kg ⋅ K ) . Die Zustandsgleichung idealer Gase beschreibt
die folgenden experimentell bestätigten Beobachtungen:
Gesetz von Boyle-Mariotte:
Bei konstanter Temperatur T ist der Druck p umgekehrt proportional zum Volumen V.
p
T3
T2
T1
V
Abb. 9: Isothermen eines idealen Gases mit T1 < T2 < T3
Die Zustandskurven dieses zu Ehren des irischen Naturforschers
Robert Boyle (1627 – 1691) und des französischen Physikers Edme
Mariotte (1620 – 1684) benannten Gesetzes sind Isothermen (T =
konst.). Sie werden in der p-V-Ebene durch Hyperbeläste dargestellt.
Gesetz von Amontons:
Bei konstantem Volumen V steigt der Druck p wie die
absolute Temperatur T:
p
V1
V2
V
3
0
T
Abb. 10: Isochore eines idealen Gases mit V1 < V2 < V3
Die Zustandskurven dieses zu Ehren des französischen Physikers
Guillaume Amontons (1663 – 1705) benannten Gesetzes sind Iso-
27
2 Thermische Zustandsgleichungen
choren (V = konst.), d. h. Geraden im p,T-Diagramm, deren Steigung durch die Größe des konstanten Volumens bestimmt wird.
Im p,V-Diagramm werden die Isochoren durch vertikale Geraden
dargestellt.
ϑ/°C
p
V = konst.
Wärmezufuhr
p/Pa
Extrapolation
V=konst.
p
0
-273,15
-100
0
100
ϑ/°C
Abb. 11: Messprinzip zur Definition des absoluten Nullpunktes der
Temperatur
Bei der Temperatur ϑ = -273,15 °C erhält man den Gasdruck p = 0.
Bei dieser Temperatur verschwindet die thermische Bewegung der
Moleküle. Sie wird daher mit dem absoluten Nullpunkt T = 0 der
thermodynamischen Temperaturskala identifiziert.
Aus der Zustandsgleichung des idealen Gases pV = nRT folgt das
Gesetz von Gay-Lussac:
Bei konstantem Druck steigt das Volumen wie die absolute Temperatur.
V∼T
28
(für p = konst.)
2.3 Gesetz von Avogadro
V
p
1
p
2
p
0
3
T
Abb. 12: Isobaren eines idealen Gases mit p1 < p 2 < p 3
Die Zustandskurven dieses zu Ehren des französischen Chemikers
und Physikers Joseph Louis Gay-Lussac (1778 – 1850) benannten
Gesetzes sind Isobare (p = konst.). In der p-V-Ebene werden Isobaren (p = konst.) durch horizontale Geraden dargestellt. Gelegentlich
wird die isobare Zustandsgleichung auch als das Gesetz von Charles
bezeichnet. Der französische Physiker Jacques Alexandre Charles
(1746 – 1823) hat sich mit der Wärmeausdehnung von Gasen beschäftigt und startete bereits 1783 den ersten wasserstoffgefüllten
Gasballon.
2.3
Gesetz von Avogadro
Im Folgenden soll die Frage beantwortet werden, in welcher Weise
das Gasvolumen V von der Stoffmenge n des Gases abhängig ist. Für
ein ideales Gas mit der Stoffmenge n gilt:
pV = nRT .
pV
ist für ein gegebenes Gas immer konstant. Für zwei
T
verschiedene Zustände „ “ ( p 1 , V1 , T1 ) und „ “ ( p 2 , V2 , T2 ) gilt:
Die Größe
p1V1
T1
= nR
und
p 2 V2
= nR .
T2
Folglich gilt:
29
2 Thermische Zustandsgleichungen
p1V1 p 2 V2
=
T1
T2
Damit man zur Charakterisierung eines Gases nicht alle 3 Größen
(p,V und T) angeben muss, werden sog. Normwerte eingeführt:
p n = 1013,25 hPa
Tn = 273,15 K
( ϑ n = 0 °C )
Ein durch Normtemperatur ϑ n = 0 °C und Normdruck
p n = 1013,25 hPa festgelegter Zustand eines festen, flüssigen oder
gasförmigen Stoffes wird Normzustand genannt. Das Normvolumen wird mit Vn bezeichnet. Es ergibt sich aus der Normdichte ρ n
gemäß der Beziehung Vn =
m
. Aus p n Vn = nRTn folgt mit
ρn
n = 1 mol für das molare Normvolumen Vm,n , d.h. das Volumen,
das ein Mol eines beliebigen idealen Gases unter Normbedingungen
einnimmt:
Vm, n = R
Tn
m3
L
= 22,414
= 22,414
pn
kmol
mol
Der genaue Wert (DIN 1343) beträgt Vm , n = 22,41383 m 3 / kmol .
1811 formulierte der italienische Naturforscher Amedeo Avogadro (
(1776 – 1856) eine Hypothese, die heute als das Gesetz von
Avogadro bezeichnet wird:
Bei gleichem Druck (p1 = p2) und gleicher Temperatur
(T1 = T2) verhalten sich die Volumina zweier verschiedener Gase und so, wie deren Stoffmengen und
damit so, wie deren Teilchenzahlen.
Denn aus
p1V1 = n 1RT1
(Gas
)
(Gas
)
und
p 2 V2 = n 2 RT2
folgt mit p1 = p 2 und T1 = T2 :
30
2.4 Druckverhältnisse in der Erdatmosphäre und die Barometrische
Höhenformel
V1
V2
=
n1
n2
=
N1
N2
Bei gleichem Druck p und gleicher Temperatur T enthalten gleich
große Volumina V verschiedener Gase stets die gleiche Anzahl von
Atomen oder Moleküle N (und damit die gleichen Stoffmengen n).
Mit anderen Worten: Aus V1 = V2 folgt N1 = N2 .
Häufig wird in der Thermodynamik ein spezifisches Volumen υ
eingeführt. Für ein Gas mit der Masse m, welches ein Volumen V
einnimmt gilt:
υ=
V
m
2.4
und
[υ] =
m3
kg
Druckverhältnisse in der Erdatmosphäre und
die Barometrische Höhenformel
Der Druck stellt neben der Temperatur und dem Volumen eine weitere thermische Zustandsgröße dar. Als Druck p wird eine senkrecht
auf eine Fläche A wirkende Kraft vom Betrag F bezeichnet. Der
Druck ist somit eine skalare Größe.
p=
F
A
[p] =
[F]
N
= 2 = Pa
[A] m
In technischen Anwendungen wird das Bar mit dem Einheitenzeichen bar als Druckeinheit außerhalb des SI verwendet. Die Einheit
Bar ist gemäß Einheitenverordnung (EinhV) eine gesetzliche Einheit.
1 bar = 10 5 Pa
Insbesondere zur Charakterisierung der Gase spielt der Druck als
physikalische Größe eine wichtige Rolle. Für das kompressible Medium Luft gilt: Der Luftdruck und damit auch die Dichte der Luft
nehmen mit zunehmender Höhe über dem Erdboden kontinuierlich
ab.
Der Atmosphärendruck ist ein Eigengewichtsdruck.
Er ist der Schweredruck der Erdatmosphäre infolge ihres Gewichtes.
Im Normzustand ( p n = 1013,25 hPa, ϑ n = 0 °C ) beträgt die Dichte
31
2 Thermische Zustandsgleichungen
für trockene Luft ρ n = 1,293 kg / m 3 . Dann befindet sich am Erdboden über der Fläche von 1 cm² eine Luftmasse von 1,033 kg. p n
entspricht dabei dem Jahresmittelwert des Luftdruckes auf Meereshöhe.
pn =
F mg
=
A A
m=
pn A
m =
g
1013 ⋅ 10 2 N / m 2 ⋅ 10 −4 m 2
9,81 m / s 2
= 1,033 kg
Wäre die Luft inkompressibel und überall so dicht wie an der Erdoberfläche, d.h. wäre die Luftdichte ρ = ρ n = konst., so reichte die
Atmosphäre wegen p n = ρ n gh nur bis zu einer Höhe h von:
h =
pn
ρn g
= 7988 m.
Der Gipfel des Mt. Everest würde dann schon ins Leere ragen!
Unter der Voraussetzung konstanter Temperatur der Erdatmosphäre
erhält man für die Höhenabhängigkeit des Druckes:
dp
dh
p, ρ
h
0
p ,ρ
0
0
Abb. 13: Beschreibung der Höhenabhängigkeit des Luftdruckes
Liegt in der Höhe h eine Luftdichte ρ vor, so erfolgt bei kleiner Höhenzunahme um dh eine Druckabnahme um dp:
dp = −ρgdh
Die Dichte der Atmosphäre ist mit dem Druck und mit der mittleren
molaren Masse M der Luft durch die Zustandsgleichung für ideale
Gase verknüpft:
32
2.4 Druckverhältnisse in der Erdatmosphäre und die Barometrische
Höhenformel
p=ρ
ρ=
R
T = ρR S T
M
m
ist die Gasdichte, und m stellt die gesamte Gasmasse dar.
V
Der Druck p eines Gases ist somit stets der jeweiligen
Gasdichte ρ proportional.
Beispiel:
Berechnung der molaren Masse M von trockener Luft
Für die Zusammensetzung der wichtigsten Komponenten des
Gasgemisches Luft in der unteren Atmosphäre erhält man folgende gerundete Messwerte:
Gas
chemisches
Elementsymbol
VolumenAnteil hi
relative
Molekülmasse Mr ,i
Stickstoff
N2
78 %
28
Sauerstoff
O2
21 %
32
Argon
Ar
1%
40
Tab. 4: Hauptbestandteile der trockenen Luft (gerundet)
Die molare Masse von trockener Luft hat den Wert:
M=
∑h
i
⋅ M r , i = 28,95 g / mol = 0,02895 kg/mol
i
Für die spezielle oder individuelle Gaskonstante R S von
Luft folgt: R S =
R
J
= 287
M
kg ⋅ K
Hinweis:
Der CO 2 - Anteil der Luft von zurzeit (Stand 2015: Jahresmittelwert der Messstation Mauna Loa Observatory)
400 ppm (0,0400 %) wurde nicht berücksichtigt. Ebenso
wurde der Wasserdampfanteil vernachlässigt, da vollständig
trockene Luft vorausgesetzt wurde.
Die Ableitung der Barometrischen Höhenformel erfolgt unter der
Voraussetzung konstanter Lufttemperatur (T = konst.). Ausgehend
ρ RT
:
von dp = −ρgdh erhält man durch Division mit p =
M
33
2 Thermische Zustandsgleichungen
gM
dp
=−
dh
p
RT
p
∫
p0
h
dp
gM
=−
dh
p
RT
0
∫
ln p − ln p 0 = −
gM
h
RT
Mit der Abkürzung H =
ln
RT
, der sog. Skalenhöhe, folgt:
gM
p
h
=−
p0
H
Delogarithmieren durch Exponentation zur Basis e liefert die Barometrische Höhenformel:
p = p 0 exp(−
h
)
H
Der Luftdruck nimmt exponentiell mit wachsender Höhe ab.
Der Luftdruck am Erdboden (Höhe h = 0) wurde hier mit p 0 bezeichnet. Analog ist ρ 0 die Dichte der Luft am Erdboden.
p
Pa
p
0
p(h)=p e-h/H
0
1p
2 0
1p
4 0
0
5,5
11
Abb. 14: Barometrische Höhenformel
Für h = h 1 / 2 ist p(h 1 / 2 ) =
1
p . Daraus folgt:
2
h 1 / 2 = ln 2 ⋅ H = 0,693 ⋅ 7983 m ≈ 5,5 km
34
h / km
2.4 Druckverhältnisse in der Erdatmosphäre und die Barometrische
Höhenformel
Faustregel: Der Druck fällt mit zunehmender Höhe etwa alle 5,5 km
auf die Hälfte seines Wertes ab.
Die Skalenhöhe H hat für T = 273 K den Wert: H = 7983 m
Wegen
ρ RT
1 ρ0g
1 gM m
folgt
=
und p 0 = 0
=
.
H p0
H
RT
Mm
Damit erhält die Barometrische Höhenformel die Form
p = p 0 exp(−
ρ0g
p0
h) .
Der Schweredruck eines Gases nimmt mit der Höhe h um so
schneller ab, je größer seine Bodendichte ρ 0 ist.
Mit den Zahlenwerten p 0 = 1013,25 hPa und ρ 0 = 1,293 kg / m 3 , bei
einer Temperatur von ϑ n = 0 °C, erhält man für den in hPa angegebenen Luftdruck p in der in km gemessenen Höhe h die folgende
„zugeschnittene“ Größengleichung:
p = 1013,25e −0,125 h / km hPa
Die Barometrische Höhenformel wurde bereits 1686 erstmals durch
den englischen Physiker und Astronom Edmond Halley (1656 1742) angegeben. Sie gilt unter den Voraussetzungen, dass die Lufttemperatur und die Erdbeschleunigung g unabhängig von der Höhe h
sind, d. h. beide konstant sind. Diese Voraussetzungen sind in der
Praxis nur näherungsweise erfüllt.
Ist R E der Erdradius, so gilt für die Abhängigkeit der Erdbeschleunigung g von der Höhe h oberhalb der Erdoberfläche:
g(h ) = G
Wegen
g(h ) =
ME
(R E + h ) 2
1
(R E + h )
g
1+ 2
h
RE
2
=
.
1
R 2E (1 +
h 2
)
RE
≈
1
R 2E (1 +
h
2
)
RE
folgt:
.
35
2 Thermische Zustandsgleichungen
Für Höhen in der erdnahen Atmosphäre kann daher mit dem konstanten Wert für die Erdbeschleunigung von g = 9,81 m/s² gerechnet
werden. Für eine Höhe von beispielsweise h = 15 km erhält man eine
vernachlässigbare Abnahme dieses Wertes um etwa 0,25 %.
Die Lufttemperatur nimmt bekanntermaßen ebenfalls mit zunehmender Höhe ab. Im Jahresmittel liegt eine höhenabhängige (h in km)
Lufttemperatur (T in K) in folgender Form vor:
T (h ) = 288,15 K − 6,5
K
h
km
Diese Beziehung beschreibt die Messdaten der mittleren Lufttemperatur der Erdatmosphäre bis zu einer Höhe von h = 11 km. Die Jahresmitteltemperatur der Luft an der Erdoberfläche wurde dabei mit
ϑ = 15 °C angesetzt. Die Temperaturabnahme der Luft für jeden km
Höhenunterschied um etwa 6,5 K wird später näher begründet. Die
Internationale Höhenformel (h in km) berücksichtigt diese Temperaturabnahme. Sie soll hier ohne mathematische Begründung angegeben werden:
p(h) = p 0 (1 −
6,5 h 5,26
)
.
288,15 km
Der Unterschied in der Höhenabhängigkeit des Luftdrucks zwischen
Barometrischer Höhenformel und Internationaler Höhenformel ist
jedoch vernachlässigbar gering.
Hinweis: Beide Höhenformeln erlauben eine barometrische Höhenbestimmung durch gleichzeitige Messung des Luftdruckes in zwei
verschiedenen Höhen. In Bodennähe gilt für die Druckabnahme die
Beziehung 1 hPa/8 m. Wegen der geringeren Luftdichte nimmt die
Druckabnahme mit zunehmender Höhe ab. In 2 km Höhe beträgt sie
1 hPa/10 m, in 5 km Höhe 1 hPa/14 m und in 10 km Höhe nur noch
1 hPa/25 m.
2.5
Anwendung: Zugwirkung eines Schornsteines
Die Zugwirkung von Schornsteinen beruht auf der durch die barometrische Höhenformel gegebenen Druckverteilung. Außendruck pa,u
(Index a für außen) und Innendruck pi,u (Index i für innen) sind an
der tiefsten Stelle (Index u für unten) eines Schornsteins gleich.
pa,u = pi,u = p0
p0 ist der Bodendruck am unteren Ende des Schornsteins, dort ist
36
2.5 Anwendung: Zugwirkung eines Schornsteines
h = 0. Die Dichte ρ i,u , der auf die Temperatur Ti erwärmten Gase
im Innern des Schornsteins, ist kleiner als die Dichte ρ a ,u der dort
den Schornstein, mit der Temperatur Ta, umgebenden kälteren Außenluft. Diese Aussage folgt aus der Zustandsgleichung p = ρR S T
und führt zu folgenden Proportionalitäten:
p a ,u ∝ ρ a ,u Ta und p i,u ∝ ρ i,u Ti
Wegen p a ,u = p i,u folgt
ρ i ,u
ρ a ,u
=
Ta
Ti
< 1 und damit ρ i,u < ρ a ,u .
Die Druckabnahme mit wachsender Höhe h ist gemäß der Barometρ g
rischen Höhenformel p = p 0 exp(− 0 h ) wegen ρ i,u < ρ a ,u im
p0
Schornstein kleiner als die Druckabnahme der umgebenden Außenluft. Dadurch stellt sich an der obersten Stelle des Schornsteines
(Index o für oben) zwischen der umgebenden Luft und den Schornsteingasen eine endliche Druckdifferenz ∆p ein:
∆p = p i,0 − p a ,0 = p 0 [exp(−
ρ i,u g
p0
h ) − exp(−
ρ a ,u g
p0
h )] > 0
Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktionen und Abbruch
nach dem linearen Glied
e −x = 1 +
− x (− x ) 2
+
+ ... ≈ 1 − x
1!
2!
ergibt die Näherungsformel
∆p ≈ (ρa,u − ρi,u )gh .
Im Schornstein herrscht somit an der oberen Austrittsöffnung ein Überdruck gegenüber dem äußeren Luftdruck.
Diese Druckdifferenz und damit die Zugwirkung wird bei vorgegebenen Dichten der Schornsteingase und der Außenluft um so größer,
je höher der Schornstein ist.
Wegen
ρ i ,u
ρ a ,u
∆p ≈ (ρa,u −
=
T
Ta
ist ρ i ,u = a ρ a ,u . Für die Druckdifferenz folgt:
Ti
Ti
Ta
ρa,u )gh
Ti
37
2 Thermische Zustandsgleichungen
Wird ρ a ,u = ρ 0 gesetzt, so ergibt sich schließlich
∆p ≈ (1 −
Ta
)ρ0 gh .
Ti
2.6
Zustandsgleichung realer Gase
Abweichend von den vereinfachenden Abstraktionen des Modellstoffes ideales Gas gilt in der Realität:
Auch Gasatome haben eine räumliche Ausdehnung und
das Gasvolumen kann nicht unter eine durch das Eigenvolumen aller Moleküle bestimmte Grenze verringert werden.
Reale Gase (z.B. CO 2 , NH 3 ) zeichnen sich durch das Vorhandensein von nicht vernachlässigbaren Anziehungskräften zwischen den
Gasteilchen aus. Diese resultierenden Kräfte FR sind in Abb. 15
dargestellt. Sie besitzen eine innere potentielle Energie der molekularen Wechselwirkung. Die Moleküle an der Oberfläche werden durch
die Kohäsionskräfte nach innen gezogen und rufen einen Binnendruck d hervor, der zum Außendruck p addiert werden muss. Für
den Binnendruck wird folgender Ansatz gemacht:
d=
n 2a
V2
Ein reales Gas der Stoffmenge n hat im Gegensatz zum idealen Gas
ein Eigenvolumen n ⋅ b . Um dieses Eigenvolumen muss das Volumen V, das den Gasmolekülen für ihre Bewegung zur Verfügung
steht, vermindert werden.
FR >0
FR =0
Abb. 15: Binnendruck in einem realen Gas
38
2.6 Zustandsgleichung realer Gase
Im Innern eines Gases wirken die Anziehungskräfte allseitig und
kompensieren sich gegenseitig.
Eigenvolumen und Binnendruck können durch Korrekturglieder in
der Zustandsgleichung idealer Gase berücksichtigt werden. Daraus
folgt die 1873 erstmals formulierte Van-der-Waals-Zustandsgleichung realer Gase.
(p +
n 2a
V2
) ⋅ (V - n b) = n R T (reales Gas)
p ⋅ V
= n R T (ideales Gas)
Zum direkten Vergleich ist die Zustandsgleichung idealer Gase ebenfalls aufgeführt. Die Größen a und b sind stoffabhängige Konstanten
des jeweiligen realen Gases. Sie werden auch als Van-der-WaalsKoeffizienten bezeichnet. Sind die Parameter a und b identisch Null,
so folgt wieder die Zustandsgleichung idealer Gase.
Der niederländische Physiker Jan Dierik van der Waals (1837 –
1923) wurde 1910 für die Formulierung der Zustandsgleichung realer
Gase mit dem Nobelpreis ausgezeichnet. Die Van-der-WaalsGleichung ist eine phänomenologische Gleichung, die auf einer mathematischen Beschreibung von direkt beobachtbaren Phänomenen
beruht und die nicht aus vorangestellten fundamentalen Prinzipien
abgeleitet werden kann.
Isotherme (ϑ= konst.)
p
p
reales Gas
Isochore (V=konst.)
ideales Gas
ideales Gas
reales Gas
0
V
0
T
Abb. 16: Abweichung des realen Gases vom Verhalten eines idealen
Gases (links: bei extremer Kompression; rechts: bei niedrigen Temperaturen)
Die Van-der-Waals-Gleichung wurde 1949 von Redlich und Kwong
modifiziert. 1974 gelang Soave eine grundlegende Verbesserung.
Diese verbesserte Zustandsgleichung zur Beschreibung realer Gase
wird daher Redlich-Kwong-Soave-Gleichung genannt.
Eine Abweichung vom Verhalten des "idealen Gases" tritt sowohl
bei hohem Druck (starker Kompression), als auch bei tiefer Temperatur auf. In der Ingenieurspraxis wird für die Zustandsgleichung
39
2 Thermische Zustandsgleichungen
realer Gase vereinfachend die funktionale Abhängigkeit des idealen
Gases angesetzt. Die Abweichung des wirklichen Verhaltens realer
Gase vom Modell des idealen Gases wird durch einen temperaturund druckabhängigen Korrekturfaktor, den sog. Realgasfaktor
Z = Z(p, T ) berücksichtigt:
pV = ZnRT
Der Verlauf des Realgasfaktors Z = Z(p, T ) von Luft ist in Abbildung 17 skizziert. Für ideale Gase ist Z = 1.
200
Realgasfaktor Z
100
1,0
50
25
0
-25
0,9
-50
0,8
0
10
20
30
Druck p/MPa
Abb. 17: Realgasfaktor Z von Luft
Bei tiefen Temperaturen ist der Realgasfaktor Z < 1 und
preal < pideal . Bei hohen Temperaturen und hoher Kompression ist
Z > 1 und preal > pideal .
Reale Gase lassen sich im Gegensatz zu idealen Gasen durch Kompression und/oder Kühlung verflüssigen. Wichtige Beispiele für reale
Gase stellen Wasserdampf, Kohlendioxid und Methan dar. Letzteres
wird als Flüssigerdgas (LNG: engl. liquefied natural gas) bei Temperaturen unterhalb von -162°C auf Spezialschiffen über große Entfernungen transportiert.
40
3.1 Erscheinungsformen der Energie
3
Energieformen und Energieumwandlung
Die physikalische Größe Energie (gr. energeia: Wirkungsvermögen)
wurde phänomenologisch von Thomas Young (1773 - 1829) in die
Naturwissenschaften eingeführt und erstmals durch William Rankine
(1820 -1872) mit der Wortschöpfung „Energie“ versehen. Die Energie stellt eine abstrakte Größe dar, die nicht direkt messbar ist. Sie
kann nur aus anderen messbaren Größen berechnet werden. Allgemein gilt:
Energie ist das Vermögen Arbeit zu verrichten.
3.1
Erscheinungsformen der Energie
Energie tritt in verschiedenen Formen auf:
-
mechanische Ruheenergie (potentielle Energie)
mechanische Bewegungsenergie (kinetische Energie)
Wärme
elektrische Energie
chemische Energie
Kernenergie
Energie der elektromagnetischen Strahlung
Übersicht: Energiequellen
Fossile Brennstoffe:
- Kohle, Erdöl, Erdgas
Regenerative Brennstoffe:
- Holz , Biomasse, Biodiesel, Bioethanol
Solarenergie:
- Passive Sonnenenergienutzung
- Solarzellen (Photovoltaik)
- Solarkollektoren
Erdwärme:
- Geothermische Energie
Wind:
- Windräder (Rotoren)
Wasserkraft:
- Laufwasser, Gezeiten
Kernenergie:
- Kernspaltung
235
1
236 *
140
94
92 U + 0 n −> 92 U −> 56 Ba + 36 Kr
+ 2 01 n + 200 MeV
- Kernfusion
2
2
3
1
1 d + 1 d −> 2 He + 0 n
+ γ + 3,2 MeV und
3
2
4
1
1 t + 1 d −> 2 He + 0 n
+ γ + 17,6 MeV
41
3 Energieformen und Energieumwandlung
3.1.1
Potentielle Energie
Wird an einem Körper Arbeit verrichtet, so bedeutet dies: Dem Körper ist Energie zugeführt worden, die dann in verschiedenen Formen
gespeichert werden kann.
Energie ist das Vermögen Arbeit zu verrichten.
Die bei der Hubarbeit WH an einem Körper mit der Masse m entlang der Hubhöhe h gegen die konstante Schwerkraft (Gewichtsv
r
kraft) F = mg verrichtete Arbeit wird als potentielle Energie E pot
gespeichert.
Wird ein Körper mit der Masse m gegen seine Gewichtskraft auf die
Höhe h angehoben, dann nimmt seine potentielle Energie zu und es
gilt:
E pot = mgh .
Wird eine elastische Feder, charakterisiert durch eine Federkonstante
D infolge einer Kraft F = Dx gedehnt oder zusammengedrückt,
dann wird die verrichtete Spannarbeit Ws ebenfalls als potentielle
Energie in der Feder gespeichert. Für eine Dehnung um die Länge x
aus der Ruhelage (x = 0) gilt:
x
x
E pot = Ws = ∫ Fdx = ∫ Dxdx =
0
0
D 2
x .
2
Wird bei der Arbeit gegen eine Kraft die potentielle Energie des
Systems erhöht, dann heißt diese Kraft konservativ. Nur konservative Kräfte besitzen ein sog. Potential. Die potentielle Energie besitzt
dabei zwei Eigenschaften:
1. Die Änderung der potentiellen Energie eines Systems hängt nur
vom Anfangs- und Endzustand ab, nicht aber vom Weg, der bei diesem Vorgang durchlaufen wurde.
2. Der Nullpunkt der potentiellen Energie kann willkürlich gewählt
werden.
Im Gegensatz zu den konservativen Kräften führt eine Arbeitsverrichtung gegen dissipative Kräfte nicht zu einer Erhöhung der potentiellen Energie des Systems. Die geleistete Arbeit wird stattdessen
vollständig in Wärmeenergie umgewandelt, die sich ihrerseits nicht
wieder vollständig in mechanische Energie zurückverwandeln lässt.
42
3.1 Erscheinungsformen der Energie
3.1.2
Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie
Wirkt auf einen frei beweglichen ruhenden Körper eine konstante
v
Kraft F , so wird erfährt er eine konstante Beschleunigung vom
Betrag a:
a=
F
m
Nachdem der Körper insgesamt eine Strecke s durchlaufen hat, wurde eine Beschleunigungsarbeit W = Fs verrichtet. Der Körper wird
dabei auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt.
Wegen v = at und t =
s=
v
1
folgt aus s = at 2 :
a
2
1 v2 1 v2
=
2 a
2 F
m
Daraus folgt schließlich:
W = Fs =
1
mv 2
2
Der durch seine Beschleunigung bedingte Zuwachs an Energie wird
als kinetische Energie oder Bewegungsenergie E kin des Körpers
bezeichnet:
E kin =
3.1.3
1
mv 2
2
Mechanische Energieerhaltung
Energieformen, die wie die potentielle und die kinetische Energie
beliebig und vollständig ineinander umgewandelt werden können
werden zur mechanischen Energie zusammengefasst. Wird an einem
System, in dem nur konservative Kräfte wirksam sind, die Arbeit W
verrichtet, dann führt dies zu einer Änderung seiner mechanischen
Energie
W = ∆E pot + ∆E kin .
In einem abgeschlossenen System, auf das keine äußeren Kräfte einwirken ist die verrichtete Arbeit W = 0. In einem solchen System
bleibt die mechanische Energie E erhalten und es gilt:
43
3 Energieformen und Energieumwandlung
In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aus
potentieller und kinetischer Energie konstant.
E = E pot + E kin = konstant
Die Energie ist somit eine Erhaltungsgröße. Nimmt eine Energieform ab, so muss zwangsläufig die andere um denselben Betrag zunehmen, wobei die Summe konstant bleibt.
3.1.4
Volumenänderungsarbeit
Unter Volumenänderungsarbeit WV versteht man die Arbeit, die
ein Gas bei Volumenänderung aufnimmt oder abgibt.
∆x
A
FG =(pA,0,0)
x
FK =(FX ,0,0)
p
2
1
Abb. 18: Definition der Volumenänderungsarbeit
r
FG : Kraft, die ein Gas mit dem Druck p auf einen Kolben ausübt.
r
FK : Kraft, die ein beweglicher Kolben auf ein Gas ausübt.
Für den Fall des Kräftegleichgewichts gilt:
r
r
FG + FK = 0
oder
r
r
FG = − FK
r
r
r
r
Mit FK = (Fx ,0,0) und FG = (pA,0,0) folgt aus FG = − FK
pA = − Fx
Fx = − pA
Bei der Kompression (Volumenverkleinerung) eines Gases muss zur
r
Verschiebung des Kolbens eine Kraft FK wirken, die den bisherigen
Gleichgewichtszustand aufhebt. Die dem System dabei zugeführte
Arbeit ergibt sich aus dem Produkt von Kraft und Weg. Das ursprüngliche Gasvolumen V1 wird bei Verschiebung des Kolbens
44
3.1 Erscheinungsformen der Energie
nach innen um ∆x um das Volumen ∆V = A∆x = V2 − V1 verkleinert.
Die Volumenänderungsarbeit ∆WV bei Kompression ergibt sich zu:
∆WV = Fx ∆x
mit Fx = − pA folgt:
∆WV = − pA∆x
und mit dV = Adx erhält man:
∆WV = −p∆V
oder in differentieller Schreibweise:
dWV = −pdV .
Die Volumenänderungsarbeit dWV ist im p, V-Diagramm in Abb.
19 als rechteckige Fläche mit konstanter Höhe p und der Breite dV
dargestellt.
Das Minuszeichen erfüllt die folgende, in der Thermodynamik übliche Konvention:
Die zwischen Kolben und System (Gas) übertragene mechanische Arbeit wird bei dV < 0 (Verdichtung oder Kompression)
positiv gezählt ( dWV > 0 ), das Gas nimmt Arbeit (Energie) auf,
bei dV > 0 (Expansion) negativ gezählt ( dWV < 0 ), das Gas
gibt Arbeit (Energie) an den Kolben ab.
Volumenänderungsarbeit kann unter 3 verschiedenen Bedingungen
verrichtet werden:
-
isobar ( ∆p = 0 )
isotherm ( ∆T = 0 )
adiabatisch ( ∆Q = 0 )
Zunächst soll die isobare Volumenänderungsarbeit berechnet werden, die bei isobarer Expansion von V1 nach V2 während der Kolbenverschiebung verrichtet wird. Diese Arbeit wird vom Gas an den
Kolben und damit nach außen abgegeben.
V2
V2
V1
V1
W V = − ∫ pdV = − p ∫ dV = −p( V2 − V1 ) = −p∆V = −mR i ∆T
45
3 Energieformen und Energieumwandlung
Hinweis: Bei isobarer Expansion nimmt das Volumen zu. Damit der
Druck im größeren Endvolumen konstant bleiben kann, muss die
Temperatur durch Wärmezufuhr ∆Q = c pm ∆T von außen ebenfalls
zunehmen. Details werden in der Lerneinheit PU-LE2 erläutert.
Im Folgenden soll die isotherme Volumenänderungsarbeit infolge
Kompression näher betrachtet werden. Bei einer Verdichtung mit
T = konstant (isotherme Zustandsänderung) bleibt die kinetische
Energie der Moleküle gleich. Da aber dann die Teilchenanzahldichte
N
ν=
zunimmt, steigt auch der Druck p gemäß p = νkT an. DieV
ser funktionale Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen wird
als Zustandsgleichung idealer Gase bezeichnet. Die mathematische
Struktur der Zustandsgleichung wird durch eine Vielzahl von experimentellen Ergebnissen nahegelegt.
N
der Druck p umgeV
kehrt proportional zum Volumen V. Dieser Zusammenhang ist im
nachstehenden p,V-Diagramm dargestellt. Die in Abb. 19 eingezeichnete Kurve mit konstanter Temperatur (T = konst.) heißt Isotherme.
Bei isothermer Kompression ist wegen ν =
p
p = f(V,T)
dW = - pdV
p
v
dV
2
v1
V
Abb. 19: p,V-Diagramm eines idealen Gases
Im Allgemeinen kann die Temperatur bei verschiedenen Zustandsänderungen je nach den Versuchsbedingungen steigen, fallen oder
konstant bleiben. Für die Volumenänderungsarbeit WV12 bei Verdichtung des Volumens V, d.h. bei Übergang von V1 nach V2 erhält
man bei beliebiger Zustandsänderung:
V2
V2
V1
V1
WV12 = - ∫ pdV = - ∫ f(V, T)dV
46
mit p = f (V, T)
3.1 Erscheinungsformen der Energie
Der Druck p ist bei gegebener Gasmasse m eine zunächst noch unbekannte Funktion f der Zustandsgrößen V und T. Der funktionale
Zusammenhang p = f ( V, T) wird durch die Zustandsgleichung idealer Gase beschrieben.
p
2
p = f (V,T)
1
v
v1
2
V
Abb. 20: Volumenänderungsarbeit WV12 in einem p,V-Diagramm
Die dem Gas zugeführte Energie - die Volumenänderungsarbeit entspricht der grau markierten Fläche unter der Zustandskurve im
p,V-Diagramm. Für die Berechnung der Volumenänderungsarbeit
bei isothermer Kompression folgt mit Hilfe der Zustandsgleichung
idealer Gase ( pV = nRT ) :
V2
V2
∫
WV12 = − pdV = −
V1
∫
V1
V2
V
nRT
dV
dV = − nRT
= − nRT ln 2
V
V
V1
V
∫
1
Bei isothermer Zustandsänderung gilt für zwei Zustände (
gleicher Temperatur:
p 1 V1 = p 2 V2 oder
und
)
V2 p1
=
V1 p 2
Damit erhält man für die isotherme Volumenänderungsarbeit WV12 :
WV12 = − nRT ln
p1
p2
Da insbesondere p 1 V1 = nRT gilt, folgt schließlich
WV12 = − p1 V1 ln
p1
p2
Die bei der Zustandsänderung durch Kompression von 1 → 2 dem
Gas zugeführte Arbeit ∆W kann in innere Energie ∆U und/oder
Wärme ∆Q umgesetzt werden, wobei die Aufteilung auf diese Größen von der Prozessführung abhängt. Arbeit und Wärme treten als
Prozessgrößen nur bei einer Zustandsänderung auf. Arbeit und
Wärme sind keine Zustandsgrößen, denn sie hängen nicht nur vom
47
3 Energieformen und Energieumwandlung
Anfangs- und Endzustand ab, sondern auch vom Weg des durchlaufenen Prozesses. Damit bei der isothermen Kompression die Temperatur voraussetzungsgemäß konstant bleibt, muss während des Kompressionsvorganges Wärme ∆Q vom Gas an die Umgebung abgegeben werden.
3.2
Innere Energie und Wärme
Die in einem thermodynamischen System enthaltene Energie kann in
folgenden Formen vorliegen:
-
kinetische Energie E kin der Teilchen
-
potentielle Energie E pot der Teilchen
-
Wärme Q als Prozessgröße bei Zustandsänderungen
Arbeit W als Prozessgröße bei Zustandsänderungen
Die Energie eines Körpers (thermodynamischen Systems) kann in
einen makroskopischen Anteil und in einen mikroskopischen Anteil
aufgeteilt werden. Makroskopisch ist die mechanische Energie des
Gesamtsystems (z. B. die Bewegungsenergie E kin einer Gasflasche,
die sich in an Bord eines Flugzeugs von Frankfurt nach Genf befindet oder ihre potentielle Energie E pot im Schwerefeld der Erde).
Mikroskopisch ist die versteckte Energie der einzelnen Atome bzw.
Moleküle des Gases, die sog. innere Energie U. Unter der inneren
Energie U versteht man die gesamte, als kinetische und potentielle
Energie gespeicherte Energie aller Atome oder Moleküle eines thermodynamischen Systems. Im Falle eines idealen Gases besitzen die
Atome keine potentielle Energie und die innere Energie stimmt mit
der ungeordneten Bewegungsenergie der Gasteilchen überein. Sie
hängt von der absoluten Temperatur ab, und ist wie diese eine Zustandsgröße des Systems. Jeder Zustand eines thermodynamischen
Systems ist eindeutig durch einen bestimmten Wert seiner inneren
Energie U gekennzeichnet. Die innere Energie U mit der SI-Einheit
Joule (J) ist im Gegensatz zu den intensiven Variablen Druck p und
Temperatur T eine extensive Variable. Sie ist eine Zustandsfunktion
und beschreibt die gesamte Energie, die in einem thermodynamischen System vorhanden ist. In einem isolierten System (wärmedicht) ist die innere Energie nicht veränderbar, d.h. zeitlich konstant.
In einem geschlossenen System muss die innere Energie U sich ändern, wenn mit der äußeren Umgebung über die Systemgrenzen hinweg Arbeit (W) oder Wärme (Q) ausgetauscht wird. Bevor Wärme
als der makroskopischen Betrachtung verborgene Bewegungsenergie
der Atome bzw. Moleküle erkannt wurde, nahm man an, dass die
Wärme eines Körpers auf das Vorhandensein eines Wärmestoffes
zurückzuführen sei. Dieser Wärmestoff wurde Caloricum genannt.
Aber die Erzeugung von Wärme durch Reibungsarbeit zeigt: Wärme
ist kein Stoff. Wärme ist eine Energieform. Der Wärmeinhalt eines
48
3.2 Innere Energie und Wärme
Körpers entspricht derjenigen Wärmemenge Q, die sich aus der
Summe der ungeordneten Energien seiner Atome und Moleküle
ergibt und die Innere Energie genannt wird..
Beispiel:
Erhitzung eines konstanten Luftvolumens: Die dabei zugeführte Wärme ∆Q steckt als der direkten Anschauung verborgene Bewegungsenergie, nämlich als innere Energie in
den Luftmolekülen. Die innere Energie erhöht sich durch die
Wärmezufuhr um ∆U = ∆Q . Wird einem isolierten System
mechanische Energie beispielsweise durch Kompressionsarbeit ∆W zugeführt, so erhöht sich der innere Energieinhalt
des wärmedichten Systems um ∆U = ∆W .
T
Zufuhr von Arbeit W
wärmedicht
Abb. 21: Mechanische Energiezufuhr in einem isolierten System
Das Gas muss die zugeführte Arbeit ∆W aufnehmen. Die zugeführte
mechanische Arbeit wird im "Innern" des Gases als innere Energie
gespeichert. Bei gleichzeitiger Zufuhr von Wärme ∆Q und mechanischer Arbeit ∆W liefert der Energieerhaltungssatz den Anstieg der
inneren Energie ∆U :
∆U = ∆Q + ∆W
Die Zunahme der inneren Energie ∆U eines Systems
ist gleich der zugeführten Wärmeenergie ∆Q und der
am System verrichteten Arbeit ∆W .
Diese Formulierung des Energieerhaltungssatzes, bei der Wärme als
besondere Erscheinungsform der Energie berücksichtigt wird, wird
1. Hauptsatz der Thermodynamik genannt.
∆Q ist die mit der Umgebung durch die Behälterwand ausgetauschte
(zugeführte ( ∆Q > 0) oder abgeführte ( ∆Q < 0)) Wärme. Diese
Wärme ∆Q stellt eine Prozessgröße dar, die nur bei Zustandsänderungen auftritt. Im Gegensatz zur Zustandsgröße ∆U sind die beiden
49
3 Energieformen und Energieumwandlung
Prozessgrößen ∆W und ∆Q keine Zustandsgrößen. Der Erste
Hauptsatz der Thermodynamik schränkt die in der Natur vorkommenden Prozesse ein: Nur solche Prozesse sind möglich, bei denen
die Gesamtenergie konstant bleibt. Es handelt sich hierbei um eine
Idealisierung realer Prozesse, bei denen energetische Umwandlungsverluste vernachlässigt werden. Innerhalb eines solchen Systems
können die verschiedenen Energieformen verlustfrei ineinander umgewandelt werden. Dabei sind Wärme und Arbeit gleichwertig.
Wärme kann aus Arbeit erzeugt und in Arbeit umgewandelt werden.
Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik stellt daher eine Zusammenfassung der experimentellen Erfahrung aus der Energieumwandlung dar. Er wird üblicherweise in verschiedenen Formulierungen
angegeben:
Wärme und Arbeit sind gleichwertig; Wärme kann in
Arbeit und Arbeit in Wärme umgewandelt werden.
Oder:
Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art; das heißt, es
gibt keine Maschine, die ständig Arbeit abgibt, ohne
gleichzeitig Energie aufzunehmen.
Ein Perpetuum mobile erster Art wäre eine Maschine, die dem aus
bisheriger Erfahrung abgeleiteten 1. Hauptsatz der Thermodynamik
widersprechen würde. Ihre Existenz würde den 1. Hauptsatz widerlegen.
dU = dQ + dW
Bei reversibler Volumenänderungsarbeit ist dW = - pdV. Der Erste
Hauptsatz der Thermodynamik stellt damit eine andere Formulierung
des verallgemeinerten Energieerhaltungssatzes der Mechanik dar.
Die Rolle der mechanischen Energie dE spielt in der Thermodynamik die innere Energie dU. Die Änderung der inneren Energie dU
eines geschlossenen Systems ist gegeben durch die Summe von übertragener Wärme dQ und mechanischer Arbeit dW, die das System an
seiner Umgebung verrichtet. Dabei kann dem System mechanische
Arbeit von außen zugeführt werden; diese wird dann vom System
aufgenommen, oder das System kann mechanische Arbeit nach außen abgeben, wie es bei Wärmekraftmaschinen der Fall ist. Es gilt
dabei folgende Vorzeichenkonvention:
dQ, dW sind positiv, wenn das System Wärme und Arbeit aufnimmt; dQ, dW sind negativ, wenn das System
Energie nach außen abgibt.
Wird dem System nur Wärme zugeführt, ohne das an dem System
mechanische Arbeit verrichtet wird, dann gilt wegen ∆W = 0 :
50
3.3 Energieumwandlung
∆U = ∆Q
Die experimentelle Beobachtung zeigt: Die Erhöhung der inneren
Energie um ∆U führt zu einer Temperaturerhöhung ∆T .
3.3
Energieumwandlung
Jede Aktivität ist mit einem Energieumsatz, umgangssprachlich auch
Energieverbrauch genannt, verbunden. Der so genannte Energieverbrauch bedeutet jedoch nur eine Umwandlung von Energie aus einer
Form in eine andere Form. Alle Energieumwandlungen unterliegen
zwei als Naturgesetze erkannten Prinzipien:
-
Bei jeder Energieumwandlung bleibt die Gesamtmenge an
Energie immer erhalten (Energieerhaltung).
-
Die experimentelle Erfahrung zeigt: Die Umwandlung von
Energie ist weiteren Beschränkungen unterworfen.
Energie einer geordneten Form (z. B. mechanische Bewegungsenergie oder elektrische Energie) kann vollständig in Energie einer weniger geordneten Form (z. B. Wärme) übergeführt werden. Eine vollständige Umkehrung dieses Vorganges ist nicht möglich. Energie
einer ungeordneten Form (z. B. Wärme) kann nur teilweise in Energie einer geordneten Form (z. B. elektromagnetische Energie) übergeführt werden. Mechanische Energie ist daher eine hochwertigere
Energieform als Wärme; sie ist vielseitiger einsetzbar.
Wärme stellt eine Energieform dar, die von einem Körper auf einen
anderen übergehen kann. Dieser Übergang erfolgt dabei stets in einer
Richtung, nämlich vom wärmeren zum kälteren Körper. Werden
zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt gebracht, so bezeichnet Wärme diejenige Energie, die vom Körper mit
der höheren Temperatur zum Körper mit der niedrigeren Temperatur
fließt. Diese Wärmemenge ∆Q wird innerhalb einer Zeitdauer ∆t
durch die Kontaktfläche der beiden angrenzenden Körper transportiert. Es „fließt“ dann ein Wärmestrom
.
IQ = Q =
∆Q
.
∆t
Der Anteil der Energie E einer beliebigen Form, der in Energie einer
geordneten Form umgewandelt werden kann, wird Exergie E E genannt, der verbleibende Rest heißt Anergie E A .
E = EE + EA
51
3 Energieformen und Energieumwandlung
Energie ist die Summe von Exergie und Anergie.
Mechanische Energie und elektromagnetische Energie bestehen ausschließlich aus Exergie. Wärme beinhaltet je nach der Temperatur,
bei der sie vorliegt, nur einen Anteil an Exergie, der Rest stellt Anergie dar. Die Exergie ist somit ein Maß für die Arbeitsfähigkeit des
Energieinhalts eines Systems mit der Eigenschaft bei reversibler
Energieumwandlung erhalten zu bleiben.
Jede Irreversibilität reduziert den Exergieanteil zugunsten der Anergie.
Umwandlungsverluste sind daher Exergieverluste, sie bedingen eine
Verringerung der Arbeitsfähigkeit der Energie. Die Energie selbst
kann nicht verloren gehen, sondern wird immer nur von einer Form
in eine andere umgewandelt, wobei die Summe von Exergie und
Anergie konstant bleibt. Alle technisch realisierten Energieumwandlungen sind mit Verlusten verbunden. Der energetische Wirkungsgrad η wird definiert als Verhältnis von energetischen Nutzen
∆E Nutzen zum energetischen Aufwand ∆E Aufwand :
η=
∆E Nutzen
.
∆E Aufwand
Wird von einer Wärmekraftmaschine die Wärmeenergie ∆Q aufgenommen und durch Energiewandlung die mechanische Arbeit
∆W abgegeben, so gilt für den Umwandlungswirkungsgrad
η=
∆W
.
∆Q
Bei mechanischen Energieumwandlungen wird durch den Wirkungsgrad η das Verhältnis der vom Energiewandler abgegebenen Nutzarbeit ∆WNutz zur aufgenommenen Gesamtarbeit ∆WGesamt bezeichnet und es gilt:
η=
∆WNutz
∆WNutz / ∆t
=
.
∆WGesamt ∆WGesamt / ∆t
η=
PNutz
P
= Aus
PGesamt PEin
Bei kontinuierlich Arbeit leistenden Maschinen wird der Wirkungsgrad durch das Leistungsverhältnis von Ausgangsleistung bezogen
auf die Eingangsleistung definiert. Für die dabei auftretende Verlustleistung PVerlust gilt:
52
3.3 Energieumwandlung
PVerlust = PEin − PAus = (1 − η)PEin =
1− η
PAus
η
Die ökonomische Nutzung von Energie bei der Bereitstellung der
jeweils benötigten Form von Endenergie bedeutet sowohl eine Minimierung des Einsatzes an Primärenergie als auch die Minimierung
des Einsatzes an Exergie. Diese Optimierung führt zu einer Senkung
der Energiekosten und zusätzlich zu einer Vermeidung von Umweltkosten. Denn jede Energiegewinnung (Bereitstellung) ist immer mit
Umweltbelastungen verbunden. Die Primärenergie (chem. Energie
in fossilen Brennstoffen (Erdöl, Kohle, Erdgas), Kernenergie, Solarenergie u. a. ) wird nach Gewinnung und Aufbereitung (Erdgas kann
nach der Förderung gereinigt und z. B. entschwefelt werden; Erdöl
muss im Raffinerieprozess aufbereitet werden) und ggf. nach Transport zu einem Wärmekraftwerk in die Sekundärenergie ( z. B.
Wärme und elektrische Energie ( Strom) ) umgewandelt. Das Wärmekraftwerk stellt dabei einen Energiewandler dar. Energieumwandlung ohne Energieverlust (z.B. Abwärme) ist nicht möglich. Die
Sekundärenergie gelangt unter weiteren Energieverlusten ( z. B. Leitungsverluste ) als Endenergie zum Verbraucher, dem nach weiterer
Energieumwandlung mit den damit verbundenen Umwandlungsverlusten die gewünschte Nutzenergie als Wärme, Licht, Kraft, usw.
zur Verfügung steht. Die Energieeffizienz und damit die Größe der
Umwandlungsverluste wird dabei durch die Wirkungsgrade der
Energiewandler der Energieumwandlungskette bestimmt.
Steinkohle,
Braunkohle,
Erdöl, Erdgas
Kernbrennstoffe
Primärenergie
Umwandlung
beim Erzeuger
Strom, Benzin,
Heizöl, Fernwärme
Sekundärenergie
Umwandlungsund Verteilungsverluste
Eigenbedarf
Umwandlung beim
Verbraucher
Endenergie
Energieträger als
chem. Rohstoff
Leitungsverluste
(Strom, Fernwärme)
Heizwärme,
Prozeßwärme,
Licht, mechanische
Energie
Verluste beim
Verbraucher
Nutzenergie
Abb. 22: Energieflussbild von der Primär- zur Nutzenergie
Ausgehend von der Primärenergie wird durch eine Umwandlungskette Nutzenergie bereitgestellt. Das Verhältnis der abgegebenen
Energie zur zugeführten Energie in einem Energiewandler, und zwar
bezogen auf den Bestpunkt der Anlage, wird durch den Wirkungsgrad angegeben. Abweichungen vom Betrieb einer Anlage im Best-
53
3 Energieformen und Energieumwandlung
punkt führen zu Wirkungsgradeinbußen. Sie können durch Teillastbetrieb oder infolge von unterlassener Wartung auftreten. Das während einer bestimmten Periode, z.B. einem Jahr, tatsächlich realisierte Verhältnis von Energieabgabe zu Energieeinsatz wird Nutzungsgrad genannt. Der Gesamtwirkungsgrad η G eines Systems von insgesamt k hintereinander geschalteten Energiewandlern ergibt sich
durch Multiplikation der Einzelwirkungsgrade ηi zu:
k
η G = ∏ η i = η1 ⋅ η 2 ⋅ ... ⋅ η k .
i =1
In Abb. 23 sind die Umwandlungsketten verschiedener Pfade zur
Bereitstellung elektrischer Energie dargestellt. Ausgehend von erneuerbaren (regenerativen) bzw. nichtregenerativen Primärenergieträgern wird elektrische Energie als Sekundärenergie erzeugt. Dabei
besitzen die Brennstoffzelle und die Solarzelle mit jeweils nur einer
Umwandlungsstufe die kürzeste Umwandlungskette.
Erneuerbare
Primärenergiequelle
Biomasse
Nichtregechemische
nerative Primärenergie- Energie fossiler
Brennstoffe
quelle
Sonnenenergie
Wasserkraft
Windkraft
Kernenergie aus
Kernbrennstoffen
Umwandlungsart
chemoelektrisch
Verbrennung
Kernspaltung
Strahlenabsorption
fotovoltaisch
Energiewandler
Brennstoffzelle
Brennraum
Kernreaktor
Sonnenkollektor
Solarzelle
Strömungs- in
Rotationsenergie
Turbine
Rotor
Erzeugte
Energie
Wärmeenergie
mechanische Energie
Umwandlungsart
thermodynamisch
mechanoelektrisch
Energieübertrager
Wasserdampf, Gase
Welle des
mechanischen Wandlers
Energiewandler
Turbine
elektrischer Generator
Erzeugte
Energie
mechanische Energie
Umwandlungsart
mechanoelektrisch
Energiewandler
elektrischer Generator
Erzeugte
Energie
elektrische Energie
Abb. 23: Umwandlungskette zur Bereitstellung elektrischer Energie
54
3.4 Kinetische Gastheorie und statistische Begründung der
Thermodynamik
3.4
Kinetische Gastheorie und statistische
Begründung der Thermodynamik
3.4.1
Gasdruck als Summenwirkung
Die kinetische Gastheorie leitet die Eigenschaften der Gase aus den
mechanischen Bewegungsvorgängen der einzelnen Moleküle ab. Sie
beruht auf folgender Modellvorstellung:
Das Gas besteht aus Teilchen, die sich in allen Richtungen bewegen
und dabei elastische Stöße mit anderen Teilchen und den Wänden
des Systems ausführen. Bei den Stößen findet ein Energieaustausch
statt. Die Summe der Energien aller Teilchen des Systems bleibt
dabei jedoch konstant. Die Messung des Druckes ist also nur die
Messung der Kraft, die aus dem Aufprall der Teilchen auf eine Begrenzungsfläche resultiert.
Der Gasdruck p entsteht durch die Summenwirkung der Impulsübertragung der auf eine Wandfläche A auftreffenden Moleküle.
Es ist in skalarer Schreibweise:
F = ma = m
dv dp ∆p
=
=
dt dt ∆t
wobei p = mv den Teilchenimpuls darstellt.
Für den Druck p folgt:
p=
F
∆p
=
A A∆t
Der Druck p entspricht somit dem im Zeitintervall ∆t auf die Fläche
A übertragenen Gesamtimpuls ∆p . Oder mit anderen Worten: Der
Druck ist der von den Molekülen auf die Flächeneinheit in der Zeiteinheit übertragene Gesamtimpuls.
Von insgesamt N in einem Würfelvolumen V vorhandenen Teilchen
N
(Abb. 24) bewegen sich im Mittel dN =
auf eine der 6 Wandflä6
N
chen der Größe A des Würfels zu (z. B. nach rechts). Ist ν =
die
V
Teilchendichte, µ die Molekülmasse und v die zunächst für alle
Teilchen als konstant angenommene Geschwindigkeit, so folgt für
55
3 Energieformen und Energieumwandlung
die Zahl dN der Teilchen, die in der Zeit ∆t eine Wand mit der Fläche A erreichen:
Abb. 24: Mikroskopische Beschreibung des Gasdruckes
1
1
1
dN = νdV = νA∆s = νAv∆t
6
6
6
Es handelt sich dabei um Teilchen, die sich in dem grau unterlegten
Quader der Dicke ∆s = v∆t befinden. Jedes auf die Wand auftreffende Teilchen der Masse µ überträgt bei elastischer Reflexion einen Einzelteilchenimpuls dp:
r r
dp = p1 − p 2 = µv − (−µv) = 2µv
Abb. 25: Impulsübertrag eines Teilchens auf eine Wand
Der im Zeitintervall ∆t durch alle auftreffenden Teilchen an die
Wand abgegebene Gesamtimpuls ∆p entspricht dem pro Teilchen
56
3.4 Kinetische Gastheorie und statistische Begründung der
Thermodynamik
übertragenen Impuls dp, dem oben genannten Einzelteilchenimpuls,
multipliziert mit der Anzahl dN der Teilchen, die im Zeitintervall ∆t
auf die Wandfläche A auftreffen:
1
∆p = dpdN = νµv 2 A∆t
3
Der Druck p ergibt sich dann zu:
p=
F
∆p
1
=
= νµv 2
A A∆t 3
Wenn sich N Teilchen im Gasvolumen V mit im Allgemeinen unterschiedlichen Geschwindigkeiten v 1, v 2 ,..., v N befinden, dann kann
die mittlere quadratische Geschwindigkeit < v rms > definiert werden. Sie soll statt der einheitlichen (konstanten) Geschwindigkeit v
das mittlere Verhalten der Gasmoleküle kennzeichnen.
< v rms >=
1N 2
∑ vi
N i=1
Damit folgt die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie:
p=
1
νµ < v rms > 2 .
3
Diese Gleichung wurde bereits 1738 erstmals von den schweizerischen Physikern und Mathematikern Leonhard Euler (1707 – 1783)
und Daniel Bernoulli (1700 – 1782) aufgestellt.
Mit der mittleren kinetischen Teilchenenergie ε =
1
µ < v rms > 2
2
folgt:
p=
2
νε .
3
Im Mittel trägt jedes Gasmolekül entsprechend seiner kinetischen
Energie zum Druck bei. Der Druck eines Gases ist der Teilchendichte ν und der mittleren kinetischen Teilchenenergie ε direkt
proportional. Die kinetische Gastheorie liefert somit auf mikroskopischer Basis eine statistische Begründung der phänomenologischen
Thermodynamik.
57
3 Energieformen und Energieumwandlung
3.4.2
Gleichverteilungssatz
Aufgrund der individuellen Teilchenbewegung hat die Gesamtheit
aller Teilchen eines idealen Gases statistisch eine mittlere kinetische
Energie, die sog. innere Energie U. Ist ε i die kinetische Energie des
Teilchens Nr. i, dann erhält man für die innere Energie U eines Ensembles von N Teilchen:
N
U = ∑ ε i = Nε
i =1
ε stellt dabei die mittlere kinetische Energie eines Teilchens dar.
Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
1
2
p = νµ < v rms > 2 = ν ε lässt sich mit der Zustandsgleichung für
3
3
1
2
ideale Gase p = νkT verknüpfen. Aus p = νµ < v rms > 2 = ν ε
3
3
und p = νkT folgt:
2
ν ε = νkT
3
oder
ε=
3
kT .
2
Alle Gase gleicher Temperatur T besitzen unabhängig
von ihrer Molekülmasse µ die gleiche mittlere kinetische Energie ε ihrer Moleküle.
Die Temperatur T eines Körpers ist dem Mittelwert der kinetischen
Energie jedes seiner atomaren bzw. molekularen Teilchen proportional ( ε ∝ T). Die Temperatur T ist somit ein direktes Maß für die
innere Energie U eines Systems.
Allgemein gilt:
ε=
1
f kT
2
1
U = N ε = N f kT
2
k = 1,381 ⋅ 10 −23 JK −1
Es gelten dabei folgende Abkürzungen:
58
3.4 Kinetische Gastheorie und statistische Begründung der
Thermodynamik
k : Boltzmann-Konstante
N: Zahl der Atome/Moleküle
f: Anzahl der Freiheitsgrade
Je nach Teilchenaufbau (Molekülzusammensetzung) ergeben sich
verschiedene Freiheitsgrade f zur Speicherung der kinetischen
Energie.
Die Zahl der Freiheitsgrade entspricht der Anzahl der verschiedenen
Möglichkeiten eines Teilchens kinetische Energie aufzunehmen.
Während die Teilchen eines idealen Gases und alle einatomigen
realen Gase nur kinetische Energie der Translationsbewegung
besitzen (f = 3), können mehratomige Moleküle noch andere Formen
von kinetischer Energie aufnehmen und damit zusätzliche Beiträge
zur inneren Energie liefern. So können z. B. die beiden Atome eines
zweiatomigen Moleküls auch noch um zwei zur Verbindungsachse
ihrer beiden Atome senkrechte Drehachsen rotieren (f = 3+2 = 5).
Die Rotation um die Molekülachse wird dabei nicht als Freiheitsgrad
mitgezählt, da das zugehörige Trägheitsmoment J sehr klein ist. Zur
Anregung dieser Rotationen wären wegen E rot = L2 / 2J sehr große
Energien notwendig. Für drei- und mehratomige Moleküle ist f = 6.
Bei sehr hohen Temperaturen sind innerhalb eines Moleküls zusätzlich auch noch die Freiheitsgrade der Schwingung von Atomen gegeneinander zu berücksichtigen. So können beispielsweise die beiden
Atome eines zweiatomigen Moleküls entlang ihrer Verbindungslinie
gegeneinander schwingen. Damit ergibt sich die maximale Anzahl
von Freiheitsgraden eines zweiatomigen Moleküls zu f = 3+2+1 = 6.
Allgemein gilt:
Ein Molekül aus N Atomen besitzt f = 3N Freiheitsgrade.
Die mit diesen inneren Bewegungsarten verknüpfte Rotations- und
Schwingungsenergie führt zu einer Erhöhung der Anzahl der Freiheitsgrade f, die bei der Beschreibung der inneren Energie U eines
Gases berücksichtigt werden müssen.
Für die innere Energie U eines idealen Gases mit N Teilchen erhält
man daher:
3
U = N kT
2
Im Gegensatz zu den Atomen eines idealen Gases, die keine Kräfte
aufeinander ausüben, treten zwischen den Atomen / Molekülen realer Gase Wechselwirkungen auf. Ein Teil ihrer inneren Energie liegt
59
3 Energieformen und Energieumwandlung
dann nicht als Bewegungsenergie sondern in Form von innerer potentieller Energie vor.
F
Abstoßungskraft
0
r
Anziehungskraft
Abb. 26: Kräfte zwischen den Teilchen eines realen Gases
Bei nicht zu hohen Drücken, d. h. bei kleinen Teilchendichten ν und
nicht zu tiefen Temperaturen sind diese Kräfte oder Wechselwirkungen jedoch bei allen Gasen vernachlässigbar. In diesem Fall ist der
mittlere Abstand zwischen den Teilchen sehr groß gegen die Teilchenausdehnung. Die Teilchen können dabei je nach Gasart Atome
oder Moleküle sein und sind in guter Näherung durch den thermodynamischen Modellstoff ideales Gas beschreibbar. Mit anderen Worten:
Bei kleinen Drücken (großer Verdünnung) verhalten
sich die Moleküle aller Gase immer wie ein ideales
Gas, nämlich wechselwirkungsfrei.
Bei einem idealen Gas sind außer beim unmittelbaren Zusammenstoß
überhaupt keine Kräfte zwischen den Molekülen vorhanden. Die
Temperatur ist nur ein anderes Maß für die mittlere kinetische Energie der Moleküle. Ihr Mittelwert ε ist gegeben durch den Quotienten
aus innerer Energie U und Teilchenzahl N:
ε=
U
N
ε=
1
3
µ < v rms > 2 = kT
2
2
Diese Proportionalität zwischen der mittleren kinetischen Energie
der Teilchen eines Stoffes und seiner Temperatur kann zur Definition
der absoluten Temperatur T benutzt werden. Der absolute Nullpunkt
der Temperatur (T = 0) erhält dadurch eine anschauliche Bedeutung:
60
3.4 Kinetische Gastheorie und statistische Begründung der
Thermodynamik
Für T = 0 ist die Molekülgeschwindigkeit v = 0 und damit ist auch
die innere Energie U = 0.
Alle Teilchen eines Stoffes nehmen unabhängig von ihrer atomaren
bzw. molekularen Masse µ im thermischen Gleichgewicht stets die
gleiche mittlere Translationsenergie ε an. Man spricht daher von
einer Gleichverteilung der Energie. Diese Aussage stellt den
Gleichverteilungssatz oder das Äquipartitionstheorem dar mit der
Konsequenz, dass es einen nicht unterschreitbaren absoluten Nullpunkt der Temperatur gibt, an dem ε und T beide Null sind. Die
klassische Physik liefert damit folgendes Bild: Am absoluten Nullpunkt verharren alle Teilchen bewegungslos im Zustand der Ruhe.
Die quadratisch gemittelte Molekülgeschwindigkeit < v rms > ist die
Wurzel aus dem Mittelwert des Geschwindigkeitsquadrates. Sie ist
eine Funktion der Temperatur T und ergibt sich zu:
< v rms >= < v rms > 2 =
3 kT
µ
Die Bezeichnung < v rms > (engl.: root mean square) für die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ist der angelsächsischen Literatur
entnommen.
Beispiel:
Bewegung von N 2 -Molekülen in Luft bei Zimmertemperatur
ϑ = 20 °C
oder
T = 293 K
A r ( N ) = 14 und M r ( N 2 ) = 28
M(N2 ) = 0,028 kg / mol
µ N2 =
M
≈ 4,7 ⋅ 10 −26 kg
NA
< v rms > =
3 kT
3kT
3 RT
=
=
M
µ N2
M
NA
< v rms > ≈ 500 m / s
Dies entspricht einer mittleren Molekülgeschwindigkeit von etwa 1800 km/h.
61
4 Wiederholungstest
4
Wiederholungstest
4.1
Testfragen
Aufgabe 1
Die SI-Einheit der absoluten Temperatur ist
(A) 1K
B) 1° F
C) 1° K
(D) 1°C
E) keine der oben genannten Einheiten
Aufgabe 2
T=0K
(A) ist der absolute Nullpunkt.
(B) entspricht -273,15 °C.
(C) ist der Nullpunkt der Kelvinskala.
Aufgabe 3
Markieren Sie die beiden Gruppen von thermodynamischen Zustandsgrößen, die zur Beschreibung der physikalischen Eigenschaften eines Gases benutzt werden.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
adiabatische Zustandsgrößen
thermische Zustandsgrößen
volumetrische Zustandsgrößen
kalorische Zustandsgrößen
isobare Zustandsgrößen
isotherme Zustandsgrößen
Aufgabe 4
Von der Temperatur unabhängig und daher zur Temperaturmessung
nicht geeignet ist die/der/das
(A)
(B)
(C)
(D)
62
Länge eines festen Körpers
Masse einer Flüssigkeit
Druck eines Gases
Volumen einer Flüssigkeit
4.1 Testfragen
Aufgabe 5
Ein Stahlbandmaß sei bei 20 °C kalibriert („geeicht“) worden. Mit
diesem Bandmaß soll die Länge l(ϑ) eines Iridiumstabes bei einer
konstanten Temperatur von ϑ = 35 °C gemessen werden. Misst man
mit diesem Bandmaß, das ebenfalls eine Temperatur von 35 °C angenommen hat, eine zu große oder eine zu kleine Länge des Ir-Stabes
oder hat die Temperaturänderung keinen Einfluss auf das Ergebnis
der Längenmessung?
(A) kein Einfluss auf die Längenmessung
(B) man misst eine zu große Länge
(C ) man misst eine zu kleine Länge
(D) lässt sich nur bei genauer Kenntnis des linearen Ausdehnungskoeffizienten entscheiden
Aufgabe 6
Welches Diagramm gibt qualitativ den Zusammenhang zwischen
Luftdruck und Höhe richtig wieder (lineare Koordinatenskalierung)?
(B)
(A)
p
p
0
h
(C)
p
p
0
h
h
0
0
(D)
h
Aufgabe 7
In der folgenden Abbildung sind vier Zustandsänderungen in einem
p,V-Diagramm eingezeichnet. Es soll gelten: V1 = V4 , V2 = V3 ,
p1 = p 2 und p 3 = p 4 . Benennen Sie die Zustandsänderungen:
a)
b)
c)
d)
→
→
→
→
:
:
:
:
63
4 Wiederholungstest
p
p3,4
p1,2
3
4
2
1
v2,3
v1,4
v
Kreisprozess aus vier Zustandsänderungen
Aufgabe 8
Dass sich für isobare bzw. isochore Zustandsänderungen eines idealen Gases im p,V-Diagramm jeweils zu einer der Koordinatenachsen
parallele Geraden ergeben, ist sehr leicht einzusehen. Was für Kurven ergeben sich für isotherme Zustandsänderungen eines idealen
Gases?
(A) Parabeln
(B) Geraden
(C) Hyperbeln
(D) Adiabaten
Aufgabe 9
Die drei Zustandsvariablen p, V, T eines idealen Gases werden durch
die Zustandsgleichung miteinander verknüpft. In nebenstehender
Abbildung sind die zugehörigen V,T-, p,T- und p,V-Diagramme
dargestellt, wobei jeweils die dritte Zustandsgröße konstant gehalten
wird. Markieren [ ⊗ ] Sie das jeweils richtige Diagramm!
Diagramm
A
B
C
Isobare
V
Isotherme
p
p
T
64
Isochore
T
V
4.2 Lösungen der Testfragen
Aufgabe 10
Warum steigt der Druck, wenn ein Gas bei konstanter Temperatur
komprimiert wird?
Der Gasdruck steigt bei isothermer Kompression an,
(A) weil die innere Energie des Gases ansteigt,
(B) weil sich bei Kompression die Geschwindigkeit der Gasmoleküle erhöht,
(C) weil Kompressionsarbeit geleistet wird,
(D) weil die Teilchendichte zunimmt,
(E) weil der Druck der Temperatur proportional ist.
4.2
Lösungen der Testfragen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Aufgabe 10
A
A, B, C
B, D
B
C
D
a) isobar, b) isochor, c) isobar, d) isochor
C
A: Isobare B: Isochore C : Isotherme
D
65
5 Zusammenfassung
5
Zusammenfassung
Die Temperatur ist eine Zustandsgröße, welche die mittlere kinetische Energie der Atome bzw. Moleküle beschreibt. Am absoluten
Nullpunkt T = 0 K = - 273,15 °C verlieren die Atome ihre Bewegungsenergie und verharren im Zustand der Ruhe. Bei nicht zu großer Temperaturänderung ∆T gilt für die Längenänderung eines
Festkörpers
l = l 0 (1 + α∆T ) .
Der Längenausdehnungskoeffizient α ist eine temperaturabhängige
Materialkonstante. Für die Volumenausdehnung von Festkörpern,
Flüssigkeiten und Gasen unter konstantem Druck
gilt
V = V0 (1 + γ∆T)
Der Volumenausdehnungskoeffizient γ ist für die meisten Körper
positiv. Wasser besitzt im Temperaturbereich 0 °C < ϑ < 4 °C eine
Anomalie mit γ < 0 .
Die Avogadrosche Konstante N A = 6,022 ⋅ 10 23 mol −1 gibt die Anzahl der Atome bzw. Moleküle in jeweils 1 mol eines Stoffes an. Die
Stoffmenge 1 mol entspricht dabei der Anzahl von Kohlenstoffatomen in 0,012 kg
12
C.
Unter dem Druck p versteht man eine Zustandsgröße, welche den
Betrag einer senkrecht auf einer Oberfläche der Größe A wirkenden
Kraft F entspricht.
p=
F
A
Nach dem Gesetz von Avogadro besitzt jedes ideale Gas mit der
Stoffmenge n = 1 mol unter Normbedingungen
( p n = 1013,25 hPa ≈ 1,0 ⋅ 10 5 N / m 2 und ϑ n = 0 °C ) das gleiche
Molvolumen
Vm,n = 22,4 ⋅ 10 −3 m 3 / mol .
Zwischen den Zustandsgrößen Druck p, Temperatur T und Volumen
V eines idealen Gases mit der Stoffmenge n gilt die Zustandsgleichung
pV = nRT .
66
4.2 Lösungen der Testfragen
Mit der Anzahl N der Atome bzw. Moleküle lautet die Zustandgleichung des idealen Gases
pV = NkT .
Dabei ist R = 8,314
J
die universelle Gaskonstante.
mol K
k = 1,38 ⋅ 10 −23 J / K ist die Boltzmann-Konstante. Zwischen diesen
beiden Konstanten besteht die Beziehung R = N A k .
67
6 Übungen
6
Übungen
6.1
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Bestimmen Sie den absoluten Nullpunkt auf der Fahrenheit-Skala.
Aufgabe 2
In einem geschlossenen Gefäß befindet sich Luft mit einem Druck
von p1 = 1,06 bar und einer Temperatur von ϑ1 = 57 °C . Welcher
Druck p 2 stellt sich im Gefäß ein, wenn der Inhalt auf ϑ 2 = 17 °C
abgekühlt wird?
Aufgabe 3
2 kg Luft mit p1 = 2 bar sollen bei ϑ1 = 35 °C isotherm auf
p 2 = 13 bar verdichtet werden. Die spezielle Gaskonstante von Luft
hat den Wert R i = 287 J /( kg K ) .
a) Wie groß ist das Ausgangsvolumen V1 ?
b) Welche Volumenänderungsarbeit ist bei der Verdichtung aufzubringen?
c) Welche Wärmemenge ist dabei abzuführen?
Aufgabe 4
In einem Dieselmotor sollen 0,1 kg Luft ( R i = 287 J /( kg K ) ) auf
p1 = 30 bar verdichtet werden. Die Temperatur steigt dabei auf
ϑ1 = 727 °C . Nach dem Verdichtungsvorgang wird Kraftstoff eingespritzt, der bei konstantem Druck verbrennt, wobei sich das Volumen
verdreifacht.
a) Welche Zustandsgrößen liegen nach der Verdichtung vor?
b) Welche Arbeit wird geleistet?
6.2
Lösungen der Übungsaufgaben
Lösung Aufgabe 1
t F [°F] = 32 + ϑ[°C] ⋅
9
5
T = 0 K entspricht auf der Celsius-Skala ϑ = −273,15 °C .
68
6.2 Lösungen der Übungsaufgaben
t F [°F] = 32 − 273,15 ⋅
9
5
t F = −459,67 °F
Lösung Aufgabe 2
Die Zustandsgleichung idealer Gase liefert: pV = nRT
p1 V1 = n 1 RT1 und p 2 V2 = n 2 RT2
p 2 V2
p1 V1
=
n 2 RT2
n 1 RT1
Wegen n 1 = n 2 und V1 = V2 folgt:
p2 =
T2
T1
p1 =
290 K
1,06 bar = 0,93 bar
330 K
Lösung Aufgabe 3
a) Die Zustandsgleichung liefert:
p1 V1 = mR i T1
V1 = 0,8844 m 3
b) Die isotherme Volumenänderungsarbeit ist
WV = − p1 V1 ln
p1
p2
= 331 kJ
c) Da die Temperatur im System konstant ist (isotherme Verdichtung), ist die zugeführte Volumenänderungsarbeit gleich der abzuführenden Wärme.
∆Q = WV = 331 kJ
Lösung Aufgabe 4
Die Zustandsgleichung liefert den Zusammenhang zwischen den
thermischen Zustandsgrößen.
p1 V1 = mR i T1
69
6 Übungen
a) V1 = 0,0096 m 3
Nach der Verdichtung liegt das Volumen V2 = 3 ⋅ V1 vor. Die Temperatur T2 folgt wieder aus der Zustandsgleichung.
p 2 V2 = mR i T2
T2 = 3000 K
b) Für die isobare Volumenänderungsarbeit gilt:
WV = − p1 (V2 − V1 )
WV = −57,3 kJ
Die Volumenänderungsarbeit ist in Übereinstimmung mit der Vorzeichenkonvention negativ, da die Arbeit vom System abgegeben
wird.
70
Anhang
Anhang
A1
Griechisches Alphabet
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
λ
µ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
71
Anhang
A2
Formelzeichen
Symbol
Benennung
Einheit
α
Ausdehnungskoeffizient
K −1
γ
Ausdehnungskoeffizient
K −1
η
72
Wirkungsgrad
1
ϑ
Celsiustemperatur
°C
ε
Teilchenenergie
J
µ
Molekülmasse
kg
ρ
Dichte
kg / m 3
υ
spezifisches Volumen
m 3 / kg
ν
Teilchendichte
m −3
∆l
Längenänderung
m
∆T
Temperaturänderung
K
∆V
Volumenänderung
m3
A
Fläche
m2
E, E kin , E pot
Energie
J
EA
Anergie
J
EE
Exergie
J
f
Freiheitsgrade
1
F
Kraft
N
g
Erdbeschleunigung
m / s2
h
Höhe
m
l
Länge
m
m
Masse
kg
M
molare Masse
kg/mol
n
Stoffmenge
mol
N
Teilchenzahl
1
p
Druck
Pa
Q
Wärme
J
r, R
Radius
m
T
Temperatur
K
U
innere Energie
J
v
Geschwindigkeit
m/s
V
Volumen
m3
W
Arbeit
J
Anhang
A3
Literaturauswahl
Herr, H.:
Kuchling, H.:
Technische Physik, Band 3,
Wärmelehre
Europa-Lehrmittel, Haan
Taschenbuch der Physik,
Fachbuchverlag Leipzig
Lindner, H.:
Physik für Ingenieure,
Fachbuchverlag Leipzig
Lindner, H.:
Physikalische Aufgaben
Fachbuchverlag Leipzig
Müller, R.:
Thermodynamik
Walter de Gruyter, Berlin
Pitka, R. et al.:
Physik
Der Grundkurs
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt
Aufgrund fortlaufender Aktualisierung seitens der Verlage, wurde
auf die Nennung der jeweils gültigen Auflage sowie auf das Erscheinungsjahr verzichtet.
73
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