Musterloesung

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2. Klausur
Grundlagen der Elektrotechnik I-A
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Name:
.............................
Vorname:
.............................
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Bearbeitungszeit: 135 Minuten
• Trennen Sie den Aufgabensatz nicht auf.
• Benutzen Sie für die Lösung der Aufgaben nur das mit diesem Deckblatt ausgeteilte Papier.
Lösungen, die auf anderem Papier geschrieben werden, können nicht gewertet werden. Weiteres Papier kann bei den Tutoren angefordert werden.
• Notieren Sie bei der Aufgabe einen Hinweis, wenn die Lösung auf einem Extrablatt fortgesetzt wird
• Schreiben Sie deutlich! Doppelte, unleserliche oder mehrdeutige Lösungen können nicht gewertet werden.
• Schreiben Sie nicht mit Bleistift!
• Schreiben Sie nur in blau oder schwarz!
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1. Aufgabe (5 Punkte): Allgemeine Fragen
Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:
1.1. Einweggleichrichter (0.5 Punkte)
Geben Sie die Schaltung einer Einweg-Gleichrichterschaltung (auch Einpuls-Mittelpunktschaltung
M1) mit kapazitiver Glättung an.
Lösung:
D
∼
uE
uA
C
1.2. Strom und Spannung am Kondensator (0.5 Punkte)
Geben Sie Formel für die Beziehung von Strom und Spannung am Kondensator an.
Lösung:
iC = C ·
d
uC oder I C = C · ω · U C
dt
1.3. Übertragungsfunktion (0,5 Punkte)
Geben Sie die Formel für die Übertragungsfunktion v =
UA
UE
folgender Schaltung an.
Lösung:
R
v=
UE
C
UA
1
1 + jωRC
oder mit τ = R · C
v=
1
1 + jωτ
1.4. Z-Diode (0,5 Punkte)
Zeichnen Sie eine Stabilisierungsschaltung mit einer Z-Diode. Kennzeichnen Sie die Eingangsspannung UE und die Ausgangsspannung UA .
Lösung:
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R
UE
Z-Diode
UA
1.5. Wirkleistung (0,5 Punkte)
Geben Sie die an einem Widerstand R umgesetzte Wirkleistung P an, wenn an ihm die Spannung
Uef f abfällt.
Lösung:
P =
2
Uef
f
R
1.6. Wechselstromersatzwiderstand (0,5 Punkte)
Geben Sie die Formel für den Wechselstromersatzwiderstand Z ges für die gezeigte Anordnung an.
Lösung:
C1
C2
Z ges =
1
jω(C1 + C2 )
1.7. Ortskurve (0,5 Punkte)
Zeichnen Sie die Ortskurve des gezeigten komplexen Widerstandes bei fester Frequenz ω = const.
und veränderlichem Widerstand R. Kennzeichnen Sie dabei R = 0 und R → ∞.
Im
R=0
R
R→∞
L
Re
1.8. Zeiger und Zeitverläufe an der Spule (1 Punkt)
• Zeichnen Sie die Zeiger für Strom und Spannung an einer Induktivität für U L = U · e0 in die
komplexe Ebene (links) ein.
◦
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• Zeichnen Sie in das Diagramm (rechts) den Zeitverlauf für den Spulenstrom iL (t) für den gegebenen Zeitverlauf der Spannung uL (t) ein.
1
Im
UL
uL / V & iL / A
IL
0.5
L
Re
uL(t)
iL(t)
0
UL
−0.5
IL
−1
0
0.25
0.5
t/T
0.75
1
1.9. Diodenkennlinie (0.5 Punkte)
Zeichnen Sie in das Diagramm die linearisierte Diodenkennlinien im Durchlassbereich ein. Machen
Sie dabei die charakteristischen Kenngrößen kenntlich.
ID
1
rD
uth
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2. Aufgabe (5 Punkte): Zeigerdiagramm
Gegeben ist folgende Schaltung:
UL
U E = U · e0
o
U1
R1
I1
∼
L
IC
C
I2
R2
UA
2.1. Qualitatives Zeigerdiagramm (2 Punkte)
Zeichnen Sie (auf der nächsten Seite) das qualitative Zeigerdiagramm aller Ströme und Spannungen
o
für U E = U · e0 .
Beachten Sie:
• Rechte Winkel und Zeigeradditionen sind klar zu kennzeichnen!
• Wählen Sie die Spannungen betragsmäßig größer als die Ströme!
• Zeichnen Sie nicht zu klein!
• Zeichnen Sie das karthesische Koordinatensystem ein!
Lösung:
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Re
UE
U2
U1
I1
U 1 +U
L
I2
1. I 2 kU 2
2. I C 90◦ vor U 2
3. I 1 = I 2 + I C
IC
4. U L 90◦ vor I 1
5. U 1 kI 1
6. U E = U 1 + U L + U 2
UL
Im
7. Re-AhsekU E
8. Im-Ahse 90◦ vor ReAhse
2.2. Gesamtimpedanz (1 Punkt)
Berechnen Sie symbolisch die Gesamtimpedanz Z ges , die die Spannungsquelle im Leerlauffall (R2 →
∞) speisen muss, und stellen Sie diese in der Form Z = X + Y dar.
Lösung:
Z ges = R1 + X L + X C
1
= R1 + ωL +
ωC
1
= R1 + ωL − 
ωC
1
1
Z ges = R1 +  ωL −
oder Z ges = R1 + ω L − 2
ωC
ω C
(1)
(2)
2.3. Ohmsche Gesamtimpedanz (1 Punkt)
Berechnen Sie, wie groß die Kapazität C sein muss, wenn die Gesamtimpedanz Z ges im Leerlauffall
(R2 → ∞) rein ohmisch sein soll.
Lösung:
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L−
1
=0
ω2C
1
L= 2
ω C
1
C= 2
ω L
(3)
(4)
2.4. Übertragungsfunktion (1 Punkt)
Ersetzen Sie die Spule L durch einen Kurzschluss. Wie lautet jetzt die Übertragungsfunktion V =
im Leerlauffall (R2 → ∞).
UA
UE
Lösung:
V
=
UA
UE
=
1
1
=
1 + ωCR
1 + ωτ
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3. Aufgabe (5 Punkte): Komplexe Superposition
Die nachfolgende Schaltung ist gegeben.
iA (t) = a (const.)
R1
uR1 (t)
iZ (t)
C
L
R2
iC (t)
uB (t) = b̂ · sin(ω t)
3.1. Ersatzschaltbilder (1 Punkt)
Zeichnen Sie die beiden Ersatzschaltbilder zur Berechnung des Netzwerkes nach dem Superpositionsprinzip. Tragen Sie alle Teilströme und -spannungen ein, die Sie in Ihren Berechnungen verwenden.
Lösung:
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iA (t) = a (const.)
R1
uR1 (t)
iZA (t)
iZB (t)
C
L
R2
iC (t)
uB (t) = b̂ · sin(ω t)
3.2. Symbolische Stromberechnung (2,5 Punkte)
Stellen Sie eine Formel (symbolisch!) für den Strom iZ (t) auf. Verwenden Sie dazu das Superpositionsprinzip. Anmerkung: Geben Sie die Ergebnisse in zeitabhängiger Form an. Keine Zwischenergebnisse überspringen!
Lösung:
1. Lösungsmöglichkeit:
Für Teilschaltung A):
iZA (t) = a
Für Teilschaltung B):
In komplexe Darstellung umformen (entweder mit Eektivwerten oder Sheitelwer-
ten rehnen; u bliherweise werden Eektivwerte verwendet)
1
1
uB (t) → U B = √ b̂ ej 0 = √ b̂
2
2
(0.5 Punkte)
Berehnung der Gesamtimpedanz Z (0.5 Punkte)
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1
1
|| j ω L || R2 =
jωC
jωC +
Z=
1
jωL
|| R2 =
1
jωC +
1
jωL
+
1
R2
Berehnung des komplexen Stroms I ZB
I ZB
U
= B =
Z
1
1
jωC +
+
j ω L R2
UB =
1
1
b̂
√
+j ωC −
R2
ωL
2
Umrehnung in die vollstandige reelle Darstellung (jeweils 0.5 Punkte)
|b̂|
|I ZB | = √
2
s
1
1 2
+ ωC −
ωL
R22
Im(I ZB )
R2
phase(I ZB ) = arctan
= arctan ω R2 C −
Re(I ZB )
ωL
Ergebnis zusammenfassen (Eektivwert in Sheitelwert umrehnen):
iZ (t) = iZA (t)+iZB (t)
Daraus folgt (0.5 Punkte)
iZ (t) = a + |b̂|
s
R2
1
1 2
sin ω t + arctan ω R2 C −
+ ωC −
ωL
ωL
R22
2. Lösungsmöglichkeit:
Für Teilschaltung A):
iZA (t) = a
Für Teilschaltung B):
ic (t) = C
iR (t) =
⇒
d uB (t)
= ω b̂ C cos(ωt),
dt
b̂
sin(ωt)
R2
iL (t) =
1
L
Z
uB (t) dt = −
b̂
cos(ωt)
ωL
(jeweils 0.5 Punkte)
1
1
) cos(ωt) +
sin(ωt)
iZB (t) = ic (t)+iL (t)+iR (t) = b̂ (ωC −
ωL
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⇒
1
1
) cos(ωt) +
sin(ωt)
iZ (t) = a + b̂ (ωC −
ωL
R2
(0.5 Punkte)
3.3. Stromberechnung (0.5 Punkte)
Wie groß ist der Strom iZ (t) für b̂ = 220V, a = 1A, R1 = 100Ω, R2 = 105Ω, L = 200mH und
C = 100µF? Die Frequenz f sei 50Hz. Diese Angaben gelten auch für die nachfolgenden Aufgaben.
Lösung:
Einsetzen und ausrehnen. Es folgt
iZ (t) = 1A + 4 sin(ωt + 1, 012) A
3.4. Spannungsberechnung (0.5 Punkte)
Wie groß ist die Spannung uR1 (t) über R1 ?
Lösung:
Die Spannungsquelle liefert keinen Anteil. Daher gilt
uR1 (t) = iA (t)·R1 = a·R1 = 1A·100Ω = 100V
3.5. Strom durch Kondensator (0.5 Punkte)
Wie groß ist der Strom ic (t) durch den Kondensator C?
Lösung:
Hier hat die Stromquelle keinen Einu. Daher ist die Spannung uber den Kondensator
gleih der Spannung der Spannungsquelle, d.h.
1
uB (t) → U B = √ b̂,
2
IC =
UB
1
= j √ b̂ ω C
1/(jωC)
2

Es folgt nah Ubergang
von I C → ic (t)
π
π
π
ic (t) = b̂ ω C sin(ω t+ ) = 220V 2 π 50Hz 100·10−6 F sin(ω t+ ) = 2 π sin(ω t + ) A
2
2
2
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4. Aufgabe (5 Punkte): Ortskurve
Gegeben ist die folgende Schaltung:
R2
R1
Gegeben:
R1 = 470Ω
R2 = 1.2kΩ
f = 1.5kHz
C = [50, 100, 300]nF
C
4.1. Impedanz angeben (2 Punkte)
Geben Sie den Real- und den Immaginäranteil der Gesamtimpedanz Z (Formel) an.
Lösung:
R2
1
= R1 +
=
jwC
jwC[R2 + 1/(jwC)]
R2
R2 (1 − jwCR2 )
R2 − jwCR22
R1 +
= R1 +
=
R
+
1
jwCR2 + 1
(wCR2 )2 + 1
(wCR2 )2 + 1
wcR22
R2
Z = R1 +
−j
2
(wCR2 ) + 1
(wCR2 )2 + 1
R2
Re{Z} = R1 +
(wCR2 )2 + 1
wCR22
Im{Z} = −
(wCR2 )2 + 1
Z = R1 + R2 ||
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
4.2. Ímpedanz berechnen (1.5 Punkte)
Berechnen Sie die Impedanz in Polarkoordinaten für C=50, 100, 300 nF (Ihr Rechenweg muss nachvollziehbar sein!).
Lösung:
Der Rehenweg muss nahvollziehbar sein! Hier stehen nur die Ergebnisse.
◦
(11)
−j31◦
(12)
−j29.9◦
(13)
Z(C = 50nF ) = 1472Ω · e−j20
Z(C = 100nF ) = 1160.9Ω · e
Z(C = 300nF ) = 653Ω · e
4.3. Ortskurve (1 Punkt)
Zeichnen Sie die Ortskurve der Gesamtimpedanz Z der Schaltung (1cm=100 Ω). Kennzeichnen Sie
mindestens 4 Punkte der Ortskurve.
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Lösung:
Im
R 1+ R2
R1
C
C=0
Re
300 nF
50 nF
100 nF
4.4. Variable Frequenz (0.5 Punkte)
Anstatt der Kapazität wird nun die Frequenz variiert. Skizzieren Sie qualitativ die Ortskurve und
kennzeichnen Sie die Punkte f = 0 und f → ∞.
Lösung:
Die Kurve sieht aus wie die Kurve in Aufgabe 1.3. Der Punkt fur C = 0 wird zum Punkt
w = 0, und der Punkt C → ∞ wird zum Punkt w → ∞.
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5. Aufgabe (5 Punkte): Übertragungsfunktionen
Gegeben ist die folgende Schaltung (Anmerkung: Der Impedanzwandler entkoppelt beide Schaltungen vollständig, d.h. die Ausgangsspannung U H des Impedanzwandlers ist immer gleich seiner Eingangsspannung.)
Impedanzwandler
R
U1
C
C
UH
UH
V3
V2=1
V1
V1
U2
R
V2=1
V3
5.1. Übertragungsverhalten (0,5 Punkte)
Welches prinzipielle Übertragungsverhalten hat diese Schaltung?
Lösung:
Das erste RC-Glied ist ein Tiefpass, das zweite ein Hohpass. Hintereinander geshaltet
ergibt sih ein Bandpass.
5.2. Übertragungsverhältnis berechnen (2,5 Punkte)
Berechnen Sie das komplexe Übertragungsverhältnis V und den Amplitudengang der Schaltung.
Lösung:
Der Frequenzgang ist das in der Regel komplexe Verhaltnis V zwishen Ausgangsspannung U 2 und Eingangsspannung U 1 .
Es wird die Spannung U H deniert (Siehe Shaltplan).
1/(j ω C)
1
UH
=
=
U1
R + 1/(j ω C)
1 + j ω RC
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⇒
UH =
1
U
1 + j ω RC 1
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R
j ω RC
U2
=
=
UH
R + 1/(j ω C)
1 + j ω RC
⇒
U2 =
j ω RC
U
1 + j ω RC H
Zusammen ergibt sih
U2 =
1
j ω RC
U
1 + j ω RC 1 + j ω RC 1
⇒
V =
U2
j ω RC
=
U1
(1 + j ω RC)2
In Real- und Imaginarteil aufspalten. Dazu u
 ber und unter dem Bruhstrih mit
2
(1 − j ω RC) multiplizieren
V =
(1 − j ω RC)2 j ω RC
2(ω RC)2 + j (ω RC − (ω RC)3 )
2 =
((1 + j ω RC)(1 − j ω RC))
(1 + (ω RC)2 )2
Es folgt
Re(V ) =
2(ω RC)2
(1 + (ω RC)2 )2
Im(V ) =
ω RC − (ω RC)3
q
(1 + (ω RC)2 )2
(1 + (ω RC)2 )2
und der Amplitudengang ist
|V | =
p
Re(V
)2
+ Im(V
)2
=
4(ω RC)4 + (ω RC − (ω RC)3 )2
5.3. Amplitudengang skizzieren (1,5 Punkte)
Skizzieren Sie den Amplitudengang für R = 100Ω und C = 1µF . Verwenden Sie dazu das vorgefertigte Diagramm. (Anmerkung: Amplitudengang nicht in dB).
|V |
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1000
2000
3000
4000
5000
f in Hz
5.4. Verständnisfrage (0,5 Punkte)
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Stellen Sie sich vor, dass Sie die Schaltung so aufbauen wollen. Sie haben aber nur 130, 200 und 500Ω
Widerstände und Kondensatoren mit 33 und 500nF . Was machen Sie? Bitte Begründen!
Lösung:
Ih nehme die 200Ω Widerstande und die 500nF Kondensatoren. Die Shaltung hat den
selben Frequenzgang, da dieser nur durh den Faktor R · C bestimmt wird.
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6. Aufgabe (5 Punkte): Dioden und Z-Dioden
6.1. Spannung an Diodenschaltungen (2 Punkte)
Bestimmen Sie die Ausgangsspannungen UA1 . . . UA4 an den 4 Diodenschaltungen. Für alle Schaltungen gilt:
• Die Eingangsspannung ist UDC = 10 V
• Für jede in Durchlaßrichtung betriebene Diode (auch die Z-Diode) gilt UF = 0, 7 V
• Bei einer Z-Diode fließt auch in Sperrpolung Strom, wenn die Durchbruchspannung überschritten
wird. Es soll gelten: UZ = 6, 2 V
Lösung:
1. Die Diode wird in Durhlarihtung betrieben, an ihr fallt die Spannung UF ab:
UA1 = UF = 0, 7 V
(0,5 Punkte)
2. Die Diode wird in Sperrihtung betrieben, an ihr fallt die gesamte Spannung UDC
ab:
UA2 = UDC = 10 V
(0,5 Punkte)
3. Die beiden Dioden werden in Durhlarihtung betrieben, der Spannungsabfall an
beiden Dioden ist 2 · UF , also ist
UA3 = UDC − (2 · UF ) = 10 V − 2 · 0, 7 V = 8, 6 V
(0,5 Punkte)
4. Die Z-Diode arbeitet als normale Dioden, da sie in Durhlarihtung betrieben wird,
an ihr fallt UF ab. Die Diode parallel zum Ausgang wird in Sperrrihtung betrieben,
an ihr fallt also die Ausgangsspannung ab:
UA4 = UDC − UF = 10 V − 0, 7 V = 9, 3 V
(0,5 Punkte)
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6.2. Spannungbegrenzerschaltung - Ersatzschaltbild (2 Punkte)
Gegeben ist die nebenstehende Spannungsbegrenzerschaltung. Zeichnen Sie je ein
Ersatzschaltbild für die positive und die
negative Halbwelle der Eingangsspannung.
Berücksichtigen Sie hierbei:
• Û = 20 V , f = 50 Hz, R = 2 kΩ
• für alle Dioden ist rF = 0
• für die Dioden D1 und D3 ist rR = ∞
und UF = 0, 7 V
• für die Z-Diode D2 gilt rZ = 0, rF = 0
und UF = 0.7 V , UZ = 9, 3 V
Lösung:
Wahrend der positiven Halbwelle leitet
D1, D2 wird im Zenerbereih betrieben.
Im Ersatzshaltbild entfallen nah Vorgabe rF , rZ und rR . Die Diode D3 sperrt
und kann vernahlassigt werden rR = ∞.
Wahrend der negativen Halbwelle leitet
D2, jedoh sperrt D1, somit kann der ganze Zweig vernahlassigt werden rR = ∞.
Die Diode D3 leitet.
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6.3. Spannungsbegrenzerschaltung - Spannungszeitverlauf (1 Punkt)
Skizzieren Sie den Verlauf der Ausgangsspannung UA (t) in das gegebene Diagramm.
Berücksichtigen Sie hierbei die vereinfachenden Angaben aus Unteraufgabe 6.2
Lösung:
Wahrend der positiven Halbwelle leitet die Diode D1, die Z-Diode wird in Sprerrihtung, also in ihrem Zener-Arbeitsbereih betrieben. Damit wird die Ausgangsspannung
auf die Zenerspannung UZ = 10 V begrenzt. Bis zum Erreihen von U (t) = UZ folgt die
Ausgangsspannung der Eingangsspannung
Wahrend der negativen Halbwelle sperrt die Diode D1. Die Diode D3 leitet, damit ist am
Ausgang die Spannung auf UA,min = −UF begrenzt. Bis zum Erreihen von U (t) = −UF
folgt die Ausgangsspannung der Eingangsspannung
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