Blatt 13 – ¨Ubungen zur Physik III WS 12/13 - Delta
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Fakultät Physik, Technische Universität Dortmund Prof. G. Hiller, Prof. T. Weis Blatt 13 – Übungen zur Physik III WS 12/13 Abgabe bis Freitag, den 18. Januar 2013, 9:00 Uhr Aufgabe 1: “Laserpointer” (6 Punkte) Wesentlicher Bestandteil eines Lasers ist der optische Resonator. Der Lichtstrahl propagiert im einfachsten Fall zwischen zwei Spiegeln, die das Lasermedium beschränken. Dadurch ist der Weg des Lichts durch das Lasermedium deutlich länger und der Strahl gewinnt in diesem Bereich an Intensität durch stimulierte Emission des aktiven Mediums. Betrachten Sie eine Anordnung aus zwei endlichen, sphärischen Spiegeln mit den Radien R1 , R2 im Abstand L. a) Ersetzen Sie die Spiegelkonfiguration durch eine äquivalente periodische Linsenanordnung. Fertigen Sie eine entsprechende Skizze an und berechnen Sie die Transformationsmatrix der symmetrischen Einheitszelle für einen einmaligen Durchlauf des Resonators. Hinweis: Betrachten Sie die Linsenflächen einzeln und überlegen Sie, welche davon für die Einheitszelle nötig sind. Arbeiten Sie mit einer Brennweite von R2 bei den sphärischen Spiegeln. b) Schreiben Sie diese Transformationsmatrix dimensionslos auf, indem Sie den Winkelanteil des Strahlvektors mit der Länge L multiplizieren. Verwenden Sie außerdem die Substitutionen g1 = 1 − RL1 und g2 = 1 − RL2 (diese vereinfachen auch die Matrix in a). c) Bestimmen Sie allgemein die Eigenwerte und Eigenvektoren der dimensionslosen Transformationsmatrix aus b. d) Zeigen Sie, dass für 0 ≤ g1 g2 ≤ 1 der Strahl im endlichen Resonator verbleiben kann, während er sonst den Resonator verlassen muss. Hinweis: Drücken Sie den Strahlvektor nach einem Durchlauf mithilfe der Eigenwerte und -vektoren aus. Nutzen Sie, dass man den Eigenwert in Polardarstellung ausdrücken kann, wenn der Strahl im Resonator verbleibt. Aufgabe 2: “Auge” (4 Punkte) Bei dieser Aufgabe soll das Linsensystem des Auges durch eine einzige dünne Linse angenähert werden. Die Linse eines normalsichtigen Auges eines Erwachsenen hat eine Brechkraft D zwischen 55 (entspanntes Auge) und 59 Dioptrien (angespanntes Auge). a) Wie groß ist der Abstand a zwischen der Linse und der Netzhaut, wenn mit entspanntem Auge das Bild eines unendlich weit entfernten Gegenstandes exakt auf der Netzhaut abgebildet wird? b) Wie groß ist der minimale Abstand dmin,1 , bei dem das unter a) berechnete Auge scharf sieht? c) Wie groß ist der minimale Abstand dmin,2 , wenn sich im Alter die maximale Brechkraft von 59 auf 57 Dioptrien reduziert? Welche Brechkraft DB muss eine Brille haben, damit das Auge wieder bis zu dmin,1 scharf sieht? d) Berechnen Sie den Krümmungsradius R der Linse im Auge bei der maximalen Brechkraft D = 59 Dioptrien unter der Annahme, dass die beiden Krümmungsradien r1 und r2 der Linse den gleichen Betrag haben und das die Linse dünn ist. Der Brechungsindrex beträgt n = 1, 4. Aufgabe 3: “Entspiegelte Brille” (4 Punkte) Eine Brille sei durch eine Glasscheibe (Brechungsindex n3 ) mit Oberflächenbeschichtung der Dicke d modelliert (s. Skizze). Betrachten Sie die Amplituden der reflektierten Lichtwellen an den beiden Grenzflächen. Mehrfachreflexion soll hier vernachlässigt werden. (a) Ziel der Entspiegelung ist, dass insgesamt durch Auslöschung keine Reflexion auftritt. Formulieren Sie Bedingungen an Phase und Amplitude der reflektierten Wellen, so dass dies erreicht wird. (b) Ein Lichtstrahl der Wellenlänge λ fällt senkrecht von außen ein. Wie müssen die Parameter der Brille gewählt werden, um die Antireflexionsbedingungen zu erfüllen? Hinweis: Nehmen Sie als Ansatz für die einfallende Welle: Ψein = As exp i(ωt − kx) + Ap exp i(ωt − kx) und verwenden Sie die Fresnelschen Formeln. Zur s- und p-Polarisation s. auch 1 . (c) Eine beispielhafte Brille erfüllt die obige Bedingung für Licht der Wellenlänge λ = 550nm. Berechnen und skizzieren Sie den reflektierten Anteil der Intensität als Funktion von λ für Licht im sichtbaren Bereich. Aufgabe 4: “Fresnelsches Polarisationsprisma” (6 Punkte) (a) Betrachten Sie die Fresnelschen Formeln für die Reflexionskoeffizienten rs (α), rp (α) für den Übergang von einem optisch dichteren (Brechungsindex n1 ) in ein optisch dünneres Medium (n2 ). Bei welchem Winkel tritt Totalreflexion auf? Was passiert mit rs (α) und rp (α) für größere Winkel? (b) In der Skizze ist ein sogenanntes Fresnelsches Polarisationsprisma angegeben. Es soll durch doppelte Totalreflexion eine Phasenverschiebung von insgesamt π2 im durchlaufenden Lichtstrahl erzeugen. Wie muss der Winkel γ für Glas (n = 1.5) im Vakuum gewählt werden? Die Phasendifferenz zwischen der p- und der s-Polarisation1 δp−s nach einer Totalreflexion berechnet sich hierbei durch: p (1 − sin2 α)(sin2 α − (n1 − n2 )) δp−s tan =− . (1) 2 sin2 α (c) Was muss man tun, um mit diesem Prisma zirkular polarisiertes Licht zu erzeugen? (d) Zum gleichen Zweck lässt sich auch ein Plättchen aus doppelbrechendem Material benutzen, das für s- und p-polarisierte Wellen verschiedene Brechungsindizes besitzt. Wie dick muss so ein Plättchen sein, um die gleiche Phasenverschiebung von π2 zu bewirken? Was ist der Nachteil dieser Methode? Webseite zur Vorlesung: http://www.delta.tu-dortmund.de/cms/de/Studium/Vorlesungen/WS12-PhysikIII/index.html 1 s/p-Polarisation: Das E-Feld ist senkrecht (s) bzw parallel (p) zur Einfallsebene polarisiert.
