¨Ubungsblatt 2 für Diskrete Methoden 9.) Man betrachte die

Übungsblatt 2 für Diskrete Methoden
9.) Man betrachte die folgenden beiden Konvolutionen für erzeugende Funktionen:
(1 + z)r · (1 + z)s = (1 + z)r+s , für r, s, ∈ R,
zr
zs
z r+s
·
=
, für r, s ∈ N.
(1 − z)r+1 (1 − z)s+1
(1 − z)r+s+2
Durch Koeffizientenvergleich beweise man nun die folgenden beiden Identitäten (mit n ∈ N
und den oben angeführten Einschränkungen für r, s):
¶
¶ µ
n µ ¶µ
X
r+s
s
r
,
=
n
n−k
k
k=0
¶µ ¶
n µ
X
k
n−k
k=0
s
r
=
µ
¶
n+1
.
r+s+1
10.) Sei R = GF(p)[x] der Polynomring mit Koeffizienten aus dem endlichen Körper GF(p), p
Primzahl. Ein Polynom P (x) vom Grad n heißt normiert, wenn der Koeffizient von xn in P (x)
gleich 1 ist. Es sei als bekannt vorausgesetzt, daß jedes normierte Polynom eine eindeutige
Darstellung als Produkt von irreduziblen normierten Polynomen besitzt. Sei an die Anzahl
der irreduziblen normierten Polynome vom Grad n in R. Zeigen Sie:
P n n
Q
p z ,
(1 + z k + z 2k + · · · )ak =
(a)
n≥0
k≥1
(b) pn =
P
d ad
(d.h. die Summe läuft über alle Teiler d > 0 von n).
d|n, d>0
11.) In einem t-ären ebenen Wurzelbaum hat jeder Knoten entweder t Nachfolger (= interner
Knoten) oder keinen Nachfolger (= Endknoten). Wie viele Endknoten besitzt ein t-ärer Baum
mit n internen Knoten?
12.) Bestimmen Sie die Anzahl tn aller ebenen Wurzelbäume mit n Knoten, welche durch die folgende symbolische Gleichung erzeugt werden:
T
=
u
¡
@u
u¡@
u
u
¡@
¡
@u
∪˙
T
T
13.) Die Stirlingzahlen 2. Art Sn,k , mit n, k ≥ 0, werden durch die Beziehung
X
xn =
Sn,k xk
k≥0
definiert (xk := x(x − 1) · · · (x − k + 1)). Man zeige, daß die Stirlingzahlen 2. Art die folgende
Rekursion erfüllen:
Sn+1,k = Sn,k−1 + kSn,k ,
für n ≥ 0, k ≥ 1;
Sn,0 = δn,0 ,
S0,k = δ0,k .
14.) Zeigen Sie mit Hilfe der vorigen Aufgabe: k!Sn,k ist die Anzahl aller surjektiven Abbildungen
einer n-elementigen Menge auf eine k-elementige Menge.
15.) Die Stirlingzahlen 1. Art sn,k , mit n, k ≥ 0, werden durch die Beziehung
X
sn,k xk
xn =
k≥0
definiert. Man zeige, daß die Stirlingzahlen 1. Art die folgende Rekursion erfüllen:
sn+1,k = sn,k−1 − nsn,k ,
für n ≥ 0, k ≥ 1;
sn,0 = δn,0 ,
s0,k = δ0,k .
16.) Zeigen Sie mit Hilfe der vorigen Aufgabe: |sn,k | = (−1)n+k sn,k ist die Anzahl aller Permutationen von n Elementen, deren kanonische Zyklenzerlegung aus genau k Zyklen besteht.