Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische Mechanik

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Lehramt Quantenmechanik und statistische Mechanik
Übung 1
13. April 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16
–Hausaufgabe–
Bis 12:00 Uhr, 20. April 2016
H 1.1 Planksches Strahlungsgesetz
20 Punkte
In dieser Übung werden wir das Planksche Strahlungsgesetz, das Rayleigh-Jeans Gesetz und das
Wiensche Strahlungsgesetz behandeln.
(a) Plancks Strahlungsgesetz
Die spektrale spezifische Ausstrahlung ist in Frequenzdarstellung gegeben durch
Mν (ν, T ) dν dA =
2πhν 3
1
dΦ
dν dA =
dν dA,
hν
dA
c2 e kT
−1
(1)
wobei ν die Frequenz, T die Temperatur, h das Planksche Wirkungsquantum und k die
Boltzmann-Konstante ist. Hierbei ist
Φν (ν, T ) =
1
8πhν 3
,
hν
c3 e kT
−1
(2)
die Strahlungsleistung. Die spezifische Ausstrahlung und die Strahlungsleistung beschreibt die
Leistung, die ein idealer Schwarzkörper im Frequenzbereich [ν + dν] abstrahlt. Im Folgenden
betrachten wir einen idealen schwarzen Körper. Unser Modell ist ein dreidimensionaler, hohler
Würfel der Kantenlänge L, dessen Wände das gesamte elektromagnetische Spektrum verlustfrei reflektieren kann und sich in einem stationären Zustand befindet. Das heißt, dass ein
Gleichgewicht zwischen Absorption und Emission besteht und der Würfel seine Temperatur
daher nicht verändert.
(i) Was ist die Ultraviolettkatastrophe?
1.5 Punkte
(ii) Welche Energie hat eine elektromagnetische Welle der Frequenz ν?
0.5 Punkte
(iii) Zunächst soll die Anzahl der Moden bestimmt werden, die sich in
1.0 Punkte
dem Würfel befinden. Moden sind stehende Wellen, die im Hohlraum entstehen. Man
kann sie sich wie schwingende Gitarrensaiten vorstellen. Um diese zu bestimmen, löse
zunächst die eindimensionale Wellengleichung
∂2
1 ∂2
ψ(x,
t)
=
ψ(x, t),
∂x2
c2 ∂t2
(3)
mit den Randbedingungen ψ(0, t) = 0 und ψ(L, t) = 0. Benutze hierzu zunächst ψ(x, t) =
χ(x)θ(t). Dies führt zu zwei separaten Differentialgleichungen, von denen hier lediglich
die zeitunabhängige betrachtet wird. Zeige, dass für die zeitunabhängige Differentialgleichung gilt
1 ∂ 2 χ(x)
= const. .
χ(x) ∂x2
1
(4)
(iv) Zeige, dass der Ansatz χ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) die zeitunabhängige
Differentialgleichung löst.
1.0 Punkte
(v) Benutze die Randbedinungen und zeige, dass die Frequenzen ν der Moden 2.0 Punkte
x
quantisiert sind, wobei ν = cn
2L , nx ∈ N gilt. Was bedeuten die Randbedingungen physikalisch?
(vi) Die Verallgemeinerung
auf drei Dimensionen ist einfach.
q
2
2
Sei |n| = nx + ny + n2z , dann sind die Frequenzen gegeben durch
ν=
c|n|
.
2L
2.0 Punkte
(5)
Die Gesamtzahl der Moden, die eine Frequenz zwischen 0 und νmax haben sind diejenigen,
für die νi ≤ νmax gilt. Da die Abstände der Moden klein sind, ist dies gerade das
Volumen einer dreidimensionalen Kugel mit Radius νmax . Da alle Modenzahlen (nx , ny ,
nz ) positiv sein müssen, ist das Volumen um einen Faktor η reduziert. Des Weiteren
haben die Photonen ganzzahligen Spin und somit mehr als eine Polarisationsrichtung.
Daher kann jede Mode zusätzlich ζ oft besetzt werden.
Zeige, dass die Gesamtzahl der Moden gegeben ist durch
G(ν) = ζηV3d (νmax ) =
π
3
2L
c
3
ν3,
(6)
wobei V3d (νmax ) das Volumen einer dreidimensionalen Kugel mit Radius νmax ist. Hinweis: Bestimme zunächst ζ und η
(vii) Bestimme die Modendichte
0.5 Punkte
g(ν) =
∂
G(ν).
∂ν
(7)
(viii) Zusätzlich zur Modendichte wird die Energie pro Mode benötigt.
0.5 Punkte
Elektromagnetische Wellen folgen der Bose-Einstein-Statistik, die wir im Laufe der Vorlesung noch genauer kennen lernen werden. Die Bose-Einstein Statistik ist gegeben durch
n(E) =
1
E
e kT − 1
,
(8)
mit E = hν und beschreibt die Verteilung, die Bosonen bei einer Temperatur T haben.
Bestimme die Energie pro Mode
= Eph n(E),
(9)
mit Eph der Energie eines Photons.
(ix) Bestimme die spektrale Energiedichte
0.5 Punkte
Φν (ν, T ) =
g(ν)
.
L3
(10)
Das Ergebnis ist das Planksche Strahlungsgesetz in Frequenzdarstellung!
(x) Rechne die soeben hergeleitete Frequenzdarstellung Mν in eine
1.5 Punkte
Wellenlängendarstellung Mλ um. Hinweis: beachte, dass dν nicht trivial mit dλ zu ersetzen
ist.
(xi) Zeichne eine qualitative Skizze für Mλ für drei unterschiedliche
1.0 Punkte
Temperaturen. Bestimme die Wellenlänge, mit der die Sonne am stärksten abstrahlt,
unter der Annahme, dass die Sonne ein idealer schwarzer Körper ist.
2
(b) Grenzfall hν kT
(i) Was bedeutet der Grenzfall hν kT physikalisch?
0.5 Punkte
(ii) Zeige, dass daraus dass Rayleigh-Jeans Gesetz folgt
1.0 Punkte
Φν (ν, T )RJ =
2π 2
ν kT.
c2
(iii) Trage eine Beispielkurve für eine Temperatur deiner Wahl in deine Skizze.
(11)
0.5 Punkte
(c) Grenzfall hν kT
(i) Was bedeutet der Grenzfall hν kT physikalisch?
0.5 Punkte
(ii) Zeige, dass hierfür das Wiensche Strahlungsgesetz folgt,
0.5 Punkte
Φν (ν, T )W =
2πhν 3 − hν
e kT .
c2
(iii) Trage eine Beispielkurve für eine Temperatur deiner Wahl in deine Skizze.
(12)
0.5 Punkte
(d) Stefan-Boltzmann-Gesetz
(i) Bestimme die Gesamtenergie, die ein idealer schwarzer Körper im
1.5 Punkte
gesamten Frequenzbereich nach Planck abstrahlt. Die Lösung ist das Stefan-BoltzmannGesetz,
Z ∞
8π 5 k 4 4
I=
Φν (ν, T ) dν =
T
(13)
15c3 h3
0
Hinweis: Substituiere sinnvoll und benutze
R∞
0
x3
ex −1
dx =
π4
15
(ii) Wie bekommst du deinen Milchkaffee am schnellsten kalt, wenn du
0.5 Punkte
nur ein paar Minuten zeit hast ihn zu trinken? Solltest du die Milch früh oder spät
hinzufügen? Argumentiere mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes.
(iii) Zeige, dass für Φν (ν, T )RJ die Ultraviolettkatastrophe folgt.
0.5 Punkte
(e) Wiensches Verschiebungsgesetz
(a) Zeige, dass die Wellenlänge mit der ein idealer schwarzer Körper am
intensivsten abstrahlt, gegeben ist durch
λmax =
Löse dafür das Nullstellenproblem
−x
x = 5(1 − e
∂Mλ
∂λ
hc
.
4.965kT
2.0 Punkte
(14)
= 0 Hinweis: Benutze x = 4.965 als Lösung für
).
H 1.2 Funktionenvektorräume
10 Punkte
Eine Menge von Funktionen kann ähnlich wie Rn einen Vektorraum bilden. Hierzu muss auf dieser
Menge eine Addition und eine Skalarmultiplikation definiert werden, die eine Reihe von Axiomen
erfüllen müssen.
Sind solche Vektorräume einmal etabliert, können Teilmengen dieser Räume betrachtet werden.
Durch Vererben der Rechenoperationen Addition „+“ und Skalarmultiplikation „∗“ können so Untervektorräume entstehen. Damit eine Teilmenge V einen Untervektorraum über einen Körper K
bildet, müssen jedoch folgende Eigenschaften nachgewiesen werden:
3
• Der Untervektorraum V enthält den Nullvektor d.h. 0 ∈ V .
• Für alle Vektoren v, w ∈ V liegt auch die Summe beider Vektoren wieder in V d.h. es muss
gezeigt werden, dass v + w ∈ V .
• Für alle Vektoren v ∈ V und Skalare α ∈ K liegt das Produkt beider ebenfalls wieder in V
d.h. α ∗ v ∈ V .
(a) Zeige nun, dass folgende Mengen mit den typischen Additionen und
Skalarmultiplikationen Untervektorräume sind.
n
o
(i) V1 = f : C −→ C | f ist Polynom vom Grad ≤ 2
n*
o
*
(ii) V2 = f : Rn −→ Rm | f ist linear
Z ∞
o
n
2
|f (x)| dx < ∞
(iii) V3 = f : R −→ R |
−∞
b
Z
n
(iv) V4 = f : R −→ R |
o
f (x) dx = 0
a
4
Je 2.5 Punkte